revista de arquitectura e ingenierÍa

REVISTA DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA

Configuración y Arquitectura. Configuration and Architecture. Ing. Mauricio Domínguez Caicedo

Método de aproximaciones sucesivas para vigas estáticamente indeterminadas incluyendo una nueva variable. Method of successive approximations for statically indeterminate beams including a variable new. Ing. Arnulfo Luévanos Rojas

Análisis del factor de intensidad de esfuerzo utilizando el método de los elementos finitos extendidos. Stress Intensity Factor Analysis using extended finite element method. M.C. Agustín Sáenz López.

Propuesta de rehabilitación y cambio de uso del Puente colgante sobre el río San Agustín. Proposal for rehabilitation and change of use of the suspension bridge over the San Agustín. Ing. Rolando Gamez Rodes Dr. Ing. Luis R. González Arestuche Ing. Maikel Pérez Díaz

Clusterización de alto desempeño en la actividad de Diseño y Arquitectura. High performance clustering activity Design and Architecture Ing. Shouddy Tárano León

EVENTOS

Vol. 7 No. 1 Abril 2013

Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2013, vol.7 no.1 ISSN 1990-8830 / RNPS 2125 1

Configuración y Arquitectura. Configuration and Architecture.

Ing. Mauricio Domínguez Caicedo Ingeniero Civil Profesor y Director Laboratorio de Estructuras Departamento de Tecnología. Escuela de Arquitectura Universidad del Valle. Cali. Colombia Tel: 3212378 Email:[email protected]

Recibido: 28-01-13 Aceptado: 21-02-13 RESUMEN: El concepto de configuración está relacionado con la respuesta de las edificaciones durante los eventos sísmicos: las edificaciones de configuración regular tienden a sufrir menos daños que las de configuración irregular. Los arquitectos determinan la configuración de las edificaciones y deben conocer las consecuencias de asumir alguna de las tipologías de irregularidad identificadas en los reglamentos y cuyo empleo se “castiga” incrementando la magnitud de las cargas sísmicas que deben emplearse en el cálculo estructural. En el presente artículo se analiza cómo afecta la respuesta sísmica el empleo de dos tipologías de irregularidad en planta y dos tipologías de irregularidad en altura, según se clasifica en el reglamento colombiano NSR-10. Palabras clave: Configuración, Inercial, Dinámica, Torsional, Rigidez, Esbeltez, Colapso

ABSTRACT:

The concept of configuration is related to the response of the buildings during seismic events: the buildings of regular setup tend to suffer less damage than the irregular configuration. The architects determine the configuration of the buildings and should know the consequences to take some of the typologies of irregularity identified in the regulations and the use of which is being "punished" increasing the magnitude of the seismic loads that should be used in the structural calculation. In the present article discusses how the seismic response affects the employment of two types of irregularity in plant and two types of irregularity in height, classified as Colombian regulations NSR-10. Keywords: Configuration, Inertial, Dynamic, Torsional, Rigidity, Slenderness, Collapse

Ing. Mauricio Domínguez Caicedo. Configuración y Arquitectura.


Introducción:

Las fuerzas sísmicas (Fs) son de carácter inercial: Cuando el suelo se desplaza por efecto de un sismo, la parte del edificio que se encuentra enterrada se desplaza con él debido a la rigidez de los muros de contención, mientras la parte que se encuentra por encima del nivel del terreno sufre una deformación en sentido contrario al desplazamiento del suelo (por inercia las masas tienden a conservar el estado de reposo en que se encuentran) , deformación que depende de su rigidez . Al vibrar el suelo las masas concentradas a nivel de los entrepisos entran en un movimiento vibratorio, un comportamiento dinámico que depende de las características de las ondas sísmicas (Período, aceleración), del tipo de suelo (estratigrafía) y del edificio (período, distribución de rigideces y de masas, configuración). La interpretación simplificada del fenómeno es estática, se considera que la masa (m) de la edificación en cada entrepiso sufre una aceleración (a) en sentido contrario al desplazamiento del terreno que parte de a=0 a nivel del terreno creciendo linealmente hasta un valor máximo en la parte superior de la estructura, generándose fuerzas sísmicas Fs =m*a (Figura #1) y la estructura se comporta como viga en voladizo empotrada en la cimentación sometida a cargas concentradas a nivel de cada entrepiso.

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m8

ESTRUCTURA EN REPOSO

Desplazamiento

F = m x a

ESTRUCTURA EN VIBRACIONIDEALIZACIONPèndulo mùltipleInvertido

Al ser de carácter inercial, el punto de aplicación de las fuerzas sísmicas en cada nivel será su centro de masas o de gravedad (G). La Fuerza Cortante de piso es la resultante de las Fuerzas Sísmicas que actúan en los niveles superiores al piso considerado. Su punto de aplicación depende del punto de aplicación de la Fuerza Sísmica en cada nivel superior y se encuentra haciendo la sumatoria vectorial considerando su posición en cada nivel. Si las plantas son idénticas entre sí (planta tipo) el centro de gravedad coincide en todos los niveles y la Fuerza Cortante de piso pasa por el centro de gravedad del piso en cualquier nivel. Pero en el caso en que las plantas cambien su geometría (Figura #2) el cortante de piso se desplaza de acuerdo a la localización de las fuerzas de cada piso.

FIGURA #1 Fuerzas sísmicas



F1

F2

F3

F4

F5

F6

+ F5F6

F6 + F5 + F4

F6 + F5 + F4

F6 + F5 + F4

+ F3

+ F3+ F2

F6 + F5 + F4 + F3 F2+ +F1

V base = F6 + F5 + F4 + F3 F2+ + F1

F6

F6

F5

F4

F3

F2

F1

ALZADA DIAGRAMA DE CORTANTES FIGURA #2. Fuerza cortante de piso

Desarrollo:

IRREGULARIDADES EN PLANTA: A) IRREGULARIDAD TORSIONAL La fuerza resistente (Fr) que debe desarrollar la estructura, de igual valor y sentido contrario a la fuerza sísmica, es la sumatoria de la reacción de cada columna ante el desplazamiento del piso que soportan y cuya magnitud depende directamente de su rigidez: a mayor rigidez en la dirección del desplazamiento, mayor fuerza de reacción genera. (A condición de que el diafragma sea lo suficientemente rígido para que el desplazamiento del piso sea uniforme). La fuerza de reacción en cada entrepiso pasa por el centro de rigidez (R) punto de aplicación de la resultante en cada dirección considerada. Cuando los dos puntos coinciden la estructura trabaja a Flexión con desplazamientos a lado y lado de la vertical de igual valor en cualquier sitio de cada entrepiso (Figuras #3 a y 4 a). Cuando el centro de rigidez no coincide con el centro de gravedad, la excentricidad (e) que los separa genera momentos torsionales que producen rotación de la planta, haciendo que además de la flexión se genere Torsión, el desplazamiento de la planta va acompañado de un giro con lo cual las derivas que se producen en los extremos de la planta serán desiguales. Esto puede suceder por dos razones:

1 El centro de rigidez se desplaza por la localización de elementos rígidos hacia un lado de la edificación, cuando existe una distribución asimétrica de la rigidez (Figura #3b).

2. El centro de aplicación de la fuerza sísmica del piso se desplaza del centro geométrico por concentración de masa hacia un lado de la edificación, cuando existe una distribución asimétrica de la masa (Figura #4b).

El giro de las plantas o entrepisos se produce alrededor del centro de rigidez R y genera grandes cortantes, siendo más críticos para las columnas más alejadas de dicho centro.



#3 a #3b #4 a #4 b FIGURA #3 Torsión por excentricidad en la Rigidez FIGURA #4 Torsión por excentricidad en la masa Durante el terremoto de Popayán (marzo 1983) la estructura de un sector del Colegio de las Salesianas tuvo colapso de las columnas extremas en el segundo nivel (Fotos #1 y #2) por efecto de la rotación de la losa del tercer piso, torsión generada por un desequilibrio de rigideces: La edificación con sistema estructural de pórticos de concreto tenía dos ejes longitudinales y seis ejes transversales. El primer piso se encontraba rigidizado por la presencia de muros de mampostería adosados a la estructura, mientras el segundo y tercer piso eran planta diáfana. El punto fijo se encontraba ubicado en el extremo norte con el tanque de almacenamiento de agua sobre la losa de cubierta .El punto fijo era muy rígido: Las gradas en concreto se encontraban vinculadas a las vigas de los pisos trabajando como una gran riostra y muros de mampostería levantados entre las columnas en los ejes transversales del extremo norte eran continuos en los tres niveles. Los demás pórticos eran de poca rigidez con solo 2 columnas esbeltas.

FOTO #1 FOTO #2 FOTO #3 FOTO #4 El centro de rigidez se encontraba desplazado hacia el punto fijo y el momento de torsión provocó el giro de la losa del tercer piso llevando al colapso las columnas extremas del segundo piso, más alejadas del centro de rotación (Figura #5, Fotos #3 y #4 ).



PLANTA PRIMER PISO

EJESIMETRIA

PLANTA ESTRUCTURA ENTREPISO

Fs

FRe

M = Fs * e

RG

CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL

FIGURA #5 Colegio de las Salecianas - Popayán Otro ejemplo de irregularidad torsional, esta vez por desplazamiento del centro de masas, se presentó en la Terminal de Transportes Interurbanos de Popayán en el terremoto de 1983.

FOTO #5 FIGURA #6 Terminal de Transportes de Popayán La edificación con estructura de pórticos de concreto no llegó al colapso pero presentó daño en elementos estructurales, fisurándose vigas y columnas (Fotos #6 y #7). Una parte de la edificación son locales y sala de espera (Foto #5) en un solo nivel con material de cubierta liviano, otra parte en dos niveles la ocupan las agencias transportadoras , con una losa de entrepiso y el mismo tipo de cubierta (Figura #6). Esta zona desplaza el centro de masas generando un problema de torsión global en la estructura, que estuvo cerca de producir la caída de las vigas de cubiertas prefabricadas que se encontraban simplemente apoyadas en los pórticos transversales (La estructura no tenía amarre en la parte superior de los ejes longitudinales).



FOTO #6 FOTO #7 Además este edificio presenta un detalle que genera torsión local : La losa de entrepiso no llega hasta las columnas , ocupa la parte central de las vigas quedando unos tramos cortos hacia los lados y sin que exista un amarre directo entre las columnas El desplazamiento de la losa arrastra sin deformar la parte central de las vigas de carga mientras los tramos cortos se deforman a flexión horizontal haciendo girar la columna con rotación perpendicular a su eje como se aprecia en el modelo de las fotos #8 y #9 .

FOTO #8 FOTO #9 Para eliminar los problemas de comportamiento estructural la mejor opción sería haber desvinculado la losa del resto de la estructura, construyendo nuevas columnas integradas a las vigas de la losa en sus bordes, eliminando el retroceso y generando dos estructuras independientes, una para la carga liviana de cubierta y otra para la losa. Esta opción no fue acogida haciéndose únicamente el amarre de los pórticos remplazando las vigas prefabricadas por vigas fundidas en sitio. B) IRREGULARIDAD EN PLANTA POR RETROCESOS EN LAS ESQUINAS El reglamento colombiano NSR-10 considera que este tipo de irregularidad se presenta cuando los retrocesos son superiores al 15% de la dimensión de la planta de la estructura (Figura #7).

FIGURA #6 FIGURA #7 Retroceso en las esquinas

A > 0,15 B C > 0,15 D



Dentro de esta tipología se encuentran las plantas en T, en C, en Z, en Y, presentando todas comportamiento similares de las zonas flexibles (aletas) en relación con la zona rígida (núcleo). Para la planta en L de la figura #8 la zona del núcleo cuenta con tres pórticos de 6 columnas cada uno, mientras las aletas tienen tres pórticos de 3 columnas, resultando más flexibles y dando lugar a un movimiento torsional conocido como “aleteo” que genera los mayores desplazamientos en los bordes extremos de las aletas. Modelos reducidos de estructuras con planta en L ensayados en el Laboratorio de Estructuras de la Escuela de Arquitectura de la Universidad del Valle comprobaron la validez de esta afirmación (Fotos #10 y #11)

FIGURA #8. Planta en L FOTO#10 FOTO #11 Este problema se corrige haciendo una junta de dilatación para obtener dos plantas regulares, suficientemente separadas para evitar el golpeteo (Figura #9) o rigidizando adecuadamente los bordes de las aletas para restringir su deformación (Figura #10). Esta segunda alternativa conduce a tener un volumen con pequeños desplazamientos para sismos en cualquier dirección, mucho más rígido que los volúmenes de plantas rectangulares, lo cual es favorable para el control de derivas. Teniendo conciencia de los problemas que genera el empleo de este tipo de irregularidad en planta se puede adoptar la solución de rigidizar los extremos de las aletas que favorece su uso.



FIGURA #9 Junta sísmica para independizar FIGURA #10 Rigidización de los extremos los cuerpos de la planta en L de las aletas El problema de aleteo se presenta también en el caso de plantas alargadas con el punto fijo en su zona central cuando el diafragma (entrepiso) es flexible (Figura #11). Un entrepiso rígido garantiza que las deformaciones serán uniformes para todos los ejes estructurales mientras un entrepiso flexible produce mayores deformaciones en los pórticos de menor rigidez con la consecuente rotación de la losa de entrepiso.

y

DIAFRAGMA RIGIDO

DIAFRAGMA FLEXIBLE FIGURA # 11 Cuerpo alargado con núcleo central

Este caso se presentó en los Bloques de vivienda Pubenza (Popayán 1983), edificios de 4 plantas con pórticos de concreto de columnas esbeltas y el punto fijo al centro, el entrepiso era una losa maciza delgada (Foto # 12). Los edificios que estaban en la dirección crítica (fachada larga perpendicular a la dirección del sismo) sufrieron daños graves y algunos llegaron al colapso. Las imágenes de los edificios colapsados revelan la deformación por aleteo que presentaron (Foto #13).

FOTO #12

FOTO #13



F

M

L

EP

EMPOTRAPARCIAL

M

F

x

IRREGULARIDADES EN LA ALTURA PISO FLEXIBLE Este tipo de irregularidad se presenta cuando la rigidez ante fuerzas horizontales de un piso es menor que la rigidez de los pisos superiores (Figura #12).

FIGURA #12- Piso Flexible FIGURA #13 Deriva de piso Un inadecuado manejo de elementos no estructurales puede llegar a generar este tipo de irregularidad: Cuando en estructuras con sistema aporticado se emplean muros no estructurales en mampostería y no se aislan de la estructura, el taponamiento del vano entre columnas y vigas rigidiza la estructura en la zona donde se encuentra. Si queda algún piso sin presencia de muros se va a configurar en ese nivel el piso flexible (Figura #14), la parte superior del edificio se desplaza en bloque sin deformarse mientras el piso flexible se ve sometido a grandes deformaciones siendo más crítico el caso en que el piso flexible se localice en el primer nivel, al ser mayor el cortante Cuando se dispone el primer piso para parqueadero, quedando desprovisto de muros no estructurales mientras en los pisos superiores se construyen muros adosados a la estructura, el primer piso está en condición de piso flexible (Foto #14). En un sector del colegio Inem en Popayán el primer piso era planta diáfana mientras el segundo piso estaba destinado a salones de clase, con muros de mampostería adosados a la estructura. En el sismo de 1983 se presentó la falla por plastificación de las columnas del primer piso, mientras el segundo piso se desplazó sin deformarse (Fotos #15 y #16).

FIGURA # 14 Piso flexible generado por elementos no estructurales vinculados de la estructura

Siendo los desplazamientos laterales o derivas directamente proporcionales al cubo de la longitud, (Figura #13) las columnas del piso flexible presentarán grandes deformaciones que las pueden

sacar de su comportamiento elástico y hacerlas entrar en rango plástico causándole daño permanente. Este caso es frecuente, en muchos proyectos el programa arquitectónico exige pisos de mayor altura.



FOTO # 14 FOTO #15 FOTO #16 En el antiguo edificio de Telecom situado en el centro de la ciudad de Cali se presenta un cambio brusco de rigidez a nivel del tercer piso, al pasar de una pantalla de mampostería enchapada que se encuentra incrustada dentro de la estructura, que le confiere enorme rigidez a la parte superior, a ser sostenida por 3 columnas flexibles, lo que genera gran vulnerabilidad al edificio en este piso (Fotos #17 y #18).

FOTO #17 FOTO #18

IRREGULARIDAD GEOMETRICA EN ALTURA Este tipo de irregularidad se presenta cuando la dimensión horizontal en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión de un piso adyacente (Figura #15).



FIGURA #15 Irregularidad Geométrica Si los dos cuerpos se encuentran separados por una junta de dilatación (Figura #17) cada uno va a vibrar de acuerdo a sus características dinámicas, mientras un cuerpo entra en resonancia y en consecuencia tiene grandes deformaciones, el otro permanece con pequeñas deformaciones. Cuando los dos cuepos están integrados en un solo volumen (Figura #16) al entrar una parte en resonancia arrastra al otro cuerpo, haciéndose daño mutuamente. Al permanecer con menores desplazamientos el cuerpo que no resuena con el sismo, restringe el desplazamiento del otro y al hacerlo desde un lado produce torsión al conjunto.

FIGURA #16. Edificio Irregular en Altura FIGURA #17 Edificios regulares

Un caso especial de mal comportamiento sísmico se presentó en la ciudad de Cali durante el sismo del año 2004 (sismo moderado) con la Clínica Los Farallones la cual presentaba varias tipologías de configuración irregular: En planta es una L con una aleta más flexible que la otra, en alzada presenta irregularidad geométrica al tener 10 pisos en la aleta flexible y 7 pisos en la otra, además plantas más flexibles en los primeros pisos con doble altura y altura y media. La estructura en sistema de pórticos en concreto reforzado tenía una retícula de elementos de concreto reforzado a modo de fachada falsa en su fachada norte que se separa una mayor longitud en la zona del núcleo, lo que agudiza el problema de aleteo al hacer más rígida la zona del núcleo y aportar poca rigidez al extremo flexible (Figuras #18 y #19) . Los muros divisorios y de fachada estaban construidos en mampostería de ladrillo, enchapados en sus fachadas y se encontraban adosados a la estructura.

Entre mayor sea la diferencia dimensional entre los pisos adyacentes y mayor el número de pisos con esa diferencia, más dañino será el efecto sísmico sobre la edificación. Siendo que el período de vibración de cada estructura es una función de su altura, al tener una edificación con cuerpos de diferentes alturas, para cada altura se tiene un período de vibración que va a resonar con sismos diferentes: Cuerpo de menor altura con sismos cercanos que son de bajo período y cuerpo de mayor altura con sismos más lejanos que son de mayor período.



El edificio presentó daños en la mayoría de sus elementos no estructurales que obligó a demolerlos en su totalidad (Fotos #19, #20, #21 y # 22). La estructura se intervino rigidizándola con diagonales metálicas y remplazando los elementos no estructurales por divisiones livianas.

FIGURA #18 FIGURA #19

FOTO # 19 FOTO #20 FOTO #21 FOTO #22

Conclusiones:

Se debe evitar las configuraciones irregulares en las edificaciones prefiriendo adoptar configuraciones regulares. La aplicación de coeficientes que incrementen la magnitud de las fuerzas de diseño no garantiza que se esté cubriendo con seguridad las anomalías de comportamiento que se derivan del empleo de configuraciones irregulares. Con excepción de la tipología de irregularidad en planta por retrocesos en las esquinas, donde una adecuada rigidez de los extremos de las aletas flexibles conducen a una solución favorable al comportamiento sísmico, los demás tipos de irregularidad deben ser evitados al no tener soluciones alternativas que puedan conducir a situaciones favorables ante eventos sísmicos. Se debe tener especial cuidado en el manejo de los elementos no estructurales puesto que su vinculación a la estructura trae como consecuencia la rigidización en la zona donde se encuentren , haciendo que la edificación se comporte de un modo diferente a como fue diseñada , llevando a que estructuras de configuración regular se comporten como irregulares.



Bibliografía:

• Reglamento colombiano de Construcciones Sismo Resistentes NSR-10.

1 Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2013, vol.7 no.1 ISSN 1990-8830 / RNPS 2125

Método de aproximaciones sucesivas para vigas estáticamente indeterminadas incluyendo una nueva variable. Method of successive approximations for statically indeterminate beams including a variable new.

Ing. Arnulfo Luévanos Rojas Ingeniero Civil Profesor-Investigador Facultad de Ingeniería, Ciencias y Arquitectura de Universidad Juárez del Estado de Durango. México. Teléfono: 871-7147119 E-mail: [email protected]

Recibido: 25-05-12 Aceptado: 03-07-12 RESUMEN: Este trabajo propone un método de aproximaciones sucesivas para el análisis de vigas estáticamente indeterminadas, incluyendo una nueva variable, que es una extensión al método tradicional de Cross. El método clásico considera las deformaciones por flexión. El método propuesto toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante, que es la parte innovadora de este trabajo. En este documento se presenta el desarrollo matemático del método propuesto. También se muestra la comparación entre el método clásico y el propuesto para tres problemas con la misma carga, pero de longitudes distintas, para presentar las diferencias. Se observó que cuando los miembros son de longitud corta, las diferencias son mayores como puede verse en las tablas de los problemas considerados, en el método clásico no todos los valores están del lado de la seguridad. Por lo tanto, la práctica habitual de no considerar las deformaciones por cortante (método clásico), en tramos cortos entre sus apoyos no será una solución recomendada. Entonces, se propone incluir estas deformaciones y también se adhiere más a las condiciones reales. Palabras clave: Deformación por cortante, Relación de Poisson, Módulo de elasticidad, Módulo de cortante, Área de cortante.

ABSTRACT:

This paper proposes a method of successive approximations for the analysis of statically indeterminate beams, including a new variable, which is an extension to the traditional method of Cross. The classic method considers the flexure deformations. The proposed method takes into account the flexure deformations and shear, which is the innovative part of this work. This paper presents the mathematical development of the proposed method. It also shows the comparison between the classic method and the proposed to three problems with the same load but of different lengths to present the differences. It was

Arnulfo Luévanos Rojas. Método de aproximaciones sucesivas para vigas estáticamente indeterminadas incluyendo una nueva variable.


observed that when the members are of short length, the differences are greater as shown in the tables of the problems considered, in the classic method not all values are of the side of safety. Therefore, the usual practice of not considering shear deformations (classic method), in short lengths between his supports not a recommended solution. Then, is proposed to include these deformations and adheres more closely to actual conditions. Keywords: Shear deformations, Poisson's ratio, Elasticity modulus, Shear modulus, Shear area.

Introducción:

Hardy Cross (1885-1959) profesor de la Universidad de Illinois, publicó en 1930 su famoso método de Distribución de Momentos, que puede decirse revolucionó el análisis de las estructuras de marcos continuos de concreto reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al análisis de estructuras indeterminadas. Este método de aproximaciones sucesivas evade la resolución de sistemas de ecuaciones, como las presentadas en los métodos de Mohr y Maxwell. La popularidad del método decayó con la disponibilidad de las computadoras, con los cuales la resolución de sistemas de ecuaciones dejó de ser un problema. Los conceptos generales del método fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberías. Posteriormente se hicieron populares los métodos de Kani y Takabeya, también de tipo iterativo [1,2]. El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas discretos. La teoría de las estructuras se basa esencialmente en los fundamentos de la mecánica con los cuales se formulan los diferentes elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la continuidad de una estructura se puede expresar de distintas maneras, por ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuo tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a un miembro o a las diversas teorías de vigas, o simplemente ecuaciones algebraicas para una estructura discretizada. Mientras más se profundiza en la física del problema, se van desarrollando teorías que son más apropiadas para resolver ciertos tipos de estructuras y que demuestran ser más útiles para cálculos prácticos. Sin embargo, en cada nueva teoría se hacen hipótesis acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento. Por lo tanto, siempre se debe estar consciente de esas hipótesis cuando se evalúen resultados, fruto de las teorías que se aplican o se desarrollan [3]. El análisis estructural puede abordarse utilizando tres enfoques principalmente [4]: a) formulaciones tensoriales (mecánica newtoniana o vectorial), b) formulaciones basadas en los principios del trabajo virtual, y c) formulaciones basadas en la mecánica clásica. En cuanto a las técnicas convencionales de análisis estructural de vigas continuas, la práctica común considera las deformaciones por flexión únicamente. Este documento se propone considerar las deformaciones por flexión y cortante y se desarrolla una comparación entre el método clásico y el propuesto, para observar las diferencias. DESARROLLO MATEMATICO 1.- Principios teóricos En el esquema de deformación de una viga que se ilustra en la Figura 1, muestra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera Z y dy/dx no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales [5].



Figura1. Deformación de un elemento de viga La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flexionante. En la teoría de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas cortas, la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de ecuaciones más complejo:

Gdydx Z

VA 1

Ed Z

dxMI 2

Donde: G es el módulo de cortante, dy/dx es la rotación total alrededor del eje “z”, Z es la rotación alrededor del eje “z”, debido a la flexión, Vy es la fuerza cortante en dirección “y”, Ac es el área de cortante, d Z/dx = d2y/dx2, E es el módulo de elasticidad, Mz es el momento alrededor del eje “z” e Iz es el momento de inercia alrededor del eje “z”. Derivando la Ec. (1) y substituyéndola en la Ec. (2), se llega a la ecuación de la curva elástica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:

d ydx

1GA

dVdx

MEI 3

De la Ec. (1), se obtiene dy/dx:

dydx

VGA Z 4



Y la Ec. (2), se da Z:

ZMEI

dx 5

Ahora se sustituye la Ec. (5) en la Ec. (4):

dydx

VGA

MEI dx 6

2.- Descripción general del método propuesto El método de aproximaciones sucesivas se puede utilizar para analizar todo tipo de vigas estáticamente indeterminadas. Con el fin de desarrollar el método, será útil tener en cuenta el siguiente problema: Si un momento en sentido de las manecillas del reloj MAB se aplica en el apoyo simple de un elemento recto de sección transversal constante, simplemente apoyado en un extremo y se fija en el otro, encontrar la rotación A en el apoyo simple y el momento de MBA en el extremo fijo, como se muestra en la Figura 2.

Figura 2: Derivación de las ecuaciones de aproximaciones sucesivas Los momentos finales adicionales, el MAB y MBA, deben ser tales que causan rotaciones de A y B, respectivamente. Si A1 y B1 son los giros causados por MAB, de acuerdo con la Fig. 2(b), así como A2 y

B2 son debidos a MBA, que se observa en la Fig. 2(c). Las condiciones requeridas de geometría son [5-11]:

A A A 7

0 B B 8



La viga de la Fig. 2(b) se analiza para encontrar A1 y B1 en función de MAB: Se considera que VA = VB, y haciendo la suma de momentos en B, se obtiene MAB, en función de VA:

MAB VAL 9 Por lo tanto, las fuerzas cortantes y los momentos a una distancia "x":

VMAB

L 10

MMAB

L L x 11 Donde: Vx es la fuerza cortante a una distancia “x” y Mx es el momento a una distancia “x”. Sustituyendo Mx y Vx en la Ec. (6), y separando la deformación por cortante y flexión para obtener la rigidez, se presenta de la siguiente manera:

Deformación por cortante:

dydx

MAB

GA L 12

Integrando la Ec. (12):

yMAB

GA L x C 13

Tomando en cuenta las condiciones de frontera, cuando x = 0, y = 0, se obtiene C1 = 0, y se sustituye en la Ec. (13):

yMAB

GA L x 14

Deformación por flexión:

dydx

MAB

EI LL x dx 15

Se desarrolla la integral de la Ec. (15):

dydx

MAB

EI L Lxx2 C 16



Integrando la Ec. (16):

yMAB

EI LL2 x

x6 C x C 17

Tomando en cuenta las condiciones de frontera, cuando x = 0 e y = 0, se obtiene C3 = 0, y sustituyendo en la Ec. (17):

yMAB

EI LL2 x

x6 C x 18

Ahora, se consideran las condiciones de frontera, cuando x = L e y = 0, se presenta C L /3, y se sustituye en las Ecs. (16) y (18), se muestra a continuación:

dydx

MAB

EI LLx

x2

L3

19

yMAB

EI LL2

xx6

L3

x 20

Se sustituye x = 0, en la Ec. (19) para encontrar la rotación en el apoyo A, debido a la deformación por flexión A1F:

A FMABL3EI 21

Luego se sustituye x = L, en la Ec. (19) para encontrar la rotación en el apoyo B, debido a la deformación por flexión B1F:

B FMABL6EI 22

Si se considera que el radio de curvatura está en la parte inferior. Entonces, las rotaciones son positivas:

A FMABL3EI 23

B FMABL6EI 24



La rotación debido a la deformación de corte A1C y B1C, teniendo en cuenta el radio de curvatura:

A Cdydx

MAB

GA L 25

B Cdydx

MAB

GA L 26

Sumando la rotación debido a la deformación por cortante y flexión en el apoyo A, se obtiene:

A A F A C 27 Sustituyendo las Ecs. (23) y (25) en la Ec. (27):

AMABL3EI

MAB

GA L 28

De la Ec. (28) se obtiene el factor común para MAB:

AMABL12EI 4

12EIGA L 29

Siendo [5]:

Ø12EIGA L 30

Donde: es el factor de forma Se obtiene G de la siguiente manera:

GE

2 1 ν 31

Donde: es la relación de Poisson Entonces, se sustituye la Ec. (30) en la Ec. (29):



Sumando la rotación debido a la deformación por cortante y flexión en el apoyo B, y se desarrollan las simplificaciones correspondientes:

Se analiza la viga de la Fig. 2(c), para encontrar A2 y B2 en función de MBA de la misma manera como se realizó en la Fig. 2(b):

Ahora, se sustituye las Ecs. (33) y (35) en la Ec. (8):

Se encuentra MBA en función de MAB:

Además, se sustituye las Ecs. (32) y (34) en la Ec. (7):

Enseguida se sustituye la Ec. (37) en la Ec. (38):

Se encuentra MAB en función de A:

Así, para un tramo AB que es simplemente apoyado en A y fijo en B, un giro a favor de las manecillas del reloj A, puede llevarse a cabo mediante la aplicación de un momento

a favor de las agujas del reloj de en A, que a su vez induce un

momento a favor de las agujas del reloj de sobre el miembro en B.



la expresión, es usualmente llamado factor de rigidez, que se define como el momento que debe ser aplicado para causar una rotación de 1 rad en A, del tramo

AB simplemente apoyada en A y fijo en B; el número es el factor de transporte, que es la relación del momento inducido en B debido al momento aplicado en el punto A. APLICACIÓN Se desarrolla el siguiente análisis estructural de la viga continua de acero, en cuatro claros iguales, y tres problemas diferentes, como se muestra en la Figura 3. por el método clásico y el propuesto, en base a los siguientes datos [12]:

Figura 3: Viga continúa sobre cuatro claros iguales con carga uniformemente distribuida w = 34.335 kN/m L = 10.00 m; 5.00 m; 3.00 m E = 20019.6 kN/cm2

Propiedades del perfil W24X94 A = 178.71 cm2 Ac = 80.83 cm2 I = 111966 cm4

= 0.32 Usando la Ec. (31), se obtiene el módulo de cortante:

Luego se encuentra el factor de forma a través de la Ec. (30): Para 10.00 m: Para 5.00 m: Para 3.00 m: Los momentos de empotramiento (ME) para vigas con una carga uniformemente distribuida en el tramo son los siguientes:

Para 10.00 m:



Para 5.00 m:

Para 3.00 m:

La rigidez para cada una de las vigas por el método propuesto es:

Donde: es la rigidez relativa (R R), para este caso porque los tramos son iguales, las rigideces son las mismas para todos los claros, en cada problema. Para 10.00 m: Para 5.00 m: Para 3.00 m: La rigideces para cada una de las vigas por el método clásico es:

Donde: 4 es la rigidez relativa (R R), para este caso porque los tramos son iguales. Para este caso, como todas las vigas son iguales para ambos métodos, por lo que la rigidez es igual en todos los segmentos. Entonces el factor de distribución (F D) para ambos métodos es:

El factor de transporte (F T) (método propuesto) es:

Para 10.00 m es: Para 5.00 m es: Para 3.00 m es:



El factor de transporte (F T) (método clásico) es:

A continuación se presentan las tablas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 con los resultados por el método de aproximaciones sucesivas. En dichas tablas se muestran los ciclos 1, 2 y el último.

Tabla 1: Método clásico para un claro de 10.00 m Junta A B C D E

Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED R R 4 4 4 4 4 4 4 4 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500

1er ciclo

ME +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 Balanceo −286.1 0 0 0 0 0 0 +286.1

2o ciclo

Transporte 0 −143.1 0 0 0 0 +143.1 0 Balanceo 0 +71.5 +71.5 0 0 −71.5 −71.5 0

7o ciclo

Transporte +0.6 0 0 +0.6 −0.6 0 0 −0.6 Balanceo −0.6 0 0 0 0 0 0 +0.6

Momentos Total 0 −367.7 +367.7 −245.3 +245.3 −367.7 +367.7 0

Tabla 2: Método propuesto para un claro de 10.00 m Junta A B C D E

Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED R R 3.8739 3.8739 3.8739 3.8739 3.8739 3.8739 3.8739 3.8739 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.4837 0.4837 0.4837 0.4837 0.4837 0.4837 0.4837 0.4837

1er ciclo

ME +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 +286.1 −286.1 Balanceo −286.1 0 0 0 0 0 0 +286.1

2o ciclo


8o ciclo


Momentos Total 0 −364.5 +364.5 −248.3 +248.3 −364.5 +364.5 0

Tabla 3: Método clásico para un claro de 5.00 m Junta A B C D E

Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED R R 4 4 4 4 4 4 4 4 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500

1er ciclo

ME +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 Balanceo −71.53 0 0 0 0 0 0 +71.53

2o ciclo


7o ciclo


Momentos Total 0 −91.93 +91.93 −61.33 +61.33 −91.93 +91.93 0



Tabla 4: Método propuesto para un claro de 5.00 m Junta A B C D E

Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED R R 3.5520 3.5520 3.5520 3.5520 3.5520 3.5520 3.5520 3.5520 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.4369 0.4369 0.4369 0.4369 0.4369 0.4369 0.4369 0.4369

1er ciclo

ME +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 +71.53 −71.53 Balanceo −71.53 0 0 0 0 0 0 +71.53

2o ciclo


8o ciclo


Momentos Total 0 −88.81 +88.81 −63.99 +63.99 −88.81 +88.81 0 Tabla 5: Método clásico para un claro de 3.00 m

Junta A B C D E Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED

R R 4 4 4 4 4 4 4 4 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500

1er ciclo

ME +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 Balanceo −25.75 0 0 0 0 0 0 +25.75

2o ciclo


7o ciclo


Momentos Total 0 −33.09 +33.09 −22.08 +22.08 −33.09 +33.9 0 Tabla 6: Método propuesto para un claro de 3.00 m

Junta A B C D E Miembro AB BA BC CB CD DC DE ED

R R 3.0167 3.0167 3.0167 3.0167 3.0167 3.0167 3.0167 3.0167 F D 1.000 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 1.000 F T 0.3370 0.3370 0.3370 0.3370 0.3370 0.3370 0.3370 0.3370

1er ciclo

ME +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 +25.75 −25.75 Balanceo −25.75 0 0 0 0 0 0 +25.75

2o ciclo


5o ciclo


Momentos Total 0 −30.34 +30.34 −24.21 +24.21 −30.34 +30.34 0 RESULTADOS Y DISCUSIÓN En las tablas 7 y 8 se presentan las comparaciones entre el método clásico y el propuesto, en cuanto a las fuerzas cortantes y momentos para los tres claros distintos. La Tabla 7 muestra los resultados de las Fuerzas cortantes en las vigas. Se observan que cuando la longitud entre apoyos se va reduciendo las diferencias son mayores entre los dos métodos. Por ejemplo, para el tramo de 3.00 m, existe una reducción (valor absoluto) para el método clásico en VCB y VCD de un 3.3%, con respecto al método propuesto. Mientras que para la VBC y VDC se presenta un incremento (valor absoluto) de un 3.0%, en el método clásico con respecto al método propuesto.



Tabla 7: Fuerza cortante en kN

Fuerza cortante

Caso 1 L = 10.00m

Caso 2 L = 5.00m

Caso 3 L = 3.00m

D D C C D C D D C C D C D D C C D C D D C

C D C D D C C D C D D C C D C

VAB +134.91 +135.23 0.998 +67.45 +68.07 0.991 +40.47 +41.39 0.978 VBA −208.44 −208.12 1.002 −104.22 −103.60 1.006 −62.54 −61.62 1.015 VBC +183.92 +183.29 1.003 +91.96 +90.80 1.013 +55.17 +53.54 1.030 VCB −159.43 −160.06 0.996 −79.72 −80.87 0.986 −47.83 −49.46 0.967 VCD +159.43 +160.06 0.996 +79.72 +80.87 0.986 +47.83 +49.46 0.967 VDC −183.92 −183.29 1.003 −91.96 −90.80 1.013 −55.17 −53.54 1.030 VDE +208.44 +208.12 1.002 +104.22 +103.60 1.006 +62.54 +61.62 1.015 VED −134.91 −135.23 0.998 −67.45 −68.07 0.991 −40.47 −41.39 0.978

En la Tabla 8 se presentan los momentos que actúan en las vigas. Se muestra que cuando los tramos son más cortos las diferencias son mayores entre ambos métodos. Se analiza el claro de 3.00 m, donde se presenta un incremento (valor absoluto) de un 9.1% para MBA, MBC, MDC y MDE en el método clásico, con respecto al método propuesto. En tanto que en MCB y MCD existe una reducción (valor absoluto) para el método clásico de un 8.8%, con respecto al método propuesto.

Tabla 8: Momentos en kN-m

Conclusiones:

En la presente investigación se ha presentado una metodología para evaluar las rigideces relativas, factores de distribución y factores de transporte, que ha permitido determinar con precisión, por aproximaciones sucesivas los momentos finales en los extremos de las vigas. En cuanto a las tablas 7 y 8 en donde se presentan, las fuerzas cortantes y los momentos que actúan sobre las vigas, estos elementos son los que rigen el diseño de una estructura, fueron estudiados por el método clásico y el propuesto. Los resultados de los tres problemas estudiados, han demostrado que la metodología propuesta es más sensible en los tramos cortos con respecto al método clásico, es decir que existe mayor diferencia entre los dos métodos presentados cuando se utilizan elementos de longitud pequeña. Algunos resultados están del lado conservador y otros no cumplen con las condiciones mínimas necesarias para que las vigas sean seguras de acuerdo a los reglamentos de construcción.

Momentos

Caso 1 L = 10.00m

Caso 2 L = 5.00m

Caso 3 L = 3.00m

D D C C D C DDC CDC D D C C D C D D C

C D C D D C C D C D D C C D C

MAB 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M AB +265.0 +266.3 0.995 +66.26 +67.48 0.982 +23.85 +24.94 0.956 MBA −367.7 −364.5 1.009 −91.94 −88.81 1.035 −33.10 −30.33 1.091 MBC −367.7 −364.5 1.009 −91.94 −88.81 1.035 −33.10 −30.33 1.091

M BC +124.9 +124.7 1.001 +31.21 +31.25 0.998 +10.93 +11.42 0.983 MCB −245.3 −248.3 0.988 −61.32 −64.00 0.958 −22.08 −24.21 0.912 MCD −245.3 −248.3 0.988 −61.32 −64.00 0.958 −22.08 −24.21 0.912

M CD +124.9 +124.7 1.001 +31.21 +31.25 0.998 +10.93 +11.42 0.983 MDC −367.7 −364.5 1.009 −91.94 −88.81 1.035 −33.10 −30.33 1.091 MDE −367.7 −364.5 1.009 −91.94 −88.81 1.035 −33.10 −30.33 1.091

M DE +265.0 +266.3 0.995 +66.26 +67.48 0.982 +23.85 +24.94 0.956 MED 0 0 0 0 0 0 0 0 0



En cuanto al diseño de miembros estructurales, se dimensionan de acuerdo con los elementos mecánicos (fuerzas cortantes y momentos) mayores en valor absoluto y en este caso son más pequeños en el método propuesto. Por lo tanto será más económico. Esto significa que se pueden afinar más los diseños estructurales. Puesto que hay dos principios fundamentales en la ingeniería, en cuanto a las condiciones estructurales, es que sea segura y económica. Por lo tanto, la práctica habitual de utilizar el método clásico de aproximaciones sucesivas (tomando en cuenta las deformaciones por flexión) no es una solución recomendada cuando los miembros son de longitud pequeña entre apoyos. Entonces, tomando en cuenta la aproximación numérica, el método propuesto de aproximaciones sucesivas (considerando las deformaciones por flexión y cortante), pasa a ser el método más apropiado para el análisis estructural de vigas continuas y apegada más a las condiciones reales. Referencias bibliográficas: [1] Castillo Martínez, Heberto y Castillo Juárez Antonio Heberto. Análisis y diseño de estructuras:

Estructuras reticulares, Tomo 2. Distrito Federal, México. Alfaomega, 2002, 504 p. [2] Jaramillo Jiménez, José Oscar. Análisis Clásico de Estructuras, Bogotá, Colombia. [en línea] 2004.

Disponible en: http://books.google.com.mx/books?id=mwohfYq9zC8C&pg=PA30&lpg=PA30&dq=nacimiento+del+analisis+estructural&source=bl&ots=TqTl5avuMY&sig=dgomgcVJ8CKm1HZSfrKV2sOEIs8&hl=es&ei=FNluTYbSNZSksQPz54nSCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CDkQ6AEwBQ#v=onepage&q&f=false (Consulta: marzo 30 del 2012).

[3] Tena Colunga, Arturo. Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales. Distrito Federal, México. Limusa, 2007, 559 p.

[4] Przemieniecki, J.S. Theory of Matrix Structural Analysis. Toledo, OH, Estados Unidos de América. Mc Graw-Hill, 1985, 480 p.

[5] Luévanos Rojas, Arnulfo. Método de deflexión-pendiente para vigas estáticamente indeterminadas, considerando las deformaciones por cortante. Revista Arquitectura e Ingeniería (Matanzas, Cuba). [en línea] Vol 5, No 2, Agosto 2011. Disponible:

[6] http://www.redalyc.org/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=193921394001 (Consulta: abril 25 del 2012).

[7] Hibbeler, R.C. Análisis Estructural. Naucalpan de Juárez, Estado de México. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., 1997, 730 p.

[8] González Cuevas, Oscar M. Análisis estructural. Distrito Federal, México. Limusa, 2007, 584 p. [9] Luthe Garcia, Roberto. Análisis Estructural. Distrito Federal, México. Alfaomega, 1998, 681 p. [10] West, Harry H. Fundamentals of Structural Analysis. New York, Estados Unidos de América. John

Wiley & Sons, 2002, 698 p. [11] McCormac, J.C. Structural Analysis: using classical and matrix methods. Estados Unidos de

América. John Wiley & Sons, 2007, 415 p. [12] Laible Jeffrey, P. Análisis Estructural. Distrito Federal, México. Mc Graw-Hill, 1988, 910 p. [13] Luévanos Rojas, Arnulfo. Análisis de dos modelos para una viga continua de acero estructural para

tres secciones diferentes. Revista Investigaciones Científicas (Cabimas, Venezuela). Vol 2, No 1 y No 2, pp. 9-25, Enero-Diciembre 2011.


Análisis del factor de intensidad de esfuerzo utilizando el método de los elementos finitos extendidos. Stress Intensity Factor Analysis using extended finite element method.

M.C. Agustín Sáenz López. Profesor de la Facultad de Ingeniería, Ciencias y Arquitectura de la Universidad Juárez del Estado de Durango. México Coordinador de Investigación FICA‐UJED Email: [email protected]

Recibido: 17-12-12 Aceptado: 22-01-13

RESUMEN:

En este trabajo se presenta un método para obtener el Factor de Intensidad de Esfuerzo (FIS) utilizando la Integral de Interacción acoplada al Método de Elementos Finitos Extendidos (MEFX), se desarrolló un sistema de computación propio para la implementación de este proceso utilizando el paquete MATLAB. Se usaron las condiciones de frontera de Dirichlet para simular las condiciones de frontera de la solución analítica, y todo el desarrollo se realizó en 2 dimensiones encontrándose una buena relación entre los resultados de este procedimiento y el ejemplo muestra cuya solución es bien conocida. Palabras clave: Elemento Finito Extendido, Factor de Intensidad de Esfuerzo.

ABSTRACT:

In this work, we development a method for calculate the Stress Intensity Factor (SIF) by Interaction Integral with the Extended Finite Element Method (XEFM). A computational system was developed in MATLAB for the implementation of this process. We use the Dirichlet boundary conditions for simulate the boundary conditions of the analytical solution and all process in two dimensions, we found a good agreement between this process and the example problem. Keywords: Extended Finite Element Method, Stress Intensity Factor,

M.C. Agustín Sáenz López. Análisis del factor de intensidad de esfuerzo utilizando el método de los elementos finitos extendidos.


Introducción:

En este articulo, se describe un algoritmo para obtener el Factor de Intensidad de Esfuerzo (FIE) utilizando la Integral de Interacción y el Método de Elemento Finito Extendido (MEFX). En años recientes, la Integral de Interacción ha sobresalido como una técnica útil y viable para extraer el FIE del modo mixto en los problemas de mecánica de fractura. Por ejemplo, el método ha sido usado para determinar el FIE de modo mixto a lo largo de fracturas en tres dimensiones en materiales homogéneos y también en fracturas de interface bimaterial 3-D considerando fracturas rectas y curvas[1,2,3]. Una de las principales ventajas del MEFX es que se puede modelar el crecimiento de fracturas sin necesidad de un remallado y permite a las fracturas pasar arbitrariamente por medio de los elementos finitos al incorporar funciones de enriquecimiento para simular campos discontinuos, la malla es completamente independiente de la ubicación y de la geometría de la fractura. Por lo que esta puede simular los problemas de discontinuidad. El MEFX ha sido exitosamente aplicado a crecimiento de problemas de fracturas estáticas y cuasi-estáticas en 2 dimensiones [4,5]. La aplicación de esta técnica para problemas de fractura en 3 dimensiones fue presentada en Sukumar [6]. Otros problemas de la ingeniería en los que ha sido utilizado el MEFX, la modelación de fenómenos en las áreas de la mecánica de fluidos, transformaciones de fase, ciencia de materiales y etcétera. Método de elemento finito extendido El MEFX es un modelo numérico diseñado para modelar sólidos con discontinuidades especialmente fracturas, creado por Belytschko en 1999 [7], que utilizó una aproximación por elementos finitos estándar en dos dimensiones que fueron enriquecidos con la función Heaviside en los elementos que estuvieran cortados por la fractura y con las funciones asintóticas que enriquecían el elemento finito que contenía la punta de la fractura. Estos dos tipos de enriquecimiento simulan el salto en el desplazamiento que existe en los elementos cortados por la fractura y la singularidad que existe en la punta de la fractura. El método se basa en el concepto de partición de la unidad. En el Método de los Elementos Finitos clásicos, la aproximación del desplazamiento esta descrita por la siguiente ecuación:

(1)

Donde son las funciones forma y son los grados de libertad. El conjunto de funciones forma

también satisface las condición de la partición de la unidad, . Sin embargo la ecuación anterior solamente se puede aplicar en condiciones donde el dominio es continuo pero no cuando es discontinuo, como es el caso de una fractura.



Considerando que el sistema por analizar contiene una fractura, la aproximación del desplazamiento para el MEFX en dos dimensiones estará dada por:

(2)

donde: es el conjunto de todos los nodos en la malla. es el conjunto de nodos cuyos soportes está completamente cortado por la fractura, este conjunto está indicado por un círculo en la figura 1. El conjunto son todos los nodos cuyo soporte contiene la punta de la fractura, este conjunto es mostrado en la figura 1 por medio de rectángulos. Los grados de libertad nodales correspondientes a los desplazamientos son mientras que las funciones forma respectivas son .

Figura 1.- Enriquecimiento Heaviside en los nodos de los elementos cortados por la fractura (círculos) y enriquecimiento asintótico en los nodos del elemento conteniendo la punta de la fractura (rectángulos)

es la función Heaviside generalizada que toma los valores de +1 si esta por arriba de la fractura y -1 por debajo.

(3)



Es el campo de la punta de la fractura asintótico, que implica la discontinuidad ocurriendo en la localización de la fractura.

(4)

Donde son las coordenadas polares nodales en la punta de la fractura. La integral de interacción y el factor de intensidad de esfuerzo. El Factor de Intensidad de Esfuerzo es un parámetro muy importante en la mecánica de fractura, ya que conociéndolo es posible obtener los esfuerzos y los desplazamientos en cualquier punto del dominio. Por lo la obtención numérica del FIE es una parte importante en la mecánica de fractura aplicada. Hay muchos métodos para evaluar el Factor de Intensidad de Esfuerzo, tales como la integral J, la integral de contorno, la función de Green, la Rapidez de Liberación de la Energía (Energy release rate) etcétera. La Integral de Interacción es obtenida de la integral J considerando dos soluciones para los desplazamientos (y por lo tanto para las deformaciones), uno al que se llamara actual y estará representado por (1) y la otra solución que será el estado auxiliar y que estará representada por (2). Para evaluar el FIE, debemos seleccionar los desplazamientos auxiliares, las deformaciones auxiliares y los esfuerzos auxiliares alrededor a la punta de la fractura. La relación entre el FIE y la integral J para problemas de modo mixto general en dos dimensiones está dada por:

(5)

Donde esta definida como:

(6)

Los valores de los desplazamientos, deformación y esfuerzo para el estado 1, están representadas

por , y para el estado 2 serán . Al superponer (sumar) estos dos estados en la integral J se tiene：



(7)

Expandiendo y reacomodando los términos se obtiene

(8)

Donde es llamado la integral de interacción para los estados 1 y 2

(9)

y donde es la energía de deformación de interacción

(10)

Rescribiendo la ecuación (8) pero tomando ahora los estados combinados tenemos

(11)

La ecuación lleva a la siguiente relación

(1)

Seleccionando el estado 2 como un modo puro asintótico con , se tienes el modo , del FIE en términos de la integral de interacción

(13)

Si ahora seleccionamos el estado 2 como un modo puro asintótico entonces , con lo que obtenemos el modo , del FIE en términos de la integral de interacción.

(14)



La Integral de Interacción para cálculos numéricos. Para ser usada la integral de interacción anterior en los cálculos numéricos es mejor transformarla de una integral de línea y contorno a una integral de área de dominio. Para esto se introduce una función peso de manera que tenga un valor igual a la unidad en el contorno y cero en el contorno exterior (figura 2). Dentro del área encerrada por la trayectoria , , y , la función peso es una función suave arbitraria tomando valores entre cero y la unidad. La integral de interacción para el camino cerrado se puede escribir como

(15)

dónde son los componentes del vector normal unitario sobre la curva cerrada C con dirección hacia afuera del área . Hay que mencionar que en el contorno y en

. Se supone que las caras de la fractura están libres de tracción. Ahora usando el teorema de la divergencia y llevando el límite a la punta de la fractura se tiene

(16)



Figura 2.- Convenciones para el dominio J: dominio A es cerrado por y ; la normal unitaria sobre y sobre [9]

Figura 3.- Función peso en los elementos [9] Para el cálculo numérico de la integral, el dominio es el conjunto de los elementos finitos que contienen la punta de la fractura. Para esto seleccionamos todos los elementos finitos en los cuales tenemos nodos dentro de una bola de radio centrada en la punta de la fractura. Debido a que la integral J es independiente del camino, se puede seleccionar un suficientemente grande.

Dentro del dominio de integración el valor de es igual a cero por lo tanto la integral es evaluada

solamente en los elementos finitos de la frontera donde . Por lo tanto el uso de la forma

m



de dominio de la integral de interacción es la manera más aconsejable para evaluar la integral de contorno en el marco de los Elementos Finitos. Para más detalles sobre el cálculo de la forma del dominio de la integral de interacción puede ser encontrado en [8]. Ejemplos numéricos. El ejemplo que se tomó para la comprobación del modelo, es una placa homogénea que está bajo condición de deformación plana elástica en dos dimensiones, contiene una fractura tipo arista como se muestra en la Fig. 4. La fractura parte del centro de la placa hasta alcanzar su extremo izquierdo, las dimensiones de la placa son 1 unidad por lado, con un modulo de Young igual a 10,000, y una constante de poisson 0.3, se consideró condiciones de frontera de Dirichlet, donde se supone un valor para el Factor de Intensidad de Esfuerzo de 1 y se calculan los desplazamientos que genera este FIE en la frontera de la placa, que se usaran como condiciones de frontera para el modelo construido, durante la experimentación se estuvo variando la cantidad de elementos finitos de la malla y el radio de la integral de dominio. En la figura 5 se muestra los nodos de enriquecimiento para esta fractura del problema.

Figura 4.- Placa con una malla de 19 elementos por lado, con una fractura tipo arista en el lado derecho de la placa.



Figura 5.- Los nodos enriquecidos con la función Heaviside se muestran con un círculo y los nodos enriquecidos con las funciones asintóticas con rectángulos, el círculo representa el radio de enriquecimiento. En las tablas 1-5 se muestra el error entre el FIE obtenido por el procedimiento desarrollado y el FIE de referencia que se había mencionado igual a 1, la ecuación que se uso para el calculo del error es la siguiente:

(17)

De las tablas 1-5 se observa una disminución del error conforme se incrementa el radio de enriquecimiento de la punta de la fractura, en la tabla 1 se tiene el error más pequeño corresponde a 0.00056834 (con una malla 7921 y con un radio de integración de 5) mientras que para un radio de enriquecimiento de la punta de fractura 0.5 se tiene que el error más pequeño es 0.00002388 (malla de 7921 elementos y radio de integración de 0.4). La disminución del error es paulatina conforme se incrementa el número de elementos de la malla y se incrementa el radio de enriquecimiento de la punta de la fractura. También se observa una disminución del error cuando la malla alcanza los 1521 o bien alcanza los 2401 elementos.

Tabla 1.- Errores para un radio de enriquecimiento en la punta de la fractura de 0.1.

Número de elementos Radio de integración 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

361(19x19) 0.01032613 0.00916060 0.00849729 0.00858974 0.00916060 841(29x29) 0.00630898 0.00553579 0.00567488 0.00566280 0.00553579 1521(39x39) 0.00262785 0.00265075 0.00265048 0.00264800 0.00265075 2401(49x49) 0.00203507 0.00193985 0.00195358 0.00194908 0.00193985 3481(59x59) 0.00114921 0.00113484 0.00113949 0.00113799 0.00113484 4761(69x69) 0.00098941 0.00097289 0.00097646 0.00097566 0.00097289 6241(79x79) 0.00066162 0.00065738 0.00065442 0.00065481 0.00065738 7921(89x89) 0.00057284 0.00056834 0.00056880 0.00056871 0.00056834





361(19x19) 0.01398660 0.00651025 0.00538508 0.00531593 0.00651025 841(29x29) 0.00650448 0.00237870 0.00240770 0.00238355 0.00237870 1521(39x39) 0.00374704 0.00126986 0.00129257 0.00128841 0.00126986 2401(49x49) 0.00243215 0.00081975 0.00083655 0.00083166 0.00081975 3481(59x59) 0.00171839 0.00057803 0.00057912 0.00057746 0.00057803 4761(69x69) 0.00126831 0.00042090 0.00042457 0.00042367 0.00042090 6241(79x79) 0.00097467 0.00032759 0.00032433 0.00032467 0.00032759 7921(89x89) 0.00076494 0.00025149 0.00025198 0.00025186 0.00025149



361(19x19) 0.00118353 0.00764531 0.00401477 0.00356301 0.00764531 841(29x29) 0.00029161 0.00416557 0.00161899 0.00163596 0.00416557 1521(39x39) 0.00013261 0.00198815 0.00084181 0.00084961 0.00198815 2401(49x49) 0.00013169 0.00141809 0.00057702 0.00056924 0.00141809 3481(59x59) 0.00002364 0.00089033 0.00037500 0.00037423 0.00089033 4761(69x69) 0.00003574 0.00069857 0.00028237 0.00028119 0.00069857 6241(79x79) 0.00001356 0.00049507 0.00020711 0.00020729 0.00049507 7921(89x89) 0.00001953 0.00041211 0.00016686 0.00016668 0.00041211



361(19x19) 0.00014366 0.00015968 0.00505306 0.00265194 0.00015968 841(29x29) 0.00020704 0.00012945 0.00224684 0.00111519 0.00012945 1521(39x39) 0.00014549 0.00007915 0.00127020 0.00061632 0.00007915 2401(49x49) 0.00009342 0.00006925 0.00081095 0.00039084 0.00006925 3481(59x59) 0.00006185 0.00004326 0.00055733 0.00027023 0.00004326 4761(69x69) 0.00004319 0.00003222 0.00040767 0.00019527 0.00003222 6241(79x79) 0.00003154 0.00002255 0.00031091 0.00014985 0.00002255 7921(89x89) 0.00002343 0.00001728 0.00024447 0.00011701 0.00001728


Número de elementos Radio de integración0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

361(19x19) 0.00062898 0.00052232 0.00061187 0.00357014 0.00052232 841(29x29) 0.00031723 0.00027123 0.00027553 0.00176095 0.00027123 1521(39x39) 0.00019837 0.00016784 0.00013579 0.00089827 0.00016784 2401(49x49) 0.00011807 0.00010088 0.00007616 0.00060166 0.00010088 3481(59x59) 0.00008218 0.00006897 0.00006172 0.00039178 0.00006897 4761(69x69) 0.00005603 0.00004753 0.00004145 0.00029739 0.00004753 6241(79x79) 0.00004256 0.00003598 0.00003279 0.00021791 0.00003598 7921(89x89) 0.00003142 0.00002671 0.00002388 0.00017623 0.00002671



Conclusiones:

En este artículo se calcula el Factor de Intensidad de Esfuerzo (FIE) por medio de la Integral de Interacción acoplada con el Método de los Elementos Finitos Extendidos para resolver un problema de fractura en una placa encontrando las siguientes conclusiones. El error en el cálculo del FIE disminuye conforme se incrementa el número de elementos de la malla y se incrementa los puntos de integración de Gauss. Para este el problema se tiene un error de 0.00002388 cuando se toma un FIE de referencia de 1. Existe una disminución en el error del orden de 10 cuando se alcanza la malla de 1521 o 2401 elementos en la malla, no importando los puntos de integración. Con estos resultados se observa que la Integral de Interacción acoplada con el Método de los Elementos Finitos Extendidos es un proceso confiable para obtener el Factor de Intensidad de Esfuerzo. Referencias bibliográficas: [1] G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April 1955. [2] Matthew C. Walters. “Interaction integral procedures for 3-D curved cracks including surface tractions,” Engineering Fracture Mechanics, vol. 72, pp. 1635-1663, April 2005. [3] Yi-Heng Chen. “M-integral analysis for two-dimensional solids with strongly interacting microcracks Part I: in an infinite brittle solid,” International Journal of Solids and Structures, vol. 38, pp. 3193-3212, Sept 2001. [4] Yi-Heng Chen. “M-integral analysis for two-dimensional solids with strongly interacting microcracks. Part II: in the brittle phase of an infinite metal/ceramic biomaterial,” International Journal of Solids and Structures, vol.38, pp. 3213-3232, Sept 2001. [5] Sukumar, Moes, Belytschko. “Extended finite element method for three-dimensional crack modeling,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 48, pp. 1549-1570, Nov 2000. [6] Moes, Dolbow, Belytschko. “A finite element method for crack growth without remeshing,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 46, pp. 131- 150, Jan 1999. [7] Belytschko, T. and T. Black [1999]. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International journal for numerical methods in engineering 45, 601–620. [8] Shih, C. and R. Asaro [June 1988]. Elastic-plastic analysis of cracks on bimaterial interfaces: parti-small scale yielding. Journal of Applied Mechanics 55, 299–316. [9] Awais Ahmed [2009]. eXtended Finite Element Method(XFEM)-Modeling arbitrary discontinuities and Failure analysis, these, Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia.


Propuesta de rehabilitación y cambio de uso del Puente colgante sobre el río San Agustín. Proposal for rehabilitation and change of use of the suspension bridge over the San Agustín.

Ing. Rolando Gamez Rodes Ingeniero Civil Profesor Instructor de la Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos. Matanzas. Cuba

E-mail: [email protected] Dr. Ing. Luis R. González Arestuche

Jefe Grupo de Negocios y Mercadotecnia de la Empresa de Proyectos de Arquitectura e Ingeniería (EMPAI). Matanzas. Cuba Profesor Titular Ingeniería Civil. Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos. Matanzas. Cuba Teléfono: 29-1802 / 29-1824 ext. 204

E-mail: [email protected]

Ing. Maikel Pérez Díaz Ingeniero Civil Empresa Constructora Militar No.4. Matanzas. Cuba


RESUMEN:

El puente colgante sobre el río San Agustín, se encuentra en un estado de deterioro que impide su

posible utilización sin una intervención adecuada. En la estructura predomina la corrosión ya que es en su

totalidad metálica, algunos de los elementos de la sección transversal del tablero se encuentran

Ing. Rolando Gamez Rodes, Dr. C. Ing. Luis R. González Arestuche, Ing. Maikel Pérez Díaz. Propuesta de rehabilitación y cambio de uso del Puente colgante sobre el río San Agustín.

Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2013, vol.7 no.1 ISSN 1990-8830 / RNPS 2125

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desprendidos y otros no existen. Se propone realizar la rehabilitación de este puente ya que este es el

único de su tipo en Cuba. Inaugurado en mayo de 1872 como una obra inducida del acueducto de Bello

para abastecer a la ciudad de Matanzas, cuenta con más de 140 años manteniendo más del 90 % de sus

elementos componentes originales. De acuerdo a su tipología constructiva es un puente colgante de

acero con tensores curvos, utilizado para conducir fluidos. Como parte del análisis estructural se pretende

definir si se podría reemplazarse la conductora de 15" de diámetro por un tablero ligero de rejilla tipo

Irving, y con ello permitir el tránsito de peatonal sobre el mismo. Además de gestionar correctamente el

cambio de uso de la estructura, para tener en cuenta una nueva forma de explotación, ya que sin dudas

se convertiría en un punto de atracción turística por el alto valor paisajístico del entorno circundante, lo

cual podría ser favorable para iniciar la explotación de los recursos hídricos de la ciudad, cuyos

pobladores viven a espaldas de sus ríos y de su bahía, pudiendo integrarse esta obra con los atributos

naturales de su entorno, en una ruta turística con paseos en canoa, excursiones y otras actividades que

fomenten la protección al medio ambiente, para esta cuenca hidrográfica.

Palabras clave: Acueducto de Bello, Puente colgante, Tensores curvos, Rehabilitación.

ABSTRACT:

The hanging bridge on the river San Agustín is in a state of deterioration that impedes his possible use

without an appropriate intervention. In the structure the corrosion prevails since it is in its metallic entirety,

some of the elements of the traverse section of the board are removed and others don't exist. She intends

to be carried out the rehabilitation of this bridge since this it is the only of their type in Cuba. Inaugurated in

May of 1872 like an induced work of the aqueduct of Bello to supply to the city of Matanzas, it counts with

more than 140 years maintaining more than 90% of their original component elements. According to their

constructive typology it is a hanging bridge of steel with curved tensile, used to drive fluids. As part of the

structural analysis she seeks to be defined if you could be replaced the driver of 15 pulg of diameter by a

slight board of grill type Irving to allow the transit of people over it. Besides negotiating the change of use

of the structure correctly, to keep in mind a new form of exploitation, since without doubts she would

become a point of tourist attraction for the high landscape value of the surrounding environment, that

which could be good to begin the exploitation of the hydraulical resources of the city whose residents live

to backs of their rivers and of their bay, being able to be integrated this work with the natural attributes of

their environment, in a tourist route with walks in canoe, trips and other activities that foment the protection

to the environment, for this hydrographic bow. Keywords: Bello Aqueduct, Suspension bridge, Curved Tensioners, Rehabilitation.



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Introducción:

En Cuba no hubo un gran desarrollo de los puentes colgantes debido a su complejidad estructural y

económica. Los primeros puentes de esta tipología surgieron a partir de la fiebre azucarera de mediados

del siglo XIX, compuestos por armaduras atirantadas o constituidos por una estructura mixta, de cables

atirantados soportados por dos pórticos de hormigón armado de estos ninguno a llegado a la actualidad.

La ciudad de Matanzas ubicada entre ríos y una amplia bahía, a consecuencia del desarrollo industrial y

económico ha necesitado de obras ingenieras para salvar estos obstáculos naturales, de ahí que sea la

única urbe de Latinoamérica que cuenta con cuatro puentes centenarios en servicio pudiendo observarse

los cuatro a la misma vez, además de estos ha sido necesario construir puentes para el soporte de

tuberías, conductoras de diferentes fluidos fundamentalmente combustibles y agua potable. Sobre el río

San Agustín se encuentran situados tres puentes, que salvan el obstáculo de esta corriente permanente

de agua y que en alguna manera se relacionan con el caso en estudio: puente en la Carretera Central,

tramo Ceiba Mocha-Matanzas, puente en estiaje aledaño al puente colgante y puente del sifón para la

nueva conductora del acueducto desde los manantiales de Bello.

El Puente colgante es la obra más importante en la construcción del acueducto de Matanzas, fue creado

para que soportara la tubería de agua que abasteció a la ciudad desde su inauguración en 1872 hasta

1987. Este puente fue diseñado por el ingeniero mexicano, radicado en Matanzas, Juan Francisco

Sánchez Bárcena inspirado en el puente colgante ferroviario sobre las cataratas del Niágara proyectado

por John Augustus Roebling. Esta estructura es la única de cables aéreos colgantes conservada en

Cuba, la cual presenta un solo un tramo de 62 de luz.

Métodos de investigación empleado:

Empíricos: Inspección visual y estudio de caso.

Teóricos: Recopilación de información y modelación de la estructural. Levantamiento de los deterioros y

posibles causas.

Procedimientos para la inspección en puentes colgantes.

“Por el interés que merece la reparación de los puentes y alcantarillas de una vía, el primer paso

importante es llevar a efecto una inspección periódica y sistemática, creando un inventario de puentes,

pontones y alcantarillas en el que se definen sus características y su estado físico.” (González

Arestuche, 2011, 121).

Inspección

Durante la inspección realizada se detectó que algunos de los tirantes originales de la estructura habían

sido sustituidos por barras corrugadas de ½ pulg. Lo cual se indagó en la empresa de recursos



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hidráulicos de Matanzas que era la encargada de administrar dicha obra. Reportando que en la década

de 1970 realizó una reparación empírica sin proyecto y sin un análisis previo de la estructura,

sustituyendo parte de los elementos deteriorados en este caso los tirantes.



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Resumen de afectación por elementos componentes.



7

Análisis y modelación del estado del puente.

Este análisis se desarrolló con el objetivo de definir si era posible la sustitución de la conductora por un tablero ligero que permitiera la rigidización longitudinal de la estructura del puente así como el paso peatonal por el mismo. Se empleó para ello el método clásico para el diseño de puentes colgantes de los ingenieros y profesores de la Universidad de ILinois Fred B. Seely and Newton E. Ensign, pudiéndose realizar la revisión del mismo como un cable parabólico suspendido entre dos puntos con una carga uniformemente distribuida sobre una proyección horizontal de la curva funicular. Teniendo en cuenta la NC 733-2009 se definieron las cargas y la condición más crítica CP y CU. Se determinaron las tensiones de trabajo y las admisibles, así como los esfuerzos de trabajo y los admisibles para establecer una comparación entre estos y definir si se podía sustituir el tablero, lo cual fue favorable para la propuesta realizada. Llegando a los siguientes resultados:



8

Tc: Tensión en el centro de cable. Ta: Tensión en el apoyo del cable. Ec: Esfuerzos en el centro del cable. Ea: Esfuerzos en el apoyo del cable. q: Carga distribuida. L: 1/2 de luz del puente. ρ: Flecha.



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Propuesta de intervención.

Intervención en cimientos:

En estos es necesario realizar un descortezado en el emplazamiento de la estructura y específicamente

en los arranques de los cables o conexión con los cimientos, donde es apreciable el grado de afectación

de la estructura. Y en caso más crítico que presenta un árbol de considerable tamaño retirarlo y

determinar el grado de afectación en la cimentación.

Intervención en las torres:

Las torres de 5,3 m de altura y 2,0 m de ancho a pesar del estado de abandono y falta de mantenimiento

en que se encuentra el puente, las dos se encuentran en un estado aceptable. En este caso se propone

la aplicación de cepillo de alambre para retirar las capas de pintura y óxido, lo cual se recomienda hacer

manualmente para evitar el uso de Sand Blasting que por la ubicación del puente provocaría mayores

afectaciones al medio ambiente. Seguidamente aplicarle un inhibidor de corrosión y dos manos de pintura

anticorrosiva para su protección.

Intervención en los estribos:

Es necesario verificar si las grietas son activas o pasivas. En caso de que sean activas se limpiará la

grieta, quedando de esta forma preparada para su posterior sellado con una pasta de yeso, sirviendo así

como mecanismo de comprobación en el período de tiempo previsto, a las 72 horas, una semana y a los

15 días. En caso de ser pasiva la grieta, se aplicará el mismo procedimiento explicado anteriormente con

la única diferencia de que el sellado se realizará con mortero Cover Repar.

Intervención en los tensores:

Deben ser sustituidos los tensores defectuosos y colocar los ausentes, los que se encuentran en buen

estado, limpiarlos con cepillo metálico y aplicarles un inhibidor de corrosión y aplicarle dos manos de

pintura anticorrosiva de diferente color para su conservación.

Intervención en los elementos transversales Vigas:

Estos son los más deteriorados del puente. En este caso se propone realizar su limpieza con cepillo de

alambre, se repondrán los elementos perdidos o deteriorados y seguidamente se dará una pintura

primaria de protección que permita proteger los elementos de la corrosión.

Intervención en los cables:

Los cables se encuentran en un estado aceptable, por lo que se propone limpiarlos con un cepillo

metálico y aplicarle un inhibidor de corrosión y dos manos de pintura anticorrosiva para su protección

ante los agentes atmosféricos.



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Intervención en las mordazas:

Generalmente se encuentran en buen estado, se recomienda sustituir las más deterioradas, limpiarlas

con un cepillo metálico y aplicarle un inhibidor de corrosión y dos manos de pintura anticorrosiva para su

protección.

Conclusiones:

1. En diferentes partes del mundo los puentes constituyen un foco de atracción para visitantes, con

ello se favorece al comercio local convirtiéndose en dispositivos claves de la identidad local o en

el entorno en que se encuentran.

2. La presencia de la estructura con más de un siglo de construidos – 140 años –convierte al puente

en un invaluable tesoro del patrimonio local. De manera general, el puente se clasifica como muy

dañado, con peligros posibles de fallo estructural. Las lesiones de la estructura están asociadas a

su edad y a la ausencia total de mantenimiento.

3. El mantenimiento correctivo es el más indicado para obras como la analizada, producto al

deterioro de los elementos componentes y con una vida útil prolongada. En este caso se parte de

la máxima que es más económico conservar que construir nuevo.

Bibliografía:

ALFONSO RISCO, Maurys y GAMEZ RODES, Rolando (2012) Vindicando un patrimonio, los puentes pequeños de la ciudad de Matanzas. En Cuartilla Informativa (Informativo sobre la obra restauradora en la Habana Vieja y en Cuba) Año XVIII / Núm. 2 junio a diciembre del 2012. New York. USA.

AYUNTAMIENTO DE MATANZAS (1745, 1768 y 1789). Actas capitulares. Matanzas: Folios 46, 87 y 65, respectivamente. Archivo Histórico Provincial de Matanzas.

BABÉ RUANO, Manuel. (2006). Mantenimiento y Reconstrucción de Edificios. La Habana: Editorial Félix Varela. Segunda edición del 2006.

CUBA (1977). Ley No. 1. Ley de Protección al Patrimonio Cultural de la República de Cuba. La Habana.

CUBA (1983). Decreto Número 118 – Reglamento para la ejecución de la Ley de Protección al Patrimonio Cultural. La Habana.



11

GAMEZ RODES, Rolando (2011) Proyecto de rehabilitación y plan de conservación del puente viejo sobre el río Buey Vaca. Trabajo de Diploma en opción al título de Ingeniero Civil. Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos 2011.

GONZÁLEZ ARESTUCHE, Luis R (2001). Experiencias y métodos para la conservación de puentes de carretera en la República de Cuba. La Habana: Taller Poligráfico Pirámide Comunicación Integral del Ministerio de la Construcción, vol I y II. ISBN: 959-7116-05-7.

GONZÁLEZ ARESTUCHE, Luis R. y RECONDO PÉREZ, Ramón F (2011). El puente de cables colgantes sobre el río San Agustín. Matanzas. Revista Artística y Literaria. 2011. Año XII. No. 1. Enero-Abril 2011. p. 53. ISSN 0864-0882.

GUANCHE, Jesús (1979). Significación de la cultura popular tradicional. Revista Revolución y Cultura, nº 85. La Habana. ICOMOS (1964). Carta Internacional sobre la Conservación y la Restauración de Monumentos y de Conjuntos Histórico-Artísticos. II Congreso Internacional de Arquitectos y Técnicos de Monumentos Históricos. Venecia. Disponible en: http: // www. esicomos.org. LÓPEZ CORVALÁN, Lázaro y GONZÁLEZ ARESTUCHE, Luis R. (2009). Catálogo de daños para puentes de carretera en el municipio de Isla de la Juventud. La Habana: Facultad de Ingeniería Civil ISPJAE. p.36. NC 733-2009 Carreteras-Puentes y Alcantarillas- requisitos de diseño y método de cálculo. La Habana: ININ/ Oficina Nacional de Normalización.

SÁNCHEZ BÁRCENA, Juan F. (1863). Anteproyecto de conducción de agua para la ciudad de Matanzas. Matanzas: Archivo Histórico Provincial, Expediente 13834, Folio 24, legado 176.

SEELY, Fred B. y ENSIGN, Newton E. (1985) Mecánica Analítica para Ingenieros. La Habana: Edición revolucionaria. Instituto del libro. Tercera edición 1985


Clusterización de alto desempeño en la actividad de Diseño y Arquitectura. High performance clustering activity Design and Architecture.

Ing. Shouddy Tárano León Ingeniero Informático, Administrador de la Red Empresa de Proyectos para Industrias Varias, EPROYIV La Habana. Cuba Teléfono: 2021982 E-mail: [email protected]


RESUMEN:

La utilización de tecnologías libres y código abierto permite desplegar un clúster de renderizado que apoya en la calidad visual de los modelos 3D con elevado impacto foto-realista. La primera condicionante en el diseño es la hibridación de plataformas que el clúster debe soportar y como segunda condicionante basar los nodos de procesamiento en computadoras convencionales. Se analizan las ventajas de la solución, en contraposición con el método clásico de empleo de la estación de trabajo del modelador 3D para el proceso de renderizado. Esto ha brindado la posibilidad de una nueva línea de trabajo en la empresa donde se despliega el clúster objeto de este trabajo. A partir de un análisis de las capacidades instaladas y el empleo racional de los recursos, se logra un impacto positivo tanto en la calidad de los productos finales como en el flujo de trabajo de los diseñadores y artistas digitales.

Palabras clave: Renderizado, Modelación 3D, Código abierto, Software libre, Clúster híbrido.

ABSTRACT:

The use of Free Software and Open Source technologies allow to deploy a render cluster for supporting the visual quality of 3D models with a high photo-realistic impact. The first design condition was the “platform hybrid” nature of the processing nodes and as the second characteristic was that those nodes consisted in conventional computers. This paper analyzed the advantages of this solution versus the classic method of rendering in the modeler's workstation. The organization that built this cluster has opened a new line of work thanks to the current processing capacities. An appropriated study of resources use gives a positive impact in quality of final products as well as in the work-flow's organization of modelers and digital artists.

Keywords: Rendering, 3D modeling, Open source, Free software, Hybrid cluster.

Introducción: Renderizado (render en inglés) es un término usado en informática para referirse al proceso de generar una imagen desde un modelo tridimensionali. Este término técnico es utilizado por los animadores o productores

Ing. Shouddy Táramo León. Clusterización de alto desempeño en la actividad de Diseño y Arquitectura.


audiovisuales y en programas de diseño en 3D como Autodesk 3D Studio Max, Maya o Blender (ver Ilustración 1). Este proceso presenta un especial interés en el ámbito de la Realidad Virtual pues gracias a ello, se logra que un modelo construido mediante cualquier aplicación de Diseño Asistido por Computadora

Ilustración 1: Construcción de un modelo 3D

usando un software CAD/CAM, fuente Evermotion Archinteriors

(en lo adelante CAD) o Modelación Asistida por Computadora (en lo adelante CAM), formado por entidades geométricas fundamentales; pueda visualizarse más tarde en una imagen de elevado foto realismo (ver Ilustración 2). Las fórmulas involucradas en el renderizado ocupan un espacio perenne en la mesa de análisis tanto en las ciencias puras, como en las aplicadas. Los aportes que el avance del conocimiento y las tecnologías brindan a la representación de la realidad por medio de las computadoras; arrojan como resultado, modelos matemáticos complejos de alto costo computacional. La renderización es un proceso de cálculo intensivo y dedicado desempeñado por uno o varios ordenadores destinados a generar una imagen 2D a partir de una escena 3D. La traducción más fidedigna es “interpretación”, aunque se suele usar el término inglés. Así podría decirse que en el proceso de renderización la computadora interpreta la escena en tres dimensiones y la plasma en una imagen bidimensionali.

Ilustración 2: Renderizado del modelo construido en la Ilustración 1



Dentro de las aplicaciones del render, se encuentran: el arte digital, la representación virtual de elementos industriales que aún no se han construido como automóviles, piezas y partes, recreación de interiores y cualquier otro campo que necesite de la representación gráfica de algún objeto, fenómeno o proceso que demande el mayor realismo posible basado en las capacidades de cómputo con que se cuente. En la Empresa de Proyectos para Industrias Varias (EPROYIV) se desarrolla la actividad de realización, comprendiendo esta las labores relacionadas con el diseño de interiores y sus modalidades de proyectos:

Ideas conceptuales Proyecto básico Proyecto Ejecutivo

Estos requieren de la proyección de diseño de espacios habitacionales; existentes o no, a partir de herramientas informáticas del tipo DAC y el posterior proceso de presentación al cliente de un dossier de imágenes foto-realistas a partir del render de esas escenas 3D. Es en este momento que se explotan los aspectos arquitectónicos y de diseño en la combinación de materiales, luz y colores de cada uno de los componentes de la escena propuestos por los especialistas a fines con este tipo de trabajo. La plataforma computacional que estos trabajos requieren es alta en cuanto a prestaciones en las estaciones de trabajo. Para que los programas a emplear funcionen adecuadamente, sin detrimentos de tiempo o calidad en el proceso de proyección, se demanda de valores elevados en cuanto a capacidades de memoria RAM, tarjeta de video y microprocesador. Esto se debe a que la lógica de la representación gráfica, necesita de un cálculo intensivo y de tiempos de respuesta cortos en pos de la productividad y la eficiencia de la labor de modelado. No obstante no es hasta el proceso de render que se hace evidente que una foto-realismo elevado, implica directamente su correspondiente costo en programas y hardware. Sumado a lo anterior se debe tener en cuenta que actualmente la diversidad de aplicaciones que usan los diseñadores, ya no sólo está enmarcada por las versiones de los programas que se ejecutan en la familia de sistemas operativos de Microsoftii. Estos, como la mayoría de los usuarios, tienen ante sí aplicaciones que se encuentran en otros sistemas como los de la firma Appleiii y los más intrépidos han decidido migrar hacia la independencia tecnológica y la libertad fuera de las patentes y licencias de uso, empleando para sus computadoras el sistema operativo GNU/Linuxiv. Aunque se ha priorizado la asignación de computadoras con las mejores prestaciones posibles para el diseño de interiores y paisajismo, estas no suplen eficientemente las exigencias del trabajo con 3D. El momento de render en la estación del diseñador impide el trabajo simultáneo con otros programas impidiéndose la utilización del equipo durante el tiempo que demore el proceso, este trabajo pretende ofrecer la solución al proceso de renderizado por medio de un modelo de computación distribuidav. La limitación del render se ha evidenciado tanto fuera como dentro del país. Para un equipo de diseñadores, sujeto a plazos de entrega muy estrictos, el hecho de no poder disponer de las máquinas mientras las imágenes se generan implica un coste elevado, tanto en recursos como en calidadvi. A veces los tiempos de procesamiento entran en conflicto y se superponen con los tiempos efectivos de modelado. O no es suficiente el tiempo físico restante para completar el render de todos los marcos de imagen del proyecto.vii Este trabajo tiene como objetivo presentar los resultados, sobre la base del diseño de un cluster híbrido de computadoras para la solución del proceso de render de los proyectos de realización 3D en la EPROYIV .

Métodos y materiales:

Para la construcción de este clúster de computadoras híbrido se procedió a la selección de los medios de cómputo que intervendrán en el mismo, así como los dispositivos de interconexión necesarios. Es importante destacar que todos los artefactos empleados son computadoras y medios convencionales que, como norma; se encuentran en cualquier entidad dedicada a proyectos, se recomienda identificar los requerimientos de memoria RAM y procesador para los nodos integrantes del cluster, ver Tabla 1. La capacidad de estos nodos de soportar a la vez múltiples sistemas operativos viene dada por la posibilidad que brindan las técnicas de virtualizaciónviii, las cuales permiten dado una computadora personal física, desplegarla en múltiples computadoras virtuales. Las técnicas de virtualización son variasviii,ix, no obstante dado lo encontrado en el estado del arte, este estudio se centró en implementar la virtualización a partir de la técnica de virtualización completa pero en ejecución nativax,xi, característica presente en los procesadores actuales la cual reduce considerablemente la diferencia entre las llamadas del sistema



En la tabla a continuación se detallan esas características dependientes del microprocesador. Recurso Características Observaciones

Memoria RAM 4 GB La RAM estará condicionada por cuánto se leasignará a cada máquina virtual dentro del nodofísico + 1 GB del sistema anfitrión

Microprocesador Intel: 2 núcleos o más Se recomienda que estos soporten tecnologíaVanderpoolxii

AMD: 2 núcleos o más Se recomienda que estos soporten tecnología Pacíficaxii

Tabla 1: Relación básica de la infraestructura de Hardware para un nodo de procesamiento

Entorno de aplicaciones Cada nodo anfitrión se instaló con el sistema operativo Centos 5.5xiii de 64 bits sobre un hardware que soporta tecnología Vanderpool debido al Microprocesador Intel E-2180 en su arquitectura. Otra observación fue la inclusión de 2 tarjetas de Red adicionales las cuales corresponderán a las diferentes conexiones que, según exigencias de cada aplicación a clusterizar, se requerirán. De disco duro se empleó un Fujitsu de 160 GB Los nodos virtuales se concibieron con los siguientes requerimientos semejantes a la PC de un especialista de diseño: RAM = 1,5GB, HDD = 20 GB, No. Procesadores = 2 El primer nodo se le instaló un Centos 5.5 de 64 bits y en otro un Windows XP de 64 bits también. La aplicación que se empleó para el render distribuido en los nodos virtuales Centos fue DrQueuexiv. Esta aplicación permite montar un clúster de renderizado con cola de administración de trabajos que los usuarios pueden enviar a través de una interfaz Web como se muestra en la Ilustración 3 e Ilustración 4 a continuación. Este entorno es propicio para el empleo de la aplicación Blenderxv y sus respectivos motores de renderizado.

Para las aplicaciones de MS Windows como 3D Studio, Maxwell Render, Maya y Adobe Premiere se emplearon las propias colas que traen las mismas. Las mediciones que se muestran a continuación son casos prácticos del desempeño de las mismas en la infraestructura del clúster.

Ilustración 1: Entrada a la aplicación DrQueue Ilustración 2: Manejo de la cola de trabajos por usuario



En la Ilustración 5 se muestra la interconexión de los nodos respecto a la Red de Área Local de EPROYIV.

Con este modelo de computación distribuida, se tiene que el especialista puede desarrollar su escena en 3D empleando el software de CAD establecido tanto para Microsoft Windows o GNU/Linux; y luego enviar múltiples tareas al clúster para su renderizado asimismo podrá contar con una plataforma adecuada y versátil para realizar varias pruebas en un corto plazo de tiempo antes de enviar el producto final al cliente sin que ello atente contra la operatividad de su estación de trabajo. Con la solución propuesta, se realizó una serie de comparaciones de 3 modelos en cuanto a tiempo de render en la PC del especialista contra el valor de tiempo con el empleo del clúster, los resultados se muestran a continuación.

Ilustración 4: Vista de render del modelo 2 Ilustración 7: Vista de render del modelo 1

Ilustración 3: Modelo de Conexión de los nodos del clúster

Ilustración 5: Vista de render del modelo 3



Resultados y discusión:

Tabla 2: Tiempos de Render (minutos) por modelos, por entorno de renderizado, *No Medible, referente a que no se pudo determinar porque el proceso se abortó en la PC por falta de capacidad, se empleó un valor aproximado multiplicado por 3 el tiempo del clúster.

Los resultados demuestran la factibilidad del proceso de render a partir de un clúster para el trabajo de renderizado en diseño y realización 3D. De esta manera los nodos de cálculo, liberan de esto a la PC del especialista, permitiendo a éste contar con la posibilidad de continuar trabajando en la estación de trabajo mientras la tarea es completada en el clúster. Esto permite un mejor aprovechamiento del tiempo y calidad en el renderizado al poder elevar los parámetros que representan los materiales en las superficies de los objetos 3D de la escena, así como una expansión de las capacidades de la PC del diseñador para permitir un despliegue más rico en la actividad de creación estética del lugar que se modela en cuestión.

Conclusiones y Recomendaciones:

Este trabajo demuestra la ventaja de la construcción de un clúster híbrido de computadoras para el renderizado de modelos tridimensionales. El empleo de la computación distribuida puede dar al traste con un uso más adecuado de los recursos que se tienen a mano en las entidades, así como la posibilidad de fomentar la modernización justificada y oportuna de estos en los lugares que realmente lo requieran a partir de conocer las características de la carga computacional demandada.

Ilustración 6: Comparativa entre los modelos, por tiempo de render

Tiempo PC especialista (min)Tiempo en el Cluster (min)

0

50

100

150

200

Tiempos de Render

123

Modelos

Tiem

pos



Referencias bibliográficas:

i Renderizado o Renderización, disponible en URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Renderizado, visitado

10/05/2011 ii Sitio oficial de la empresa Microsoft, disponible en URL: http://www.microsoft.com , visitado 10/11/2012 iii Sitio oficial de la empresa Apple Computers, disponible en URL: http://www.apple.com , visitado

10/11/2012 iv Sitio oficial del proyecto GNU, disponible en URL: http://www.gnu.org , visitado 09/09/2012 v Computación Distribuida, disponible en URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3n_distribuida

visitado 29/05/2011 vi SummuS Render, Empresa dedicada a la Representación 3D, España, sitio disponible en URL:

http://www.summus.es/ visitado 15/05/2010 vii Información de CAD, GIS y negocios relacionados, Chile viii Virtualización, disponible en URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Virtualizaci%C3%B3n , visitado 02/10/2012 ix García Diéguez, David y cols. Comparativa De Virtualización , Escola Superior de Enxeñería Informática x Xen and the Art of Virtualization, disponible en URL: http://www.cl.cam.ac.uk/netos/papers/2003-

xensosp.pdf , visitado 15/05/2010 xi Xen, Wikipedia, disponible en URL http://es.wikipedia.org/wiki/Xen xii Virtualización x86, disponible en URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Virtualizaci%C3%B3n_x86 , visitado

02/10/2012 xiii Sitio oficial de la distribución Centos, disponible en URL: http://www.centos.org , visitado en URL:

02/11/2012 xiv Wiki oficial de DrQueue, disponible en URL: https://ssl.drqueue.org/redmine/projects/drqueue/wiki ,

visitado 02/10/2011 xv Blender Foundation, Sitio oficial de Blender, disponible en URL: http://www.blender.org/ visitado

02/11/2011

revista de arquitectura e ingenierÍa

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