reticulados via polinomios de grau 2 e 3ˆ - fc.unesp.br · reticulados via polinomios de grau 2 e...
TRANSCRIPT
ISSN 2316-9664Volume 10, dez. 2017
Edicao Ermac
Carina AlvesUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Rio [email protected]
Cintya Wink de OliveiraBeneditoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Sao Joao da Boa [email protected]
William Lima da Silva PintoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Rio [email protected]
Reticulados via polinomios de grau 2 e 3Lattices via polynomials of degree 2 and 3
ResumoA teoria de reticulados algebricos tem ganhado destaque nos ultimosanos devido as aplicacoes na Teoria da Informacao, mais especifica-mente, constelacoes de sinais tendo uma estrutura de reticulados temsido usada como suporte para a transmissao de sinais sobre os canaisgaussiano e com desvanecimento do tipo Rayleigh. O problema de en-contrar boas constelacoes de sinais para um canal gaussiano esta asso-ciado a procura por reticulados com alta densidade de empacotamento,que e a proporcao do espaco Rn coberta pela uniao de esferas de mesmoraio de forma que a interseccao de quaisquer duas esferas tenha nomaximo um ponto. Os reticulados de maior densidade de empacota-mento sao conhecidos apenas nas dimensoes 1 a 8 e 24. Assim, nestetrabalho propomos uma construcao de reticulados que tem a melhordensidade de empacotamento nas dimensoes 2 e 3. Para isso, fazemoso uso de polinomios de grau 2 e 3 sobre Q.
Palavras-chave: Reticulados. Polinomios. Densidade de empacota-mento. Norma mınima. Raızes.
AbstractThe algebraic lattice theory has won featured in recent years due to theapplications in the Information Theory, more specifically, signal cons-tellations having a lattice structure have been used as support for trans-mitting signals over the Gaussian and Rayleigh fading channels. Theproblem of finding good constellations of signals to a Gaussian chan-nel is associated with the search for lattices with high packing density,which is the proportion of the space Rn covered by the union of sphe-res of the same radius so that the intersection of any two spheres has amaximum of one point. The lattices having the highest packing densityare known only in the dimensions 1 to 8 and 24. Thus, in this work wepropose a construction of lattices that have the best packing density indimensions 2 and 3. For this, we make use of polynomials of degree 2and 3 over Q.
Keywords: Lattices. Polynomials. Packing density. Minimum norm.Roots.
Iniciação Científica
1 Introducao
Um dos parametros para se encontrar bons codigos corretores de erros esta ligado ao pro-blema do empacotamento de esferas, que surgiu a partir do 18o Problema de Hilbert, que e umaforma de dispor esferas no espaco euclidiano de modo a cobrir a maior parte do espaco. Esteproblema e denominado de empacotamento esferico, e quando o conjunto de centros das esferasformam um subgrupo discreto do Rn, estes empacotamentos passam a se chamar empacotamen-tos reticulados. A partir daı, passaram a associar o estudo dos codigos aos reticulados e surgiramvarias famılias de reticulados. Dentre tais famılias destaca-se a famılia dos reticulados que saoobtidos via o homomorfismo de Minkowski. Pode-se mostrar que a imagem de tal homomorfismoquando aplicado no anel dos inteiros de um corpo de numeros ou em um ideal no anel dos intei-ros de um corpo de numeros e um reticulado no Rn. Posteriormente surgiram perturbacoes destehomomorfismo de modo a obter outras famılias de reticulados. Um outro metodo ainda poucoexplorado de obter reticulados que sera apresentado neste trabalho, consiste em obter reticula-dos via polinomios irredutıveis sobre o corpo dos racionais. Assim, neste trabalho apresentamosconstrucoes de versoes rotacionadas dos reticulados A2 e D3, a partir de polinomios f (x) de grau2 e g(x) de grau 3, respectivamente. Consideramos o caso em que f (x) e g(x) possuem raızes re-ais e f (x) possui raızes complexas. O metodo utilizado neste trabalho foi proposto em [1], poremadaptacoes nas demonstracoes de alguns resultados e novos exemplos foram considerados.
2 Reticulados
Nesta secao faremos um breve estudo sobre os reticulados, definindo-os e apresentando suasprincipais propriedades.
Definicao 1 Sejam {v1,v2, ...,vm} vetores linearmente independentes do Rn. O conjunto de pon-tos
Λ =
{x =
m
∑i=1
λivi,λi ∈ Z
}e chamado reticulado de dimensao m e {v1,v2, ...,vm} e chamado de base do reticulado.
Exemplo 2 O reticulado Λ = A2 e gerado pelos vetores e1 = (1,0), e2 = (−12 ,√
32 ) e e chamado
de reticulado hexagonal.
Definicao 3 Seja {v1, . . . ,vm} uma base de um reticulado. O paralelepıpedo formado pelos pon-tos
λ1v1 + · · ·+λmvm, 0≤ λi < 1
e chamado de paralelepıpedo fundamental ou regiao fundamental do reticulado.
Definicao 4 Seja {v1, . . . ,vm} uma base de Λ. Se vi = (vi1, . . . ,vin), para i = 1, · · · ,m, a matriz
M =
v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n
. . .vm1 vm2 . . . vmn
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
40
e chamada de matriz geradora do reticulado Λ. A matriz G = MMt e chamada de matriz deGram do reticulado, onde t denota a transposicao.
Assim, os pontos do reticulado sao formados por
Λ = {x = λM | λ ∈ Zm}.
Definicao 5 O determinante do reticulado Λ e definido como sendo o determinante da matriz G,ou seja,
det(Λ) = det(G).
Um reticulado Λ e dito ter posto maximo se m = n, e neste caso M e uma matriz quadrada.Assim,
det(Λ) = (det(M))2.
Definicao 6 Para reticulados de posto maximo, a raiz quadrada do determinante do reticulado eo volume da regiao fundamental, tambem chamado volume do reticulado, e denotado por Vol(Λ).
E importante observar que o mesmo reticulado pode ser representado por mais de umamatriz, e o fato de dois reticulados terem o mesmo determinante nao e suficiente para que elessejam isomorfos.
Definicao 7 Um empacotamento esferico, ou simplesmente um empacotamento no Rn, e umadistribuicao de esferas de mesmo raio no Rn de forma que a intersecao de quaisquer duas esferastenha no maximo um ponto. Um empacotamento reticulado e um empacotamento em que oconjunto dos centros das esferas formam um reticulado Λ no Rn. Alem disso, ρ = min{|v|; v ∈Λ, v 6= 0}/2 e o maior raio para o qual e possıvel distribuir esferas centradas nos pontos de Λ eobter um empacotamento, este raio e entao chamado de raio de empacotamento.
Seja Λ ⊂ Rn um reticulado e denotemos por B(ρ) a esfera com centro na origem e raio ρ,podemos obter uma expressao para calcular a densidade de empacotamento de Λ. Temos que
∆(Λ) =volume da regiao coberta por uma esfera
volume da regiao fundamental=
Vol(B(ρ))Vol(Λ)
=Vol(B(1))(ρ)n
Vol(Λ).
Como o valor de Vol(B(1)) e conhecido, podemos reduzir nosso estudo ao calculo deρn
Vol(Λ)que definiremos a seguir.
Definicao 8 Seja Λ⊂ Rn um reticulado. Definimos a densidade de centro de Λ por
δ (Λ) =ρn
Vol(Λ),
onde ρ e o raio de empacotamento de Λ e Vol(Λ) seu volume.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
41
Um dos problemas de empacotamento esferico de um reticulado no Rn e encontrar o empaco-tamento com maior densidade de centro. Na dimensao um, temos que os pontos de coordenadasinteiras da reta formam um Z-reticulado cuja a densidade de centro e a melhor possıvel dada porδ = 1.
Na dimensao dois o reticulado hexagonal A2 (favo de mel) e o de maior densidade de centro,
dada por δ =1√12≈ 0,28868.
Na dimensao 3 o reticulado conhecido como f cc, (face centered cubic) e o de maior densidade
de centro, sendo essa δ =1√32≈ 0,17678.
E conhecido e provado que as densidades de centro dos reticulados A1, A2, D3,D4, D5, E6, E7, E8 e Λ24, de dimensoes 1 a 8 e 24, respectivamente, sao otimas. Para outrasdimensoes nao se sabe as otimas.
3 Reticulados de dimensao 2 via polinomios de grau 2 com raızes reais
O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 2 via po-linomios de grau 2 com duas raızes reais. O Teorema 13 mostrara que e possıvel obter versoesrotacionadas do reticulado A2, que como vimos, e o reticulado mais denso na dimensao 2.
Seja f (x) = x2 +ax+b um polinomio de grau 2 monico e com coeficientes inteiros e sejamα,β ∈ R as raızes de f . Como queremos que α e β sejam reais devemos ter
∆ = a2−4b > 0.
A partir das raızes α e β , podemos definir um reticulado Λ f ⊆ R2 gerado pela base {v1,v2},onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que uma matriz geradora de Λ f sera dada por
M =
(α β
β α
). (1)
Sendo ρ o raio de empacotamento do reticulado Λ f segue da Definicao 6 e da Definicao 8,que a densidade de centro de Λ f e dada por
δ (Λ f ) =ρ2
Vol(Λ f )=
ρ2
|det(M)|.
Assim, para calcularmos a densidade de centro de Λ f precisamos encontrar expressoes para ocalculo de ρ e de det(M). O resultado que veremos a seguir nos da uma expressao para o modulodo determinante da matriz M.
Proposicao 9 ([1]) Seja f (x) = x2 + ax+ b um polinomio monico com coeficientes inteiros esejam α e β as duas raızes reais de f . Se Λ f e o reticulado com matriz geradora M dada em (1),entao o modulo do determinante da matriz M e dado por
|det(M)|= |a|√
∆, onde ∆ = a2−4b.
Exemplo 10 Sejam f (x) = x2− 4x+ 2 um polinomio de grau 2 com raızes reais α e β . Temosque ∆ = (−4)2−4.1.2 = 8 > 0. Assim, se Λ f e o reticulado com base {(α,β ),(β ,α)} e matrizgeradora M como em (1), segue pela Proposicao 9 que
|det(M)|= |a|√
∆ = 4√
8 = 8√
2.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
42
Pela Definicao 7, vimos que o maior raio de empacotamento de um reticulado Λ e ρ =min{|v|; v ∈ Λ, v 6= 0}/2. Assim, para que tenhamos um raio de empacotamento maximo de-vemos encontrar um vetor de Λ f cuja norma seja mınima. A seguir, veremos uma expressao parao calculo da norma de um vetor qualquer de Λ f .
Proposicao 11 Se f (x) = x2 + ax+ b ∈ Z[x] com raızes reais α e β , Λ f e o reticulado de di-mensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α), e v ∈ Λ f , tal que v =z1v1 + z2v2, com z1,z2 ∈ Z, entao,
|v|2 = a2(z12 + z2
2)−2b(z1− z2)2.
Demonstracao: Temos que:
|v|2 = v · v = z21v2
1 +2z1z2v1v2 + z22v2
2.
Observe que, para i = 1,2, segue que
v2i = vi · vi = α
2 +β2
=
(−a+
√∆
2
)2
+
(−a−
√∆
2
)2
=a2−2a
√∆+∆
4+
a2 +2a√
∆+∆
4
=a2∆
2= a2−2b,
e
v1 · v2 = 2αβ
= 2
(−a+
√∆
2
)·
(−a−
√∆
2
)
=a2−∆
2= 2b
Assim,
|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2
2)+2(2b)z1z2= a2(z2
1 + z22)−2b(z2
1 + z22− z1z2)
= a2(z12 + z2
2)−2b(z1− z2)2
como querıamos .Agora que temos uma expressao para calcular a norma de um vetor de Λ f resta saber onde
este vetor atinge norma mınima e daı teremos o raio de empacotamento do reticulado e portantopodemos calcular efetivamente a densidade de centro do reticulado Λ f . Nestas condicoes, adensidade de centro de Λ f e dada por
δ (Λ f ) =
(√ψ12
)2
| a |√
∆, (2)
onde ψ1 = min{v = a2(z21 + z2
2)−2b(z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
43
Exemplo 12 Nas condicoes do Exemplo 10, seja v= z1v1+z2v2 ∈Λ f . Pela Proposicao 11 segueque
|v|2 = 16(z21 + z2
2)−4(z1− z2)2
e, este vetor assume valor mınimo 12 quando tomamos z1 = 1 e z2 = 0. Logo, a densidade decentro do reticulado Λ f e dada por
δ (Λ f ) =(√
122 )2
8√
2=
38√
2∼= 0,2651.
Vimos que o reticulado A2 e o reticulado mais denso na dimensao 2, cuja densidade de centroe δ (A2) ∼= 0,28868. No resultado a seguir apresentamos uma condicao sobre os coeficientes dopolinomio f para que o reticulado Λ f tenha a mesma densidade de centro do reticulado A2.
Teorema 13 ([1]) Sejam f (x) = x2 + ax+ b ∈ Z[x] com raızes reais α e β , Λ f o reticulado dedimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Se a2
6 = b, entao Λ f possuia maior densidade de centro possıvel para dimensao 2.
Demonstracao: Seja f (x) = x2 + ax+ b, a,b ∈ Z tal que a2
6 = b e seja v = z1v1 + z2v2, comz1,z2 ∈Q um vetor de Λ f . Pela Proposicao 11 temos que
|v|2 = a2(z12 + z2
2)−2b(z1− z2)2
= 6b(z12 + z2
2)−2b(z1− z2)2.
Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo 4b quando z1 = 1 e z2 = 0. Logo,
ψ1 = min{v = 6b(z21 + z2
2)−2b(z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}= 4b. (3)
Agora, pela Proposicao 9 temos
|det(M)|= |a|√
a2−4b =√
6b√
2b = 2√
3b. (4)
Logo, por (2), (3) e (4) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por
δ (Λ f ) =(√
4b2 )2
2√
3b=
b2√
3b=
12√
3∼= 0,28868,
que e a mesma densidade de centro do reticulado A2. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 2.
Observe que a partir do Teorema 13, obtemos uma famılia de reticulados de dimensao 2 comdensidade de centro otima, basta que o coeficiente a do polinomio f (x) = x2 + ax+ b divida 6,ou seja, tomando a =±6,12,18,24, ... teremos a condicao satisfeita. A seguir, explicitamos estaconstrucao para a =−6 e a = 12.
Exemplo 14 Sejam f (x) = x2− 6x+ 6, α,β ∈ R as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , ondev1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que
|v|2 = 36(z12 + z2
2)−12(z1− z2)2,
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
44
que assume o valor mınimo 24. Temos ainda que
|det(M)|= |a|√
a2−4b = 6√
12 = 12√
3.
Portanto,
δ (Λ f ) =(√
242 )
12√
3=
2448√
3=
12√
3,
que e a densidade otima para dimensao 2.
Exemplo 15 Sejam f (x) = x2 +12x+24, α,β ∈ R as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , v1 =(α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que
|v|2 = 144(z12 + z2
2)−48(z1− z2)2
assume valor mınimo 48. Temos ainda que,
|det(M)|= |a|√
a2−4b = 12√
12 = 24√
3.
Com isso
δ (Λ f ) =(√
482 )
12√
3=
122√
3=
12√
3,
que e a densidade otima para dimensao 2.
4 Reticulados de dimensao 2 via polinomios de grau 2 com raızes complexas conjugadas
O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 2 via po-linomios de grau 2 com duas raızes complexas conjugadas. O Teorema 20 mostrara que e possıvelobter reticulados que sao versoes rotacionadas do reticulado A2 utilizando tais polinomios.
Seja f (x) = x2+ax+b, um polinomio monico com coeficientes inteiros e γ1,γ2 ∈C as raızesde f . Como queremos que f nao tenha reais devemos ter
∆ = a2−4b < 0.
Consideremos γ1 = α + iβ e γ2 = α − iβ , com α,β ∈ R e β 6= 0 as raızes de f . Podemosdefinir Λ f ⊂ R2 um reticulado gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (α,−β ).Temos que uma matriz geradora de Λ f sera dada por
M =
(α β
α −β
). (5)
Da mesma forma como no caso anterior, queremos encontrar expressoes para o calcular ρ
e det(M), para poder calcular a densidade de centro destes reticulados. No resultado a seguirveremos uma expressao para o calculo de |det(M)|.
Proposicao 16 ([1]) Se f (x) = x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas α± iβ , α,β ∈R, β 6= 0e M e a matriz dada em (5), entao o modulo do determinante de M e dado por
|det(M)|= |a|√−∆
2, onde ∆ = a2−4b < 0.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
45
Exemplo 17 Sejam f (x) = x2+x+2 um polinomio de grau 2 com raızes complexas conjugadasα + iβ ,α− iβ ∈ C. Temos que: ∆ = 12−4.1.2 =−7 < 0. Assim, se Λ f e o reticulado com base{(α,β ),(α,−β )} e matriz geradora M, segue pela Proposicao 16 que
|det(M)|= |a|√−∆
2=
√7
2.
Vejamos agora um resultado que nos da uma expressao para o calculo da norma de um vetorde Λ f .
Proposicao 18 ([1]) Se f (x)= x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas conjugadas α±iβ , α,β ∈R, β 6= 0, Λ f e o reticulado de dimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) ev2 = (α,−β ), e v ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2, com z1,z2 ∈Q, entao,
|v|2 = a2
4(z1 + z2)
2 +4b−a2
4(z1− z2)
2.
Demonstracao: Sejam γ1 = α + iβ e γ2 = α − iβ , com α,β ∈ R e β 6= 0 as raızes de f ev = z1v1 + z2v2, com v1 = (α,β ), v2 = (α,−β ) e z1,z2 ∈Q. Temos que
v = z1(α,β )+ z2(α,−β ) = (α(z1 + z2),β (z1− z2)).
Logo,
|v|2 = α2(z1 + z2)
2 +β2(z1− z2)
2
=
(−a2
)2
(z1 + z2)2 +
(√−∆
2
)2
(z1− z2)2
=a2
4(z1 + z2)
2 +4b−a2
4(z1− z2)
2,
como querıamos mostrar.A partir das Proposicoes 16 e 18, a densidade de centro do reticulado Λ f e dada por
δ (Λ f ) =
(√ψ22
)2
a√−∆
2
, (6)
onde ψ2 = min{v = a2
4 (z1 + z2)2 + 4b−a2
4 (z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}.
Exemplo 19 Nas condicoes do Exemplo 17, seja v = z1v1+z2v2 ∈Λ f . Pela Proposicao 18 segueque
|v|2 = (z1 + z2)2 +7(z1− z2)
2
4e, este vetor assume o valor mınimo 1 quando tomamos z1 = 1 e z2 = 1. Portanto, a densidadede centro do reticulado Λ f e dada por
δ (Λ f ) =
(12
)2∣∣∣√72
∣∣∣ = 12√
7∼= 0,18898.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
46
Com o seguinte teorema, temos novamente um famılia de reticulados de posto 2 com densi-dade de centro otima.
Teorema 20 ([1]) Sejam f (x)= x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas conjugadas α±iβ , α,β ∈R, β 6= 0, Λ f o reticulado de dimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 =(α,−β ). Se f satisfaz a condicao a2 = b, entao o reticulado Λ f possui densidade de centrootima.
Demonstracao: Seja f (x) = x2 + ax+ b, a,b ∈ Z tal que a2 = b e seja v = z1v1 + z2v2, comz1,z2 ∈Q um vetor de Λ f . Pela Proposicao 18 temos que
|v|2 =a2
4(z1 + z2)
2 +4b−a2
4(z1− z2)
2
=b4(z1 + z2)
2 +3b4(z1− z2)
2.
Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo b quando z1 = 1 e z2 = 0. Logo,
ψ2 = min{
v =a2
4(z1 + z2)
2 +4b−a2
4(z1− z2)
2 | z1,z2 ∈ Z}= b. (7)
Agora, pela Proposicao 16 temos
|det(M)|= |a|√−(a2−4b)
2=√
b√
3b = b√
3. (8)
Por, (6), (7) e (8) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por
δ (Λ f ) =(√
b2 )2
b√
3=
b2b√
3=
12√
3∼= 0,28868,
que e a mesma densidade de centro do reticulado A2. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 2.
Como vimos no Teorema 20, fazendo a2 = b no polinomio f (x) = x2 + ax+ b com raızescomplexas conjugadas obtemos uma famılia de reticulados em dimensao 2 com a mesma densi-dade de centro do reticulado A2. A seguir explicitaremos esta construcao para a =−2.
Exemplo 21 Sejam f (x) = x2−2x+4, α± iβ ∈ C as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , ondev1 = (α,β ) e v2 = (α,−β ). Temos que
|v|2 = 22
4(z1 + z2)
2 +4.4−4
4(z1− z2)
2,
que assume o valor mınimo 4, quando z1 = 1 e z2 = 0. Alem disso,
|det(M)|= |a|√−(a2−4b)
2=|−2|
√12
2=√
12.
Portanto,
δ (Λ f ) =
(√4
2
)√
12=
1√12∼= 0,28868,
que e a densidade otima para dimensao 2.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
47
5 Reticulados de dimensao 3 via polinomios de grau 3 com raızes reais
O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 3 via po-linomios de grau 3 com 3 raızes reais. O Teorema 27 mostrara que e possıvel obter reticuladosque sao versoes rotacionadas do reticulado D3 via tais polinomios, que como vimos e o reticuladocom a melhor densidade de centro na dimensao 3.
Seja f (x)= x3+ax2+bx+c um polinomio monico com coeficientes inteiros e sejam α,β ,γ ∈C as raızes de f . Queremos que f possua somente raızes reais. Iniciamos mostrando um resul-tado que nos garante esta condicao.
Proposicao 22 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros. Para que as raızes de f sejam reais e necessario e suficiente que
a2−3b > 0 e (√
a2−3b)3 >
∣∣∣∣2a2−9ab+27c2
∣∣∣∣ .Demonstracao: Uma condicao necessaria e suficiente para que as raızes de f sejam todas reais eque sua derivada se anule em dois pontos distintos e que a funcao f aplicada nestes pontos tenhamsinais distintos. Assim, se f (x) = x3+ax2+bx+c, com a,b,c∈Z temos que sua derivada e dadapor f ′(x) = 3x2 +2ax+b cujas raızes sao
x1 =−a−
√a2−3b
3e x2 =
−a+√
a2−3b3
.
Daı, segue que a2−3b > 0 deve ser um numero positivo. Agora,
f (x1) = x21 +ax2
1 +bx1 + c
=
(−a−
√a2−3b
3
)3
+a
(−a−
√a2−3b
3
)2
+b
(−a−
√a2−3b
3
)+ c
=127
(2a3 +2(√
a2−3b)3−9ab+27c)
e, portanto, f (x1)> 0 se, e somente se,
(√
a2−3b)3 >2a2−9ab+27c
2.
Analogamente,
f (x2) =1
27(2a3 +2(
√a2−3b)3−9ab+27c)
e, portanto, f (x2)< 0 se, e somente se,
(√
a2−3b)3 >2a2−9ab+27c
2.
Logo, para que as raızes de f sejam reais devemos ter
a2−3b > 0 e (√
a2−3b)3 >
∣∣∣∣2a2−9ab+27c2
∣∣∣∣ ,
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
48
como querıamos.Sejam α,β ,γ ∈R as raızes de f (x) = x3+ax2+bx+c∈Z[x] que satisfazem as condicoes da
Proposicao 22. Podemos definir Λ f ⊂ R3 como o reticulado gerado pela base {v1,v2,v3}, ondev1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ) e v3 = (β ,γ,α). Temos que uma matriz geradora de Λ f sera
M =
α β γ
γ α β
β γ α
(9)
e sua densidade de centro sera dada por:
δ (Λ f ) =ρ3
|det(M)|,
onde ρ e o raio de empacotamento de Λ f .Da mesma forma como para dimensao 2, queremos encontrar expressoes para o calcular ρ e
det(M). No resultado a seguir veremos uma expressao para o calculo de det(M).
Proposicao 23 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros e sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se Λ f e o reticuladoobtido a partir de f com matriz geradora M como dada em (9), entao o modulo do determinantede M e dado por
|det(M)|= |a(a2−3b)|.
Demonstracao: Temos que o determinante de M sera dado por
det(M) = α3 +β
3 + γ3−3αβγ.
Das relacoes de Girard segue que: α +β + γ =−a
αβ +αγ +βγ = bβγα =−c
,
assim,(α +β + γ)2 = α
2 +β2 + γ
2 +2(αβ +αγ +βγ) = a2,
logo,α
2 +β2 + γ
2 = a2−2b. (10)
Como α +β + γ = −a, multiplicando o lado esquerdo da Equacao (10) por α +β + γ e o ladodireito por −a teremos
α3 +β
3 + γ3 +αβ
2 +βα2 +βγ
2 + γα2 + γβ
2
= α3 +β
3 + γ3 +αβ (α +β )+αγ(α + γ)+βγ(β + γ)
= α3 +β
3 + γ3−αβ (γ +a)−αγ(β +a)−βγ(α +a)
= α3 +β
3 + γ3−3αβγ−a(αβ +αγ +βγ)
= −a(a2−2b).
Logo,α
3 +β3 + γ
3−3αβγ =−a(a2−2b)+ab =−a3 +3ab.
Portanto, |det(M)|= |a(a2−3b)| o que prova a proposicao.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
49
Exemplo 24 Sejam f (x) = x3−9x2+23x−15 um polinomio de grau 3 com raızes reais α,β ,γ .Se Λ f e o reticulado com base {v1,v2,v3} e matriz geradora M, segue pela Proposicao 23 que
|det(M)|= |a(a2−3b)|= 108.
Agora, veremos um resultado que nos dara uma expressao para o calculo da norma de umvetor de Λ f .
Proposicao 25 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros e sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se Λ f e o reticuladode dimensao 3 gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ), v3 = (β ,γ,α), ev ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2 + z3v3, com z1,z2,z3 ∈Q. Entao,
|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2
2 + z23)+2b(z1z2 + z1z3 + z2z3).
A partir das Proposicoes 23 e 25, a densidade de centro do reticulado Λ f e dada por
δ (Λ f ) =
(√ψ32
)3
|a(a2−3b)|, (11)
onde ψ3 = min{v = (a2−2b)(z21 + z2
2 + z23)+2b(z1z2 + z2z3 + z1z3) | z1,z2,z3 ∈ Z}.
Exemplo 26 Nas condicoes do Exemplo 24, seja v = z1v1 + z2v2 + z3v3 ∈ Λ f . Pela Proposicao25 segue que
|v|2 = 35(z21 + z2
2 + z23)+46(z1z2 + z1z3 + z2z3)
e, este vetor assume o valor mınimo 24 quando tomamos z1 = 1 , z2 = −1 e z3 = 0. Portanto, adensidade de centro do reticulado Λ f e dada por
δ (Λ f ) =(√
6)3
108=
√6
18.
Teorema 27 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes inteirose sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se f satisfaz(a
2
)2= b e c(27c+4a3−18ab)< 0,
entao o reticulado Λ f gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ) e v3 =(β ,γ,α), possui densidade de centro otima.
Demonstracao: Pela Proposicao (25) temos que
|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2
2 + z23)+2b(z1z2 + z1z3 + z2z3)
= 2b(z21 + z2
2 + z23 + z1z2 + z1z3 + z2z3).
Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo 2b quando z1 = 1 e z2 = z3 = 0. Logo,
ψ3 = min{v = (a2−2b)(z21 + z2
2 + z23)+2b(z1z2 + z2z3 + z1z3) | z1,z2,z3 ∈ Z}= 2b. (12)
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
50
Agora, pela Proposicao 23, temos
|det(M)|= |a(a2−3b)|= |ab|. (13)
Por, (11), (12) e (13) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por
δ (Λ f ) =(√
2b2 )3
|ab|=
14√
2∼= 0,17678,
que e a mesma densidade de centro do reticulado D3. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 3.
Exemplo 28 Sejam f (x) = x3− 6x2 + 9x− 1 com raızes reais α,β ,γ , Λ f um reticulado de di-mensao 3 gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ), v3 = (β ,γ,α), ev ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2 + z3v3, com z1,z2,z3 ∈Q. Temos que
|v|2 = 18(z21 + z2
2 + z23)+18(z1z2 + z1z3 + z2z3),
que assume o valor mınimo 18, quando z1 = 1 e z2 = z3 = 0. Temos ainda que
|det(M)|= |a(a2−3b)|= 54.
Portanto,
δ (Λ f ) =3√
22
54=
√2
8=
14√
2∼= 0,17678,
que e a densidade de centro otima para essa dimensao.
6 Consideracoes Finais
Neste trabalho foi apresentado uma maneira de se construir os reticulados A2 e D3 via po-linomios. Existem outras maneiras de se construir tais reticulados, por exemplo, atraves do ho-momorfismo de Minkowski, entretanto, construir reticulados utilizando polinonios ainda e ummetodo pouco explorado na literatura e devido as propriedades existentes sobre as raızes de po-linomios, sua construcao se torna mais simples do que a construcao via o homomorfismo deMinkowski que utiliza corpo de numeros. Na dimensao 3 por exemplo, e preciso considerarsubcorpos de corpos ciclotomicos para utilizar o homomorfismo de Minkowski. Acreditamosque, da mesma forma como foram obtidos os reticulados mais densos nas dimensoes 2 e 3 viapolinomios, pode-se obter reticulados com densidade de centro otima para dimensoes maiores.
7 Referencias Bibliograficas
[1] SOUZA, T. M. Reticulados algebricos em corpos de numeros abelianos. 2004, 119 f.Dissertacao (Mestrado em Matematica) - Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Fi-lho”, Sao Jose do Rio Preto, 2004.
[2] BENEDITO, C. W. O. Famılias de reticulados algebricos e reticulados ideais. 2010. 165f. Dissertacao (Mestrado em Matematica) - Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
51
Filho”, Sao Jose do Rio Preto, 2010.
[3] BOUTROS, J. et al. Good lattice constellations for both Rayleigh fading and Gaussian chan-nels. IEEE Transactions on Information Theory, v. 42, n. 2, p. 502-518, 1996.
[4] CONWAY, J. H.; SLOANE, N. J. A. Sphere packings, lattices and groups. New York:Springer-Verlag, 1988.
[5] PINTO, W. L. S.; ALVES, C.; BENEDITO, C. W. O. Reticulados via polinomios de grau 2e 3. In: ENCONTRO REGIONAL DE MATEMATICA APLICADA E COMPUTACIONAL,4., 2017, Bauru. Caderno de trabalhos completos e resumos. Bauru: Unesp, Faculdade deCiencias, 2017. p. 532-535. Disponıvel em:<http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/eventos2341/ermac/cadesnos-de-trabalhos-completos-e-resumos/>. Acesso em: 10 out. 2017.
[6] SAMUEL, P. Algebraic theory of numbers. Paris: Hermann, 1970.
[7] STEWART, I. N.; TALL, D. O. Algebraic number theory. 2. ed. London: Chapman & Hall,1987.
__________________________________________
Artigo recebido em jun. 2017 e aceito em nov. 2017.
ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,
Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
52