From the SelectedWorks of Sergio Da Silva

January 2010

Escolha

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Available at: http://works.bepress.com/sergiodasilva/134

Escolha Hal R. Varian Intermediate Microeconomics, 8th edition Capítulo 5

O modelo de escolha do consumidor baseia-se na ideia de que as pessoas escolhem a melhor cesta que podem adquirir. Os consumidores escolhem a cesta de maior preferência de seu conjunto orçamentário.

Escolha ótima

Na Figura 1, desenhamos o conjunto orçamentário e as curvas de indiferença no mesmo gráfico. Nosso objetivo é encontrar, no conjunto orçamentário, a cesta que esteja na curva de indiferença mais elevada. Supondo monotonicidade (“mais é melhor do que menos”), apenas as cestas sobre a reta orçamentária importam e podemos desconsiderar as que ficam abaixo dela.

Começando no canto direito da reta orçamentária na Figura 1, ao nos movermos para a esquerda atingimos curvas de indiferença cada vez mais altas, até chegarmos àquela que tangencia a reta orçamentária. Nesse ponto encontramos a cesta * *

1 2( , )x x de escolha ótima do consumidor. Como as curvas de indiferença contendo conjuntos de cestas preferíveis a * *

1 2( , )x x , que se encontram acima da curva de indiferença que contém * *

1 2( , )x x , não interceptam as curvas que se encontram abaixo da reta orçamentária, a cesta * *

1 2( , )x x é a melhor que o consumidor pode adquirir. Portanto, a cesta ótima é aquela para a qual uma curva de indiferença tangencia a reta orçamentária. Se não tangenciasse, ela deveria cruzar a reta orçamentária em outro ponto. E entre os dois pontos da reta haveria cestas preferíveis a * *

1 2( , )x x , indicando que esta cesta não seria ótima. Para curvas de indiferença com quebras (Figura 2), a escolha ótima ocorre na quebra, onde há duas tangentes. Há também o ótimo de fronteira (Figura 3), em que a curva de indiferença não tangencia a reta orçamentária e o consumo ótimo ocorre com nenhuma unidade de um dos bens. No ótimo de fronteira, apesar de as inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária serem diferentes, a curva de indiferença ainda não cruza a

reta orçamentária. Porém, se excluirmos a possibilidade de ótimo de fronteira, teremos sempre um ótimo interior em que há consumo maior do que zero dos dois bens.

Na situação desenhada na Figura 4, podemos perceber que a condição de tangência da curva de indiferença com a reta orçamentária é necessária, mas não suficiente. Porém, se as preferências forem convexas (como na Figura 1), essa condição torna-se necessária e suficiente. Além disso, se as preferências forem estritamente convexas (curvas sem segmentos planos), a escolha interior também será única. No ótimo interior, portanto, a TMS se iguala à inclinação da reta orçamentária:

1

2

pTMSp

= − ,

onde a TMS indica a taxa de troca em que o consumidor quer ficar e 1

2

pp− indica a taxa de

troca oferecida pelo mercado. No ótimo interior, o consumidor pode abrir mão de uma unidade do bem 1 para comprar 1

2

pp unidades do bem 2, continuando na situação ótima.

Demanda do consumidor A escolha ótima dos bens 1 e 2 é a cesta demandada. Se os preços e a renda variarem, a escolha ótima das quantidades demandadas deve também mudar. A função que relaciona as

quantidades demandadas ótimas a diferentes preços e renda é a função-demanda para cada bem: 1 1 2( , , )x p p m e 2 1 2( , , )x p p m . Claro que preferências diferentes geram funções-demanda diferentes.

Bens substitutos perfeitos

Para bens substitutos perfeitos, a inclinação das curvas de indiferenças é igual a 1. Se

1 2p p= , a inclinação da reta orçamentária será igual a −1. Isto implica que todas as cestas sobre a reta orçamentária serão escolhas ótimas. Porém, se o bem 2 for mais caro, 2 1p p> e o módulo da inclinação da reta orçamentária será menor do que 1. Isso gera o ótimo de fronteira, onde o consumidor gasta todo o seu dinheiro com o bem 1; portanto,

1

*1

mpx = (Figura 5).

Já se o bem 1 for mais caro, 2 1p p< e o módulo da inclinação da reta orçamentária será maior do que 1. Isso leva ao ótimo de fronteira com todo o dinheiro sendo gasto com o bem 2; portanto, *

1 0x = (Figura 6). Em suma, se dois bens forem substitutos perfeitos, o consumidor comprará exclusivamente o que for mais barato.

Complementares perfeitos

Quando os bens forem complementares perfeitos, o consumidor irá querer consumir os bens conjuntamente e na mesma quantidade (Figura 7). Logo, 1 2x x x= = . Substituindo a expressão acima na reta orçamentária:

* *

1 2p x p x m+ = *

1 2( )x p p m+ =

* * *1 2

1 2

mx x xp p

= = =+

.

Portanto, o consumidor gastará todo o seu dinheiro no “bem composto” de preço 1 2p p+ .

Males e neutros

No caso de males (Figura 8) e neutros (Figura 9), o consumidor gasta todo o seu dinheiro com o bem 1, não comprando nada do mal ou do neutro:

*1

1

mxp

=

*2 0x = .

Bens discretos

Com o preço do bem discreto ( 1p ) muito alto, o consumidor pode não querer consumi-lo (Figura 10).

11 2

2

1pp pp

> → − > .

Porém, se 1p cair, ele pode passar a consumir uma unidade (Figura 11).

11 2

2

1pp pp

< → − < .

Preferências côncavas

O caso de preferências côncavas é aquele em que o consumidor não gosta de consumir os bens em conjunto, como leite e cerveja. Por isso, ele gastará todo seu dinheiro em apenas um dos bens. A escolha ótima será a de fronteira (cesta Z da Figura 12), e não a escolha interior (cesta X).

Preferências Cobb-Douglas

Com preferências Cobb-Douglas, o consumidor gasta sempre uma fração fixa de sua renda em cada bem. O tamanho da fração é determinado pelo expoente da função utilidade Cobb-Douglas: 1 2 1 2( , ) c du x x x x= . Uma possível transformação monotônica é extrair o log natural da função acima: 1 2 1 2ln ( , ) ln lnu x x c x d x= + . Podemos, em seguida, encontrar a função-demanda a partir dela (Capítulo 4). Como vimos, na escolha ótima,

1

2

pTMSp

= − .

Já que a TMS é também um número negativo, podemos nos concentrar no módulo da inclinação da reta orçamentária:

1

2

pTMSp

= .

Vimos no Capítulo 4 que, para a Cobb-Douglas,

2

1

xcTMSd x

= .

Substituindo este resultado na expressão anterior:

2 1

1 2

x pcd x p

= . (1)

Considerando agora a reta orçamentária 1 1 2 2p x p x m+ = , ou 2 2 1 1p x m p x= −

1 12

2

m p xxp−

= ,

podemos substituir a expressão acima em (1):

1 1

2 1

1 2

m p xp pc

d x p

− =

1 11 1 2

2

m p xdx p cpp

−=

( )1 1 1 1dx p c m p x= − 1 1 1 1dx p cm cp x= − 1 1( )p x c d cm+ =

11

c mxc d p

=+

,

que é a função-demanda Cobb-Douglas para o bem 1. Para encontrar a função-demanda para o bem 2, basta substituir a função-demanda para o bem 1 na reta orçamentária:

1 2 21

c mp p x mc d p

+ = +

2 2cp x m m

c d= −

+

2 2 1 cp x mc d

= − +

22

1 c mxc d p

= − +

22

d mxc d p

=+

.

Para constatar o fato de que, na Cobb-Douglas, o consumidor gasta uma fração fixa de sua renda em cada bem, considere a situação onde ele consome 1x unidades do bem 1. Neste caso, ele gasta 1 1p x . Esta despesa é fração da renda total m :

1 1p xm

.

Substituindo a função-demanda Cobb-Douglas para o bem 1 na expressão acima:

1

1

c mpc d p c

m c d

+ =

+.

Poranto, c

c d+ é a fração fixa gasta com o bem 1. Note que

1d cc d c d

= −+ +

.

Portanto, a fração fixa 1 c

c d+− é gasta com o bem 2 na função Cobb-Douglas:

22

1 c mxc d p

= − + .

A soma das frações é, portanto, igual a 1:

1 1c c c c d c c d c dc d c d c d c d c d c d c d

+ − + + − = + = + = = + + + + + + + .

Fazendo

c ac d

≡+

,

pode ser conveniente tomar, então, a transformação monotônica 1

1 2 1 2( , ) a au x x x x −= , que é uma representação da função-utilidade Cobb-Douglas bastante comum.

Caso geral

De maneira geral, preferências “bem-comportadas” (monotônicas e convexas) podem ser descritas por uma função-utilidade 1 2( , )u x x . Na escolha ótima * *

1 2( , )x x temos que

1

2

pTMSp

= − .

Além disso,

1

2

ux

ux

TMS∂∂

∂∂

= − .

Combinando as duas últimas expressões:

1

2

1

2

uxux

pp

∂∂

∂∂

= . (2)

Como a escolha ótima deve estar sobre a reta orçamentária 1 1 2 2p x p x m+ = , (3) ficamos com duas equações: (2) e (3), e duas incógnitas: 1x e 2x . Reescrevendo (3) como 2 2 1 1p x m p x= −

12 1

2 2

pmx xp p

= − , (3′)

temos que

1 21 2,

max ( , )x x

u x x

sujeito a 1 1 2 2p x p x m+ = . Ou, o que é a mesma coisa,

1

11 1

2 2

max ,x

pmu x xp p

−

.

A maximização é obtida derivando-se parcialmente e igualando o resultado a zero:

2

1 2 1

0u u dxx x dx∂ ∂

+ ⋅ =∂ ∂

.

Podemos encontrar 2

1

dxdx derivando (3′) em relação a 1x :

2 1 1

1 2 2

0dx p pdx p p

= − = −

e substituindo de volta:

1

1 2 2

0pu ux x p

∂ ∂+ ⋅ − = ∂ ∂

1

1 2 2

pu ux p x∂ ∂

=∂ ∂

1

2

1

2

ux

ux

pp

∂∂

∂∂

=

1

2

pTMSp

= .

Portanto, na escolha ótima, a TMS entre 1x e 2x deve ser igual à razão dos preços. Isto significa que a inclinação da curva de indiferença tem que ser igual à inclinação da reta orçamentária. Para a função-utilidade Cobb-Douglas:

1 21 2,

max ln lnx x

c x d x+

de modo que 1 1 2 2p x p x m+ = , que pode ser reescrita como: 2 2 1 1p x m p x= −

12 1

2 2

pmx xp p

= −

e substituída diretamente na função-utilidade:

1

11 1

2 2

max ln lnx

pmc x d xp p

+ −

.

Derivando e igualando a zero:

1

2 2

1 11 1

1 1 2 2 21

1 10 ln 0 ln 0pmp p

p pu mx c x dx x p p px

∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ = ∂ −

1 1

2

1 1 2

1 2 1 2 1 1

1 0m p xp

p p pc cd dx p x p m p x−

− = − = −

1

1 1 1

dpcx m p x=

−

1 11

1

cm cp xxdp−

=

1 11

1 1

cp xcmxdp dp

= −

1 11

c m cx xd p d

= −

1 11

c c mx xd d p

+ =

11

1 c c mxd d p

+ =

11

d c c mxd d p+

=

11

c mxc d p

=+

.

Quanto a 2x , este pode ser encontrado substituindo o valor de 1x acima de volta na

reta orçamentária:

12

2 2 1

pm c mxp p c d p

= −+

22 2

m m cxp p c d

= −+

22

1m cxp c d = − +

22

m c d cxp c d

+ − = +

22

d mxc d p

=+

.

Essa maximização pode também ser feita com os multiplicadores de Lagrange:

1 2 1 1 2 2( , ) ( )L u x x p x p x mλ= − + − , onde 1 2( , )u x x é a função-objetivo (utilidade), λ é o multiplicador de Lagrange e

1 1 2 2p x p x m+ − é a reta orçamentária.

Derivando parcialmente em relação a 1x , 2x e λ , e depois igualando a zero, encontramos três condições de primeira ordem:

11 1

0L u px x

λ∂ ∂= − =

∂ ∂

22 2

0L u px x

λ∂ ∂= − =

∂ ∂

1 1 2 2 0L p x p x mλ∂

= + − =∂

.

Dividindo as duas primeiras derivadas parciais:

11

u px

λ∂=

∂

e

22

u px

λ∂=

∂

ficamos com

1

2

1

2

ux

ux

pp

∂∂

∂∂

= ,

que é a mesma condição de ótimo anterior, que ocorre na reta orçamentária (terceira derivada parcial): 1 1 2 2p x p x m+ = . Aplicando o método de Lagrange para a função-utilidade Cobb-Douglas: 1 2 1 1 2 2ln ln ( )L c x d x p x p x mλ= + − + −

( )1 1 1 2 2 1

1 1

11

10 ln 0 0 ( ) 0

0

L x c p x p x m px x

c px

λ

λ

∂= ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ =

∂

= − =

( )2 1 1 2 2 2

2 2

22

10 0 ln 0 ( ) 0

0

L x d p x p x m px x

d px

λ

λ

∂= + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − + ⋅ =

∂

= − =

( )1 1 2 2

1 1 2 2

0 0 1 ( ) 0 0

0

L p x p x m

p x p x m

λλ∂

= + − ⋅ + − + ⋅ =∂

= + − =

11

c px

λ=

1 1c p xλ= (4) e

22

d px

λ=

2 2d p xλ= (5) e

1 1 2 2p x p x m+ = . (6) Somando (4) e (5): 1 1 2 2c d p x p xλ λ+ = + ( )1 1 2 2c d p x p xλ+ = + . Considerando (6): c d mλ+ =

c dm

λ += .

Substituindo em (4) e (5):

1 1c dc p x

m+

=

11( )

cm xc d p

=+

11

c mxc d p

=+

e

2 2c dd p x

m+

=

22

d mxc d p

=+

.

Estimativa das funções-utilidade

Depois de observar as escolhas feitas por um consumidor para diferentes preços e renda, encontramos os resultados da tabela abaixo. Ano Preço

do bem 1

Preço do bem 2

Renda Consumo do bem 1

Consumo do bem 2

Fração da renda gasta com o bem 1

Fração da renda gasta com o bem 2

Utilidade estimada

1p 2p m 1x 2x 1 1p xm 2 2p x

m 0.25 0.751 2x x⋅

1 1 1 100 25 75 0.25 0.75 57.0 2 1 2 100 24 38 0.24 0.76 33.9 3 2 1 100 13 74 0.26 0.74 47.9 4 1 2 200 48 76 0.24 0.76 67.8 5 2 1 200 25 150 0.25 0.75 95.8 6 1 4 400 100 75 0.25 0.75 80.6 7 4 1 400 24 304 0.24 0.76 161.1 A utilidade é estimada (última coluna) notando que a fração da renda gasta em cada bem é aproximadamente constante: a função-utilidade deve ser Cobb-Douglas. De fato, a fração gasta com o bem 1 é 25% (ou 1

4 ) e a gasta com o bem 2 é 75% (ou 34 ). A função-utilidade que se ajusta bem a esses dados é dada por:

314 4

1 2 1 2( , )u x x x x= . Ela permite calcular as utilidades da última coluna da tabela. Como exemplo, na primeira célula:

314 4

1 2( , ) 25 75 2.236067977 25.48566367 56.98767641 57u x x = = × = ≈ . Como vimos, as funções-demanda para a utilidade Cobb-Douglas são dadas por:

11

c mxc d p

=+

e

22

d mxc d p

=+

.

Vimos também que

1 1 14

c p xc d m

= =+

é a fração da renda gasta com o bem 1, e que

2 2 34

d p xc d m

= =+

é a fração da renda gasta com o bem 2. As funções-demanda seriam então:

11

14

mxp

=

e

22

34

mxp

= .

Imagine um cenário diferente da tabela acima em que, no ano 1, o governo cobrasse imposto, o consumidor tivesse renda 200m = e os preços fossem 1 2p = e 2 3p = . A cesta demandada ótima a esses preços seria

11 200 1100 254 2 4

x = = =

e

23 200 504 3

x = = .

A utilidade estimada dessa cesta seria: 0.25 0.75

1 2( , ) 25 50 2.2361 18.8030 42u x x = ⋅ = × ≈ . Note que esta utilidade é maior do que a que o consumidor teria no ano 2 da tabela (33.9), mas menor do que a que ele teria no ano 3 (47.9).

Implicações da condição da TMS

Como a razão dos preços mede as TMS , temos como avaliar possíveis mudanças do consumo ótimo. Mesmo que observemos apenas uma escolha do consumidor para determinados preços, pode ser possível avaliar a variação da utilidade em reposta à variação do consumo. Como exemplo, para manteiga e leite, se (1) todos dos consumidores se defrontarem com os mesmos preços; (2) todos otimizarem e (3) todos estiverem em uma solução interior, então todos terão a mesma TMS para manteiga e leite. Todos teriam a mesma taxa de troca para manteiga e leite no mercado e ajustariam o consumo dos bens até que a avaliação subjetiva se igualasse à taxa objetiva do mercado. Isto ocorreria independentemente da renda e do gosto de cada consumidor. Quem tem mais renda pode consumir mais manteiga e leite. Quem gosta mais dos dois bens, também. Mas todo mundo possui a mesma TMS . Portanto, devem concordar em quanto um bem vale em relação ao outro, ou seja, em quanto estariam dispostos a abrir mão de um bem para ter mais do outro.

Sendo 1 2p = o preço do quilo da manteiga e 2 1p = o preço do litro de leite, então o

módulo da 1

2

21 2p

pTMS = = = para todos os consumidores. Todos têm que ter dois litros de leite para compensar a desistência de um quilo de manteiga. Todos atribuem valor a uma variação marginal do consumo do mesmo modo. Se uma máquina capaz de transformar um quilo de manteiga em três litros de leite for inventada, como todos os consumidores estão dispostos a trocar um quilo de manteiga por dois litros de leite, seria agora um melhor negócio trocar por três litros de leite. Essa máquina teria que ser lucrativa, porque os consumidores atribuiriam maior valor ao produto do que aos insumos que a máquina utiliza. Os preços indicam o valor marginal que os consumidores atribuem aos bens. Supondo que uma escolha seja ótima, observando-a para dados preços obteremos a TMS neste ponto de consumo. Observando outra escolha após uma variação dos preços, obteremos outra TMS . Observando mais e mais escolhas poderemos inferir que tipo de preferência gerou a escolha.

Impostos

Dada a reta orçamentária: 1 1 2 2p x p x m+ = , se o consumo do bem 1 for tributado pela alíquota 0t > , isto funciona como se o preço do bem 1 fosse aumentado em t : ( )1 1 2 2p t x p x m+ + = . A escolha ótima * *

1 2( , )x x terá que ocorrer sobre a reta orçamentária: ( ) * *

1 1 2 2p t x p x m+ + = . E a receita do governo será: * *

1r tx= . Um imposto de renda que arrecadasse a mesma receita *r faria com que a renda do consumidor m fosse diminuída dessa receita *r . A reta orçamentária ficaria sendo: *

1 1 2 2p x p x m r+ = − , o que significa que ela se deslocaria para baixo na Figura 13 até o ponto da escolha ótima de depois do imposto sobre a quantidade. Por quê? Porque substituindo * *

1r tx= na nova reta orçamentária: * * *

1 1 2 2 1p x p x m tx+ = − ou

* * *1 1 1 2 2p x tx p x m+ + =

( ) * *1 1 2 2p t x p x m+ + = ,

que é a reta orçamentária onde ocorre a escolha ótima com o imposto sobre a quantidade. Porém, a reta orçamentária de depois do imposto de renda tangencia uma curva de indiferença mais alta. Portanto, o imposto de renda é preferível, pois, além de arrecadar a mesma receita do consumidor *r , prejudica-o menos do que o imposto sobre a quantidade, que ocorre no equilíbrio de curva de indiferença mais baixa. Observe, contudo, que isto somente vale para um consumidor, não para todos. Para qualquer consumidor, há um imposto de renda que arrecada a mesma quantidade de dinheiro que seria arrecadada por um imposto sobre a quantidade e que, mesmo assim, o deixa em melhor situação do que na do imposto sobre a quantidade. Porém, como esse imposto de renda tem que ser diferente para cada consumidor, um imposto de renda uniforme para todos não necessariamente teria que ser melhor do que um imposto sobre a quantidade uniforme para todos. Por exemplo, um consumidor que não consume o bem 1 no equilíbrio de fronteira preferiria o imposto sobre a quantidade. O resultado acima supõe que o imposto de renda apenas diminui a quantidade de dinheiro que o consumidor tem para gastar, sem afetar sua capacidade de escolha. Contudo, isto é improvável, já que o imposto de renda reduz o incentivo do consumidor de ganhar mais. A renda dele seria reduzida não apenas de *m r− : o próprio m diminuiria também. Além disso, não apenas a demanda reagirá aos impostos, a oferta também o fará.

© Sergio Da Silva 2010 sergiodasilva.com