resumo - centro de massa e momento linear

Centro de Massa e Momento Linear


Prof. Fabio Nakagomi

UDF - Centro Universitario

1 de abril de 2013

Prof. Fabio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear


Sumario

1 Centro de Massa

2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partıculas

3 Momento Linear

4 Momento Linear de um Sistema de Partıculas

5 Colisao e Impulso

6 Conservacao do Momento Linear

7 Sistema de Massa Variavel



Centro de Massa

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso





Centro de Massa

Introducao

Definicao

O Centro de Massa de um sistema de partıculas e o ponto que semove como se:

1 Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto.

2 Todas as forcas externas estivessem aplicadas nesse ponto.

3 Centro de Massa = Centro de Gravidade.



Centro de Massa

Se as partıculas estao distribuıdas em tres dimensoes, a posicao doCentro de Massa deve ser especificada por tres pontos:

Coordenadas do Centro de Massa

XCentro de Massa =1

M

n∑i=1

mixi

YCentro de Massa =1

M

n∑i=1

miyi

ZCentro de Massa =1

M

n∑i=1

mizi

(1.1)



Centro de Massa

O vetor posicao do Centro de Massa:

~rCM = XCM~i + YCM

~j + ZCM~k (1.2)

Podemos utilizar uma unica equacao vetorial:

~rCM =1

M

n∑i=1

mi~ri (1.3)

Sendo o vetor posicao de cada massa i e dado por ~ri



Centro de Massa

Para uma distribuicao contınua de massa:


XCentro de Massa =1

M

∫xdm

YCentro de Massa =1

M

∫ydm

ZCentro de Massa =1

M

∫zdm

(1.4)



Centro de Massa

Se considerarmos apenas objetos uniformes, temos que:

Massa Especıfica

ρ =dm

dV=

M

V(1.5)


XCentro de Massa =1

V

∫xdV

YCentro de Massa =1

V

∫ydV

ZCentro de Massa =1

V

∫zdV

(1.6)



Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partıculas

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso





Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partıculas

O movimento do Centro de Massa de qualquer sistema departıculas e expresso pela equacao:

Segunda Lei de Newton

~Fres = M~acm (2.1)

~Fres - Forca resultante de todas as forcas externas queagem sobre o sistema.

M - Massa total do sistema.

~acm - Aceleracao do Centro de Massa do sistema.



Momento Linear

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso





Momento Linear

O Momento Linear de uma partıcula e uma grandeza vetorial ~pdefinida como:

Momento Linear

~p = m~v (3.1)

~p - Momento linear da partıcula.

m - Massa da partıcula.

~v - Velocidade da partıcula.



Momento Linear

Segunda Lei de Newton

Newton expressou originalmente a sua Segunda Lei em termos demomento:

Segunda Lei

A taxa de variacao com o tempo do momento de uma partıcula eigual a forca resultante que atua sobre a partıcula e tem a mesmaorientacao que essa forca.



Momento Linear

Em forma de equacao, isso significa o seguinte:

Segunda Lei

~Fres =d~p

dt(3.2)

Demonstracao:

~Fres =d~p

dt=

d

dt(m~v) = m

d~v

dt= m~a (3.3)



Momento Linear de um Sistema de Partıculas

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso






Vamos estender a definicao de momento linear para um sitema departıculas.

Considere um sistema de n partıculas, cada um com suapropria massa, velocidade e momento linear.

O sistema como um todo tem um momento linear total ~P,que e definido como a soma vetorial dos momentoslineares de todas as partıculas.

~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pn

= m1~v1 + m2~v2 + · · · + mn~vn

= M~vC.M.

(4.1)




Momento Linear para um sistema de partıculas

O momento linear de um sistema de partıculas e igual ao produtoda massa total do sistema pela velocidade do centro de massa.

A Segunda Lei para um sistema de partıculas:

~Fres =d~P

dt(4.2)

Onde ~Fres e a forca externa resultante que age sobre o sistema.



Colisao e Impulso

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso





Colisao e Impulso

Colisao

O momento ~p de qualquer corpo que se comporta como umapartıcula nao pode variar, a menos que uma forca externa atuesobre o corpo.

Colisao

Em uma colisao, a forca exercida sobre o corpo e de curtaduracao, tem um modulo elevado e muda bruscamente o momentodo corpo.



Colisao e Impulso

Temos que a Segunda Lei:

~F (t) =d~p

dt

d~p = ~F (t)dt

(5.1)

Podemos determinar a variacao total do momento integrandoambos os membros da equacao de um instante ti imediatamenteantes da colisao ate um instante tf imediatamente apos a colisao:



Colisao e Impulso

∫ tf

ti

d~p =

∫ tf

ti

~F (t)dt

~pf − ~pi =

∫ tf

ti

~F (t)dt

∆~p =

∫ tf

ti

~F (t)dt

(5.2)

O lado direito, que e uma medida tanto da intensidade quanto daduracao da forca da colisao, e chamado de impulso:

Impulso

~J =

∫ tf

ti

~F (t)dt (5.3)



Colisao e Impulso

A aplicacao da Segunda Lei de Newton a um corpo que secomporta como uma partıcula envolvido em uma colisao leva aoteorema do impulso e momento linear:

Teorema do Impulso e Momento Linear

~pf − ~pi = ∆~p = ~J (5.4)

Se considerarmos apenas a media de ~F (t) durante a colisao e ∆tcomo sendo a duracao da colisao, para um movimentounidimensional temos:

J = Fmed∆t (5.5)



Colisao e Impulso

Colisoes em Serie

Quando uma serie de projeteis demassa m e velocidade v colidecom um corpo fixo, a forca mediaque age sobre o corpo fixo e dadapor:

Fmed =J

∆t(5.6)

Figura 1 : Colisoes em Serie.



Colisao e Impulso

A variacao total do momento linear de n projeteis durante ointevalo ∆t vale n∆p. O impulso resultante J a que e submetido oalvo no intervalo ∆t pode ser escrito como:

J = −n∆p (5.7)

Onde o sinal negativo indica que J e ∆p tem sentidos opostos.Temos que:

Fmed =J

∆t= − n

∆t∆p = − n

∆tm∆v (5.8)



Colisao e Impulso

A equacao 5.8 expressa Fmed em termos de n/∆, a taxa com aqual os projeteis colidem com o alvo, e ∆v , representa a variacaode velocidade dos projeteis.

Se os projeteis param apos o choque:∆v = vf − vi = 0 − v = −v .

Se os projeteis ricocheteiam sem mudanca na velocidadeescalar: ∆v = vf − vi = −v − v = −2v .

No intervalo ∆t, uma quantidade de massa ∆m = nm colide como alvo, podemos escrever:

Fmed = −∆m

∆t∆v (5.9)



Conservacao do Momento Linear

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso






Se um sistema esta isolado de tal forma que nenhuma forcaresultante externa atua sobre ele, o momento linear ~P do sistemapermanece constante:


~P = constante (6.1)

Esta equacao tambem pode ser escrita na forma:


~Pf = ~Pi (6.2)



Sistema de Massa Variavel

Sumario

1 Centro de Massa


3 Momento Linear


5 Colisao e Impulso




resumo - centro de massa e momento linear

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