RESUMO

O material supercondutor exibe resistividade nula, quando arrefecido abaixo de determinadatemperatura crıtica. Ate 1986, o material que se comportava como um supercondutor a umatemperatura o mais elevada possıvel (23,2 K ou -249,8oC) era um composto de germanio-niobio. Para manter um material conductor a uma temperatura igualmente baixa, usava-sehelio lıquido, material caro e pouco eficiente, o que impede que seja usado em tecnologias queprocurem explorar o fenomeno da superconducao. Em 1986, os fisicos da IBM Karl, Alexan-der Muller e Johannes Georg Bedborz, conseguiram alcancar o estado de supercondutividadenum material ceramico composto de bario, lantanio, cobre e oxigenio a 35K (-238oC). Essadescoberta possibilitou um grande desenvolvimento nas pesquisas mundiais de supercondu-tores, no sentido de se conseguirem materiais que funcionem a temperaturas cada vez maiselevadas.

As aplicacoes dos superconductores sao varias: como construcao de bobinas com fios su-percondutores que podem ser usadas na construcao de MagLevs, comboios que levitam eaparelhos de ressonancia magnetica nuclear. Pelas suas inumeras aplicacoes, tem sido alvode estudo e investigacao a discretizacao numerica de modelos de superconductividade.O presente trabalho e dedicado a discretizacao numerica dos modelos de superconductivi-dade de dimensao um e dois, para superconductores do tipo-II, sujeitos a um campo deinducao magnetica aplicado paralelamente ao eixo do cilindro, com condicoes de fronteiralineares e nao lineares. Foram utilizados o Metodo Up-Wind e o Metodo do Volume Finito.Efectuou-se a implementacao computacional para o modelo de dimensao um, com especialdestaque para as suas condicoes de fronteira, apresentando-se alguns resultados numericosobtidos.

Palavras Chave: Modelo para Superconductores do Tipo-II; Teoria de London; Metododo Volume Finito; Metodo Up-Wind; Condicoes de Fronteira Nao Lineares.

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RESUME

The electrical resistivity of a metallic conductor decreases gradually as the temperatureis lowered. The resistence of a superconductor drops abruptly to zero when the material iscooled bellow its critical temperature. To keep the low temperature of the material we needliquid helium, but this is very expensive and not enough eficient. In 1986, IBM’s physiciansKarl, Alexander Muller e Johannes Georg Bedborz discovered a familly of cuprate-perovskiteceramic materials known as high temperature superconductors sprurred renewed interest andresearch in superconductivity. As a topic of pure research, this materials represented a newphenomenon not explained by the current theory. And, because the superconducting statepersists up to more manageable temperatures, more comercial applications are feasible, es-pecially if materials with even higher critical temperatures could be discovered.

Promising future applications include high performance electric motors as MagLev trains andnuclear magnetic ressonance machines. Because all of the applications of superconductors,it has been studied and researched numerical discretizations of models of superconductivity.This work presents numerical discretizations of one and two dimensional vortex densitymodels for type-II superconductors subject to parallel magnetic field with linear and non-linear boundary conditions. It was used Up-Wind Method and Finite Volume Method. Wealso present some computacional results for one dimension being relevant the results of theboundary conditions.

Key-Words: Superconductors Type-II Model; London Theory; Finite Volume Method;Up-Wind Method; Non-Linears Boundary Conditions.

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AGRADECIMENTOS

Este trabalho e o culminar do mestrado em Analise Numerica e Matematica Computacional,promovido pela faculdade de Ciencias da Universidade de Lisboa, com inıcio no ano lectivode 2004/2005. Durante estes anos tive a oportunidade de conhecer excelentes professorese de viver numa realidade que tornou ainda mais forte o desejo de abracar uma carreiraacademica.

Nao foi de forma alguma facil conseguir conciliar a minha vida familiar com a profissional ea de estudante. Contudo, foi com bastante vontade, gosto e persistencia que me empenheineste trabalho. Varias pessoas contribuıram para que todo o trabalho desenvolvido no decor-rer da tese de mestrado, assim como os trabalhos e os exames realizados nos dois primeirosanos do curso se concretizassem. Por isso deixo aqui os meus agradecimentos a todos eles:

Ao Prof. Nikolai Chemetov, meu orientador da tese de mestrado, pelo ritmo de trabalhoimpresso, pela sua constante disponibilidade e acompanhamento, por todos os seus ensina-mentos, pelo rigor e exigencia e ainda pelas palavras de encorajamento que foram para mimdeterminantes;

A Prof. Iveta Pimentel pela sua disponibilidade no esclarecimento de algumas duvidas;

Ao investigador T. Girard pela ajuda prestada na modelacao de vortices superconductorese pela troca de opinioes;

Ao C.M.A.F., pela Bolsa de Investigacao Cientıfica atribuıda e pelos varios estımulos;

A Patrıcia Paraıba, pelos seus ensinamentos e disponibilidade na utilizacao do LATEX;

Aos meus pais, pelo apoio e por acreditarem em mim;

Aos meus filhos, que apesar de pequenos, ao longo destes tres anos sempre compreenderamque a mae tinha que estudar;

Ao meu marido pelas suas palavras de incentivo e compreensao pelas minhas ausencias.

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Contents

1 Introducao 6

2 Breve Referencia a Supercondutividade 7

3 Vortices Fluidos Nao Viscosos e Incompressıveis 11

4 Vortices Supercondutores - Modelo de Superconductividade 144.1 Equacoes que regem o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Condicoes de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Formulacao dos Problemas de Dimensao Um e Dimensao Dois 20

6 Discretizacao Numerica e Implementacao Computacional do Modelo deDimensao Um 236.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz (Dimensao

Um) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.1.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz com

Condicoes de Fronteira do tipo Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 246.1.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz com

Condicoes de Fronteira do tipo Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao que Modela a Velocidade

(Dimensao Um) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da Vortici-

dade (Dimensao Um) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da

Vorticidade sendo a Velocidade Constante no Espaco . . . . . . . . . 316.3.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da

Vorticidade sendo a Velocidade nao constante no Espaco . . . . . . . 376.4 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) . . . . . . . . . . . 41

6.4.1 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Neumann para o Campo de Inducao Magneticadadas por (5.22) e Vorticidade na Fronteira Constante no Espaco . . 41

6.4.2 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (5.26) para o Campo deInducao Magnetica e Condicoes de Fronteira Lineares dadas por (5.29)e (5.30) para a Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4

6.4.3 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (5.26) para o Campo deInducao Magnetica e Condicoes de Fronteira Nao Lineares dadas por(5.27) para a Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Discretizacao Numerica do Modelo de Dimensao Dois 567.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz (Dimensao

dois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao que Modela a Velocidade

(Dimensao dois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da Vortici-

dade (Dimensao dois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.4 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D) . . . . . . . . . . . 68

7.4.1 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (7.103) para o Campo deInducao Magnetica e Condicoes de Fronteira lineares dadas por (7.148)para a Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.4.2 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (7.103) para o Campo deInducao Magnetica e Condicoes de Fronteira nao lineares dadas por(7.149) para a Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Conclusao 69

9 Anexos 70

10 Bibliografia 71

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1 Introducao

Foram estudados artigos de investigadores deste tema. Citamos em particular o artigo AMean-Field Model of Superconducting Vortices in Three Dimensions e o artigo A Hierarchyof Models for Type-II Superconductors, de S. J. Chapman, onde encontramos a deducao deum modelo de vorticidade de acordo com a Teoria de London.Nos artigos Numerical Approximation of Vortex Density Evolution in a Superconductor, Er-ror Estimates for a finite-difference approximation of a mean field model of superconductingvortices in one-dimension e Computation of vorticity evolution for a cilindrical Type-II su-perconductor subject to parallel and transverse applied magnetic fields da autoria de C. M.Elliot e V. Styles encontramos discretizacoes numericas para modelos de vorticidade de su-perconductores tipo-II, de dimensao um e dois.

O presente trabalho teve por base resultados de investigacao ja desenvolvida por autoresacerca deste tema como S. Chapman e V. Styles, nomeadamente no que diz respeito amodelacao, tendo evoluıdo para propostas de discretizacoes numericas de um modelo devorticidade, que aqui sao deixadas, nomeadamente das suas condicoes de fronteira. As dis-cretizacoes numericas foram desenvolvidas usando o Metodo Up-Wind e o Metodo do VolumeFinito, com suporte em alguns livros como Finite Volume Methods for Hyperbolic Problemse Numerical Methods for Conservation Laws de Randall J. LeVeque.

Este estudo esta organizado em quatro partes:

A primeira parte apresenta, nas seccoes 3 e 4 a deducao de um modelo de vortices fluidos eem seguida, por forte comparacao com estes, e deduzido um modelo para o comportamentode vortices supercondutores, que se formam durante a fase mista de superconducao nos su-percondutores do tipo II.

A segunda parte, descrita na seccao 5, consiste na formulacao dos modelos de dimensaoum e dois e definicao das respectivas condicoes iniciais e de fronteira. Supos-se que o campode inducao magnetica aplicado seria paralelo ao eixo do superconductor. Sao estudadascondicoes de fronteira lineares e nao lineares para a vorticidade.

Na terceira parte descreve-se a discretizacao numerica, a implementacao computacional ealguns resultados numericos obtidos para o Modelo de Dimensao Um, ao longo da seccao 6.

Na quarta e ultima parte, segue-se a discretizacao numerica do Modelo de Dimensao Doisdurante a seccao 7.

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2 Breve Referencia a Supercondutividade

Supercondutividade e uma propriedade fısica. Uma caracterıstica intrınseca de certos ma-teriais, quando se arrefecem a temperaturas extremamente baixas, para conduzir correnteelectrica sem resistencia nem perdas, funcionando tambem cada um desses materiais comoum diamagneto perfeito abaixo de uma determinada temperatura crıtica. Esta propriedadefoi descoberta em 1911 pelo fısico neerlandes Heike Kamerlingh Onnes, quando observou quea resistencia eletrica do mercurio desaparecia quando este era arrefecido a 4K (-452oF ou-269,15oC).O material supercondutor exibe duas caracterısticas: resistividade nula, quando arrefecidoabaixo de determinada temperatura crıtica, Tc, e diamagnetismo perfeito, ou seja, exclusaodo campo magnetico de seu interior.

Em 1908, H. Kamerlingh Ones iniciou a fısica de baixas temperaturas liquefazendo o helioem seu laboratorio em Leiden. Tres anos depois, quando analisava a resistividade de umaamostra de mercurio, notou que abaixo de 4,15 K, a resistividade deste caıa abruptamentepara zero. Inicia-se o fascinante mundo da supercondutividade.Em 1933, Walther Meibner e Robert Ochsenfeld descobriram que, ao expor um materialsupercondutor a um campo magnetico exterior ele excluıa todo o fluxo do seu interior ate ocampo magnetico atingir um valor crıtico , HC1, acima do qual o efeito supercondutor eradestruıdo. Esse efeito ficou conhecido por Efeito Meibner-Ochsenfeld, comumente chamadoEfeito de Meissner. Teorias fenomenologicas, como a de Ginzburg e Landau, que data de1950, apareceram na tentativa de explicar a supercondutividade.Em 1957, John Bardeen, Leon Cooper e J. Robert Schriffer propuseram uma teoria mi-croscopica que assume os supereletraos como os portadores de carga do estado supercon-dutor. Estes supereletraos sao formados por dois eletraos com spins e momentos linearesopostos, atraıdos pelas vibracoes da rede. Esta teoria e conhecida pela teoria BCS.Mais tarde, com a demonstracao da teoria de Ginzburg e Landau a partir da teoria BCS, aprimeira ganhou respeito e popularidade no meio pela sua simplicidade.

Durante algum tempo pensou-se que todos os materiais supercondutores tivessem o mesmocomportamento, mas hoje conhecem-se dois tipos de supercondutores, os do tipo I, queabrangem a maior parte dos supercondutores metalicos (elementos puros e ligas), e os dotipo II, abrangendo todos os compostos ceramicos e algumas ligas metalicas.Os supercondutores do tipo I e do tipo II tem respostas diferentes quanto a aplicacao decampos magneticos.

Os supercondutores do tipo I apresentam somente o estado de Meissner. Nesse es-tado nao pode haver penetracao de fluxo magnetico, e entao surgem correntes que blindamo material. Assim, tem-se que, o campo de inducao magnetica no interior do condutor, enulo, isto e, ~B = 0, conforme se pode observar na figura 1.

7

Essa blindagem e suficiente ate ao valor limite para o campo magnetico de HC, acima doqual o material transita para o estado normal. Observe-se esse fenomeno na figura 2.

8

Ja os supercondutores do tipo II apresentam dois valores de campos magneticos crıticosconforme se pode observar na figura 3. Um valor inferior HC1, geralmente baixo, que limita aregiao onde o superconductor exclui todo o fluxo do seu interior (o chamado efeito de Meiss-ner). Para o campo magnetico com um valor superior a HC1 comeca a haver penetracaodas linhas de fluxo magnetico no interior do superconductor, originando o chamado estadomisto de superconducao. E durante o estado de conducao mista que ocorre formacao devortices. Neste estado ha, no interior do superconductor, regioes supercondutoras e regioesnormais. Esta situacao persiste ate o campo magnetico assumir um segundo valor crıticoHC2, em geral muito maior que HC1. Acima deste segundo valor crıtico HC2, o materialtransita para o estado normal.O desaparecimento da fase supercondutora da-se pela ocorrencia de um ou mais dos seguintesfactores: a aplicacao de um campo exterior, a elevacao da temperatura na regiao experimen-tal e, por fim, a aplicacao de correntes de transporte. Curiosamente acima do estado normalos materiais supercondutores nao sao bons condutores. Materiais como cobre, prata e ouronao exibem o fenomeno da supercondutividade.

Os valores dos campos crıticos dependem da temperatura. O valor absoluto da mag-netizacao, e maximo em HC1, pois este e o valor maximo do campo que o superconductorsuporta sem haver penetracao de fluxo. A magnetizacao volta a ser nula em HC2, valoracima do qual o superconductor retorna ao estado normal. A penetracao ou nao de fluxo nomaterial da-se pela configuracao energetica da superfıcie deste.

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Acrescenta-se ainda que os supercondutores do tipo I tem densidade superficial de energiapositiva e por isso, se regioes normais aparecessem no seu interior a energia total deste au-mentaria, contrariando o princıpio da energia mınima. Ja o estado misto dos supercondutoresdo tipo II e possıvel pelo facto de a sua densidade de energia superficial ser negativa e, como aparecimento de regioes normais em seu interior, a energia total do sistema e minimizada.

Na seccao 3 apresenta-se a deducao do modelo para um sistema de vortices fluidos naoviscosos e incompressıveis, seguido na seccao 4, da deducao do modelo para vortices super-conductores, por forte analogia com o primeiro.

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3 Vortices Fluidos Nao Viscosos e Incompressıveis

Vamos entao comecar por deduzir um modelo para uma linha de vortice de um fluidonao viscoso e incompressıvel .

Seja ~u um campo de velocidades de um fluido, em R3

~u = (u1, u2, u3).

Por definicao de rotacional, temos que o rotacional do campo de velocidades vem dado por

~∇× ~u =

(∂u3

∂y− ∂u2

∂z,−∂u3

∂x+

∂u1

∂z,∂u2

∂x− ∂u1

∂y

).

Designemos o rotacional do campo de velocidades por vorticidade, ~ω

~∇× ~u = ~ω.

Passamos entao a escrever a equacao que rege, de um modo geral, toda a regiao do fluidoem que existe vorticidade do seguinte modo

~∇× ~u = ~ωδΓ, (3.1)

em que ~u designa a velocidade do fluido, ~ω a sua vorticidade, Γ a linha do vortice e δΓ afuncao de Dirac dada por

δΓ(x′) =

∫Γ

δ(x− x′) δ(y − y′) δ(z − z′) dx′.

Por definicao de incompressibilidade, temos que ~∇ · ~u = 0.

Formulemos entao o seguinte problema que determina a velocidade de um vortice fluidonao viscoso e incompressıvel, conhecida a sua vorticidade

Problema(PI)

~∇× ~u = ~ωδΓ,~∇ · ~u = 0.

Tal como referido em [27], pag.258-260, se o campo de velocidades for tal que ~∇ · ~u = 0,

entao existe um vector potencial ~Ω, tal que

~∇× ~Ω = ~u

e~∇ · ~Ω = 0.

A igualdade vectorial∆~Ω = ~∇(~∇ · ~Ω)− ~∇× (~∇× ~Ω)

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sob as consideracoes anteriores, resulta em

∆~Ω = −~∇× ~u

ou seja, por (3.1)

−∆~Ω = ~ωδΓ. (3.2)

Assim, o problema (PI) transforma-se no seguinte problema equivalente

Problema(PII)

~∇× ~Ω = ~u,~∇ · ~Ω = 0,

−∆ ~Ω = ~ω δΓ.

(3.3)

Vamos agora generalizar o problema (PII) a um sistema de N vortices fluidos.Considere-se um sistema de N vortices fluidos, Γi, i = 1, . . . , N , todos com igual forca~γi = ~γ, ∀ i = 1, . . . , N . Considerando o movimento desse sistema de N vortices, a velocidadedo fluido satisfaz

~∇× ~u = ~ωN∑

i=1

δΓi, (3.4)

sendo δΓia funcao de Dirac

δΓi(x′) =

∫Γi

δ(x− x′) δ(y − y′) δ(z − z′) dx′.

Tal como na deducao do problema (PII), o campo de velocidades do sistema pode ser definido

como o rotacional de um vector potencial ~Ω, e neste caso, a equacao (3.2) passa a escrever-se

−∆~Ω = ~ω

N∑i=1

δΓi

para um sistema de N vortices fluidos.

Vamos agora deduzir a equacao de vorticidade.Em [28], pag.231 encontramos a equacao de Euler para fluidos nao viscosos

ρ~g − ~∇p = ρd~u

dt

sendo ρ a densidade, ~g a aceleracao da gravidade, p a pressao e ~u a velocidade do fluido.Esta equacao e equivalente a

d~u

dt= ~g − 1

ρ~∇p

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ou seja, por definicao de derivada total

∂~u

∂t+ ~u · ∇~u = ~g − 1

ρ~∇p. (3.5)

Por outro lado, temos a seguinte identidade vectorial

~u · ∇~u =1

2∇(~u · ~u)− ~u× (~∇× ~u)

equivalente a

~u · ∇~u =1

2∇(~u · ~u) + ω × ~u. (3.6)

Considerando como habitualmente a aceleracao da gravidade com direcao segundo Oz e”para cima”, escrevemos ~g = −g ~ez, e podemos substituir esta relacao e a identidade (3.6)em (3.5) obtendo

∂~u

∂t+

1

2∇(~u · ~u) + ω × ~u = −g ~ez −

1

ρ~∇p.

Aplicando o rotacional a ambos os membros obtemos a equacao de vorticidade para vorticesfluidos nao viscosos e incompressıveis

∂~ω

∂t+ ~∇× (~ω × ~u) = 0.

Assim, o modelo obtido para um sistema de N vortices fluidos, vem dado por

Problema(PIII)

~∇× ~Ω = ~u,~∇ · ~Ω = 0,

−∆~Ω = ~ω∑N

i=1 δΓi,

∂~ω

∂t+ ~∇× (~ω × ~u) = 0.

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4 Vortices Supercondutores - Modelo de Superconduc-

tividade

Vamos agora deduzir um modelo analogo para vortices superconductores. Primeiro deduzi-mos as equacoes que regem o modelo e em seguida discutimos as condicoes de fronteira.

4.1 Equacoes que regem o Modelo

Consideremos a segunda lei de Newton aplicada a um electrao

~F = me~a (4.1)

em que ~F representa a forca aplicada a um electrao, ~a a aceleracao desse electrao e me amassa do electrao. A lei (4.1) pode reescrever-se como

−e ~E = med~v

dt(4.2)

atendendo a que ~E representa o campo electrico aplicado, ”e” a carga de um electrao e ~v asua velocidade. Por definicao temos que a corrente electrica ~j e dada por

~j = −e ns~v (4.3)

em que ns representa o numero de electroes por unidade de volume.Tomando a derivada em ordem ao tempo na equacao anterior e recorrendo a relacao (4.2)obtemos a primeira equacao de London

∂~js

∂t= ns

e2

m~E. (4.4)

ou seja

~E =m

ns e2

∂~j

∂t. (4.5)

Consideremos a lei de Faraday

~∇× ~E = −∂ ~B

∂t

onde ~B representa o campo de inducao magnetica, que pode ser escrita como

∂

∂t(

m

ns e2~∇×~j) = −∂ ~B

∂t.

substituindo o campo electrico pela igualdade obtida em (4.5).Integrando ambos os membros da equacao anterior surge uma constante de integracao. Lon-don, ao formular a sua teoria supos nula esta constante, e portanto de acordo com a suateoria obtemos aquela que e a segunda equacao de London

~∇×~j +e2ns

m~B = 0. (4.6)

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Por outro lado, o campo de inducao magnetica ~B, e a corrente electrica, ~j, relacionam-se,segundo Maxwell, de acordo com a seguinte lei

~∇× ~B = µ0~j. (4.7)

Aplicando o rotacional a ambos os membros vem

~∇× ~∇× ~B = µ0(~∇×~j).

o que, fazendo uso da segunda equacao de London, e equivalente a

~∇× ~∇× ~B = −µ0e2ns

m~B. (4.8)

Considere-se a seguinte identidade vectorial

~∇× ~∇× ~B = ~∇(~∇ · ~B)−4 ~B. (4.9)

Sendo o campo de inducao magnetica, proporcional ao rotacional de um campo vectorial~j, como London propos na igualdade (4.6), consequentemente ~B sera um campo solenoidal,uma vez que a divergencia do rotacional de um vector e sempre um campo nulo

~∇ · ~B = 0. (4.10)

Substituindo (4.10) em (4.9), vem que

4 ~B = µ0e2ns

m~B.

Ou seja, obtem-se a equacao

4 ~B − 1

λL

~B = 0

tendo London definido como comprimento de penetracao do campo magnetico, o raio decada “tubo de fluxo”, designando-o por λL e sendo tal que

λ2L =

me

µ0 e2 ns

. (4.11)

Em seguida, e por simplicidade de notacoes, consideramos λL igual a um chegando-se aequacao

−∆ ~B + ~B = 0. (4.12)

Seja agora um sistema de N vortices supercondutores, Γi, i = 1, . . . , N , todos comforca ~γi = ~γ.

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A equacao (4.12), neste caso, assume a forma

−∆ ~B + ~B = ~ωN∑

i=1

δΓi. (4.13)

sendo valida em toda a regiao em que existem vortices. A medida que o numero de vorticestende para infinito, podemos considerar a homogeneizacao dos vortices.Ficamos entao com uma equacao da forma

−∆ ~B + ~B = ~ω. (4.14)

Uma vez que um vortex supercondutor se move perpendicularmente a corrente electrica,temos que o campo de velocidades e dado por

~u = ~j × ~ω

|~ω|(4.15)

ou seja, recorrendo a relacao (4.7) e tomando µ0 = 1, vem que

~u = (~∇× ~B)× ~ω

|~ω|. (4.16)

Para finalizar vamos deduzir uma equacao para a vorticidade.Temos entao que os vortices se deslocam a velocidade ~u. Pensemos numa superfıcie arbitrariaS(t), nao fechada, que se desloca ao longo do tempo a mesma velocidade que os vortices.Tanto os vortices como a superfıcie S(t), movem-se descrevendo trajectorias definidas por

d ~X(t)

dt= ~u( ~X(t), t). Esta superfıcie S(t) ao deslocar-se forma um tubo que encerra os vortices

como se mostra na figura seguinte.

A superfıcie e o tubo deslocam-se ambos a velocidade ~u. Assim, nao havera vortices aentrar ou sair do tubo. Ou seja, o numero de vortices que atravessa S(t) e conservado. Estaconsideracao pode traduzir-se por

d

dt

∫∫S(t)

δΓi(x) · ~ds

= 0. (4.17)

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A medida que o numero de vortices aumenta, podemos tomar o valor medio da vorticidadereescrevendo a equacao anterior como

d

dt

∫∫S(t)

~ω · ~ds

= 0. (4.18)

A proposicao seguinte ira permitir-nos obter mais uma equacao que fara parte do modelo desuperconductividade.

Proposicao

”A lei dada por

d

dt

∫∫S(t)

~ω · ~ds

= 0

implica a seguinte equacao diferencial

∂~ω

∂t+ ~∇× (~ω × ~u) = 0.”

Demonstracao:i)Seja

φ =

∫∫S(t)

~ω(x, t) · ~ds

o fluxo da vorticidade atraves da superfıcie S(t). Esta superfıcie S(t) move-se durante umintervalo de tempo ∆t, para a superfıcie S(t + ∆t), conforma ilustra a figura.

Desta forma fica definida uma superfıcie fechada

Sfechada = S(t) ∪ Slateral ∪ S(t + ∆t)

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que encerra um volume de controle V.

Como consequencia de (4.10) e de (4.14) tem-se que ~∇ · ~ω = 0 logo∫∫∫

V~∇ · ~ω dv = 0.

Pelo teorema da divergencia vem entao que∫∫Sfechada

~ω · ~ds = 0.

No instante de tempo t + ∆t podemos escrever que∫∫S(t+∆t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds−∫∫S(t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds−∫∫

Slateral

~ω(x, t + ∆t) · ~dA = 0

tendo em conta os sinais dos vectores normais as superfıcies. Portanto, temos que∫∫S(t+∆t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds−∫∫S(t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds =

∫∫Slateral

~ω(x, t + ∆t) · ~dA

ii)A variacao do fluxo em ordem ao tempo e dada por

dφ

dt= lim

∆t−→0

∫∫S(t+∆t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds−∫∫

S(t)~ω(x, t) · ~ds

∆t

Somando e subtraindo o termo∫∫

S(t)~ω(x, t + ∆t) · ~ds, pode escrever-se

dφ

dt= lim

∆t−→0

∫∫S(t+∆t)

~ω(x, t + ∆t) · ~ds−∫∫

S(t)~ω(x, t + ∆t) · ~ds

∆t+

+ lim∆t−→0

∫∫S(t)

[~ω(x, t + ∆t)− ~ω(x, t)] · ~ds

∆t.

Por i), a equacao anterior e equivalente a

dφ

dt= lim

∆t−→0

∫∫Slateral

~ω(x, t + ∆t) · ~dA

∆t+

∫∫S(t)

∂~ω(x, t)

∂t· ~ds.

Por observacao da figura anterior ja vimos que um elemento unitario da superfıcie de arealateral pode ser escrito como ~dA = (~u× ~dl)∆t. Entao, no instante t + ∆t temos que

dφ

dt= lim

∆t−→0

∫C(t)

~ω(x, t + ∆t) · (~u(x, t + ∆t)× ~dl)∆t

∆t+

∫∫S(t)

∂~ω(x, t)

∂t· ~ds.

18

sendo C(t) a linha fechada que encerra a superfıcie S(t).Tomando o limite ficamos com

dφ

dt=

∫C(t)

~ω(x, t) · (~u(x, t)× ~dl) +

∫∫S(t)

∂~ω(x, t)

∂t· ~ds,

o que e equivalente a

dφ

dt=

∫C(t)

( ~ω(x, t)× ~u(x, t)) · ~dl +

∫∫S(t)

∂~ω(x, t)

∂t· ~ds

por propriedade do produto misto. Aplicando o teorema de Stokes vem que

dφ

dt=

∫∫S(t)

~∇× ( ~ω(x, t)× ~u(x, t)) · ~ds +

∫∫S(t)

∂~ω(x, t)

∂t· ~ds,

ou seja

dφ

dt=

∫∫S(t)

[∂~ω(x, t)

∂t+ ~∇× ( ~ω(x, t)× ~u(x, t)] ~ds.

Sendo S(t) uma superfıcie arbitraria e porquedφ

dt= 0 por hipotese, entao podemos concluir

que∂~ω

∂t+ ~∇× (~ω × ~u) = 0.

Percebe-se a forte analogia que existe entre vortices superconductores e linhas de vorticesde fluidos incompressıveis, nao viscosos e irrotacionais. Para ambos os modelos se obtem amesma equacao diferencial que rege a densidade de vorticidade.

Chegamos por fim ao modelo que rege o comportamento dos vortices supercondutores, emsupercondutores do tipo II, durante a fase mista de conducao

Problema(PIV)

~∇ · ~B = 0

−∆ ~B + ~B = ~ω∂~ω

∂t+ ~∇× (~ω × ~u) = 0

~u = (~∇× ~B)× ~ω

|~ω|.

4.2 Condicoes de Fronteira

O problema (PIV ) sera estudado para dimensoes um e dois, e portanto a discussao dascondicoes de fronteira sera realizada a seguir, na seccao 5, onde se escrevem as formulacoesdeste problema para uma e duas dimensoes.

19

5 Formulacao dos Problemas de Dimensao Um e Di-

mensao Dois

Formulacao do Problema de Dimensao Dois

Consideremos um domınio ΩT = Ω × [0, T ], sendo Ω um subconjunto de R2. O modelode vortices superconductores, com um campo de inducao magnetica paralelamente aplicadoao eixo do cilindro, reduz-se ao caso bidimensional quando ~B = (0, 0, B), ~w = (0, 0, w) e~u = (u1, u2, 0), com B = B(~x, t), w = w(~x, t) e ui = ui(~x, t), ∀i = 1, 2 e traduz-se por

Problema(P2D)

−∆B + B = ω, (equacao de Helmholtz)

u1 = − ∂B

∂x1

,

u2 = − ∂B

∂x2

,

∂w

∂t+

∂(u1ω)

∂x1

+∂(u2ω)

∂x2

= 0, (equacao do Transporte)

(5.19)

no domınio considerado, sendo a vorticidade inicial ω(~x, 0) = ω0(~x), ∀~x ∈ R2 uma funcaodada.

Vamos agora discutir as condicoes de fronteira. Estando em estudo a resposta do mate-rial superconductor a um campo magnetico aplicado exteriormente, iremos considerar comonatural que na fronteira do superconductor o valor do campo de inducao magnetica sejaconhecido, o que nos conduz a seguinte condicao de Dirichlet

B(~x, t) = Bd(~x, t) (5.20)

para todo o ponto (~x, t) na fronteira do material, sendo Bd(~x, t) uma funcao conhecida.

A necessidade de adicionar condicoes de fronteira sobre a vorticidade, depende do facto deos vortices se estarem a dirigir para dentro ou para fora da fronteira. Se os vortices se estaoa deslocar para fora da fronteira, isto e, se ~u ·~n > 0, sendo ~u a velocidade e ~n a normal exte-rior a fronteira do conductor, entao os vortices estao a deixar o conductor e portanto nao enecessario fornecer informacao adicional, isto e, nao ha condicoes de fronteira a acrescentar.Se ~u · ~n < 0, isto e, se ha criacao de vortices na fronteira, que se deslocam para dentro doconductor, entao precisamos definir o fluxo da vorticidade atraves da fronteira. Nao e obvioqual devera ser esta condicao de fronteira. Apresentamos aqui uma possibilidade. Foi deter-minado experimentalmente em [29,30] e estudado teoricamente em [31] que nao ha formacaode vortices na fronteira ate a densidade de corrente atingir um determinado valor crıtico,Jn, designado por densidade de corrente de nucleacao. Este parametro depende do materiale entre outras coisas da rugosidade da superfıcie do conductor.

20

Se |~∇B| < Jn devemos ter vorticidade igual a zero na fronteira, indicando que nao ha vorticesa formarem-se na fronteira. Quando a densidade de corrente electrica atinge um valor sufi-cientemente alto, que permite que se gerem vortices na fronteira, entao estabelecemos queo fluxo da vorticidade atraves da fronteira e proporcional a diferenca entre o gradiente docampo de inducao magnetica e a densidade de corrente de nucleacao. Estas consideracoesconduzem-nos a seguinte condicao

ω(~x, t) =α(| ∇B | −Jn)+

| ∇B |, se ~u.~n < 0 (5.21)

na fronteira do conductor, em que (.)+ = max(., 0), Jn representa a corrente de nucleacao, αe uma constante que depende do material e ~n e o vector normal, exterior a fronteira ∂ΩT , dodomınio Ω. A condicao ~u.~n < 0 sobre a fronteira ∂ΩT , corresponde a formacao de vorticesna fronteira que se dirigem para dentro do superconductor.

Embora seja fısicamente mais natural considerar uma condicao do tipo Dirichlet para ocampo de inducao magnetica, iremos aqui tambem considerar uma condicao do tipo Neu-mann

∂B(~x, t)

∂~n= 0, ∀ (~x, t) ∈ ∂ΩT . (5.22)

para melhor testar o programa resultante da implementacao numerica do problema, umavez que, dada a sua complexidade nao e possıvel encontrar uma solucao exacta que sirvade teste. Pela mesma razao se considera tambem uma condicao de fronteira linear para avorticidade sempre que houver entrada de fluxo da vorticidade

ω(~x, t) = ωd(~x, t), ∀ (~x, t) ∈ ∂ΩT = ∂Ω× (0, T ) , se ~u.~n < 0. (5.23)

Resumindo, sera deduzida a discretizacao numerica do problema (P2D) para condicoes defronteira do tipo Dirichlet e do tipo Neumann para o campo de inducao magnetica e condicoesde fronteira lineares e nao lineares para a vorticidade.

Formulacao do Problema de Dimensao Um

Seja o domınio ΩT = Ω × [0, T ], com Ω = [0, 1]. Assumindo entao que ~B = (0, 0, B),~w = (0, 0, w) e ~u = (u, 0, 0) com B = B(x, t), w = w(x, t) e u = u(x, t), o modelo matematicoque descreve o problema e

Problema(P1D)

−∂2B

∂x2+ B = ω,

u = −∂B

∂x,

∂w

∂t+

∂(uω)

∂x= 0

(5.24)

no domınio Ω ocupado pelo superconductor. A vorticidade inicial

ω(x, 0) = ω0(x), ∀x ∈ [0, 1] (5.25)

21

e uma funcao dada.

Analogamente ao caso anterior, as condicoes de fronteira para o campo de inducaomagnetica, serao do tipo Dirichlet

B(x, t) = Bd(x, t), ∀ t ∈ [0, T ] e x=0 ou x=1 (5.26)

sendo Bd(x, t) uma funcao conhecida.Para a vorticidade, teremos condicoes de fronteira nao lineares para x = 0 se u(0, t) > 0ou x = 1 se u(1, t) < 0

ω(x, t) =α(| ∂B

∂x| −Jn)+

| ∂B

∂x|

, ∀ t ∈ [0, T ] (5.27)

sendo (.)+ = max(., 0), Jn representa a corrente de nucleacao e α e uma constante quedepende do material, como ja se referiu anteriormente.Pelas razoes ja apontadas, serao consideradas tambem condicoes do tipo Neumann para ocampo de inducao magnetica

∂B(x, t)

∂x= 0, ∀ t ∈ [0, T ] e x=0 ou x=1. (5.28)

assim como condicoes de fronteira lineares para a vorticidade. O valor da vorticidade nafronteira podera ser dado por

ω(x, t) = k1(t), ∀ t ∈ [0, T ] e x = 0 se u(0, t) > 0 (5.29)

eω(x, t) = k2(t), ∀ t ∈ [0, T ] e x = 1 se u(1, t) < 0 (5.30)

dependendo do sinal da velocidade nessa mesma fronteira. As funcoes k1(t) e k2(t) sao dadas.Se, na fronteira, a velocidade for positiva e porque ha entrada de fluxo da vorticidade, casoseja negativa ha saıda de vortices na fronteira.

Seguidamente, na seccao 6 estuda-se qual o esquema numerico que resolve o problema (P1D)e efectua-se a sua implementacao computacional.

22

6 Discretizacao Numerica e Implementacao Computa-

cional do Modelo de Dimensao Um

O estudo da resolucao numerica do problema (P1D) decorreu de forma faseada. Foi investi-gada a implementacao computacional de cada uma das equacoes intervenientes no problemae finalmente do problema (5.24).A particao do domınio ΩT fez-se, comecando por considerar primeiro uma particao deΩ = [0, 1], dada por

Ω = ∪J+1j=1 [xj−1, xj] (6.31)

sendo J+1 o numero de subintervalos considerados. O passo no espaco, e dado por ∆x =1

J + 1e portanto

xj = j∆x, j = 0, ..., J + 1. (6.32)

Em seguida efectuou-se a particao no tempo

[0, T ] = ∪Ni=1[ti−1, ti] (6.33)

sendo N o numero de subintervalos considerados e o passo de tempo ∆t =1

N, logo

tn = n∆t, ∀ n = 0, ..., N. (6.34)

Vamos agora estudar a resolucao numerica da primeira equacao do problema (P1D), a equacaode Helmholtz.

6.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz(Dimensao Um)

Considerando que a vorticidade ω e dada, o campo de inducao magnetica B = B(x, t), eregido pela seguinte equacao, designada por equacao de Helmholtz,

−∂2B

∂x2+ B = ω (6.35)

com condicoes fronteira do tipo Neumann ou Dirichlet. Sejam ωn e Bn os valores da vorti-cidade e do campo de inducao magnetica no instante de tempo tn = n∆t.Se considerarmos que, na implementacao numerica, ω e conhecida e e igual a ωn−1 para umcerto instante de tempo tn = n∆t, entao pode escrever-se o seguinte esquema numerico paraa equacao (6.35).

−(∂2B

∂x2)n + Bn = ωn−1, ∀ n = 1, ..., N. (6.36)

Tome-se como aproximacao numerica de∂2B

∂x2a diferenca finita centrada de 2aordem

(∂2B

∂x2)n ≈

Bnj−1 − 2Bn

j + Bnj+1

(∆x)2(6.37)

23

para um certo instante de tempo tn = n∆t e para um ponto xj. Utilizando a aproximacao

(6.37) em (6.36) obtemos o esquema numerico que resolve a equacao (6.35)

−Bnj−1 + (2 + (∆x)2)Bn

j −Bnj+1 = (∆x)2ωn−1

j , ∀ j = 1, ..., J. (6.38)

Como foi referido anteriormente, vamos agora estudar as duas diferentes condicoes de fron-teira, de Neumann e de Dirichlet.

6.1.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz comCondicoes de Fronteira do tipo Neumann

Uma condicao fronteira do tipo Neumann para o campo de inducao magnetica traduz-se em

∂B(x, t)

∂n= 0, para x=0 e x=1, ∀ t ∈ [0, T ]. (6.39)

Para descrever esta condicao, vamos considerar nos calculos numericos que

Bn0 = Bn

1 e BnJ = Bn

J+1. (6.40)

Assim, o esquema numerico que resolve a equacao de Helmholtz com condicoes fronteira dotipo Neumann e dado por (6.38) e (6.40), isto e,

−Bnj−1 + (2 + (∆x)2)Bn

j −Bnj+1 = (∆x)2ωn−1

j , ∀j = 1, ..., J, ∀ n = 1, ..., N,

Bn0 = Bn

1 , BnJ = Bn

J+1, ∀ n = 0, ..., N

(6.41)Para procedermos a implementacao computacional deste esquema, repare-se que o sistemaque acabamos de obter assume formas particulares para j = 1

(1 + ∆x2)Bn1 −Bn

2 = (∆x)2ωn−11 (6.42)

e para j = J−Bn

J−1 + (1 + ∆x2)BnJ = (∆x)2ωn−1

J . (6.43)

Podemos entao escrever o sistema na forma matricial, por meio de uma matriz de coeficientestridiagonal

1 + (∆x)2 −1.0 0 0 ... 0−1.0 2 + (∆x)2 −1.0 0 ... 0... −1.0 2 + (∆x)2 −1.0 ... 0... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...0 ... ... 0 −1.0 1 + (∆x)2

Bn

1

Bn2

...

...Bn

J

=(∆x)2

ωn−1

1

ωn−12

...

...ωn−1

J

(6.44)

Para se proceder a implementacao computacional deste sistema optou-se pelo metodo defactorizacao LU, [6], dada a sua adequacao a resolucao de matrizes tridiagonais. Foi elabo-rado um programa em linguagem C, que se encontra no anexo 1 e que foi testado com alguns

24

exemplos apresentados a seguir.

Exemplos Numericos para a equacao de Helmholtz com Condicoes de fronteirado tipo Neumann

Estes exemplos foram pensados como forma de testar a implementacao do programa.Conhecendo-se o campo de inducao magnetica, saberıamos que funcao esperar para a vorti-cidade inicial. Assim, se B for dado por

B(x) =1

2sin(2π(x− 1

4)) + (2π2 +

1

2) (6.45)

entao

B′(x) = π cos(2π(x− 1

4)), B′′(x) = −2π2 sin(2π(x− 1

4)). (6.46)

Este campo de inducao magnetica verifica condicoes de fronteira do tipo Neumann,∂B(x)

∂x=

0 em x = 0 e x = 1. Substituindo (6.45) e (6.46) em (6.35) na equacao de Helmholtz, vemcomo funcao vorticidade inicial

ω0(x) = (2π2 +1

2) sin(2π(x− 1

4)) + (2π2 +

1

2). (6.47)

Assim, iremos inserir no program a vorticidade inicial dada por (6.47), e esperamos obterB(x) dado por (6.45).O resultado numerico obtido na figura 4 permite comparar a solucao aproximada com asolucao exacta.

25

6.1.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz comCondicoes de Fronteira do tipo Dirichlet

Com condicoes de fronteira do tipo Dirichlet, o campo de inducao magnetica na fronteira econhecido,

B(x, t) = Bd dado, para x=0 e x=1, ∀ t ∈ [0, T ]. (6.48)

Tendo em conta que B(0, t) e B(1, t), ∀t ∈ [0, T ] sao valores conhecidos, entao numericamentetemos que Bn

0 e BnJ+1 sao dados. Assim, o esquema numerico que resolve a equacao de

Helmholtz com condicoes fronteira do tipo Dirichlet, e dado por−Bn

j−1 + (2 + (∆x)2)Bnj −Bn

j+1 = (∆x)2ωn−1j , ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 1, ..., N,

Bn0 = Bn

0,d, BnJ+1 = Bn

1,d dados, ∀ n = 0, ..., N.

(6.49)Vamos agora proceder a implementacao computacional deste esquema. Para tal repare-seque o esquema (6.49), para x = x1 pode ecrever-se

(2 + (∆x)2)Bn1 −Bn

2 = (∆x)2ωn−11 + Bn

0 (6.50)

e para x = xJ pode escrever-se

−BnJ−1 + (2 + (∆x)2)Bn

J = (∆x)2ωn−1J + Bn

J+1. (6.51)

A semelhanca do caso anterior, podemos escrever o sistema sob a forma matricial

2 + (∆x)2 −1.0 0 ... 0−1.0 2 + (∆x)2 −1.0 ... 0... −1.0 2 + (∆x)2 ... 0... ... ... ... ...0 ... ... −1.0 2 + (∆x)2

Bn1

Bn2

...Bn

J

=(∆x)2

ωn−1

1 + Bn0

ωn−12

...ωn−1

J + BnJ+1

(6.52)

tambem envolvendo uma matriz de coeficientes tridiagonal. O sistema (6.52) foi implemen-tado e resolvido computacionalmente, tambem pelo metodo da factorizacao LU. O programa,escrito em C, encontra-se no anexo 2.

Exemplos Numericos para a equacao de Helmholtz com condicoes de fronteirado tipo Dirichlet

A semelhanca do caso anterior, o seguinte exemplo servira de teste ao programa do anexo2. Se o campo de inducao magnetica for dado por

B(x) =1

2sin(π(x− 1

4)) +

1

2(6.53)

26

entao

B′(x) =π

2cos(2π(x− 1

4)), B′′(x) = −π2 sin(π(x− 1

4)). (6.54)

Para este campo de inducao magnetica, sao conhecidos os valores fronteiros

B(0) =1

2−√

2

4, B(1) =

1

2+

√2

4. (6.55)

Substituindo (6.53) e (6.54) na equacao de Helmholtz, teremos como funcao vorticidadeinicial

ω0(x) = (π2 +1

2) sin(π(x− 1

4)) +

1

2. (6.56)

Assim, se considerarmos a vorticidade inicial dada por (6.56), teremos que obter B(x)dado por (6.53).Na figura 5 podemos observar os resultados numericos obtidos para o campo de inducaomagnetica, com valores fronteiros dados como em (6.55) e vorticidade inicial dada por (6.56).Sera tambem possıvel efectuar uma comparacao entre os graficos da solucao aproximada eda exacta.

27

6.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao que Modelaa Velocidade (Dimensao Um)

Do problema (P1D) temos que a velocidade e dada por

u(x, t) = −∂B(x, t)

∂x, ∀(x, t) ∈ ΩT .

Optamos por considerar diferentes diferencas finitas para aproximar a derivada do campode inducao magnetica dependendo do ponto do domınio no qual se pretendia aproximarnumericamente esta derivada. Assim, no ponto x = 0, utilizou-se uma diferenca finitaprogressiva

∂B(0, t)

∂x≈ B(∆x, t)−B(0, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ], (6.57)

para qualquer ponto no interior no domınio, considerou-se uma diferenca finita centrada

∂B(x, t)

∂x≈ B(x + ∆x, t)−B(x−∆x, t)

2∆x, ∀x ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ], (6.58)

e para o ponto x = 1, tomou-se uma diferenca finita regressiva

∂B(1, t)

∂x≈ B(1, t)−B(1−∆x, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ]. (6.59)

Considerando-se condicoes de fronteira do tipo Dirichlet para o campo de inducao magnetica,entao o esquema numerico que resolve a equacao que modela a velocidade e dado por

un0 =

1

∆x(Bn

0 −Bn1 ), ∀ n = 0, ..., N,

unj =

1

2∆x(Bn

j−1 −Bnj+1), ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 0, ..., N,

unJ+1 =

1

∆x(Bn

J −BnJ+1) ∀ n = 0, ..., N.

(6.60)

Se por outro lado forem consideradas condicoes de fronteira do tipo Neumann para ocampo de inducao magnetica, obtemos o seguinte esquema numerico para calcular a veloci-dade un

j =1

2∆x(Bn

j−1 −Bnj+1), ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 0, ..., N,

un0 = un

J+1 = 0, ∀ n = 0, ..., N.(6.61)

28

6.3 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Trans-porte da Vorticidade (Dimensao Um)

Pretende-se agora resolver numericamente a equacao que modela o transporte da vorticidadeω. Esta equacao, no caso de dimensao um escreve-se

∂w

∂t+

∂(uω)

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ ΩT .

Mais geralmente, no caso multidimensional, escreve-se

∂ω(~x, t)

∂t+ div(~u(~x, t) ω(~x, t)) = 0, ∀ (~x, t) ∈ ΩT . (6.62)

Inicialmente foi feita uma aproximacao por diferencas finitas centradas, cujo esquema, de1aordem, se apresentaria nao monotono conforme se pode constatar em Introduction to Nu-merical Methods in Differential Equations, pag.136.

Relembre-se que um esquema numerico diz-se monotono se preserva a monotonia na solucao:

Definition 1 Uma aproximacao por diferencas finitas e monotona se

uni ≥ un

i+1 , ∀ i implica que un+1i ≥ un+1

i+1 , ∀ i. (6.63)

Consultou-se mais alguma bibliografia, da qual se destaca Fundamentals of ComputationalFluid Dynamics e Numerical Methods for Conservation Laws para se averiguar quanto aometodo numerico mais adequado a resolucao desta equacao. Daqui se concluıu que emborade 2aordem, mas tambem nao monotonos temos o metodo de Lax-Wendroff e o metodo deBeam-Warming, que recorrem a aproximacoes dadas pela formula de Taylor e por diferencasfinitas. Alem disso, sao metodos que, quando a condicao inicial e descontınua, apresentamoscilacoes nos seus pontos de descontinuidade.

Assim sendo, o metodo Up-Wind foi o metodo adoptado uma vez que e monotono e oque melhor aproxima a solucao da equacao (6.62) sem ter oscilacoes na resolucao, emboraesteja sujeito a uma condicao de estabilidade.Como resultado de mais alguma pesquisa bibliografica, nomeadamente de um artigo deF. Pascal intitulado Supraconvergence of the Finite Volume Method utilizou-se tambem ometodo de volume finito, como se descreve em seguida.

A equacao (6.62) pode ser reescrita na forma

∂ω

∂t+ div ~f = 0, com ~f = ~uω. (6.64)

Em qualquer elemento de volume Vj, a equacao pode escrever-se∫Vj

∂ω

∂tdVj +

∫Vj

div ~f dVj = 0. (6.65)

29

Pelo teorema da divergencia, a equacao anterior e equivalente a

∂

∂t

∫Vj

ω dVj +

∫Sj

~f · ~n dSj = 0,

em que Sj designa a superfıcie que encerra o volume Vj e ~n e a normal exterior a superfıcieSj. Dividindo esta equacao por | Vj | obtem-se

∂

∂t(

1

| Vj |

∫Vj

ω dVj) +1

| Vj |

∫Sj

~f ~nj dSj = 0. (6.66)

Por fim, designemos ωj por

ωj =1

| Vj |

∫Vj

ω dVj. (6.67)

Acabamos de dar a ideia basica do metodo do volume finito para o caso multidimensional.

Agora, vamos restringir-nos ao caso de 1-dimensao. Para este caso tomemos Ω = [0, 1].Tome-se um elemento de ”‘volume” Vj, do domınio, dado por

Vj = [xj−1/2, xj+1/2] (6.68)

e centrado em xj, sendo

xj−1/2 =xj−1 + xj

2e xj+1/2 =

xj + xj+1

2. (6.69)

Nesse caso, |Vj| = ∆x, com ∆x = xj+1/2 − xj−1/2. Assim sendo, no caso de dimensao um, aequacao (6.66) pode escrever-se

∂wj

∂t+

1

∆x(fj+1/2 − fj−1/2) = 0, (6.70)

em que ∆x = xj+1/2−xj−1/2 Porque se designou f = uw, o esquema (6.70) pode reescrever-secomo

∂wj

∂t+

1

∆x(uj+1/2wj+1/2 − uj−1/2wj−1/2) = 0, ∀ j = 1, ..., J. (6.71)

Teremos agora que encontrar forma de aproximar numericamente os termos intervenientesnesta equacao. Atendendo a designacao (6.67) e recorrendo a Regra do Ponto Medio podemosescrever

wj ≈1

∆x(xj+1/2 − xj−1/2)wj

ou sejawj ≈ wj. (6.72)

Desta forma, a equacao do transporte a uma dimensao

∂ω(x, t)

∂t+

∂(u(x, t) ω(x, t))

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ ΩT . (6.73)

30

sera resolvida numericamente pelo seguinte esquema

∂wj

∂t+

1

∆x(uj+1/2wj+1/2 − uj−1/2wj−1/2) = 0, ∀ j = 1, ..., J. (6.74)

O objectivo que se segue e obter aproximacoes numericas para os termos uj+1/2, ωj+1/2,uj−1/2 e ωj−1/2.

E usual diferenciar o estudo da equacao do transporte para o caso em que a velocidadee constante no espaco e para o caso em que a velocidade nao e constante no espaco. Vamosentao deduzir as resolucoes numericas, para cada um destes casos.Comecamos pelo caso em que a velocidade e constante, e em seguida, mais facilmente sepodera obter a resolucao numerica para o caso em que a velocidade nao e constante.

6.3.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da Vor-ticidade sendo a Velocidade Constante no Espaco

Uma vez que a velocidade se assume constante no espaco, sera natural considerar

uj+1/2 = u e uj−1/2 = u. (6.75)

Quanto as aproximacoes para a vorticidade, agimos de acordo com a ideia das caracterısticas

dX(t)

dt= u(X(t), t). (6.76)

Distinguimos dois diferentes casos, um para quando a velocidade e positiva e outro paraquando a velocidade e negativa.Se u > 0 consideramos

ωj−1/2 ≈ ωj−1 e ωj+1/2 ≈ ωj, (6.77)

se u < 0 consideramosωj−1/2 ≈ ωj e ωj+1/2 ≈ ωj+1. (6.78)

Substituindo as aproximacoes consideradas em (6.75), (6.77) e (6.78) em (6.74), obtemos oseguinte esquema numerico que resolve a equacao (6.73)

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆xun(ωn

j − ωnj−1), se un ≥ 0 (6.79)

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆xun(ωn

j+1 − ωnj ), se un < 0. (6.80)

O esquema (6.79)-(6.80) designa-se por esquema Up-Wind.

Lemma 1 ([5],pg.107) O esquema Up-Wind,(6.79)-(6.80), esta sujeito a uma condicao deestabilidade, a condicao de Courant, Friedrichs e Lewy (CFL)

∆t

∆x| un |≤ 1. (6.81)

31

Demonstracao:a) Se u > 0, a condicao de estabilidade a que o esquema esta sujeito, e

0 ≤ ∆t

∆xun ≤ 1 (6.82)

‖wn+1‖ = ∆x∑

j

| ωn+1j |

= ∆x∑

j

| ωnj −

∆t

∆xun(ωn

j − ωnj−1) |

= ∆x∑

j

| ωnj (1− ∆t

∆xun) +

∆t

∆xunωn

j−1 |

≤ ∆x∑

i

| ωnj (1− ∆t

∆xun) | +∆x

∑j

∆t

∆xun | ωn

j−1 |

≤ ∆x∑

j

(1− ∆t

∆xun) | ωn

j | +∆x∑

j

∆t

∆xun | wn

j−1 |

≤ ∆x(1− ∆t

∆xun)

∑j

| ωnj | +

∆t

∆xun∆x

∑j

| ωnj−1 |

= (1− ∆t

∆xun)∆x

∑j

| ωnj | +

∆t

∆xun∆x

∑j

| ωnj−1 |

= (1− ∆t

∆xun)‖ωn‖+

∆t

∆xun‖ωn‖

= ‖ωn‖

b) Se u < 0, a condicao de estabilidade a que o esquema esta sujeito, e

−1 ≤ ∆t

∆xu ≤ 0 (6.83)

e a demonstracao e analoga a anterior.

Para resolver numericamente o esquema Up-Wind (6.79)-(6.80) , temos que acrescentara este esquema as condicoes iniciais e de fronteira.Quanto as condicoes iniciais, e conhecida a funcao vorticidade inicial ω0(x),∀x ∈ [0, 1], talcomo ja foi referido anteriormente. Numericamente temos entao que

ω0j − dada ∀ j = 0, ..., J + 1.

Relativamente as condicoes fronteira, sao conhecidos os valores da vorticidade para x = 0 e

32

x = 1, dependendo do sinal da velocidade na fronteira.Assim, os valores da vorticidade na fronteira sao dados por

ω(0, t) = k1(t) se u(0, t) > 0, ∀ t > 0,

ω(1, t) = k2(t) se u(1, t) < 0, ∀ t > 0(6.84)

onde k1(t) e k2(t) sao funcoes conhecidas. Estas condicoes numericamente traduzem-se porωn+1

0 = kn+11 se un

0 > 0, ∀ n = 0, ..., N,

ωn+1J+1 = kn+1

2 se unJ+1 < 0, ∀ n = 0, ..., N.

(6.85)

Repare-se que no caso da velocidade ser constante no espaco, a equacao do transporte e umatıpica equacao de advecao

∂ω(x, t)

∂t+ u(t)

∂ω(x, t)

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ ΩT (6.86)

e sera entao resolvida numericamente pelo seguinte esquema

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆xun(ωn

j − ωnj−1) se un ≥ 0,∀ j = 1, ..., J + 1,∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆xun(ωn

j+1 − ωnj ) se un ≤ 0,∀ j = 0, ..., J,∀ n = 0, ..., N

ωn+10 = kn+1

1 se un > 0,∀ n = 0, ..., N

ωn+1J+1 = kn+1

2 se un < 0,∀ n = 0, ..., N

ω0j − dada ∀ j = 0, ..., J + 1

(6.87)

sujeito a condicao de estabilidade referida em (6.81).O programa foi escrito em C, e encontra-se no anexo 3. Foi efectuada a implementacao com-putacional do esquema (6.87) e realizados alguns testes ao programa, no sentido de apurarse os resultados obtidos seriam os esperados.

Exemplos Numericos para a equacao de advecao

Recorde-se que a equacao que se terminou de resolver e a equacao de advecao

∂ω(x, t)

∂t+ u(t)

∂ω(x, t)

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ ΩT .

Para conseguirmos construir alguns exemplos, lembremo-nos primeiro que as caracterısticasdesta equacao de adveccao sao dadas por

dX(t)

dt= u(X(t), t). (6.88)

33

Assim, considerando a velocidade dada por u(t) = t, pela propria definicao (6.88), bastaintegrar que obtemos a expressao analıtica das caracterısticas

X(t) =t2

2+ C, com C constante. (6.89)

Caso a condicao de estabilidade (6.81) nao seja satisfeita pode observar-se na figura 6 que asolucao numerica colapsa.

A partir deste momento todos os exemplos numericos dados satisfazem a condicao de esta-bilidade.

Observe-se entao o grafico da figura 7 onde se reconhece que os valores numericos obti-dos ”desenham” linhas que correspondem a esta expressao analıtica.A equacao de adveccao que rege a vorticidade, traduz que a derivada total da vorticidade enula

dω(X(t), t)

dt= 0 (6.90)

ou seja, que a vorticidade ao longo das caracterısticas deifinidas em (6.89) e constante. Osresultados numericos mostraram precisamente que a vorticidade se mantem constante aolongo das caracterısticas.Podemos ver que no intervalo de tempo t ∈ [1.2, 1.6] todos os vortices vao deixar o domınioe a partir de t ≥ 1.6 nao vao existir vortices.

34

Vejamos agora outro exemplo, que se pode observar na figura 8. Procedendo de igual modo,se a velocidade for dada por u(t) = 1, as caracterısticas serao dadas por X(t) = t + C comC constante, ou seja, a vorticidade e constante ao longo de linhas rectas.Podemos observar que no intervalo de tempo t ∈ [0.6, 1.4] todos os vortices vao deixar odomınio e a partir de t ≥ 1.4 ja nao existe movimento de vortices no domınio.

35

Nos restantes exemplos numericos que se seguem, nas figuras 9 e 10, iremos apenas ap-resentar os resultados numericos obtidos para a vorticidade, tendo sido atribuıdos diferentesvalores a velocidade u(t) e as funcoes k1(t) e k2(t). A equacao das caracterısticas em cadacaso, podera ser deduzida tal como nos exemplos anteriores.

36

6.3.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Transporte da Vor-ticidade sendo a Velocidade nao constante no Espaco

A semelhanca do esquema numerico deduzido para resolver a equacao (6.86), quando seconsiderou a velocidade constante no espaco, deduziu-se o seguinte esquema numerico pararesolver a equacao do transporte

∂ω(x, t)

∂t+

∂(u(x, t)ω(x, t))

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ [0, T ] (6.91)

admitindo que a velocidade e funcao do tempo e do espaco.

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj − ωn

j−1) + ωnj (un

j − unj−1)] se un

j > 0, ∀j = 1, ..., J + 1

∀n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆xωn

j (unj+1 − un

j−1) se unj = 0, ∀j = 1, ..., J

∀n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj+1 − ωn

j ) + ωnj (un

j+1 − unj )] se un

j < 0, ∀j = 0, ..., J

∀n = 0, ..., N

ωn+10 = kn+1

1 se un0 > 0, ∀n = 0, ..., N

ωn+10 = ωn

0 −∆t

∆xωn

0 (un1 − un

0 ) se un0 = 0, ∀n = 0, ..., N

ωn+1J+1 = kn+1

2 se unJ+1 < 0, ∀n = 0, ..., N

ωn+1J+1 = ωn

J+1 −∆t

∆xωn

J+1(unJ+1 − un

J) se unJ+1 = 0, ∀n = 0, ..., N

ω0j − dada ∀j = 0, ..., J + 1.

(6.92)Este algoritmo foi implementado em C, encontrando-se no anexo 4.

Exemplos Numericos para a Equacao do Transporte

Vamos apresentar alguns exemplos numericos para a resolucao desta equacao, considerandodiferentes valores para a velocidade.Recorde-se primeiro que a equacao do transporte que se pretendia resolver e

∂ω(x, t)

∂t+

∂(u(x, t)ω(x, t))

∂x= 0, ∀ (x, t) ∈ ΩT .

o que e equivalente a

∂ω(x, t)

∂t+ u(x, t)

∂(w(x, t))

∂x+ ω(x, t)

∂(u(x, t))

∂x= 0. (6.93)

As trajectorias definidas pordX(t)

dt= u(X(t), t), com C constante, designam-se por carac-

terısticas.

37

Consideremos agora a funcao ω ao longo de uma caracterıstica, ω(X(t), t) e calculemos asua derivada

d

dtω(X(t), t) =

∂ω(X(t), t)

∂xu(X(t), t) +

∂ω(X(t), t)

∂t.

Substituindo esta relacao na equacao (6.93), vem

d

dtω(X(t), t) = −ω(X(t), t)

∂u(X(t), t)

∂x. (6.94)

Supondo que a velocidade e dada por u(x, t) = x, a equacao (6.94) transforma-se em

d

dtω(X(t), t) = −ω(X(t), t)

ao longo da caracterıstica X(t). Integrando ambos os membros, para qualquer ponto dodomınio temos entao que a solucao da equacao do transporte e dada por

ω(X(t), t) = ω0(X0)e−t

ao longo das caracterısticas definidas por X(t) = X0e−t, sendo X0 a posicao no instante t = 0e ω0(X0) a vorticidade inicial.

Na figura 11 pode observar-se que a vorticidade tende para zero, com o decorrer do tempo.

38

Procedendo analogamente, quando a velocidade for dada por u(x, t) = −x, a solucao daequacao do transporte vem dada por

ω(x, t) = ω0(x)et.

Assim, como se pode confirmar na figura 12, a vorticidade cresce exponencialmente ha me-dida que o tempo evolui.

Nas figuras que se seguem, figuras 13 e 14, podemos concluir que os calculos numericosefectuados, para a equacao do transporte, mostraram os resultados teoricos.

39

O facto de os resultados numericos se revelarem coincidentes com os resultados teoricosvem sustentar a realizacao de calculos numericos para o sistema definido em (5.24). Dadaa complexidade do sistema, nao sera possıvel obter uma solucao teorica, contudo iremosrealizar alguns testes que nos permitirao ter uma percepcao dos resultados numericos queserao de esperar.

40

6.4 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D)

Apresentamos agora a resolucao numerica do problema (P1D) para diferentes condicoes fron-teira e respectivos exemplos numericos. Na seccao (6.4.1) teremos condicoes fronteira dotipo Neumann para o campo de inducao magnetica e vorticidade linear na fronteira. Depois,na seccao (6.4.2) serao assumidas condicoes fronteira do tipo Dirichlet para o campo deinducao magnetica mantendo a vorticidade linear na fronteira. Por ultimo, na secao (6.4.3),mantem-se as condicoes fronteira do tipo Dirichlet para o campo de inducao magnetica evorticidade nao linear na fronteira do domınio.

6.4.1 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Neumann para o Campo de Inducao Magnetica dadaspor (5.22) e Vorticidade na Fronteira Constante no Espaco

Se juntarmos os esquemas numericos que resolvem as diferentes equacoes do problema (P1D),os esquemas (6.44), (6.61) e (6.92), que correspondem a equacao de Helmtholtz, a equacaoda velocidade e a equacao do transporte, respectivamente, obtemos o esquema numerico queresolve o problema (P1D) numericamente.

Tendo em conta as equacoes−Bxx + B = ω

eu = −Bx,

daqui resulta queux = ω −B.

Assim sendo, relativamente a aproximacao numerica da derivada da velocidade, em vez deutilizarmos uma diferenca finita, optamos por considerar o facto de que ux = ω −B.Considerando entao condicoes fronteira do tipo Neumann para o campo de inducao magneticae vorticidade conhecida na fronteira, o nosso esquema numerico vem

−Bnj−1 + (2 + (∆x)2)Bn

j −Bnj+1 = (∆x)2ωn−1

j ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 1, ..., N

unj =

1

2∆x(Bn

j−1 −Bnj+1) ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 0, ..., N,

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj − ωn

j−1)] + dt ωnj (Bn

j − ωnj ) se un

j ≥ 0,∀ j = 1, ..., J

∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj+1 − ωn

j )] + dt ωnj (Bn

j − ωnj ) se un

j < 0, ∀ j = 1, ..., J

∀ n = 0, ..., N

Bn0 = Bn

1 ∀ n = 0, ..., N

BnJ = Bn

J+1 ∀ n = 0, ..., N

un0 = 0 ∀ n = 0, ..., N

unJ+1 = 0 ∀ n = 0, ..., N

(6.95)

41

ωn+10 = Kn+1

1 se un0 > 0, ∀ n = 0, ..., N

ωn+10 = ωn

0 −∆t ωn0 (ωn

0 −Bn0 ) ∀ n = 0, ..., N

ωn+1J+1 = Kn+1

2 se unJ+1 < 0, ∀ n = 0, ..., N

ωn+1J+1 = ωn

J+1 −∆t ωnJ+1(ω

nJ+1 −Bn

J+1) ∀ n = 0, ..., N

ω0j − dada ∀j = 0, ..., J + 1

A sua implementacao computacional foi feita em C e encontra-se no anexo 5.

Exemplos Numericos para o problema (P1D) com Condicoes de Fronteira do tipo

Neumann para o Campo de Inducao Magnetica,∂B

∂n= 0 e Vorticidade na Fron-

teira constante no espaco, ω(0, t) = K1(t) se un0 > 0 e ω(1, t) = K2(t) se un

0 < 0.

Os resultados numericos obtidos para a vorticidade, a velocidade e para o campo de inducaomagnetica, do problema (P1D) com condicoes de Neumann para o Campo de InducaoMagnetica e Vorticidade conhecida na fronteira, podem observar-se nas figuras 14 e 15.

A condicao∂B

∂n= 0 nao traduz uma situacao real, apesar disso foi considerada por uma

questao de melhor testar o programa. Conforme ja foi referido, dada a complexidade dosistema nao possıvel encontrar uma solucao analıtica com a qual se possa testar o programaimplementado.Contudo, efectuando calculos numericos para uma funcao vorticidade inicial dada por

ω0(x) =

1.0, 0 ≤ x < 0.5

0, 0.5 ≤ x < 1.0

teremos ideia dos resultados que serao de esperar, uma vez que cada uma das equacoes jafoi estudada anteriormente. Portanto, esta funcao vorticidade inicial servira como teste aeficacia do esquema (6.95). Os resultados numericos obtidos podem observar-se na figura15.

42

Contudo, fısicamente o que faz mais sentido e que a vorticidade inicial seja nula esperando-seque aumente ao longo do tempo. Assim, e do nosso interesse analisar os resultados numericosobtidos quando ω0(x) = 0, ∀ x ∈ Ω.Nesta seccao, tal nao fara sentido pois com vorticidade inicial identicamente nula e condicoesde fronteira do tipo Neumann para o campo de induccao magnetica, isto e, sem entrada defluxo, nao havera criacao de vortices e portanto a vorticidade manter-se-a nula ao longo dotempo.No entanto, na seccao que se segue serao consideradas condicoes de fronteira do tipo Dirich-let para o campo de inducao magnetica e portanto sera possıvel analisarmos a evolucao davorticidade sendo a vorticidade inicial nula.

43

6.4.2 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (5.26) para o Campo de InducaoMagnetica e Condicoes de Fronteira Lineares dadas por (5.29) e (5.30) paraa Vorticidade

Caso as condicoes de fronteira consideradas sejam do tipo Dirichlet para o campo de inducaomagnetica

B(x, t) = Bd, ∀ t ∈ [0, T ] e x=0 ou x=1

e lineares para a vorticidade

ω(x, t) = k1(t), ∀ t ∈ [0, T ] e x = 0 se u(0, t) > 0

ω(x, t) = k2(t), ∀ t ∈ [0, T ] e x = 1 se u(1, t) < 0

juntamos os esquemas numericos obtidos para cada uma das equacoes, (6.52), (6.61) e (6.92)obtendo-se o esquema numerico que resolve o problema (P1D).

−Bnj−1 + (2 + (∆x)2)Bn

j −Bnj+1 = (∆x)2ωn−1

j ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 1, ..., N

unj =

1

2∆x(Bn

j−1 −Bnj+1) ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 0, ..., N,

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj − ωn

j−1) + ωnj (un

j − unj−1)] se un

j > 0,∀ j = 1, ..., J + 1

∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆xωn

j (unj+1 − un

j−1) se unj = 0,∀ j = 1, ..., J

∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj+1 − ωn

j ) + ωnj (un

j+1 − unj )] se un

j < 0, ∀ j = 0, ..., J

∀ n = 0, ..., N

Bn0 = Bn

0,d ∀ n = 0, ..., N

BnJ+1 = Bn

J+1,d ∀ n = 0, ..., N

un0 =

1

∆x(Bn

0 −Bn1 ) ∀ n = 0, ..., N

unJ+1 =

1

∆x(Bn

J −BnJ+1) ∀ n = 0, ..., N

ωn+10 = kn+1

1 se un0 > 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+10 = ωn

0 −∆t

∆xωn

0 (un1 − un

0 ) se un0 = 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+1J+1 = kn+1

2 se unJ+1 < 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+1J+1 = ωn

J+1 −∆t

∆xωn

J+1(unJ+1 − un

J) se unJ+1 = 0,∀ n = 1, ..., N

ω0j − dada ∀j = 0, ..., J + 1

(6.96)

Aqui, B0,d e BJ+1,d sao valores dados do campo de inducao magnetica na fronteira, parax = 0 e x = 1 respectivamente. K1(t) e K2(t) tambem sao funcoes dadasNo anexo 6 consta a implementacao computacional deste esquema realizada em C.

44

Exemplos Numericos para o Problema (P1D) com Condicoes de Fronteira dotipo Dirichlet dadas por (5.26) para o Campo de Inducao Magnetica e Condicoesde Fronteira Lineares dadas por (5.29) e (5.30) para a Vorticidade

Nas figuras 16 e 17 podem observar-se os resultados numericos obtidos para o problema(P1D), mais concretamente para a vorticidade, a velocidade e para o campo de inducaomagnetica, com condicoes de Dirichlet para o campo de inducao magnetica e vorticidadeconhecida e linear na fronteira. Tendo sido considerados sinais contrarios para a velocidadeem cada uma destas figuras, podemos observar quanto a simetria dos resultados numericosobtidos, comparando-os.

45

46

6.4.3 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P1D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (5.26) para o Campo de InducaoMagnetica e Condicoes de Fronteira Nao Lineares dadas por (5.27) paraa Vorticidade

Continuamos com condicoes de fronteira do tipo Dirichlet para o campo de inducao magnetica,B(x, t) = Bd, ∀ t ∈ [0, T ] e x=0 ou x=1 e vamos agora estudar o caso em que o valor da vor-ticidade na fronteira e estabelecida pela seguinte condicao nao linear para x = 0 se u(0, t) >0 ou x = 1 se u(1, t) < 0

ω(x, t) =α(| ∂B

∂x| −Jn)+

| ∂B

∂x|

, ∀ t ∈ [0, T ] (6.97)

em que (.)+ = max(., 0), Jn representa a corrente de nucleacao e α e uma constante quedepende do material conforme ja foi referido anteriormente.Juntamos os esquemas numericos obtidos com cada uma das equacoes, (6.52), (6.61)e (6.92)obtendo-se o esquema numerico que resolve o problema (P1D)

−Bnj−1 + (2 + (∆x)2)Bn

j −Bnj+1 = (∆x)2ωn−1

j ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 1, ..., N

unj =

1

2∆x(Bn

j−1 −Bnj+1) ∀ j = 1, ..., J, ∀ n = 0, ..., N,

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj − ωn

j−1) + ωnj (un

j − unj−1)] se un

j > 0,∀ j = 1, ..., J + 1

∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆xωn

j (unj+1 − un

j−1) se unj = 0,∀ j = 1, ..., J

∀ n = 0, ..., N

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[un

j (ωnj+1 − ωn

j ) + ωnj (un

j+1 − unj )] se un

j < 0, ∀ j = 0, ..., J

∀ n = 0, ..., N

Bn0 = Bn

0,d , BnJ+1 = Bn

J+1,d ∀ n = 0, ..., N

un0 =

1

∆x(Bn

0 −Bn1 ) , un

J+1 =1

∆x(Bn

J −BnJ+1) ∀ n = 0, ..., N

ωn+10 =

(|un+10 | − Jn)+

|un+10 |

se un0 > 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+10 = ωn

0 −∆t

∆xωn

0 (un1 − un

0 ) se un0 = 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+1J+1 =

(|un+1J+1| − Jn)+

|un+1J+1|

se unJ+1 < 0,∀ n = 1, ..., N

ωn+1J+1 = ωn

J+1 −∆t

∆xωn

J+1(unJ+1 − un

J) se unJ+1 = 0,∀ n = 1, ..., N

ω0j − dada ∀j = 0, ..., J + 1

(6.98)

47

Mais uma vez, nos exemplos que se seguem, considerou-se B0,d e BJ+1,d valores dados docampo de inducao magnetica na fronteira, para x = 0 e x = 1 respectivamente.No anexo 7 consta a implementacao computacional deste esquema elaborada em C.

Exemplos Numericos para o problema (P1D) com Condicoes de Fronteira do tipoDirichlet dadas por (5.26) para o Campo de Inducao Magnetica e Condicoes deFronteira Nao Lineares dadas por (5.27) para a Vorticidade

Nas figuras que se seguem podem observar-se os resultados numericos obtidos para o prob-lema (P1D), mais concretamente para a vorticidade, a velocidade e para o campo de inducaomagnetica, com condicoes de Dirichlet para o campo de inducao magnetica e vorticidade na

fronteira dada por ω =α(| ∂B

∂x| −Jn)+

| ∂B

∂x|

.

Comecamos pelas figuras 18 e 19, apresentando exemplos em que os valores do campo deinducao magnetica na fronteira do conductor sao constantes e a velocidade positiva e nega-tiva respectivamente em cada uma das figuras, podendo observar-se a simetria dos resultadosobtidos.

48

49

50

No entanto, do ponto de vista do fenomeno fısico em si, e natural que o campo de inducaomagnetica na fronteira nao seja constante mas que apresente um comportamento sinusoidale portanto, nas figuras 20 e 21 mostramos exemplos que reflectem esta situacao.

51

52

Consideramos ainda interessante observar, nas figuras 22 e 23, os resultados numericosobtidos para a vorticidade, quando na fronteira o valor absoluto da velocidade e superior acorrente de nucleacao. Tal conseguiu-se aumentando o valor da constante de nucleacao. Nospontos fronteiros em que tal acontece, pode observar-se que a vorticidade se anula, enquantoque nos pontos fronteiros em que tal nao acontece a vorticidade e dada pela condicao naolinear que foi imposta.

53

54

Em resumo, primeiro comecamos por considerar que o campo de inducao magnetica pene-trava na fronteira do superconductor, com a mesma intensidade em todo o seu domınio, aoassumirmos condicoes de fronteira do tipo Neumann para o campo de inducao magnetica.Esta suposicao teve apenas o caracter de ajudar a testar a eficacia da implementacao com-putacional do esquema que resolve numericamente o problema. A vorticidade na fronteirasupos-se linear e dependente da entrada de fluxo na fronteira, sendo nula quando nao hou-vesse entrada de fluxo na fronteira do superconductor. Em seguida, passou a considerar-seque havia variacao do fluxo do campo de inducao magnetica atraves da fronteira do su-percondutor, quando se adoptaram condicoes de fronteira do tipo Dirichlet para o campode inducao magnetica. Relativamente ao valor da vorticidade na fronteira, estudaram-se oscasos linear e nao linear.

Segue-se agora, na seccao 7 a deducao do esquema numerico que resolve o problema (P2D).

55

7 Discretizacao Numerica do Modelo de Dimensao Dois

Relembremos que o problema de dimensao dois que se pretende resolver tem por modelo

Problema(P2D)

−∆B + B = ω,

u1 = − ∂B

∂x1

,

u2 = − ∂B

∂x2

,

∂w

∂t+

∂(u1ω)

∂x1

+∂(u2ω)

∂x2

= 0.

Considere-se o domınio ΩT = Ω × [0, T ], com Ω = [0, 1] × [0, 1]. Foi investigada a imple-mentacao computacional de cada uma das equacoes intervenientes no problema e finalmentedo problema (P2D).

A particao do domınio ΩT fez-se, comecando por considerar primeiro uma particao deΩ = [0, 1]× [0, 1], dada por

Ω = ∪I+1i=1 ∪J+1

j=1 [xi−1, xi]× [yj−1, yj] (7.99)

sendo I+1 e J+1 o numero de subintervalos considerados na direccao horizontal e vertical

respectivamente. Os passos, no espaco, sao dados por ∆x =1

I + 1e ∆y =

1

J + 1portanto

xi = i∆x e yj = j∆y , ∀ i = 0, ..., I + 1. ∀ j = 0, ..., J + 1. (7.100)

A particao no tempo e dada por

[0, T ] = ∪Ni=1[ti−1, ti] (7.101)

sendo N o numero de subintervalos considerados e o passo ∆t =1

N, logo

tn = n∆t, ∀ n = 0, ..., N. (7.102)

7.1 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao de Helmholtz(Dimensao dois)

Sendo conhecida a vorticidade ω, e possıvel determinar o campo de inducao magneticaB = B(x, y, t), atraves da equacao

−∂2B

∂x2− ∂2B

∂y2+ B = ω. (7.103)

Neste momento iremos apenas considerar condicoes de fronteira do tipo Dirichlet dadas por(??), uma vez que as condicoes de fronteira do tipo Neumann dadas por (5.22) nao tem

56

interesse do ponto de vista fısico. Sejam ωn e Bn os valores da vorticidade e do campo deinducao magnetica no instante de tempo tn = n∆t. Se considerarmos que, na implementacaonumerica, ω e conhecida e e igual a ωn−1, entao pode escrever-se o seguinte esquema numericopara a equacao (7.103).

−(∂2B

∂x2)n − (

∂2B

∂y2)n + Bn = ωn−1, ∀ n = 1, ..., N. (7.104)

Tomando como aproximacoes das derivadas de 2aordem, diferencas finitas centradas de2aordem, temos que

(∂2B

∂x2)n ≈

Bni−1,j − 2Bn

i,j + Bni+1,j

(∆x)2(7.105)

e

(∂2B

∂y2)n ≈

Bni,j−1 − 2Bn

i,j + Bni,j+1

(∆y)2(7.106)

para um certo instante de tempo tn = n∆t e para um ponto (xi, yj). Utilizando as aprox-imacoes (7.105) e (7.106) em (7.104) vem

−Bn

i−1,j − 2Bni,j + Bn

i+1,j

(∆x)2−

Bni,j−1 − 2Bn

i,j + Bni,j+1

(∆y)2+ Bn

i,j = ωn−1i,j ,∀ i = 1, ..., I ∀ j = 1, ..., J

(7.107)

Vamos agora apenas considerar condicoes de fronteira do tipo Dirichlet, por serem fisica-mente mais naturais que as de Neumann. Na fronteira, o campo de inducao magnetica econhecido, B(0, y, t), B(1, y, t), B(x, 0, t) e B(x, 1, t) sao dados, ∀ x ∈ [0, 1], ∀ y ∈ [0, 1],∀ t ∈ [0, T ]. Assim, numericamente, as condicoes de fronteira do tipo Dirichlet podemtraduzir-se por

Bn0,j, Bn

I+1,j, Bni,0, Bn

i,J+1 - dados ∀ n = 0, ..., N. (7.108)

Assim, o esquema numerico que resolve a equacao de Helmholtz a duas dimensoes, comcondicoes fronteira do tipo Dirichlet, e dado por−

Bni−1,j − 2Bn

i,j + Bni+1,j

(∆x)2−

Bni,j−1 − 2Bn

i,j + Bni,j+1

(∆y)2+ Bn

i,j = ωn−1i,j , ∀ i = 1, ..., I ∀ j = 1, ..., J

∀ n = 0, ..., N

Bn0,j, Bn

I+1,j, Bni,0, Bn

i,J+1 - dados ∀ n = 0, ..., N

(7.109)

7.2 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao que Modelaa Velocidade (Dimensao dois)

Do problema (P2D) temos que a velocidade e dada por ~u = (u1(x, y, t), u2(x, y, t), 0) comcomponentes

u1(x, y, t) = −∂B(x, y, t)

∂x, ∀(x, y, t) ∈ ΩT

e

u2(x, y, t) = −∂B(x, y, t)

∂y, ∀(x, y, t) ∈ ΩT .

57

Optamos por considerar diferentes diferencas finitas para aproximar a derivada do campode inducao magnetica dependendo da localizacao do ponto do domınio no qual se pretendiaaproximar numericamente esta derivada.Nos pontos fronteiros, consideraram-se diferencas finitas progressivas, regressivas ou cen-tradas conforme a localizacao do ponto da fronteira em questao. Em seguida apresentamosas aproximacoes efectuadas para as derivadas do campo de inducao magnetica.Para qualquer ponto no interior do domınio, consideram-se diferencas finitas centradas

∂B(x, y, t)

∂x≈ B(x + ∆x, y, t)−B(x−∆x, y, t)

2∆x, ∀x ∈ [0, 1] ∀y ∈ [0, 1] ∀t ∈ [0, T ]

e

∂B(x, y, t)

∂y≈ B(x, y + ∆y, t)−B(x, y −∆y, t)

2∆y, ∀x ∈ [0, 1] ∀y ∈ [0, 1] ∀t ∈ [0, T ].

Para os pontos nos ”‘cantos”’ do domınio

∂B(0, 0, t)

∂x≈ B(∆x, 0, t)−B(0, 0, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(0, 0, t)

∂y≈ B(0, ∆y, t)−B(0, 0, t)

∆y, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, 0, t)

∂x≈ B(1, 0, t)−B(1−∆x, 0, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, 0, t)

∂y≈ B(1, ∆y, t)−B(1, 0, t)

∆y, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, 1, t)

∂x≈ B(1, 1, t)−B(1−∆x, 1, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, 1, t)

∂y≈ B(1, 1, t)−B(1, 1−∆y, t)

∆y, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(0, 1, t)

∂x≈ B(∆x, 1, t)−B(0, 1, t)

∆x, ∀t ∈ [0, T ],

∂B(0, 1, t)

∂y≈ B(0, 1, t)−B(0, 1−∆y, t)

∆y, ∀t ∈ [0, T ].

Para os restantes pontos fronteiros

∂B(0, y, t)

∂x≈ B(∆x, y, t)−B(0, y, t)

∆x, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(0, y, t)

∂y≈ B(0, y + ∆y, t)−B(0, y −∆y, t)

2∆y, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, y, t)

∂x≈ B(1, y, t)−B(1−∆x, y, t)

∆x, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(1, y, t)

∂y≈ B(1, y + ∆y, t)−B(1, y −∆y, t)

2∆y, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

58

∂B(x, 0, t)

∂x≈ B(x + ∆x, 0, t)−B(x−∆x, y, t)

2∆x, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(x, 0, t)

∂y≈ B(x, ∆y, t)−B(x, 0, t)

∆y, ∀x ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(x, 1, t)

∂x≈ B(x + ∆x, 1, t)−B(x−∆x, 1, t)

2∆x, ∀y ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ],

∂B(x, 1, t)

∂y≈ B(x, 1, t)−B(x, 1−∆y, t)

∆y, ∀x ∈]0, 1[ ∀t ∈ [0, T ].

59

Assim chegamos ao esquema numerico que resolve a equacao que modela a velocidade,com condicoes de fronteira de Dirichlet para o campo de inducao magnetica

(u1)ni,j =

Bni−1,j −Bn

i+1,j

2∆x, ∀i = 1, ..., I ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u2)ni,j =

Bni,j−1 −Bn

i,j+1

2∆y, ∀i = 1, ..., I ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u1)n0,0 =

Bn0,0 −Bn

1,0

∆x, ∀n = 0, ..., N

(u2)n0,0 =

Bn0,0 −Bn

0,1

∆y, ∀n = 0, ..., N

(u1)nI+1,0 =

BnI,0 −Bn

I+1,0

∆x, ∀n = 0, ..., N

(u2)nI+1,0 =

BnI+1,0 −Bn

I+1,1

∆y, ∀n = 0, ..., N

(u1)nI+1,J+1 =

BnI,J+1 −Bn

I+1,J+1

∆x, ∀n = 0, ..., N

(u2)nI+1,J+1 =

BnI+1,J −Bn

I+1,J+1

∆y, ∀n = 0, ..., N

(u1)n0,J+1 =

Bn0,J+1 −Bn

1,J+1

∆x, ∀n = 0, ..., N

(u2)n0,J+1 =

Bn0,J −Bn

0,J+1

∆y, ∀n = 0, ..., N

(u1)n0,j =

Bn0,j −Bn

1,j

∆x, ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u2)n0,j =

Bn0,j−1 −Bn

0,j+1

2∆y, ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u1)nI+1,j =

BnI,j −Bn

I+1,j

∆x, ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u2)nI+1,j =

BnI+1,j−1 −Bn

I+1,j+1

2∆y, ∀j = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(7.110)

60

(u1)ni,0 =

Bni−1,0 −Bn

i+1,0

2∆x, ∀i = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u2)ni,0 =

Bni,0 −Bn

i,1

∆y, ∀i = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u1)ni,J+1 =

Bni−1,J+1 −Bn

i+1,J+1

2∆x, ∀i = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

(u2)ni,J+1 =

Bni,J −Bn

i,J+1

∆y, ∀i = 1, ..., J ∀n = 0, ..., N

7.3 Esquema Numerico para a Resolucao da Equacao do Trans-porte da Vorticidade (Dimensao dois)

Recorde-se que a equacao que modela o transporte da vorticidade ω e que agora se pretenderesolver numericamente e a seguinte

∂ω(x, y, t)

∂t+ div(~u(x, y, t) ω(x, y, t)) = 0, ∀ (x, y, t) ∈ Ω× ΩT . (7.111)

No caso de dimensao dois consideramos Ω = [0, 1]×[0,1].

Tome-se um elemento de ”volume” Vi,j, do domınio, dado por

Vi,j = [xi−1/2, xi+1/2]× [yj−1/2, yj+1/2] (7.112)

centrado em (xi, yj), sendo

xi−1/2 =xi−1 + xi

2e xi+1/2 =

xi + xi+1

2(7.113)

e

yj−1/2 =yj−1 + yj

2e yj+1/2 =

yj + yj+1

2. (7.114)

Em qualquer elemento de volume Vi,j, a equacao (7.111) pode escrever-se∫Vi,j

∂ω

∂tdVi,j +

∫Vi,j

div ~f dVi,j = 0. (7.115)

com ~f = ~uω. Pelo teorema da divergencia, a equacao anterior e equivalente a

∂

∂t

∫Vi,j

ω dVi,j +

∫Si,j

~f · ~n dSi,j = 0,

em que Si,j designa a superfıcie que encerra o volume Vi,j e ~n e a normal exterior a superfıcieSi,j. Dividindo esta equacao por | Vi,j | obtem-se

∂

∂t(

1

| Vi,j |

∫Vi,j

ω dVi,j) +1

| Vi,j |

∫Si,j

~f~ni,j dSi,j = 0. (7.116)

61

Designemos ωi,j por

ωi,j =1

| Vi,j |

∫Vi,j

ω dVi,j. (7.117)

Recorrendo a Regra do Ponto Medio podemos escrever

wj ≈1

∆x∆y(xi+1/2 − xi−1/2)(yj+1/2 − yj−1/2)wi,j

ou sejawi,j ≈ wi,j. (7.118)

Atendendo a definicao de elemento de volume dada, a equacao (7.116) pode escrever-se

∂wi,j

∂t+

1

∆x∆y(fi+1/2,j+1/2 − fi−1/2,j−1/2) = 0. (7.119)

Porque ~f = ~uw, a equacao anterior pode reescrever-se como

∂wi,j

∂t+

1

∆x∆y[(u1)i,j(wi+1/2,j − wi−1/2,j)∆y + (u2)i,j(wi,j+1/2 − wi,j−1/2)∆x+

+wi,j((u1)i+1/2,j − (u1)i−1/2,j)∆y + wi,j((u2)i,j+1/2 − (u2)i,j−1/2)∆x] = 0,

∀ i = 1, ..., I ∀ j = 1, ..., J.

(7.120)

Pretende-se agora obter aproximacoes numericas para todos estes termos intervenientes noesquema (7.120).

Para k=1,2, se (uk)i,j > 0 entaoωi−1/2,j ≈ ωi−1,j (7.121)

ωi+1/2,j ≈ ωi,j (7.122)

ωi,j−1/2 ≈ ωi,j−1 (7.123)

ωi,j+1/2 ≈ ωi,j (7.124)

(uk)i−1/2,j ≈ (uk)i−1,j (7.125)

(uk)i+1/2,j ≈ (uk)i,j (7.126)

(uk)i,j−1/2 ≈ (uk)i,j−1 (7.127)

(uk)i,j+1/2 ≈ (uk)i,j (7.128)

Se (uk)i,j < 0 entaowi−1/2,j ≈ wi,j (7.129)

wi+1/2,j ≈ wi+1,j (7.130)

wi,j−1/2 ≈ wi,j (7.131)

wi,j+1/2 ≈ wi,j+1 (7.132)

(uk)i−1/2,j ≈ (uk)i,j (7.133)

(uk)i+1/2,j ≈ (uk)i+1,j (7.134)

62

(uk)i,j−1/2 ≈ (uk)i,j (7.135)

(uk)i,j+1/2 ≈ (uk)i,j+1 (7.136)

Substituindo as aproximacoes consideradas de (7.121) a (7.136) em (7.120), obtemos o es-quema numerico que resolve a equacao (7.111) que modela o transporte da vor-ticidade:

se (u1)ni,j > 0 e (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] (7.137)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j],

se (u1)ni,j < 0 e (u2)

ni,j < 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] (7.138)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j],

se (u1)ni,j > 0 e (u2)

ni,j < 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] (7.139)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j],

se (u1)ni,j < 0 e (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] (7.140)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j].

Nos casos em que uma das componentes do vector velocidade e nula, poder-se-a utilizardiferencas finitas centradas para aproximar a derivada da respectiva componente da veloci-dade, a semelhanca do que foi feito no caso de dimensao um.

Se (u1)ni,j = 0 e (u2)

ni,j = 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j −

∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j, (7.141)

63

se (u1)ni,j = 0 e (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j (7.142)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j],

se (u1)ni,j = 0 e (u2)

ni,j < 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j (7.143)

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j],

se (u1)ni,j > 0 e (u2)

ni,j = 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] (7.144)

− ∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j,

se (u1)ni,j < 0 e (u2)

ni,j = 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] (7.145)

− ∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j.

Pensemos agora nas condicoes iniciais e de fronteira. Analogamente ao caso de dimensao um,a vorticidade inicial e uma funcao conhecida ω0(x, y), ∀ (x, y) ∈ [0, 1]×[0, 1]. Numericamenteescrevemos

ω0i,j, dada, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ j = 0, .., J + 1. (7.146)

Relativamente as condicoes de fronteira, conforme ja foi referido em (5.21) e (5.23), iremosconsiderar condicoes de dois tipos, lineares e nao lineares. No caso de condicoes de fronteiralineares, e conhecido o valor da vorticidade na fronteira do domınio, em funcao do sinal davelocidade nesse ponto

ω(x, 0, t) = K1(x, t), se u2(x, 0, t) > 0, ∀ t > 0

ω(x, 1, t) = K2(x, t), se u2(x, 1, t) < 0, ∀ t > 0 (7.147)

ω(0, y, t) = K3(y, t), se u1(0, y, t) > 0, ∀ t > 0

ω(1, y, t) = K4(y, t), se u1(1, y, t) < 0, ∀ t > 0

64

onde K1(x, t),K2(x, t),K3(y, t) e K4(y, t) sao funcoes conhecidas. Estas condicoes de fronteiranumericamente traduzem-se por

ωn+1i,0 = (K1)

n+1i , se (u2)

ni,0 > 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+1i,J+1 = (K2)

n+1i , se (u2)

ni,J+1 < 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+10,j = (K3)

n+1j , se (u1)

n0,j > 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+1I+1,j = (K4)

n+1j , se (u1)

nI+1,j < 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N.

(7.148)

Se as condicoes de fronteira forem do tipo nao lineares, como indicadas em (??) entao nestecaso, numericamente temos

ωn+1i,0 =

(|un+1i,0 | − Jn)+

|un+1i,0 |

, se (u2)ni,0 > 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+1i,J+1 =

(|un+1i,J+1| − Jn)+

|un+1i,J+1|

, se (u2)ni,J+1 < 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+10,j =

(|un+10,j | − Jn)+

|un+10,j |

, se (u1)n0,j > 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+1I+1,j =

(|un+1I+1,j| − Jn)+

|un+1I+1,j|

, se (u1)nI+1,j < 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N,

(7.149)em que

|un+1i,j | =

√[(u1)

n+1i,j ]2 + [(u2)

n+1i,j ]2, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ j = 0, .., J + 1.

Resumindo, o esquema numerico que se obtem para a resolucao da equacao do trans-porte da vorticidade e o seguinte

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j], (u1)

ni,j > 0, (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j], (u1)

ni,j < 0, (u2)

ni,j < 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j], (u1)

ni,j > 0, (u2)

ni,j < 0

(7.150)

65

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j], (u1)

ni,j < 0, (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

− ∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j, (u1)

ni,j = 0, (u2)

ni,j = 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i,j−1) + ((u2)ni,j − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j], (u1)

ni,j = 0, (u2)

ni,j > 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

2∆x((u1)

ni+1,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

−∆t

∆y[(u2)

ni,j(ω

ni,j+1 − ωn

i,j) + ((u2)ni,j+1 − (u2)

ni,j)ω

ni,j], (u1)

ni,j = 0, (u2)

ni,j < 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni,j − ωn

i−1,j) + ((u1)ni,j − (u1)

ni−1,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

− ∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j, (u1)

ni,j > 0, (u2)

ni,j = 0

ωn+1j = ωn

j −∆t

∆x[(u1)

ni,j(ω

ni+1,j − ωn

i,j) + ((u1)ni+1,j − (u1)

ni,j)ω

ni,j] ∀ i = 1, .., I, ∀ j = 1, .., J

− ∆t

2∆y((u2)

ni,j+1 − (u2)

ni,j−1)ω

ni,j, (u1)

ni,j < 0, (u2)

ni,j = 0.

ω0i,j, dada , ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ j = 0, .., J + 1.

66

ao qual teremos que acrescentar a resolucao numerica das condicoes de fronteira. No casode se tratar de condicoes de fronteira lineares acrescentamos o esquema

ωn+1i,0 = (K1)

n+1i , (u2)

ni,0 > 0 , ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+1i,J+1 = (K2)

n+1i , (u2)

ni,J+1 < 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+10,j = (K3)

n+1j , (u1)

n0,j > 0 , ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N

ωn+1I+1,j = (K4)

n+1j , (u1)

nI+1,j < 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N.

(7.151)

Alternativamente, com condicoes de fronteira nao lineares teremos que acrescentaro esquema que se segue

ωn+1i,0 =

(|un+1i,0 | − Jn)+

|un+1i,0 |

, se (u2)ni,0 > 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+1i,J+1 =

(|un+1i,J+1| − Jn)+

|un+1i,J+1|

, se (u2)ni,J+1 < 0, ∀ i = 0, .., I + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+10,j =

(|un+10,j | − Jn)+

|un+10,j |

, se (u1)n0,j > 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N,

ωn+1I+1,j =

(|un+1I+1,j| − Jn)+

|un+1I+1,j|

, se (u1)nI+1,j < 0, ∀ j = 0, .., J + 1, ∀ n = 0, .., N.

(7.152)

67

7.4 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D)

O esquema numerico que resolve o problema (P2D) resulta de juntar os esquemas numericosobtidos para cada uma das equacoes que constam do problema. Porque estes esquemas jasao bastantes extensos optou-se por nao se reescreverem todos agora mas apenas por se fazerreferencia aos esquemas em causa.

7.4.1 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (7.103) para o Campo de InducaoMagnetica e Condicoes de Fronteira lineares dadas por (7.148) para aVorticidade

Caso as condicoes fronteira consideradas forem do tipo Dirichlet para o campo de inducaomagnetica, juntamos os esquemas numericos obtidos com cada uma das equacoes, o esquema(7.109) para a equacao de Helmholtz, o esquema (7.110) para a equacao que modela a veloci-dade e o esquema (7.150) e (7.151) para a equacao do transporte com condicoes de fronteiralineares, obtendo-se o esquema numerico que resolve o problema (P2D).

7.4.2 Esquema Numerico para a Resolucao do Problema (P2D) com Condicoesde Fronteira do tipo Dirichlet dadas por (7.103) para o Campo de InducaoMagnetica e Condicoes de Fronteira nao lineares dadas por (7.149) para aVorticidade

Caso as condicoes fronteira consideradas forem do tipo Dirichlet para o campo de inducaomagnetica, juntamos os esquemas numericos obtidos com cada uma das equacoes, o esquema(7.109) para a equacao de Helmholtz, o esquema (7.110) para a equacao que modela avelocidade e o esquema (7.150) e (7.152) para a equacao do transporte com condicoes defronteira nao lineares, obtendo-se o esquema numerico que resolve o problema (P2D).

68

8 Conclusao

Este trabalho consistiu na construcao de um modelo de superconductividade com base naTeoria de London e posterior discretizacao numerica. Realizou-se a implementacao com-putacional para dimensao um.

Dada a complexidade do problema que se pretendia resolver, nao foi possıvel obter umasolucao analıtica com a qual se pudesse comparar os resultados numericos obtidos. Noentanto, serviram-nos de referencia os resultados obtidos na resolucao de cada equacao iso-ladamente.Os resultados teoricos da Equacao de Helmholtz e da Equacao do Transporte foram confir-mados nos calculos numericos obtidos. A solucao numerica obtida para a equacao de advecaoexplodia para alguns valores dos passos de espaco e de tempo. Foi entao que se percebeu sernecessario satisfazer uma condicao de estabilidade.No esquema numerico que resolve a equacao do transporte surgiram alguns problemas.Quando se aproximou numeriamente a vorticidade por diferencas finitas progressivas ouregressivas, os resultados obtidos pareciam nao fazer sentido. Conseguiu-se resolve-los aprox-imando por diferencas finitas centradas o valor da vorticidade em qualquer ponto no interiordo domınio e por diferencas finitas progressivas ou regressivas (consoante o ponto estivesselocalizado no limite inferior ou superior do domınio) o valor da vorticidade em qualquerponto na fronteira do domınio.

Deixamos ainda sugestoes de assuntos que poderao ser alvo de um estudo futuro:

- A discussao da condicao de fronteira para o fluxo da vorticidade, uma vez que nao setrata de uma condicao obvia que tem sido objecto de investigacao.

- A implementacao computacional do Modelo de Dimensao Dois com condicoes de fron-teira do tipo Dirichlet dadas para o Campo de Inducao Magnetica e condicoes de fronteiranao lineares para a Vorticidade, que seria uma continuacao natural do trabalho ate agorarealizado;

- O estudo da discretizacao numerica da Equacao do Transporte nao linear, ∂t~ω + div(~u|~ω|)=0,utilizando o Metodo de Godunov.

69

9 Anexos

70

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