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Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 33
MATEMÁTICA IV
Resoluções de Exercícios
Capítulo
01 Funções Trigonométricas
Conhecimentos AlgébricosConhecimentos Algébricos
BLOCO 01
01 Traçando a altura BD do triangulo equilátero ABC , obtemos ABD = 30° e AD = 5 cm , pois esta altura é tam-bém bissetriz e mediana. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triangulo ABD, calcula-se a medida H da altura AD.102 = H2 + 52 → H = 5 3
Daí:
30105
21
sen o= =
3010 10
5 323
cosHo= = =
305
5 35
31
33
tgH
o= = = =
02 Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.
Do triângulo ABC, obtemos
15114
114 0,2629,64 .
tgBACABBC
tgBC
BCBC m
o+
&+
$,
,
= =t
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a
(29,64) 878,53 .BC m2 2 2,=
03 B
sen 60o = 60AB
32
= 60AB
AB = 3
120
AB = 40 3 m
04 E
sen 60o = x
80 ⇔ x = 80 .
32
= 40 . 1,73 = 69,2 m
h = 69,2 + 1,8 = 71 m
BLOCO 02
01 A = . ( ) ( ) . ( )p p a p b p c- - - , onde
p = 2
a b c+ + =
8 12 162
+ + = 18
A = 18 .10 .6 .2
A = 2.9 .2.5 .2. 3.2 = 2 . 2 . 3 15
A = 12 15
02 BPela Lei dos Senos, segue que:
2 2 .sen
mAB
R R R60
23
803
8033
380 3
+ + $c= = = =
03 EConsidere a figura ao lado.
Sabendo que ET = 360 km, ST = 320 km, cos a ≅ 0,934 e que⇒ 28 . 32 . 93,4 ≅ 215100, pela Lei dos Cossenos, vem
2
360 320 2 360 320 0,934
129600 102400 2 2 3 2 93,4
232000 2 3 93,4
232000 215100130 .
cos
Km
ES ET ST ET ST
ES
ES
ES
ESES ES16900
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
&&
+&
&+
$ $ $
$ $ $
$ $ $ $
$ $
a= + -
= + -
= + -
= -
= -
= =
Portanto, como 13 min = 6013
h, temos que a velocidade média pedida
é dada por
6013130
= 600 km/h.
10
5 5
30o
60o 60o
10H
B
DA C
A
BC
Matemática e suas Tecnologias34 MATEMÁTICA – Volume 01 MATEMÁTICA IV
BLOCO 0301 A) p rad = 180o
B) 4r
rad = 180
4
o
= 45o
C) 4
3r = 3 x 45o = 135o
D) 37r
= 7 x 180
3
o
= 420o
E) 6
5r = 5 x
6180o
= 150o
F) Regra de três:
o
$180
( , )radrad
xx
1180
57 3o
$ ,r
r= =$
02 A) 120o = 2 x 60o = 2 . 3r
rad.
B) 225o = 5 x 45o = 5 . 4r
rad.
C) 100o = 95
p rad.
Regra de Três
# 100
180yrad
y rad1810
95
o
o
$r rr= = =
$
D) 270o = 3 x 90o = .
rad2
3 r
E) 360o =2p rad
03 A) x = 6r
+ 2Kp, K ∈ Z
B) x = 6r
+ 2Kp, K ∈ Z
C) x = k2r
, K ∈ Z
D) x = (–1)k 3r
+ Kp, K ∈ Z
k = 0 → x = 3r
k = 1 → x = 32r
k = 2 → x = 37r
k = 3 → x = 38r
E) x = 4r
+ Kp, K ∈ Z
F) x = Kp, K ∈ Z
04 A) 3 3
18060
oor
= =
B) 12 12
18015
oor
= =
C) 65
5 (6
180) 150
oo$= =
D) 4
55 (
4180
) 5 (45 ) 225o
o o$$ $
r= = =
05 Quando o ponteiro dos minutos percorrem 1 minuto, o ponteiro das horas descrevem (0,5)°. Portanto, em 50 minutos os pontei-ros das horas descre-vem 50 ⋅ (0,5)° = 25°.
Em 14h e 50 minutos as posições dos pontei-ros dos minutos e das horas estão represen-tadas na figura abaixo, respectivamente pelas semi-retas AO e AM. Então, o menor ân-gulo formado medirá 120° + 25° = 145°.
BLOCO 04
01 APmín = 0,8 . (–1) + 2,7 = 2,7 – 0,8 = 1,90Pmáx = 0,8 . (1) + 2,7 = 3,50
02 CDomínio de validade: 1 ≤ t ≤ 365; t ∈ Z
1a parte: 3,10 = 0,8 . sen . ( – )t3602
101r> H + 2,7
sen . ( – )t180
10121r
=> H →
→ 180r
. (t – 101) = 6r
+ 2kp, k ∈ Z ou 180r
. (t – 101) = 6
5r + 2k
2a parte:
→ –t180
10161
= + 2k ou –t
65
180101= + 2k
→ t – 101 = 30 + 360k t – 101 = 150 + 360k→ t = 131 + 360k t = 251 + 360k
Daí: k = 0 → t = 131 dias k = 0 → t = 251 dias
k = 1 → t = 491 dias (não convém)
BLOCO 05
01 D
O número 2
3
10cosx
-
assume o seu maior valor quando for máximo,
ou seja, quando cos x = 1.Por conseguinte, o resultado pedido é
23
10
231
10
35
106.
cosx-
=
-
= =
02 C
47
44
92
47
44
24
24
2 .
cos
cos
f sen
sen
sen
r r r
r r
r
- =- + -
=- +
=-
=-
f f fp p p
9
10
11 1
2120o
25o
3
12
A
M
O
6
Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 35
03 AComo a função y = 10 cos (4t) é da forma y = a ⋅ cos(m ⋅ t), segue que
seu período é dado por 24 2r r= .
A imagem da função é o intervalo 10 ⋅ [–1,1] = [–10, 10]. Portanto, a amplitude do movimento é 10 cm.
BLOCO 06
01 Bcos (120o) = –cos 60° = –1/2sen(270o) = –1tg (225o) = tg (45o) = 1
Então, cos23r
+ sen32r
+ tg54r
= –1/2 + (–1) + 1 = –1/2.
02 A) x = kp , k Î Z e domínio = { x ∈ R/ x ≠ kp , k ∈ Z} A função não é definida se X + p/2 = p/2 + kp , k ∈ Z , isto é,
x = kp , k ∈ Z. Então o domínio será {x ∈ R/ x ≠ kp , k ∈ Z}B) p P = p/1 = pC)
–2
–2
2
0
4
2 4 6 8 10 120
D) Resp: –300 N
(300 )
300
Ftg tg tg
F N
100 3 67
2 610
3y o
y
"
"
r r r= + = = =-
=-
f fp p
E) 4
,x k k Z!r
r=- +
2
12 4
, .4
,tg x x k k Z x k k Z" "! !r r r
rr
r+ = + = + =- +f p
BLOCO 07
01 A) ƒ(x) = 3 . sen (4x – p) tem período p = 24r
= 2r
.
B) ƒ(x) = 2 + 4. cos 5 3x r+f p tem período p =
12
5
r = 10p.
C) ƒ(x) = 3 – sec (2px + p) tem período p = 22rr
= 1.
D) ƒ(x) = 10 . cossec (6x + 6r
) tem período p = 26r
= 3r
.
E) O período de ƒ(x) = 3 – tg (4x + 2r
) é p = 4r
.
F) O período de ƒ(x) = 6 – 4 . cotg (2px + 4r
) é p = 2rr
= 12
= 0,5.
02 DSolução. O arco x está no 1o quadrante. Os valores de senx e cosx são positivos. Aplicando as relações trigonométricas, temos:
1 (2) ( )
sec
seccos
sec sec cossec
tg x x
xx
tgx
x x positiva xx
11
2
51
51
55
2 2
2 2 & &"
+ =
=
=
+ = = = = =
Z
[
\
]]]
]]]
03 CSubstituindo as relações trigonométricas para simplificação, temos:
1
sec
seccos
cos
cos cos sec coscos
tg x x
xx
x tg x
x tg x x x xx
11
1
11
2 2
2 2
2 2 2 2 22
&
&
$
$ $ $
+ =
=
+
+ = = =
c c
c c c c c f
m m
m m m m m p
Z
[
\
]]]
]]]
04 DEscrevendo a expressão em termos de senos e cossenos, temos:
1 1
1 1.
.1
..1
1
sec cos cossec cot
coscos
coscos
coscos
coscos
coscos
cos
coscos
E x x x senx tgx gx
xx
senxsenx
xsenx
senxx
Ex
xsenx
sen xsenx x
sen x x
xsen x
senxx
senx x
E senx xsenx x
2 2 2 2
2 2
$ $
$ $
$ $
$ $
$
= - - + =
= - - +
=- - +
=
=
= =
c c c
f f f
f f f
f f f
c f
m m m
p p p
p p p
p p p
m p
BLOCO 01
01 A1) Tensão do pico = 5 volts
2) Período = 0,25 seg = 41
seg.
3) Frequência =
411
= 4 Hz
02 Ey = A ⋅ sen (k ⋅ t)
1o) Período = | |k 4
12r= → k = 8p
2o) Se sen (k ⋅ t) = 1, teremos a amplitude (tensão) máxima y = 5Então:5 = A ⋅ 1 → A = 5
Logo, y = 5 ⋅ sen(8p ⋅ t)
BLOCO 02
01
x = 2 . cos 4 .2
trr
+f p.
A) Período = 24rr
= 0,5
B) A = 2
C) Pulsação = 4
segundoradr
D) ϕ0 = 2r
rad.
02 Ay = ƒ(t) = a. sen (b . t)1o) O período da função é 12,4 horas, então:
Matemática e suas Tecnologias36 MATEMÁTICA – Volume 01 MATEMÁTICA IV
2
b
r = 12,4 → |b| =
,6 2r
→ b = ± ,6 2r
→
→ b = ± 6210
r → b = ±
531r
2o) De acordo com o gráfico, dividindo o período por 4, temos o valor de x1.
x1 = 12,4
4 = 3,1h
Então, ƒ(3,1) = 1,5 → a . sen (3,1 . b) = 1,5. Daí:
Se b = 315r
→ a . sen (3,1 . 315r
) = 1,5 →
→ a . sen 105rf p = 1,5 → a . sen
2rf p = 1,5 → a = 1,5
e se b = 5
31r-
→ a = –1,5.
Em ambos os casos, teremos:
ƒ(t) = 1,5 . sen (315r
. t), portanto, b pode ser igual a 315r
.
BLOCO 03
01 D 1a parte: No triângulo 0TB
sen a = 01B
→ B0 = 1
senae
tg a = 1TB
→ TB = 1
tga = cotg a
2a parte: Área do triângulo TAB
A∆TAB = 12
. TB . BA . sen a =
= 12
. cotg x . ( 0B – 1) . sen a
= 12
. cotg a . 1
1sena
-f p . sen a
= 12
. cotg a . (1 – sen a)
BLOCO 01
01 C
1o) tg 30o = AB
200 → AB = 200 . 0,577 → AB = 115,4
2o) h = 115,4 + 1,5 → h = 116,9 ≅ 117 m
02 C
1o) ∆ABC = é isóceles: → AC = 3,7
2o) sen 60o = ,H
3 7 → H =
3,7. 32
= 3,7.1,7
2
03 B
1o) a² = 25 + 144 = 169 → a = 13
sen a = 5
13
2o) Sen a = ,h
3 25 → h = 3,25 . sen a
→ h = (3,25) . (5
13) = 1,25
3o) Se x é a altura de um degrau, temos que: 5 . x = 1,25 → x = 0,25 m
04 C
cos 60o = H10
→
H = 10 . 12
→ H = 5 m
05 A
sen a = R h
R+
R sen a + h . sen a = Rh sen a = R – R sen aR . (1 – sen a) = h . sen a
R = ( )
.sen
h sen1 a
a
-
→ H = 3,14 → H = 3,1 km
06 Considere a figura, em que é o pé da perpendicular baixada de sobre
a reta .BC
A
H B C
Como ABtC = 135o, segue que ABtH = 180o – ABtC = 45o e, portanto, o triângulo ABH é retângulo isósceles. Logo, AH HB= .Do triângulo AHC, obtemos
3020
33
20
3 320 3
10( 3 1)27 .
tgACBHB BC
AHtg
AHAH
AHAH
AH
AHAH m
o+
+
+
+
& ,
=+
=+
=+
=-
= +
t
Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 37
07 DConsiderando x a altura da escada, temos:
30 45 5 3 5 2
23
22
5( 3 2)
10
cos cosx x
x
x m
o o$ $
$
+ = +
+ = +
=
f p
08 Tem-se que
10100
1020,98
100102
200 .
cosd d
d m
o &
&
,
,
=- -
Daí,
7 0,12 200
24 .
tgdh
h
h m
o &
&
$,
,
=
Portanto, como 24 > 16 segue-se que a altura da ponte é suficiente para que o navio passe sob ela.
09 BSupondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
8 30 240 ,AB cm$= =
6 30 180BC cm$= =e
(8 6) 20 280 .CD cm$= + =Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, en-contramos
240 180300 .
AC AB BC ACAC cm
2 2 2 2 2 2+
&
= + = +
=
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
300280
1514
.tgCADACCD
= = =t
10 EPara o semáforo de coluna simples, temos
201,5
1 1,251,5
0,362,4 0,25
5,97 1,54,5 .
tgD
HD
DD m
o &
&
&
,
,
,
=+
+ -+
-
-
Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem
201,5
1 1,250,36
13,1 1,50,25
0,25 5,265,5 .
tgD
H H
HH m
o &
&
&
,
,
,
=+
+ -
+
-
-
BLOCO 02
01 D
A
105o45o
30o
C
Bx
30 45200
22
20021
2200
100 2
senx
sen
x
x
x m
o o
$ $
=
=
=
=
02 E6 = 2,440
sen 45o = 20
senx
120o
+ →
22
40 =
23
20 x+
→ 40 2
2 =
320 x+
→ 20 + x = 20 2 . 3 →
→ 20 + x = 20 6 → x = 20 6 – 20 →→ x = 20 ( 6 – 1) = 20 (2,4 – 1) = 20 (1,4)
x ≅ 28 m
03 A
( )6400sen
x120o
+ =
6400sen 45o →
23
6400 x+ =
22
6400 →
04 D
'
45 10'42 40'87 50o
o
o
x2 = 1652 + 1552 – 2 . 165 . . 155. cos (87o50’)
x ≅ 222,07 milhas
Resposta: Aproximadamente222,07 milhas.
05 D1o) ∆ABC é isósceles:
Seja CF a altura do triângulo ACB, CF é mediana e cos θ = BC
d2
.cos
secBCd d
2 2ii= =
2o) ∆DCB
tg θ = BCH
→
→ H = BC . tg θ = d2
. sec θ . tg θ
H = d2
. sec θ . tg θ
06 C
2x
C
BA
5
x
5 2 2 2 60
25 5 2 3
35
23
53
103
10 3
cosx x x x
x x x
x AC
22
2
2 2 2
o
"
$ $ $
$
= + -
= - =
= = = =
c c cm m m
07 D No triângulo ABC assinalado, utilizando a lei dos senos , temos que:
30 12015
21
23
155 3
senx
senx
xo o " "= = =
08 A
135 3050
22
2150
50 2sen
dsen
ddo o " "= = =
30ox x
45o
5 3 + 5 2
Matemática e suas Tecnologias38 MATEMÁTICA – Volume 01 MATEMÁTICA IV
09 CAplicando a lei dos cossenos.x² = 40² + 48² – 2(40)(48) ⋅ cos 53o
= 1600 + 2304 – 2(40)(48)(0,6) = 1600 + 2304 – 2304 x² = 1600 x = 40 cm
Logo, o Perímetro e igual a: 40 + 53 + 62 = 155 cm.
10 AC
BA 8
8x
120o
8 8 2 8 8 120 3 64
8 3
cosx
x
2 2 2 o$ $ $ $
$
= + - =
=
c m
BLOCO 03
01 B
Medida do arco em rad: .rad6
5r
.rad6
5150or
=
02 D
Sentido anti-horário: (2 ) 300rad ou65
35 o$ rr
= . A roda foi dividida em
18 arcos congruentes, cujas medidas são iguais a 20o. Logo, partindo de A, teremos que percorrer 15 arcos de 20o. Portanto a cadeira ocupada por Bruna neste momento será a de letra P.
03 D15 1h
x75
o
o
*
*
xh
7515 1= → x = 5h
Se em Brasília são 12:00h, então em Luzaka a hora marcada será igual a 12:00h + 5h = 17h.
04 B
Dados: 10 /1 60min
v m st s=
= =*
1a Parte: Regra de três
1s → 10 m 1 10
xm
x m60
600"= = 60s → x
2a Parte: Medida do Arco
B 600 m
AO R = 300
θ 360o → 2p ⋅ 300
36022
i
rr= =
θ → 600 m ,
1153 14360 o,i=
05 AO arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é
21 20' 1 20' 20180
9.
rad
rad
$c c cc
r
r
- =
=
Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.730 km, vem
6.730 .kmD9$r
=
06 BDe 29 a 14 existem 16 números. Excluindo 29 e 14 restarão 14 números. Assim teremos 14 cabines de um lado, 14 do outro mais a 29a e a 14ª, num total de 30 cabines.
Daí , 360 : 30 = 12° que em radianos corresponde a 15r
.
07 A
O
50 π
150o30o
30o
C
A
BR R
360o → 2p ⋅ R 30o → 50p360
R mR
30 25300"= =
08 A 360 40.000
xkm
99o
o **=
x = 99360
. 40.000 km
x = 1140
. 40.000 km = 11.000 km
09 BVamos admitir que o arco MP mede aproximadamente 30o. Então, se x é
a distância em km, entre as duas cidades, temos: . .
360km12 750
o
r = 30
x
o
x = 112
. 3,14 . 12.750 km
x ≅ 3.300 km
10 B
30o
30o
30o12
6
39
B A
CO
x
1a Parte: Cálculo de x P. Horas Descreve. 60 min → 30o 15 min → x
60 30
7,5x
x15
oo"= =
2a Parte: Medida do Arco AC!
AC!
= 120o – 7,5o = 112,5o
BLOCO 04
01 AResolvemos por eliminação das alternativas, escolhendo alguns va-lores de t.t = 0 → A(t) = 1,6 – 1,4 ⋅ sen (0) = 1,6 (C e E são falsos)t = 6 → A(6) = 1,6 – 1,4 ⋅ sen (p) = 1,6 (D é falso)
t = 3 → A(3) = 1,6 – 1,4 ⋅ sen 2rf p = 0,2 (B é falso)
Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 39
02 DComo cada ângulo da base mede a, segue que o ângulo do vértice é igual a (180o – 2a). Portanto, a área do triângulo pode ser obtida por meio da expressão
5 (180 2 ) 2 .sen sen21
225o2$ $ $a a- =
A área atinge seu valor máximo quando o sen2a = 1, isto é, para 2a = 90o, ou seja, a = 45o. Logo, 40o ≤ a <50o.
03 E
ƒ(x) = 900 – 800 . sen (θ); θ = 12r
. x
sen θ = → –1 ≤ ≤ 1 →
→ –800 ≤ 900 – ƒ(x) ≤ 800 → → –1.700 ≤ –ƒ(x) ≤ –100 → 1.700 ≥ ƒ(x) ≥ 100 →→ 100 ≤ ƒ(x) ≤ 1.700Então, 1.700 – 100 = 1.600
04 A
h(t) = 11,5 + 10 . sen [12r
. (t – 26)] →
→ h(t) = 11,5 + 10 . sen . t12 6
13r r-< F
A) h(0) = 11,5 + 10 . sen 613r-< F =
= 11,5 – 10 . sen 6
13r< F = 11,5 – 10 . sen ( + 2p) =
= 11,5 – 10 . sen = 11,5 – 10 . 21
= 11,5 – 5 = 6,5
05 A
y = 11,5 + 10 . sen . t12 6
13r r-< F
Sendo 12r
. t – 6
13r = θ, temos que:
y = 11,5 + 10 . sen θ → sen θ = ,y
1011 5-
→
→ –1 ≤ ,y
1011 5-
≤ 1 → –10 ≤ y – 11,5 ≤ 10 → 1,5 ≤ y ≤ 21,5
Logo, a altura mínima é 1,5 m e a máxima é 21,5 m.
06 C
750 = 800 – 100 . sen6
( 3)t r+; E →
→ 100 . sen6
( 3)t r+; E = 50 → sen ( )t
63
21r+
=< F
→ ( )t
663 rr=
+ + 2kp ou
( )t65
63 rr=
+ + 2 kp, k ∈ Z
→ (t + 3) = 1 + 12k ou (t + 3) = 5 + 12k→ t = 12k – 2 ou t = 12k + 2; k ∈ Z
k = 0 → t = 2, pois t = –2 não convém
k = 1 → t = 10, pois t = 14 não convém
k = 2 → t = 22 e t = 26 que não convémObs.: 0 ≤ t ≤ 11; t ∈ ZResp.: Os meses são novembro e março.
07 B
P = 800 – 100 . sen6
( 3)t r+; E assume o seu valor mínimo quando
sen( )t
63 r+; E = 1. Isto é:
( ) .t63
2r r+= + 2kp, k ∈ Z →
( )t21
63=
+ + 2k →
→ t + 3 = 3 + 12k → t = 12k, k ∈ Z
Então: k = 0 → t = 0 k = 1 → t = 12 (não convém, pois o último mês ocorrerá quando t = 11).
Daí, somente em janeiro teremos uma população mínima.
08 D1o) x = 104,03 km – 103,50 km x = 0,53 km
2o) tg60o = xd
, kmd
30 53
=
d = 1,73 x 0,53 d = 0,9169 km d = 916,9 m
09 AA temperatura média máxima ocorre quando
3642 ( 105)
1364
2 ( 105)2
3642 ( 105)
22
105 91 364196 364 , .
sent
sent
sen
tk
t kt k k Z
+
+
+
+ !
r r r
r rr
-=
-=
-= +
- = +
= +
f fp p
Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho.
10 CO período da função é dado por
6
212 .h
r
r=
A temperatura máxima ocorre quando 6 3
costr r+f p atinge seu valor
máximo, ou seja, quando 6 3
costr r+f p = 1. Logo, tem-se que o re-
sultado é Tmáx = 24 + 3 ⋅ 1 = 27 oC.Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem
6 3cos
tr r+f p = 1. Assim,
6 31
6 30
6 30 2
12 2, .
cos cos cost t
tk
t k k Z
&
&
& !
r r r r
r rr
+ = + =
+ = +
= -
f fp p
Tomando k = 1, segue-se que t = 10 h.
BLOCO 05
01 A)
6.
667
. ( )
32 .
47
(37 )
cos cos cos
cos cos cos
18r r
r
r rr
-
+ -
f f
f f
p p
p p =
= 3
.67
10 . ( )
21
2 .22
( 1)
cos2
1r
r+
+ - -
f p
Matemática e suas Tecnologias40 MATEMÁTICA – Volume 01 MATEMÁTICA IV
= 3
.67
21
1 1
cos2
r
+ +
f p =
3.
23
25
2-f p
= 3
25
4-
= –52
. 43
= 103-
B)
23
2 ( . )
3 2 . (135 360 ) (120 )
cos
cos
sen
sen
60 4 360o o
o o o
rr+ + +
+ +
f p =
=
23
( )
3 2 . (135 )21
cossen
sen
60o
o
r+
+ -
f
f
p
p =
= 1
3 2 .22
21
12
- +
- =
1
321
2-
- =
125
2-
= –5
02 K [ 1, 59
]
Suponha que exista x ∈ R tal que:
cos x = 5 7K
2-
→ –1 ≤ 5 7K
2-
≤ 1 →
→ –2 ≤ 5K – 7 ≤ 2 → 5 ≤ 5k ≤ 9 → 1 ≤ K ≤ 95
.
k ∈ [1, 95
]
03 sen x = 3
2 2 e cos x = –
31
Dados: x ∈ 2o quadrante → sen x > 0
6 . 3 2 . 21
coscos
x sen xsen x x2 2
+ =
+ =* ~ 6
2 3 2
1
cos
cos
xsen x
sen x x2 2
=-
+ =
Z
[
\
]]
]]
Substituindo:
sen2 x + 6
2 3 2 . sen x2
-f p = 1 →
→ sen2 x + 4 12 2 . 18 .sen x sen x
36
2- + = 1 →
→ 36 sen2 x + 4 – 12 2 . sen x + 18 . sen2 x = 36
→ 54 . sen2 x – 12 2 . sen x – 32 = 0
→ 27. sen2 x – 6 2 . sen x – 16 = 0
Fazendo sen x = y, temos:27y2 – 6 2 y – 16 = 0∆ = 72 + 1.728 = 1.800
y = 6 2 30 2
54!
y = 36 2
54 =
2 23
y = 24 254
- =
4 29
- (não convém)
Daí:
sen x = 2 2
3 → cos x =
2 3 2 .3
2 2
6
-
= 2 4
6-
= 1
3-
04 APerigeu: (Cos a = 1)
h = –641057980
+> H
Z
[
\
]]
]
_
`
a
bb
b x 102 = 1.200 km
Apogeu: (Cos a = –1)
h = –6495
7980+> H
Z
[
\
]]
]
_
`
a
bb
b x 102 = 2.000 km
05 E
1580 = –( )acos
64100 5
7980+
+* 4 x 100
( )acos100 57980+
= 15,80 + 64 →
→ 100 + 5 cosa = ,79 80
7980 = 100
5 cosa = 0 → cosa = 0 → a = 90o ou a = 270o
06 D
T(t) = 26 + 5 . cos . t12 3
4r r+f p
A) (Falsa). Pois T(0) = 26 + 5.cos34rf p = 26 + 5.
21
-f p T(0) = 23,5oC
B) (Falsa). Período =
12
2r
r = 24 h
C) (Falsa). Tmáx = 26 + 5 . 1 = 31oCD) (Verdadeira). A temperatura máxima é atingida quando:
cos t12 3
4r r+f p = 1. Isto é:
t34
12rr
+ = 2kp, k ∈ Z →
→ t + 16 = 24k → t = 24k – 16, k ∈ Z e t ∈ Z, 0 ≤ t ≤ 95.
Daí, k = 1 → t = 14 h do primeiro dia.E) (Falsa)
07 A1o) Se t = 0 → V(0) = 0
Logo, os itens C e E estão eliminados, pois cos .52
0rf p = cos(0) = 1.
2o) Note que o período do fenômeno é 5 s e entre as funções dos itens A, B e D somente a do item D tem período 5 s. Com efeito:
V(t) = 0,6 . sen . t52rf p
Período =
522r
r = 5 s.
08 ASe a maré alta ocorreu à meia-noite e a próxima ocorrerá ao meio--dia, então o período do fenômeno será de 12 h. Daí o item E está descartado.Quando t = 0h a altura y da maré será 3 m.
Então, y = 1,515 + 1,485 . cos t6rf p, pois, para t = 0, cos .
60
rf p = 1
e y = 1,515 + 1,485 = 3 m.
09 B
Dentre as funções apresentadas nas alternativas, ( ) 30 106
cosI t tr
= + f p
é a única cujo conjunto imagem é o intervalo [20, 40]. De fato, 30 10 [ 1,1] [30 10, 30 10] [20, 40].Im $= + - = - + =
10 BSabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:
(1) (3) (5) (7) 4 180 54 03 3
2
720.
cos cos cos cosf f f f $ $r r
r+ + + = - + + +
=
f p
BLOCO 06
01 40/3 metrosSena = 0,6 = 6/10 = 3/5(sena)2 + (cosa)2 = 1 → (3/5)2 + (cosa)2 = 1 → (cosa)2 = 16/25 → → cosa = 4/5 pois a é ângulo agudo.Tga = sena/cosa → tga = 3/4 . Então, 3/4 = 10/x → x = 40/3 .
Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 41
02 DNo terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental, temos: sen2(x) + cos2(x) = 1
( )1312
1 ( ) 1169144
( )16925
( )135
.
sen x sen x sen x
sen x
2
2
2& & &
&
!
!
+ - = = - =
=
f p
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos:
sen(x) = –5
13.
Calculado a tangente de x.
( )( )( )
1312135
125
.cos
tg xx
sen x= =
-
-=
03 C
tg a = x8
x74 8= → x = 14
Logo, a ponte tem comprimento 2x = 28 m.
04 B
tg a = x
10 →
x74 10= → x =
470
→
→ 2x = 270
→ 2x = 35 m
05 D
sen 30o = x
4 3 → x = 8 3
x ≅ 13,6
06 C
Cotg a = 52r
→ tg a = 25r
Daí: R
2025
r r= → R = 8 m
07 Ax2 = (20)2 + (8p)2
x2 = 202 + (24)2
x2 = 400 + 576x2 = 976x = 4 61 m
08 C(sena)2 + (cosa)2 = 1 → (3/5)2 + (cosa)2 = 1 →(cosa)2 = 16/25 → → cosa = 4/5 pois a é ângulo agudo.Tga = sena/cosa → tga = 3/4 . Então, 3/4 = 36/x → x = 48 .
09 a) f(x) = v2.senx (para x agudo)
y
xπ/2
V2
10 x ≠ 6r
rad.
Para não ocorrer o choque teremos:
20 ⋅ senx ≠ 10 → senx ≠ 12
. Logo, x ≠ 6r
, pois x é agudo.
BLOCO 07
01 DN = Py = 320 Newton
Cálculo auxiliar:
Cosa = PPy
Py = P . cos a = N
Py = 40 . 10 . 54
Py = 320
02 A
1o) Sen a = PPx
→ Px = P.sen a → Px = mg.sen a
2o) F + Px = Fa → → F + mg.sen a = m . N → → F + mg.sen a = m . P . cos a → → F + mg.sen a = m . m . g . cos a →
→ m = a a
acoscossen
mgF
+
→ m = . a asecmgF
tg+
03 E
Período = 202
101
r
r=
04 B
S(t) = 0,02 . sen( )t4r+i?
Período: P = 21
42r
r=
Imagem: y = 0,02 . sen(θ) → sen(θ) = ,y
0 02
Daí: –1 ≤ ,y
0 02 ≤ 1 → –0,02 ≤ y ≤ 0,02
05 A
x = 2cos a + 3 → cos a = ( – )x
23
e
y = 2 . acossec
11+> H → y = 2 . [sen a + 1]
y = 2 sen a + 2 → sen a = ( – )y
22
sen2a + cos2a = 1 →
→ – ) ( – )( xy 2
43
4
2 2
+ = 1 →
→ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4
Matemática e suas Tecnologias42 MATEMÁTICA – Volume 01 MATEMÁTICA IV
06 C
2 22 cos
cos
Abase altura
Asen
A sen
triângulo triângulo
triângulo
& &
&
a a
a a
# #
#
= =
=
07 A
( )1 1
1,
cos
coscosf x
senx
senx
x
xsen x x2 2= + = + = para 0
2,x k $!r
+ k ∈ Z.
Portanto a única alternativa correta é a letra A
08 01 + 04 + 16 = 21.
Lembrando que 1
,cossec
xx
= vem
11 1
21
2 2 11.
cossen x xa
aaa
a a a aa
2 2
2 2
2 2
+
+
+
+ =+
++
+=
+ + = + +
=
f fp p
Portanto, como x é um arco do primeiro quadrante e 21
,senx= segue que x = 30o.[01] Correto. É claro que cos 60o = sen30o.
[02] Incorreto. De fato, pois 30 303
323
23
.cot cosg o o$ $= =
[04] Correto. Tem-se que 3033
.tg o=
[08] Incorreto. Lembrando que 1
,cossecxsenx
= temos cossec 30o = 2.
[16] Correto. Com efeito, pois 6023
.sen o=
09 C
f (x) 4 3cos6x
2,5 4 3cos6x
1,5 3cos6x
cos6x
21
6x
32
k 2 ou 6x
34
k 2 para k inteiro$ $
r
r
r
r
r rr
r rr
= +
= +
- =
=-
= + = +
f
f
f
f
p
p
p
p
Para k = 0, temos x = 4 ou x = 8.Para k = 1, temos x = 16 (não convém) ou x = 20 h (não convém).Resposta: 4h e 8h.
10 Considere a figura, em que P’ e Q’ são, respectivamente, os simétricos de P e Q em rela-ção a RT, com T pertencente a L.Como Q e Q’ são os pontos médios de PR e P’R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP’. Logo, 2RS ST$= e, portanto, 3 .RT ST$=Do triângulo PRT vem
60 3 3tgRTPT
PT STo + $= =
e
60
23
3 3
6 .
senPRPT
PRST
PR ST
o +
+
$
$
= =
=
Do triângulo PST, obtemos
3 3
3 3 .
tgSTPT
tgST
ST
tg
+
+
$a a
a
= =
=
Sabendo que cossec2a = 1 + cotg2a e que a é agudo, encontramos
13 3
12827
143 21
.
cossec sen
sen
2
2
&
+
= + =
=
f p
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
.
senQR
senRS
PR
senST
sen
143 21
2 2
721
+
+
$
a i i
i
= =
=
01 E
1o) tg 30o = x2
x = 2 . 33
x ≅ 2 . (0,58)
2o) Área do João = , .
21 16 2
Área do João = 1,16 km2
3o) Á ã
.,
Area to Jo o
2 31 16
Total=
= ,2
1 16 ≅ 19%
02 BSeja K a distância percorrida no eixo x pelo ponto Q.No triângulo P’EO, temos:
Cos θ = r
r K- → r . cos θ = r – K →
→ K = r (1 – cos θ), onde θ = rd
rad.
Logo,
K = r . (1 – cos (rd
))
03 C
Seja n o número de degraus da escada e l o comprimento do degrau.
tg 30o = 20,
. l = 20 3 cm
n = 20 3280 3
= 14
04 B
Q
θ
α αR
60o
T
P
S
Q’
P’
Matemática e suas TecnologiasMATEMÁTICA IV MATEMÁTICA – Volume 01 43
1a) sen 30o = OA3
→ OA = 6 cm
2o) 8 + x = OA + 3 → 8 + x = 6 + 3 → x = 1 cm
05 Csec2x = 1 + tg2x7 = 1 + tg2x
tg2x = 6.
06 A
sen x + 1
sen x =
52
; x ∈ [0, 2p]
2 sen2 x + 2 = 5 . sen ; x ∈ [0, 2p]2 sen2 x – 5 sen x + 2 = 0
Fazendo sen x = y, temos:2y2 – 5 . y + 2 = 0∆ = 25 – 16 = 9
y = 5 3
4!
2 ( ã é , 1 )
21
y n o conv m pois sen x
y
# #= -
=
Z
[
\
]]
]]
Então: sen x = 12
→ x = 6r
ou x = 56r
07 B
y = 6 . cossec x + 3 → cossec x = 3y
6-
Para existir x ∈ D(ƒ), devemos ter:
cossec x ≤ –1 ou cossec x ≥ 1 → 3y
6-
≤ –1 ou 3y
6-
≥ 1 →
→ y – 3 ≤ –6 ou y – 3 ≥ 6 → y ≤ –3 ou y ≥ 9
08 D
E = 2 2
coscos
xx sen x
1
2
-
- - =
( )2 (1 ) (1 )
coscos cos
xx x
1
2
-
- - - -
E = (1 )
2. (1 ) (1 ) . (1 )cos
cos cos cosx
x x x-
- - - +; cos x ≠ 1
E = 2 – 1 – cos x = (1 – cos x)
09 DS = (a . cos x – b . sen x)2 + (a . sen x + b . cos x)2
S = a2 . cos2 x – 2. . . . cosa b sen x x + b2 . sen2 x + a2 . sen2 x +
2. . . . cosa b sen x x + b2 . cos2 xS = a2 . ( )cos x sen x2 2
1
+1 2 34444 4444
+ b2 . ( )cos x sen x2 2
1
+1 2 34444 4444
S = a2 + b2
10 A
cos (3x – 5r
) = 0 ↔ 3x – 5r
= 2r
+ kp ↔
↔ 3x = 5r
+ 2r
+ kp ↔ 3x = 710r
+ kp ↔ x = 307r
+ k3r
, k ∈ Z .