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La resolución de problemas

Sigma nº 10, 1991 1

Si contemplo las obras de los maestros veo lo que ellos han hecho Si considero mis realizaciones me doy cuenta de lo que debiera haber hecho

(GOETHE)

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

SANTIAGO FERNÁNDEZ FELIZ ALAYO

AMAIA BASARRATE FERNANDO FOUZ

Las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas, enfrentarse con un problema

matemático e intentar resolverlo es la forma más segura de aprender matemáticas. LUIS SANTALO, uno de los mejores matemáticos españoles, dice que: «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».

El problema suele encontrarse en el terreno de lo desconocido y a priori no tenemos

caminos claros para llegar a su solución. MARIO BUNGE, define el PROBLEMA: Aquel que designa una dificultad que no puede resolverse automáticamente, sino que requiere una investigación conceptual o empírica. Sigue diciendo que: El problema es el primer eslabón de la cadena.

PROBLEMA - - - INVESTIGACIÓN - - - SOLUCIÓN

En contraposición con un ejercicio, podemos decir que en un problema no se sabe muy

bien cómo empezar ni tampoco cómo seguir. SCHOENFELD (1985) dice que la enseñanza de la Resolución de Problemas comienza

a finales de la década de los 70, fundamentado pedagógicamente en el rechazo tanto de la matemática moderna como al intento de vuelta atrás que supuso el «back to basics» (se vio rápidamente que comprender lo fundamental no era suficiente, sobre todo si lo fundamental se consideraba la solución de ejercicios repetitivos y el dominio de técnicas algorítmicas).

Después de varios años de investigación y cientos de artículos y libros publicados se va

vislumbrado con cierta claridad la importancia de la Resolución de Problemas. Pero, ¿cómo enseñar a resolver problemas a nuestros alumnos?

Hay que dejar claro de entrada, que resolver problemas es una actividad mental

compleja, requiere ciertos conocimientos, y poner en escena una buena dosis de talento y creatividad. La persona que se enfrenta al problema en principio no sabe por dónde tirar, pero si ha tenido experiencias diversas en la resolución de otros problemas es probable que consiga bastantes más éxitos.

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El Grupo Cero (1987), respecto a la Resolución de Problemas dice que en una mirada poco atenta puede parecer que esta actividad es generalmente caótica o, como poco, desordenada, pero observando a un buen resolutor de problemas lo cierto es que sigue un «método en su locura».

La mejor forma de convertirse en un buen resolutor de problemas es tener un experto a

nuestro lado que nos guíe y oriente en ese aparente caos, a falta de experto se puede seguir ciertos métodos, procedimientos y actitudes.

En primer lugar hay que conocer ciertas técnicas que sino proporcionan una garantía de éxito, si al menos una confianza en el hecho que uno no está «desarmado» completamente.

Hay que tener en cuenta que el aprendizaje de la resolución de problemas es un proceso a largo plazo, el profesor puede servir de ayuda inestimable pero el mismo tiene que interesarse muy activamente por la resolución de problemas.

EL EXPERTO ANTE UN PROBLEMA Problema: con 6 palillos iguales construir 4 triángulos equiláteros idénticos

El experto comienza a hurgar en su memoria, al mismo tiempo reorganiza los elementos del problema de modo que se acomoden a la solución. Dibuja, calcula, se pone metas más simples, busca problemas análogos...

Después de varios intentos quizás se le ocurra pensar que en el plano no existe tan

disposición. ¿Yen el espacio?... Surge el ¡Ajá!... Ya lo tengo.

x Cuál es el retrato robot de un experto resolutor de problemas? 1. Tiene una estructura clara y conexionada de los conocimientos básicos que posee.

— Sabe lo que sabe. — Ha usado lo que sabe. — Sabe que hay cosas que todavía no domina, pero sabe para qué sirven y dónde

buscarlas...



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2. Tiene un buen método general para atacar los problemas. No se bloquea. No es anárquico... 3. Es perseverante. Goza retándose a sí mismo, aunque fracase. 4. Reflexiona sobre los problemas que resuelve o que ve resueltos por otros (nuevos conocimientos).

x También nosotros podemos llegar a ser «expertos» resolviendo problemas. Para eso estamos aprendiendo cosas nuevas de matemáticas, pero tenemos que reflexionar sobre lo que sabemos y utilizarlo más a menudo.

También podemos ser perseverantes, ejercitarnos resolviendo problemas de todo tipo

y reflexionar sobre ellos. Nos falta saber cuál es su método...

TIPOS DE ESTRATEGIAS

Reflexionando sobre el proceso de la resolución de problemas, podemos señalar

algunas pautas, procedimientos o estrategias, que suelen aparecer en el proceso de la resolución, algunas de ellas son:

1) Codificar (utilizar un método de expresión adecuado: algebraico, verbal,

gráfico...). 2) Experimentar y Sacar Pautas (inducir). 3) Empezar el problema desde atrás. 4) Resolver Problemas análogos (analogía). 5) Empieza por lo fácil, resuelve un problema más simple. 6) Descompón el problema en pequeños problemas. 7) Conjetura y lleva adelante la conjetura. 8) Saca partido de la Simetría. 9) Ensayo-Error. 10) Supón que NO (Reducción al absurdo). 11) Organización. 12) Deduce y saca conclusiones (Deducir). 13) Haz un esquema, dibujo, tabla... 14) Haz recuento (Conteo). 15) Problemas de Cambio de Estados. 16) Analiza los Casos límites. 17) Utiliza el Principio del Palomar. 18) Problemas lógicos. 19) Reformulación del Problema. 20) Problemas Singulares. 21) Problemas-Ejercicios. 22) Problemas de Investigación. 23) Problemas de Estrategias.

Un uso planificado de estas estrategias no implica necesariamente el éxito en la

búsqueda de la solución del problema, pero sí garantiza una cierta estructuración en ese aparente caos.



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Hay que dejar claro, además, que un problema requiere a veces de varias estrategias. Ilustramos aquí algunos problemas resueltos por las estrategias anteriormente citadas. Conviene recordar:

x Ser buenos resolviendo problemas es muy importante para «hacer» matemáticas. x Hacer matemáticas es prepararnos y ejercitarnos para ser buenos resolviendo

problemas. x Resolver un problema requiere un esfuerzo; tenemos que entenderlo bien, hacerlo

nuestro, pensar y darle vueltas, buscar y construir un camino, justificarlo... x La habilidad para resolver problemas se puede adquirir y mejorar, pero tenemos que

esforzarnos y ejercitarnos. x Hemos visto que no tenemos buenos hábitos a la hora de abordar problemas. x Sin embargo, para realizar cualquier tarea un poco complicada (poner algunos

ejemplos), es necesario tener recursos y también una estrategia, un buen método, para guiar nuestras acciones, si no la mayoría de las veces fracasaremos.

— No queremos quedarnos bloqueados ante un problema y esperar que llegue una

luz misteriosa que nos ilumine. Esa bombilla está fundida. — No queremos empezar a dar bandazos, buscando sin ton ni son, o haciendo

operaciones sin más. Queremos ser lógicos, tener un camino que recorrer, saber qué pasos dar.

x Sabemos, por supuesto, que no hay ningún método mágico e infalible que nos lleve

directamente a la solución de cualquier problema; si no, no habría «problemas». x ¿Cuál será el mejor método? x Evidentemente el método mejor para abordar problemas será el que utilizan los que

son buenos resolviendo problemas (los expertos).


Listado y ejemplificación de estrategias

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LISTADO Y EJEMPLIFICACIÓN DE

ESTRATEGIAS SANTIAGO FERNÁNDEZ

FELIX ALAYO AMAIA BASARRATE

FERNANDO FOUZ

1. CODIFICAR

Problema 1

Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas?

Después de jugar un poco con el problema, se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Así, si los guantes los representamos por A y las cajas por B. La secuencia BAA BA BAA nos indica que en la primera caja hay dos guantes, en la segunda un guante y en la tercera dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema.

2. EXPERIMENTAR Y SACAR PAUTAS (Inducir)

Problema 2

Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos, ¿qué observas?



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Problema 3

Observa que:

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16 1+3+5+7+9 = 25

¿Cuál es la ley general? Expresarla de manera conveniente y pruébala.

Parece que la suma de impares consecutivos es un número cuadrado perfecto y además tiene relación con el número de sumandos. Seguramente ya ha pensado en la regla: 1+3+5+7+ ... + (2n–1) = n2.

Utilizando el principio de inducción matemática (que aparece en varios textos) seguramente será usted capaz de demostrar el planteamiento anterior.

3. EMPEZAR UN PROBLEMA DESDE ATRAS Problema 4 Se ha construido una casa con 10 palillos, su forma es:

Cambiando de posición dos palillos. ¿Podría cambiar la forma de la casa a la

nueva situación?



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Si suponemos el problema resuelto (empiezo desde atrás) y comparo con los datos, rápidamente me doy cuenta

4. RESOLVER PROBLEMAS ANALOGOS (Analogía)

Problema 6

Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura



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5. EMPIEZA POR LO FACIL, RESUELVE UN PROBLEMA SIMPLE

Problema 7

16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre si en la primera ronda.

¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Comenzamos por 2 jugadores; claramente hay una sola forma. Si los jugadores son 4 tenemos los siguientes grupos:

{1,2} {2,}3 {3,4}

{1,3} {2,4}

{1,4}

6 grupos

Si son 6 los jugadores, aparecen 15 grupos (compruébalo). ¿Serías capaz de sacar una ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores?



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Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones.

6. DESCOMPÓN EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS

Problema 8

Halla el área de la parte rayada.



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7. CONJETURA Y LLEVA ADELANTE TU CONJETURA

¿Qué es una conjetura? Si preguntas a un científico, la respuesta que recibirás puede ilustrarse muy bien con el siguiente ejemplo:

Observa que 4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 3+5 10 = 3+7 12 = 5+7 20 = 3+17

¿Será cierto que todo números par (mayor que 2) se puede descomponer como suma de dos números primos? El dar este paso supone hacer una conjetura (ésta se conoce como conjetura de Goldbach). La conjetura es una afirmación que parece razonable.

En cierta manera las conjeturas forman la columna vertebral del razonamiento matemático. Se hace una conjetura en base a intuiciones, experimentaciones... Y luego se intenta demostrar que es cierta (o falsa).

Problema 9

Dado un número cualquiera que acabe en 2, observa que es divisible por 2, si acaba en 5 es divisible por 5, si acaba en 25 es divisible por 25. Si acaba en 00 es divisible por 100...

Haciendo una lista de tales números, parece que son buenas las terminaciones: 1,2,5,0,25,50,00,000,...

Una conjetura puede ser que la terminación es de la forma 2PƊ5q, osea estos números tan extraños son todos los que acaban en la expresión 2PƊ5q con p,q enteros y mayores o iguales que cero. ¿Será verdad?

8. SACA PARTIDO DE LA SIMETRÍA

Hay problemas que tienen un marcado carácter simétrico, tanto en la expresión como en el dibujo. Ejemplos de lo dicho:



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Problema 10

Calcula el área rayada de la siguiente figura:

Es claro que la figura tiene un marcado carácter simétrico. De hecho si adjuntamos dos

figuras iguales.

9. ENSAYO-ERROR

Es, sin duda alguna, uno de los métodos más sencillos para resolver problemas. Consiste en 1) elegir un resultado u operación aceptable; 2) llevar a cabo ese resultado su operación sobre las antecedentes y 3) probar si ha logrado el objetivo. Si la respuesta en 3) es negativa, se repite el proceso hasta alcanzar el objetivo o bien hasta que se demuestre que el problema es imposible de resolver.

Problema 11

Calcular en número tal que al elevarle al cuadrado y sumarle el número buscado resulte como resultado 132. - Probemos con X = 10 — 102+10 = 110 luego el número es mayor que el 10. Tomemos el 15 x = 15 — 152+15 = 240, el número es menor que 15. Esta entre 10 y 15...



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10. SUPON QUE NO (Reducción al absurdo)

Para demostrar la veracidad de algo que estamos buscando, a veces resulta más sencillo suponer que no es cierto y deducir consecuencias de esta apreciación. Para llegar por fin a algún contrasentido o absurdo.

Por tanto la suposición de que era falso no se tiene en pie y tiene que ser verdadero.

Problema 12

Demostrar que existen infinitos números primos.

Si suponemos que no. Tenemos un número finito de números primos. Estos son:

nPPPP ,...,, 32,1

Construimos ahora el número T = 1,...,32,1 �xx nPPPP

No puede ser primo, pues es mucho mayor que el conjunto de todos los primos. Por tanto será compuesto pero, sin embargo, no es múltiplo de ninguno de los primos (pues el resto de la división es 1); así pues llegamos a que T no puede ser compuesto. Por tanto, la suposición inicial no puede ser cierta y esto demuestra que hay un número infinito de números primos.

11. ORGANIZACIÓN

Uno de los primeros pasos a dar en la resolución de un problema consiste en organizarse y formular un plan de ataque.

Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito.

Problema 13

Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos tenemos:

10 = 1+1+1+1+7; 10 = 1+3+3+3 ; 10 = 1+1+1+3+5

Tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones).

Para obtener 20 con ocho sumandos impares. ¿Cuántas formas hay?

Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático

20 = 1+1+1+1+1+1+1+13

20 = 1+1+1+1+1+1+7+7

20 = 1+1+1+1+1+1+3+11

así llegamos hasta 11 posibles combinaciones.



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12. DEDUCE Y SACA CONCLUSIONES (Deducir)

La Deducción e Inducción son el eje vertebrado de las Matemáticas, las dos están presentes en todo quehacer matemático.

Mediante la deducción vamos construyendo un cuerpo de verdad fuerte y potente.

13. HAZ UN ESQUEMA, DIBUJO, TABLA

Este proceso está dentro de la organización, pero tiene relación con la búsqueda de pautas y otros procesos ya vistos. Desde luego muchos problemas se resuelven inmediatamente si se ha logrado una buena re-presentación. El apoyo con imágenes, tablas es una ayuda importantísima.

Problema 15

En tu bolsillo tienes las siguientes 5 monedas:

1 ptas., 5 ptas., 25 ptas., 50 ptas. y 100 ptas.

¿Cuántas cantidades distintas puedes formar?

Si empezamos una búsqueda peco organizada seguramente nos liaremos, así 1+5 = 6; 1+25 = 26; 1+50 = 51 ... , 50+100 = 150… 1+5,+25+50+100 = 181.

Pero ¿cuántas combinaciones hay?

Un esquema como el siguiente nos lleva a la solución.

Contando todas las ramificaciones llegamos a la solución:



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14. HAZ RECUENTO (Conteo)

Se trata de contar sistemática y ordenadamente para sacar leyes generales, el conteo también puede hacerse al azar (en problemas relativos a probabilidad) y de aquí sacar conclusiones.

Problema 16

¿Cuántos rectángulos (no cuadrados) hay en la red?

15. PROBLEMAS DE CAMBIOS DE ESTADOS

Muchos problemas se resuelven siguiendo una serie de pasos que nos van acercando al objetivo final. Así el problema va pasando por varios estados, se va- transformando. De manera que a veces es conveniente analizar un estado y ver si es posible llegar a él para luego pasar al siguiente estado. Tiene relación estrecha con la estrategia vista anterior-mente (descomponer el problema).



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Problema 17.

Un hombre quiere transportar a la otra orilla del río a un lobo, una cabra y una col en una barca en la que cabe la col, el hombre y alguno de los animales. No puede dejar solos a la cabra ni al lobo, ni a la cabra con la col. ¿Cómo los puede transportar?

16. ANALIZA LOS CASOS LIMITES

En algunas situaciones se nos pide comprobar o demostrar ciertas fórmulas. ¿Cómo hacerlo? Un recurso es el utilizar «situaciones límites». Veámoslo con un ejemplo.

Problema 18

Se nos dice que el volumen del tronco de cono de la siguiente figura es:



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17. UTILIZA EL PRINCIPIO DEL PALOMAR

Es una estrategia poco conocida y se basa en la siguiente idea: «Si 20 palomas se meten en 19 huecos, necesariamente en algún hueco debe de haber más de una paloma».

Principio del palomar:

Si m palomas ocupan n nidos y m>n, entonces hay al menos un nido con dos o más palomas.

Esta idea tan sencilla tiene aplicaciones interesantes.

Problema 19

¿Cuántas veces se debe lanzar un solo dado para obtener la misma puntuación por lo menos dos veces?

Los casos posibles (huecos) son 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) y las veces que se debe lanzar como mínimo (palomas) serán por tanto 7.

Problema 20

Dado el triángulo ABC equilatero y de lado = 1. Si se eligen cinco 1 puntos de su interior hay como mínimo dos que distan menos de ½.

Esta es una situación más complicada y sutil que lo anterior.

Para desmontarla, dividamos el triángulo en cuatro triángulos equiláteros, tal como indica la figura:



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18. PROBLEMAS LOGICOS

Es una categoría de problema que aparece en casi todas las pasa-tiempos, revistas... Son muy populares y en ellos se aplican una variedad de estrategias. Como muestras presentamos algunos:

Problema 21

Una balanza está equilibrada en las tres situaciones siguientes:

Cuántas tazas sin plato se necesitan para equilibrar la jarra?

Seguramente el lector habrá resuelto muchos problemas de este tipo y llegará a la solución después de un adecuado «camino lógico». En consecuencia, una jarra se equilibra con tres trazas.

Problema 22

En una clase de E.G.B. de 30 alumnos a 22 les gusta el dulce y 23 les gusta sabores amargos. ¿Cuántos alumnos les gusta los dos sabores? Además todos los alumnos de la clase les gusta el dulce o lo amargo.

Desgraciadamente, con la casi desaparición de la teoría de conjuntos estos problemas no suelen presentarse en nuestras aulas.

Un esquema como el siguiente nos lleva rápidamente a la solución.

A = conjunto de alumnos a los que les gusta el dulce

B = conjunto de alumnos a los que les gusta el amargo



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Por tanto, los dos sabores le gustan a 15 alumnos.

19. REFORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Se trata de ir cambiando el enunciado del problema y así obtener un mejor ataque del mismo. Veámoslo con un ejemplo:

Problema 22

Dado un cuadrilátero cualquiera. Sobre sus lados construimos los puntos medios y los unimos entre sí, dando lugar a otro cuadrilátero. Demostrar que es un paralelogramo.

Desde luego conviene hacernos una pequeña figura y seguramente aparece de forma natural la siguiente reformulación.



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20. PROBLEMAS SINGULARES

Llamamos problemas singulares a aquellos problemas que no están «bien definidos». Esto es los datos que nos dan son insuficientes o bien todo lo contrario (abundantes), pueden ser datos contradictorios o bien no pertinentes, etc.

Problema 23

Encontrar dos números consecutivos cuya suma sea igual a 126.

Si son consecutivos tienen que ser necesariamente uno par y otro impar luego su suma es un número impar, por tanto el problema tiene datos contradictorias con la solución.

Problema 24

Juan compró dos lapiceros y una pluma en total costaron 1.528 ptas. ¿Cuánto cuesta el lapicero .

Claramente tiene datos insuficientes, por tanto no se puede resolver el problema.

21. PROBLEMAS-EJERCICIOS

Son situaciones cercanas a los ejercicios pero que conviene trabajar especialmente en clase, ya que con ellos se refuerzan determinados conceptos y se experimentan algoritmos.



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Problema 25

Es un triángulo rectángulo se construyen tres cuadrados sobre cada uno de sus lados, la superficie de los cuadrados mayores es igual a 256 y 400 m2. ¿Cuál es el área del triángulo?

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la superficie del cuadrado más pequeño es igual a 400–256 = 144 m , por tanto, los lados perpendiculares del triángulo (catetos) miden 12 y 16 m, luego el área del triángulo mide

22. PROBLEMAS DE INVESTIGACION

Es difícil definir la diferencia que existe entre los términos «problema» e «investigación». La investigación, muchas veces, no tiene un objetivo obvio ni inmediato; son situaciones muy abiertas o también muy cerradas (en el sentido que tienen un objetivo concreto). La investigación es un proceso que incluye una serie de discusiones y trabajos prácticos, que se pueden utilizar para resolver problemas.

Problema 26

Un polígono de n lados. ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que puede tener?

23. PROBLEMAS DE ESTRATEGIAS

Son problemas relacionados con «juegos» y generalmente se trata de elegir estrategias ganadoras o perdedoras (obtener un número, hacer el último movimiento, explicitar un determinado camino, etc.).

Problema 27

Dos jugadores disponer de piezas de dominó, se trata de rellenar un tablero de ajedrez de manera que el último que ponga una pieza gana, juegan alternativamente y no está permitido salir fuera del con-torno ni poner encima de otra ya existente. Cada pieza de dominó ocupa dos cuadraditos del tablero de ajedrez.

Problema 28

Tenemos dos montones de piedras, uno con 7 piedras y el otro con 8 y dos jugadores que alternativamente pueden quitar 1 ó 2 piedras pero solo eligiendo uno de los montones. El que retire la última piedra pierde.


Problemas propuestos

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PROBLEMAS PROPUESTOS

Selección realizada por: SANTIAGO FERNANDEZ FELIX ALAYO


1. ENGAÑANDO A LA BALANZA

Deduzca cuánto pesa cada niña

Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos, e intercambiándose de a una por vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que de a pares pesaban 129 libras, 125, 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Hay que descubrir ahora el peso de cada una, por separado.

2. TRES NUMEROS

Escribe tres números cualesquiera. Por ejemplo: 7 12 22

Cuenta: el número de ceros que aparecen

el número de unos

el número de doses

Así obtienes 3 nuevos números: 0 1 3

Cuenta de nuevo los ceros, unos y doses y obtienes otros tres números: 1 1 0

Cuenta otra vez... 1 2 0

Cuenta otra vez, y otra y...

Investiga qué ocurre.

Inténtalo con cuatro números, contando el número de ceros, unos, doses y treses.



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3. CELDAS NUMÉRICAS

En esta fila de celdas se comienza con 3 y 4:

Luego se suman 3 y 4 y dan 7, luego 4 y 7 y dan 11…

Pero si te dan solo el primer número y el último…

¿Cuáles son los otros números?

Para diferentes valores del primer número y del último, investiga formas de calcular los números que faltan.

Amplía tu trabajo a otras longitudes de celdas.

4. DIVIDIENDO EL TABLERO

Aquí tienes dos formas de cortar un tablero 4x4 en dos partes iguales.

¿De qué otras formas puedes hacerlo?

Investiga con tableros de otros tamaños.



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5. TIRAS DE CUADRADOS

Se hacen tiras de cuadrados y se pintan en dos colores. Decimos que dos tiras son equivalentes si se pueden reflejar o girar de forma que una coincida con la otra:

¿Cuántas tiras diferentes se pueden hacer con 5 cuadrados?

Investiga lo que ocurriría para tiras formadas con un número diferente de cuadrados.

¿Y si cambiamos el número de colores o formamos anillos de cuadrados?

6. FECHAS CAPICUAS

El 19 de noviembre de 1991 es una fecha capicúa: 19-11-91 (se lee igual hacia atrás que hacia adelante).

¿Cuál será la siguiente fecha capicúa?

¿Qué años producen el máximo de fechas capicúas?

¿Qué años no producen ninguno?

Nota: Observar las diferencias entre 01 ó 1 para los meses y días.



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9. CASTILLO DE CARTAS

10. LA ESCALADA

Es un juego para dos personas.

Se coloca una ficha en el punto marcado como «salida» y, por turnos, los jugadores van desplazando hacia arriba la ficha según las siguientes reglas:

En carda turno sólo se puede mover la ficha a un punto adyacente más alto que la posición que ocupe en ese momento.

Por lo tanto, cada movimiento sólo se puede realizar en una de estas tres posiciones:

El primer jugador que coloque la ficha en el punto señalado como «meta» gana.

(i) Este diagrama muestra el principio de una partida, jugada entre Sara y Pablo. Los movimientos de Sara vienen marcados por una flecha continúa.

Los de Pablo por una flecha punteada. Es el turno de Sara. Tiene dos movimientos posibles. Uno de ellos le asegura a Sara la victoria, pero el otro se la puede asegurar a Pablo. ¿Cuál?

(ii) Si el juego comienza desde el principio y Sara mueve la primera, puede con-seguir ganar siempre si juega correctamente.

Explica cómo debería jugar Sara para estar segura de ganar.



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11. LA TORRE

(I) ¿Cuántos cubos son necesarios para construir esta torre? (II) ¿Cuántos cubos son necesarios para construir otra torre como ésta pero 12 cubos

más alta? (III) Explica cómo has trabajado para responder al apartado II. (IV) ¿Cómo calcularías el número de cubos necesarios para una torre de altura n?

12. LLEGARA 100

Es un juego para dos jugadores.

Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 10, y lo suman a los números elegidos anteriormente.

El primer jugador que consigue sumar exactamente 100 es el ganador. Ejemplo:

Primer jugador Segundo jugador Suma total

10 8 2 9 8 9 4

5 8 9 9 9 10

10 15 23 31 33 42 51 60 68 77 86 96 100

¡Gana el primer jugador!

Juega unas cuantas partidas con tu compañero. ¿Puedes hallar alguna estrategia ganadora?



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• Modifica el juego de alguna manera, por ejemplo:

— suponer que el primero en llegar a 100 pierde (y no vale pasarse).

— suponer que sólo se pueden elegir números entre 5 y 10.

13. EL JUEGO DE LA ESPIRAL

Es un juego para dos jugadores. Se coloca una ficha en el punto marcado «È ».

Por turnos, se mueve la ficha entre 1 y 6 puntos a lo largo de la espiral, siempre hacia dentro. El primer jugador que llega al punto marcado «È» gana de partida.

Intenta hallar una estrategia ganadora.

Cambia de alguna forma las reglas para mover la ficha e investiga las estrategias ganadoras.

14. LOS BORDES DEL ESTANQUE

Pepe trabaja en una empresa especializada que vende estanques cuadrados y grandes

losetas para rodearlos. Las losetas tiene forma de cuadrado de un metro de lado.

Los clientes le dicen a Pepe las dimensiones del estanque, y él tiene que calcular cuántas losetas necesitan.



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x ¿Cuántas losetas hacen falta para rodear un gran estanque de 115 metros por 115 metros?

x Busca una regla para calcular el número correcto de losetas para cualquier estanque cuadrado.

x Supón ahora que la empresa decide comercializar estanques rectangulares. Busca una nueva regla.

x Algunos clientes quieren adquirir losetas para rodear estanques irregulares como el siguiente:

(Este estanque necesita 18 losetas. Compruébalo). Intenta hallar una regla para calcular el número de losetas necesarias cuanto te dan las dimensiones globales (en este caso 3 m por 4 m).

Explica por qué funciona tu regla.

15. TRIÁNGULOS

¿Cuántos triángulos isósceles distintos pueden dibujarse en una trama 4x4 (Los vértices deben estar sobre puntos de la trama).

16. SOLAPAMIENTO DE CUADRADOS

Un cuadrado tiene uno de sus vértices en el centro de otro cuadrado del mismo lado que el anterior. ¿Qué área hay encerrada en la intersección de ambos?

Una modificación: Plantéate el mismo problema en el caso de que los lados de los dos cuadrados no sean iguales.



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17. JAIMITO GENEROSO

Jaimito sale con un montón de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha hecho con los cromos.

— A cada amigo con que me encontré le di la mitad de los cromos que llevaba más uno.

— ¿Con cuántos amigos te encontraste?

— Con seis.

¿Con cuántos cromos salió Jaimito?

18. SUMAR 15

Nueve fichas marcadas del 1 al 9 se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turnos. Gana el que primero sume 15 con 3 fichas.

19. MUCHOS CEROS

¿En cuántos ceros termina el número 100! = 100 x 99 x 98 x 97 x ...3x2x1?

20. CAZA CARTESIANA

Es un juego para los jugadores A y B En un tablero 8x8 se coloca una ficha en la

esquina inferior izquierda. Juega A y debe mover la ficha un cuadrado hacia arriba, hacia la derecha o en la dirección de la diagonal NE. Juega B y, del mismo modo, debe mover la ficha, desde la posición que ahora ocupa, un cuadro hacia el N, E, o bien NE. Juega A... Gana quien coloque la ficha en la esquina superior derecho. ¿Puedes encontrar una estrategia para alguno de los jugadores?

21. ESTACIONES NUEVAS

En cada estación de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como estaciones a las que puede ir desde una estación determinada o estaciones desde las que se va a ella (el billete de A o B es distintos del de B a A). Se inaugura una nueva línea con varias estaciones y eso obliga a imprimir 34 nuevos billetes distintos. ¿Cuántas estaciones había y cuántas nuevas se han inaugurado?



Sigma nº 10, 1991 9

22. CAMINANDO JUNTOS

Un hombre y una mujer pasean juntos. El hombre da dos pasos al tiempo que la mujer da tres. En un cierto instante ambos pisan con el pie derecho. ¿Al cabo de cuántos pasos del hombre pisan por primera vez ambos al tiempo con el pie izquierdo?

23. LOS MARIDOS CELOSOS

Un grupo de matrimonios que deben cruzar el río utilizando una barca con capacidad para dos personas... pero los maridos son celosos, y ninguno está dispuesto a que en ningún momento quede su mujer en compañía de otros hombres si él no está presente.

Resuelva usted el problema para dos y tres parejas, pero no se moleste para cuatro: hace tiempo que se ha mostrado que es insoluble. Pero puede todavía resolverse en este caso con la introducción de alguna pequeña variante. Pruebe con cada una de estas dos:

a) Suponiendo que hay una isla en medio del río.

b) Suponiendo que en la barca caben tres personas.

Si le gusta el tema, puede seguir introduciendo variantes: aumente el número de parejas, suponga que hay varios maridos polígamos, considere que las esposas no pueden remar... la variedad es infinita, y, que se sepa, ni las computadoras de la última generación han conseguido hallar la solución en el caso más general.

24. MODELOS

¿Cuál es el número mínimo de cubos necesarios hacer esto?

25. Se inscribe un cuadrado en un semicírculo. Calcula la relación entre a y b.



Sigma nº 10, 1991 10

26. 153=13+53+33

Halla otros números de tres cifras que verifiquen esta ley.

27. Sea A un conjunto de seis enteros positivos menores que 15. Mostrar que las sumas de

los elementos de todos los subconjuntos de A no pueden ser distintas.

28. Dado el cuadrado de lado unidad. Muéstrese que si se seleccionan cinco puntos de su

interior, debe haber al menos dos puntos que disten menos de

29. Una cabra está atada mediante una cuerda de 9 metros en el vértice de una tapia de

6x4 metros. ¿Qué superficie máxima puede pastar?

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30. ENCONTRAR NUMEROS

Se trata de encontrar un número de cuatro cifras. Se han realizado varios intentos por adivinarlo. Si coincide la cifra y su posición recibe una calificación de B, si coincide la cifra pero no su posición su calificación es R.

Las calificaciones proporcionan pistas suficientes para deducir el número oculto: Descubre el número oculto en los dos casos:

a) b)

8476 R 2687

1247 RRR 1496 RR

5891 BB 9239 B

4674 R 2861 B

3582 RR ? BBBB

? BBBB

31. Las letras dentro de cada círculo representan a los números del 1 al 9.

Se sabe que: a) C2 = 1 b) DxF=E c) A, E, 1 son números consecutivos d) la suma de la columna izquierda (A, D, G) es mayor que la de cualquier otra

columna o hilera.

¿Qué número representa cada letra?



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32. Dos amigos compran una tinaja de vino de 8 litros, quieren repartirla a partes iguales,

pero sólo disponer de dos recipientes de 5 litros y 3 litros respectivamente. ¿Cómo lo consiguen?

33. ¿Cuántos cuadrados y cuantos rectángulos hay en una red como esta que aparece en

la figura?

34. ¿Cuántos triángulos hay en la red inferior? ¿Cuántos tendrán un vértice hacia arriba?

¿Cuántos tendrán un vértice hacia abajo?

35. Toma un número de cuatro cifras, ordena sus dígitos de mayor a menor y luego de

menor a mayor y luego resta los dos números obtenidos.

Ejemplo 5217

7521 — 1257 = 6264

Continúa el proceso igual que en el caso anterior

6642 — 2466 = 4176

Continúa

7641 — 1467 = 6174

Continúa

7641 — 1471 = 6174

Hemos caído en un número compuesto por las cifras 7, 6, 4 y 1. ¿Será cierto para todos los números de 4 cifras? ¿Por qué?



Sigma nº 10, 1991 13

36. Toma un número de tres cifras, con todas sus cifras desiguales, por ejemplo, 523. Dale

la vuelta, 325. Resta el menor del mayor 523—325 = 198. Ahora invierte el número, 891 y suma los dos últimos números obtenidos 198+891 = 1089.

Haz lo mismo con otros números de tres cifras. ¿Qué observas? ¿Puedes justificar el resultado?

x Estudia números de 4 cifras.

37. Dado un segmento A B se trata de duplicar el segmento pero utilizando solamente un compás (hay que hallar el punto inicial y final del nuevo segmento).

38. De un cuadrilátero convexo. Se conocen tres de sus ángulos: 140°, 130° y 30°. ¿Puede inscribirse este cuadrilátero en una circunferencia?

39. Aquí aparece el plano de un solar.

Un gato quiere llegar a la posición de salida.

¿Cuántos caminos diferentes tiene? Se supone que no puede pasar dos veces por el mismo sitio.



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Encuentra ahora la solución para los siguientes solares.



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40. CAMINOS Y MININOS

Para ir de la posición 1 a la 6 hay varios caminos.

i) 1-2-3-4-6 (suma 16 = 1+2+3+4+6)

ii) 1-2-3-4-5-6 (suma 17)

iii) 1-4-3-5-6 (suma 19)

iv) 1-4-6 (suma 11)

La suma menor es 11 y la mayor 19.

Obtener a y b para que el mínimo de las sumas sea 20 y el máximo 33.

(a y b se consideran positivos)

41. Dos personas mondaron 400 naranjas. Una de ellas mondaba 3 naranjas por minuto y

la otra 2. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera.

¿Cuánto tiempo trabajó cada una?



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42. EL ATASCO

En un pequeño aparcamiento los coches están aparcados como si fuesen sardinas en una lata, tan apretados están que la única maniobra posible es dar marcha atrás y adelante.

El coche del jefe del aparcamiento está señalado con el número 1. ¿Qué maniobras tiene que realizar para salir? ¿Cuántos coches se tienen que desplazar de su lugar?

Para resolver este problema puedes ayudarte de unas cuantas fichas de dominó, cada una simulando un coche.



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43. EL CUBO

Aquí tenemos un cubo, al que vamos a cortar por un plano que pasa por los puntos A, B y C, la sección que nos queda es un triángulo equilátero (ver figura).

Si el plano pasa por los puntos señalados ¿qué figura nos resulta?



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44. EL MENÚ

Un restaurante decide un día proponer una carta para que los clientes escojan su

menú. Así se puede escoger del primer plato de entre 4 posibilidades (ensalada, alubias, arroz y patatas) para segundo plato son 5 las posibilidades...

Un cliente, que come todos los días del año en el restaurante, decide hacerse un menú diferente cada día. ¿Hasta cuando podrá llegar con su objetivo?

EJEMPLOS

1.er Día ............................Ensalada, cordero, guisantes y flan

2.° Día ............................Ensalada, pollo, guisantes y flan

3.er Día ............................Ensalada, Ternera, guisantes y flan

MARCA TU UNA ESTRATEGIA PARA HACER TU MENU, ¿qué día comerás arroz, sardinas, coliflor y helado?



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Este cuadrado rellenado de números se le llama CUADRADO MAGICO.

Su disposición es notable.

La suma de los números en una misma fila, columna o diagonal es la misma.

2+7+6 = 15 (suma de los números de la 1.a fila)

9+5+1 = 15 (suma de los números de la 2.a fila)

2+5+8 = 15 (suma de los números de una diagonal)

6+1+8 = 15 (suma de los números de la 3.a columna)

AL NUMERO 15 se le llama CARACTERISTICA DEL C. MAGICO

Problema. Construir C. MAGICOS de característica 24, 375 y -120 (considera cuadrados de

3X3)

Analiza cuadrados tales que el producto de los números de una misa fila o columna o diagonal sea el mismo y construye algunos de ellos.

46. Se tienen 12 bolas de billar numeradas respectivamente del 1 al 12. Una de ellas, no se

sabe cual, pesa diferente a las otras, a simple vista no se observa el defecto o exceso de peso. ¿Cómo podríamos determinar con sólo tres pesadas en una balanza de brazos iguales cuál es la defectuosa y, si es más pesada o ligera que las otras?



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Así la primera fila contiene a 26; 66; 106 (Progresión arti. de razón 40), la segunda

columna 66; 58; 50; de razón -8, ...

Problema:

¿Será posible rellenar los espacios vacíos en el cuadrado 4x4 de manera que sea aritmético?

48. Calcular el ÁNGULO marcado en cada uno de los casos.



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49. ESCRIBE UN NÚMERO

Realiza las siguientes operaciones, una a continuación de la otra:

1.a Escribe un número de dos cifras

2.a Multiplícalo por 2

3.a Suma al resultado el número que has escrito en primer lugar 4.a Añade seis unidades

5.a Divide entre 3

6.a Resta al cociente el número de pensaste

7.a Multiplica el resultado por 25

8.a Dobla el resultado obtenido.

Si has hecho bien las operaciones, habrás obtenido como resultado el número 100. Justifica la respuesta.

50. EL NIM

Es un juego muy antiguo, consta de 12 piedras distribuidas en tres montones de 3, 4 y 5 piedras por montón.

Hay dos jugadores y el objetivo del juego consiste en retirar la última piedra. Hay unas reglas:

1.a Se juega de forma alternativa.

2.a Cada jugador, toma una o más o piedras, pero de un solo montón.

Encuentra una estrategia ganadora, varía el número total de piedras y su distribución.

51. ¿CUALES ERAN LOS NUMEROS?

El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha sido

0, 9310344

¿Cuáles eran esos dos números?

52. JUEGA CON TU CALCULADORA

a) 357.627 es el producto de tres números impares consecutivos. Halla dichos números.

b) 15.252 es el producto de dos números consecutivos. ¿Cuáles?

c) 206.725 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos. ¿Cuáles son esos cuadrados?

d) Un cubo tiene un volumen de 600 cm3. Calcula la longitud de su arista con toda la exactitud que permita tu calculadora de cuatro operaciones.



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53. Dos amigos tienen la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del Metro

mientras funciona. El primero de los amigos sube 20 escaleras con su paso y tarda 60 segundos exactamente y el segundo tarda en subir 16 escalones con su paso, 72 segundos. Si un día la escalera no funciona. ¿Cuántos escalones tendría que subir?

54. ¿Puede terminar el cuadrado de un número entero por tres cifras idénticas distintas de

0?

55. Dos modistas deben hacer un vestido. Trabajando solas la primera de ellas tarda 8 días

en hacer el vestido y la segunda tarda 13 días. ¿Cuánto tiempo necesitarán trabajando juntas?

56. EN EL CIRCO

Fui el otro día al circo con intención de ver a los elefantes. Pero había muy pocos; sólo había siete octavos de los elefantes más siete octavos de elefante. Ese era el número total. ¿Cuántos elefantes había?

56. PRIMOS CURIOSOS

En la sucesión de números primos hay muchos que son casi seguidos: 11 y 13; 17 y 19; 29 y 31...

Demostrar que el número comprendido entre esos primos especiales es siempre un múltiplo de 6 (exceptuando la pareja 3 y 5).

58. PROBLEMA DE GUARINI

Se trataba de intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros en el mínimo número de movimientos, considerando que de forma/ alternativa se mueve un caballo negro y uno blanco.



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59. Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y pegar para construir dados.

En cada una de ellas faltan tres números. Numéralos de manera que se cumpla la condición de que los números correspondientes a dos caras opuestas de cada uno de los dados siempre sumen siete.

60. EL CUBO SOMA El CUBO SOMA es un puzzle matemático formado por siete piezas que reunidas dan

lugar a un cubo de 3 x 3 x 3 cubitos (27 cubitos en total).

Forma las piezas pegando pequeños cubitos de madera o de plástico e intenta construir con ellas el cubo SOMA (hay muchas formas diferentes de hacerlo).

Busca algún método (dibujo, código, etc.) que te permita recordar las soluciones que obtengas.



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61. NOMBRES EN EL CUBO Las figuras que aparecen abajo son desarrollos planos de un cubo. Escribe el resto de

las letras para que al montar el cubo se puede leer la palabra PEPE.

62. EL PROBLEMA DE TARTAGLIA

Se trata de dividir el contenido de una jarra de 24 litros en tres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros, respectivamente.

Este problema fue propuesta por el ilustre matemático Tartaglia (1500-1557) en el tratado «Questi et invenzioni diverse».

63. CRUCES EN EL CANAL

Hay un pequeño canal por el que pasa solamente un navío a lo ancho, pero existe en el mismo un pequeño desvío en el cual se puede estacionar un solo navío.

Un día se encuentran en el canal dos flotillas de tres barcos cada una. ¿Podrán continuar las dos flotillas su camino? ¿Cómo?



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64. Calcula la suma:

65. Tenemos una mesa de billar rectangular, de dimensiones 3x5. Una bola es golpeada

desde una de las esquinas con un ángulo de 45°. ¿Cuántas veces rebotará en las bandas antes de entrar por el agujero situado en la esquina D?

66. Un fabricante ansiaba diseñar un bloque de cemento que tuviera la propiedad de que

al cortarlo por la mitad por el plano de simetría que divide en dos a los lados mayores. Las mitades resultantes tuvieran exactamente las mismas proporciones que el bloque de partida.

El fabricante necesita que el menor de los dos del bloque mida 10 cm. ¿Qué dimensiones han de tener los otros lados?



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67. Una caja cuadrada, se traslada haciéndola girar en torno a sus aristas laterales.

Dibuja el camino que seguirá: 1. El vértice A de la caja 2. El punto medio de una arista lateral B 3. El centro de una de las caras que no se apoya nunca en el suelo.

68. Con todos los ases, sotas, caballos y reyes de una baraja (16 cartas) construye un

cuadrado 4x4 de forma que:

a) En cada fila y columna sólo haya una carta de cada figura.

b) Amplía la misma condición a las diagonales.

c) Cada fila, cada columna y cada diagonal contenga una carta de cada palo y una de cada figura.

69. Este dibujo representa el plano de un piso de seis habitaciones entre las que se

distribuyen una nevera, un piano, una cama una mesa y una biblioteca.

Las habitaciones son tan pequeñas que en cada una de ellas cabe sólo un mueble.

El inquilino quiere permutar entre sí el piano y la biblioteca con el menor número de cambios posibles. ¿Cómo lo hará?



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70. 1. ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 3.12 h?

2. En cada hora, la manecilla del minutero coincide con la del horario en algún punto de la esfera del reloj. Sabiendo que las manecillas coinciden y que la hora es entre las 7 y las 8, ¿qué hora es?

71. Supongamos un reloj que tenga las saetas en las 12. Si en esta posición el minutero y

el horario cambiaran de función, la hora marcada sería la misma; pero esto no ocurre siempre. ¿Cuándo y cada cuánto tiempo ocupan las manecillas de un reloj tal posición en la cual al cambiar éstas de función entre sí se producen nuevas situaciones posibles en un reloj normal?

72. ¿En cuántas posiciones pueden coincidir el horario y el minutero de un reloj que

marche normalmente?

73. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno de doble superficie que el

otro. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande; después de la comida, la mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde se terminaron los dos campos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?



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74. LA PIRAMIDE TRUNCADA Considerar una pirámide recta truncada de base cuadrada. Llamamos «sección media»

a la intersección de la pirámide truncada con un plano paralelo a la base (las dos bases) y a la misma distancia de ellas. Llamamos «rectángulo intermedio» al rectángulo que tiene un lado igual a la base mayor y el otro lado igual a un lado de la base menor.

Se quiere investigar la siguiente situación: calcular el volumen de la pirámide truncada, para lo cual se dice que el volumen es igual a la altura multiplicada por una cierta área.

El área buscada se supone que es una de las cuatro posibilidades siguientes:

(1) La sección media

(2) La media de la base mayor y menor

(3) La media de la base mayor, menor y de la secc. Media

(4) La media de la base mayor, de la menor y del rectángulo intermedio.

Si suponemos que «H» es la altura de la pirámide, a el lado mayor y b el lado menor. Expresar cada una de las cuatro propuestas anteriores con notación matemática, decidir si es correcta o errónea y probar la respuesta.

75. UNA DE PRIMOS

Supongamos que P es cualquier número primo mayor que 3. De-muestra que P2 da de resto 1 cuando se divide por 12.

76. EL JUEGO

Aitor ha jugado dos veces en un bar con una máquina tragaperras. En la primera partida ha perdido 15 monedas de cinco duros y en segunda ha ganado 38 monedas de cinco duros. Al final cuenta su dinero y tiene 800 ptas.

¿Cuánto tenía al entrar en el bar?

77. LA FERIA

Camino de la feria un casero se encuentra con un hombre acompañado de siete mujeres, cada mujer tiene 7 sacos y en cada sacos hay 7 gatos, cada uno de los cuales tiene 7 cascabeles. Entre mujeres, sacos, gatos, y cascabeles. ¿Cuántos van a la feria?

78. EL TREN

Un tren de 1 km de longitud atraviesa un túnel de 1 km de largo a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo necesitará el tren para cruzarle totalmente?



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79. Se trata de encontrar los dígitos que corresponden a dichas sumas. Cada letra tiene un

valor distinto.

80. Con 5 cubos de igual tamaño. ¿Cuántas configuraciones distintas se pueden hacer?

Sólo pueden juntarse por las caras entre sí.

81. Utilizando dos colores. ¿De cuántas formas se puede colorear la siguiente figura?

¿Y tres colores? ¿Y si la red es de 3x3, con dos colores? ¿Y de nxn?

82. Un museo tiene tres salas, que se muestran en la figura. En cada una de ellas hay un

vigilante (situado en la garita). ¿Le puedes ayudar al vigilante a según un camino, desde su garita, que le permita recorrer todos los pasillos sin pasar dos veces por un mismo pasillo y volver hasta la garita?



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87. CUADRADOS PERFECTOS

Observa:

16= 4²

1156=34² 111556=334²

11115556=3334²

¿Cómo sigue la secuencia? Por qué?

88. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATA

El huevero tiene ante sí seis cestas con huevos. Algunas son de gallina y otras de pata. En las cestas hay 6, 12, 14, 15, 23 y 29 huevos, respectivamente.

El huevero dice: Si vendo esta cesta me quedarán doble de huevos de gallina que de pata. ¿De qué cesta está hablando?

89. UNA PIRAMIDE DE BALAS DE CAÑON

En la época en que los cañones lanzaban bolas, éstas eran alma-cenadas en parques de artillería en forma de pirámide de base cuadrada; cada lado del cuadrado de la base contaba con 15 bolas.

¿Cuál era el número de balas por pirámide?

90. LAS CARAVANAS

Dos Caravanas se ponen en marcha en el mismo momento. Una va de Palmira a Petra y la otra al revés. Cuando se cruzaron las Palmirenses recorrieron 1/5 más que los de Petra de la distancia que hay entre las dos ciudades.

A partir de ese punto de encuentro los palmirenses tardan 8 días en llegar a Petra.

¿Cuántos días tardan unos más que los otros para llegar a su destino?

91. LA RAIZ CUBICA

Se trata de calcular la ³¥1536 (raíz cúbica de 1536) utilizando una calculadora elemental y haciendo uso de la tecla correspondiente a la raíz de cuadrada.



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92. DISCOS

Aquí tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito

un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números que salen, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16, 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco.

Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son:

15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23.

93. PLEGANDO PAPEL

Pliega una hoja de papel de izquierda a derecha, luego de abajo arriba; repite la operación... siguiendo siempre el mismo orden. Abre el papel y observa las marcas de los pliegues: unas «hacia arriba» y otras «hacia abajo».

Intenta hallar alguna pauta que te permita predecir el número de pliegues hacia arriba y hacia abajo que aparecerán si seguimos doblando el papel.



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94. VIGILANCIA

Imagina una ciudad cuyas calles forman una red cuadrada, en la que cada manzana

tiene una longitud de 100 metros. Supón que un guardia colocado en una esquina puede ver a un sospechoso a 100 metros; por lo tanto, puede vigilar un máximo de 400 metros de calle así:

Si tenemos un bloque de casas, con cuatro esquinas, necesitamos dos guardias:

Para dos bloques alineados necesitaremos 3 guardias:

¿Cuántos guardias son necesarios para 3 bloques? ¿Y para 4 bloques? ¿Para 5

bloques?

¿Y si los bloques se colocan formando cuadrados?

¿Y si forman rectángulos?

Investiga otras posibilidades e intenta obtener algunas reglas.

95. ARITMOGONOS

En un aritmógono, el número que está en un cuadrado es la suma de los que están a cada lado en los círculos. Por ejemplo:



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96. EL JUEGO AUDAZ

Tengo 1 millón de pesetas y necesito urgentemente 5 millones. Puedo conseguirlos jugando a doble o nada.

He decidido por una estrategia audaz: en cada jugada apuesto una cantidad de dinero que me acerque lo más posible a mi meta.

Esto quiere decir que si en un momento del juego tengo uno o dos millones, lo apuesto todo. Pero si tengo 3 ó 4 millones sólo apuesto lo que necesito para llegar a los 5 millones.

Esto se puede representar así:

¿Qué probabilidad tengo de ganar?

97. ¿CUANTOS CUBOS?

¿Cuántos cubos componen cada figura?

¿Se pueden formar con más cubos? ¿Y con menos?

¿Cuál es el número máximo de cubos que puede haber en cada uno? ¿Y el número mínimo?



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98. SERIES

¿Cuál será el siguiente elemento?

99. EDIFICIOS

El edificio A y el edificio B tienen el mismo número de pisos. El edificio A tiene 3 pisos más que el edificio C. El edificio C tiene 5 pisos menos que el edificio D. ¿Cuál es la diferencia en el número de pisos entre los edificios B y D?

100. UNOS

Calcula los siguientes productos y continúa, mientras pueda, la siguiente secuencia, imaginando primero el resultado y comprobando después con la calculadora:

1 x=1 11 x11=121

111 x111=12321


Soluciones

Sigma nº 10, 1991 1

SOLUCIONES

SANTIAGO FERNANDEZ FELIX ALAYO


1. Pesan 65, 64, 60, 58 y 56 libras.

Si observamos tiene que haber 10 pesadas y además cada una de las niñas se ha pesado exactamente 4 veces, por tanto el peso de las cinco niñas es:

(129+125+124+123+122+121+120+118+116+114):4 = 303

Además las dos más ligeras pesan 114 y las dos más pesadas pesan 129. Luego la mediana pesa 303 – (129+114) = 60. Con un poco de cuidado y organización podemos llegar a la solución.

2. Experimente y saque pautas.

3. Mediante una adecuada codificación llegará al resultado.

4. Es un problema de investigación. Experimente, juegue con la simetría del problema. Si quiere una información amplia, véase el artículo «La mitad de un cuadrado» de D. José Antonio Mora. Publicado en Revista SUMA (n.° 8).

5. Haga un recuento con organización. -El problema más general es claramente una investigación.

Con cinco cuadrados hay 20 tiras diferentes.

6. Organización, Recuento. Antes de resolver el problema debe llegarse a un acuerdo sobre la notación que se va a emplear para los días y los meses. Si suponemos que siempre se escribirán con dos cifras, la siguiente fecha capicúa será el 29-11-92. Si se pueden escribir con una cifra, la próxima fecha capicúa sería el 29-1-92. Aceptando que se pueden escribir con una sola cifra, el máximo número de fechas capicúas se producirán en los años terminados en 1 ó 2 (10 fechas capicúas). Por el contrario los años terminados en 0-4-5-6-7-8-9 no tienen ningún día capicúa.


Soluciones

Sigma nº 10, 1991 2

7. Intente algunos casos sencillos, busque un diagrama adecuado, organízate, ..., se sistemático, generaliza.

Si A es el número de puntos y L el número de líneas totales se verifica que:

8. Cuenta azulejos blancos por una parte y luego los negros por otra. Así te darás cuenta de una regla sencilla. Para 149 azulejos se tiene

Número de azulejos, Blancos = 74²

Número de azulejos, Negros = 75²

Número total de azulejos = 11.101

9. Intenta casos sencillos, busca un diagrama adecuado, organízate, se sistemático.

Si C = N.°S de cartas necesarias N = N.°s de pisos

Se verifica que

Para 10 pisos, hacen falta 155 cartas y para 62 pisos necesitaríamos 5.797 cartas.

10. Es claramente un problema de estrategias, para resolver bien el problema uno de los caminos más prometedores es analizar qué puntos son ganadores (si estoy en ellos gano el juego, haga lo que haga mi contrario) y qué puntos son perdedores. Para ello es conveniente comenzar hacia atrás (desde la Meta a la Salida).

11. Respuestas

I) 66 IV) Número de Cubos = n (2n—1)

12. Es un problema de marcha atrás, pues para ganar hay que decir 100 pero si se dice 89 nos aseguramos el 100 y para asegurarnos el 89 tenemos que decir 78... la secuencia ganadora será por tanto:

1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 y 100.

Por tanto, si el primer jugador elige 1, al margen de lo que escoja el segundo jugador siempre puede ganar introduciéndose en la secuencia ganadora. Es un Problema equivalente al siguiente. Son problemas análogos.


Soluciones

Sigma nº 10, 1991 3

13. Véase problema anterior, numerando adecuadamente los puntos se ve rápidamente que son problemas de estrategias análogos.

14. Para un estanque de 115 losetas de lado (115x115) el número de losetas es de 464 (115x4 + 4).

Para un estanque de mxn hacen falta 2m+2n+4 losetas.

16. Siempre el área es la cuarta parte del cuadrado.

17. El número es 126 cromos.

Al encontrarse con el último amigo. Jaimito llevaba x6 cromos y después se quedó con 0.

18. Para resolver este problema resulta ventajoso conocer el de la construcción de un cuadrado mágico de orden 3 (disponer los nueve primeros números en una red de 3x3 de manera que cada fila, columna o diagonal sumen lo mismo). Analizando este problema podemos ver rápidamente que la suma constante es igual a 15. ¿De que nos sirve esto? Pues verás fácilmente que al jugar con los números así dispuesto sobre el tablero, el juego propuesto es... ¡jugar al tres en raya! Que como sabrás jugando bien no hay nunca vencedor.

19. El número de ceros totales vendrá de contar el número de veces que se puede dividir por 10. Lo que es lo mismo el número de veces que se puede dividir por 2x5, pero como doses hay muchos solamente me interesa contar los cincos. El cinco aparece en 5, 10, 15, 20, 25 (dos veces), ..., 45, 50 (dos veces), ..., 100 (dos veces). Total hay 24 ceros.


Soluciones

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20. Es interesante jugar con tableros más pequeños, por ejemplo, es claro que un tablero 2x2 está fácil ver que gana el primero que juegue. En un tablero 3x3 la disposición sería:

mientras que en 8x8 la disposición es:

G significa posiciones ganadoras y P, perdedoras.

21. Si llamamos A número de estaciones iniciales y N el número de las nuevas estaciones se cumple:

(A+N) (A+N–1) A • (A–1) = 34

de donde

N • (2A+N–1) = 34 -

De donde, o bien N = 1 y A = 17

o bien N = 2 y E = 8

Como el problema dice que se han inaugurado varias estaciones. Había 8 estaciones y se han inaugurado dos.


Soluciones

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22. Después de hacer una pequeña simulación, con un adecuado esquema se ve que al cabo de 12 segundos están en la situación de partida y no han puesto el pie izquierdo nunca al mismo tiempo en el suelo. Por tanto, queda claro que nunca lo van a poner.

23. Es un problema de cambio de estados, análogo al del pastor, col, ... Experimenta un poquito y seguro que llegas a la solución.

24. Si te has ocupado en serio con éste problema habrás observado que es una situación altamente interesante y nada fácil de resolver.

Parece que la mejor solución es:

25. Utilizando el teorema de la altura, tenemos que:


Soluciones

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26. Otros números que también cumplen esa propiedad son: 370 ; 371 y 407

27. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene como suma de todos sus elementos un valor que llamaremos Sc, donde C es un subconjunto de A. Además se verifica que

1 � Sș � 9+10+11+12+13+14 = 69

Pero el número de subconjuntos posibles es 26—1 = 63.

Aplicando el principio del palomar, tenemos 63 nidos y 69 posibles palomas, por tanto, en algún nido hay más de una paloma lo que demuestra el problema.

28. Si dividimos el cuadrado de lado unidad en cuatro cuadrados iguales, tal como muestra la figura, al repartir los 5 puntos, necesariamente uno de los pequeños cuadrados contendrá al menor dos puntos (estamos aplicando el principio del palomar).

Y como la distancia máxima en este cuadrado viene dada por la longitud de la diagonal, se tiene:

Esto demuestra nuestro problema.


Soluciones

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Soluciones

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30. Solución al a) 5721 El 1247 tiene 3 de las 4 cifras buscadas.

El 3582 (RR) confirma al 2 e indica que la cuarta buscada en un 3, un 5 o un 8.

El 4674 confirma el 7 y elimina al 4 (ya que de no ser así, tendría dos marcas).

Las cifras son pues: 1-2-7 y (3,5 u 8).

El 5891 confirma al 1 en la posición de las unidades y al 5 en la posición de los millares, dejando dos posibilidades: 5271 ó 5721.

El 8476 confirma que el 7 no ocupa la posición de las decenas (por tener calificación de R), dejando sólo una posibilidad: 5721.

Solución del b) 4531

El 2687 (sin calificación) indica que el número buscado ésta entre 1, 3, 4, 5 y 9.

El 2861 indica que el 1 ocupa el lugar de las unidades.

El 1496 marca una R para el 1 y ya que no existe el 6, la otra R debe ser un 9 ó un 4. Los otros números son pues un 3 y un 5. Es decir, 3, 5 y 4 ó 3, 5 y 9.

El 9239 obviamente marca B para el 3 en la posición de las decenas, eliminando el 9 (de lo contrario habría tres calificaciones). Los números que faltan son el 4 y el 5. El 4 no puede estar en la posición de las centenas (pues tendría una Bel 1496) así que el único número posible es el 4531.

31. Primeramente consideremos que C no puede ser más que un 2 o un 3 y por lo tanto 1 un 4 o un 9. Combinando esto con la pista 3 tenemos que A, E, 1, sólo pueden ser las series 2-3-4, 6-5-4 ó 7-8-9. La pista 2 elimina las dos primeras series (no tenemos números que multiplicado por otro sea igual a 3 ó a 5) por lo que E = 8 y D, F, igual a 2, 4, ó 4, 2. La última pista no deja más alternativa que hacer D = 4 (ya que si F = 4 no habría forma de superar la suma de la columna derecha con un 7 y un 2 en la izquierda). También resulta evidente que G = 6 (si fuera 5 la suma de A, D, G, sería igual a la de A, B, C). En resumen:

A=7 B=5 C.=3 D=4

E=8 F=2 G=6 H=1 I=9


Soluciones

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32. La solución se explica mediante el siguiente esquema:

El primer paso consiste en vertir 5 de los 8 litros sobre la tinaja de 5 litros. El segundo paso muestra como de la tinaja de 5 litros se han vertido 3 1 sobre la tinaja más pequeña...

33. El número total del rectángulo es de:

540. 26

2 ccq (El rectángulo se obtiene con dos segmentos horizontales y dos verticales).

El número de cuadrados es:

8.5+7.4+6.3+5.2+4.1 = 100

34. La siguiente tabla da el número de triángulos con la punta hacia arriba:

Tamaño del triángulo 1X1 2X2 3X3 4X4 5X5 6X6 7X7 8X8

Número 36 28 21 15 10 6 3 1

Mientras que el número de triángulos con la punta hacia abajo viene dada por la tabla.

Tamaño del triángulo 1X1 2X2 3X3 4X4

Número 28 15 6 1

Luego en esta red de 8x8 hay 170 triángulos, 120 con la punta hacia arriba y 50 con la punta hacia abajo.

En general en una red triangular nxn.

Hay 1/6 n (n+1) (n+2) triángulos apuntando hacia arriba.

La Organización es fundamental para llegar a buen puerto.


Soluciones

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38. Si suponemos que sí tenemos una figura del siguiente tipo. El ángulo situado sobre el vértice C será, por tanto, igual a:

360° – (140°+130°+30°) = 60°

Como los cuatro son ángulos inscritos en una circunferencia su medida es la mitad del

arco que abarcan, así:

Arco (CDA) = 2.130° = 260°

Arco (DAB) = 2.60° = 120°

Arco (CBA) = 2.30° = 60°

Arco (DCB) = 2.140° = 280°

Pero, por ejemplo

Arco (CDA) + Arco (CBA) = 360° (toda la circunferencia) y, sin embargo, nos da 260°+60° = 320°.

Por tanto, no es posible inscribir el cuadrilátero de esas medidas. Hemos procedido por reducción al absurdo.


Soluciones

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39. Para llegar a buen término hay que ser un poco organizado y realizar un esquema apropiado.

Así en el primer caso. Un camino posible sería 1-2-3-7-8 otro diferente 1-5-6-7-8 el árbol nos muestra todos los caminos, que son 8.


Soluciones

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40. Atacando el problema igual que el caso anterior, podemos desglosar todos los posibles caminos. Son éstos:

9 + a + 4 + 5 = 18 + a 9 + a + 6 + 5 = 20 + a

9 + b + 6 + a + 4 + 5 = 24 + a + b

9 + b + 6 + 5 = 20 + b

Corresponden al esquema:

41. El tiempo en minutos empleado por la primera persona es t, mientras que la segunda (t+25), por tanto 3•t + 2 (t+25) = 400.

De donde t = 70. Por tanto, una empleó 70 minutos y la otra 95 minutos.

42. Haciendo unas intentonas nos damos cuenta que el coche que estorba especialmente es el 10, pero para moverle es necesario mover el 13 y a su vez es necesario mover el 12 y para ello hay que quitar el 11... Es un problema de marcha atrás.

Para resolverlo hace falta ser un poco organizado. Poniendo unos códigos se puede explicar la solución.

Los coches tienen una anchura de 1 y longitud 2. El garaje es de 6x6. Si llamamos D, 1, A, B derecha, izquierda, arriba y abajo la sucesión de movimientos será: 3(11) (el coche 3 va hacia la izquierda 1 lugar), 4 (Al); 5 (D2); 11 (A2); 6 (Al); 7 (A2); 12 (14); 8 (11); 13 (Al); 10 (D1); 1 (B6).


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Soluciones

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46. Se dividen en tres grupos de cuatro.

Se pesa el primero con el segundo grupo. Pueden presentarse dos situaciones:

a) Equilibrio

b) Desequilibrio

Para la situación a) la bola defectuosa está en el tercer grupo y para determinarla se toman tres bolas de este grupo y se pesan con tres normales; si hay equilibrio, entonces una tercera pesada determinará para la bola restante su defecto; si hay desequilibrio, el defecto se hará evidente para estas tres bolas, así, con una tercera pesada se precisa cuál de éstas es la defectuosa.

Para la situación b) se sustituyen tres bolas del primer grupo por tres normales, y la cuarta bola del primer grupo se intercambia con una del segundo grupo; se efectúa así la segunda pesada. Si la balanza se inclina hacia el lado contrario, es que alguna de las dos bolas del par que se intercambió es la defectuosa y con una tercera pesada, en la cual se pese una de ellas con la normal, se determinará cuál de éstas dos es la defectuosa y su defecto.

Si la balanza se mantuvo inclinada hacia el mismo lado, esto significa que entre las tres bolas del segundo grupo que no se intercambiaron se encuentra la defectuosa, y su defecto se determinará según la inclinación de la balanza; con una tercera pesada se podrá saber cuál de estas tres bolas es la defectuosa.

Si en esta segunda pesada se presentó una situación de equilibrio, esto significa que en las tres bolas que se sustituyeron se encuentra la defectuosa, según el lado hacia el que haya estado inclinada la balanza en la primera pesada, y con una tercera pesada se determinará cuál de estas tres bolas es la defectuosa y su defecto.

47. Solución

49. Si tomamos un número cualquiera, por ejemplo, A, los tres primeros pasos lo transforman en 3.A los dos pasos siguientes le llevan a: A+2, los dos pasos siguientes 25•(A+2–A) = 50 y, por último, 2.50 = 100.

50. Esta es una versión «complicada» del Nim, para ver un comentario completo del juego véase el libro «El juego y la Matemática». Luis Ferrero. Ed. La Muralla 1991.


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51. Para resolver este problema hay varios caminos, uno de los, es «complicado» y consiste en ir encajando por la derecha e izquierda el número dado mediante números racionales, hasta obtener el resultado buscado.

Otro procedimiento consiste en multiplicar el número dado por números de dos cifras hasta que nos de un número natural, así:

0,9310344 x 29 = 26, 999997

Por tanto, la solución es: 27/29

Corresponde a una estrategia de ensayo-error.

52. a) 69x71 x73

b) 123x124

c) 321 y 322

d) 8, 4343267

53. Si x es el número de peldaños desconocidos, cuando toma el primer amigo la escalera, ésta recorre x–20 escalones en 60 segundos, mientras que con el segundo amigo recorre x-16 escalones en 72 segundos. Por tanto en 12 segundos recorre en el primer caso x–20/5 mientras que en el segundo son x–16/6

Luego x-40/5 =x-16/6 Æ x=40

Así la escalera tiene 40 escalones. Es un problema de codificación.

54. Observamos en primer lugar que el cuadrado de un número entero acaba necesariamente en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Además, el cuadrado de un número entero es múltiplo de 4 (si el número es par) o múltiplo de 4 más 1 (si el número es impar). Comprobamos entonces que los números que acaban en 11, 55, 66 ó 99 no son múltiplos de 4 ni múltiplos de 4 más 1. Queda por examinar el caso de los números que acaban en 44, y por tanto en 444. Una rápida exploración prueba que, si bien 444 no es un cuadrado, 1444 es al contrario cuadrado de 38. Existen pues números cuyo cuadrado acaba en tres cifras idénticas diferentes de 0.


Soluciones

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55. En un día la primera hace 1/8 de vestido, mientras que la segunda realiza 1/13 de vestido. Trabajando juntas en un día realizan:

1/8 + 1/13 =21/104

Por tanto juntas lo hacen en:

104/21=4.95 días

56. Es claramente un problema de codificación. Llamando x al número total de elefantes, se tiene que:

7/8.x+7/8 =x Æ x = 7 (elefantes)

57. Jugando un poco con los números efectivamente vemos que se cumple esta conjetura.

Así el 12, 18, 30,... son múltiplos de 6.

¿Será cierto para todos? Si observamos esos números son pares y además múltiplos de 3, ya que el anterior y posterior no pueden ser. Por tanto, es efectivamente siempre múltiplo de 6.


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58. Este problema fue propuesto por Guarini, es uno de los problemas más antiguos relacionados con el ajedrez. Fue propuesto en 1.512.

La solución viene explicada en los siguientes diagramas.


Soluciones

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61. Este problema admite dos soluciones por figura según el sentido en que giremos el dado para leerlo (en torno a un eje horizontal o a un eje vertical). Es una actividad que exige un gran esfuerzo de visualización que en muchos casos deberá ser apoyado por la construcción del modelo.


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62. Es un problema similar a otros ya vistos (véase problema 32)r la solución es:

63. Los esquemas adjuntos explican claramente la solución:


Soluciones

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64. Si observamos cada uno de los términos se puede descomponer en la diferencia de dos fracciones.

65. Un esquema adecuado nos lleva a la solución. Produciéndose 6 rebotes antes de entrar en la esquina D.

Como se puede ver la trayectoria quebrada ha sido reemplazada por una línea recta.

Si la razón de los lados es p:q el número de rebotes más p+q-2 (compruébalo).


Soluciones

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66. Las dimensiones del bloque, con precisión de un milímetro, tendrán que ser 159x126x100 mm.

Para ver que es así, supongamos que el bloque inicial tenga dimensiones

axbxc, con a>b>c

Entonces, después de cortarlo, lo que era la cara estrecha del bloque original corresponderá a la cara superior del semibloque, cuyo lado menor medirá a/2. Por consiguiente,

a:b:c = b:c:a/2,=> a/b = b/c = 2c/a

de donde deducimos que ac = b2, y que ab = 2c2.

Al eliminar a entre esta dos ecuaciones se tiene b3 = 2c3.

Por lo tanto, ba

cb

3 2

así que a:b:c = 22/3:21/3:1.

Basándose en esta igualdad resulta interesante observa que todas las caras rectangulares del bloque original (y de los semibloques) tiene la misma forma, y que sus lados se encuentran en la razón 21/3-1, que es aproximadamente 1,26:1.

Dado que los semibloques tienen que ser geométricamente semejantes al original, también ellos pueden ser divididos en dos para producir bloques de su misma forma, y así sucesivamente. Esta actividad viene a ser la equivalente tridimensional de la propiedad de los formatos A de papel normalizado UNE.

¿Por qué no hacerse una colección de tales bloques, cortándolos en espuma de poliestireno (también conocido por porexpán)?

67. Todas las trayectorias están formadas por arcos de circunferencias (cuadrantes, de hecho), debido a que la caja gira en todos los casos alrededor de una de sus aristas.

Trayectoria descrita por el punto A.


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68. El problema es muy parecido a la construcción de cuadrados mágicos literales y de hecho, se puede empezar por uno de ellos para practicar: colocar las letras ABCD en un cuadrado 4x4 de forma que en cada fila y en cada columna y en cada diagonal no se repitan las letras.

En el caso de las cartas se pueden hacer dos cuadrados mágicos: uno con las figuras y otro con los palos, uniéndose después.

Utilizando las iniciales correspondiente:

As oros

Sota bastos

Caballo copas

Rey espadas

una solución puede ser:

Ao Rb Sc Ce

Se Cc Ab Ro

Cb So Re Ac Rc Ae Co Sb

pero hay otras 71.

69. A la habitación libre, y a las que sucesivamente van quedando libres, se trasladan los muebles por este orden: piano, biblioteca, mesa, piano, nevera, cama, piano, mesa, biblioteca, nevera, mesa, piano, cama, mesa, nevera, biblioteca y piano.


Soluciones

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Soluciones

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71. Dividimos la esfera en 60 partes (60 minutos) a partir de las 12 supongamos que en una de las posiciones buscadas el horario se encuentra en la división x y el minutero en la división y.

Cada hora, el horario recorre 5 divisiones luego las x divisiones las recorre en x/5

horas: han pasado x/5 horas desde que el reloj dio las 12.

El minutero recorre y partes en y minutos: Y/60 horas.

Por tanto ha pasado la cifra 12 hace y/60 horas, es decir, al cabo de x/5 – y/60 horas después de que las dos saetas estaban en las 12.

El número de horas es un número entero comprendido entre 0 y 11. Si cambiamos las manecillas de función, a partir de las 12 habrán pasado y/5- x/60 horas completas.

Dando valores a m y n (entre 0 y 11) obtendremos las posiciones buscadas. m toma 12 valores y n otros 12 por tanto aparecen 144 soluciones pero cuando m=0, n=0 y m=11, n=11 representan una misma posición (ambas en las 12).

72. Nos sirven las misas ecuaciones del problema anterior, sólo que ahora x=y por tanto queda x/5 – x/60 = m => x= 60m/11 donde m está comprendido entre 0 y 11


Soluciones

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73. Se puede resolver el problema mediante ecuaciones, pero realmente es un tanto complicado el camino habida cuenta de lo fácil que resulta su resolución acudiendo a una buena representación gráfica.

Si el prado mayor fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día y por la mitad de ella en el resto del día, la mitad de la cuadrilla segó en medio día 1/3 del campo grande.

Por tanto, en el campo pequeño quedaba sin segar 1/2 - 1/3 = 1/6 es decir, el equivalente a 1/6 del campo grande.

Si un trabajador siega 1/6 en un día y fueron segados 6/6 de campo grande más el pequeño que equivale a 3/6 de los cuales 1/6 quedó para el día siguiente, en el primer día se segaron 6/6 + 2/6 =8/6 lo cual significa que había 8 segadores en la cuadrilla.

75. Es lo mismo que demostrar lo que pide que P2 -1 sea múltiplo de 12, pero P2-1 = (P-1) (P+1) que evidentemente es múltiplo de 3 y de 4.


Soluciones

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76. Aitor ha ganado 38–15 = 23 monedas de cinco duros, lo que es igual a 23x25 = 575 ptas. Por tanto, al entrar en el bar tenía 800–575 = 225 ptas. Pero como perdió 15x25 = 375 ptas. no pueden cumplirse las condiciones del problema.

78. 2 minutos.

82. La sala norte no es posible recorrerla según las condiciones impuestas.

83. Si construye el simétrico de R respecto a n, se le llama R„ luego el simétrico de éste respecto a m y se le llama R2. Por fin se une P con R2 dando lugar a M y uniendo M con R, da lugar a N.

85. Experimenta con casos sencillos y si quieres demostrarlo aplica la inducción.


Soluciones

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87. Una conjetura que surge de la experimentación es que el cuadrado de un número formado por n treses y un cuatro en un número de la forma.

la conjetura parece cierta teniendo en cuenta el proceso de inducción y la igualdad:

88. Se refiere a la cesta de 12 huevos.

89. Experimentando un poco, llegamos rápidamente a la solución: 152 + 142 + 132 + ... + 22 + 12 = 1.240 bolas.

90. Los Palmirenses marchan durante 20 días y los de Petra (nabateos) lo hacen en 30 días.

91. La idea está en considerar la equivalencia de las dos igualdades

92. Para obtener los resultados 11, 12, 16, 17, cada número ha sido sumado dos veces (una con cada cara de la otra moneda). Por lo tanto la suma de los cuatro números será: (11+12+16+17):2 = 28 y los dos números ocultos sumarán 11. A partir de aquí el método en ensayo-error nos lleva a dos resultados posibles 2-9 y 6-5.

Siguiendo un razonamiento análogo, y teniendo en cuenta que cada número ha sido sumado cuatro veces, la suma de los seis números será (15+16+17+19+20+21+22+23):4 = 153/4. El problema, pues, no tiene solución entera.


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93. Una buena forma de aproximación al problema puede ser resolverlo previamente en una dimensión: con una tira de papel que se va plegando siempre en el mismo sentido. Igualmente conveniente resulta buscar una notación sencilla para los pliegues hacia arriba y hacia abajo. La siguiente tabla nos da la solución en función del número de pasos que se den (un paso significa plegar de izquierda a derecha y luego de abajo hacia arriba, dos pasos significa hacer este proceso dos veces, etc.):

95. Una primera aproximación a este tipo de problemas puede ser la de ensayo-error, pero pronto se ve la conveniencia de utilizar el lenguaje algebraico. Transformando los aritmógenos en sistemas de ecuaciones, se observa fácilmente que en ocasiones la solución será única (como en el primero de los propuestos), en otras ocasiones habrá infinitas soluciones (como en el segundo de los propuestos) y en otros no habrá ninguna (como en el tercero).


Soluciones

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96. Aunque el cálculo teórico pueda ser complicado, puede resolverse fácilmente imaginando la suerte que correrán 2, 4, 8... jugadores que jugarán una serie de partidas estándar.

Comienzan dos jugadores: uno pierde directamente y otro se coloca con 2 millones. Duplicamos el número de jugadores: 2 han perdido ya y otros 2 están con 2 millones. Uno de éstos pierde (ya son 3) y el otro se coloca con 4 millones.

Duplicamos: 6 han perdido y dos tienen 4 millones. Uno de ellos ganará y consigue los 5 millones que pretendía; el otro perderá y se colocará con 3 millones.

Duplicamos: 12 han perdido, 2 han ganado y 2 están con 3 millones. Uno gana y se retira (ya con 3) y el otro pierde y vuelve a empezar a jugar con 1 millón. Podemos prescindir de éste como si no hubiera jugado y tendremos que 12 han perdido y 3 han ganado. La probabilidad de ganar será P = 3/15 = 1/5.

Este resultado, por otro lado, era lógico si el juego es limpio: en caso de triunfar ganamos 4 millones y en caso de salir derrotados perdemos 1 millón. Lógicamente las probabilidades de ganar tienen que ser la cuarta parte de la probabilidad de perder. Ganaremos pues una de cada 5 veces: P=1/5.

97. El número «normal» de cubos es de 22 en la primera figura y de 27 en la segunda. Sin embargo, podría ocurrir que existieran «huecos» en la parte oculta o que por el contrario algunas zonas que parecen huecas estuvieran ocupadas por cubos invisibles desde nuestro lugar de observación. La investigación sobre el número máximo y mínimo es una actividad abierta que admite distintas aproximaciones.


Soluciones

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Número «normal» de cubos: 27

Máximo: 35 Mínimo: 18

* Este cubo es necesario para ensamblar la figura.

**Al menos uno de estos dos cubos (aunque no los dos a la vez) es necesario para ensamblar la figura.

98. En la primera de las series propuestas cada elemento se forma sumando los tres anteriores; por lo tanto, el siguiente número serán el 125. En la segunda, la letra F se va desplazando cada vez una lugar hacia la izquierda; el siguiente elemento es AFBCDE. En la tercera, se van introduciendo la siguiente letra del abecedario y además las letras van girando en sentido antihorario. En la cuarta conviene analizar cada una de las cuatro partes que conforman cada elemento.

99. El edificio D tiene dos pisos más que el edificio B. Un sencillo diagrama puede ayudar a una mejor comprensión del enunciado.


Problemas clasificados por estrategias

Sigma nº 10, 1991 1

PROBLEMAS CLASIFICADOS POR ESTRATEGIAS

ESTRATEGIAS NÚMERO DEL PROBLEMA

CODIFICAR 1, 3, 13, 17, 21, 22, 25, 36, 41, 42, 47, 49, 53, 55, 56, 60, 66, 68, 73, 81, 88, 90, 93, 95

EXPERIMENTA Y SACAR PAUTAS 2, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 22, 35, 36, 54, 64, 75, 81, 84, 85, 86, 87, 89, 93, 94, 100

Marcha ATRAS 10, 12, 13, 17, 20, 42

ANALOGÍA 12, 13, 18, 23, 45, 55, 68, 81

Empieza por lo FÁCIL 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 20, 54, 81

Descomponer el PROBLEMA 29, 89

CONJETURA 35, 36, 65, 81, 100

SIMETRÍA 4, 7, 8, 11, 15, 65, 84

ENSAYO-ERROR 26, 42, 47, 51, 52, 60, 68, 79, 88, 92, 95

SUPÓN que NO 38

ORGANIZACIÓN 5, 6, 14, 15, 19, 33, 34, 39, 40, 44, 51, 93

DEDUCIR 1, 30, 31, 57, 98

Haz ESQUEMA, DIBUJO, TABLA 7, 8, 9, 14, 16, 21, 22, 29, 39, 40, 44, 67, 77, 89, 93

CONTEO 5, 6, 7, 8, 9, 15, 19, 33, 34, 39, 40, 44

CAMBIO de ESTADOS 23, 32, 58, 62, 63, 69

Casos LÍMITES 16, 74

PRINCIPIO del PALOMAR 27, 28

PROBLEMAS LÓGICOS 30, 31, 79, 98, 99

PROBLEMAS SINGULARES 76

PROBLEMAS EJERCICIOS 25, 29, 37, 45, 55, 56, 59, 61, 66, 70, 71, 72, 73, 75, 77, 78, 83, 91, 96

PROBLEMAS de INVESTIGACIÓN 4, 5, 14, 43, 80, 81, 94, 97

PROBLEMAS DE ESTRATEGIAS 10, 20, 24, 46, 50


Bibliografía

Sigma nº 10, 1991 1

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