resolución segundo parcial cursada 2020...para plantear el modelo se calcula la ecuación...

Resolución Segundo Parcial

Cursada 2020

Ejercicios N° 1

Problema 1

La planta de un determinado proceso se encuentra representada con precisión por medio del siguiente modelo de

estado discreto, el cual se obtiene de muestrear al sistema con 𝑇𝑠 = 0.1𝑠.

[

𝑥1(𝑘 + 1)

𝑥2(𝑘 + 1)

𝑥3(𝑘 + 1)] = [

0.7 −0.75 0.3251 0 00 1 0

] [

𝑥1(𝑘)

𝑥2(𝑘)

𝑥3(𝑘)] + [

100] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [0 1 −0.1] [

𝑥1(𝑘)

𝑥2(𝑘)

𝑥3(𝑘)]

Se pretende a partir de realimentación de estados obtener un sistema con un sobrepico del 10% y un tiempo de

establecimiento al 5% de 0.8seg. Además, el sistema realimentado debe resultar No Observable.

a) Encuentre el vector de realimentación K que cumpla con las especificaciones indicadas haciendo uso de la

transformación al modelo canónico. Desarrolle todos los pasos y señale todas las matrices necesarias para arribar a

K.

b) Ajuste la ganancia 𝐴0 del sistema de modo de obtener una respuesta con ganancia unitaria.

Solución

En primer lugar se calcula la matriz controlabilidad del sistema. A priori se puede saber que la controlabilidad es de

rango completo debido a que la función de transferencia es de tercer orden. No obstante, se calcula ya que es

necesaria para plantear la transformación al modelo canónico controlable.

𝑈 = [1 0.7 −0.260 1 0.70 0 1

]

Luego Rango(U)=3. Sistema totalmente controlable.

Para calcular la realimentación se emplea la transformación al modelo canónico controlable, la cual se define como

𝑥(𝑘) = 𝑃𝑥𝑐𝑐(𝑘). Para plantear el modelo se calcula la ecuación característica del sistema, la cual se puede obtener

calculando det(𝑧𝐼 − 𝐴) o del denominador de la función transferencia.

(𝑍𝐼 − 𝐴) = [𝑧 − 0.7 0.75 −0.325−1 𝑧 00 −1 𝑧

]

det(𝑧𝐼 − 𝐴) = (𝑧 − 0.7)𝑧2 − 0.325 + 0.75𝑧 = 𝑧3 − 0.7𝑧2 + 0.75𝑧 − 0.325

Luego, las matrices A y B del modelo canónico controlable resultan:

𝐴𝑐𝑐 = [0 1 00 0 1

0.325 −0.75 0.7]; 𝐵𝑐𝑐 = [

001]

La matriz de controlabilidad del modelo canónico es:

𝑈𝑐𝑐 = [0 0 10 1 0.71 0.7 −0.26

]

Luego, la inversa de la matriz de transformación al MCC es:

𝑃−1 = 𝑈𝑐𝑐𝑈−1=[

0 0 10 1 01 0 0

]

El paso siguiente es definir la ubicación de los autovalores deseados, los cuales se determinan a partir de las

especificaciones. La función de transferencia del sistema resulta:

𝐺𝑝(𝑧) =𝑌(𝑧)

𝑈(𝑧)=

(𝑧 − 0.1)

(𝑧 − 0.5)(𝑧2 − 0.2𝑧 + 0.65)

Se puede ver que la función de transferencia tiene un cero ubicado dentro del círculo unitario. Luego, para obtener

un sistema No Observable se debe reasignar uno de los autovalores de la planta a la posición del cero. Los restantes

autovalores se calculan para cumplir con el sobrepico y el tiempo de establecimiento. En dominio continuo se tiene:

𝜉 =−ln(

𝑆𝑃100

)

√𝜋2 + [ln(𝑆𝑃100

)]2= 0.5911

𝜔𝑛 =3

𝑇𝑒𝑠𝑡𝜉= 6.343𝑟/𝑠

Los polos en el plano continuo resultan 𝑝1,2 = −3.749 ± 𝑗5.1162. En el plano discreto se tiene:

𝑧𝑝1,2 = 0.5993 ± 𝑗0.3365

𝑧𝑝3 = 0.1

(𝑧 − 𝑧𝑝1)(𝑧 − 𝑧𝑝2)(𝑧 − 𝑧𝑝3)=𝑧3 − 1.2986𝑧2 + 0.59236𝑧 − 0.04725

Luego, el vector de realimentación del modelo MCC resulta:

𝐾𝑐𝑐 = [(−0.04725 + 0.325) (0.59236 − 0.75) (−1.2986 + 0.7)]

𝐾𝑐𝑐 = [0.27775 −0.15764 −0.5986]

Finalmente, el vector de realimentación del modelo original resulta:

𝐾 = 𝐾𝑐𝑐𝑃−1 = [−0.5987 − 0.15770.2778]

El ajuste de la ganancia se puede determinar evaluando la función de transferencia a lazo cerrado. Debido a que la

realimentación de estados no modifica el numerador, la función transferencia resulta:

𝐺𝑝𝑙𝑐(𝑧) =(𝑧 − 0.1)

𝑧3 − 1.2986𝑧2 + 0.59236𝑧 − 0.04725=

1

(𝑧2 − 1.1986𝑧 + 0.4725)

El valor en régimen permanente se obtiene evaluando 𝐺𝑝𝑙𝑐(1) = 3.65096. Luego:

𝐴0 =1

3.65096= 0.2739

Problema 2

En la figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema discreto realimentado que opera con un periodo de

muestreo de 𝑇𝑠 = 0.15𝑠

1) A partir del diagrama de bloques encuentre las matrices del modelo discreto de la planta, la cual no incluye a las

ganancias 𝐾1, 𝐾2 y 𝐾3. Considere como entrada a 𝑢(𝑘) y como salida a 𝑦(𝑘).

2) Determine la controlabilidad del sistema y de ser posible calcule las ganancias 𝐾1, 𝐾2 y 𝐾3 para que el sistema

presente una respuesta oscilatoria a una entrada en impulso 𝑟(𝑘) = 𝛿(𝑡) de frecuencia 𝜔0 = 6.28𝑟/𝑠. El cálculo de

las ganancias se debe llevar a cabo usando la transformación al modelo canónico. Desarrolle todos los pasos y señale

todas las matrices empleadas en el procedimiento de cálculo.

Solución

A partir del diagrama de bloques se obtienen las siguientes ecuaciones en diferencias.

𝑤(𝑘 + 1) = 0.25𝑤(𝑘) + 0.8𝑧(𝑘) + 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘 + 1) = 0.3𝑤(𝑘) + 0.2𝑦(𝑘)

𝑧(𝑘 + 1) = 1.2𝑦(𝑘) + 0.45𝑧(𝑘)

Luego, el modelo de estados de variables 𝑤(𝑘), 𝑦(𝑘) y 𝑧(𝑘) resulta:

[

𝑤(𝑘 + 1)𝑦(𝑘 + 1)𝑧(𝑘 + 1)

] = [0.25 0 0.80.3 0.2 00 1.2 0.45

] [

𝑤(𝑘)𝑦(𝑦)𝑧(𝑘)

] + [100] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [0 1 0] [

𝑤(𝑘)𝑦(𝑦)𝑧(𝑘)

]

La controlabildad del sistema se calcula como:

𝑈 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵] = [1 0.25 0.06250 0.3 0.13500 0 0.36

]

El Rango(U)=3, por lo tanto el sistema es totalmente controlable.

Para el cálculo de las ganancias se plantea la transformación al MCC como 𝑥(𝑘) = 𝑃𝑥𝑐𝑐(𝑘). El MCC se construye a

partir de la ecuación característica del sistema, la cual se calcula como det(𝑧𝐼 − 𝐴).

(𝑍𝐼 − 𝐴) = [𝑧 − 0.25 0 −0.8−0.3 𝑧 − 0.2 00 −1.2 𝑧 − 0.45

]

det(𝑧𝐼 − 𝐴) = (𝑧 − 0.25)(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.45) − 0.288 = 𝑧3 − 0.9𝑧2 + 0.2525𝑧 − 0.3105


𝐴𝑐𝑐 = [0 1 00 0 1

0.3105 −0.2525 0.9]; 𝐵𝑐𝑐 = [

001]


𝑈𝑐𝑐 = [0 0 10 1 0.91 0.9 0.5575

]


𝑃−1 = 𝑈𝑐𝑐𝑈−1=[

0 0 2.7770 3.333 1.251 2.166 0.5625

]


especificaciones. Se pide que el sistema tenga una respuesta oscilatoria de 6.28r/s, razón por la cual los polos en el

plano continuo deben ubicarse en:

𝑝1,2 = ±𝑗6.28

Luego en el plano discreto se tiene:

𝑧𝑝1,2 = 0.5882 ± 𝑗0.8087

El tercer polo debe estar dentro del círculo unitario de modo que su respuesta se extinga después del tiempo

transitorio. Se adopta una frecuencia de 15/s que es inferior a la frecuencia de muestreo. Luego:

𝑧𝑝3 =0.1054

El polinomio característico deseado resulta:

(𝑧 − 𝑧𝑝1)(𝑧 − 𝑧𝑝2)(𝑧 − 𝑧𝑝3)=𝑧3 − 1.2818𝑧2 + 1.124𝑧 − 0.1054


𝐾𝑐𝑐 = [(−0.1054 + 0.3105) (1.124 − 0.2525) (−1.2818 + 0.9)]

𝐾𝑐𝑐 = [0.2051 0.8715 −0.3818]

Finalmente, el vector de realimentación del modelo original resulta:

[𝐾1 𝐾2 𝐾3] = 𝐾𝑐𝑐𝑃−1 = [−0.38172.07781.4444]

Problema 3

La figura muestra el esquema de un sistema de control de temperatura digital de un líquido, el cual se encuentra

contenido dentro de un recinto. El control de temperatura consiste en una realimentación de estados con un

esquema de seguimiento. El sistema cuenta con un bloque actuador, por medio del cual se controla de forma

proporcional la potencia de la resistencia calefactora 𝑃(𝑡). Luego 𝑃(𝑡) = 𝐾𝑃𝑈(𝑡), siendo 𝐾𝑃 = 1𝑊/𝑉. Para la

realimentación de estados se mide también la temperatura del elemento calefactor 𝑇𝐶(𝑡). La planta, discretizada

con un periodo 𝑇𝑆 = 5s, se representa en la figura.

[𝑇𝐶(𝑘 + 1)

𝑇𝐿(𝑘 + 1)] = [

0.0886 0.86830.0868 0.8621

] [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)] + [

0.1386 0.04310.0474 0.051

] [𝑢(𝑘)

𝑇𝑎(𝑘)]

𝑦(𝑘) = [0 1] [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)]

A partir de la realimentación de estados se pretende obtener un comportamiento similar a un sistema de segundo

orden con amortiguamiento crítico y con un tiempo de establecimiento de 40 segundos para una tolerancia del 2%.

1) Plantee un modelo de estados completo donde además de las variables de estado de la planta se incorpore la

variable de estado que surge del sistema de control.

2) Calcule el vector de ganancia de realimentación (𝐾1 y 𝐾2) y la constante del término integral 𝐾3de modo de

cumplir con las especificaciones requeridas. El cálculo de las ganancias se debe llevar a cabo usando la

transformación al modelo canónico. Desarrolle todos los pasos y señale todas las matrices empleadas en el

procedimiento de cálculo.

Solución

En primer lugar hay que considerar que el sistema se controla desde la entrada 𝑢(𝑘), razón por la cual se redefine la

planta considerando solo esa entrada. Luego:

[𝑇𝐶(𝑘 + 1)

𝑇𝐿(𝑘 + 1)] = [

0.0886 0.86830.0868 0.8621

] [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)] + [

0.13860.0474

] 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = [0 1] [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)]

El agregado del integrador aumenta el orden del sistema y por lo tanto agrega la nueva variable de estado 𝑣(𝑘). A

partir del esquema de control se puede obtener la siguiente ecuación para la nueva variable de estado:

𝑟(𝑘) − 𝑦(𝑘) = 𝑟(𝑘) − 𝐶𝑥(𝑘) = 𝑣(𝑘 + 1) − 𝑣(𝑘)

𝑣(𝑘 + 1) = 𝑣(𝑘) − 𝐶𝑥(𝑘) + 𝑟(𝑘)

Luego el modelo de estado con la incorporación de la nueva variable de estado resulta:

[

𝑇𝐶(𝑘 + 1)𝑇𝐿(𝑘 + 1)𝑣(𝑘 + 1)

] = [0.0886 0.8683 00.0868 0.8621 00 −1 1

]⏟

𝐴1

[

𝑇𝐶(𝑘)𝑇𝐿(𝑘)𝑣(𝑘)

] + [0.13860.04740

]⏟

𝐵1

𝑢(𝑘) + [001] 𝑟(𝑘)

𝑦(𝑘) = [0 1 0] [


]

La ley de control planteada es:

−[𝐾1 𝐾2] [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)] − 𝐾3𝑣(𝑘) = − [𝐾1 𝐾2 𝐾3]⏟

𝐾

[


]

Finalmente, el modelo de estados realimentado resulta:

[

𝑇𝐶(𝑘 + 1)𝑇𝐿(𝑘 + 1)𝑣(𝑘 + 1)

] = (𝐴1 − 𝐵1𝐾) [𝑇𝐶(𝑘)

𝑇𝐿(𝑘)

𝑣(𝑘)] + [

001] 𝑟(𝑘)

Se determina si el modelo completo es controlable. Luego, la matriz controlabilidad resulta:

𝑈 = [𝐵1 𝐴1𝐵1 𝐴12𝐵1] = [

0.1386 0.0534 0.05070.0474 0.0529 0.05020 −0.0474 −0.1003

]

El rango de U es 3 por lo tanto el sistema es totalmente controlable

Se plantea la transformación al MCC como 𝑥(𝑘) = 𝑃𝑥𝑐𝑐(𝑘). El MCC se construye a partir de la ecuación

característica del sistema, la cual se calcula como det(𝑧𝐼 − 𝐴1).

(𝑧𝐼 − 𝐴1) = [𝑧 − 0.0886 −0.8683 0−0.0868 𝑧 − 0.8621 0

0 1 𝑧 − 1]

det(𝑧𝐼 − 𝐴1) ≈ 𝑧3 − 1.95𝑧2 + 0.9517𝑧 − 0.001


𝐴𝑐𝑐 = [0 1 00 0 1

0.001 −0.9517 1.95]; 𝐵𝑐𝑐 = [

001]


𝑈𝑐𝑐 = [0 0 10 1 1.951 1.95 2.85

]


𝑃−1 = 𝑈𝑐𝑐𝑈−1=[

8.4781 −24.7904 −18.1058−1.4066 4.1129 −18.09320.2209 20.4511 −18.0687

]


especificaciones. Se pide que el sistema tenga un comportamiento similar a un sistema de segundo orden con

amortiguamiento crítico y con un tiempo de establecimiento de 50 segundos para una tolerancia del 2%. El hecho de

que sea similar a un sistema de segundo orden me señala que los polos dominantes del sistema realimentado deben

ubicarse según las especificaciones de la respuesta temporal y que el tercer polo se debe ubicar a una frecuencia

superior para que no afecte en el comportamiento. El amortiguamiento crítico señala que 𝜉 = 1, lo cual significa que

hay dos polos iguales y reales. La frecuencia de los polos en el plano continuo resulta:

𝜔𝑛 =4

𝑇𝑒𝑠𝑡𝜉= 0.1𝑟/𝑠

El tercer polo se ubica en 𝜔 = 1𝑟/𝑠.

En el plano discreto se tiene que:

𝑧𝑝1,2 = 0.6065

𝑧𝑝3 = 0.0067


(𝑧 − 𝑧𝑝1)(𝑧 − 𝑧𝑝2)(𝑧 − 𝑧𝑝3)=𝑧3 − 1.2197𝑧2 + 0.3759𝑧 − 0.002464


𝐾𝑐𝑐 = [−0.002464 + 0.001) (0.3759 − 0.9517) (−1.2197 + 1.95)]

𝐾𝑐𝑐 = [−0.001464 −0.5758 0.7303]

Finalmente, el vector de realimentación del modelo original resulta (con valores redondeados):

[𝐾1 𝐾2 𝐾3] = 𝐾𝑐𝑐𝑃−1 = [0.9588 12.6035 −2.7510]

Con valores exactos:

[𝐾1 𝐾2 𝐾3] = 𝐾𝑐𝑐𝑃−1 = [0.9630 12.6040 −2.7842]

Problema 4

Se desea controlar el sistema MISO representado por el siguiente modelo de estado discreto, el cual ha sido

discretizado con un periodo de muestreo 𝑇𝑆 = 0.2𝑠

[

𝑥1(𝑘 + 1)

𝑥2(𝑘 + 1)

𝑥3(𝑘 + 1)] = [

0.5 0 00 0.4 00.8 0.6 0.7

] [

𝑥1(𝑘)

𝑥2(𝑘)

𝑥3(𝑘)] + [

0.7 00 0.20 0.1

] [𝑢1(𝑘)

𝑢2(𝑘)]

𝑦(𝑘) = [0 0 1] [

𝑥1(𝑘)

𝑥2(𝑘)

𝑥3(𝑘)]

Se desea diseñar un control por realimentación de estados para lograr que la respuesta del sistema, para una

entrada en forma de escalón unitario aplicada sobre la entrada 𝑢1(𝑡), responda como un sistema de segundo orden

con un sobrepico del 10%, tenga un tiempo de establecimiento de 1s para una tolerancia del 5% y presente ganancia

unitaria en régimen permanente.

1) Determine la controlabilidad del sistema desde cada entrada y usando las dos entradas. Plantee una estrategia

para lograr la respuesta temporal deseada.

2) Encuentre la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz de ganancia del controlador 𝐴0, para cumplir con

las especificaciones. El cálculo de las ganancias se debe llevar a cabo usando la transformación al modelo canónico.

Desarrolle todos los pasos y señale todas las matrices empleadas en el procedimiento de cálculo.

Solución

Controlabilidad desde 𝑢1(𝑘). Se considera la matriz 𝐵1 = [0.7 0 0]𝑇

𝑈1 = [𝐵1 𝐴𝐵1 𝐴2𝐵1] = [0.7 0.35 0.1750 0 00 0.56 0.672

]

El rango de 𝑈1 es 2 por lo tanto no es controlable desde la primer entrada.

Controlabilidad desde 𝑢2(𝑘). Se considera la matriz 𝐵2 = [0 0.2 0.1]𝑇

𝑈2 = [𝐵2 𝐴𝐵2 𝐴2𝐵2] = [0 0 00.2 0.08 0.0320.1 0.19 0.181

]

El rango de 𝑈2 es 2 por lo tanto no es controlable desde la primer entrada.

Controlabilidad desde las dos entradas.

𝑈 = [0.7 0 0.35 0 0.175 00 0.2 0 0.08 0 0.0320 0.1 0.56 0.19 0.672 0.181

]

El rango de 𝑈 es 3 por lo tanto el sistema es controlable desde las dos entradas.

Se plantea usar las dos entradas para reasignar todos los autovalores. Se define una entrada ficticia 𝑢𝑓 que es

combinación lineal de las dos entradas. En este caso particular se toma la suma de las dos entradas. Se define 𝐹 =

[1 1]𝑇. Luego:

𝐵𝐹 = 𝐵𝐹 = [0.70.20.1]

Se verifica la controlabilidad desde 𝑢𝑓

𝑈𝐹 = [𝐵𝐹 𝐴𝐵𝐹 𝐴2𝐵𝐹] = [0.7 0.35 0.1750.2 0.08 0.0320.1 0.75 0.853

]

El rango de 𝑈𝐹 es 3, por lo tanto desde la entrada ficticia se pueden reasignar todos los autovalores del sistema.

Para el cálculo de las ganancias de realimentación se plantea la transformación al MCC como 𝑥(𝑘) = 𝑃𝑥𝑐𝑐(𝑘). El

MCC se construye a partir de la ecuación característica del sistema, la cual se calcula como det(𝑧𝐼 − 𝐴).

(𝑧𝐼 − 𝐴) = [𝑧 − 0.5 0 00 𝑧 − 0.4 0

−0.8 −0.6 𝑧 − 0.7]

det(𝑧𝐼 − 𝐴) = 𝑧3 − 1.6𝑧2 + 0.83𝑧 − 0.14


𝐴𝑐𝑐 = [0 1 00 0 10.14 −0.83 1.6

]; 𝐵𝑐𝑐 = [001]


𝑈𝑐𝑐 = [0 0 10 1 1.61 1.6 1.73

]


𝑃−1 = 𝑈𝑐𝑐𝑈−1=[

−51.2266 176.7677 5.0505−21.5729 73.7374 3.5354−7.9582 31.6162 2.4747

]

La asignación de los autovalores se realiza teniendo en cuenta las especificaciones dadas para la respuesta temporal.

Se pide que el sistema tenga un comportamiento de segundo orden con un sobrepico del 10% y un tiempo de

establecimiento de 1s para una tolerancia del 5%. Luego:

𝜉 =−ln(

𝑆𝑃100)

√𝜋2 + [ln(𝑆𝑃100)

]2= 0.5911

𝜔𝑛 =4

𝑇𝑒𝑠𝑡𝜉= 5.0748/𝑠

Los polos en el plano continuo resultan 𝑝1,2 = −3± 𝑗4.0931. El tercer polo se ubica una década por encima de la

parte real de los polos dominantes 𝑝1,2. Luego, en el plano discreto se tiene:

𝑧𝑝1,2 = 0.3749 ± 𝑗0.4007

𝑧𝑝3 = 0.0024788


(𝑧 − 𝑧𝑝1)(𝑧 − 𝑧𝑝2)(𝑧 − 𝑧𝑝3)=𝑧3 − 0.7524027𝑧2 + 0.30305𝑧 − 0.0007466


𝐾𝑐𝑐 = [−0.0007466 + 0.14) (0.30305 − 0.83) (−0.7524027 + 1.6)]

𝐾𝑐𝑐 = [0.13925 −0.52695 0.8475973]

El vector de realimentación para el sistema con entrada ficticia resulta:

𝐾𝐹 = 𝐾𝑐𝑐𝑃−1 = [−2.511 12.5576 0.9379]

La matriz de realimentación del sistema con dos entradas resulta:

𝐾 = 𝐹𝐾𝐹 = [−2.511 12.5576 0.9379−2.511 12.5576 0.9379

]

Finalmente, se pide que el sistema tenga ganancia unitaria en régimen permanente para una entrada en escalón

unitario en 𝑢1(𝑘). En este caso se debe determinar la ganancia que presenta el sistema realimentado desde esa

entrada.

𝐺0 = 𝐶[𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾)]−1𝐵1 = 3.744

Luego la ganancia 𝐴0 = 𝐺0−1 = 0.2671.

Las ganancias de realimentación deben ser modificadas solo para los términos que realimentan sobre la entrada 1. Al

mismo tiempo 𝐴0 debe aparecer multiplicando a la entrada de u1. Finalmente:

𝐾 = [−9.4 47.01 3.51−2.511 12.5576 0.9379

]

Ejercicios N° 2

E1) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y la salida Vo. Este debe implementarse en una plataforma digital con un periodo de muestreo de 10 ms y debe poseer la máxima dinámica posible.

a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las

especificaciones. Justifique.c) Suponiendo que no es posible el diseño para este circuito, considere modificarlo con el

agregado de una resistencia de valor 10K, para permitir el diseño de un estimador.d) A partir del circuito que admite el diseño de un estimador (original o modificado), encuentre

el modelo del estimador discreto. e) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador

calculado.

Datos: Ro = 10k; R1 = 120k; R2 = 360k; R3 = 72k; R4 = 300k; C1 = 12nF; C2 = 45nF; C3 = 15nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.

Solucion:a) Para encontrar el modelo de estado discreto, primero debo encontrar el modelo de estado continuo. Para ello elijo a las tensiones de los capacitores como variables de estado y planteo las ecuaciones de estado en el dominio de Laplace:

sV C 1=ViRoC1

sV C 2=−V C 1

R1C 2

sV C 3=−V C 1

R2C 3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que

Vo=−V C 3

el modelo de estado continuo queda:

[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ 0 0 0

−1R1C2

0 0

−1R2C3

0 0][V C 1

V C 2

V C 3]+[ 1

RoC1

00

]Viy=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]

Con los datos del problema, el modelo queda:

[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ 0 0 0

−185,18 0 0−185,18 0 0][V C1

V C2

V C3]+[8333,3

00 ]Vi

y=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]

Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 10ms:

[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C 3 [k+1 ]]=[ 1 0 0

−1,8518 1 0−1,8518 0 1][V C 1 [k ]

V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 83,333

−77,16−77,16]Vi [k ]

y [k ]=[0 0 −1 ][V C 1 [k ]V C 2 [k ]V C 3 [k ]]

b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que la tensión del capacitor C2 (VC2) no afecta la salida, por lo que el sistema es no observable. Además, esta tensión es la integral de la corriente que circula por R1, lo que genera un polo en z=1 y hace que el sistema no sea detectable, dado que para que sea detectable el autovalor discreto correspondiente a la variable de estado inobservable debe ser menor que 1, garantizando error cero en regimen permanente ante condiciones iniciales no nulas.

Esto puede verificarse, calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:

V=[ 0 0 −11,8518 0 −13,7037 0 −1]

El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema no es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable noes menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 0 −11,8518 0 −1

0 1 0 ]La matriz A del modelo transformado resulta:

A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 01 −1 1]

Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es 1, el sistema no es detectable.

c) Para permitir el diseño de un estimador para este circuito, debo correr el polo correspondiente a la variable de estado inobservable, desde z=1 hacia el interior del círculo de radio unitario, para hacer que el sistema sea detectable. Esto lo puedo lograr colocando la resistencia Rc=10k en paralelo con C2. Esto hace que el modelo del sistema cambie. La única ecuación de estado que cambia es la correspondiente a VC2:

sV C 2=−V C1

R1C2

−V C 2

RCC2

Por lo tanto, el modelo de estado resultante es:

[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[

0 0 0

−1R1C2

−1

RCC2

0

−1R2C3

0 0][V C1

V C2

V C3]+[ 1

RoC1

00

]Viy=[0 0 −1 ][V C 1

V C 2

V C 3]


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ 0 0 0

−185,18 −2222,2 0−185,18 0 0][V C 1

V C 2

V C 3]+[8333,3

00 ]Vi

y=[0 0 −1 ][V C 1

V C 2

V C 3]


[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0

−0,0833 0 0−1,8518 0 1][V C1 [k ]

V C2 [k ]V C3 [k ]]+[ 83,333

−6,6319−77,16 ]Vi [k ]

y [k ]=[0 0 −1 ][V C 1 [k ]V C 2 [k ]V C 3 [k ]]

La modificación no debe haber cambiado la observabilidad, dado que la tensión del capacitor C2 (VC2) sigue sin tener efecto sobre la salida. Por lo tanto, si calculo el rango de la matriz observabilidad del modelo discreto, seguirá siendo 2:

V=[ 0 0 −11,8518 0 −13,7037 0 −1]

que tiene rango 2.Sin embargo, ahora el sistema debería ser detectable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable sea menor que 1.Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 0 −11,8518 0 −1


A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0

0,045 −0,045 0]Como puede verse, el autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado vale 0, por lo que el sistema es detectable.

d) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:

x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0

0,045 −0,045 0] x [k ]+[77,16231,48−6,6319]Vi [k ]

y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]

Como no puedo reasignar el autovalor de la variable no observable, para el diseño del vector de realimentación H del modelo transformado utilizo las submatrices:

A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]

El vector para el estimador del submodelo observable es:

H o=[23]

El vector del estimador para el modelo transformado:

H=[230]

El vector para el estimador del modelo original es:

H=[0,540

−2 ]Finalmente, el modelo del estimador queda:

x [k+1]=[ 1 0 0,54−0,0833 0 0−1,85185 0 −1 ] x [k ]+[ 83,333

−6,6319−77,16 ]Vi [k ]+[0,54

0−2 ] y [k ]

e) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:

x [0]=[−0,5−0,5

1 ]


(a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. (b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las

especificaciones. Justifique.(c) Suponiendo que no es posible el diseño para este circuito, considere modificarlo con el

agregado de una resistencia de valor 10K, para permitir el diseño de un estimador.(d) A partir del circuito que admite el diseño de un estimador (original o modificado), encuentre

el modelo del estimador discreto.(e) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador

calculado.

Datos: Ro = 10k; R1 = 120k; R2 = 360k; R3 = 72k; R4 = 300k; C1 = 12nF; C2 = 45nF; C3 = 15nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.


sV C 1=ViRoC1

sV C 2=−V C 1

R1C 2

sV C 3=−V C2

R2C3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que

Vo=−V C 2


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[

0 0 0

−1R1C2

0 0

0 −1R2C3

0][V C1

V C2

V C3]+[ 1

RoC1

00

]Viy=[0 −1 0 ][V C1

V C2

V C3]


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ 0 0 0

−185,18 0 00 −185,18 0][V C 1

V C 2

V C 3]+[8333,3

00 ]Vi

y=[0 −1 0 ][V C1

V C2

V C3]


[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0

−1,8518 1 01,7147 −1,8518 1][V C 1 [k ]

V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 83,333

−77,1647,63 ]Vi [k ]

y [ k ]=[0 −1 0 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]

b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que la tensión del capacitor C3 (VC3) no afecta la salida, por lo que el sistema es no observable. Además, esta tensión es la integral de la corriente que circula por R2, lo que genera un polo en z=1 y hace que el sistema no sea detectable, dado que para que sea detectable el autovalor discreto correspondiente a la

variable de estado inobservable debe ser menor que 1, garantizando error cero en regimen permanente ante condiciones iniciales no nulas.Esto puede verificarse, calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:

V=[ 0 −1 01,8518 −1 03,7037 −1 0]

El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema no es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable noes menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 −1 01,8518 −1 0

0 0 1]La matriz A del modelo transformado resulta:

A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0

0,9259 0,9259 1]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es 1, el sistema no es detectable.

c) Para permitir el diseño de un estimador para este circuito, debo correr el polo correspondiente a la variable de estado inobservable, desde z=1 hacia el interior del círculo de radio unitario, para hacer que el sistema sea detectable. Esto lo puedo lograr colocando la resistencia Rc=10k en paralelo con C3. Esto hace que el modelo del sistema cambie. La única ecuación de estado que cambia es la correspondiente a VC3:

sV C 3=−V C2

R2C3

−V C 3

RCC3

Por lo tanto, el modelo de estado resultante es:

[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[

0 0 0

−1R1C2

0 0

0 −1R2C3

−1RcC3

][V C1

V C2

V C3]+[ 1

RoC1

00

]Viy=[0 −1 0 ][V C1

V C2

V C3]


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ 0 0 0

−185,18 0 00 −185,18 −6666,7][V C 1

V C 2

V C 3]+[8333,3

00 ]Vi

y=[0 −1 0 ][V C1

V C2

V C3]


[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0

−1,8518 1 00,0507 −0,0278 0][V C 1 [ k ]

V C 2 [ k ]V C 3 [ k ]]+[ 83,333

−77,162,08 ]Vi [k ]

y [ k ]=[0 −1 0 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]

La modificación no debe haber cambiado la observabilidad, dado que la tensión del capacitor C3 (VC3) sigue sin tener efecto sobre la salida. Por lo tanto, si calculo el rango de la matriz observabilidad del modelo discreto, seguirá siendo 2:

V=[ 0 −1 01,8518 −1 03,7037 −1 0]

que tiene rango 2.Sin embargo, ahora el sistema debería ser detectable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable sea menor que 1.Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 −1 01,8518 −1 0

0 0 1]La matriz A del modelo transformado resulta:

A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0

0,0004 0,0274 0]Como puede verse, el autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado vale 0, por lo que el sistema es detectable.

d) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:

x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0

0,0004 0,0274 0] x[k ]+[77,16231,48

2,08 ]Vi [ k ]

y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]


A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]


H o=[23]


H=[230]


H=[0,54−20 ]

Finalmente, el modelo del estimador queda:

x [k+1]=[ 1 0,54 0−1,8518 −1 00,0507 −0,0278 0] x [k ]+[

83,333−77,16

2,08 ]Vi [k ]+[0,54−20 ] y [k ]

e) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:

x [0]=[−0,5−0,5

1 ]

E3) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y de la salida Vo. Este debe implementarse en unaplataforma digital con un periodo de muestreo de 1 ms y debe poseer la máxima dinámicaposible.


especificaciones. Justifique.c) Encuentre el modelo del estimador discreto.d) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador

calculado.

Datos:

R1 = 150k; R2 = 150k; R3 = 50k; R4 = 220k;R5 = 180k; C1 = 10nF; C2 = 10nF; C3 = 45nF;

Nota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.


sV C 1=ViR3C1

−V C 1

R1C1

sV C 2=ViR3C2

−V C2

R2C2

sV C 3=ViR4C3

+V C1

R4C 3

−V C2


Vo=−V C 3


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[−

1R1C1

0 0

0 −1R2C2

0

1R4C3

−1R5C3

0][V C1

V C2

V C3]+[

1R3C1

1R3C2

1R 4C3

]Viy=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[−666,67 0 0

0 −666,67 0101,01 −123,46 0][V C1

V C2

V C 3]+[ 2000

2000101,01]Vi

y=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]


[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[0,5134 0 0

0 0,5134 00,0737 −0,0901 1][V C1 [k ]

V C2 [k ]V C3 [k ]]+[1,4597

1,45970,0828]Vi [k ]

y [k ]=[0 0 −1 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]

b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que el sistema es detectable dado que el único autovalor mayor o igual a 1 es el que se encuentra en el integrador de salida, por lo que su efecto es observable. Calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:

V=[ 0 0 −1−0,0737 0,0901 −1−0,1116 0,1364 −1]

El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable es menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 0 −1−0,0737 0,0901 −1


A=TAT −1=[ 0 1 0−0,5134 1,5134 0

0 0 0,5134]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es menor que 1, el sistema es detectable.

c) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:

x [k+1]=[ 0 1 0−0,5134 1,5134 0

0 0 0,5134] x [k ]+[−0,0828−0,05891,4597 ]Vi [k ]

y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]


A11=[ 0 1−0,5134 1,5134] y C1=[1 0 ]


H o=[1,51341,777 ]


H=[1,51341,777

0 ]El vector para el estimador del modelo original es:

H=[−3,57540

−1,5134]Finalmente, el modelo del estimador queda:

x [k+1]=[0,5134 0 −3,57540 0,5134 0

0,0737 −0,0901 −0,5134] x [k ]+[1,45971,45970,0828]Vi [k ]+[

−3,57540

−1,5134] y [k ]d) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:

x [0]=[−0,51

−1 ]



especificaciones. Justifique.c) Encuentre el modelo del estimador discreto.d) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador

calculado.

Datos: R1 = 150k; R2 = 200k; R3 = 50k; R4 = 200k; R5 = 180k; C1 = 10nF; C2 = 10nF; C3 = 10nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.


sV C 1=ViR1C1

−V C 1

R2C1

sV C 2=−V C 1

R3C2

sV C 3=−V C 2

R5C3

+R4

R5

V C 1


Vo=−V C 3


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[−

1R2C1

0 0

−1R3C2

0 0

R4

R3R5C3

−1

R5C3

0][V C 1

V C 2

V C 3]+[ 1

R1C1

00

]Viy=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]


[ ˙V C1

˙V C2

˙V C3]=[ −500 0 0

−2000 0 02222,2 −555,56 0][V C 1

V C 2

V C 3]+[666,67

00 ]Vi

y=[0 0 −1 ][V C1

V C2

V C3]


[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 0,6065 0 0

−1,5739 1 02,2222 −0,5556 1][V C1 [k ]

V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 0,5246

−0,56820,7407 ]Vi [k ]

y [k ]=[0 0 −1 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]

b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. Calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:

V=[ 0 0 −1−2,2222 0,5556 −1−4,4444 1,1111 −1]

El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable es menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,

T=[ 0 0 −1−2,2222 0,5556 −1


A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0

−0,7082 0,7082 0,6065]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es menor que 1, el sistema es detectable.

c) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:

x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0

−0,7082 0,7082 0,6065] x [k ]+[−0,7407−2,2222−0,5682]Vi [k ]

y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]


A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]


H o=[23]


H=[230]


H=[−0,450

−2 ]Finalmente, el modelo del estimador queda:

x [k+1]=[ 0,6065 0 −0,45−1,5739 1 02,2222 −0,5556 −1 ] x [k ]+[ 0,5246

−0,56820,7407 ]Vi [k ]+[−0,45

0−2 ] y [k ]

d) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:

x [0]=[−0,51

−1 ]

resolución segundo parcial cursada 2020...para plantear el modelo se calcula la ecuación...

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