resolución de problemas de investigación operativa

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UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Ciencias Sociales y Jurídicas

Trabajo Fin de Grado

Resolución de Problemas de

Investigación

Operativa Mediante Diferentes

Softwares: Ventajas e

Inconvenientes

Alumno: Cristina Martínez Gómez

Junio, 2017

Resolución de problemas de Investigación Operativa mediante diferentes softwares

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ABSTRACT

The study and development in Operations Research have allowed a great

advance in the business world, since its application facilitates the decision making,

considering the limited availability of resources.

This development has had a great boom thanks to the technological advances,

since it allows us to carry out its resolution faster and more secure. In addition, to

process a large amount of data, otherwise it would not be possible, or it would be very

tedious to get and obtain the solution.

In this work the theoretical knowledge acquired during the degree will be

developed, as well as new concepts in which they will be deepened, applied to computer

tools, such as R® or POM-QM®, which facilitate the resolution and development of a

wide variety of Operations Research problems, as well as an investigation of their

operation, evaluating possible advantages and disadvantages.

RESUMEN

El estudio y el desarrollo en la Investigación Operativa han permitido un gran

avance en el mundo empresarial, ya que su aplicación facilita la toma de decisiones,

considerando la disponibilidad limitada de recursos.

Este desarrollo ha tenido un gran auge gracias a los avances tecnológicos, ya que

permite llevar a cabo su resolución más rápida y segura. Además de procesar una gran

cantidad de datos, de forma que de otra manera no fuese posible, o fuese muy tedioso su

desarrollo y la obtención de la solución.

En este trabajo se desarrollarán los conocimientos teóricos adquiridos durante el

grado, así como nuevos conceptos en los que se profundizarán, aplicados a herramientas

informáticas, como R® o POM-QM®, las cuales pueden facilitar la resolución y el

desarrollo de una amplia variedad de problemas de Investigación Operativa, así como

una investigación de su funcionamiento, evaluando posibles ventajas e inconvenientes.


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ÍNDICE

Contenido 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3

2. PROGRAMACIÓN LINEAL................................................................................................ 4

2. 1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA .................................................................................. 4

2. 2. RESOLUCIÓN GRÁFICA ............................................................................................ 6

2. 3. MÉTODO SIMPLEX .................................................................................................... 9

2. 4. RESOLUCIÓN CON R® Y POM-QM® ..................................................................... 12

2. 4. PROBLEMAS AVANZADOS .................................................................................... 22

I) PROGRAMACIÓN POR METAS ...................................................................................... 22

3. PROGRAMACIÓN NO LINEAL ....................................................................................... 32

4. PROBLEMAS DE REDES ................................................................................................. 34

4. 1. PROBLEMA DEL TRANSPORTE ...................................................................................... 35

4. 2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN ...................................................................................... 40

5. 3. ÁRBOL DE COSTE MÍNIMO ........................................................................................... 43

5. 4. ARBORESCENCIA DE COSTE MÍNIMO ........................................................................... 48

5. 5. ÁRBOL DEL CAMINO MÁS CORTO ................................................................................ 50

5. 6. PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO.................................................................................... 54

5. CONCLUSIÓN ................................................................................................................... 58

6. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 59


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1. INTRODUCCIÓN

El estudio de la optimización de la programación matemática es muy interesante

actualmente, debido a su gran versatilidad para la aplicación en el mundo empresarial.

El estudio de esta rama ha sido posible a lo largo del grado, en diferentes asignaturas, si

bien en algunas, con mayor profundidad.

No obstante, si consideramos objetivamente, el mundo tecnológico actual en el que

nos encontramos, el desarrollo de este ámbito se lleva en gran medida a través del uso

de herramientas informáticas. El conocimiento teórico de esta disciplina permite tener

los fundamentos básicos necesarios para un desarrollo e investigación de mayor

profundidad. Esta investigación puede verse facilitada con el uso de softwares

informáticos, además de poder avanzar a una gran velocidad en su desarrollo y

aplicación.

Además de contar con muchos tipos de programas informáticos desde hace años, el

incesante aumento del volumen de softwares hasta la actualidad, nos abre la posibilidad

de elegir entre una enorme variedad de herramientas informáticas, que nos ayudan a la

puesta en práctica de Investigación Operativa. Muchas de ellas se desarrollan para un

uso en concreto, de forma que sean específicas y abarquen dicho campo en su totalidad,

mientras que otras se desenvuelven de forma genérica para poder englobar diferentes

ámbitos. Considerando esta gran variedad de softwares, así como la incesante evolución

de ambas clases de programas, el uso de un conjunto de las herramientas informáticas,

nos puede llevar a la aplicación práctica completa de esta rama, sopesando las

desventajas o errores que puedan esconderse en ellas, con el uso de otras, y así poder

complementarse mutuamente.

De forma más concreta, a lo largo de su estudio en la Universidad, se ha

desarrollado su aplicación con el uso de hojas de cálculo Excel. Han sido de gran

utilidad, además de permitir que profundicemos en el aprendizaje de este software, son

muy usadas actualmente en el mundo laboral. Por todo ello, el mayor estudio e

investigación de las herramientas actuales puede ser muy interesante, ya que con el

conocimiento básico de algunas de ellas, podremos desarrollar muchos otros tipos de

problemas. Este puede ser el caso del software informático R® (The R Project for

Statistical Computing), el cual es muy usado en la actualidad, no solo en esta materia,


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sino en una gran variedad ámbitos, estudios, investigaciones etc. que podremos

comprender si estudiamos los cimientos de esta herramienta.

Este proyecto se basará en el estudio e investigación de diferentes softwares

informáticos, que permitan aplicar y facilitar la resolución de diferentes problemas de

Investigación Operativa, como la programación lineal, y que su uso en conjunto, nos

permita eliminar las barreras que otros presenten, además de sustentarse en una

investigación más extensa y profunda desarrollada con el departamento de Estadística e

Investigación Operativa de la Universidad de Jaén durante el curso 2016 – 2017 basada

en el aprendizaje e investigación de estas herramientas.

2. PROGRAMACIÓN LINEAL

2. 1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El hecho de tener una serie de recursos limitados en el mundo empresarial hace

que una organización deba de plantearse cómo distribuir estos recursos de forma que se

puedan utilizar de manera óptima y conseguir así el máximo resultado que esta pueda

lograr, ya sea mediante una minimización del coste que pueda tener a partir de las

tareas, recursos, actividades etc. a desarrollar, o mediante la obtención del máximo

beneficio posible a través de su actividad principal o actividades secundarias que lleve a

cabo.

Este problema se empezó a desenvolver por varios grupos de científicos de

múltiples áreas a partir de la 2º Guerra Mundial con el pretexto de maximizar los

suministros y optimizando los recorridos para conseguir hacer los transportes con el

menor tiempo posible, pero evitando el riesgo existente por la presencia de submarinos

alemanes. Tras la 2º Guerra Mundial, la evolución de esta rama se ha visto muy

favorecida con la aparición de los ordenadores proporcionando la resolución de

problemas mucho más complejos y con una mayor rapidez de cálculo (Frías

Bustamante, M. P. y Martínez Rodríguez, A.M., 2006).

Un problema común al que se deben de enfrentar los gerentes de una empresa es

la toma de decisiones y la formulación de modelos para decidir cómo administrar los

recursos de los que disponen, anteriormente esto se basaba casi en su totalidad en la

intuición o en experiencias pasadas, siendo esta de gran utilidad, pero tenía el gran


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inconveniente, en ocasiones, de falta de información de las distintas situaciones o

circunstancias en las que pudiera encontrarse la organización.

A lo largo del grado hemos visto cómo solucionar este problema a partir de una

perspectiva más objetiva utilizando un modelo simbólico, es decir, aplicando las

matemáticas para representar las relaciones existentes entre los distintos datos de

interés. En concreto nos basamos en modelos de decisión para mostrar diferentes

decisiones a través de variables. Nosotros no podemos decidir o elegir algunos datos o

hechos a los que se enfrenta una empresa, como por ejemplo podría ser el coste de sus

materias primas, pero sí que podemos decidir sobre la cantidad a comprar de cada tipo

de estas (Eppen, G.D., Gould, F.J., Schmidt, C.P., Moore, J.H., Weatherford, L.R.,

2000).

El estudio de la Investigación Operativa nos ha ayudado a poder modelar

situaciones empresariales complejas, aplicar técnicas para su resolución y comunicar de

forma efectiva los resultados obtenidos. Los modelos de decisión nos permiten describir

una situación, junto con las correspondientes variables, determinando cuál es su

influencia, los podremos utiliza para conseguir un objetivo en concreto.

La Investigación Operativa se sirve de muchas ramas como las Matemáticas, la

Estadística, la Probabilidad o la Economía para poder resolver modelos de optimización

o modelos de predicción. En especial, en el grado hemos centrado el estudio en los

modelos de optimización.

Hoy en día es más frecuente el uso de modelos de optimización para tomar

decisiones debido a la mayor comprensión de esta metodología en las diferentes ramas,

una mayor dificultad de los problemas que queremos resolver y la presencia y desarrollo

de nuevos algoritmos. Los modelos de Investigación Operativa deben de ser una

abstracción de la realidad, capaces de identificar los factores que son determinantes en

el comportamiento de nuestro sistema, de forma esquemática se resume en la Figura 2.1.

Es muy interesante la gran variedad de ámbitos que hemos podido encontrar

investigando dónde se aplica la Investigación Operativa, aparte de logística empresarial,

suministro de agua, sector bancario, servicio de correos…, se ha llegado a plantear

incluso para el sector sanitario, por ejemplo, como cuestiona el profesor Andrés Ramos

de la Universidad Pontificia Comillas de Madrid: “si tuviéramos que llevar a cabo un

tratamiento de cáncer de cerebro, ¿Dónde se debería de aplicar radioterapia para


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maximizar el impacto en las células cancerígenas y minimizar el daño en otras

células?”. Otro ejemplo podría ser su aplicación al ámbito agropecuario (Céspedes, N.,

2007). Podemos observar que tener un conocimiento avanzado de esta materia y su

mayor indagación nos abre un amplio abanico de soluciones a diversas cuestiones.

Figura 2.1: Identificación de factores

Fuente: http://www.investigaciondeoperaciones.net

2. 2. RESOLUCIÓN GRÁFICA

La búsqueda del punto óptimo se puede llevar a cabo mediante muchos métodos.

Sabemos que se basa en calcular una zona factible, es decir, esa región donde todos los

puntos que incluye cumplen con las restricciones y posteriormente buscamos de estos

puntos cual es el que optimiza la función objetivo.

Aparte de las resoluciones teóricas, así como las investigadas en este proyecto con el

empleo de herramientas informáticas, en muchas ocasiones puede ser de gran utilidad su

MODELO

SITUACIÓN DECISIONES

RESULTADOS

ANÁLISIS

CONOCIMIENTO

PREVIO

AB

ST

RA

CC

IÓN

INT

ER

PR

ET

AC

IÓN

JUICIO EJECUTIVO


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representación gráfica, ya que podremos ver cuál es esta región factible y nos ayudará a

su mejor entendimiento.

Cuando tratamos ejercicios de dos variables, POM-QM® nos muestra directamente

su región factible y su punto óptimo, no obstante, sería interesante mostrar la resolución

de un ejercicio que contenga tres variables, es decir, hacer un gráfica en 3D. Para ello

hemos necesitado buscar otro software informático que nos permita realizar esta función

y por tanto su estudio.

Nos centramos en la representación gráfica de tres variables mediante el software

informático Mathematica®. A lo largo del grado, hemos utilizado en alguna ocasión este

programa, no obstante, no hemos podido aplicarlo a la representación gráfica de

regiones factibles que es nuestro objetivo actual, por ello vamos a desarrollar un breve

estudio y aplicación para la realización de gráficas en 3D.

Utilizaremos para su desarrollo un ejemplo ilustrativo

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 7𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧

Sujeto a:

60𝑥 + 25𝑦 + 20𝑧 ≤ 100.000

60𝑥 ≤ 1.000

𝑦 ≤ 1.000

𝑧 ≤ 1.500

En primer lugar, dibujaremos la región factible usando RegionPlot3D, es muy

importante escribir los argumentos en Mathematica® tal cual, ya que una mínima

variación en su escritura puede provocar que sea erróneo el resto del ejercicio. Con este

comando podremos introducir las restricciones para que dibuje la región factible el

software. Además deberemos de indicar entre qué valores oscilará las variables. Por

último, podremos usar PlotStyle dentro de esta función para que nos dibuje la región del

color que queramos y pueda observarse con claridad (Ipanaqué Chero, R. y Velesmoro

León, R., 2005).


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Podemos ver que cada restricción se separa usando && y entre corchetes

indicaremos cada variable y entre que valores se encuentran, es decir, para la x se estará

entre 0 como mínimo y 1.100 como máximo. Una vez definidos los argumentos

obtendremos la región factible en 3D (Figura 2.2).

Figura 2.2: Región factible en Mathematica®

El objetivo es conocer el punto donde se maximiza la función objetivo, por

tanto, debemos de representar el plano de la función (Figura 2.3). Para ello deberemos

de usar la función ContourPlot3D” y al igual que antes también debemos especificar

entre qué valores se encontrarán las variables.

Figura 2.3: Función objetivo en Mathematica®

Una gran ventaja que nos ofrece Mathematica® en la representación de gráficas

3D es que son interactivas, quiere decir que podremos moverlas para poder ver la

gráfica desde distintas perspectivas en función de nuestra preferencia.


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Para poder ver con claridad el punto dónde se corta la región factible con la

función objetivo deberemos de representarlas a la vez juntas, para ello le pedimos al

software que nos muestre conjuntamente ambas usando Show incluyendo el nombre que

le hayamos asignado a cada una separadas entre una coma (Figura 2.4).

Figura 2.4: Representación punto óptimo

Si resolvemos este problema con R® o con POM-QM®, muestra que la solución

óptima se encuentra para 𝑥 = 750, 𝑦 = 1.000 𝑦 𝑧 = 1.500 punto donde podemos ver

que corta la representación de la función objetivo con la región factible.

2. 3. MÉTODO SIMPLEX

Durante el grado hemos estudiado estos problemas y como solucionarlos en

distintas materias, sobre todo, en Investigación Operativa nos centramos en cómo

plantear los modelos matemáticos cuyo objetivo es optimizar una función objetivo

lineal o función económica teniendo en cuenta que las variables tienen que verificar una

serie de restricciones (ecuaciones o inecuaciones lineales), incluyendo las restricciones

de no negatividad, es decir, hemos llevado a cabo el estudio de la programación lineal

que forma parte de la programación matemática o teoría de optimización (Martín

Martín, Q., 2003).

Definición

𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑐𝑇𝑋

s. a.

𝐴𝑋 ≤ 𝑏, 𝑋 ≥ 0

Siendo

𝑧: 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑐 = (𝑐1, … , 𝑐𝑛)𝑇: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜.


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𝑋 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑇: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛.

𝐴 = (… , 𝑎𝑖𝑗 , … ): 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛).

𝑏 = (𝑏1, … , 𝑏𝑚)𝑇: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑠 (𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜𝑠).

El conjunto de soluciones factibles de un problema de programación lineal viene dado

por:

𝑋 = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛 / 𝐴𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑥 ≥ 0 }

Podemos obtener todas las soluciones básicas factibles y evaluar el objetivo en

ellas, pero en la mayoría de los casos resulta complejo, y es necesario dedicarle mucho

tiempo para obtener la solución óptima, por ello, hemos utilizado una herramienta

desarrolla por G.B. Dantzing en 1951 llamada el método del Simplex. Este algoritmo

nos permite a partir de una solución básica factible inicial llegar hasta la solución

óptima del problema, así como las soluciones alternativas del problema en caso de que

existan.

Es curioso un hecho real en la vida de Dantzing, cuando aún solo era un

estudiante llegó un día tarde a clase y observó en la pizarra dos problemas estadísticos

que no tenía solución aún. Dantzing pensó que se trataban de ejercicios para casa, y tras

el día de clase, los intentó hacer como cualquiera otro de sus deberes, si bien se

percataba de que eran algo más complejos de lo normal, obtuvo solución para ambos y

se los mostro a su profesor. Un tiempo después su profesor le visitó dándole la noticia

de que publicaría una de sus soluciones en una revista. Esta historia nos sirve de

ejemplo motivador y nos muestra la fuerza del pensamiento positivo (Morales Medina

M.A., 2006).

El Método del Simplex lo hemos desarrollado con la ayuda de la denominada

tabla del Simplex que nos facilita la introducción y la conglomeración de una serie de

datos simplificando la utilización del cálculo manual y el análisis de sensibilidad.

Posteriormente estudiamos la asociación existente entre los problemas primales, es

decir, de los problemas de programación lineal, a los problemas duales, y como obtener

la solución dual a partir del problema primal o viceversa, ya que a cada problema primal

de maximización (o minimización) se le asocia un problema de programación lineal de

minimización (o de maximización) con varias propiedades.

Definición


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𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎𝑙 𝐷𝑢𝑎𝑙

𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑐𝑇 𝑋 𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 𝑌𝑇𝑏

𝑠. 𝑎. s. a.

𝐴𝑋 ≤ 𝑏 𝐴𝑇𝑌 ≥ 𝑐

𝑋 ≥ 0 𝑌 ≥ 0

Se obtiene que,

𝐴𝑚𝑥𝑛 → 𝐴𝑇𝑛𝑥𝑚

De donde se observa que hay tantas variables en el problema dual como restricciones en

el primal y tantas restricciones en el dual como variables hay en el primal.

El sentido de las desigualdades del problema dual (≤) viene determinado por las

restricciones de no negatividad, X ≥ 0, del problema primal.

La solución de ambos problemas está relacionada, o ninguno de ellos tiene

solución (puede ser por diferentes motivos), o en caso de que tengan solución, los

valores óptimos coincidirán y aplicando el método simplex a cualquiera de los dos

problemas obtendremos la solución de ambos, es decir, con aplicar el método en uno de

los dos es suficiente, ya que así obtendremos la solución (Guerrero Salas, H., 2009).

Debido al escaso tiempo que tenemos para estudiar esta rama, la resolución de

los problemas de decisión mediante herramientas informáticas solo lo hemos podido

desarrollar brevemente a través de hojas de cálculo electrónicas de Excel con el uso de

Solve. Esta herramienta es sencilla de usar y fiable pero aumenta su dificultad si

nuestros problemas son más complejos y queremos usar un mayor número de datos.

Hay una gran variedad de softwares informáticos que podríamos usar y que ofrecen una

gran estabilidad como puede ser el caso del R® u otros que destacan por su fácil

comprensión y un uso intuitivo, por el ejemplo, el POM-QM®. Ambos programas son

potentes herramientas de trabajo que su uso podría facilitarnos la realización de los

problemas y darnos mucha información en determinadas situaciones, por ello considero

la importancia de profundizar en el estudio e investigación de estas herramientas,

además de aquellos softwares complementarios a los anteriores, ya que si bien estos

tienen ciertas desventajas, podrían compensarse y obtener así una información

completa, a través el conocimiento y utilización de un amplio abanico de softwares.


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2. 4. RESOLUCIÓN CON R® Y POM-QM®

Uno de los principales motivos para llevar a cabo una investigación y estudio del

software informático R® ha sido la libre disposición para su uso, a diferencia de la

mayoría de los programas, esto supone una gran ventaja ya que cualquier problema

resuelto a través de esta herramienta podrá ser visto por cualquier otra persona al no

tener dificultades para obtener el software y poder ejecutar así el correspondiente script.

R® es un programa muy versátil que permite resolver una enorme variedad de

problemas no solo desde el punto de vista de la Investigación Operativa, sino además

desde el punto de vista de la Estadística, la Econometría… un conocimiento de

programación básico con R® permite que posteriormente se pueda interpretar y entender

con un escaso esfuerzo su metodología. Esto ha dado lugar a un gran uso y una eleva

importancia en muchos ámbitos en la actualidad.

POM-QM® a pesar de no ser un software de libre uso y necesitar licencia para

poder usarlo, la Universidad de Jaén tiene licencia como software virtualizado y

podemos acceder a él desde la página web. La principal ventaja de este software es su

fácil uso ya que a partir de unas simples indicaciones, el programa nos pide los datos

necesarios de forma muy concreta y ofrece una rápida solución, además de información

complementaria en muchas ocasiones (análisis de sensibilidad, soluciones alternativas,

gráficas de dos variables…).

A pesar de la mayor complejidad de R®, nos encontramos con un programa

mucho más estable que nos permitirá resolver una gran cantidad de problemas gracias a

la variedad de paquetes que contiene, destinados a muchos y diferentes ámbitos.

Además se trata de un software gratuito y con código fuente de libre acceso.

Es un programa que está orientado a objetos, es decir, a partir de una consola

introduciremos código asociado a estos, los cuales se refieren a variables, datos,

funciones o resultados. La información que contiene R® está estructurada en paquetes y

según nuestro objetivo podremos utilizar el más conveniente.

Para descargar paquetes lo podremos hacer desde R®, en la opción de instalar

paquetes, pero además cada vez que queramos usar un paquete deberemos de cargarlo

cliqueando en la interfaz “paquetes/ cargar paquetes” y seleccionamos el paquete que

se quiera ejecutar. Todo esto también lo podemos hacer a través de líneas de comando,

para instalar un paquete usaremos install.packages(“nombre del paquete”) y para


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cagarlo utilizaremos la instrucción library(nombre paquete), por ejemplo, si se quiere

descargar y cargar el paquete lpSolve se utiliza el siguiente script:

A través de la página web https://www.r-project.org/ hay una sección llamada

“Packages”, podremos acceder a una tabla con los paquetes disponibles ordenados

según la fecha de publicación o por nombre. Esta página es muy útil ya que cliqueando

en cualquiera de los paquetes podremos acceder a un pdf donde explica todas las

funciones que cada uno abarca, la bibliografía de estos paquetes y sus autores.

Además también tenemos a nuestra disposición otra página de ayuda,

http://rseek.org/, siendo un buscador de R® mediante el cual podremos encontrar todos

los paquetes relacionados buscando sobre un tema específico.

Resolución con R®

Para la aplicación en R® utilizaremos el paquete lpSolve para dar solución a la

programación lineal entera, continua o mixta, donde se encuentra la función lp que se

trata de una función para la resolución de problemas de programación lineal y entera

Función:

lp (direction = "min", objective.in, const.mat,

const.dir, const.rhs,

compute.sens=0,

all.int=FALSE)

Argumentos de la función lp:

direction: indica la dirección de optimización "min" (defecto) o "max" .

objective.in: es un vector numérico formado por los coeficientes de la función

objetivo.

const.mat: matriz compuesta por los coeficientes de las restricciones, cada fila es una

restricción y cada columna una variable.

const.dir: es un vector de caracteres que indica las direcciones de las restricciones,

cada valor debe ser "<", "≤", "=", ">", o "≥".

const.rhs: vector de valores numéricos para los lados derechos de las restricciones.

https://www.r-project.org/


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compute.sens: es un valor numérico que indica si se desea hacer análisis de

sensibilidad: por defecto 0 (no); cualquier valor no nulo (sí).

all.int: respuesta a la pregunta ¿son todas las variables enteras? Por defecto es

FALSE. Para problemas de programación lineal enteros hay que escribir all.int =

TRUE.

Salidas de la función lp

$direction: dirección de optimización del problema (0 = minimizar, 1 = maximizar).

$x.count: número de variables en la función objetivo.

$objective: vector con los coeficientes de la función objetivo.

$const.count: número de restricciones.

$constraints: matriz de tasas de uso.

$int.count: número de variables enteras.

$int.vec: vector con los índices de las variables enteras.

$objval: valor óptimo de la función objetivo.

$solution: vector con los valores óptimos de las variables de decisión.

$compute.sens: proporciona el valor numérico a la pregunta ¿calculo sensibilidad?

que se dio en la llamada a la función. Si es un valor distinto de cero, el objeto contiene

los resultados del análisis de sensibilidad.

$sens.coef.from: proporciona los límites inferiores de los intervalos de variación

de los coeficientes de la función objetivo, para que la solución proporcionada siga

siendo óptima.

$sens.coef.to: proporciona los límites superiores de los intervalos de variación de

los coeficientes de la función objetivo, para que la solución obtenida siga siendo óptima.

$duals: Proporciona los valores de los costos reducidos en la tabla óptima del

Simplex.

$duals.from: proporciona los límites inferiores de los intervalos de variación de los

coeficientes de la función objetivo del problema dual (o equivalentemente, de los

recursos del problema primal), para que la solución proporcionada siga siendo óptima.

$duals.to: proporciona los límites superiores de los intervalos de variación de los

coeficientes de la función objetivo del problema dual (o equivalentemente, de los

recursos del problema primal), para que la solución proporcionada siga siendo óptima.

$status: número que indica: 0= éxito, 2=solución no factible, 3=solución no acotada.


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Aplicación práctica

A ejemplo ilustrativo hemos utilizado el siguiente problema propuesto por S.

Hillier, F., y J. Lieberman, G. (2010).

PROTRAC, INC.

“PROTRAC, Inc. Produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas

de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en

aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura,

está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea del

equipo de excavación (la E-9), como la mayor de toda la línea de equipo para la

silvicultura (la F-9), son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo

equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el

gerente de mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo será

posible vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia

tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir,

¿Cuántas E-9 y F-9 deberás fabricar si la dirección de PROTRAC desea maximizar la

contribución del mes entrante a las ganancias (es decir, el margen de contribución,

definido como los ingresos menos los costos variables)?.

La toma de esta decisión requiere la consideración de los siguientes factores

importantes:

El margen de contribución unitaria de PROTRAC es de 5.000€ por cada E-9

vendida y 4.000€ por cada F-9.

Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A

como en el B.

Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos

tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada

E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el

departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y

10 en el B.

Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las

horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente

mes no deben ser mas allá del 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas

pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las


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actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30

horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinadas a las

pruebas no pueden ser menores que 135.

Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha

decretado como política operativa que: deberá construirse cuando menos una F-9 por

cada tres E-9 que sean fabricadas.

Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9

y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que

producirse al menos esa cantidad.

A partir de estas consideraciones, el problema de la gerencia es decidir cuantas E-9 y

F-9 fabricará el próximo mes. En términos de modelos, la gerencia intenta determinar

la mezcla de productos óptima, también llamada plan de producción óptimo.

Definiremos en primer lugar nuestras variables de la siguiente forma:

x1= Unidades de E-9

x2= Unidades de F-9

Por tanto el planteamiento de nuestro problema es:

Función objetivo”

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 5.000𝑥1 + 4.000𝑥2

Sujeto a:

10𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 150 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴

20𝑥1 + 10𝑥2 ≤ 160 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵

30𝑥1 + 10𝑥2 ≥ 135

𝑥1 ≤ 3𝑥2

𝑥1 + 𝑥2 ≥ 5

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Comenzamos con la instalación del paquete utilizando el comando

install.packages(“lpSolve”) y lo cargaremos con library(lpSolve).


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A continuación introducimos la función objetivo mediante un vector y las

restricciones del ejercicio utilizando una matriz, podemos introducir los datos por

columnas o por filas, aplicado al ejercicio práctico se obtiene que,

La dirección y las disponibilidades de cada una de las restricciones se podrán

hacer mediante vectores. Tanto el orden para introducir las direcciones, como las

disponibilidades, se harán al igual que el orden de las restricciones que se hayan

introducido antes mediante la matriz.

Para nombrar a las disponibilidades suele utilizarse en muchos casos rhs, esto

quiere decir: “right hand side” que significa “a mano derecha”, ya que son los valores

que se encuentran a la derecha de la restricción.

Ejecutamos la función una vez que se han introducido los argumentos definidos

anteriormente.

Todos estos argumentos son fáciles de recordar ya que a medida que escribamos

el principio de su nombre, R® nos mostrará una serie de sugerencias de posibles

opciones que puedan ser, basándose en las primeras letras que hemos escrito de nuestra

palabra.

Para ver de forma práctica las salidas de esta función, podemos usar $solution.

R® nos dará el valor de las variables, en el ejercicio práctico, se obtiene fabricar 4’5

máquinas de E-9 y 7 de F-9. Si queremos saber el valor de la función objetivo lo

obtendremos con $objval, se observa por tanto un valor de 50.500€.


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No obstante, podríamos plantearnos la siguiente pregunta: ¿Cómo se puede

producir 4’5 máquinas? Esto es difícil de cumplirlo en la vida real, pero esto podremos

solucionarlo con el siguiente argumento en la función lp.

Indicando all.int = TRUE conseguimos que R® nos muestre valores enteros para las

variables y al mostrarnos la resolución comprobamos que ahora sería fabricar 5 E-9 y 6

F-9 con un valor para la función objetivo de 49.000€. Aunque el valor sea menor, un

empresario debe de considerar valores que sean de utilidad, y a pesar de que la solución

óptima es 4’5 máquinas debemos de considerar producir 5, ya que aunque no sea la

óptima, sigue siendo factible y tiene una mayor utilidad al poder aplicarla en la vida

real.

R® no muestra directamente el precio sombra, pero podemos obtener a través del

comando $duals que proporciona el valor de los costos reducidos en la tabla óptima del

simplex. También podemos calcular los límites inferiores y superiores de los

coeficientes de nuestras variables de la función objetivo para que nuestra solución siga

siendo óptima mediante $sens.coef.from (límite inferior) $sens.coef.to (límite superior).

Es decir, la solución no variará mientras que el coeficiente de x1, que

actualmente tiene el valor de 4.000, se encuentre entre (2.666’66 - 8.000) y el

coeficiente de x2, con valor 5.000, se encuentre entre (2.500 - 7.500).

Otras salidas que podemos obtener de R® anteriormente comentadas,


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Resolución con POM-QM®

Llevaremos a cabo también su resolución con POM-QM®, analizando su

resultado y la información que nos ofrece. En primer lugar debemos de indicarle que

vamos a resolver un problema de programación lineal, ya que POM-QM® nos permite

seleccionar el tipo de ejercicio que vamos a resolver (problemas de asignación,

problemas de transporte, teoría de juegos, programación mixta, problemas de redes…)

Una vez que abrimos el módulo de programación lineal, crearemos una nueva

hoja en la cual debemos de indicar a la izquierda el número de restricciones del

problema, el número de variables, y si queremos maximizar o minimizar. A la derecha

podemos elegir el nombre de cada fila y columna, aunque posteriormente esto se puede

modificar, y además nos explica que no es necesario incluir las restricciones de no

negatividad en “oveview”, como se observa en la Figura 2.5.

Figura 2.5: Creación de datos para programación lineal en POM QM®


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Ofrece una tabla del simplex donde de forma sencilla e intuitiva podemos incluir

la información necesaria sobre las restricciones y de la función objetivo para que nos

pueda resolver nuestro problema. En la primera fila indicaremos el nombre de las

variables y debajo sus correspondientes coeficientes mostrando en la última columna la

función objetivo que se quiere maximizar, en nuestro caso: 𝑀𝑎𝑥 5000𝐸 − 9 +

4000𝐹 − 9. En el resto de las filas se apuntarán las restricciones a las que está sujeta la

función objetivo, sin ser necesario que se incluyan las restricciones de no negatividad.

Una vez introducidos los datos podremos darle a Solve para que nos muestre la solución

(Figura 2.6).

Figura 2.6: Datos de PROTRAC en POM-QM®

En la última fila de la tabla aparecerá la solución en azul, dando el valor de cada

variable y el valor de la función objetivo, en nuestro caso tendríamos que producir 4’5

máquinas de E-9 y 7 de F-9, consiguiendo un beneficio de 50.500€.

En la última columna calcula los precios sombra, con los cuales podremos saber

cuánto aumentaría el beneficio si tuviésemos una unidad más disponible para esa

restricción (Figura 2.7).

Podemos observar que si se dispusiese de una hora más para el departamento A,

es decir, un total de 151 horas, el beneficio de 50.500€ aumentaría en 150€,

consiguiendo que sea de 50.650€.


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Figura 2.7: Solución PROTRAC en POM-QM®

Además POM-QM® proporciona la correspondiente gráfica de forma directa,

siempre que nuestro problema trate dos variables. Aparece coloreada la región factible

señalando con un círculo la esquina en la que se maximiza la función, pero también

podemos saber el valor de cada variable y de la función objetivo en cada punto de corte

en la tabla que nos ofrece a la derecha, por ejemplo, en el punto (1’5 - 9) Z sería igual a

43.500€ o en el punto (6’8571 – 2’2857) se consigue un valor de 43.428’57€ (ver figura

2.8).

Figura 2.8: Gráfica PROTRAC en POM-QM®

Por último, muestra también una tabla donde indica el valor de cada variable que

se ha introducido e indicado inicialmente, el coeficiente de cada una de ellas y los

valores entre los que puede oscilar cada uno de los coeficientes para que la solución no

varíe. En el ejercicio en concreto E-9 deberá de estar entre (2.666’66-8.000) y F-9 entre

(2500-7500) (Figura 2.9).


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Figura 2.9: Análisis de PROTRAC en POM-QM®

Podemos observar que, de forma muy rápida y sencilla, se obtiene el resultado,

además de un análisis de la solución.

2. 4. PROBLEMAS AVANZADOS

I) PROGRAMACIÓN POR METAS

La mayoría de las situaciones reales se caracterizan por metas y objetivos

múltiples más que por un único objetivo. Las metas pueden ser compatibles, pero muy a

menudo son conflictivas entre ellas, es decir, conseguir alguna es contrario a la

consecución de otra. Para resolver este problema podemos utilizar la programación por

metas.

Como ya hemos estudiado en Investigación Operativa, buscamos minimizar las

desviaciones de nuestras metas y nos podemos enfrentar a diferentes tipos de

situaciones: que se alcance la meta, por tanto no tendrá valor las desviaciones, que se

quede por debajo de la meta, por tanto tendremos una desviación negativa o que nos

quedemos por encima con una desviación positiva.

La programación por metas fue introducida a partir del 1950 por Charnes y

Cooper, la cual se desarrollaría a partir de 1970. Actualmente se usa en campos como el

de la economía, industrial, agricultura, medioambiental etc. (Chavez Quisbert, N.,

2011).

Podemos diferenciar entre dos tipos de restricciones: las restricciones duras que

requieren ser cumplidas de forma estricta, y las restricciones blandas que pueden

admitir desvíos a la meta establecida.

Definición

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎

𝑓𝑖(𝑥) ≥ 𝑡𝑖 𝑓𝑖 (𝑥) ≤ 𝑡𝑖 𝑓𝑖(𝑥) = 𝑡𝑖


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𝑀𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎

𝑓𝑖(𝑥) + 𝑛𝑖 − 𝑝𝑖 = 𝑡𝑖

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑎 (𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟)

𝑛𝑖 𝑝𝑖 𝑛𝑖 + 𝑝𝑖

Dónde:

𝑓𝑖(𝑥) es una función del vector x de las variables de decisión,

𝑡𝑖 el nivel de aspiración asociado a dicho atributo,

𝑛𝑖 y 𝑝𝑖 son las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente.

La desviación negativa cuantifica la falta de una meta con respecto al nivel al

que se aspira, mientras que la desviación positiva cuantifica la cantidad sobrepasada con

respecto a la cantidad buscada. Por tanto se buscará aquella solución más cercana a las

metas que se aspira.

Resolución con R®

En este caso, para la resolución de la programación por metas, R® cuenta con un

paquete específico, llamado goalprog. Este se puede descargar y cargar como hemos

explicado en apartados anteriores. Dentro de este se encuentra la función llgp que

permite resolver un problema de programación de objetivos lineales lexicográficos

(LLGP) usando el algoritmo simplex primario modificado.

Función

llgp(coefficients, targets, achievements,)

Argumentos de la función llgp

Coefficients: una matriz de coeficientes para las funciones objetivo lineales.

Targets: Un vector de valores meta para las funciones objetivo.

Achievements: un marco de datos con las variables de desviación para cada objetivo

junto con el nivel de prioridad.

Salidas de la función llgp

$out: salida de la función llgp obteniendo;

Decision variables: valor de las variables de decisión.

Summary of objectives : valor de las metas para el valor obtenido de las variables

de decisión. Con el nombre de Objective. también proporciona cuánto se ha superado

del valor deseado (Over), en cuanto se ha quedado por debajo (Under) y el valor que

se deseaba (Target).


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Achievement function: valor de las desviaciones a minimizar. Cero indicarán que

se ha conseguido el objetivo o meta y si son positivas que no se ha alcanzado el objetivo

o meta.


Utilizamos un ejemplo ilustrativo para investigar el desarrollo de este tipo de

problemas a partir de softwares informáticos.

1. 20𝑥1 + 15𝑥2 + 25𝑥3 ≥ 100

2. 6𝑥1 + 4𝑥2 + 11𝑥3 = 50

3. 8𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 75

Comenzaremos indicando a R® los datos del problema en particular, igual que

hemos podido hacer para la programación lineal, pero en este caso en vez de tener

restricciones, consideramos metas que habrá que introducir a partir de una matriz

quedando la siguiente expresión,

Lo siguiente que se debe indicar es el valor de las disponibilidades, es decir, en

este caso el valor que se quiere que alcancen las metas, nuevamente se podrá indicar

usando un vector,

La dirección de las metas no se podrá indicar como antes, ya que vamos a

utilizar lo que en R® se llama data.frame() para agrupar datos de distinto tipo pero que

deben de tener la misma longitud, es decir, podemos crear bases de datos. En primer

lugar tendremos que enumerar las metas, es decir, los objetivos, usando el comando

objective indicamos el número de metas, en nuestro caso son tres. En segundo lugar,

indicamos la prioridad que tienen cada una usando priority, y también con un vector, en

concreto, la prioridad es por el orden de las metas escritas.

Podemos ver que las metas pueden ser “≥”, “≤” o “=”, para reflejarlo en

data.frame está formado por dos partes. Utilizando p=() y n=() introducimos las

desviaciones positivas y negativas que queremos minimizar, así le daremos valor a la n

cuando queramos que sea ≥ y se hará asignándole el valor 1, en caso de que sea ≤

tendremos que indicar en el orden que le corresponde, 0 para n y 1 para p. En este caso,


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también podemos ver, que una de nuestras metas es = por tanto deberemos de darle

valor 1 a ambos.

Con esto sería suficiente para seguir calculando las metas, pero data.frame nos

permite que podamos introducir los datos de las metas indicando el nombre de cada una

de ellas, es decir, si primera meta es del beneficio, la segunda de trabajadores y la

tercera del beneficio del año siguiente, podemos utilizar el siguiente comando para

obtener esta base de datos que podrá ser mejor comprendida visualmente (Figura 2.10).

Figura 2.10: Vista objetos nombrados en R®

Es muy importante tener en cuenta, que aparte de que podemos crear objetos con

el nombre que queramos, los comandos que R® tiene y que debemos de definir cuando

sean apropiados, deben de ser escritos tal y como R® los recoge, ya que en caso

contrario no registrará adecuadamente los datos.

Pasamos a resolver el ejercicio con la función llgp, indicamos los argumentos

que nos pide; coefficients donde se indican las metas que se habían introducido con la

matriz, targets para indicar las disponibilidades y achievements donde se introduce el

data.frame.

Pedimos que muestre la solución con el comando Ejercicio$out y en este caso

obtenemos bastantes datos que vamos a analizar en detalle


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En la primera parte Decisión variables observamos la solución óptima, en este

caso tenemos que x1= 5, x2= 5 y x3= 0. En el siguiente apartado Summary of objectives

muestra primero el objetivo que conseguimos con cada meta, y en las siguiente

columnas la cantidad que hemos quedado por abajo, por arriba y la meta que estábamos

buscando, es decir, de la primera meta que era: 20𝑥1 + 15𝑥2 + 25𝑥3 ≥ 100,

conseguimos que tenga un valor de 175 usando el valor de las variables que hemos

obtenido, es decir tenemos una cantidad de 75 euros por encima de la que se buscaba

inicialmente. Pero esto es correcto, ya que la meta era conseguir 100 euros o más

cantidad.

En el segundo caso la meta era: 6𝑥1 + 4𝑥2 + 11𝑥3 = 50, conseguimos

exactamente el valor de 50 en este caso, por tanto para “over” y “under” nos muestran

un valor de 0, logramos así que nuestra meta se cumpla ya que se buscaba exactamente

el valor de 50 trabajadores.

Por último, teníamos que 8𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 75, se obtiene 75 exactos para

esta meta como podemos ver, por tanto se cumplen las tres metas que teníamos para este

problema con la solución que nos ha ofrecido R®.

Hemos resuelto un ejercicio con tres metas según la prioridad que nos ha

indicado el ejercicio, no obstante, también podemos encontrarnos con algún caso en que

en vez de seguir un orden de prioridades, nos indiquen que alguna meta es más

importante que las demás según una proporción que se indique, es decir, nos dan pesos

para las metas, por ejemplo.


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Si consideramos el ejercicio anterior suponiendo que la segunda meta es dos

veces más importante que la primera y la tercera cuatro veces más importante que la

primera su resolución en R® sería de forma diferente.

Inicialmente indicaremos los datos como lo hemos hecho con anterioridad hasta

tener que definir data.frame donde introducimos las prioridades, en este caso por

igual,es decir, dándole a cada meta la prioridad de 1, para luego poder indicar cada uno

de nuestros pesos de cada meta utilizando el comando w o weights como vector.

Comprobamos que los datos introducidos de los objetos son los buscados

visualizando el cuadro de contenidos que nos ofrece R® (Figura 2.11).

Figura 2.11: Tabla objetos introducidos en R®

Esta supone la única modificación que deberíamos de hacer para optimizar

nuestros pesos, ya que la restante parte de la función necesaria es la mismo que se ha

usado anteriormente para calcular las metas y su consiguiente cumplimiento, que en este

caso se consigue con los valores para las variables de: x1=0, x2=1’0088, x3=8’7719.

Estos ejemplos anteriores se tratan de ejercicios con metas flexibles, sin

embargo, también podemos encontrarnos con ejercicios en los cuales es necesario que

se cumplan de forma obligatoria una serie de restricciones que por tanto serán llamadas

restricciones rígidas. Su resolución con R® es muy similar a la anterior y jugaremos con

el vector de prioridades para indicar las restricciones que son rígidas.


Rígidas

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 55

𝑥3 ≥ 10

Flexibles

0′05𝑥1 + 0′02 𝑥3 ≥ 0′15

0′03𝑥2 + 0′02𝑥3 ≥ 0′1


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Es importante tener en cuenta el tipo de restricción en el momento de definir el

data.frame. Para aquellas que se traten de rígidas tendrán todas la prioridad 1 ya que

son las que deberán de cumplirse en primer lugar, para el resto de restricciones flexibles

se le asignará según el orden de prioridad que tengan, es decir, si tenemos dos

restricciones rígidas se le indica a cada una la prioridad 1, y las otras dos flexibles se les

asignará según su prioridad, en este caso la restricción: 0′05𝑥1 + 0′02 𝑥3 ≥ 0′15

tendrá la prioridad 2 y la restricción: 0’03𝑥2 + 0’02𝑥3 ≥ 0’1 tendrá la prioridad 3.

Para terminar con la resolución de este problema se llevará a cabo como los

anteriores obteniendo así el resultado y determinando el cumplimiento o no de las

restricciones

Conseguimos que se cumplan las cuatro restricciones con un valor para las

variables de x1=0, x2=0, x3=10. La primera restricción quedará por debajo de la

disponibilidad en 45 unidades y la segunda se consigue el valor exacto de 10,

cumpliendo por tanto las dos restricciones rígidas que se necesitaban conseguir.

Además, las otras dos restricciones flexibles con las que contábamos también se

cumplen quedando la primera 0’05 y la segunda 0’1 unidades por encima de las

disponibilidades.


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Resolucion con POM-QM®

Este tipo de problemas también pueden solucionar con el software POM-QM®,

que hemos utilizado en otros ejemplos que como ya sabemos su uso suele ser más

sencillo e intuitivo. Empezamos en primer lugar con la resolución de nuestro problema

de prioridades planteado.

1. 20𝑥1 + 15𝑥2 + 25𝑥3 ≥ 100

2. 6𝑥1 + 4𝑥2 + 11𝑥3 = 50

3. 8𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 75

A diferencia de R®, no necesitaremos introducir comandos, sino que deberemos

de seleccionar la opción adecuada en la pantalla principal, que en este caso se trata de

Goal Programming. Nos aparecerá una ventana donde pide que indiquemos el número

de metas que queremos cumplir, que sería de 4 y el número de variables que queremos

optimizar, es decir, 3 variables.

POM-QM® mostrará una tabla donde debemos de rellenar con nuestros datos de

interés. Nos ofrece dos columnas llamadas Wt(d+) y Wt(d-) en estas columnas se les

tendrá que dar valor en función de que busquemos en cada meta, es decir, la positiva, en

nuestro caso es la primera, que es la llamada anteriormente pi, tendrá el valor 1 cuando

queramos minimizar la prioridad, y d- es la desviación ni que se ha explicado en el

anterior punto.

Esto se debe a que cuando resolvemos un problema por metas o prioridades,

introducimos en cada meta dos desviaciones, por tanto se trata de minimizar aquella

desviación que vaya en contra de nuestra meta, es decir, si mi meta es 8𝑥1 + 7𝑥2 +

5𝑥3 ≥ 75, introducimos los tipos de desviaciones que nos podemos encontrar: d- y d+ ,

quedando una expresión tal que 8𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 − 𝑑+ + 𝑑− = 75. Si d+ adquiere

un valor muy elevado irá a favor de nuestro objetivo ya que elevará el valor de la

izquierda en comparación a la disponibilidad de 75, sin embargo, necesitamos que d-

tenga el mínimo valor posible.

De esta forma en nuestro ejemplo, para la primera meta, 20𝑥1 + 15𝑥2 +

25𝑥3 ≥ 100, tendremos que minimizar la desviación negativa en este caso llamada

“Wt(d-)”, por ello se le dará valor, a diferencia de Wt(d+) que se le asignará 0 ya que no

nos interesa su minimización.


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Con la tercera meta nos encontramos ante un ejemplo muy similar a la primera

ya que también se trata de buscar que nuestra expresión 8𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 sea mayor

que 75. La diferencia se observa en la segunda meta porque queremos que 6𝑥1 + 4𝑥2 +

11𝑥3 sea igual a 50, es decir, necesitamos que el resultado que se obtenga de nuestra

expresión tenga la mínima desviación tanto positiva como negativa, por tanto, en este

caso tendremos que darle valor a Wt(d+) y Wt(d-).

Otra de las columnas que observamos en POM-QM® son llamadas Prty(d+) y

Prty(d-) donde debemos de indicar la prioridad que tiene la minimización de cada

desviación, es decir, para la primera meta se indicará que tiene prioridad 1 en la

columna de Prty(d-), sin embargo, como no tenemos desviaciones positivas se

mantendrá 0 para la prioridad de d+ en la columna Prty(d+).

La segunda prioridad al tratarse nuevamente de una igualdad se tendrá que

indicar tanto para la desviación positiva como para la desviación negativa. El resto de

datos necesarios, coeficientes de nuestras variables y disponibilidades se introducirán

como anteriormente hemos indicado (Figura 2.12)

Figura 2.12: Introducción de datos de metas en POM-QM®

Con estos pasos ya obtendríamos nuestra solución que coincide con la obtenida

anteriormente en R®. Además POM-QM® nos muestra directamente una tabla resumen

denominada Summary con el resultado de las variables, x1= 5, x2= 5 y x3= 0, y un

análisis de las metas donde podemos observar el valor de las desviaciones, es decir, d+

(row i) para la primera meta tiene un valor de 75 unidades, quiere decir que para la

primera meta superamos la disponibilidad de 100 que tenemos, en 75 unidades,

cumpliéndose este objetivo. Las otras dos metas, a diferencia de esta, tienen el valor de

0 para d+ (row i) y d- (row i), es decir, se llega exactamente a las disponibilidades de 50

y 75 para la segunda y tercera meta respectivamente, sin tener así ninguna desviación

(Figura 2.13).


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Figura 2.13: Resultado de metas en POM-QM®

De igual forma POM-QM® permite resolver problemas que se tengan tanto

restricciones flexibles como rígidas, esto es gracias a la opción que tenemos para indicar

la prioridad que tiene cada restricción. Tras un estudio previo, podemos concluir, que

para su resolución únicamente es necesario introducir las variables rígidas como

siempre, es decir, ignorando las prioridades y los pesos, por tanto, tendrá un valor de

cero en estas casillas, pero usando la opción de Goal Programming. A las demás

restricciones se les asignará la prioridad que les corresponda al igual que el anterior

ejercicio de metas.

Viendo un caso práctico usaremos el mismo que hemos utilizado para R®.

Rígidas

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 55

𝑥3 ≥ 10

Flexibles

0′05𝑥1 + 0′02 𝑥3 ≥ 0′15

0′03𝑥2 + 0′02𝑥3 ≥ 0′1

Una vez que indicamos el número de variables de restricciones en POM-QM®

deberemos de rellenar la tabla que nos muestra, de esta forma, sabemos que las dos

primeras restricciones rígidas tendrá la prioridad 0, y las dos flexibles se les asignará su

correspondiente prioridad y desviaciones, es decir, en el primer caso se trata de la

prioridad número uno e indicaremos que se minimice la desviación negativa, ya que

queremos que la expresión sea mayor que la disponibilidad que tenemos. Al igual

ocurre en la segunda meta flexible, la única diferencia es que tiene una prioridad por

debajo de la primera, es decir, se le indicará una prioridad de número dos (Figura 2.14)

Figura 2.14: Introducción de restricciones rígidas y flexibles en POM-QM®


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Tras la adecuada anotación de nuestros datos pasaremos a resolverlo pulsando en

Solve donde mostrará una tabla igual que la anterior (Figura 2.15), ya que nos

encontramos en la misma opción de POM-QM®, donde se observará que el valor de

nuestras variables es de x1=0, x2=0 y x3=10. Además observamos que para la primera

restricción nos encontramos por debajo de la disponibilidad de 55 en 45 unidades ya

que se alcanza el valor de 10 para esta restricción, por tanto se cumpliría. En el caso de

la segunda meta se llega al valor exacto de 10, sin embargo, para las dos metas restantes

nos encontramos por debajo de las disponibilidades en 0’05 y 0’1, pero como se

necesitaba no sobrepasar las disponibilidades, se cumpliría con nuestros objetivos, por

tanto, la solución coincide con la obtenida en R®.

Figura 2.15: Solución restricciones rígidas y flexibles en POM-QM®

3. PROGRAMACIÓN NO LINEAL

La programación no lineal, al igual que la programación lineal, se basa en la

optimización de una función objetivo sujeta a unas restricciones pero a diferencia de las

anteriores serán no lineales algunas de ellas, por ejemplo, cuadráticas, cúbicas etc.

Definición

Podemos considerar el problema de programación no lineal como,

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑓(𝑥)

s. a.

𝑔𝑖(𝑥) ≤ 0 𝑖 = 1,2 … , 𝑚

ℎ𝑗(𝑥) = 0 𝑗 = 1,2 … , 𝑙

Debido a la mayor complejidad de estos problemas, además del escaso tiempo

del que se dispone en la asignatura, no se pudieron estudiar estos problemas en la teoría

ni en la práctica para llevar a cabo su resolución.

Tras una previa investigación teórica concluimos que una de las principales

diferencias de la programación no lineal con respecto a la programación lineal, es que el

punto óptimo no tiene por qué encontrarse en los puntos extremos de nuestra región


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factible, es más, puede encontrarse en el interior de nuestra región mientras que en el

caso de la programación lineal nunca se encontrará en el interior.

En este proyecto nos centramos principalmente en la resolución de este tipo de

problemas mediante el uso de softwares informáticos ya que será mucho más sencillo

una vez que ya hemos adquirido ciertos conocimientos básicos de estas herramientas.

Resolución con R®

Para su aplicación en R® usaremos la función constrOptim para minimizar una función

sujeta a restricciones de desigualdad.

Función

constrOptim(theta, f, grad, ui, ci)

Argumentos de la función constrOptim

Theta: valor de partida numérico (vector) (de longitud p): debe estar en la región

factible.

f: función para minimizar.

grad: gradiente de f (una función también), o NULL.

ui: matriz de restricción (k x p).

ci: vector de restricción de longitud k.

Salidas de la función constrOptim

$par: valor de las variables de decisión que optimiza la función objetivo.

$value: valor que alcanza la función objetivo con el valor obtenido para las variables

de decisión.


Empezamos aplicándolo con el uso de R® mediante la resolución de un ejemplo,

de forma que se pueda ver en la práctica.

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒 = 20.000 − 440𝑥1 − 300𝑥2 + 20𝑥12 + 12𝑥2

2 + 𝑥1𝑥2

s. a.

𝑥1 + 𝑥2 = 100

Para llevar a cabo la resolución de este problema en R®, comenzamos introduciendo los

datos que nos ofrece el problema, es decir, vamos a definir la función que queremos

minimizar, pero en este caso utilizando el comando function para definir el objeto,

donde indicaremos el nombre de las variables, x1 y x2, y a continuación entre corchetes


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debemos de introducir la función objetivo, 20.000 − 440x1 − 300x2 + 20x12 + 12x2

2 +

x1x2, teniendo en cuenta la adecuada escritura en R®.

Para la introducción de las restricciones se usará una matriz y para las

disponibilidades se define el objeto mediante un vector.

Una vez que introducimos los objetos podemos pasar a su resolución, en este

caso, utilizaremos el paquete llamado constrOptim.

En este paquete se pueden definir varios argumentos, nos centramos en aquellos de

nuestro interés para la resolución del ejercicio.

Directamente al ejecutar el comando mediante “run” o usando “ctrl+r” nos

mostrará todos los resultados, si queremos en concreto el valor de nuestras variables

podremos fijarnos en $par donde observamos que x1= 26’5537 y x2=73’4463. Para el

valor que tomará la función objetivo se mostrará en $value que en este caso será de

1.029.060 unidades.

4. PROBLEMAS DE REDES

Hay situaciones donde los problemas estudiados se pueden representar mediante

redes, habiéndose desarrollado algoritmos específicos para su resolución. Para

comprender esto, comenzaremos estudiando en que se basan los problemas de redes.

Su investigación comenzó a desarrollarse en el pasado, con el famoso problema

de los siete puentes de la ciudad de Koenigsberg. La investigación fue desarrollada por

Euler cuyo objetivo era encontrar el itinerario más corto que deberían de recorrer los

habitantes de la isla Kueiphof, que se encontraba rodeada por un río, pasando solo una


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vez por cada uno de los siete puentes construidos para los habitantes y que así pudiesen

volver a su punto de partida. Si imaginamos cada trozo de tierra que unían esos puentes

como un punto y cada puente por un trazo podremos obtener algo similar a lo que se

conoce como grafo (Fontenla Cadavid, M., 2014).

Definición

Definiremos una serie de conceptos previos para el estudio de estos problemas.

Grafo: “Llamaremos grafo a un par {V, A}, donde V es un conjunto de

elementos llamados vértices o nodos y 𝐴 ⸦ 𝑉 𝑥 𝑉 otro conjunto cuyos elementos son los

arcos. Si (𝑎, 𝑏) es un elemento de A, 𝑎 se llama origen y 𝑏 extremo” (Rodríguez

Huertas, R. y Gámez Mellado, A., 2002).

Red: grafo cuyos arcos tienen asociada alguna medida.

Red bilateral: red que admite ambas orientaciones en los arcos que serán

llamados en este caso aristas.

Red dirigida: red sin aristas, es decir, no admite ambas orientaciones en los

arcos.

De forma resumida una red o grafo dirigido se compone de (Kong, M., 2010):

“Un conjunto finito de símbolos, llamados nodos o estados: a, b,…

Para cada nodo n hay asociados cero o más nodos sucesores: s1, s2,…, sn en

donde cada asociación es formalmente el par ordenado (n, si), o n, si, llamado

arco dirigido de n al nodo sucesor s.

Cada arco es valorado”.

Una vez que hemos definido el concepto de red vamos a estudiar problemas

asociados como son: la búsqueda de menor recorrido, del menor coste, de asignación

eficiente…

4. 1. PROBLEMA DEL TRANSPORTE

Un tipo de ejercicio que podemos encontrarnos dentro de los problemas de redes

son los llamados, problemas de transporte, que a pesar de tratarse de una variante de

problemas de la programación lineal, contarán con su propio algoritmo para que puedan

ser resueltos de forma más eficiente.

Definición


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“Se llama red de transporte a todo grafo 𝐺 = (𝑉, Γ) orientado, conexo y sin bucles, en

el que aparecen varios elementos asociados a los vértices y a los arcos que constituye

el grafo” (Martínez Rodríguez A.M., 2017).

Elementos asociados a los arcos son:

𝑰𝒊𝒋: mínima cantidad de transporte (flujo) que puede pasar por el arco (𝑖, 𝑗).

𝑲𝒊𝒋: máxima cantidad de transporte (flujo) que puede pasar por el arco (𝑖, 𝑗).

𝑪𝒊𝒋: coste de una unidad al pasar por el arco (𝑖, 𝑗).

Elementos asociados a los vértices:

𝒅𝒊: demanda o disponibilidad del vértice 𝑉𝑖. Si la demanda es positiva el vértice se

llamará sumidero o de destino, si es nula punto de tránsito, y si es negativa fuente u

origen.

Por tanto, se supone que 𝑚 orígenes (fuentes o entradas) tienen que surtir a 𝑛

centros de consumo (sumideros o salidas). La capacidad de oferta del origen i es de ai

(𝑖 = 1, 2 . . . , 𝑚) y la demanda en el centro de consumo j es 𝑏𝑗 (𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛). Se

supone que cij es el costo de enviar una unidad del producto del origen i al centro de

consumo j. El problema se reduce a determinar cuántas unidades del producto deben

enviarse del origen i al centro de consumo j, tal que se minimicen los costos totales de

distribución, se satisfaga la demanda del centro de consumo j y no se exceda la

capacidad de oferta del origen i.

La estructura de transporte es tal que,

mín Z = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑓𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑚

𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑗 = 𝑎𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑖 = 1, … , 𝑚

∑ 𝑓𝑖𝑗 = 𝑏𝑗

𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1, … 𝑛

𝑓𝑖𝑗 ≥ 0 ∀𝑖 , 𝑗

Nuestro objetivo es el desarrollo y resolución de estos problemas mediante

softwares informáticos. Empezaremos por R®, y posteriormente utilizaremos POM-

QM®.

Resolución con R®


2017

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R® cuenta con una función específica, que se encuentra en el paquete lpSolve

para la resolución de este tipo de problemas, en concreto, lp.transport, la cual se basa en

valores enteros y además su objetivo será minimizar nuestro problema.

Función

lp.transport(cost.mat, direction="min",

row.signs, row.rhs, col.signs,

col.rhs, integers = 1)

Argumentos de la función lp.transport

cost.mat: matriz de costes; cada elemento es el coste de transportar un elemento de la

fuente i al destino j.

direction: indicar si se trata de minimizar o maximizar "min" o "max".

row.signs: vector de caracteres para indicar la dirección de las restricciones de fila:

cada caracter debe ser alguno de los siguientes "<," "≤," "=," ">," o "≥".

row.rhs: vector de valores numéricos para los lados derechos de las restricciones.

col.signs: vector de cadenas de caracteres dando la dirección de las restricciones de

columna: cada carácter debe ser alguno de "<," "≤," "=," ">," o "≥".

col.rhs: vector de valores para los lados derechos de las restricciones de la columna.

Integers: vector de enteros. Su longitud será el número de variables enteras.

Predeterminado: todas las variables son enteras. Si se indica en NULL no se tendrá en

cuenta de ser ninguna variable entera.

Salidas de la función lp.transport

$objval: valor que alcanza la función objetivo.

$solution: cantidad transportada desde cada origen a cada destino.

Aplicación práctica de la función lp.transport

Planteamos el desarrollo de un ejercicio práctico que se basa en la necesidad de

transportar los motores fabricados en Amsterdam (A), Amberes (B) y El Havre (C) a los

puntos donde se demandan, en concreto, en Alemania (1), Francia(2), Bélgica (3),

Países Bajos (4). Las cantidades ofertadas se recogen en la Figura 4.1, las demandas en

la Figura 4.2 y para entender la relación entre la cantidad demandada y ofertada con

respecto a los costes no basaremos en la Figura 4.3 que recoge los datos de forma clara

y esquemática.


2017

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Figura 4.1: Cantidad oferta por ciudad.

PLANTA CANTIDAD DE MOTORES

1 400 2 900 3 200 4 500

Figura 4.2: Cantidad demandada por ciudad

Puerto Motores disponibles

A 500 B 700 C 800

Figura 4.3: Demanda, oferta y coste

DESTINO ORIGEN DEMANDA

1 2 3 4 A 120 130 41 62 500 B 61 40 100 110 700 C 102.50 90 122 42 800

OFERTA 400 900 200 500

En primer lugar debemos de introducir los objetos en R® como hasta ahora,

usando una matriz para indicar el coste del transporte y vectores para las

disponibilidades de la oferta, de la demanda y de la dirección. En este último caso en

particular, debemos de pensar que buscamos satisfacer la demanda, por tanto, tenemos

que cumplir la disponibilidad indicada o superar este valor, por ello su dirección será

“≥”. Mientras que para la oferta es lógico pensar que no podemos transportar más

cantidad de la fabricada por ello se indica “≤”.

Para usar la función lp.transport necesitamos definir los nuevos argumentos llamados

row.signs, row.rhs, col.signs, y col.rhs, definidos anteriormente.

Podemos obtener de R® el coste total del transporte, así como la cantidad que se

transporte a cada ciudad y desde que punto es transportada, mostrándose en una tabla


2017

Página 39

fácilmente de interpretar que nos confecciona el software (Figura 4.4), de esta forma

observamos, por ejemplo, que se transportan desde Amsterdam a Alemania 300

unidades y 100 unidades de Bélgica a Alemania, satisfaciendo la demanda total de

Alemania de 400 unidades.

Figura 4.4: Solución transporte en R®


Para la resolución de este tipo de ejercicios desde POM-QM® es necesario que lo

indiquemos en el software a través de la opción que nos ofrece llamada Transportation

Method (Location) y nos pedirá que indiquemos el número de fuentes (es decir, las

ofertas) y el número de destinatarios. Por último, es necesario que indiquemos el coste

del transporte en la tabla que nos mostrará POM-QM® y sea posible su resolución

obteniéndola en un cuadro (Figura 4.5).

Figura 4.5: Solución de Transporte en POM-QM®

La solución obtenida se puede observar que es la misma que conseguimos en

R®, aunque si es cierto que POM-QM® nos muestra además dos tablas adicionales con

un análisis del resultado obtenido así como el coste de cada transporte y el coste por

cada unidad, es decir, en el primero de los caso que se transporta desde Source 1 a

Destination 1 la cantidad de 300 unidades, le corresponde un coste total de 36.000

unidades monetarias. Esto viene del resultado de multiplicar las unidades transportadas

(300 unidades) por el coste por unidad que nos indicaba el problema inicialmente (120


2017

Página 40

unidades monetarias). Así POM-QM® nos mostrará un resumen detallado para cada uno

de los transportes obteniendo el coste total de 121.450 unidades monetarias.

4. 2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN

Los problemas de asignación cuentan con una estructura similar a lo problemas

de transporte, pero tienen varias diferencias con respecto a estos. No se trata de

encontrar la cantidad óptima para transportar, sino que la oferta y la demanda es de uno.

Para entenderlo más claramente, podemos poner el ejemplo de asignar personas a una

tarea de un conjunto que tengamos, se si hace la asignación tendrá el valor de uno y en

caso contrario se le dará el valor de cero.

Este es un caso especial de los problemas de transporte, en el que las personas son las

fuentes y las tareas los destinos, mientras que la oferta y la demanda se trata de 1 (y 0).

Definición

mín Z = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑓𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝑚

𝑖=1

s. a.

∑ 𝑓𝑖𝑗 = 1

𝑛

𝑗=1

𝑖 = 1, … , 𝑚

∑ 𝑓𝑖𝑗 = 1

𝑚

𝑖=1

𝑗 = 1, … 𝑛

𝑓𝑖𝑗 ≥ 0 ∀𝑖 , 𝑗

Las variables 𝑓𝑖𝑗 sólo pueden tomar el valor 0 o 1. Toman el valor 1 si el origen

i se hace corresponder al destino j, y 0 en caso contrario. Este tipo de problemas son

lineales, con una estructura de transporte, en el que la oferta de cada origen es de valor

uno y la demanda de cada destino también es de valor uno.

Resolución con R®

Será de forma similar a la llevada a cabo durante el transporte, pero igual que en

este caso, contará con una función específica para este tipo de problemas, lp.assign, la

cual también se puede encontrar en el paquete lpSolve.

Función

lp.assign (cost.mat, direction = "min")


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Argumentos de la función lp.assign

cost.mat: matriz de costes: el ij-ésimo elemento es el coste de asignar la fuente i al

destino j.

direction: dirección de la función objetivo "min" (el valor predeterminado) o

"máx".

Salidas de la función lp.assign

$solution: para mostrar la tabla que contiene la asignación óptima.


Para ilustrar este tipo de ejercicio mediante un software informático usaremos el

siguiente caso: hay una serie de directivos que queremos que visiten cuatro plantas,

teniendo en cuenta el coste de visita de cada uno de ellos por cada una de las plantas,

debemos de elegir la asignación óptima de visita para minimizar el coste final (Figura

4.6).

Figura 4.6: Coste por visita de cada directivo

PLANTA

Vicepresidente 1 2 3 4

Finanzas 24 10 21 11

Mercadotecnia 14 22 10 15

Operaciones 15 17 20 19

Personal 11 19 14 13

Empezaremos a resolver este problema usando R® cargando el paquete lpSolve e

incluyendo los costes que tenemos de asignación por cada directivo en cada planta

usando una matriz.

El comando que utilizaremos para llevar a cabo su resolución se denomina

lp.assign en el cual simplemente nos pedirá que introduzcamos la matriz de los costes y

la dirección, es decir, si nuestro objetivo en este caso es de maximizar o de minimizar.


2017

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Cuando le pidamos a R® la solución del ejercicio mostrará una tabla completada

con unos y ceros. Como ya hemos explicado al principio, en los casos que encontremos

unos será porque se deberá de hacer la asignación de ese directivo a la planta donde nos

indica y en los casos que nos encontremos con ceros no habrá asignación.

De esta forma, el directivo de finanzas irá a la planta dos, el directivo de

mercadotecnia se encargará de la planta tres, el de operaciones de la planta uno y por

último el directivo de personal será destinado a la planta número cuatro.


Si lo llevamos a cabo usando POM-QM®, nos encontramos ante la misma

situación que en el transporte, de forma que indicando la sección correspondiente

Assignment nos pedirá el número de máquinas y el número de trabajos, que

corresponden con el número de directivos y el número de plantas a visitar

respectivamente.

Introducimos los datos en la tabla que nos mostrará POM-QM® y pulsando sobre

Solve obtendremos el resultado de la asignación como del coste que al que se llega con

dicha asignación (Figura 4.7).

Figura 4.7: Solución Asignación POM-QM®

Podemos ver que el resultado es el mismo que el obtenido en R® solo que en este

caso saldrá expresado en color azul Assign con el coste correspondiente. En la esquina


2017

Página 43

superior de la izquierda nos aparecerá el coste total obteniendo así como toda la

información necesaria para la resolución de este ejercicio.

5. 3. ÁRBOL DE COSTE MÍNIMO

Este tipo de problemas aparecieron por la necesidad de crear una red eléctrica

entre unas ciudades teniendo en cuenta la distancia que había entre cada una de ellas, de

forma que Boruvka formuló y resolvió este tipo de problemas en 1926. Posteriormente

Robert C. Prim descubrió un nuevo algoritmo para la resolución de estos problemas en

1957 que denominó Prim. Además, este problema también fue resuelto por Joseph B.

Kruskal, mediante el algoritmo llamado Kruskal (Piedra Hernández, V. S. y Paternostro

Movilla, C. A., 2009).

Por tanto, se trata de un grafo formado por nodos, que en nuestro problema

inicial se tratarían de nuestras ciudades unidas por los arcos no dirigidos con la

correspondiente distancia que separa a cada ciudad, con el objetivo de poder hacer la

distribución de electricidad con el menor recorrido posible.

Definición

Matriz de Costo:

Sea el grafo 𝐺 = (𝑉, 𝛤), definimos la matriz de costo 𝐶 = ( 𝑐𝑖𝑗) donde

𝑐𝑖𝑗 = { 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑖 𝑎 𝑉𝑗 𝑠𝑖 (𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ) 𝑜 )𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ( ∈ 𝛤∞ 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Una vez introducidos los costos planteamos el localizar el árbol generador de mínimo

costo siendo,

grafo 𝐺 = (𝑉, 𝛤), 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝑉 ) = 𝑛, y sea C la matriz de costos.

Consideramos los elementos de C sobre la matriz principal. Sea �̂� el conjunto de

elementos de C sobre la diagonal principal ordenados de menor a mayor.

Sea 𝑇𝑛 × 𝑛 la matriz de adyacencia del árbol.

Resolución con R®

Para este tipo de problemas se han desarrollado varios tipos de algoritmos que en

R® también están disponibles mediante el paquete optrees,

que permite encontrar árboles óptimos en gráficos ponderados. En particular, este

paquete ofrece herramientas de solución para los problemas de árbol de expansión de

costo mínimo, problemas de arborescencia de costos mínimos, problemas de árbol de

trayecto más cortos y problema de árbol de corte mínimo.


2017

Página 44

Función

Podemos utilizar dentro de la misma función tres tipos diferentes de algoritmos para su

resolución

getMinimumSpanningTree(nodes, arcs, algorithm =

"Prim")


"Kruskal")


"Boruvka")

Argumentos de la función getMinimumSpanningTree

nodes: vector donde se incluyen el número de nodos.

arcs: matriz donde se recoge el valor de cada uno de los arcos.

algorithm: algoritmo con el que se quiere resolver la función (Prim, Kruskal o

Boruvka).

Salidas de la función getMinimumSpanningTree

Este tipo de funciones nos mostrarán directamente la soluciones sin necesidad de

ningún comando adicional como en los casos anteriores.


Para su puesta en práctica usaremos el ejemplo del libro de Alonso Revenga

J.M. Flujo en Redes y Gestión de Proyectos, pp. 43 que pretende crear una red de

carreteras rurales entre unos parajes naturales (Figura 4.8).

Figura 4.8: Ejercicio árbol de mínimo costo

30

15 23

10 14 21

25

17 28

32

P1

P3

P2

P4

P6

P5


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Comenzaremos usando el algoritmo denominado Prim, el cual empezará

arbitrariamente en un nodo de nuestro grafo e irá conectándose con el resto a través de

los arcos que tienen la menor distancia consiguiendo un árbol de expansión cuyo coste

sea mínimo.

En primer lugar deberemos de indicar a R® el número de nodos que tenemos y la

distancia entre cada uno de ellos usando una matriz para esto último. Los datos de la

matriz se introducirán indicando el número de los dos nodos que vayamos a indicar y a

continuación la distancia entre ellos.

Una vez que hemos introducido nuestros objetos usaremos el siguiente comando

especificando que lo vamos a resolver usando el algoritmo de Prim e introduciendo los

nodos que anteriormente indicamos cuantos tenemos y los arcos definidos por la matriz.

Directamente obtenemos la solución además de poder verlo esquemáticamente

en la esquina inferior de la derecha marcando de rojo el camino óptimo a seguir (Figura

4.9).

Figura 4.9: Árbol de mínimo coste R ®


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Además esta solución también muestra en una tabla, indicando el tipo de

algoritmo usado y teniendo en cuenta la distancia que se recorrerá con dicho camino,

calculando la distancia total óptima que se recorrerá que en nuestro caso.

Otro algoritmo que podemos usar para resolver estos problemas es el llamado

algoritmo de Kruskal que se basa en conectar arcos y no nodos como era el caso del

algoritmo de Prim, por tanto, ya no es necesario elegir un nodo de partida, sino que se

empezará con el arco con menor distancia.

Introduciendo de igual manera los datos y usando el mismo script podremos

resolver el problema con este algoritmo indicándolo en vez de escribir Prim.

Se observa que el resultado es el mismo, solo que en este caso no comienza por

el nodo uno, sino que ha comenzado por el arco de menor distancia que en nuestro caso

se trata del arco comprendido entre el nodo 3 y 4 con un peso de 10.

Por último también podremos usar el algoritmo Boruvka considerando a cada

nodo como un componente y seleccionará los arcos de menor coste que inciden en él.

Este proceso se repite con cada componente hasta conseguir así el árbol de costo

mínimo.


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Usando este algoritmo en R® llegaremos a la misma conclusión que con los

anteriores a pesar de usar diferentes algoritmos.

Este tipo de ejercicios también podrán llevarse a cabo mediante POM-QM®,

pero la diferencia con respecto R®, es que no podremos elegir el algoritmo que

queremos usar.

Resolución con POM QM®

Seleccionamos en POM QM® la sección correspondiente NetWork y al abrir una

nueva pestaña en esta sección podremos elegir entre tres tipos de problemas Minimum

Spanning Tree, Shortest Route y Maximal Flow. En este caso deberemos de

seleccionar Minimum Spanning Tree y nos pedirá en concreto el número de ramas, es

decir, el número de arcos que tiene el grafo, siendo 10 en el caso que estamos

desarrollando.

En POM-QM® se generará una tabla para que indiquemos de dos en dos nodos

la distancia que hay entre ellos, es decir, al igual que en R® se hace mediante un matriz

en POM-QM® se hará mediante una tabla de forma más simple.

La primera tabla que nos ofrece este programa como solución es la que incluye

los datos que hemos introducimos junto con dos columnas más llamadas Include y

Cost. La primera se usará para poder marcar con una Y aquellos caminos por los que se

pase en la solución y en dicho caso se rellenarán las casillas correspondientes de Cost

para poder sumar así el coste total de los caminos por los que se pasa. Para poder ver la

solución de forma más clara, POM-QM® ofrece una tabla que podemos desplegar en la

esquina inferior de la izquierda, conteniendo toda la informa necesaria sobre la solución

y coincidiendo con la solución obtenida en R® (Figura 4.10).


2017

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Figura 4.10: Solución Árbol de Costo Mínimo en POM-QM®

5. 4. ARBORESCENCIA DE COSTE MÍNIMO

Este tipo de ejercicios parten del problema tratado anteriormente pero con la

condición de que el grafo es dirigido, es decir, los arcos suelen representarse con una

flecha indicando en la dirección.

Definición

Sea el grafo 𝐺 = (𝑉, 𝛤), 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝑉 ) = 𝑛, y sea C la matriz de costos.

Fijar V0 (raíz de la arborescencia) y construir una arborescencia T. Sea T la matriz

booleana de la arborescencia construida.

Etiquetar cada vértice Vi con 𝑑𝑖 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜) de V0 a Vi en T (cuando 𝑉0 =

𝑉𝑖 , 𝑑𝑖 = 0).

Para todo 𝑖, 𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, (𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ) ∈ 𝛤 𝑠𝑒𝑎 𝑠𝑖𝑗 = 𝑑𝑗 − 𝑑𝑖 − 𝑐𝑖𝑗 .

Escoger 𝑠𝑟𝑘 = 𝑚á𝑥 (𝑠𝑖𝑗).

Resolución con R®

Para la resolución de este tipo de problemas usaremos la función

getMinimumArborescence donde usará el algoritmo de Edmonds para la resolución de

este tipo de ejercicios que se encuentra dentro del paquete optrees, explicado en el

apartado anterior.

Función

getMinimumArborescence(nodes,arcs,algorithm =

"Edmonds")

Argumentos de la función getMinimumArborescence



algorithm: algoritmo con el que se quiere resolver la función (Edmonds).

Salidas de la función getMinimumArborescence


2017

Página 49

Al igual que en el caso anterior, este tipo de funciones nos mostrarán directamente la

soluciones sin necesidad de ningún comando adicional como en los casos anteriores.

Aplicación práctica de la función getMinimumArborescence

Si consideramos el mismo ejercicio anterior pero en este caso dirigido en la

siguiente dirección contamos con el grafo que se muestra en la Figura 4.11.

Figura 4.11: Ejemplo dirigido

30

15 23

25

10 21

17 28

32

Empezamos como los demás problemas, indicando el número de nodos y la

matriz correspondiente de los nodos con sus arcos, en este caso, la introducción de estos

datos coincidirá con la definición de los datos realizada para el árbol de coste mínimo,

teniendo en cuenta que la introducción de datos de la matriz para este tipo de ejercicios

habrá que considerar la dirección de los arcos para ponerla de tal forma en la matriz.

Lo importante será la función que usaremos, getMinimumArborescence, el cual pedirá

que indiquemos el vector que contiene el número de nodos, la matriz de nuestro grafo y

el algoritmo a usar (Edmonds).

La solución aparecerá expresada de forma similar al anterior, ejemplo, por un

lado contaremos con la tabla resumen donde nos indica por los arcos que pasamos y el

coste total que se tiene con dicho camino y a la derecha podremos ver el dibujo de este

camino señalado en rojo además de marcarnos la dirección, ya que los arcos son

representados mediante flechas. En este caso en particular el camino a seguir será por

los nodos: 1-2, 1-3, 3-4, 4-5 y 5-6 con un coste total de 85 (Figura 4.12).

P1

P3

P2

P4

P6

P5


2017

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Figura 4.12: Arborescencia de coste mínimo R ®

Este tipo de ejercicios no pueden ser resueltos con POM-QM® ya que no cuenta

con una sección para este tipo de problemas, por tanto, observamos que el paquete

optrees de R nos da una serie de funciones más completas que con las que nos podemos

encontrar en el software de POM QM®.

5. 5. ÁRBOL DEL CAMINO MÁS CORTO

En muchas ocasiones nuestro objetivo es encontrar el camino más corto entre

dos nodos, de forma que se recorra la menor distancia posible, nos centraremos en

buscar todos los caminos más cortos desde un nodo inicial a los demás.

Definición

Se busca determinar un camino de longitud mínima entre un vértice de origen y un

destino en un grafo.

Tenemos un grafo con n vértices (numerados 1, 2, . . . , n).

Para cada arco (i, j) existe un número dij ≥ 0 que representa la distancia (coste,

tiempo...) desde el vértice i al vértice j.

Si no existe el arco (i, j) se dice que ambos vértices no están conectados directamente y

la distancia asociada es 𝑑𝑖𝑗 = +∞.

Pueden existir los arcos (i, j) y (j, i) pero las distancias ser distintas, es decir 𝑑𝑖𝑗 ≠ 𝑑𝑗𝑖.

Resolución con R®

El algoritmo Dijkstra podrá ser aplicado en R® con nuestro paquete optrees gracias al

comando getShortestPathTree en el cual, a partir de la definición previa de nuestros

nodos y las distancias, ofrece la opción de elegir el algoritmo que queremos usar para

este tipo de problemas.

Función

getShortestPathTree(nodes, arcs, algorithm)


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Argumentos de la función getShortestPathTree



algorithm: algoritmo con el que se quiere resolver la función (Dijkstra o Bellman-

Ford).

Salidas de la función getShortestPathTree

Mostrará directamente las soluciones sin necesidad de ningún comando adicional como

en los casos anteriores.

Aplicación práctica de la función getShortestPathTree

Utilizando de ejemplo el ejercicio que hemos resuelto en los apartados

anteriores, la indicación de los datos será de forma idéntica, pasando a introducir el

comando getShortestPathTree que nos pedirá que indiquemos los nodos, la matriz de

los pesos y el algoritmo con el cual resolverá nuestro ejercicio.

R® mostrará la solución tanto de forma esquemática, indicando en rojo los

caminos más cortos desde el nodo uno a cada uno de los demás nodos, así como en una

tabla resumen (Figura 4.13).

Figura 4.13: Solución camino más corto R®

La solución que obtenemos es que el menor camino que nos lleva desde el nodo

uno al nodo dos es de 25, del nodo uno al nodo tres 15, del nodo uno al nodo cuatro 25 (

acumulado de sumar 15, del nodo uno al tres, y 10, del nodo tres al cuatro), del nodo

uno al cinco 30 y del nodo uno al seis 51( resultante de sumar 30, del nodo uno al cinco,

y 21, del nodo cinco al seis).

Otra forma de resolver este tipo de problemas sería mediante la aplicación del

algoritmo de Bellman-Ford. Este algoritmo tiene el mismo objetivo que el algoritmo de

Dijkstra e intenta dar solución a este tipo de problemas, pero su gran diferencia, es que


2017

Página 52

intenta solventar el principal problema que nos encontramos con el algoritmo de

Dijkstra, es decir, no poder resolver problemas con arcos negativos. Aparte de poder

resolver ejercicios con arcos negativos, el algoritmo de Bellman-Ford se basa, al igual

que el algoritmo de Dijkstra, en encontrar el camino más corto desde uno nodo inicial a

cada uno de los restantes nodos.

Para poder ver este tipo de ejercicio con un ejemplo práctico usaremos el

problema anterior cambiando algunos arcos con pesos negativos (Figura 4.14).

Figura 4.14: Ejemplo arcos negativos

30

-15 23

25 10 21

17 28

-32

Podemos resolver este ejercicio introduciendo tanto el número de nodos como

los datos correspondientes a los pesos con una matriz como hemos hecho en el caso

anterior. Además el script será el mismo, solo tendremos que tener en cuenta, que en

este caso con pesos negativos deberemos de usar el algoritmo de Bellman-Ford cuando

R® nos pida que indiquemos con que algoritmo queremos resolver el problema.

Obviamente el resultado cambiará para algunos caminos, como es el caso de la

distancia más corta entre el nodo uno y tres que tendremos de resultado -15. Otro

ejemplo sería en el caso de ir del nodo uno al cuatro, que en este ejemplo decidiremos ir

del uno al dos y del dos al cuatro, ya que este último arco tiene un valor negativo de 32

y compensará con creces pasar por este, asumiendo el valor del arco inicial del nodo

uno al dos con 25 positivo (Figura 4.15).

P1

P3

P2

P4

P6

P5


2017

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Figura 4.15: Solución en R® con Bellman-Ford

En el caso de intentar hacer un problema con arcos negativos usando el

algoritmo de Dijkstra R® nos mostrará un mensaje de error indicando que dicho

algoritmo no puede procesar pesos negativos.


Este tipo de problemas si pueden resolverse con POM-QM® a diferencia del

anterior tipo de problema, para ello este software cuenta con una sección en concreto

dentro de Networks llamada Shortest Route, no obstante, no podremos elegir el tipo de

algoritmo que queremos aplicar a diferencia del software R®, ya que POM-QM® sólo

nos permite elegir el tipo de problema que queremos solucionar.

Para su resolución será necesario que indiquemos el número de arcos que tiene el grafo

y si se trata de un problema dirigido o no dirigido. Una vez que le hemos indicado a

POM-QM® la información inicial que necesita, de nuevo tendremos que introducir los

datos acerca de las distancias que hay entre cada nodo, es decir, resultará una tabla

como la mostrada en la figura.

Lo primero que POM-QM® muestra es una tabla donde se refleja el camino más

corto desde el nodo uno (inicial) al seis (final), sumando los pesos por los que pasa.

Para ver el camino más corto para cada uno de los nodos desde el nodo inicial uno,

podremos desplegar la tabla que aparece en la esquina inferior de la izquierda, en la cual

se muestra de forma detallada el camino más corto para cada caso. Debido a que hemos

indicado que se trata de un problema dirigido, en la tabla que nos mostrará POM-QM®

aparecerá escrito No path en aquellas casillas que no corresponde su cálculo, es decir,

aquellas que irían en contra de la dirección señalada (figura 4.16).


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Figura 4.16: Solución camino más corto POM-QM®

Si quisiéramos resolver un ejercicio con pesos negativos POM-QM® no podría

ser una opción, ya que directamente si intentamos meter algún valor con signo negativo

en la tabla inicial de introducción datos, nos mostrará una ventana indicando que no

permite que se indiquen valores negativos. Por tanto, sabemos que POM-QM® no

utiliza el algoritmo de Bellman-Ford para resolver este tipo de problemas.

5. 6. PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO

Supongamos que somos los gerentes de una empresa de electricidad y queremos

llevar la electricidad de nuestra empresa hasta la ciudad que nos demanda la necesidad.

En este caso nuestro objetivo sería tratar de transportar la mayor cantidad posible de

electricidad. Tendremos en cuenta que debemos de pasar por unos nodos y por tanto por

unos arcos para llegar a mi nodo destino, así cada arco tendrá una capacidad máxima

que puede transportar. Por tanto, nuestro objetivo se trata de transportar la cantidad

máxima posible de electricidad sujeta a las limitaciones que presenta la capacidad

mostrada en un grafo.

Este tipo de problemas nos pueden servir de mucha ayuda sobre todo en el

ámbito empresarial a la hora de hacer algún tipo de distribución con la mayor capacidad

posible, además de ser problemas que puedan presentar grandes variantes dentro de esta

misma categoría, por tanto, sería interesante un previo y rápido estudio antes de

comenzar con su resolución mediante los softwares informáticos.

Definición

En primer lugar, tenemos que considerar que en este tipo de problemas se

contará con tres tipos de nodos, un nodo fuente del cual saldrá el flujo y del cual solo

parten arcos, un nodo destino que es el generador de la demanda y por tanto solo le

llegan arcos y los nodos de transición por los cuales pasarán nuestros flujos y por tanto

de ellos saldrán y les llegarán arcos.


2017

Página 55

Cuando el flujo llega a un nodo de transición puede ser que ocurran tres cosas,

que simplemente pase el flujo y salga la misma cantidad que entró, que en el momento

en que entra el flujo en el nodo de transición no salga y que la cantidad que entre en este

nodo sea menor a la que vaya a salir de él, es decir, en este último caso el nodo

aumentaría la cantidad recepcionada.

Los arcos en estos problemas suelen ser dirigidos ya que nuestro objetivo es ir

desde un punto de origen a un punto de destino. La información que podemos tener

sobre los arcos puede ser variada, por un lado nos indicarán la capacidad máxima que

tendrá cada uno, en algunas ocasiones puede ser que los arcos también tengan una

cantidad mínima que deberá de pasar por este y también pueden llevar un coste asociado

por cada unidad que pase por el arco.

Si nuestro objetivo se trata de maximizar el flujo de una red consideraremos un

único nodo de origen y un único nodo de destino siendo el resto de los nodos de

transición sin aumentar su capacidad y sin suponer ningún coste.

Resolución con R®

Para llevar la resolución de este tipo de problemas en R® usaremos el paquete

igraph donde encontraremos la función llamada max_flow, la cual permite calcular el

flujo máximo entre dos vértices en un grafo, con una capacidad de flujo dada.

Función

max_flow(graph, source, target, capacity = NULL)

Argumentos de la función max_flow

graph: el grafo.

source: nodo que es el de origen.

target: nodo que es el sumidero.

capacity: vector que da la capacidad de los arcos. Si es NULL (por defecto) la

capacidad es la que se asigna en los atributos definidos en el grafo.

Salidas de la función max_flow

La salida que muestra es una lista con los siguientes valores:

value: un escalar con el valor del flujo máximo.

flow: un vector con los flujos de cada arco.

cut: un vector con los vértices en el corte

partition1: los nodos de una de las dos particiones del corte


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partition2: los vértices de la segunda partición del corte.

stats: una lista con información sobre los algoritmos utilizados.

Aplicación práctica de la función max_flow

Considerando que la empresa Energy quiere transportar energía desde su central

hasta la ciudad más cercana, tendrá que pasar para ello por cuatro nodos de transición.

Queremos maximizar el flujo de energía siendo la central el nodo uno, la ciudad el nodo

seis y el resto, así como sus arcos, vienen representados en la Figura 4.17.

Figura 4.17: Grafo de electricidad

9

10 8

5

6 15

20

Para la introducción de los grafos se debe indicar cada uno de los arcos que

contiene a través de un vector para cada uno, utilizando el comando “rbind” que permite

agruparlos. Usaremos el mismo ejemplo planteado anteriormente para poder comprobar

que el resultado obtenido coincide realizándolo a través de esta función.

A continuación debemos de dar nombre las columnas para posteriormente poder

crear el grafo mediante la función graph_from_data_frame indicándole los arcos que

anteriormente hemos introducidos y nombrado.

A diferencia de la anterior función no nos muestra directamente el grafo

representado, no obstante, podemos crearlo usando la función plot e indicando el grafo

que se quiera representar, a continuación se muestra el comando necesario para su

representación, así como el resultado gráfico obtenido con ella (Figura 4.18).

1

6

2

5 3

4

4


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Figura 4.18: Representación grafo con Plot en R®

La representación del grafo es solamente opcional, ya que podemos resolver el

ejercicio sin necesidad de hacer esta representación, sin embargo, con ella se puede

observar con bastante claridad el problema.

Una vez indicados todos los datos necesarios del problema pasamos a su

resolución con la función max_flow en la cual debemos de indicar el nodo de origen en

source, el nodo de destino target y el grafo en graph. También se puede indicar su

capacidad en capacity, sin embargo, si ya la hemos indicado, como es nuestro caso, no

le introducimos los valores usando NULL y así considere los indicados anteriormente,

Al introducir la función no se mostrará directamente la solución, sino que

debemos pedir que la muestre mediante el comando $value el cual mostrará el flujo y el

comando $flow que mostrará los flujos en los arcos.

Para el ejercicio puesto en práctica se obtiene un flujo de 17 y los flujos de los

arcos del nodo 1-2, 1-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-6 y 5-6 es de 7, 10, 2, 5, 6, 4, 8 y 9

respectivamente.


El problema de máximo flujo puede ser resuelto mediante POM-QM® ya que

cuenta con una pestaña específica para este tipo de ejercicios dentro de la opción de

Networks llamada Maximal Flow.


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Debemos de indicar, como anteriormente, el número de ramas con las que

cuenta nuestro problema, y a partir de esta información, introducimos la capacidad que

tendrá cada uno de los arcos.

En este caso también se incluye una columna llamada Reverse Capacity en la

cual se podrá indicar si hubiese capacidades negativas, ya que en la columna anterior de

Capacity, no nos deja indicar valores negativos.

Una vez que obtenemos la solución POM-QM® nos mostrará una tabla (Figura

4.19) con el flujo máximo posible y cada uno de los arcos con sus capacidades. No

obstante, también nos permite ver un tabla donde se muestran los caminos con cada

capacidad que tendrán cada uno y por tanto el flujo acumulado, siendo el máximo que

se pueda transportar.

Figura 4.19: Solución flujo máximo POM-QM®

5. CONCLUSIÓN

A partir de los conocimientos básicos adquiridos durante el estudio teórico de

Investigación Operativa en el grado, se ha podido desarrollar esta investigación para su

aplicación en diferente softwares, que nos permite concluir y demostrar que lo ideal es

poder usar un conjunto de ellos, que permita obtener una información completa y detalla

sobre los posibles problemas a los que nos enfrentemos, como evitar algunos errores

que pudiesen contener.

Tras este proyecto, podemos observar como R® nos permite realizar una gran

variedad de problemas, no solo ofrece una gran cantidad de paquetes para la

Investigación Operativa, sino que también (aunque no se haya llevado a cabo en este

estudio) en muchas otras ramas. POM-QM® ofrece una metodología muy sencilla de

entender, pero no podemos resolver todos los tipos de problemas que hemos planteado,

al menos, en esta investigación, a pesar de ser un software orientado principalmente al

ámbito de la Investigación Operativa.


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Una de las partes más importantes y que considero que da mucho valor al

software R® es el hecho de que sea un programa formado por aportaciones de muchas

personas, es decir, está formado por los paquetes que desarrollan y lo aportan al

software para un uso colectivo de los demás. Esto ha permitido que las deficiencias del

software puedan ser compensadas por otra persona. No obstante, hay que considerar,

que debido a que estas aportaciones, aunque en la mayoría de sus son casos correctas y

completas, pueden surgir errores en algunas de ellas, pero por ello se han desarrollado

una gran variedad paquetes, gracias a la gran cantidad de aportaciones que se pueden

hacer, como con otros softwares, para asegurar su correcto funcionamiento.

Es interesante destacar también la facilidad para obtener el software R® ya que

se puede conseguir de forma gratuita, a diferencia de POM-QM®, el cual no es libre y

necesitamos una licencia. Aunque la Universidad facilita el acceso a algunos de estos

programas, en ocasiones no se obtiene el rendimiento deseado, ya sea por la versión

disponible o por compatibilidades con los ordenadores personales.

Aunque la forma de trabajar con POM-QM® sea más sencilla a priori que R®,

una vez que se adquieren los conocimientos básicos sobre su funcionamiento se

convierte en un software más sencillo de lo que inicialmente se pueda pensar, ya que si

se comprende el uso de los paquetes y se sabe obtener información sobre ellos, puede

volverse, en la mayoría de los casos, un programa rutinario.

Finalmente, esta investigación nos ha permitido profundizar en un tema que

actualmente es la realidad en el mundo laboral y que nos ayudará a poder

desenvolvernos ante diferentes situaciones con los softwares informáticos que puedan

ser necesarios en un futuro utilizar.

6. BIBLIOGRAFÍA

Alonso Revenga, J.M. (2008), Flujo en Redes y Gestión de Proyectos,

Universidad Complutense de Madrid, Ed: Gesbiblo, S.L.

Céspedes Trujillo, N. (2007), Programación Lineal: su aplicación a los

procesos agropecuarios, Cuba, Ed: Universitaria.

Chavez Quisbert, N. (2011) “Modelos de programación lineal y no lineal con

multiobjetivos”, Revistas Bolivianas, La Paz. Disponible on line:


2017

Página 60

http://www.revistasbolivianas.org.bo/scielo.php?pid=S9876-

67892011000100007&script=sci_arttext

Eppen, G.D., Gould, F.J., Schmidt, C.P., Moore, J.H., Weatherford, L.R. (2000),

Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa, México, Ed: Pearson.

Fontenla Cadavid, M. (2014), Optimal Trees, Coruña, Disponible on line:

http://eio.usc.es/pub/mte/descargas/ProyectosFinMaster/Proyecto_1075.pdf.

Frías Bustamante, M., Martínez Rodríguez, A. (2006), Programación Lineal

Una Introducción, Universidad de Jaén, Ed: Grupo Editorial Universitario.

Guerrero Salas, H. (2009), Programación Lineal aplicada, Bogotá, Ed: Ecoe

Ediciones.

Ipanaqué Chero, R. y Velesmoro León, R. (2005), BREVE MANUAL DE

MATHEMATICA 5., Perú, Ed: grupo eumed.net. Disponible on line:

http://www3.uji.es/~planelle/APUNTS/IAQ/manual_math.pdf.

Kong, M. (2010), Investigación de operaciones: programación lineal.

Problemas de transporte. Análisis de redes, Perú, Ed: Fondo Editorial de la Pontificia

Universidad Católica del Perú.

Martín Martín, Q. (2003), Investigación Operativa. Salamanca, Ed: Salamanca:

Hespérides, D.L.

Martínez Rodríguez, A.M. (2017), Redes de Transporte, disponible en la

plataforma de la Universidad de Jaén, Ampliación de Investigación Operativa.

Morales Medina, M.A. (2006), La leyenda de Dantzig. Disponible on line:

http://gaussianos.com/la-leyenda-de-dantzig/.

PHPSimplex (2006), Teoría del método simplex, Teoría. Disponible on line:

http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm.

Piedra Hernández, V. S. y Paternostro Movilla, C. A. (2009), Aplicaciones de la

Tería de Grafos en la Informática, Bogotá, Disponible on line:

http://javeriana.edu.co/biblos/tesis/ciencias/tesis341.pdf

Ramos, A. Investigación Operativa y Optimización, Universidad Pontificia

Comillas Madrid. Disponible on line:

https://www.iit.comillas.edu/aramos/simio/transpa/t_mod1_ar.pdf.

R Seek. Disponible on line: http://rseek.org/.

http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm


2017

Página 61

Rodriguez Huertas, R. y Gámez Mellado, A. (2002), Investigación Operativa

Teoría, Ejercicios y Prácticas con ordenador, Universidad de Cádiz, pp. 133- 155 Ed:

Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz.

S. Hillier, F., J. Lieberman, G. (2010), Introducción a la Investigación de

Operaciones, Stanford University, Ed: McGraw-Hill Interamericana.

The R Project for Statistical Computing. Disponible on line: https://www.r-

project.org/.

resolución de problemas de investigación operativa

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