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Resolução de Questões das Listas de Cálculo de Uma Variável: 2007-2 Monitor: Farley de Freitas Alves Orientadora: Marlene Dieguez Fernandez

1 de 28

Exercícios resolvidos:

Cálculo I -A- Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I Cálculo Aplicado I

Lista Questão Lista Questão 1 20 1 201 36 1 361 40 1 401 43 1 432 3 2 33 1 3 14 6 4 64 24 4 245 8 5 88 3 8 39 13 9 139 14 9 1412 10 12 1013 7 13 716 6 16 618 21 17 30


2 de 28

Lista 1

Questão 20) x5²xx5²x −<− Como ℜ∈∀= x²x²x

0x5²xx5²x

x5²xx5²x

<+−−

−<−

Onde:

( )( )

⎩⎨⎧

<−>

=

⎩⎨⎧

<<−−≥≤−

=−

0xsex50xsex5

x5

5x0sex5²xxou0xsex5²x

x5²x 5

Para simplificar o lado esquerdo da inequação nos intervalos adequados, montaremos o quadro a seguir:

x<0 x=0 0<x<5 x=5 x>5 A= x5²x − x5²x − 0 )x5²x( −− 0 x5²x −

B= ²x− -x² 0 -x² -25 -x² C= x5 -5x 0 5x 25 5x

A+B+C 0 0 -2x²+10x 0 0 - Se : 0x ≤

falso 00 →< - Se 0<x<5:


3 de 28

5xou0x0x5²x

0x5²x

0x10²x2

≥≤→>−

<+−

<+−

Porém, ] ] [ [( ) ] [=+∞∞− IU 5,0,50, Ø. Logo, o intervalo encontrado não é solução do problema. - Se x=5:

falso00 →< - Se x>5

falso00 →< Portanto, não existe tal que ℜ∈x x5²xx5²x −=− , ou seja, a solução é o conjunto vazio.


4 de 28

Lista 1

Questão 36)

] ] [U +∞∞−=⇒≥−

∈∀≥−=

,20,domf0x2²x

domfx0)x(f,)2x(x)x(f

[

Fazendo y=f(x)

x2²xy −=

Com o objetivo de escrever a equação acima como ( ) ( )

1²b

²yy²a

²xx cc =−

±−

, usaremos o

seguinte recurso para completar quadrados: 11x2²x²y −+−= Assim, a igualdade continua sendo verdadeira e podemos escrever a equação da seguinte forma: 1)²1x(²y −−= hipérbole de centro (1,0) 1²y)²1x( =−− Portanto, o gráfico desta hipérbole seria:


5 de 28

Mas, de acordo com a restrição feita no início da questão, . Logo, o gráfico será: 0y ≥


6 de 28

Lista 1

Questão 40)

⎩⎨⎧

>−<≤≤−−+

=5xou5xse4

5x5se²x254)x(g

Como g(x)=4 se x<-5 ou x>5, começaremos esboçando a parte do gráfico com . [ ]5,5x −∈

Fazendo ²x25)x(h −= , teremos que )x(h4)x(g += se [ ]5,5x −∈ . Portanto, para esboçar o gráfico de g(x) para todo [ 5,5x − ]∈ , basta transladar o gráfico de h(x) em 4 unidades na vertical para cima. Esboçando o gráfico de h(x):

[ ]{ }

)x(domhx0y,²x25y

5,5x,x)x(domh,²x25)x(h

∈∀≥−=

−∈=−=

Elevando ambos os membros ao quadrado:

²5²y²x

²x25²y

=+

−=

( )( )

⎩⎨⎧

<−>

=

⎩⎨⎧

<<−−≥≤−

=−

0xsex50xsex5

x5

5x0sex5²x5xou0xsex5²x

x5²x

Como , o gráfico de h(x) será a semi-circunferência: 0y ≥


7 de 28

Transladando o gráfico de h(x) em 4 unidades na vertical para cima e adicionando o pedaço do gráfico nos intervalos x<-5 e x>5 teremos o gráfico de g(x).


Lista 1

Questão 43)

1x

3x4²x)x(f

−

+−=

Achando as raízes do numerador e analisando os sinais desta função:

⎩⎨⎧

==

⇒±−

=

±−=

=∆−=∆−=∆

=+−

1x3x

224x

1.244x

41216

1.3.41603x4²x

Esboço do gráfico de para analisar seus sinais: 3x4²x +−

03x4²x3xou1x ≥+−⇒≥≤

8 de 28

03x4²x3x1 <+−⇒<<


9 de 28

x<1 x=1 1<x<3 x=3 x>3

A= 3x4²x +− 3x4²x +− 0 ( )3x4²x +−− 0 3x4²x +−

B=(x-1) x-1 0 x-1 2 x-1

BA x-3 ∃ -(x-3) 0 (x-3)

Logo, o gráfico será:


10 de 28

Lista 2

Questão 3)

e ⎩⎨⎧

≥<−

=0x²,x0x,x

)x(f⎩⎨⎧

≥

<=

0x,x

0x),x1(g(x)

a) ))x(g(f)x)(fog( =

* Se x<0

x1g(x) =

Portanto )x1(f))x(g(f = Mas, como x<0, 0x

1 < . Assim, usaremos -x f(x) =

Então:

x1)x)(fog()x1(f −

==

* Se 0x ≥

x)x(g = Portanto:

)x(f))x(g(f =

Porém 0x0x ≥∀≥ Assim, usaremos: ²xf(x) = Logo, x)²x()x(f == Portanto:


11 de 28

⎩⎨⎧

≥<−

=0xsex0xsex1

)x)(fog(

b) ))x(f(g)x)(gof( =

* Se 0x ≥

²)x(g))x(f(g²x)x(f=

=

Como , usaremos 0x0²x ≥∀≥ x)x(g = Portanto:

x²x²)x(g ==

Como xx,0x =≥ Logo, , x)x)(gof( = 0xse ≥ * Se x<0

)x(g))x(f(gx)x(f

−=−=

Como x<0, -x>0. Usaremos, então, g(x)= x . Portanto: x)x(g −=− Logo:

⎩⎨⎧

≥<−

=0xsex0xsex)x)(gof(


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Lista 3

Questão 1) Comentário inicial: Dizer que x tende a pela esquerda( ) não significa fisicamente ou visualmente pela esquerda, mas por números menores que

0x −→ 0xx

0x . Dizer que x tende a pela direita( ) não significa fisicamente ou visualmente pela direita, mas por números maiores que

0x +→ 0xx

0x . Feito este comentário podemos iniciar a questão: g(x).h(x)f(x) = )x(hlim).x(glim)x(flim

1x1x1x +++ →→→=

Observando no gráfico: )2.(3)x(flim

1x−=

+→

6)x(flim

1x−=

+→

Calculando agora: )x(hlim).x(glim)x(flim

1x1x1x −−− →→→=

Observando nos gráficos de g(x) e h(x): 4.1)x(flim

1x=

−→

4)x(flim

1x=

−→


13 de 28

))x(g(h)x(f)x)(hog()x(f

==

Calculando ))x(g(hlim

1x +→

Quando , a função , pois tende a 3 por valores maiores que 3. +→1x +→ 3)x(g Então, podemos dizer que: ))x(g(hlim))x(g(hlim

3)x(g1x ++ →→=

Para saber quanto vale este limite, devemos olhar no gráfico qual o limite da função h quando a variável a qual h está sendo aplicada tende para . Logo: +3 0)x(hlim))x(g(hlim

3x3)x(g==

++ →→

Portanto:

0)x)(hog(lim1x

=+→

Calculando ))x(g(hlim

1x −→

Quando , pois tende a 1 por valores maiores que 1. +− →→ 1)x(g,1x Logo, 2)x(hlim))x(g(hlim))x(g(hlim

1x1)x(g1x−===

++− →→→

Portanto:

2)x)(hog(lim1x

−=−→


14 de 28

Lista 4

Questão 6)

5)1²()10)...(2)(1(lim

++++

∞→ xxxx

x

O numerador possui 10 fatores e todos eles possuem o termo x. Quando efetuarmos o produto, o termo de maior grau será . 10x O denominador terá o termo de maior grau, após efetuar a potenciação, . 10x Colocando em evidência no numerador e no denominador teremos: 10x

)1()1(lim

)1()1(lim 10

10

ba

bxax

xx ++

=++

∞→∞→

Onde a e b representam uma soma de n termos nos quais todos apresentam uma constante dividida por alguma potência inteira positiva de x. Quando ∞→x , a e b tendem para zero. Portanto,

1)1()1(lim =

++

∞→ ba

x

Logo,

1)1²(

)10)...(2)(1(lim 5 =+

+++∞→ x

xxxx


Lista 4

Questão 24)

)x6tan()x4tan()x2tan(

)x5(sen)x3(sen)x(senlim0x→

Preparando a função para usarmos o limite trigonométrico fundamental 1x

senxlim0x

=→

e

lembrando que podemos usar uma mudança de variável para fazer 1)x(g

))x(g(senlim0xx

=→

, onde

. 0)x(glim0xx

=→

)x6tan()x4tan()x2tan(

x5.x3.xx5.x3.x

)x5(sen)x3(sen)x(senlimx5.x3.xx5.x3.x

)x6tan()x4tan()x2tan()x5(sen)x3(sen)x(senlim

0x0x →→=

Usando a propriedade de limite que diz que o limite de um produto é igual ao produtos dos limites temos:

=→→→→ )x6tan()x4tan()x2tan(

x5.x3.xlim.x5

)x5(senlim.x3

)x3(senlim.x

)x(senlim0x0x0x0x

x5.x3.xx5.x3.x

15 de 28

)x6cos()x4cos()x2cos(11lim.

)x6(sen)x4(sen)x2(senx5.x3.xlim

)x6cos()x4cos()x2cos(11

)x6(sen)x4(sen)x2(senx5.x3.xlim

)x6cos()x6(sen

)x4cos()x4(sen

)x2cos()x2(sen

x5.x3.xlim

)x6tan()x4tan()x2tan(lim

)x6tan()x4tan()x2tan(lim.1.1.1

0x0x

0x0x

0x0x

→→

→→

→→

=

==

===

1


16 de 28

Pois, quando . ⎪⎩

⎪⎨

⎧

→→→

→1)x6cos(1)x4cos(1)x2cos(

,0x

Preparando novamente para usar o limite trigonométrico fundamental 1x

senxlim0x

=→

:

.165

4815

6.4.25.3.1

)6.4.2³(x)5.3.1³(xlim

x6.x4.x2x5.x3.xlim.

x6.x4.x2)x6(sen)x4(sen)x2(sen

1lim

x6.x4.x2x6.x4.x2).x6(sen)x4(sen)x2(sen

x5.x3.xlim

0x

0x0x0x

===

==

→

→→→

1

Logo,

165

)x6cos()x4cos()x2cos()x5(sen)x3(en)x(senlim

0x=

→


17 de 28

Lista 5

Questão 8)

00

8x26xlim 3

3

2x→

++−

−→ (indeterminado)

Lembrando que ²)bab²a)(ba(³b³a +−+=+ , podemos fazer 3 6xa −= e . Assim

podemos usar o produto notável para obter

2b =³2)³6x(3 +− e “sumir” com a raiz cúbica. Fazendo

isso:

²)26x.2)³6x((1

)8x(2xlim

²)26x.2)³6x((1

)8³x(86xlim

²)26x.2)³6x((1

)8³x(³2)³6x(lim

²)26x.2)³6x((²)26x.2)³6x((

8x26xlim

332x332x

33

3

2x33

33

3

3

2x

=

→

+−−−++

=+−−−+

+−

=+−−−+

+−=

+−−−+−−−

++−

−→−→

−→−

Podemos observar que x³ e 8 são cubos perfeitos. Então, como temos uma soma de dois cubos, podemos usar o mesmo produto notável para fatorar )8³x( + em )4x2²x)(2x( +−+ . Note

que, fazendo isto, apareceu um fator no denominador, que pode ser cancelado com o que está no numerador. Desta forma estaremos cancelando do numerador e do denominador fatores que os anulam e assim, provavelmente, desfazendo a indeterminação.

)2x( +

Portanto:

⇒=++++

=+−−−−−−+−−−

=

=+−−−+−+

+=

+−−−++

−→−→

121

121

)444(1

)444(1

)462.2)²62((1

)²)2()2(2)²2((1

²)26x.2)³6x((1

)4x2²x)(2x(2xlim

²)26x.2)³6x((1

)8x(2xlim

33

332x332x

1441

8x26xlim 3

3

2x=

++−

⇒−→


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Lista 8

Questão 3) V Volume do cilindro Pela fórmula de aproximação linear temos: x).x(ff 0 ∆′=∆ Para o problema da questão: h).h(VV 0 ∆′=∆ Considerando o módulo de ambos os membros

h.)(hVV 0 ∆′=∆ ( I ) O volume do cilindro é dado por: h².r.V π= , mas h = r Portanto, ³h.V π= Derivando em relação a h: ²h..3)h(V π=′ Substituindo na expressão ( I ): )h(V′

h%.31h

h301,0h

²h..3³h..01,0h

³h..01,0h².h..3

V.01,0h.)(hV

V.01,0V

0

≤∆

≤∆

≤∆

≤∆

≤∆′

≤∆

ππ

ππ

Logo, o erro máximo em h é h%.31


Lista 9

Questão 13) volume de água no reservatório →V altura de água no reservatório →h →r raio da base do cilindro formado pela água no reservatório

Temos que 3

h².r.V π= e que s

³m1.0dtdV

= .

Devemos derivar a função V em t para que possamos achar dtdh , que é a velocidade com a qual

o nível da água sobe no reservatório. Porém, o volume é função do raio e da altura e, para

conseguirmos achar dtdh , precisamos achar uma relação entre r e h.

Esta relação pode ser obtida na seguinte forma:

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

L

19 de 28

Portanto:

3r.2r

15h.10r

15h

10r

=⇒=⇒=

Substituindo r na função V:

³h.274Vh

9²h.4

3Vh.)²3h2.(

3V πππ

=⇒=⇒=

Derivando os dois membros da equação acima em t:

dtdh

9²h.4

dtdV π

=

Substituindo os valores de dtdV e h dados no enunciado:

dtdh².5.

941.0 π

=

ogo:

sm

.1009.0

dtdh

π=


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Lista 9

Questão 14)

x → distância entre o ponto da praia que dista 3km do farol e o ponto em que o raio “toca” na praia

Lembrando que em toda fórmula trigonométrica o ângulo é medido em radianos, podemos fazer:

minrad16

minrad2.8rpm8 ππ ==

Por tanto, a velocidade angular )dtd( θ é minrad16π .

O problema que saber a velocidade do raio de luz ao longo da praia, ou seja, )dtdx( . Para isso, precisamos de uma relação entre x e uma outra grandeza sobre a qual tenhamos dados. Esta outra grandeza é θ e a relação é:

3xtan =θ

Derivando ambos os membros em t:

)I(dtd.²sec.3

dtdx

dtdx

31

dtd.²sec θθθθ =⇒=

Quando º45,º45 == θα . Logo, 2sec =θ . Substituindo θsec e dtdθ em (I):

dtdx16)².2.(3 =π

Portanto,

minkm96

dtdx π=


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Lista 12

Questão 10)

)xexp()x(f

e)x(fx

xx

=

=

Aplicando ln aos dois membros: ))xln(exp())x(fln( x= Como ln e exp são funções inversas, . Portanto: xx x))xln(exp( = xx))x(fln( = Para que não tenhamos uma função de x elevada a outra na hora de derivar, vamos aplicar, novamente, ln aos dois membros e usar a propriedade . aln.baln b =

x.lnx))ln(ln(f(x)lnx))ln(ln(f(x) x

==

Derivando os dois membros e x:

)xln1).(x(f)).x(fln()x(f

xln1)x(f)x(f

1))x(fln(

1

x1.x1).x(ln)x(f

)x(f1

))x(fln(1

+=′

+=′

+=′

Substituindo f(x) pelo que tínhamos inicialmente : )e)x(f(xx=

)xln1.(e).e(lx)x(fxx xx +=′

Lembrando que ln e exp são funções inversas:

)1.(lne.x)x(fxxx +=′


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Lista 13

Questão 7) x

x)xarctan)2((lim π

+∞→

Quando

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

→→

∞→∞+1)xarctan)2((

1xarctan)2(2xarctan

xxπ

ππ

Portanto, há uma indeterminação. Para resolver este problema, vamos aplicar exp(ln) à função, lembrando que ln e exp são funções inversas e, por isso, exp(ln(f(x))=f(x).

L)xarctan)2ln((.xlim

)xarctan)2ln((.x

x

)xarctan)2ln((

x

x

x

ee

elimelim)xarctan)2((lim

x

x

==

===

+∞→

+∞→+∞→+∞→

π

πππ

0.)xarctan).2ln((.xlimL

x∞→=

+∞→π

Passando o inverso de x para o denominador, a expressão continua a mesma e torna-se possível usar a Regra de L’Hôpital, pois estaremos no caso 00 .

xarctan).²x11(1lim

xarctan).²x11²(x²xlim

xarctan²).x1(²xlim

²x1

²)x1()2(

xarctan).2(1

lim)xarctan).2ln((.xlimL

xx

xx

.L.R

x

+−

=+

−=

=+

−=

−+

⎯⎯→⎯=

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

πππ

Quando ⎩⎨⎧

→→

+∞→0²x1

)2(xarctanx

π.

Portanto,

L221

xarctan).²x11(1lim

x=

−=

−=

+−

+∞→ ππ

ππ2x

x

L e)xarctan)2((lime−

+∞→==


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Lista 16

Questão 6)

O cone inscrito à esfera pode ser obtido girando a figura ao lado em torno do diâmetro vertical da circunferência.

r raio da circunferência → a apótema do triângulo inscrito à circunferência d raio r →

R raio da base do cone → h altura do cone →

Pelo Teorema de Pitágoras: Pela figura:

²R²ra

²R²r²a²r²R²a

−=

−==+

²R²rrh

arh

−+=

+=

O volume do cone é dado por:

3

h².r.V π=

Substituindo h pela expressão encontrada teremos V em função, apenas, de r. Fazendo assim:


24 de 28

)²R²r²R²rR(

3)R(V

)²R²rr².(R3

)R(V

−+=

−+=

π

π

Derivando os dois membros em R:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−+=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−+=′

²R²r³R²R²rR2rR2

3)R(V

²R²r.2)R2.(1².R)R2.(²R²rR.r.2

3)R(V

π

π

Calculando o MMC e igualando os denominadores:

( )²R3²r2²R²rr2²R²r3

R.)R(V

²R²r³R3²Rr2²R²rrR2

3)R(V

²R²r³R³R2²Rr2²R²rrR2

3)R(V

²R²r³R²)R²r(R2²R²rrR2

3)R(V

−+−−

=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+−

=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−+−

=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−+−

=′

π

π

π

π

Raízes do numerador:

ou 0R = 0²R3²r2²R²rr2 =−+− Achando as raízes da segunda equação:


25 de 28

( )

( )

²r4r4²R²r12R9²R²r

²r2²²r2²R3²R²r

r2²r2²R3²R²r

²r2²R3²R²rr2

44 +−=−

−=−

−=−

−=−

( )

0²)r8²R9²(R

0²R²r8R9

r4²R²r12R9²R²r4r4

r4²R²r12R9²R²r²r4

4

444

44

=−

=−

+−=−

+−=−

Como R tem que ser diferente de zero para que o cone exista:

32r2R

9²r8R

9²r8²R

²r8²R9

0²r8²R9

=

=

=

=

=−

Analisando : )R(V′


26 de 28

0R

rR0²R²r3

>

<∀>−π

Logo, basta analisar o sinal de ( )²R3²r2²R²rr2 −+− . Chamando esta expressão de A e analisando seu sinal:

Se 3

2r2R0 << , A>0

Se 32r2R > , A<0

Portanto, o volume máximo ocorre para 3

2r2R = .

Calculando o volume máximo:

( )

3r4

9²r8.

3V

3rr

9²r8.

3V

9²rr

9²r8.

3V

)9²r8(²rr9

²r8.3

V

h².R3

V

π

π

π

π

π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−+=

=

81³r..32V π

=


27 de 28

Lista 18 (Cálculo I-A)

Lista 17 (Cálculo Diferencial e Integral Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Questão 21) (Cálculo I-A) Questão 30) (Cálculo Dif. e Int. Aplicado I e Cálculo Aplicado I) Sabe-se que f´( ) é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto . 0x )y,x( 00

Então, de acordo com o enunciado, temos os seguintes dados ( )1,2),( 00 =yx :

⎩⎨⎧

=′=

3)2(1)2(

ff

Foi dado também: 66)( −=′′ xxfComo :

dxxfxf ∫ ′′=′ )()(Temos que:

1

1

6²3)(

62

²6)(

66)(

Cxxxf

Cxxxf

dxxxf

+−=′

+−=′

−=′ ∫

De acordo com o enunciado , então: 3)2( =′f

3C

3C1212

3C2.64.3)2(f

1

1

1

=

=+−

=+−=′

Logo: 36²3)( +−=′ xxxf


28 de 28

Para determinar f(x) sabemos que:

2

2

Cx3²x3³x)x(f

Cx32

²x63

³x3)x(f

dx)3x6²x3()x(f

dx)x(f)x(f

++−=

++−=

+−=

′=

∫

∫

Porém, . Então: 1)2(f =

1C

1C6128

1C2.3²2.3³2)2(f

2

2

2

−=

=++−

=++−=

Logo:

1x3²x3³x)x(f −+−=

resolução de questões das listas de cálculo de uma ...gma.uff.br/html/informacoes...

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