resistÊncia de materiais - paginas.isep.ipp.pt · dois exercÍcios resolvidos exercÍcio 1...
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I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE
ESTADO PLANO DE TENSÃO
DOIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS CONSIDERANDO A SEGUINTE CONVENÇÃO:
ISABEL ALVIM TELES
96 MPa
160 MPa
64 MPa
xx
y
y
yx
yx
xy
xy
+ x
y
80 MPa
F
50°
G
100 MPa
60 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 1/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO 1
ENUNCIADO
Considere o estado plano de tensão indicado na figura.
a) Determine as tensões principais e as respectivas
orientações;
b) Caracterize o estado de tensão correspondente à
máxima tensão tangencial;
c) Determine o estado de tensão para as facetas
indicadas a tracejado.
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1
Alínea a) TENSOR DAS TENSÕES
σX = 160 MPa
σY = 96 MPa
τXY = τYX = 64 MPa
• FÓRMULAS
4 )σ (σ 21
2
σ σ σ σ 2
xy2
yxyx
1máx τ+−++
==
4 )σ (σ 21
2
σ σ σ σ 2
xy2
yxyx
2mín τ+−−+
==
90º σ σ
2 arctg
21
αyx
xyp ±
−=τ
2 sen 2 cos 2
σ σ
2
σ σ σ xy
yxyx α+α−
++
=α τ
=×+−−+==
=×+−++==
MPa 56,446 64 4 96) (160 21
2
96 160 σ σ
MPa 199,554 64 4 96) (160 21
2
96 160 σ σ
222mín
221máx
96 MPa
160 MPa
64 MPa
principal eixo ep −
96 64
64 160 T
σ
σ
T
yyx
xyx
=⇒
=τ
τ
20°
y
epep
α +90º
x
α
p1 = 31,72°
2
2 =56,446 MPa1
1 =199,554 MPa
p2 = -58,28°
x
y
y
96 MPa
160 MPa
64 MPa
x
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 2/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
90 31,717 2 arctg 21
96 160
64 2 arctg
21
p oo ±==
−×=α
58,283 90
31,717 x eixo do perto mais σ σ σ
p1 p2
p1 1yx
−=−α=α
=α⇒⇒>
oo
o
Ou:
( ) ( ) σ MPa 199,554 2x31,717sen 64 2x31,717 cos 2
96160
296160
σ 131,717p⇒=+−++==α o
( )[ ] ( )[ ] σ MPa 56,446 58,2832xsen 64 58,2832xcos 2
96160
296160
σ 2283,85p⇒=−+−−++=−=α o
• CÁLCULO MATRICIAL
Tensões principais ⇒ det |T – σp.I| = 0
0 96 64
64 160 det
p
p
⇒=σ−
σ− ( )( ) 0 64 96 160 2
pp =−σ−σ−
=
=⇒
=σ
=σ⇒=+σ−σ
MPa 56,446 σ
MPa 199,554 σ
56.446
199,554 0 11264 256
2
1
p
p
p2
p
Direcção principal correspondente a σ1 [ ] 0 n σ - T 1 1 =×⇒ I
=+
←
=
×
−
−
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
199,5549664
64199,554160
21y
21x
1y
1x
=+
←
=
×
−
−
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
103,55464
6439,554
21y
21x
y1
x1
=
=⇒
=+
=+−
0,526 n
0,851 n
1 n n
0 n 64 n 554,39
1y
1x
21y
21x
1y1x
0,526) ; 0,851 ( n ou 0,526) ; (0,851 n 1 1 −−==
31,72 0,8510,526
arctg p1o=
=α ααααp1 - ângulo que o eixo principal 1 faz com o eixo X
(rotação positiva na direcção de x+ para y
+)
Direcção principal correspondente a σ2 [ ] 0 n σ - T 2 2 =×⇒ I (resolução idêntica à anterior para σ1)
1 =199,554 MPa
1 =199,554 MPa
p1 = 31,72°
x
y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 3/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Resolução alternativa 1:
0,851) ; (0,526 n
ou
0,851) ; 0,526( n
0,526) ; 0,851( n
ou
0,526) ; (0,851 n
e n n
2
2
1
1
2 1
−=
−=
⇒
−−=
=
⊥
o58,28
0,5260,851
arctg p2 −=
−=α ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo X
(rotação negativa na direcção de x+ para y
-)
Resolução alternativa 2: [ ] 0 n
n
nn 0 n n n n
2y
2x
1y1x2 1 2 1 =
×⇒=×⇒⊥
−=
=
=
−=⇒
=+
=×+×
0,851 n
0,526 n
ou 0,851 n
0,526 n
1 n n
0 n 0,526 n 851,0
2y
2x
2y
2x
22y
22x
2y2x
o58,28
0,5260,851
arctg p2 −=
−=α
ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação negativa na direcção de x
+ para y
-)
Alínea b)
• FÓRMULAS
MPa 554,71 2
56,446 199,554
2
σ σ
2
σ σ 21mínmáx
máx =−=−=−
= τ
ou
2222yxmáx 64 4 96) (160
21 4 )σ (σ
21 ×+−=+−= xyτ τ = 71,554 MPa
ooooo76,72 ou 13,28 45 31,717 45 ccpc =α−=α⇒±=±α=α
[ ] [ ]
=−×−−×−−=
−=α
α MPa 71,55 )28,13( 2 cos 64 )28,13( 2 sen 2
96 160
,2813
c
c
τ
o
MPa 128 2
96 160
2
σ σ σ Quando
yxmáx =+=
+=⇒τ
2
σ - σ mínmáx
máx = τ ou 2xy
2yx máx 4 )σ - (σ
2
1 τ τ +=
cxycyx
pc 2 cos 2 sen 2
σ σ 45º
cα+α
−−=⇒±α=α α ττ
2
σ σ σ Quando
yxmáx
+=⇒τ
máx
máx
máx
x
α
y
2
2 =56,446 MPa
p2 = -58,28°
x
y
=128 MPa
=71,55 MPa=128 MPa
=71,55 MPa
x
y
c = -13,28°
=128 MPa
=128 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 4/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• CÁLCULO MATRICIAL
0,851) ; (0,526 n ou 0,851) ; 0,526( n 58,22 α
0,526) ; 0,851( n ou 0,526) ; (0,851 n 31,72 α
2 2 p2
1 1 p1
−=−=⇒−=
−−==⇒=o
o
Considerando ooo
13,28 45 31,72 c −=−=α
0,230) (0,973; ))13,28( sen );13,28( (cos )α sen ; α (cos n ccmáx−=−−==⊥
ooτ
máxn τ⊥ - vector normal à faceta onde ocorre a máxτ
Outra forma de encontrar máxn τ⊥ : O vector soma (ou o vector subtracção) de 1 n e n 2 tem a
direcção de máx
nτ⊥ , mas como não tem comprimento unitário,
necessita de ser normalizado.
1,377) (0,325; 0,851) ; 0,526( 0,526) ; (0,851 n n v 2 1 máx=−+=+=⊥τ
Normalizando: 0,973) 0,230;( ou 0,973) (0,230; )1,377 (0,325;
1,377 0,325
1 n22máx
−−=+
=⊥τ
Ou 0,325) (1,377; 0,851) ; 0,526( 0,526) ; (0,851 n n v 2 1 máx−=−−=−=⊥τ
Normalizando: 0,230) 0,973;( ou 0,230) (0,973; ),3250 (1,377;
0,325)( 1,377
1 n22máx
−−=−−+
=⊥τ
[ ]{ } máx//T
máx máx n x n x T τττ ⊥=
[ ]{ } máxT
máx
máx
n x n x T σ
: Quando
ττ
τ
⊥⊥=
máxn τ⊥ - vector unitário normal à faceta onde ocorre a máxτ
máx//n τ - vector unitário paralelo à faceta onde ocorre a máxτ
x
yn = (0,230; 0,973)
n = (-0,230; -0,973)
n = (0,973; -0,230)
n = (-0,973; 0,230)
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 5/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Considerando a faceta representada na figura ao lado:
0,973) ; (0,230 nmáx
=⊥τ
0,230) 0,973; ( nmáx// −=τ
−
=
0,973
0,230 x
0,230
0,973 x
96 64
64 160
T
máx τ
[ ] MPa 71,53 0,973
0,230 x 192,40 960,140
0,973
0,230 x
192,40
960,140
T
máx =
=
=τ
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector máx//n τ .
[ ] MPa 127,91 0,973
0,230 x 192,40960,140
0,973
0,230 x
0,230
0,973 x
96 64
64 160 σ
T
=
=
−
=
n = (0,973; -0,230)
c = -13,28°x
n = (0,230; 0,973)
y
=71,53 MPa=127,9 MPa
=71,53 MPa
x
y
-13,28°
=127,9 MPa
-13,28°
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 6/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea c)
• FÓRMULAS
2θ sen 2θ cos 2
σ σ
2
σ σ σ xy
yxyxθ τ+
−+
+=
2θ cos 2θ sen 2
σ σ xy
yxθ ττ +
−−=
MPa 193,65 40 sen 64 40 cos 2
96 160 2
96 160 σ20θ
=+−++==oo
o
MPa 28,46 40 cos 64 40 sen 2
96 160 20θ
=+−−==oo
oτ
MPa 62,35 )140( sen 64 )140( cos 2
96 - 160 2
96 160 σ70θ
=−+−++=−=oo
o
• CÁLCULO MATRICIAL
( )( ) 20 cos ;20 sen n
20 sen ; 20 cos n
//oo
oo
−=
=⊥
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R
[ ] MPa 193,65 20 sen
20 cos x 974,92240,172
20 sen
20 cos x
20 sen
20 cos x
9664
64160 σ
T
=
=
=
o
o
o
o
o
o
[ ][ ] //T
//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv
[ ] MPa 28,46 20 cos
20 sen x 974,92240,172
20 cos
20 sen x
20 sen
20 cos x
9664
64160
T
=
−=
−
=
o
o
o
o
o
o
τ
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector //n .
x
y
+
++
=28,46 MPa
=193,65 MPa
= 20°
=62,35 MPa
= -70°
x
y=62,35 MPa
=193,65 MPa
=28,46 MPa
x
=20°
n = (cos 20º; sen 20º)
n = (-sen 20º; cos 20º)y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 7/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Outra faceta:
( ) ( )( ) ( )0,342 0,940; 70 cos ;70 sen n
0,940 0,342; 70 sen ; 70 cos n
// =−−=
−=−−=⊥oo
oo
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R
[ ] MPa 62,35 70 sen
70 cos x 321,685,417
70 sen
70 cos x
70 sen
70 cos x
9664
64160 σ
T
=
−
−−−=
−
−
−
−
=
o
o
o
o
o
o
[ ][ ] //T
//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv
[ ] MPa 28,46 70 cos
70 sen x 321,685,417
70 cos
70 sen x
70 sen
70 cos x
9664
64160
T
−=
−
−−−−=
−
−−
−
−
=
o
o
o
o
o
o
τ
Como o sinal é negativo, o sentido da tensão ττττ vai ser contrário ao do vector //n .
=-70°
n = (cos -70º; sen -70º)
n = (-sen -70º; cos -70º)x
y
=28,46 MPa
=193,65 MPa
= 20°
=62,35 MPa
= -70°
x
y=62,35 MPa
=193,65 MPa
=28,46 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 8/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES
Facetas horizontais: MPa 64
MPa 96 σ H Facetas
=
=⇒
τ
Facetas verticais: MPa 64
MPa 160 σ V Facetas
=
=⇒
τ
MPa 128 2
96 160 σ C Mohr de círculo do centro - C méd =+==⇒
MPa 71,554 128)(160 64 R Mohr de círculo de raio - R22 =−+=⇒
96 MPa
160 MPa
64 MPa
H
V
H
V
64H
64V
C96160
12
máx
máx
2 p1
(faceta horizontal)
(faceta vertical)
2 c
2 p2
R
R
2 c'
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 9/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
MPa 199,554 71,554 128 R σ σ σ méd1máx =+=+==
MPa 56,446 71,554 128 R σ σ σ méd2mín =−=−==
αp1 – ângulo que a faceta onde ocorre σ1 faz com a faceta V (faceta vertical)
ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ1 faz com a normal à faceta V (eixo x)
αp2 – ângulo que a faceta onde ocorre σ2 faz com a faceta V (faceta vertical)
ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ2 faz com a normal à faceta V (eixo x)
31,72 α
2 arctg 2α 2 3264
C 160
64 2α tg
p1
p1p1
o=
=⇒==−=
α
αααα
58,28
31,72 90 90 2 180 2
p2
p1p2p1p2
o
oooo
=
−=−=⇒−=
MPa 71,554 R máx ==τ de Sentido máxτ⇒
Nas facetas onde ocorre τmáx MPa 128 C σ ==⇒
αc – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta V (faceta vertical) ou
ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta V (eixo x)
αc’ – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta H (faceta horizontal) ou
ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta H (eixo y)
ooooo13,28 31,7245 p1 45 c p12 90 c2 ==α−=α⇒α−=α −
o13,28 c' c2 c'2 =α⇒α=α
p1 = 31,72°
2
2 =56,446 MPa1
1 =199,554 MPa
p2 = -58,28°
x
y
=128 MPa
=71,55 MPa=128 MPa
=71,55 MPa
x
y
c = -13,28°
=128 MPa
=128 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 10/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PIF - pólo de irradiação das facetas
o31,72 0,618 arctg 0,618
64160 199,554
64
160σ tg p1
1p1 ==α⇒=−=−=α
o58,28 1,618 arctg 1,618
6456,446 160
64
σ 160 tg p2
2p2 ==α⇒=−=−=α
o13,28 0,236 arctg 0,236
64 71,554128 160
64C 160
tg cmáx
c ==α⇒=+−=+
−=ατ
o13,28 c'cc' =α⇒α=α
64H
64V
C96160
12
máx
máx
(faceta horizontal)
(faceta vertical)
PIF
p1p2
c
c'
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 11/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PIN - pólo de irradiação das normais às facetas
o31,72 0,618 arctg 0,618
96 199,55464
96σ
46 tg p1
1p1 ==α⇒=−=−=α
o58,28 1,618 arctg 1,618
56,446 9664
σ 96
64 tg p2
2p2 ==α⇒=−=−=α
o13,28 0,236 arctg 0,236
64 71,55496128
64
96 C tg c'
máxc' ==α⇒=+
−=+−=α
τ
o13,28 cc'c =α⇒α=α
64H
64V
C96160
12
máx
máx
(faceta horizontal)
(faceta vertical)PINp1
p2
c'
c
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 1 12/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
64H
64V
C96160
(faceta horizontal)
(faceta vertical)
PIF
20º
20º
A
BB=28,5
A=28,5
A=193,7
B=62,4
20°
20°
AB
BA
A
28,5 MPa
193,7 MPa
62,4 MPa
62,4 MPa
193,7 MPa
28,5 MPa
B
BA
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 13/12
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO 2
ENUNCIADO
Considere o estado plano de tensão indicado na figura.
a) Determine as tensões principais e as respectivas
orientações;
b) Caracterize o estado de tensão correspondente
à máxima tensão tangencial;
c) Determine a tensão normal e a tensão
tangencial a actuar na faceta FG;
d) Determine o estado de tensão para as facetas
indicadas a tracejado.
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 Alínea a) TENSOR DAS TENSÕES
σX = 80 MPa
σY = -100 MPa
τXY = τYX = -60 MPa
• FÓRMULAS
4 )σ (σ 21
2
σ σ σ σ 2
xy2
yxyx
1máx τ+−++
==
4 )σ (σ 21
2
σ σ σ σ 2
xy2
yxyx
2mín τ+−−+
==
90 σ σ
2 arctg
21
αyx
xyp
o±
−=τ
2 sen 2 cos 2
σ σ
2
σ σ σ xy
yxyx α+α−
++
=α τ
−=−×++−−==
=−×+++−==
MPa 118,167 60)( 4 100)(80 21
210080
σ σ
MPa 98,167 60)( 4 100)(80 21
210080
σ σ
222mín
221máx
80 MPa
F
50°
G
24°
100 MPa
60 MPa
principal eixo - ep
10060
6080 T
σ
σ T
yyx
xyx
−−
−=⇒
=τ
τ
y
epep
α +90º
x
α
y
100 MPa
80 MPa
60 MPa
x
y
2
2 = -118,167 MPa
1
1 =98,167 MPa
x
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 14/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
90 16,845 32 arctg
21
100)(80
60)(2 arctg
21 α p
oo ±−=
−=
−−−×=
73,155 90 α α
16,845 α x eixo do perto mais σ σ σ
p1 p2
p1
1yx
=+=
−=⇒⇒>
oo
o
Ou:
σ MPa 98,167 )845,162( sen 60 )845,162( cos 2
10080
210080
σ 1),84516 ( p⇒=×−−×−++−=−=α
ooo
σ MPa 118,167 )155,73(2 sen 60 )155,73(2 cos 2
10080
210080
σ 2)155,73 ( p⇒−=×−×++−==α
ooo
• CÁLCULO MATRICIAL
Tensões principais ⇒ det |T – σp.I| = 0
0 100 60
6080 det
p
p
⇒=σ−−−
−σ− ( )( ) 0 60)( 100 80 2
pp =−−σ−−σ−
−=
=⇒
−=σ
=σ⇒=σ+σ
MPa 118,167 σ
MPa 98,167 σ
118,167
98,167 0 11600 - 20
2
1
p
p
p2
p
Direcção principal correspondente a σ1 [ ] 0 n x σ T 1 1 =−⇒ I
=+
←
=
×
−−−
−−
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
98,16710060
6098,16780
21Y
21x
1y
1x
=+
←
=
×
−−
−−
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
198,16760
6018,167
21y
21x
y1
x1
−=
=⇒
=+
=−−
0,2898 n
0,9571 n
1 n n
0 n 60 n 167,18
1y
1x
21y
21x
1y1x
0,2898) ; 0,9571 ( n ou 0,2898) ; (0,9571 n 1 1 −=−=
16,85 0,9571
0,2898 arctg αp1
o−=
−= ααααp1 - ângulo que o eixo principal 1 faz com o eixo X
(rotação negativa na direcção de x+ para y
-)
y
1 =98,167 MPa
x
1 =98,167 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 15/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Direcção principal correspondente a σ2 [ ] 0 n σ T 2 2 =×−⇒ I (resolução idêntica à anterior para σ1)
=+
←
=
×
+−−
−+
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
118,16710060
60118,16780
22Y
22x
2y
2x
=+
←
=
×
−
−
1 n n
equação só uma escolher 0
0
n
n
18,16760
60198,167
22y
22x
y2
x2
=
=⇒
=+
=−
0,9571 n
0,2898 n
1 n n
0 n 60 n 167,198
1y
1x
22y
22x
2y2x
0,9571) ; 0,2898 ( n ou 0,9571) ; (0,2898 n 2 2 −−==
73,15 0,2898
0,9571 arctg αp2
o=
= ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo X
(rotação positiva na direcção de x+ para y
+)
Resolução alternativa 1:
0,9571) ; 0,2898( n
ou
0,9571) ; (0,2898 n
0,2898) ; 0,9571( n
ou
0,2898) ; (0,9571 n
e n n
2
2
1
1
2 1
−−=
=
⇒
−=
−=
⊥
o73,15 0,2878
0,9571 arctg αp2 =
=
ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação positiva na direcção de x
+ para y
+)
Resolução alternativa 2: [ ] 0 n
n nn 0 n n n n
2y
2x1y1x2 1 2 1 =
×⇒=×⇒⊥
−=
−=
=
=⇒
=+
=×−×
0,9571 n
0,2898 n ou
0,9571 n
0,2898 n
1 n n
0 n 0,2878 n 9571,0
2y
2x
2y
2x
22y
22x
2y2x
o73,15 0,2898
0,9571 arctg αp2 =
=
ααααp2 - ângulo que o eixo principal 2 faz com o eixo do X (rotação positiva na direcção de x
+ para y
+)
y2 = -118,167 MPa
x
2 = -118,167 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 16/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Alínea b)
• FÓRMULAS
MPa 167,1082
118,167 98,167
2
σ σ
2
σ σ 21mínmáx
máx =+=−=−
= τ
ou
MPa 108,167 60)( 4 100) (80 21 4 )σ (σ
21 2222
yxmáx =−×++=+−= xyτ τ
oo
ooo
61,845 α ou 28,155 α
45 16,845 45 α α
cc
pc
−==
±−=±=
=×−×+−=
=
MPa 108,167- 28,155) (2 cos 60 28,155) (2 sen 210080
28,155 α
cα
c
τ
o
MPa 10 - 2
100 - 80
2
σ σ σ Quando
yxmáx ==
+=⇒τ
• CÁLCULO MATRICIAL
Direcções principais:
=
−=o
o
73,155 α
16,845 α
p2
p1
===
=+−=
⊥ ) 0,4719 0,8817; ( ) 28,155 sen ;28,155 cos ( ) α sen ; α cos ( n
28,155 45 16,845 α
cc
c
máx
oo
ooo
τ
−=−−==
−=−−=
⊥ 0,8817) (0,4719; ) 61,845 sen ;61,845 cos ( ) α sen ; α cos ( n
61,845 45 16,845 α
cc
c
máx
oo
ooo
τ
máxn τ⊥ - vector normal à faceta onde ocorre a máxτ
2
σ σ mínmáx
máx
−= τ ou 2
xy2
yx máx 4 )σ (σ 21 τ τ +−=
cxycyx
αpc α2 cos α2 sen 2
σ σ 45 α α
cττ +
−−=⇒±= o
2
σ σ σ Quando
yxmáx
+=⇒τ
máx
máx
máx
x
α
y
= -10 MPa
x
= -10 MPa
τ= -108,17MPa
y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 17/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Outra forma de encontrar máxn τ⊥ : O vector soma (ou o vector subtracção) de 1 n e n 2 tem a
direcção de máx
nτ⊥ , mas como não tem comprimento unitário,
necessita de ser normalizado.
−−==⇒=
−=−=⇒−=
0,9571) ; 0,2898 ( n ou 0,9571) ; (0,2898 n 73,155 α
0,2898) ; 0,9571 ( n ou 0,2898) ; (0,9571 n 16,845 α
2 2 p2
1 1 p1
o
o
0,6673) (1,2469; 0,9571) ; (0,2898 0,2898) ; (0,9571 n n v 2 1 máx=+−=+=⊥τ
Normalizando: 0,472) 0,882;( ou 0,472) (0,882; )0,6673 (1,2469;
0,6673 1,2469
1 n22máx
−−=+
=⊥τ
ou
1,2469) (0,6673; 0,9571) ; (0,2898 0,2898) ; (0,9571 n n v 2 1 máx−=−−=−=⊥τ
Normalizando: 0,882) 0,472;( ou 0,882) (0,472; )1,2469 (0,6673;
1,2469)( 0,6673
1 n22máx
−−=−−+
=⊥τ
[ ]{ }máx//
T máx máx n n T τττ ××= ⊥
[ ]{ }máx
T máx
máx
n n T σ
: Quando
ττ
τ
⊥⊥ ××=
máxn τ⊥ - vector unitário normal à faceta onde ocorre a máxτ
ou
máx//n τ - vector unitário paralelo à faceta onde ocorre a máxτ
) 0,8817 0,4719; ( nmáx
−=⊥τ ����
) 0,4719 0,8817; ( nmáx// −−=τ
−
−×
−×
−−
−=
0,4719
0,8817
0,8817
0,4719
10060
6080
T
máx τ
[ ] MPa 108,2 0,4719
0,8817 x 856,59654,09
0,4719
0,8817 x
856,59
654,90
T
máx −=
−
−=
−
−
=τ
Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter sentido contrário ao do vector máx//n τ , ou seja ����.
x
n = (0,4719; -0,8817)τ
n = (-0,8817; -0,4719)τ
y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 18/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
[ ] MPa 10,0 0,8817
0,4719 x 856,59654,90
0,8817
0,4719 x
0,8817
0,4719 x
10060
6080 σ
T
−=
−=
−
−
−−
−=
Alínea c)
• FÓRMULAS
2θ sen 2θ cos2
σ - σ
2
σ σ σ xy
yxyxθ τ++
+=
2θ cos 2θ sen 2
σ - σ - xy
yxθ ττ +=
MPa 53,460 80 sen 60 80 cos 2100 80
2100 - 80 σ
40 θ−=−++==
ooo
MPa 99,052 80 cos 60 80 sen 2100 80
40 θ−=−+−==
oooτ
Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter sentido
contrário ao do vector //n , ou seja: �
= -10 MPa
x
= -10 MPa
τ= -108,2MPa
y
τ= -108,2MPa
x
y
+
++
x
n=40°
-50°x
n =40°
-50°
n
y y
x=40°
= -53,46 MPa
=99,05 MPa
y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 19/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• CÁLCULO MATRICIAL
( ) 0,6428) 0,7660; ( 40 sen ;40 cos n ==⊥oo ����
( ) 0.7660) 0,6428;( 40 cos ;40 sen n// −=−= oo
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R
[ ] MPa 53,46 40 sen
40 cos x 241,110716,22
40 sen
40 cos x
40 sen
40 cos x
10060
6080 σ
T
−=
−=
−−
−=
o
o
o
o
o
o
[ ][ ] //T
//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv
[ ] MPa 99,05 40 cos
40 sen x 241,110716,22
40 cos
40 sen x
40 sen
40 cos x
10060
6080
T
−=
−−=
−
−−
−=
o
o
o
o
o
o
τ
Como o sinal é negativo, a tensão ττττ vai ter
sentido contrário ao do vector //n , ou seja: ����
Alínea d)
• FÓRMULAS
2θ sen 2θ cos2
σ σ
2
σ σ σ xy
yxyxθ τ+
−+
+=
2θ cos 2θ sen 2
σ σ xy
yxθ ττ +
−−=
MPa 94,810 )48( sen 60 )48( cos 2100 80
2100 80 σ
24θ=−−−++−=−=
ooo
MPa 26,735 )48( cos 60 )48( sen 2100 80
24θ=−−−+−=−=
oooτ
MPa 114,810 132 sen 60 132 cos 2100 80
2100 80 σ
66θ−=−++−==
ooo
x
n =40°
-50°
n
y
x=40°
= -53,46 MPa
=99,05 MPa
y
x
y
+
++
y
x
=66°
=-24°
= 94,81 MPa
= -114,81 MPa
τ= 24,735 MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 20/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
• CÁLCULO MATRICIAL
( ) 0,4067) 0,9135; ( 24 sen ; 24 cos n −=−−=⊥oo ����
( ) 0,9135) 0,4067; ( 24 cos ;24 sen n// =−−−= oo ����
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R
[ ] MPa 94,81 0,4067
0,9135 14,13997,488
24 sen
24 cos
24 sen
24 cos
10060
6080 σ
T
=
−×−=
−
−×
−
−×
−−
−=
o
o
o
o
[ ][ ] //T
//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv
[ ] MPa 26,735 0,9135
0,4067 14,13997,488
24 cos
24 sen
24 sen
24 cos
10060
6080
T
=
×−=
−
−−×
−
−×
−−
−=
o
o
o
o
τ
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser igual ao do vector //n , ou seja: �
Outra faceta:
( ) 0,9135) 0,4067; ( 66 sen ; 66 cos n ==⊥oo ����
( ) 0,4067) 0,9135; ( 66 cos ;66 sen n// −=−= oo
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R
[ ] MPa 114,81 66 sen
66 cos 115,75922,274
66 sen
66 cos
66 sen
66 cos
10060
6080 σ
T
−=
×−−=
×
×
−−
−=
o
o
o
o
o
o
[ ][ ] //T
//R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττvv
[ ] MPa 26,735 66 cos
66 sen 115,75922,274
66 cos
66 sen
66 sen
66 cos
10060
6080
T
−=
−×−−=
−×
×
−−
−=
o
o
o
o
o
o
τ
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão ττττ vai ser contrário ao do vector //n , ou seja: ����
x= -24°
n
n
y
y
x
= 66°
n
n
x
=66°
=-24°
= 94,81 MPa
= -114,81 MPa
τ= 26,735 MPa
y
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 21/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES
Facetas horizontais: MPa 60
MPa 100 σ H Facetas
=−=
⇒τ
Facetas verticais: MPa 60
MPa 80 σ V Facetas
==
⇒τ
C – centro do círculo de Mohr MPa 10 2100 80 σ C méd −=−==⇒
R – raio do círculo de Mohr MPa 108,167 10)(80 60 R 22 =++=⇒
100 MPa
80 MPa
60 MPa
H
V
H
V
60
τ
σ-100
H(faceta horizontal)
80
60 V (faceta vertical)
C
τmáx
Rτmáx
σ1σ2
2αp1
2αp2
R
2αc
2αc'
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 22/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
MPa 98,167 108,167 10 R σ σ σ méd1máx =+−=+==
MPa 118,167 108,167 10 R σ σ σ méd2mín −=−−=−==
αp1 – ângulo que a faceta onde ocorre σ1 faz com a faceta V (faceta vertical)
ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ1 faz com a normal à faceta V (eixo x)
αp2 – ângulo que a faceta onde ocorre σ2 faz com a faceta V (faceta vertical)
ou ângulo que a normal à faceta onde ocorre σ2 faz com a normal à faceta V (eixo x)
16,845 α
3
2 arctg 2α
3
2
90
60
1080
60
C 80
60 2α tg
p1
p1p1
o=
=⇒==+=+
=
α
αααα
73,155
16,845 90 90 2 180 2
p2
p1p2p1p2
o
oooo
=
−=−=⇒−=
MPa 108,167 R máx ==τ de Sentido máxτ⇒
Nas facetas onde ocorre τmáx MPa 10 C σ −==⇒
αc – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta V (faceta vertical) ou
ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta V (eixo x)
αc’ – ângulo que uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a faceta H (faceta horizontal) ou
ângulo que a normal a uma das facetas onde ocorre τmáx faz com a normal à faceta H (eixo y)
ooooo 28,155 16,84545 p1α 45 cα p1α2 90 cα2 ==−=⇒= −−
o28,155 c' c2 c'2 =α⇒α=α
�
y
2
2 = -118,167 MPa
1
1 =98,167 MPa
x
= -10 MPa
x
= -10 MPa
τ= -108,2MPa
y
τ= -108,2MPa
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 23/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PIF - pólo de irradiação das facetas
o16,845 0,3028 arctg α 0,3028 60
80 98,167
60
80σ α tg p1
1p1 ==⇒=−=−=
o73,155 3,3028 arctg 3,3028 60
118,167 80
60
σ 80 tg p2
2p2 ==α⇒=+=
+=α
o28,155 0,5352 arctg 0,5352 60 108,167
10 80
60
C 80 tg c
máxc ==α⇒=+
+=++
=ατ
o28,155 c'cc' =α⇒α=α
60
τ
σ-100
H(faceta horizontal)
80
60 V (faceta vertical)
C
τmáx
Rτmáx
σ1σ2
R
PIFαc'
αcαp1
αp2
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 24/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PIN - pólo de irradiação das normais às facetas
o16,845 0,3028 arctg 0,3028 10098,167
60
100σ
60 tg p1
1p1 ==α⇒=+=+=α
o58,28 1,618 arctg α 1,618 98,167 9664
σ 9664 α tg p2
2p2 ==⇒=
−=
−=
o28,155 0,5352 arctg α 0,5351 10 100
60 108,167
C 100
60 α tg c'
máxc ==⇒=
−−=
−−
=τ
o28,155 α α α c'cc' =⇒=
PINαp1
αp2
αc
αc'
60
τ
σ-100
H(faceta horizontal)
80
60 V (faceta vertical)
C
τmáx
Rτmáx
σ1σ2
R
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 25/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
F
50°
G
50°
= -53,46 MPa
=99,05 MPa50°
τ
σ
H(faceta horizontal)
V (faceta vertical)
τmáx
Rτmáx
σ1σ2
R
PIF
FG
50º
B
τB
=-53,46
=99,05
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
TEORIA DA ELASTICIDADE - ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES
Exercício 2 26/26
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
A
B
B
A
24°
24°
A
B
B
A
= 94,81 MPa
= -114,81 MPa
τ= 26,7MPa
τ= 26,7MPa
τ
σ
H(faceta horizontal)
V (faceta vertical)
τmáx
Rτmáx
σ1σ2
R
PIF
B
24º
24º
A
A
τA
B
τB
=-114,81=94,81
=26,7
=26,7