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{l . 11 . M upoAlOOOII. C. A.(/J.

EllIJQANOlel,

11,

3.

A~mo.r.

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Cf!PIIIWIC~U ,

1/ . A . /{yf'lUlNH. /{. r . C.1(llpIU-Bacu.#u, n, B. RWU1Ul

nOCOSU E 1\ PEIllEHllIO 3A)(A4 no COn POTHBJlEHUIQ MAT EPl1 AJIOB

I. Mi-I'oUbot:, S. E l lyUcll 11V, N . Set'y-w#i t' sk i ,~' .

A I m ln l/ l ol', N . j ( d l sitl., j(. SIII 'I II ,)/- I (lsHict,

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PROBLEMASDE

RESISTENCIADE

MATERIALES'I'rnd",.,,,,, rI('l r .. ~" ,,,,,.

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L. Edi turlal le quedar muy _K docida.!i UJ " 0.0 " .. ud u opin i6" aCGl"I:a dol libro q"6 le "'r;,,w.o~, .ul c" mo rnonUlclu de l mi!", o. lA mg.a""crsal d,' la viga re~l\('cto a la linea n~ ul rn (III6d"la8 u ialf'! d,' la IK'ccin par" In fd,ra traed",,,,,l,,. ~" ' '''IJrin\id a l X i nc::nilas ~u)i'erfluB8 %. y. :. ee..; c(~,rd""a,I,, " IZ . ngull); cuel ioie" te ~ e dilala r.i';n l i "r~ 1 ,101 tIlal"rial; r ,){fi cielllO de disl ribucin de 1~ 3 i,,m.,, en l. Ilc,. in ole la barra ,"rva; c""i cic ,,l o ,lo concr nlracio n dc leIl3iolll.'9 ... ~ . COllid""I" d .'Cl ivo ,le c... Ile,n lrn c6n fI. ;ing"lo; codicio nl " do crec imiento de las oscilociollcs y. peS(> por uoidad de "olumen J~ l ", oler ial; ,Ii.lol'$i(o" laria (delor, nnci{'n " ngu lnr) v,. ",. V, . ,1'"rI""ci ...",s 8"IIUI~f('5 princ i pales v. di $lor~in octa~dric o A. ",agnU.. d li"~1l 1 qu u cnr. ctcr iu eJ r rror co",elido al elalJorar el elemenlo cl ~$ lico del si.lemo ; " I"d"ra du Ina l ul>o~

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de~plu8.mlento el'~tioo ]teneraliudo; desplualPiento esttico , 11,. 11 M 11. , 11". proy:eiones del desplazslPienlo sobro los ojes '. V. sobro la ver t ieal y sohro la horizontnl 1111. desplazamiento admi si ble del punto lIp. lIu . II~. deBplaZDmienl~ generaliudos; coo liei .. ,,.,s de la. ccuaeion~s del mtodo do lu luen.as lid. desplnamicnto dinmico 110' desplazamiento goncraHudo del punto de W~I,on"in del pO!!o cuando la luena per1.nrbadora acta esttieamonto e. deformacin Hncal (deformacin unitHia) ~,. ~ . e do(orruaeiones lil1oa]~9 principalu e'. doformaci" uni taria Ir~n~V!'rs81 t lactor do escala el' coeficiente de sonsil>i1hlad 5ux:rficinl O. 6:l II[m tibilidad d,) [')S ,[s p[ aza micn los, ,,1>1011drolD os o[ sisloma do trtlS ocuacionos s igui e nLos:

V2N, =)f:Lv.. V 3N 2 + Nl = I),1 ~N,

}

+ V,N z =

21N l

cuya solu ciu cs,

N,

o.a

0 , 1-' , ;::,: O,332P;

N, = o" I-', :::::J 0,271' ;

Na = ou , p.:::::: 0,53/',

resulta nd o(J/

0,332 =""""i"2"" P:::::: 0,0276P;

(J1l

= 0.27 1';:::;: 0,01931';

'"(JIII

=

O;~3 p ;:::;: O,033 1P.

P ue~lo que la tensin m:tiuH'l admi sible sen;,

0 ,11

no deb e s up eTa r [al, la ca rga

p.-1L =..... 0,03310 1 ...

1 600,:::,:48340 kgr ,:::,:48,3 U 0,033\re~\lIt.a Tl:n

y, po r lo l alll o, las l eIl8[01l('S en los borras del sistema

01/

48 3OO0,02i6 ,:::,: 1 334 kgrlcllI'; 48300 .0,0193 :::::: 932 kgflclIl~;

O'lf = I 000 kgf/cm'.b) u lc ulo por ca pacidad rt'!llstellte. El Sj~ l ~ IlH' se eO ll vierto en eine"" tico lllen le v,'rinb lc. al fl"ir los borras primeras y h'ree ras. L ~ ec uacin do In t,~t:ilic " '[1m II lI e a los esfuer7.0s en {'st~~ hnrras e~ 1" s iguient e:

o:tpresiolle.~

Suponie ud o N, = [a l F, y N . = 101 F. e iulroducie ll do I.'s las en la ecuacin d ~ la l's tli cn. (l hl e "dren ",~ 1" ru('rza ml .lima I' m." .

Pm.u = 2 [0](1', S'H) lit

+ F .sclI ji.) =Vt +2 16.!..) :::::: 52750 kgf = :l2,75 Ir. 2

=2 .1600 ( 12

As, lUes. In ca paci,lad dc C- , - > sen ~2

Para los valore!! lIullu!ricos dados, las ecullcionl's Jo la esta ti CIl y 1;, c.,,,dicin de compnlillilidad de los despla zamientos scr~n,

6-!j., ~ 7113."G,

}

+ 2CJ" + 2CJm = 1. 000

7"\1'3011 =

&/11

este siSlenw obtend rem os, GI ::::: 880 kgf/crn', Gil ~ ~ 620 kgffcm t , Gil' ~ 939 kgr/cm'. I~jcm pl o 9. Sultre el tu bo cilindrico tle acero 1, do radio intorlor r, 4U mm y de rndio exterior n, = 42 mm, est colooado el tubo ci.Jndrico de Rcero 11 previamente calentado de radio interior r! "" = 41.!)( mm y de radio exterior Hz = /13 mm (fig. 11).

ne~o l"ic n dIri.~ ti cos de l sistema.

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0" no Igua le!! a cero, (j g. 12, fl).Los pianO/! donde ac tan OL' 0 2 Y 0 1 (lib res de tensiones t ange ncia les) se denomi na n planos principales de lasllmsionu . Los ajes (/ , 11, IlJ) ortogonales 8. estos pla nos se deno minan ejt!8 prlncfpales de las ten$io",~s."0,n ,,, ,,11f ig. 12Las tensiones normales o. las lnngoncio les "t" y I;lS resnl t an tes p en los planos de I~ s secciones ilLc]inudns se doleflni nan por 1M frmulas siguieule~: en los planos lUHI"los al eje J J I (fig. 12, e),o = o, cos l o. 0,-2+ 0 z go"l a.(21,)"[=~sen2a.,p=V0 2 + -r =-Vo'::,:",J'C CC+--:o ~, ,','"Ca. ( " '=en 108 plallos paralelos nI eje J J (fig. 13, a).(25)en ls planos pendelos al ejo I (fig. 1/" a),(26)GrlifiCllmente, estas tensiones se determinan por 105 di agramas circlllllres construidos de acuerdo con IlIs figuras 12, e, 13, b Y 14, b.al :U-}7ID, "~1'Of--j----'-~~+'-,0,O ," il/ 13.El IIspocto gclleral do l d iagrama circular de la ~ l ell~ i oncs se obtiene sobrnpolliendo 105 tres ditl.gramas repre!CntadO$ en 111 figura. 14, c.,,,,-=-.'.C (J+~.L..~., ',",~"'" ", ~-.l,Fi,. 14" '- "7.,"Las tensio nes tangenciales extremas va len: al -al )T,~ "- - ~., Tl=,I(27)o-aZ "l"1 =--2-'"La mayor de estas tensiones, en valor absosulo, os T!, EstaB tensiones surgen en 108 planoa incliuados 450 respecto a las direccionlls de las tensiones principales: TI. cm dos planos ortogonales paralelos al eje 1 (lig, 15, a); Ta, en dos planos ortogonales paralelos al eje II (lig. 15, b); T 3 , en dos planos ortogonales paralelos al eje 1/1 (lig. 15, e).b)JJI/ ../1&I~ ___ _L"I,)lJI... _'"" ~l ~ ---FIg. 15fi g. 16L as Lensiones octadricns normales 00, tangenciales '1:0 y resulLnnles Po, que actan sobre el plono do igual inclinacin respecto a los tres ejes ]lrincilHlles de las tllusiones, (lig. 16) so dolcrmillan por las rrmulns:~=i~+~+~,TO="3Po=,1'8) -'V (0,-0.)t +(0.-0,)1 (OJ-O,,1\ ). +V~ (J~+o~+o~.JLas defonnncioncs lineales princi llalcs el' E., E3 (alargamientos unitarios quo ocurren en los direcciones do las tensiones principales)".'Ion:(2!)Vnrillciun Hllltarin del \'oJumellAV V=CI+tZ+tll =1 - 211(01+0: -,-,Ln mugultud 3---+' GI}'(:JO)1-2f4 = x EliCdenQm ino eatldellle de ult/rprnlA, mlidrdabllldad del ma/erlal y la magnitud in,'ers.1, 3(1 E 2)1)de da.lllddad eslina del material. 1..11 onorga" Ilo ton cia! unitnri n do b .Icformneiu n clsti&:l valo,11="'2 (Gl~ l +I(J1S:1+ G3P.:J =;E [G; + cri + oi 211 (ola'=mil. es,+ f1;!J, + op,)}.(3 1)LA energa ]IaLencia l unitaria , duhidn n lo varinein dc la k,r-y la I'IJorgio poleueh)1 unita ri a"OIIlIllCII,eorrl'~ po ndicnte pla \'arinciu de l(33)U~ol = """""GE(G,1 _2),+ (J~ + (J,/\% '..Todas los furmulas corresJlond iClIl ClI ni O (35) segn la hilltesis de Ins deforlllllciones linenles mximas, CJclI=CJ,-.t(at+aJ, (36)segn la hiptesis do las tellsiolles tangenciales mximas, 0C =(J, - 01, "I(37)segn la hiptesis de In ollergia potencial cspcdficlI de la variacin de la forma,ac,v= V"[(OI-Ot'J'+(Jz-osl+(a,-(J,n8egn la hiptesis de los estlldO!! tensionales lmites,(J~V=CJI-\'aS(38)(39)lo, 1" lOe ' A Vl.'i:(!!, ca la preliee. CII 105 (81\05 cuando I a" el cAlcule de la nta!Btenda 18 primora hipl.&.l iB sellava a cabo por 1"" lrmulu, a, " la\;lor"siendo,(40)(JI= 200 kgf/cm ' , y 1.1. = 0,3.resis ten ci~ .Ejem plo 11. Pare al astado te nsioos l de volumen (lig. i 9), er2 '" -400 kgf/cm ' , 0' , "'" -800 kgf/cmCalcular las tensiones equivalentes por todas las hi ptesis de Al calcula.T la tensin equivalente por la hiptesis do los estlldOll tensionales li mites debe admitirse v ... 0,25."" ,{ "~'ig," "ResQIu:i6n . 0'0/ =200kgflaw~, er"1/= 560kgflcm",\v=loo [(2+ 4)2 + (-4 +8)" +(-8 _2)2] ~872 kgf/cm", 2 er ev =200 + 0,25800=1,00 kgf/cm ,Problemas 108"- 122", Calcular las tensienes equivlllentes lar las hiple. f-I-f-~=-,'. GsienrloG_"'-;='".'") +2(1ol a~l c d8dE(57)el mdulo de deslha mi Clllo o m6du lo do ma terial.tangon cial rl ol -"La distorsin unilaria Y. ori ginada por la tensin tanencia l octadrica " 0 SO donomina dit lcnl6n odoidrlca.'I't==0-=3 11i',+'Yl+Yl'1'0 ! 1 12*(58)El! 01 os tndo 10119ionol correspondie nto nI dosl izamionlo pUTO(fig. 25), on 1011 plnuos incliuados 45, !lurgen los t on!lionos principales,(J, --(JI '" T,(50)las deformacionos IinoalC!l principales,tl =_fl=t= t ~}lT.~=O .}(60)y In d istorsin Angular principal,y =2tS(l(0 1)El centro del crc ul o do las tensionC!len el ori gen del sistema de coordenadas (fig. 26) lID, .!-.~ -'.--' ,~'II'..{.v~(o.'CUCUOl11ra , en esto caso.2OMNlm ''':-..""t;>..~26-. f @,~W)I;g. 27,,Fig. 28Si COrnlidoramos qu o 18lI tC08iones ta ngenciales so distribuyen uniformomenl.e sobre 01 rea F d ondo estn aplicadas (fig. 27), !lntonces el esfuau o tan gencial ser.6, Q .,. TF (62) Teniendo en cuenta las frmu las (55) y (56), podremos escri bir la ley de Hou ke para el dMlizamiento on la forma ~ i guiente, _ Ql _ (03).G,.!leLa energa polencial de In deformacin D icn del deslizam ien t o lst oblicuo [lor In frm ll l~.U= (j'l = lJ,;GF = 2GF 21'1' ,.Qt.s 2(61i)y 1", e"erg i~ IJfltenciul 1Initaria. por la fruw ln,/1.=-=-,22G(GS)Ejemplu 13 . P~rll 01 estado lellsioual ,lad" (fig. 28) calculll r Y" 2. 3 Y Yo CfUIl!iderllllllo 'lile E = 2, 11}' M N/m' y 1I = O,2fJ. n cs,,ucl611. Lll~ lell s i"n e~ princi pa les en el estado teusiunal do vulllmen dad o ~" ": 0, ~ 1 00 MN/ IIl'. o~ = - 20 "'N/ m' y 11 . = = - lO i\ l Nlm', LH.~ I,ellsi",u)s I lIlIgc " ci" l ~s e~l remll s i elleu . . ~{'~,u I:I ~ [,rtllll" I;I ~ (27). I"s ""l r,rl's .,igll i ,, "lp~: - 20+ 100T, =2= 1Oi\li'\/ IIl ~ ,,,~lOlI + l O~_,o2 2" ~ l N/ mz,T, = 100+20=tiO ~ I N/ m2.El IIldll l" ,1(, ,'ll1sl ieid,,,1 it ll''CI ,eial del no.,ter ill l {'s. frnHII" (57).{,' =~"g"'"la2IO~2 (1+ 0.2.-,) =8 0,\IN/ m,2De 1;,clpll ll'.~,c .~pr('~in(rili) se .. lol i,"," IlIsdi~l"r~i,,",'~ll llgnlar{'s JI'in7U ~5 )'2=8-'.,-,-,,= S .1 . 11 '-',tjO )',= --_ = -, ' ' 0- ' 1,.)8 10' La,lis0 I.~i,.,,,cl'H:rlrica 8l'r:i, pUl' la f"m,nJa (;;8).-, -. J1'0 =:1 . 102v 1._., +R.I;) +7.5')0'__ 11~__ ')1.1_1f) ._,,.:;/34- 140 _ Odculur las JIllIgllilud!:s illdiclld:.zs )l las InS ]lI'oblclIIlI$. N"ll"iull{'S: 0" lmitc dI) rIIlCII~il'; endit ip,,\(, UIl scl;!lI ritlad (TPSl'r\-" .t., reSiSI.CIU;ill); ( M ,), IIl Hgllitnu "d m')"'e"to c"rJ'('~I'0I,Jie" t" ni ,'stn,h, 010 rlncllein dll l IlInt.~ri al. p,,..~r,",ln~c d n lu flox io'l y c l)lls id~r..~" '1m' la~ ICII~i"nc~ l." II!.:cndal,,~ ~Il ,Iistrilonyc" 1)