resist en cia de seccoes_rev3

8/3/2019 Resist en CIA de Seccoes_rev3

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DECivilDepartamento deEngenharia Civil eArquitectura

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METLICAS

Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao.

Resistncia de seces

Francisco Virtuoso

2011/12


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Estruturas Metlicas Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces i

INDCE

1. Introduo ................................................................................................................................................... 12. Critrio de cedncia ................................................................................................................................... 33. Critrio de plasticidade ............................................................................................................................. 9

3.1. Resistncia a esforos isolados .......................................................................................................... 93.2. Combinaes de esforos. Diagramas de interaco ....................................................................... 13

3.2.1Flexo composta ...................................................................................................................... 133.2.2Flexo composta desviada ...................................................................................................... 233.2.3Caso geral da interaco entre momento flector, esforo axial e esforo transverso ............. 283.2.4Caractersticas dos diagramas de interaco .......................................................................... 30

4. Verificao da segurana de seces de acordo com o EC3 .............................................................. 314.1. Introduo ......................................................................................................................................... 314.2. Esforos resistentes em seces das classes 1 e 2. ........................................................................ 35

4.2.1Esforos isolados. .................................................................................................................... 354.2.2Interaco no caso da flexo composta e flexo composta desviada. .................................... 354.2.3Interaco do esforo transverso com o esforo axial e o momento flector. ........................... 36

5. Referncias ............................................................................................................................................... 39


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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 1

1. INTRODUO

A verificao da segurana de estruturas actualmente efectuada com base na filosofia

dos estados limites ltimos. No caso de seces a verificao da segurana pode sertraduzida de uma forma geral pela seguinte expresso

Ed Rd (1.1)

em que Ed representa o valor de clculo dos efeitos das aces e Rd o valor de clculo da

resistncia correspondente. Estando a analisar a resistncia de seces as variveis Ed e

Rd podem representar os efeitos e as resistncia associados a esforos isolados, como

por exemplo um esforo axial, um momento flector ou um momento torsor, ou, de uma

forma mais genrica, representar uma combinao de esforos, correspondendo neste

caso aplicao de curvas de interaco.

Os valores de clculo dos esforos actuantes so obtidos para os valores de clculo das

aces, pd, os quais resultam de se majorarem os valores caractersticos das aces, pk,

pelos coeficientes parciais de segurana das aces1, f, ou seja

Ed(pd) = Ed(fpk) (1.2)

No caso de os esforos dependerem linearmente das aces, como acontece quando se

admite que a estrutura tem um comportamento fsica e geometricamente linear, numericamente indiferente majorar as aces ou os seus efeitos, tendo-se

Ed(pd) = fEk(pk) (1.3)

em que Ek representa o valor caracterstico dos efeitos das aces, os quais so

calculados para os valores caractersticos das aces. A utilizao desta equivalncia

numrica, frequentemente aplicada na prtica, no deve levar a esquecer que

formalmente os coeficientes parciais de segurana f tm de ser aplicados s aces

(equao 1.2) e no aos seus efeitos (equao 1.3).Os valores de clculo das resistncias, Rd, so calculados com base nos respectivos

valores caractersticos, Rk, minorados pelo coeficiente parcial de segurana das

propriedades dos materiais, M, tendo-se

Rd =RkM

(1.4)

1A apresentao mais detalhada da filosofia dos estados limites ltimos assim como a sua aplicao atravs

da utilizao de coeficientes parciais de segurana faz parte do programa da disciplina de Dimensionamentode Estruturas.


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Os valores dos coeficientes parciais de segurana, f para as aces e M para as

propriedades dos materiais, so em geral fixados nos regulamentos ou cdigos de

verificao da segurana de estruturas e dependem de diversos factores como por

exemplo do tipo de aces, do tipo de verificao ou do modo de rotura associado. Poruma questo de simplicidade, e a menos de indicao explcita diferente, considera-se

neste texto f=1,5 e M=1,0. Refira-se que o valorf=1,5 um valor considerado em geral

para as aces gravticas nas verificaes dos estados limites ltimos de resistncia e

que o valorM=1,0 o valor frequentemente utilizado para as tenses de cedncia dos

aos de estruturas metlicas, aplicvel nas verificaes dos estados limites ltimos de

resistncia de seces.

Para a verificao da segurana das seces admite-se, de um forma geral, como vlida

a hiptese da conservao da seces planas, hiptese de Bernoulli, ou seja, que as

seces planas se mantm planas aps a deformao, ou, no contexto da verificao da

segurana, at que se atinja a rotura.

A capacidade resistente de uma seco depende da relao - do material que a

constitui. No caso de seces de ao admite-se uma relao elasto-plstica perfeita,

representada na figura 1.1, caracterizada por um mdulo de elasticidade E=210 GPa e

por um valor caracterstico da tenso de cedncia, fy, que depende da classe de

resistncia do ao.

Figura 1.1 Relao tenses deformaes elasto-plstica perfeita

Refira-se finalmente que se apresentam neste texto os mtodos de verificao da

segurana de seces adoptando critrios de cedncia ou de plasticidade. Nos critrios

de cedncia admite-se que a capacidade resistente das seces atingida quando se

inicia a cedncia, ou seja, quando a tenso mxima igual tenso de cedncia. No

caso corrente a verificao do incio da cedncia obriga utilizao de um critrio de

cedncia, como por exemplo o critrio de Mises-Henky, em que se utiliza uma tenso de

comparao representativa do estado de tenso em cada ponto. Nos critrios de


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plasticidade admite-se que a rotura ocorre apenas quando a seco est totalmente

plastificada.

2. CRITRIO DE CEDNCIA

Quando se admite um critrio de cedncia considera-se que a capacidade resistente da

seco se atinge quando o valor mximo da tenso na seco igual tenso de

cedncia.

Considere-se uma seco solicitada apenas por um esforo axial e por momentos

flectores aplicados segundo os eixos principais de inrcia. A tenso normal numa fibra

genrica de coordenadas (y; z) , conforme se representa na figura 2.1, dada por

=NA +

Myzy

-Mzyz

(2.1)

Figura 2.1 Tenses normais numa seco

A cedncia ocorre quando a tenso mxima for igual tenso de cedncia, ou seja,

admitindo os esforos com sinais positivos, a seco verifica a segurana desde que

max =NA +

Myzmaxy

+Mzymaxz

fy (2.2)

A equao 2.2 pode ser escrita em funo dos valores dos esforos de cedncia, o

esforo axial e os momentos flectores que actuando isoladamente provocam a cedncia

da seco, tendo-se

N

Npl +

My

My.c +

Mz

Mz.c 1 (2.3)


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em que Npl representa o esforo axial plstico e My.c e Mz.c os momentos de cedncia em

torno dos eixos y e z, respectivamente, os quais so dados por

Npl = A fy (2.4)

My.c =y

zmaxfy =Wy.el fy (2.5)

Mz.c =z

ymaxfy =Wz.el fy (2.6)

representando A a rea da seco transversal da seco e Wy.el e Wz.el os mdulos

elsticos de flexo em torno dos eixos y e z, respectivamente.

No caso particular da seco ser solicitada em flexo composta com Mz=0 a equao 2.3

simplifica-se, podendo ser escrita da seguinte forma

NNpl

+MyMy.c

1 (2.7)

A equao 2.7 corresponde ao diagrama de interaco representado na figura 2.2a.

Figura 2.2 Diagrama de interaco em flexo composta e em flexo desviada de acordo com o critrio de

cedncia

No caso em que a seco solicitada em flexo desviada com um esforo axial nulo aequao 2.3 reduz-se a

MyMy.c

+MzMz.c

1 (2.8)

a que corresponde o diagrama de interaco representado na figura 2.2b.

No caso geral da seco solicitada em flexo composta desviada o diagrama de

interaco correspondente cedncia plstica da seco definido pela equao 2.3,

estando representado na figura 2.3.


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Saliente-se que os diagramas representados nas figuras 2.2a e b, correspondentes s

equaes 2.7 e 2.8, representam as interseces do diagrama da figura 2.3 com os

planos definidos pelos eixos (My/My.c;N/Npl) e (My/My.c; Mz/Mz.c), respectivamente.

Figura 2.3 Diagrama de interaco em flexo composta desviada de acordo com o critrio de cedncia

Exemplo 2.1: Adoptando um critrio de cedncia pretende verificar-se a segurana de um perfil

HEA200 S355 submetido a N = 800 kN e My = 70 kNm.

HEA200 S355 - A=5380 mm2; Wy.el=389x103 mm3; Wz.el=134x10

3 mm3; fy=355 N/mm2

Tendo em considerao a equao 2.2 tem-se que

max =800x103

5380 +70x106

389x103 = 148,7 + 179,9 = 328,6 355 N/mm2

Ou, de forma equivalente, usando a equao 2.7

Npl = 5380 x 355 x 10-3 = 1909,9 kN; My.c = 389x10

3 x 355 x 10-6 = 138,1 kNm

8001909,9 +

70138,1 = 0,419 + 0,507 = 0,926 1

Sugesto: verifique que adoptando o critrio de cedncia, e para um esforo axial N=800 kN, o momento

mximo que se pode aplicar de 80,2 kNm.


HEA200 S355 submetido a N = 500 kN; My = 40 kNm e Mz = 15 kNm.

Tendo em considerao a equao 2.2 tem-se que

max =500x103

5380 +40x106

389x103 +15x106

134x103 = 92,9 + 102,8 + 111,9 = 307,6 355 N/mm2


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Ou, de forma equivalente, usando a equao 2.3 e os valores calculados no exemplo 2.1

Mz.c = 134x103 x 355 x 10-6 = 47,6 kNm

5001909,9 +

40138,1 +

1547,6 = 0,261 + 0,290 + 0,315 = 0,866 1

Sugesto: verifique que adoptando o critrio de cedncia, e para um esforo axial N = 500 kN e My = 40 kNm,

o momento mximo Mz que se pode aplicar de 21,4 kNm.

Nos casos correntes a seco solicitada simultaneamente por esforos que do origem

a tenses normais, o esforo axial e os momentos flectores, e esforos que do origem a

tenses tangenciais, o momento torsor e os esforos transversos. Nestes casos a

determinao do incio da cedncia efectua-se atravs da aplicao de critrios de

cedncia baseados no clculo de uma tenso equivalente, funo do estado de tenso,

que se designa por tenso de comparao, comp. De entre os critrios de cedncia o

mais utilizado o critrio de Mises-Hencky de acordo com o qual a tenso de

comparao dada por

comp = 21 +

22 +

23 - 12 - 23 - 31 (2.9a)

em 1, 2 e 3 representam as tenses normais num ponto referidas aos eixos principais

de tenso.

De acordo com o critrio de Mises-Hencky para um estado triaxial de tenso o incio da

cedncia ocorre quando a tenso de comparao igual tenso de cedncia, ou seja,

quando

comp = = 21 +

22 +

23 - 12 - 23 - 31 = fy (2.9b)

No caso particular de uma pea linear em que o estado de tenso possa ser reduzido a

um estado plano de tenso e em que tenso normal segundo o eixo perpendicular aoeixo da pea nula, a equao 2.9b pode ser reescrita na forma

comp = 2x + 3

2= fy (2.10)

em que x e representam a tenso normal e tangencial numa faceta perpendicular ao

eixo da pea, respectivamente.


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HEA200 S355 submetido a N = 600 kN, My = 45 kNm e Vz = 180 kN.

A rea e os mdulos elsticos de flexo de um perfil HEA200 foram j indicados nos exemplos 2.1 e 2.2. Na

figura 2.4 indicam-se as dimenses da seco transversal de um HEA200 representando-se os diagramas de

tenses normais e tangenciais devidos aos esforos aplicados, sendo os valores necessrios definio dos

diagramas de tenses os seguintes:

Figura 2.4 Perfil HEA200. Diagramas de tenses normais e tangenciais

Tenso mxima devida ao esforo axial - N = NA =600x103

5380 = 111,5 N/mm2

Tenses mxima devida ao momento flector - M =My

Wy.el=

45x106

389 x103 = 115,7 N/mm2

Tenses devidas ao esforo transverso - =Vz Syytl

Ponto 1 no banzo junto ligao alma - 1 =180x103 x( )100x10x90

36,9 x106 x10 = 43,9 N/mm2

Ponto 2 na alma a meia altura da seco - 2 =

180x103 x( )200x10x90+902x6,5/236,9 x106 x6,5 = 154,8 N/mm

2

Ponto 3 na alma junto ligao ao banzo - 3 =2x43,9x10

6,5 = 135,1 N/mm2

A verificao da segurana efectua-se determinando o valor da tenso de comparao e comparando-a com

a tenso de cedncia, tendo-se no ponto 3, que o ponto mais desfavorvel,

comp = ( )111,5 + 115,7 2+ 3x135,12= 326,2 < 355 N/mm2


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A equao 2.10 pode ser reescrita em funo de termos adimensionais, sendo a

condio para que a tenso de comparao no ultrapasse o limite de cedncia dada por

x

fy

2

+ 3

fy

2

1 (2.11)

A equao 2.11 permite resolver o problema genrico da verificao da segurana de

uma seco. Note-se no entanto que, devido relao no linear entre x e , no fcil

a partir da equao 2.11 obter diagramas de interaco entre esforos. Os diagramas de

interaco entre o esforo axial N e os momentos flectores My e Mz apresentados nas

figuras 2.2 e 2.3 podem ser utilizados no caso geral, embora de forma aproximada, mas

conservativa, se for adoptada a seguinte metodologia:

1 - Determina-se o valor mximo da tenso tangencial na seco max.

2 - Com base na equao 2.11 calcula-se um valor fictcio da tenso de

cedncia f'y, dado por

f'y = 1 - 3max

fy

2

fy (2.12)

3 - Adoptam-se os diagramas de interaco apresentados nas figuras 2.2 e 2.3,

mas considerando os valores do esforo axial plstico Npl e dos momentos de

cedncia My.c e Mz.c calculados com base na tenso de cedncia fictcia f 'y.

Realce-se que esta metodologia simples de aplicar e conservativa, uma vez que se

admite que os valores mximos da tenso normal e da tenso tangencial ocorrem no

mesmo ponto, situao que raramente se verifica.

Exemplo 2.4: Apresenta-se neste exemplo a verificao da segurana apresentada no exemplo 2.3, mas

considerando agora a metodologia apresentada recorrendo tenso de cedncia fictcia f'y.

max = 3 = 154,8 N/mm2

f'y = 1 - 3( )154,83552

355 = 232,7 N/mm2

Verificao da segurana - max = 111,5 + 115,7 = 227,2 232,7 N/mm2 = f'y


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3. CRITRIO DE PLASTICIDADE

3.1. Resistncia a esforos isolados

Nos critrios de plasticidade considera-se que a capacidade resistente da seco se

atinge apenas quando toda a seco est plastificada, pelo que os esforos resistentes

so no mnimo iguais ou, no caso mais geral, superiores aos esforos obtidos quando se

adopta um critrio de cedncia.

Como o critrio de plasticidade corresponde a considerar a seco totalmente plastificada

a capacidade resistente das seces para os esforos actuando isoladamente igual ao

valor do respectivo esforo plstico. Tem-se assim para o esforo axial e para os

momentos flectores

Npl = A fy (3.1)

My,pl = Wy,pl fy (3.2)

Mz,pl = Wz,pl fy (3.3)

em que Wy,pl e Wz,pl representam os mdulos de flexo plstica relativamente aos eixos y

e z, respectivamente.

Relativamente ao esforo transverso tambm possvel definir um valor do esforotransverso plstico o qual corresponde a admitir-se uma distribuio de tenses

tangenciais=fy/ 3 uniforme na seco e com o sentido do esforo transverso aplicado.

Na figura 3.1 representam-se os diagramas com as distribuies de tenses tangenciais

elstica e plstica numa seco rectangular sujeita ao esforo transverso plstico na

direco z.

No caso da distribuio elstica a tenso tangencial mxima dada por

max =V

zS

y.maxyb =V

z(bh2/8)

(bh3/12)b =V

z(bh2/8)

(bh3/12)b =1,5Vbh =

1,5VzA (3.4)

Tendo em considerao que na distribuio plstica a tenso tangencial uniforme, e

dada por=fy/ 3 , o esforo transverso plstico dado por Vz,pl = A fy/ 3.


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Figura 3.1 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco rectangular.

Ao considerar-se uma distribuio plstica das tenses tangenciais nem sempre a rea

total da seco contribu para a resistncia ao esforo transverso. Na figura 3.2

representa-se uma seco em indicando-se as distribuies de tenses tangenciais e

elstica e plstica para um esforo transverso segundo o eixo z.

Figura 3.2 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco . Esforo transverso

segundo o eixo z.

Como se ilustra nos diagramas apresentados na figura 3.2, tratando-se de uma seco

de parede fina a direco das tenses tangenciais coincide com a direco da linha

mdia da seco. Note-se que a resultante das tenses na alma tem de ser

estaticamente equivalente ao esforo transverso aplicado. A principal diferena entre os

dois diagramas apresentados que a distribuio elstica depende das caractersticas de

toda a seco, incluindo os banzos, enquanto que o valor do esforo transverso plstico

s depende da rea da alma. Tem-se neste caso


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Vz,pl = Avfy3

com Av = Aw (3.5)

em que Aw representa a rea da alma. A rea Av representa a rea resistente ao corte,

designao que, embora indevidamente, frequentemente abreviada para rea de corte

(shear area na designao inglesa). Saliente-se que a rea resistente ao corte depende

apenas da parte da seco que contribui para a resistncia ao corte, no tendo o mesmo

significado nem o mesmo valor da rea de corte, usualmente representada por A, que se

considera para a determinao da contribuio das deformaes por corte no clculo das

deformaes de peas lineares.

Na figura 3.3 representa-se uma seco solicitada por um esforo transverso na

direco do eixo y, indicando-se as distribuies elstica e plstica de tenses.

Figura 3.3 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco . Esforo transverso

segundo o eixo y.

As distribuies de tenses tangenciais apresentadas na figura 3.3 so idnticas s da

seco rectangular, apresentadas na figura 3.1, sendo apenas necessrio ter em

considerao que a resistncia ao esforo transverso assegurada pelos dois banzos.

Para o esforo transverso plstico tem-se neste caso

Vy,pl = Avfy3

com Av = Abanzos = A Aw (3.6)

em que Abanzos representa a rea dos banzos.


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Figura 3.6 Diagrama de interaco de uma seco rectangular em flexo composta

Na figura 3.6 representa-se tambm o diagrama de interaco elstico, correspondente

ao incio da cedncia, sendo assim possvel a sua comparao com o diagrama de

interaco plstico. Quando o momento flector nulo o esforo axial resistente igual ao

esforo axial plstico, independentemente do critrio de rotura adoptado. Pelo contrrio,

quando o esforo axial nulo o momento resistente igual ao momento de cedncia, se

o critrio for o elstico, ou igual ao momento plstico, se o critrio for o plstico. O

diagrama de interaco elstica linear uma vez que resulta da combinao linear dosefeitos do esforo axial e do momento flector (reveja-se a equao 2.7 e o

correspondente diagrama de interaco). O diagrama de interaco plstica no linear

(equao 3.10) sendo a curva convexa.

Seco tubular circular

Considere-se agora a seco circular tubular representada na figura 3.7 na qual se

representam tambm as distribuies plsticas de tenses normais correspondentes ao

esforo axial Npl (figura 3.7b) e ao momento flector My.pl (figura 3.7c). Note-se que seadmite tratar-se de uma seco de parede fina, em que se pode considerar que as

tenses so uniformes na espessura, sendo a distribuio de tenses na seco definida

apenas pela sua distribuio ao longo da linha mdia da seco.


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Figura 3.7 - Distribuio de tenses normais numa seco tubular circular em flexo composta

semelhana do procedimento adoptado para a seco rectangular representa-se na

figura 3.7d a distribuio plstica de tenses para uma situao genrica da seco

submetida um esforo axial N e a um momento My. Aquela distribuio de tenses

decomposta em duas parcelas, uma simtrica (N0 e M=0), que corresponde ao esforo

axial, e outra anti-simtrica (N=0 e M0), que corresponde ao momento flector. A posio

da linha neutra definida pelo ngulo sendo a parcela estaticamente equivalente ao

esforo axial a corresponde ao comprimento da linha mdia definida pelo ngulo 2.

Com base nos diagramas apresentados na figura 3.7, e tendo em conta a rea e a

posio do centro de gravidade de um arco de circunferncia2, tem-se que

N = 4Rt fy =2

Npl com Npl = 2Rt fy (3.10)

M = (2Rt fy) (2 Rsen

) = 4R2t fy cos = cos Mpl com Mpl = 4R2t fy (3.11)

As equaes 3.10 e 3.11 podem ser reunidas numa nica atravs da eliminao do

parmetro obtendo-se

2

arcsen

M

Mpl +

N

Npl = 1 (3.12)

A equao 3.12 define a curva de interaco plstica numa seco tubular circular em

flexo composta a qual representada na figura 3.8.

2 Para um arco de circunferncia definido pelo ngulo 2 tem-serea A = 2Rt

Momento esttico S = - tR2cos d = 2t R2sen

Centro de gravidade yg = SA = R sen


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Figura 3.8 Diagrama de interaco de uma seco tubular circular em flexo composta

Na figura 3.8 representa-se tambm o diagrama de interaco elstico, correspondente

ao incio da cedncia, sendo assim possvel a sua comparao com o diagrama de

interaco plstico, sendo a anlise desta comparao idntica j apresentada para a

seco rectangular.

Exemplo 3.2: Considere-se um perfil CHS 219.1x10 S355. Adoptando um critrio de plasticidade pretende

determinar-se o valor do mximo momento que o tubo pode resistir quando sujeito a um esforo axial de

1000 kN.

Raio da linha mdia R = 219,1-102 = 104,55 mm

A= 2Rt = 2x104,55x10 = 6569 mm2 Npl = A fy = 6569x355x10

-3 = 2332 kN

Wpl = 4R2t = 4x104,552x10 = 437228 mm3 Mpl = Wpl fy = 437228x355 x10

-6 = 155,2 kNm

Para N = 1000 kN e tendo em considerao a curva de interaco definida pela equao 3.12 obtm-se

M sen

2 -2 x

10002332 x155,2 = 139,2 kNm

Sugesto: represente os diagramas de interaco (M;N), elstico e plstico, de um CHS 219.1x10 S355.

Verifique que usando um critrio elstico para um N = 1000kN o mximo momento que possvel aplicar

de 69,6 kNm.

Seco em ou H

Com excepo de alguns casos particulares, como a seco rectangular e a seco

tubular circular anteriormente apresentadas, no possvel obter uma nica equao

explcita para o diagrama de interaco. No entanto, para as seces mais correntes

possvel obter os diagramas de interaco como um conjunto de equaes cujo domnio

de validade depende das caractersticas geomtricas da seco, como se exemplifica de

seguida para o caso das seces em ou H.


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No caso de uma seco em a determinao da curva de interaco tem de ter em conta

o facto de a seco ser composta por uma alma e dois banzos. Neste caso a curva de

interaco tem de ser determinada de forma diferente consoante a alma seja ou no

suficiente para resistir ao esforo axial.

Considerem-se as situaes limites de a seco estar totalmente plastificada por flexo

em torno do eixo y e por esforo axial. Para cada uma destas situaes, e conforme se

ilustra na figura 3.9, decomponham-se os esforos nas parcelas absorvidas pelos banzo

e pela alma, identificadas pelos ndices f e w, respectivamente.

Figura 3.9 Seco em . Decomposio do Npl e do My.pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.

No caso do esforo axial tem-se

Nf= 2btf fy (3.13)

Nw = htw fy (3.14)

Npl = Nf+ Nw = (2btf+ htw) fy (3.15)

No caso do momento flector tem-se

Mf= btfh fy (3.16)

Mw =twh

2

4 fy (3.17)

My,pl = Mf+ Mw = (btfh +twh2

4 ) fy (3.18)

Com base nos valores apresentados nas equaes 3.13 a 3.18 possvel definir o

diagrama de interaco (My/My,pl; N/Npl) para uma seco que se representa na figura

3.10.


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Figura 3.10 Seco em . Diagrama de interaco plstica (My/My,pl, N/Npl)

No diagrama de interaco representado na figura 3.10 os pontos A e C correspondem

seco totalmente plastificada por flexo e por esforo axial, respectivamente. O ponto B

corresponde situao em que o esforo axial total igual ao esforo axial plstico da

alma Nw e o momento flector total igual ao momento flector plstico dos banzos Mf.

Entre os pontos B e C o diagrama de interaco linear. Com efeito, quando se aumenta

o esforo axial para valores superiores a Nw os banzos deixam de estar totalmente

disponveis para resistir ao momento flector. Como a reduo da rea dos banzosdisponvel para resistir ao momento flector varia linearmente com o esforo axial o

diagrama de interaco tambm linear entre os pontos B e C.

O diagrama de interaco entre os pontos A e B depende apenas da variao da

contribuio da alma para a resistncia ao momento flector e ao esforo axial. Como a

alma uma seco rectangular, de altura h e espessura tw, a curva de interaco entre

os pontos A e B dada por

MfMy,pl+

M - MfMw +

NNw

2

MwMy,pl 1 para N < Nw (3.19)

Nesta equao Mf/My,pl representa a abcissa do ponto B definindo a parcela do momento

resistido pelos banzos. A segunda parcela do 1 termo da equao 3.19 tem em

considerao o momento flector resistido pela alma, afectado do termo entre parnteses

rectos, que no mais do que a curva de interaco plstica da alma determinada com

base na equao 3.10, definida para seces rectangulares. Assim verifica-se que a

curva de interaco entre os pontos A e B definida pela curva de interaco de uma


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seco rectangular aplicada alma da seco e afectada do efeito de escala para ter em

considerao que a alma apenas uma das componentes da seco transversal.

Considere-se agora a determinao da curva de interaco da flexo composta de uma

seco solicitada por um momento flector segundo o eixo z. Adoptando a mesma

metodologia utilizada anteriormente apresenta-se na figura 3.11 a decomposio do

momento plstico e do esforo axial nas parcelas resistidas pelos banzos e pela alma.

Figura 3.11 - Seco em . Decomposio do Npl e do Mz,pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.

Tendo em considerao os diagramas apresentados na figura 3.11 verifica-se que os

esforos axiais absorvido pela alma, pelo banzo e pela totalidade da seco so os

definidos pelas equaes 3.13 a 3.15.

Relativamente aos momentos flectores tem-se

Mf= 2tfb

2

4 fy (3.20)

Mw = 0 (3.21)

Mz,pl = Mf+ Mw =tfb

2

2 fy (3.22)

Com base nos valores apresentados nas equaes 3.13 a 3.15 e 3.20 a 3.22 pode

definir-se o diagrama de interaco (Mz/Mz,pl; N/Npl) para uma seco que se representa

na figura 3.12.


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Figura 3.12 Seco em . Diagrama de interaco plstica (Mz/Mz,pl, N/Npl)

Os pontos A e C correspondem seco totalmente plastificada por flexo e por esforo

axial, respectivamente. O ponto B corresponde situao em que o esforo axial total

igual ao esforo axial plstico da alma Nw e o momento flector total igual ao momento

flector plstico dos banzos Mf. Entre o ponto A e o ponto B o diagrama de interaco

definido por uma recta vertical, correspondente a Mz/Mz,pl=1, uma vez que a alma no

contribui para a resistncia ao momento flector. Entre os pontos B e C o diagrama de

interaco depende apenas da variao da contribuio dos banzos para a resistncia ao

momento flector e ao esforo axial. Como os banzos so seces rectangulares, de

altura b e espessura tf, a curva de interaco entre os pontos B e C dada por

MMpz,pl

+N - Nw

Npl - Nw

2

1 (3.23)

Esta equao corresponde curva de interaco plstica dos banzos, determinada com

base na equao 3.10, definida para seces rectangulares, tendo ainda em conta que o

esforo axial total resulta da soma da parcela absorvida pelos banzos com a parcelaabsorvida pela alma.

Exemplo 3.3: Considere-se um perfil HEA200 S355. Adoptando um critrio de plasticidade pretende obter-se

o diagrama de interaco em flexo composta para o momento segundo o eixo y (My/My,pl; N/Npl).

HEA200 S355 A = 5380 mm2; Wy.pl = 430x103 mm3; fy = 355 N/mm

2

O esforo axial e o momento plstico so calculados de acordo com as equaes 3.1 e 3.2, tendo-se

Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN


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NwNpl

= 0,261

Com base nestes valores obtm-se o diagrama de interaco representado na figura 3.14 o qual

numericamente definido por

Se N/Npl > 0,261 Mz

Mpl,z+ ( )N - NwNpl - Nw

2

1 Mz

Mz.pl+ ( )N/Npl,z - 0,2611 - 0,261

2

1

MzMz.pl

+ ( )N/Npl,z - 0,2610,7392

1

Se N/Npl 0,261 Mz

Mz,pl 1

Figura 3.14 - Diagrama de interaco plstica (Mz/Mz,pl, N/Npl) para um HEA 200 S355

Com base nas curvas de interaco definidas tem-se, por exemplo, para esforos axiais de 200 e 1000 kN os

seguintes valores dos momentos flectores Mz

N = 200 kN Mz 72,4 kNm

N = 1000 kN Mz 1,125 - 1,831( )1000

1909,9

2

x 72,4 Mz 45,1 kNm

3.2.2 Flexo composta desviada

No caso da flexo composta desviada, em que a seco solicitada simultaneamente

por um esforo axial e por momentos flectores segundo os dois eixos no plano da seco,

no possvel, de uma forma geral, obter os diagramas de interaco exactos. Recorre-

se neste caso a diagramas de interaco aproximados, os quais so obtidos a partir dos


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diagramas de interaco em flexo composta, considerando a flexo apenas num plano,

que foram apresentados no 3.2.1.

Considere-se o diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) representado na figura

3.15.

Figura 3.15 Diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl)

Conforme se pode verificar na figura 3.15 no caso de Mz ser nulo o diagrama de

interaco reduz-se curva de interacoMy

My,pl;

NNpl

, ou seja, uma curva de flexo

composta com flexo apenas segundo o eixo y. Da mesma forma, no caso de My=0 o

diagrama reduz-se curva de interacoMz

Mz,pl;

NNpl

, ou seja, uma curva de interaco em

flexo composta com flexo apenas segundo o eixo z. Estas duas curvas de interaco

podem ser obtidas analisando as distribuies plsticas de tenses como foi apresentado

no 3.2.1.

Conhecidas as duas curvas de interaco, cada uma das quais com momentos apenas

num dos eixos,My

My,pl;

NNpl

eMz

Mz,pl;

NNpl

, o problema resume-se a definir a interaco para

as situaes em que os dois momentos, My e Mz, so simultaneamente no nulos.

Conforme se pode observar na figura 3.15 a superfcie de interaco

My

My,pl;

MzMz,pl

;NNpl


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pode ser definida atravs das curvas de nvel correspondentes a valores deN

Npl

constantes.

Definam-se como MN,pl,y e MN,pl,z os momentos segundo os eixos y e z, respectivamente,

associados plastificao da seco para um dado valor deN

Nple representados na

figura 3.16.

Figura 3.16 - Definio do diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) atravs de curvas de interaco

para N=cte.

A curva de nvel que define a interaco entre

My

MN,y,pl;

MzMN.z,pl

pode ser genericamente

definida por

My

MN.y.pl

+Mz

MN.z.pl

= 1 (3.24)

A aproximao da curva definida desta forma aos valores reais de um curva de

interaco pode ser efectuada atravs da calibrao dos parmetros e . Com efeito, e

conforme se ilustra na figura 3.17, fazendo variar os parmetros e de forma

independente e para valores entre 1,0 e possvel definir curvas de interaco desde

uma recta ( = = 1,0) at um quadrado ( = = ), assim como qualquer curva de

interaco intermdia entre aquelas duas curvas extremas.


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Figura 3.17 Influncia dos expoentes e na forma das curvas de interaco.

Na figura 3.18 representam-se as projeces no plano

My

MN.y.pl;

MzMN.z.pl

das curvas de

interaco para N/Npl=0 e para um valor genrico de N/Npl diferente de zero. Os valores

de e so determinados numericamente tendo em considerao as caractersticas

geomtricas das seces. No quadro 3.1 indicam-se os valores de e para o caso das

seces mais correntemente utilizadas em flexo composta desviada (EC3 [1]).

Figura 3.18 Projeco no plano ( )MyMN.y.pl; MzMN.z.pl das curvas de interaco para N = cte.


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Seco Observaes

, H 2 5n 1

2 2 -

1,661 - 1,13n2

1,661 - 1,13n2

, 6

Quadro 3.1 Valores dos parmetros e para definir as curvas de interaco entre momentos flectores

em funo do nvel de esforo axial (n= N/Npl) (Adaptado do EC3 [1])

Note-se que no caso em que um dos termos My ou Mz nulo a expresso 3.24 se reduz

s expresses da verificao da resistncia de seces solicitadas em flexo composta

no desviada.

Da anlise dos valores dos parmetros e apresentados no quadro 3.1 salientam-se

os seguintes aspectos:

- o parmetro depende do esforo axial reduzido uma vez que as curvas de

interaco so dependentes do nvel de esforo axial, ou seja, as curvas de

interaco para diferentes valores de n= N/Npl no so em geral homotticas;

- no caso particular de seces com simetria radial, como por exemplo seces

tubulares circulares, os valores de e tomam o valor de 2, ou seja, para um valorde fixo de n = N/Npl as curvas de interaco so circunferncias uma vez que os

momentos flectores resistentes so iguais em todas as direces.

Exemplo 3.5: Para o perfil HEA200 S355 j considerado nos exemplos 3.3 e 3.4 pretende determinar-se a

curva de interaco para N = 400kN e, com base nessa curva de interaco, o valor do momento resistente

My quando Mz = 20kNm:

Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN

My.pl = Wy.pl fy = 430x103x355x10-6 = 152,7 kNm

Mz.pl = Wz.pl fy = 204x103x355x10-6 = 72,4 kNm

n =NNpl

=400,0

1909,9 = 0,209

a =NwNpl

= 0,261 (ver exemplo 3.2)

MN.y.pl = 152,7 ( )1 - 2,246x0,2092 = 137,7 kNm (ver exemplo 3.2)


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MN.z.pl = Mz.pl = 72,4 kNm (note-se que n


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Figura 3.19 Interaco entre o momento flector e o esforo transverso numa seco rectangular.

Adoptando a mesma metodologia usada para a determinao do diagrama de interaco

N-M de uma seco rectangular, apresentada no 3.2.1, obtm-se para este caso

MMpl

+V

Vpl

2

= 1 (3.25)

equao esta que define a curva de interaco representada na figura 3.20.

Figura 3.20 Diagrama de interaco entre o momento flector e o esforo transverso numa seco

rectangular.

No caso de uma seco ou H o diagrama de interaco pode ser definido tendo em

considerao as caractersticas geomtricas das seces, em particular quando a seco

solicitada no plano da alma. Neste caso, e semelhana do considerado na anlise

dos diagramas de interaco esforo axial - momento flector, pode separar-se a

contribuio da alma e dos banzos para a resistncia da seco como se representa na

figura 3.21.


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Figura 3.21 Interaco entre o momento flector My e o esforo transverso Vz numa seco ou H.

Com base na contribuio dos banzos e da alma para a resistncia ao esforo transverso

define-se o diagrama de interaco My-Vz de uma seco ou H representado na figura

3.22, em que o troo no linear corresponde interaco entre o esforo transverso e omomento flector da alma, o qual definido adaptando a equao 3.25 ao rectngulo

definido pela alma do perfil, obtendo-se

M - MfMpl - Mf

+V

Vpl

2

= 1 (3.26)

Figura 3.22 - Diagrama de interaco entre o momento flector My e o esforo transverso Vz numa seco ou H.

3.2.4 Caractersticas dos diagramas de interaco

Pode demonstrar-se que os diagramas de interaco plstica so sempre convexos. Esta

propriedade tem uma importncia fundamental na determinao aproximada de curvas

de interaco e na aplicao prtica dessas mesmas curvas. Com efeito, o facto de as

curvas de interaco serem convexas permite afirmar que uma curva de interaco

obtida atravs duma poligonal definida por pontos sobre a soluo exacta sempre uma


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De acordo com o EC3 [1] as seces so classificadas da classe 1 classe 4 consoante

a forma como atingem a sua resistncia mxima e portanto o seu estado limite ltimo de

resistncia.

Nas seces das classes 1 e 2 o estado limite ltimo de resistncia atingido quando a

seco est totalmente plastificada. No caso das seces das classes 3 e 4 a capacidade

de deformao da seco (a sua extenso axial, no caso de um esforo axial, ou a sua

curvatura, no caso de um momento flector) limitada pela ocorrncia de fenmenos de

encurvadura local.

No caso das seces da classe 3 a ocorrncia da encurvadura local apenas impede o

desenvolvimento de esforos plsticos na seco, sendo a capacidade resistente definida

pelo incio da cedncia, num estado uniaxial ou multiaxial de tenses, em qualquer pontoda seco.

Nas seces da classe 4 a ocorrncia de fenmenos de encurvadura local das seco

so de tal forma condicionantes que o estado limite de resistncia da seco ocorre para

esforos inferiores aos esforos de cedncia calculados de acordo com a teoria da

resistncia de materiais. A avaliao da capacidade resistente de seces de classe 4

exige uma anlise aprofundada dos fenmenos de encurvadura local de seces, pelo

que no abordada no presente texto.

Excluindo-se as seces da classe 4 tem-se que o estado limite de resistncia de uma

seco definido pelo incio da cedncia, no caso de uma seco da classe 3, ou pela

sua plastificao total, no caso de seces das classes 1 ou 2. Sendo o critrio de

cedncia mais conservativo do que o critrio de plasticidade a sua aplicao possvel a

qualquer tipo de seco, sendo genericamente definido por

x.Ed

fy/M0

2

+z.Ed

fy/M0

2

-x.Ed

fy/M0z.Ed

fy/M0+ 3Ed

fy/M0

2

1 (EC3.1.1 6.1)3 (4.1)

em que, e sempre referido a um ponto,

x.Ed - representa o valor de clculo da tenso normal segundo x (eixo do elemento);

z.Ed - representa o valor de clculo da tenso normal segundo z (eixo perpendicular

ao eixo do elemento e que, juntamente com este, define o plano de

carregamento);

3 - Por uma questo de referncia aos textos dos Eurocdigos identifica-se, quando apropriado, o

documento e o nmero da equao nesse documento. Por exemplo a equao 4.1 deste texto idntica equao 6.1 do Eurocdigo 3 Parte 1.1 [1].


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Ed - representa o valor de clculo da tenso tangencial.

A equao 4.1 corresponde aplicao a um estado plano de tenso do critrio de

Mises-Hencky, que permite definir o incio da cedncia num estado de tenso genrico,

sendo a tenso de cedncia dividida pelo coeficiente parcial de segurana M0 4.

Nos casos correntes de elementos metlicos a tenso z.Ed nula, ou no sendo nula

suficientemente pequena para poder ser desprezada, caso em que a equao 4.1 se

reduz a

x.Ed

fy/M0

2

+ 3Ed

fy/M0

2

1 (4.2)

Note-se que as equaes 4.1 e 4.2 permitem definir a ocorrncia da cedncia numa

seco de uma pea linear uma vez que as tenses x.Ed, z.Ed e Ed tm de ser

calculadas tendo em considerao os esforos que actuam na seco: esforo normal,

momentos flectores, esforos transversos e momento torsor.

Conforme j foi referido a capacidade resistente das seces das classes 1 e 2 no se

esgota com o incio da cedncia, podendo para as seces destas classes considerar-se

a sua plastificao total. A determinao dos esforos associados plastificao total das

seces, seja no caso dos esforos actuando isoladamente, seja no caso de

combinaes de esforos, foi j apresentada no 3. Para a determinao dos esforoscorrespondentes aos estados limites ltimos de resistncia de acordo com o EC3 [1]

apenas necessrio considerar o coeficiente parcial de segurana das resistncias que, e

uma vez que se trata de situaes em que a resistncia condicionada pela plasticidade,

neste caso M0.

Os elementos das estruturas metlicas tm de ser ligados entre si. Estas ligaes podem

ser efectuadas atravs de soldaduras, de parafusos ou, em alguns casos particulares,

com rebites. Nestes ltimos casos os elementos tm de ser furados de modo a

permitirem a colocao dos elementos ligadores. A existncia dos furos reduz a rea da

seco definindo-se uma seco til, que se designa por Anet, cuja resistncia pode ser

condicionante.

Saliente-se que no caso das seces das classes 1 e 2 a resistncia da seco til

tambm calculada com base numa distribuio plstica de tenses, mas definida pela

4 - Os coeficientes parciais de segurana so definidos nos Anexos Nacionais de cada pas.

Neste texto consideram-se os valores recomendados no Eurocdigo 3 Parte 1.1 [1], ou seja,M0 = M1 = 1,0; M2 = 1,25.


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tenso ltima fu e no pela tenso de cedncia fy. No caso das seces correntes a

resistncia plstica calculada com base na tenso de cedncia, permitindo assim

assegurar que o comprimento do elemento em que as seces esto totalmente

plastificadas infinitesimal, uma vez que nas seces adjacentes os esforos serosempre inferiores aos esforos plsticos. No caso da verificao da resistncia das

seces teis admite-se que a tenso pode atingir o valor da tenso ltima fu, afectada de

um coeficiente de reduo, que de acordo com o EC3 [1] de 0,90, uma vez que seco

til existe apenas num pequeno comprimento ao longo do eixo da pea, pelo que sua

plastificao no est associada nenhuma plastificao nas zonas do elemento fora das

seces reduzidas pela existncia dos furos.

No EC3 [1] a verificao da seco til apresentada apenas para o caso da traco.

Note-se que no caso de esforos de compresso o problema da seco til no se coloca

pois assume-se que o furo est preenchido com o ligador, um parafuso ou um rebite. No

caso de esforos de flexo, ou mais geralmente de flexo composta, a determinao da

capacidade resistente da seco til pode efectuar-se tendo em considerao as regras

de clculo da resistncia da seco aplicadas apenas parte traccionada da seco. Por

exemplo, no caso de uma seco em I ou H em flexo simples a regra da verificao da

resistncia da seco til aplica-se apenas ao banzo traccionado.

Refira-se finalmente que, estando a determinao da capacidade resistente das secesteis associada ao estado limite ltimo de resistncia das ligaes, o coeficiente parcial

de segurana que se considera o M2 ( de acordo com o EC3.1.1 [1] recomenda-se que

se considere M2 = 1,25).

A verificao da segurana das seces teis pode ser condicionante na verificao da

capacidade resistente das seces de um elemento de uma estrutura metlica uma vez

que, por razes relacionadas com a economia e com a montagem das estruturas, as

ligaes entre elementos estruturais se efectuam nas extremidades das barras, ou seja,

nas seces em que, frequentemente, os esforos so mximos.

Apresentam-se em seguida e de uma forma resumida as regras para a determinao de

acordo com o EC3.1.1 [1] da capacidade resistente das seces das classes 1 e 2.

Recorde-se que as seces das classes 1 e 2 so aquelas que em que possvel

determinar os valores de clculo dos esforos resistentes com base em distribuies

plsticas de tenses. As letras maisculas usadas para as variveis permitem identificar

o tipo de esforo.


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No caso mais geral de uma seco solicitada em flexo composta desviada os diagramas

de interaco so definidos atravs da seguinte equao

My,Ed

MN,y,Rd

+ Mz,Ed

MN,z,Rd

1 (EC3.1.1 6.41) (4.3)

em que MN,y,Rd e MN,z,Rd representam os valores de clculo dos momentos flectores

resistentes tendo em considerao os valores do esforo axial, calculados em flexo

composta. Os valores dos parmetros e esto definidos no Quadro 3.1.

4.2.3 Interaco do esforo transverso com o esforo axial e o momento flector.

Conforme se apresentou no 3 nos casos correntes, e devido s caractersticas

geomtricas das seces, o esforo transverso actuante , em geral, suficientemente

pequeno em comparao com o seu valor resistente para que no seja necessrio

considerar a sua interaco com os esforos que produzem tenses normais, o esforo

normal e o momento flector. No entanto, e conforme tambm se apresentou no 3, a

considerao simultnea do esforo transverso e dos momento flectores ou do esforo

axial pode obrigar considerao do efeito esforo transverso na anlise da interaco

de esforos. No EC3 [1] a interaco entre o esforo transverso e o momento flector ou o

esforo axial considerada de forma aproximada. Esta aproximao toma como

referncia o parmetro , definido por

=2VEd

Vpl.Rd- 1

2

se VEd/Vpl.Rd > 0,5 (4.4a)

= 0 se VEd/Vpl.Rd 0,5 (4.4b)

(4.5)

Se =0, o que corresponde a admitir que VEd/Vpl.Rd 0,5, no necessrio considerar a

interaco. Se > 0, o que corresponde a VEd/Vpl.Rd > 0,5, o efeito do esforo transversona determinao do momento flector ou do esforo axial resistente considerado atravs

da reduo do valor da tenso de cedncia atravs da seguinte expresso

fy.red = (1 - ) fy

em que fy.red representa um valor reduzido da tenso de cedncia. Saliente-se que no

EC3 [1] no existe nenhuma referncia a fy.red, sendo sempre indicado de forma explicita

(1-)fy.


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Seces da classe 1 e 2

Esforos isolados

Esforo axial

traco

Nt.Ed/Nt.Rd 1,0N

t.Rd=

Npl.Rd = Afy/M0

Nu.Rd = 0,9Anetfu/M2

Esforo axial

compresso

Nc.Ed/Nc.Rd 1,0 Nc.Rd = Npl.Rd = Afy/M0

Momento

flector

MEd/Mc.Rd 1,0 Mc.Rd = Mpl.Rd = Wplfy/M0

Esforo

transverso

VEd/Vc.Rd 1,0 Vc.Rd = Vpl.Rd = Avfy/ 3/M0 Av hwtw

Flexo Composta

Seces rectangulares

MN.Rd = Mpl.Rd

1-

NEd

Npl.Rd

2

Seces em I ou H

Se n0,25 e

n0,5a

MN.y.Rd = Mpl.y.Rd n =NEd

Npl.Rd

a =A - 2btf

A

hwtw

A

Se n>0,25 ou

n>0,5a MN.y.Rd = Mpl.y.Rd1-n

1-0,5a

Mpl.y.Rd

Se na MN.z.Rd = Mpl.z.Rd

Se n>aMN.z.Rd = Mpl.z.Rd

1-

n-a

1-a

2

Seces tubulares ou em caixo

MN.y.Rd = Mpl.y.Rd1-n

1-0,5aw Mpl.y.Rd n =

NEdNpl.Rd

aw = (A - 2btf)/A0,5

MN.z.Rd = Mpl.z.Rd1-n

1-0,5af Mpl.z.Rd n =

NEdNpl.Rd

af= (A - 2htw)/A0,5

Quadro 4.1 Determinao de esforos axiais, momentos flectores e curvas de interaco definidas no

EC3 [1] para seces das classes 1 e 2.


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As expresses apresentadas no Quadro 4.1 tambm so aplicveis nos casos em que

necessrio ter em considerao o efeito do esforo transverso, sendo nestes casos

suficiente determinar os esforos plsticos da seco com base no valor reduzido da

tenso de cedncia fy.red, definido na equao 4.5.

Se o esforo transverso actuante for inferior a metade do correspondente valor resistente,

o valor reduzido da tenso de cedncia igual prpria tenso de cedncia. No caso de

o esforo transverso actuante ser igual ao esforo transverso resistente o valor reduzido

da tenso de cedncia nulo, ou seja, a seco esgota toda a sua capacidade resistente

no esforo transverso, no tendo nenhuma reserva para a resistncia ao momento flector

ou ao esforo normal.

Com base na aproximao adoptada no EC3 [1] consegue evitar-se a necessidade deconsiderar a interaco do esforo transverso com o momento flector ou com o esforo

axial para esforos transversos pouco significativos, permitindo simultaneamente que,

nos casos em que a interaco no pode deixar de ser desprezada, os momentos

flectores ou os esforos axiais sejam calculados atravs de uma simples correco do

valor da tenso de cedncia para o seu valor reduzido.

No caso particular das seces em I ou H, e tirando partido das caractersticas

geomtricas destas seces, em que no caso de a seco ser solicitada em flexo com

esforo transverso no plano da alma os banzos asseguram a resistncia ao momento

flector e a alma a resistncia ao esforo transverso, a aproximao adoptada no EC3 [1]

pode ser aplicada apenas alma, conduzindo neste caso a

My.V.Rd =Wpl.y -Aw

2

4twM0

fy com Aw = hwtw (EC3.1.1 6.30) (4.6)

Tendo em conta que

Wpl.y = Wpl.f+ Wpl.w com Wpl.w =

Aw2

4tw (4.7)

em que Wpl.f e Wpl.w representam os mdulos plsticos de flexo do banzo e da alma,

respectivamente, a equao 4.6 pode ser reescrita na forma

My.V.Rd =Wpl.f fyM0

+ (1 - )Wpl.w fyM0

(4.8)

ou seja o momento flector resistente total a soma do momento flector plstico do banzo,

o qual nunca afectado pelo efeito do esforo transverso, com o momento flector


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resistente da alma afectado do coeficiente (1 - ), para ter em considerao a interaco

com o esforo transverso.

5. REFERNCIAS

[1] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules forbuildings. EN 1993-1-1; May 2005.

resist en cia de seccoes_rev3

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