Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado (2012)Materia:MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEl alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.Se podra utilizar cualquier tipo de calculadora.

Propuesta A

1. En una escuela se quiere preparar una excursion para 220 alumnos. La empresa de transportes con la quehan hablado tiene 4 autobuses de 40 plazas y 3 de 60 plazas. El alquiler de un autobus grande cuesta 800 eurosy el de uno pequeno 600 euros.

a) Dibuja la region factible. (1 punto)

b) Calcula cuantos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursion resulte lo mas economicaposible para la escuela. (0.5 puntos)

2. Una empresa ha vendido por Internet 105 libros electronicos en un mes. Se dispone de tres modelos A, B yC, cuyos precios son 150 ¿, 250 ¿ y 400 ¿ respectivamente. La recaudacion del mes ha sido de 21500 ¿. Sesabe que el numero de libros electronicos vendidos del modelo A es el doble de la suma de los de tipo B y C.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el numero de libros electronicosvendidos de cada modelo. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. Dada la funcion f(x) = x3 + ax2 + bx

a) Calcula los valores de las constantes a y b sabiendo que la funcion tiene un maximo relativo en el puntode abscisa x = 1, y un punto de inflexion en x = 2. (0.75 puntos)

b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de la funcion f . (0.75 puntos)

4. Se considera la funcion f(x) =

{|x− 2| − t si x ≤ 2(x− 3)2 − 2 si x > 2

Se pide:

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 puntos)

b) Para t = 2, representa graficamente la funcion f. (1 punto)

5. El 15 % de los estudiantes matriculados en una determinada asignatura de un centro universitario sonfumadores . El 1 % de estos alumnos fumadores obtienen una calificacion de sobresaliente en dicha asignatura.Mientras que el 30 % de los alumnos no fumadores obtienen el sobresaliente.

a) Elegido un alumno al azar, ¿cual es la probabilidad de que haya obtenido un sobresaliente en la citadaasignatura? (0.75 puntos)

b) Sabiendo que un alumno elegido al azar ha obtenido un sobresaliente, ¿cual es la probabilidad de que seafumador? (0.75 puntos)

6. Se ha tomado una muestra aleatoria de los precios, en euros, de un determinado refresco en 10 estableci-mientos de una ciudad y han resultado ser: 0.60, 0.80, 1.20, 0.95, 0.65, 0.70, 0.75, 0.85, 1 y 0.90. Suponiendoque el precio de este producto se distribuye segun una ley normal de desviacion tıpica 0.10 euros, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para el precio medio del refresco en dicha ciudad. (1.25 puntos)

b) Razona y explica que se podrıa hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con elmismo nivel de confianza (0.75 puntos)

A1.- Solución:

Llamaremos x=nº de autobuses de 40 plazas, y=nº autobuses de 60 plazas que utilizaremos

respuesta.la es € 3000 y 60 de 3 y plazas 40 de autobús 1 Luego

480024002400P(4,3)

2400600P(1,3)

32008002400P(4,1)

800y600xy)P(x,minimizar Objetivo

3

4

3

1

3

1132

3

2206040

1

4

4

1132

4

2206040

;

0y

0x

3y

4x

220y6040x

nesRestriccio

3000

y

x

y

x

y

yx

y

yx

y

x

x

yx

x

yx

A2.- Solución:

Llamaremos x=nº de libros modelo A, y=nº de libros modelo B, z=nº de libros modelo C

105zyx eny

35z yen dosustituyen

70

20

15

154534301411

3851111

4301411

35

4301411

10533

43085)(6

105)(2

)(2

430853

105

)(2

21500400250150

105

x

y

z

zzzy

zy

zy

zy

zy

zy

zyzy

zyzy

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

El primer sistema es el planteamiento y la continuación la resolución (70 del modelo A, 20 del B y 15 del C)

A3.- Solución:

Se trata de una función derivable y las condiciones del enunciado obligan a que la derivada primera se anule

en x=1 y la segunda se anule en x=2

),3(creciente)(,)3,1(edecrecient)(,)1,(creciente )(

),3(0)(',)3,1(0)(',)1,(0)('

)3)(1(3dofactorizan 9123)('96)(

9

6

0212

023 luego

212)2(''

23)1('

26)(''

23)('

223

2

enxfenxfenxf

enxfenxfenxf

xxxxxfxxxxf

b

a

a

ba

af

baf

axxf

baxxxf

A4.- Solución:

a) Para ser continua en a tiene que estar definida en a, tener límite y que el límite coincida con el valor f(a)

),2( abajohacia 2y

izquierdala a 3 desplazada xparábola la es segundo El.]2,(22-xrecta la es zoprimer tro Elb)

),2( abajohacia 2y

izquierdala a 3 desplazada xparábola la es segundo El.]2,(1-x12-xrecta la es zoprimer tro El

),2(2)3(

]2,(12-x)(;1

12)3()(

2)(

)2(

2

2

2

2

22

22

limlim

limlim

en

enx

en

en

enx

enxft

xxf

ttxxf

tf

xx

xx

A5.- Solución:

%585'0%65'25

%1%·15

)(

)()()

%65'25%30%·85%1%·15)()·()()·(

)()())()(()()

SobP

SobFP

SobFPb

NFSobPNFP

FSobPFP

SobNFPSobFPSobNFSobFPSobPa

A6.- Solución:

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,97 en nuestro caso). x la

media de la muestra, ahora 0,84€(sumamos y dividimos por 10); la desviación típica, ahora 0,10€; n el

tamaño de la muestra, 10.

)985,0015,01( queya 17,2015,02/03,097,01 2/z .Ver tabla

a)Luego el intervalo pedido es:

)91'0,77'0(10

1,017,284,0,

10

1,017,284,0·,· 2/2/

nzx

nzx

b) Observamos que n, el tamaño de la muestra, aparece en el denominador, luego cuanto más grande sea

menor será el radio del intervalo y por tanto menor el intervalo. Luego, aumentaríamos el tamaño de la

muestra. Para que el intervalo se reduzca a la mitad debemos cuadruplicar el tamaño de la muestra.

La distancia vertical entre las dos gráficas es la amplitud del intervalo para cada n

Propuesta B

1. Dadas las matrices: A =

−1 01 −30 1

, B =

(−2 1 −20 1 3

)y C =

(3 11 0

). Se pide:

a) Calcular la matriz M = (2 · I +A ·B), donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 puntos)

b) Calcular la matriz X tal que X · C = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos)

2. Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B y C. Los precios de las entradas son 2, 5 y 8 euros res-pectivamente. En un dıa la recaudacion conjunta de las tres salas fue de 1020 euros. Se sabe que vendieron untotal de 300 entradas. El numero de entradas vendidas de la exposicion A fue el doble de las que vendieronconjuntamente en B y C.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el numero de visitantes que tuvocada exposicion. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. El ındice de audiencia de un programa de television de 3.5 horas de duracion se estudia mediante la funcion:f(t) = t3− 6t2 +9t+10, 0 ≤ t ≤ 3.5. Siendo t el tiempo transcurrido en horas desde que comienza el programay f(t) el porcentaje ( %) de personas que ven el programa en el momento t.

a) ¿Cual es el porcentaje de personas que ven el programa transcurridas 3 horas (t = 3) desde el comienzodel programa? (0.25 puntos)

b) Calcula el momento de maxima audiencia y el porcentaje de personas que ven el programa en ese momento.(1.25 puntos)

4. Se considera la funcion f(x) =

{|x3 − 2| si x ≤ 2(x− 3)2 − 2 si x > 2

Se pide:

a) Estudia su continuidad en x = 2. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo (2,4). (0.5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (2,∞). (0.5 puntos)

5. En una biblioteca del campus de la UCLM hay 100 personas de Albacete, 50 de Ciudad Real, 100 de Toledoy 50 de Cuenca.

a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, ¿cual es la probabilidad de que no le toque a ningun toledano?(pueden tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (0.75 puntos)

b) Se eligen al azar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una y sin que se puedanrepetir, ¿cual es la probabilidad de que las tres sean ciudadrealenas? (0.75 puntos)

6. En una ciudad el consumo de agua por persona y dıa sigue una distribucion normal de desviacion tıpica 20litros. Se eligieron al azar 50 personas, cuyo gasto medio de agua al dıa fue de 185 litros.

a) Halla el intervalo de confianza al 95 % para el consumo medio diario de agua por persona y dıa en esaciudad. (1 punto)

b) Razona como podrıamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)

B1.- Solución:

510

302

214

310

322

212

200

020

002

310

212·

10

31

01

100

010

001

2··2) BAIa

adjuntos deesta la transpupor

C de tedeterminan del

inverso el domultiplica Hemos

31

10

31

10

1

1

01

13·)

1

1 XCXICXb

B2.- Solución:

Llamaremos x=nº de entradas para la sala A, y=nº de entradas para la sala B, z=nº de entradas para la sala C

Cla en 40 y la B en 60 A,sala la en entradas 200200)4060(2

6010040

4090099

1020129

30033

1020129

)(2

300)(2

102085)(4

)(2

300

1020852

x

yy

zzy

zy

zy

zy

zyx

zyzy

zyzy

zyx

zyx

zyx

B3.- Solución:

14% elhora 1ida transcurr14) , (1 en Máximo06126)1(''

3

1034091230)('

126)(''9123)(')

%1010275427)3(1096)()

22

2

23

f

t

ttttttf

ttftttfb

fttttfa

B4.- Solución:

a) Para ser continua en a tiene que estar definida en a, tener límite y que el límite coincida con el valor f(a)

parábola.una es que dicho he ya ),3( creciente y 3) , (2 en edecrecient es c)

parábolala de vérticeel es que (3,-2) en mínimo unhay luego b)

),2( abajohacia 2y izquierda la a 3 desplazada xparábola la es f(x) de trozosegundo Elb)

2x encontinua es no )(;16

12)3()(

62)(

6)2(

2

2

22

3

22

limlim

limlim

en

en

xf

xxf

xxf

f

xx

xx

B5.- Solución:

44551

196

298

48·

299

49·

300

50CR) desea p3la CR desea p2la CR desea 1persona P(la b)

persona.misma la a dos los tocar pueden y 9

4

300

200·

300

200 toque)no O2 toqueno 1(

300

200 toledano)una toqueno 2(,

300

200 toledano)una toqueno 1()

OP

OPOPa

B6.- Solución:

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,95 en nuestro caso). x la

media de la muestra, ahora 185 litros; la desviación típica, ahora 20 litros; n el tamaño de la muestra, 50.

)975,0025,01( queya 96,1025,02/05,095,01 2/z .Ver tabla

a) Luego el intervalo pedido es:

)54'190,46'179(50

2096,1185,

50

2096,1185·,· 2/2/

nzx

nzx

b) Observamos que n, el tamaño de la muestra, aparece en el denominador, luego cuanto más grande sea

menor será el radio del intervalo y por tanto menor el intervalo. Luego, aumentaríamos el tamaño de la

muestra. Para que el intervalo se reduzca a la mitad debemos cuadruplicar el tamaño de la muestra.