REPUBLICA DE PANAMA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE JOVENES Y ADULTOS

MODULO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA

NIVEL: 12°-LETRAS

FACILITADOR:

TRIMESTRE: III

“EDUCANDO PARA UN MUNDO COMPETITIVO”

2015

2

VISIÓN

Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada

calidad y reconocimiento Nacional en la formación de jóvenes y

adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y

empresarial.

MISIÓN

El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora

con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y

adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias

esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier

institución superior pública o privada.

VALORES

Responsabilidad, Cooperación, Honestidad, Sensibilidad Social,

Innovación Creativa, Diversidad, Respeto, Solidaridad, Equidad.

3

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

MENSAJE AL ESTUDIANTE.

TEMA #1: DESIGUALDADES

TEMA #2: FUNCIONES LINEALES

TEMA #3: LÍMITES

TEMA #4: DERIVADAS.

BIBLIOGRAFÍA

4

INTRODUCCIÓN

El presente módulo instruccional está estructurado en cuatro temas; cada uno

dividido en subtemas y desarrollado con una gran variedad de ejemplos y

diversas actividades de aprendizaje, divididas en forma individual y grupal.

La metodología del módulo se caracteriza por una presentación clara de cada

tema, de fácil comprensión mediante el empleo de un vocabulario sencillo.

Este módulo pretende ser un instrumento válido para el desarrollo de las

potencialidades de los participantes de décimo grado 12°Letras del Instituto

Laboral Nueva Luz.

5

MENSAJE AL ESTUDIANTE

Estimado y apreciado amigo estudiante, Bienvenido al año escolar 2015. Te

animo a que durante este periodo dediques todo tu esfuerzo, capacidad e

interés para el logro satisfactorio de los objetivos propuestos y de esta forma

puedas aplicar los conocimientos que te ayudaran a ser un mejor individuo y

futuro profesional.

¡Vamos Anímate!

Y recuerda los obstáculos se hicieron para ser superados.

Tú tienes el don divino de la inteligencia y la sabiduría. ¡Úsalo!

6

Desigualdades o

Inecuaciones

7

TEMA #1: DESIGUALDADES

Objetivos: Resolver desigualdades lineales. Encontrar los valores críticos de

las desigualdades cuadráticas.

Concepto: Una desigualdad es una relación que establece una comparación

entre dos cantidades que no son iguales.

Ejemplos de desigualdades:

( )

Para las desigualdades utilizaremos la siguiente simbología:

La solución de desigualdades utiliza paréntesis ( ) para los intervalos solución

que son abiertos y para cuando un extremo de la solución sea el infinito .

Pero cuando los intervalos solución son cerrados se utilizan los corchetes , -.

Y cuando los intervalos tienen extremos uno cerrado y otro abierto entonces se

utilizan ya sean los paréntesis y los corchetes combinados según sea cada

extremo solución.

8

Para graficar la solución de una desigualdad se utiliza la Recta Real Numérica

Observación: si una desigualdad se multiplica o divide por un número

negativo, la dirección de la desigualdad cambia.

TIPOS DE DESIGUALDADES:

Numéricas: son desigualdades que ordenan elementos de los números reales.

Ejemplo:

Se lee 3 es menor que 5

__________________________

____________________________

Algebraicas: son desigualdades que contienen números y expresiones con una

o más variables.

Ejemplo:

Desigualdades Algebraicas:

Desigualdades Absolutas: se cumplen para todos los valores de las variables.

Ejemplo:

Desigualdades Condicionales: son desigualdades que no se cumplen para

todos los valores reales de las variables.

Ejemplo:

0 -2 2 1 -1

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PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.

Consideremos .

TRICOTOMIA: dados dos cantidades, con es posible

establecer múltiples relaciones tales como:

No negatividad:

Transitividad: si entonces

Si entonces

Suma de desigualdades:

Si entonces

Si entonces

Producto de desigualdades:

Si y entonces

Si y entonces

Si y entonces

Si y entonces

CONJUNTO SOLUCIÓN.

La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la

incógnita que la satisface.

Así resolver una desigualdad es hallar su conjunto solución, utilizando reglas

y propiedades.

Intervalo: es un subconjunto de los números reales que está comprendido

entre dos números cualesquiera , , es decir es un subconjunto

de la recta numérica.

10

TIPOS DE INTERVALOS.

11

Inecuaciones Lineales de primer grado: son inecuaciones en las cuales el

grado más alto que tiene una variable es uno; como en los siguientes casos:

Resolver una inecuación es hallar los valores en los cuales se cumple la

desigualdad.

Ejemplo 1:

Dada la siguiente inecuación , halla el conjunto solución y

grafícalo.

Solución:

Transponiendo

Despejando x

Simplificando

Conjunto solución simbolizado con S

( ) ó * +

Ejemplo 2: Resolver

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖 𝑛: ( )

12

Ejemplo 3: Resolver

Observación: el sentido de la desigualdad cambio pues se dividió entre un

número negativo

Ejemplo 4: Resolver

PRACTICA INDIVIDUAL 1

Resuelva las siguientes desigualdades lineales:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖 𝑛: (

)

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖 𝑛: ,

)

13

14

Unidad 2

Desigualdades Cuadráticas

15

Inecuaciones cuadráticas.

Una inecuación cuadrática es una expresión que tiene la forma:

En ella el conjunto solución estará determinado por las soluciones de la

ecuación cuadrática

En la cual se pueden aplicar cualquiera de los métodos conocidos.

Recordemos la factorización en algunos de sus casos:

Trinomio de la forma

Ejemplo: ( )( )

Diferencia de cuadrados:

Ejemplo: ( )( )

Practiquemos para recordar:

Factorizemos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

16

Para encontrar el conjunto solución de inecuaciones cuadráticas es

conveniente:

1) reducir la ecuación algebraicamente todo lo posible.

2) factorizar.

3) utilizar el método de los puntos críticos para determinar donde se cumple la

igualdad.

Puntos críticos: son los valores que hacen que la inecuación tome el valor de

cero.

Ejemplo: ( )( )

Los puntos críticos son x= -5 , x=3

Ejercicio: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática

Solución:

( )( )

Los puntos críticos son: x= 6 , x= -2

Para determinar el conjunto solución evaluamos la expresión cuadrática con:

a) un número menor que -2 ósea

b) un número mayor que -2, pero menor que 6. Ósea

c) un número mayor que 6. Ósea

Luego:

17

intervalos

Valor de prueba -3 0 7

( ) - - +

( ) - + +

( )( ) + - +

Entonces ( )( ) cuando

.

Así * +

Ejemplo: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática

Solución:

( )( )

Los puntos críticos son: x= -3 , x= 1

18

intervalos

Valor de prueba -4 0 2

( ) - + +

( ) - - +

( )( ) + - +

Entonces: ( )( ) cuando

Así * +

Ejemplo: encuentra el conjunto solución de la ecuación cuadrática

Solución:

( )( )

Los puntos críticos son: x=3 , x= -3

intervalos

Valor de prueba -4 0 4

( ) - + +

( ) - - +

( )( ) + - +

19

Entonces ( )( )

Cuando

Así: ( - , )

ASIGNACIÓN PRÁCTICA GRUPAL 2

Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas.

1.

2.

3.

4.

20

UNIDAD 3

-Funciones Lineales.

-Límite de funciones.

21

FUNCIONES LINEALES

Objetivo: Graficar funciones lineales y cuadráticas.

Concepto: Una función es una correspondencia entre los elementos de un

conjunto que se llama Dominio, y los elementos en otro conjunto llamado

Codominio.

La notación ( ) indica que es una función de

Funciones lineales: Una función es lineal si es de la forma ( )

Donde y son números o constantes,

Dominio: es el conjunto de todos los valores que se pueden sustituir en la

función o el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

Codominio: es el conjunto de todos los valores que toma la gráfica de la

función, este se determina con relación a la ordenada o variable dependiente.

Gráficas de las funciones lineales: Las gráficas de las funciones lineales

siempre son líneas rectas y se construyen en el plano cartesiano. Para graficar

funciones lineales se construye una tabla, donde cada valor de que es la

variable independiente, genera un valor o imagen para o ( ) que es la

variable dependiente.

PLANO CARTESIANO

22

Para localizar una punto en el plano cartesiano, se acostumbra a ubicar

primeramente el valor de , posteriormente se ubica el valor de

Ejemplo: Graficar la función ( ) . Luego asignamos algunos

valores para la variable , donde cada valor de generará un valor para ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Hacemos una tabla de valores con los resultados obtenidos para y para

Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano, dando como

resultado la siguiente gráfica:

-3 -8

-2 -5

-1 -2

0 1

1 4

2 7

3 10

23

Graficar ( )

Luego asignamos algunos valores para la variable , donde cada valor de

generará un valor para ( ).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano.

Graficar ( )

Luego asignamos algunos valores para la variable , donde cada valor de

generará un valor para ( ).

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

24

Luego se ubican todos los pares de puntos en el plano cartesiano.

TALLER GRUPAL 3

Grafica las siguientes funciones, hallar el dominio y Codominio de cada una.

a) ( )

b) ( )

c) ( )

PRÁCTICA INDIVIDUAL 2

Grafica las siguientes funciones, hallar el dominio y Codominio de cada una.

a) ( )

b) ( )

c) ( )

25

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Objetivo: Calcular el límite de una función.

Concepto: dada una función ( ) y un punto se dice que es el límite de

( ) cuando se acerca al valor y se denota como:

( )

Propiedades de los límites:

Múltiplo escalar

( ) ( )

Suma o Resta de funciones

, ( ) ( )-

( )

( )

Producto de funciones

, ( ) ( )-

( )

( )

Cociente de funciones

( )

( )

( )

( )

Observación:

Al momento de calcular el límite de un cociente se pueden presentar tres

casos:

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cuando esto sucede obligatoriamente hay que Factorizar si es un

polinomios, y si interviene raíces, se multiplica por el conjugado.

Recordemos dos casos de factorización que necesitaremos.

TRINOMIO DE LA FORMA

Para Factorizar estos polinomios se deben buscar dos números que son únicos,

cuya multiplicación sea igual a , es decir el término libre y cuya suma o resta

sea igual a , es decir al coeficiente numérico de . Para este caso de

factorización se deben recordar las leyes de los signos para la suma y la

multiplicación.

Ejemplo: Factorizar

( )( )

Se observa claramente que y que

Factorizar

Luego, ( )( )

Se observa que y que

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

La diferencia de cuadrados se factoriza de la siguiente forma:

( )( )

Ejemplo: ( )( )

27

Diferencia de cuadrados

Cálculo del límite de una función.

Ejemplos:

Calcular

Para calcular el límite simplemente sustituimos la por su respectivo valor.

( ) ( )

( )

Luego,

Calcular

( ) ( )

Luego,

Calcular

Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a 3

( )

el límite es indeterminado.

Po lo cual tenemos que factorizar para tratar de evitar la indeterminación del

límite.

28

( )( )

Luego,

Calcular

Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a

( )

( ) ( )

El límite es indeterminado por lo cual procedemos a factorizar si es posible.

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Luego,

Calcular

Diferencia de cuadrados

Trinomio de la forma 𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄

29

Evaluamos el valor de este límite cuando tiende a

( ) ( )

( ) ( )

El límite es indeterminado por lo cual procedemos a factorizar si es posible.

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Luego,

TALLER GRUPAL 4

Calcule los siguientes límites.

Trinomio de la forma 𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄

Trinomio de la forma 𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄

30

PRÁCTICA INDIVIDUAL 3: Calcule los siguientes límites.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN INSTITUTO LABORAL NUEVA LUZ

EXAMEN TRIMESTRAL DE MATEMÁTICA 12°- LETRAS

Estudiante: ________________________ fecha: ______ Puntaje del Examen: 78 pts Pts. Obt: ___

Indicaciones: Resuelva en forma clara y ordenada los siguientes problemas. Escriba con una letra legible.

I- Grafique la siguiente función lineal. Valor: 20 pts

a) ( )

II- Calcular los siguientes límites aplicando la regla de sustituir.

Valor: 30 pts

1)

2) √

3) ( )

III- Determine los siguientes límites. Valor: 20pts

31

Recomendación: evalué si el límite es indeterminado y luego proceda a

evadir la indeterminación de ser posible y para esto utilice factorización.

a)

b)

BIBLIOGRAFÍA

Panamá Solís. Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral.

Instituto Laboral Nueva Luz, Módulo Instruccional 12°, 2011.

Criterios a evaluar Puntaje

Contenidos y

procedimientos

correctamente

resueltos

70

Orden y Aseo 4

Letra Legible 4

Total 78 pts.