1. Representacin en nmero de complemento En matemticas, los nmeros negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precedindolos con un signo "". Sin embargo, en una computadora, hay varias formas de representar el signo de un nmero. Este artculo trata cuatro mtodos de extender el sistema binario para representar nmeros con signo: signo y magnitud, complemento a uno, complemento a dos y exceso N. Para la mayora de usos, las computadoras modernas utilizan tpicamente la representacin en complemento a dos, aunque pueden usarse otras en algunas circunstancias Signo y Magnitud Un primer enfoque al problema de representar el signo de un nmero podra consistir en asignar un bit para representar el signo, poner ese bit (a menudo el bit ms significativo) a 0 para un nmero positivo, y a 1 para un nmero negativo. Los bits restantes en el nmero indican la magnitud (o el valor absoluto). Por lo tanto en un byte con solamente 7 bits (aparte del bit de signo) la magnitud puede tomar valores desde 01111111(+127)a 0 (0), y de aqu a 11111111 (-127). As se puede representar nmeros desde. Una consecuencia de esta representacin es que hay dos maneras de representar 0, 00000000 (0) y 10000000 (-0). De este modo 43 decimal codificado en un [byte] de ocho bits es 10101011. Este enfoque es directamente comparable a la forma habitual de demostrar el signo (colocando "+" o "-" al lado de la magnitud del nmero). Algunas de las primeras computadoras binarias ( la IBM 7090) utilizaron esta representacin, quizs por su relacin obvia con la prctica habitual Complemento a uno Como alternativa para representar nmeros negativos puede usarse un sistema conocido como complemento a uno. La forma del complemento a uno de un nmero binario es un NOT bit a bit aplicado al nmero Recordemos que el complemento a uno de un nmero positivo no sufre ningn cambio ( C1(2)= 00000010 C1(-2)= 11111101). Como en la representacin de signo-y-magnitud, el complemento a uno tendr dos representaciones del 0: 00000000 (+0) y 11111111 (-0). Como ejemplo, el complemento a uno de 0101011 (43) se convierten en 1010100 (-43). El rango para la representacin en complemento a uno con 8 bits es -127 a +127 (en base 10). Para sumar dos nmeros representados en este sistema, uno hace una suma binaria convencional, pero es necesario sumar el ltimo acarreo obtenido al resultado de la suma. Para ver porqu esto es necesario, consideramos el caso de la suma de -1 (11111110) a +2 (00000010). La adicin binaria solamente da a 00000000, que no es la respuesta correcta! Solamente cuando se suma el acarreo al resultado obtenemos el resultado correcto (00000001). Este sistema numrico de representacin era comn en computadoras ms antiguas; el PDP-1 y la serie de UNIVAC 1100/2200, entre muchas otras, utilizaron la aritmtica en complemento a uno. (Una observacin de terminologa: El sistema es conocido como

2. complemento a uno porque la negacin de x se forma restando x a una cadena larga de unos. La aritmtica del complemento a dos, por otra parte, forma la negacin de x restando la potencia de dos que utiliza un bit ms en la representacin (Siguiendo con el ejemplo de 8 bits el nmero a restar sera 100000000). Complemento a dos Valores con nmeros de 8 bits Valor del complemento a dos Valor sin signo 00000000 0 0 00000001 1 1 ... ... ... 01111110 126 126 01111111 127 127 10000000 128 128 10000001 127 129 10000010 126 130 ... ... ... 11111110 2 254 11111111 1 255 Los problemas de las mltiples representaciones del 0 y la necesidad del acarreo de salida, se evitan con un sistema llamado Complemento a dos. En el complemento a dos, los nmeros negativos se representan mediante el patrn de bits que es un bit mayor (sin signo) que el complemento a uno del valor positivo. En el complemento a dos, hay un solo cero (00000000). Para negar un nmero (negativo o positivo) invertimos todos los bits y aadimos un 1 al resultado. La suma de un par de nmeros enteros en complemento a dos es la misma que la suma de un par de nmeros sin signo (excepto para la deteccin de desbordamiento si se usa). Por ejemplo, la suma en complemento a dos de 127 y 128 da el mismo patrn de bits que la suma sin signo del 127 y 128, tal y como se puede ver en la tabla de abajo. El valor -8, representado en binario con cuatro bits (1000) es un caso especial, ya que su complemento a dos es el mismo, es necesario cinco bits para su representacin (01000). Una forma fcil de implementar el complemento a dos es la siguiente: Ejemplo 1 Ejemplo 2 1. Empezando desde la derecha encontramos el primer '1' 0101001 0101100 3. 2. Hacemos un NOT a todos los bits que quedan por la izquierda 1010111 1010100 Tabla de comparacin La tabla siguiente compara la representacin de los enteros entre 8 y -8 (incluidos) usando 4 bits. Representacin de enteros de 4 bits Decimal Entero positivo Signo y magnitud Complemento a 1 Complemento a 2 BCD- exceso 8 +8 1000 n/a n/a n/a 1111 +7 0111 0111 0111 0111 1110 +6 0110 0110 0110 0110 1101 +5 0101 0101 0101 0101 1100 +4 0100 0100 0100 0100 1011 +3 0011 0011 0011 0011 0011 +2 0010 0010 0010 0010 1001 +1 0001 0001 0001 0001 1000 (+)0 0000 0000 0000 0000 0111 ()0 n/a 1000 1111 n/a n/a 1 n/a 1001 1110 1111 0110 2 n/a 1010 1101 1110 0101 3 n/a 1011 1100 1101 0100 4 n/a 1100 1011 1100 0011 5 n/a 1101 1010 1011 0010 6 n/a 1110 1001 1010 0001 7 n/a 1111 1000 1001 0000 8 n/a n/a n/a 1000 n/a EJERCICIOS COMPLEMENTOS DE LA BASE MENOS A1 DE UN NMERO 77 77 13 4. 63 36 1 14 (1)13 14 99 63 36 complemento de 9 de 63 82 82 61 20 79 1 62 (1)61 62 99 20 79 complemento de 9 de 20 512 512 381 130 869 1 382 (1)381 382 999 130 869 complemento de 9 de 13 CALCULO DE COMPLEMENTO A1 DE UN NMERO BINARIO Restar: 1 0 0 0 1 1 1 - 1 0 0 1 0 5. 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 (1)0 1 1 0 1 0 0 (1)0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Elaborado por: Daniela Mazamba Andrea Martnez El Carmen 07 de Mayo del 2009 6. 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 (1)0 1 1 0 1 0 0 (1)0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Elaborado por: Daniela Mazamba Andrea Martnez El Carmen 07 de Mayo del 2009