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REPRESENTACIÓN DE
FUNCIONES
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:
Conjunto de puntos del plano (x,y),
en los que y = f(x), es decir,
conjunto de puntos del plano en los
que la segunda coordenada es la
imagen de la primera.
ESTUDIO PREVIO
7.- CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
1.- DOMINIO DE DEFINICIÓN
2.- SIGNO DE LAS IMÁGENES
3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
4.- PARIDAD Y SIMETRÍAS
5.- PERIODICIDAD
6.- CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y EXTREMOS
8.- RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS
1) CAMPO O DOMINIO DE DEFINICIÓN:
)x(q
)x(px / q(x) 0
n )x(p
Conjunto de números reales que tienen imagen
a) Funciones polinómicas: y = p(x) , D =
b) Funciones racionales: y = , D =
c) Funciones irracionales: y =
D = si n es impar ; D = x / p(x) 0{ }
d) Funciones logarítmicas: y = loga p(x); D = x / p(x) 0{ }
e) Funciones exponenciales, seno y coseno: D =
Si n es par
D , 2 2,( ] [ )
2) SIGNO DE LAS IMÁGENES:
El signo de las imágenes determina las zonas del plano en el que está la gráfica de la función.
y zona del plano
donde estará la
gráfica si f(x) > 0
0 a b x
zona del plano
donde estará la
gráfica si f(x) < 0
3) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:
Son puntos de la gráfica situados sobres los ejes de coordenadas.
Puntos:
x = 0, x = 1, x = – 1, x = 2, x = –2;
, x(x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) = 0,Si y = 0
Si x = 0,
Ejemplo: y = x5 – 5x3 + 4x
Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX): y = 0 y se hallan
los correspondientes valores de x.
Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY): x = 0 y se halla
el correspondiente valor de y.
y = 0; corta al eje 0Y en (0,0)
(0 , 0), (1 , 0), (–1 , 0), (2 , 0) y (–2 , 0)
, x5 – 5x3 + 4x = 0
)2x)(2x)(1x)(1x( xy ,x4x5xy35
4) PARIDAD Y SIMETRÍAS:
Funciones pares: f(–x) = f(x). Simétricas respecto del eje OY.
Funciones impares: f(–x) = –f(x). Simétricas respecto del origende coordenadas (0,0).
Función Par, simétrica respecto del eje OY
f(x) = x4 – x2, es par porque f(-x) = (-x)4 – (-x)2 = x4 – x2
Función Impar, simétrica respecto del ORIGEN de coordenadas
Ejemplo: La función y = x5 – 5x3 + 4x es impar pues
f(– x) = (– x)5 – 5(– x)3 + 4(– x) = – x 5 + 5x 3 – 4x = – f(x)
Las funciones pares y las impares sólo es necesario estudiarlas
para x 0, pues por simetría se obtiene el resto de la gráfica.
5) PERIODICIDAD:Se dice que una función f(x) es periódica de periodo T si
x D, f(x+T) = f(x).
6) INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y
DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS:
a) Se halla f ’ (x).
b) Se estudia su signo.
c) Si en (a , b) f ’ (x) > 0 entonces f(x) es creciente en (a , b)
d) Si en (a , b) f ’ (x) < 0 entonces f(x) es decreciente en (a , b).
e) En los puntos en los que f(x) pase de decrecer a crecer hay un
mínimo.
f) En los puntos en los que f(x) pase de crecer a decrecer hay un
Máximo.
g) También se pueden hallar los extremos teniendo en cuenta
que si f ’(x0) = 0 y f ’’(x0) > 0 entonces en x0 hay mínimo y si
f ’’(x0) < 0 en x0 hay máximo.
Ejemplo: y = x5 – 5x3 + 4x
En x = 0’54 y en x = 1’64 hay mínimos.
En x = 1’64 y en x = 0’54 hay máximos.
y Crece Decrece Crece Decrece Crece
y ’ + – + – +
1’64 0’54 0’54 1’64
y ’ = 5 (x + 1’64)(x + 0’54)(x – 0’54)(x – 1’64)
y ’ = 0, x1 = – 1’64, x2 = – 0’54, x3 = 0’54, x4 = 1’64
5x4 15x2 + 4 = 0, x2 = t, x4 = t2, 5t2 15t + 4 = 0,
t1 = 2´7, t2 = 0’3, x1 = – 1’64, x2 = – 0’54, x3 = 0’54, x4 = 1’64
; y ’ = 5x4 – 15x2 + 4;
y = x5 – 5x3 + 4x . Como f(x) es impar sólo habría que estudiar
su comportamiento para x > 0
7) INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y
CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN:
a) Se halla f ’’ (x).
b) Se estudia su signo.
c) Si f ’’(x) > 0 en (a,b) entonces en (a,b) f(x) es cóncava.
d) Si f ’’(x) < 0 en (a,b) entonces en (a,b) f(x) es convexa.
e) En los puntos en los que f(x) cambia su concavidad hay puntos de inflexión.
f) Si en f ’’(x0) = 0 y f ’’’(x0) 0 entonces en x0 hay punto de inflexión.
y = x5 – 5x3 + 4x
– 1’22 0 1’22
En x1 = – 1’22, x2 = 0 y x3 = 1’22 hay puntos de inflexión.
y Convexa Cóncava Convexa Cóncava
y ’’ – + – +
y ’’ =20 x (x + 1’22)(x – 1’22)
y ’’ = 20x3 – 30x = 10x(2x2 – 3);
; y ’ = 5x4 – 15x2 + 4;
y’’ = 0, 10x(2x2 – 3) = 0,
x = 0, 2x2 – 3 = 0, 2 3x
2
3 6, x 1'22
2 2
y = x5 – 5x3 + 4x
8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:
Asíntotas verticales: La recta x = a es una asíntota vertical si
)x(flimax
)x(flimax
)x(flimax
)x(flimax
)x(flimax
8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:
Asíntotas horizontales: La recta y = b es una asíntota si
b)x(flimx
b)x(flimx
b)x(flimx
8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:
Asíntotas oblicuas: y = mx + n es una asíntota si
x x
f (x)m lim ; n lim f (x) mx
x[ ]
Asíntota oblicua
cuando x tiende a –Asíntota oblicua cuando
x tiende a
8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:
Si la gráfica de una función tiene asíntota horizontal
cuando x tiende a entonces no tiene asíntota
oblicua cuando x tiende a y viceversa.
Lo mismo ocurre cuando x tiende a – .
En las funciones racionales f(x) = , si al efectuar la división
se obtiene mx + n de cociente y R de resto, entonces
= mx + n + , es decir, y = mx + n es la asíntota oblicua.
p(x)
q(x)
p(x)
q(x)
p(x)
q(x)
R
q(x)
La función y = x5 – 5x3 + 4x no tiene asíntotas. Su
gráfica es
EJEMPLO DE ASÍNTOTAS OBLICUAS
y = , como f( x) = f(x), es par, simétrica
respecto del eje OY
2x 1
2
x x
f (x) x 1m
x xlim lim
2
2x
x 1
xlim 1
x
n f (x) mxlim
2 2
2x
x 1 x x 1 x
x 1 xlim
2x
1
x 1 xlim 0. Asíntotas y = x, y = x,
por ser par
2
x
x 1 xlim
EJEMPLO DE ASÍNTOTA OBLICUA
y = 2
2x
x 2
2
x
2x
x 2, mx
lim
2
2x
2xlim
x 22
2
x
2x2x
x 2lim
2 2
x
2x 2x 4x
x 2lim
x
4x
x 2lim 4
Asíntota y = 2x – 4
2x
f (x)x 2
Otra forma:
x
n f (x) 2xlim
82x 4
x 2