repartido 6 2010 soluciones rev1

7/30/2019 Repartido 6 2010 soluciones rev1

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Fsica II - Licenciaturas Fsica, Matemtica FCIEN-Udelar Curso 2010

Repartido 6 Campo magntico -SolucionesEjercicio 1.-El aparato de la figura consiste de un par de placas paralelas A y B yun imn grande (que no se muestra). El campo B es perpendicular alplano de la hoja y al campo elctrico generado por las placas E. Aesta regin entran partculas cargadas por el orificio de la izquierda y

salen por el de la derecha.a) Determine el sentido del campo E para que las partculas positivasatraviesen la regin sin desviarse.b) Deduzca que este sistema puede ser usado como selector develocidades para partculas cargadas, esto es, para un par de valores de E y B slo atraviesan los dos orificios laspartculas con una velocidad determinada, sin importar su carga. Halle v en trminos de E y B.

a) Para que la partcula no se desve, la fuerza neta debe ser nula, y portanto la fuerza elctrica debe ser igual y opuesta a la magntica. Como

jFM

MF= , la fuerza elctrica debe ser jF EE F= , por lo que

jE E=

b) ( )BvEF +=q =0 entonces BE

vvBvBvBE ==== 90sinsin

Ejercicio 2.- (R.H.K 34.31)Un positrn (partcula de igual masa que el electrn y carga positiva) conuna energa cintica de 22,5 eV se proyecta dentro de un campomagntico uniforme B = 455 T. Su velocidad forma un ngulo de65,5 con dicho campo magntico.a) Demuestre que la trayectoria del positrn es una hlice.b) Halle el perodo, el radio y el paso p de la hlice. La masa delelectrn es: me= 9,1110

-31 Kg.

La velocidad de la partcula se puede expresar como la suma dedos componentes: vII paralela al campo magntico y vperpendicular al mismo: v = vII + vvII = v cos v = v sin

La componente paralela no es modificada, ya que no acta ninguna fuerza en esa direccin, y setrasladar con valor constante.La componente perpendicular provocar que la misma describa una trayectoria circular.La superposicin de un movimiento circular y otro uniforme perpendicular al plano del crculo,produce un movimiento helicoidal.

m

Kv

mvK

2

2

2

== =( )

31

19

1011,9

10602,15,222

=2,81306106 m/s

Movimiento circular:qB

mK

qB

m

Km

qB

mv

qB

mvrBqv

r

vmFma M

sin2sin

2

sin2

=====

=

( )( )( )( )

mqB

mKr 0319928,0

1045510602,1

)5,65sin(10602,15,221011,92sin2619

1931

=

==

cmqB

mKr 20,3

sin2==

( )( ) ( )

8

619

31

108528,71045510602,1

1011,92222

2

=

=====

qB

m

qB

mv

vv

r

TrTv

1

FE

v

FM i

j


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81085,72

===qB

mT

paso: p = vIIT = ==

qB

mK

qB

m

m

K

cos222cos

29,16110-2 m=9,16

cm

2


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Ejercicio 3.- (R.H.K 34.17)El espectrmetro de masa de Bainbridge, mostrado en la figura, separa los ionesque tienen la misma velocidad segn su masa. El haz de iones, despus de sercolimado por las ranuras S1 y S2, pasa por el selector de velocidades compuestopor el campo E de las placas P y P y un campo B perpendicular. Aquellos ionesque pasan por el selector sin desviarse entran a una regin en donde existe un

campo magntico B y recorren trayectorias circulares.a) Demuestre que:

'rBB

E

m

q=

b) Si se retira el selector y los iones son todos acelerados desde el reposo por

un voltaje V, demuestre que:V

qrBm

2

22

=

c) Si, en el caso de b), se introducen en el espectrmetro dos tipos de tomos ionizados una vez cuyas masasdifieren una pequea cantidad m, halle la diferencia rentre los radios en trminos de V, e, m y B.d) Calcule rpara un haz de tomos de cloro ionizados una vez, de masas 35,0u y 37,0u, si: V= 7,33 kV yB = 520 mT.

Los iones que pasan el selector de velocidades son aquellos en queB

Ev =

El radio de la rbita ser (ver problema anterior):BE

qBm

qBmvr

''==

BrB

E

m

q

'=

b) En este casom

qVv

mvqV

2

2

2

== 2'22

'' qB

mV

m

qV

qB

m

qB

mvr ===

V

qrBm

2

'22

=

c)V

qrBm

2

' 22= rrV

qBrr

V

qBm

22'

22

'== m

rqB

Vr

2'

= mmqB

Vm

mV

qB

qB

Vr

2

2

2 '22

'

'==

mqmB

Vr

2'2

=

d) Unidad de masa atmica: 1 u = 1,6605 10-27 kg

( )( )( )( )=

==

27

22719

3

2106605,12

520,0106605,13510602,12

1033,7

'2

xm

qmB

Vr 4,007 10-3 m

== mqmB

Vr

2'2

4,01 mm

Ejercicio 4.-En un espectrmetro de masa se generan iones de carbono (C+) ysilicio (Si+) a partir de sus respectivos tomos a los que se les retira unelectrn (masa atmica del C: 12,0g; masa atmica del Si: 28,0g).Estos iones son acelerados a partir del reposo en una diferencia depotencial V= 1000 V y luego penetran en una cmara de vaco (verfigura) en la que existe un campo magntico constante perpendicular alplano de la figura. Los dos tipos de iones emergen de la cmara devaco por diferentes orificios movindose en sentido opuesto a lavelocidad al ingreso a la cmara de vaco. Sean xe ylas separacionesentre los orificios de entrada y salida para C+ y Si+respectivamente.Calcule la raznx/y.

Los radios estarn dados por la expresin (ver ejercicio anterior, parte b): 22

qB

mVr=

2

2

qB

Vmx C=

2

2

qB

Vmy Si=

7

3

28

12

2

2 2

2====

Si

C

Si

C

m

m

Vm

qB

qB

Vm

y

x

Ejercicio 5.-Una partcula cargada de carga q entra con velocidad V0 tal comomuestra la figura en una zona en que existe un campo magntico B

3


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perpendicular al plano de la figura. Dicha zona tiene un ancho L. Luego de la misma hay otra zona de ancho 2Lcon un campo magntico B de misma direccin y sentido opuesto a B. Determine cual debe ser el campomagntico B de forma que la partcula salga de la segunda zona con una velocidad paralela a la inicial.

La partcula ingresa a la 1er. regin (de largo L) donde el campo Bproduce un cambio en su trayectoria, describiendo un arco de cfa. de

radio R=qB

mv0 . Al alcanzar la regin 2, el campo magntico B le

provoca un cambio en su trayectoria hacindola describir un arco decfa. de radio R, como se muestra en la figura.Se debe verificar que en la interfase entre las regiones, la tangente a latrayectoria es comn (dada la velocidad de la partcula). Por esta raznlos ngulos y deben ser iguales.Como los tringulos OPQ y OPQ, son semejantes

RRR

L

R

L

PO

PQ

OP

PQ2'

'

2

'

'===

2'

'22' 00

BB

qB

mv

qB

mvRR ==== .

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Ejercicio 6.-En una regin del espacio se establecen dos zonas (1) y (2) donde se crea uncampo magntico uniforme y saliente al plano del papel. Dichas zonas estnseparadas por una regin (3) donde existe un campo elctrico uniforme y dirigidosegn el ejex(ver figura). El campo elctrico genera una diferencia de potencialVentre los planos A1 y A2 indicados. Un electrn (de masa m y carga e) es

lanzado desde el punto P con velocidad v en la direccin xpositiva de forma queingresa al campo magntico de la zona (2). Al cabo de un tiempo, se observa queel electrn vuelve a pasar por el mismo punto P pero con velocidad dirigida en ladireccin x negativa. Demuestre que para que esto suceda, la diferencia de

potencial entre los planos A1 y A2 debe valer:e

mvV

2

32

=

El electrn ingresa a la regin (2) con una velocidad y describe un arco

de cfa. de radioqB

mvR = , y sale de dicha regin con la misma

velocidad. En la regin (3) el electrn se acelera (porque tiene carganegativa) y adquiere una velocidad v, con la ingresa a la regin (1).All describe media cfa. de radio R, egresando con velocidad v.

Nuevamente en la regin (3), el electrn pierde velocidad, alcanzandonuevamente la velocidad v, con la que ingresa a la regin (2), dondedescribe nuevamente media cfa. de radio R.La situacin se muestra en la figura. Por tanto: R = 2R

Como KKvvqB

mvR 4'2' === siendo K la energa cintica.

Como el sistema es conservativo:

==+==

2334'

20mvVeKUUKKK

e

mvV

2

32

=

Ejercicio 7.-En el tubo de imagen de un televisor los electrones son acelerados por una ddp de

20,0 kV en un can de electrones y luego impactan en la pantalla, ubicada a 30,0 cmdel can, produciendo un punto brillante. Si en Montevideo el campo magnticoterrestre tiene una componente horizontal de 65,0 T hacia el norte y una componentevertical de 44,0 T hacia arriba y la pantalla est orientada hacia el este, determine ladesviacin del punto brillante (midiendo sobre coordenadas dibujadas sobre lapantalla) que produce el campo magntico terrestre.

La velocidad con que salen del can de electrones vale

m

Vev

mvVe

==

2

2

2

Para una velocidad v, el electrn realizar una trayectoria con un radio

2

22

eB

Vm

m

Ve

eB

m

eB

mvR

=

== la desviacin x que experimentar por el campo magntico una

distancia d vale22

cos dRRRRx ==

el campo resultante vale TTBBB VNT 492,780,440,652222 =+=+=

( )( )( )

meB

VmR

T

07620,610492,7810602,1

100,20)1011,9(222619

331

2=

=

=

=== 2222 )300,0(RRdRRx 0,00741 m x= 7,41 mm

Con direccin dado por ngulo 9,55

44

65arctanarctantan =

=

==

V

N

V

N

B

B

B

B

5


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Ejercicio 8.-Una barra cilndrica conductora de resistencia elctrica despreciable y masam se apoya sobre dos rieles paralelos, separados una distancia L, que estnmontados sobre un plano inclinado que forma un ngulo con la horizontal yson perpendiculares a la barra. Los rieles estn construidos con un materialde resistividad y tienen una seccin transversal A. El sistema est sometido

a un campo magntico uniforme y constante B vertical hacia abajo. Seconecta una fuente de tensin continua Va los rieles, segn se muestra en lafigura. Determine el valor de equilibrio para la variable x, distancia entre losextremos de los rieles y la barra conductora.

De acuerdo a la condicin de equilibrio:

tan

cos

sinsincos mgmgFmgF MM ===

BiLFM =

x

AV

A

x

V

R

Vi

22===

tan2tan

2 mg

ABLVxmgL

x

AVB ==

tan2mg

ABLVx =

Ejercicio 9.-En la figura, la espira es rectangular de ancho a y alto b, es el ngulo que

forma el plano de la espira con el plano xz, y jB B= con B constante.

a) Determine la fuerza neta sobre la espira.b)Pruebe que el momento mecnico (torque) que acta sobre la espira vale:

k siniab=

c) Si K

y

B=

y 0=

=

z

B

x

B== 0 Cul es la fuerza neta sobre la espira?

a) Fuerza magntica ejercida sobre un alambre recto por un campo B uniforme: BLF =IOA: ( ) ijkBLF 1 iaBBaii OA ===AC: ( ) kjjiBLF cossincos2 ibBbbii AC =+==CD: ( ) ijkBLF 3 iaBBaii CD ===DO: ( ) kjjiBLF cossincos4 ibBbbii DO ===

04321 =+++= FFFFFT

b) 2F y 4F no ejercen torque neto (se cancelan entre s). Calculando el torque respecto al

eje z (el brazo palanca de 1F es nulo, slo acta el de 3F ) :

( ) ( ) kijiFji sinsincossincos 3 iabBiaBbbbb =+=+=( ) ( ) kBjnjn sin iabBBBiab ====

c) Si Ky

B=

y B (y=0) = B0 B (y=bsin) = (B0 +K bsin) j

Cambia la fuerza neta: 2F y 4F se siguen cancelando entre s,

iiiFFFFFFF sin)sin()( 00314321 iaKbKbBiaiaBT =++=+=+++=

iF siniaKbT =

Ejercicio 10.-

El anillo delgado de radio b de la figura tiene una densidad lineal decarga uniforme . El anillo rota en torno al eje y en el sentidoindicado en la figura, con velocidad angular constante de valor . Si

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un campo magntico iB B= uniforme se dirige perpendicularmente al eje de rotacin, halle el momento

resultante que acta sobre el anillo.

La corriente del anillo es igual a la carga total multiplicada por su frecuencia de rotacin: I= qf

br

r

qI ==== 2)2(

2=

( 32)( bbbIA === j 3b=

kijB 33 BbBb === k 3Bb=

Ejercicio 11.- (R.H.K 34.36)En un experimento del efecto Hall, una corriente de 3,2 Aa lo largo de un conductor de 1,2 cm de ancho, 4,00 cmde largo y 9,5 m produce un voltaje Hall transversal (a

lo ancho) de 40 V cuando un campo magntico de 1,4T

pasa perpendicularmente por el conductor delgado. Apartir de los datos, halle:a) La velocidad de arrastre de los portadores de carga.b) La densidad del nmero de portadores de carga. Apartir de la tabla, identifique el conductor.c) En un diagrama muestre la polaridad del voltaje Hallcon una corriente y direccin del campo dados,suponiendo que los portadores de carga sean electrones(negativos).

a) En equilibrio:FM + FE = 0

( ) ( ) jjkikiBvF d )())(( BevBevBevBveq ddddM =====

jjEF d

VeeEq HE ===

smBd

VvBev

d

Ve Hdd

H /00238,0)012,0)(4,1(

10406

=

===

vd = 2,4810-3 m/s

b)d

dedhv

in

nedh

i

neA

i

ne

Jv ====

7


8/9


( )( )28

36191036,7

1038,2105,9)012,0)(10602,1(

2,3=

==

dedhv

in

e/m3

n = 7,41028 e/m3 (plata)

8


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Ejercicio 12.- (R.S.-R.B. 5ta. 29.18)En la figura, el cubo mide 40,0 cm en cada lado. Cuatro segmentos rectosde alambre ab, bc, cdy da- forman una espira cerrada que conduce unacorriente I= 5,00 A en la direccin que se muestra. Un campo magnticouniforme de magnitud B= 0,0200 T est en direccin ypositiva. Determinela magnitud y la direccin de la fuerza magntica sobre cada segmento.

Fuerza magntica ejercida sobre un alambre recto por un campo B

uniforme: BLF =I( ) ( ) 0 ==== jjjjBLF BILBILI abab

( ) ( ) ijkjkBLF BILBILBILI bcbc ==== =-(0,0200)(5,00)(0,400) i =-0,0400 N i( ) ( )( ) kjjjijjiBLF BILBILBLLII cdcd =+=+== =-(0,0200)(5,00)(0,400) k =-0,0400

N k

( ) ( )( ) ( )ikjkjijkiBLF +=+=== BILBILBLLII dada =-(0,0200)(5,00)(0,400) ( )ik + =-0,0400 N ( )ik +

Ejercicio 13.- (T.4ta. 28.57)Una varilla no conductora de masa My longitud ltiene una carga uniformepor unidad de longitud y se hace girar con velocidad angular alrededor de

un eje que pasa a travs de uno de sus extremos y es perpendicular a lavarilla.a) Considere un pequeo segmento de longitud dxy carga dq = dxa una

distanciaxdel eje de giro, como se muestra en la figura y demuestre que el

momento magntico de este segmento vale dxx

d2

2= .

b) Integrar el resultado para demostrar que el momento magntico total de la

varilla vale6

3l

=

c) Demostrar que el momento magntico y el momento angular L estn relacionados por LMQ2= en

donde Q es la carga total de la varilla.

a) El momento dipolar magntico se define como IA= , por lo que un elemento dI producir dIAd =

El rea encerrada por un elemento de dx en rotacin con un radio x ser A =x2

El elemento de carga genera cuando rota unt

dx

t

dqdI

=

=

con t el tiempo que demora en completar una vuelta

21==

ft

2dx

t

dxdI =

=

( ) dxxxdxd22

22

=

= dxx

d

2

2=

b)6322

3

0 0

32

0

lxdx

xd

l ll

====6

3l

=

c)( )

666

223 lQlll === El momento angular de la barra vale

==

3

2

0

MlIL 2

3

Ml

L=

M

QL

Ml

LlQlQ

2

3

66 2

22

=== Por otro lado ambos vector ( y L) son colineales (segn la direccin de

) LM

Q

2=

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