Rep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningarfrån ett B-fält.

Kraft på laddning i rörelse

Kraft på ström i ledare

Gauss sats för B-fältet

Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här alltid är = 0.

Resultatet ovan är en konsekvens av att de magnetiska fältlinjerna alltid är slutna.

Energi och vridmoment hos magnetisk dipol

dipolmagnetisk hos energi Potentiell cos

dipolmagnetisk på Vridmoment

BBU

B

⋅−=−=×=

µφµµτ

EpU

Ep

⋅−=×=τ

dipol)elektrisk för samband med(Jämför

EpU ⋅−=µ = IA

Definition av magnetiskt dipolmoment

Atomer är små magnetiska dipoler

Den här figuren visades på förra föreläsningen (kap. 27) som en försmak av hur olika strömkonfigurationer kan ge magnetfält. Nu skall vi studera detta i detalj!

Kapitel 28 Magnetfältets källor

• B-fält från en laddad partikel i rörelse

• B-fält från ledarsegment med längd dl

• B-fält från lång rak ledare fås genom integrering

• Kraft mellan två strömförande ledare• Kraft mellan två strömförande ledare

• B-fält från strömslinga

• Definition av linjeintegral och Amperes lag

• Tillämpningar av Amperes lag

• Magnetiska material

28.1 Magnetfält från punktladdning i rörelse

20

sin

4 r

vqB

φπ

µ=

( )Jämför med E-fältet

Endast laddningar i rörelseger B-fält!

24 rB

π=

28.2 Magnetfält från ledarelement med ström I

20

20

sin

4

sin

4

IAvqnr

Adlvqnr

vdQdB

nqAdldQ

d

d

φπ

µ

φπ

µ

=

=

==

=

20 sin

4 r

IdldB

IAvqn d

φπ

µ=

=

Ofysikaliskt fall! Strömmen kommer ur intet och försvinner lika fort! Är dock bra startpunkt för integrering.

Biot Savarts lag

Integrera detta för att få fram magnetfältet för en godtycklig ledare

∫×= 0 r̂lId

Bµ∫

×=2

0 ˆ

4 r

rlIdB

πµ

28.3 Magnetfält från rak ledare, längd 2a med ström IGenom att addera bidragen från varje litet ledarelement erhålles B-fältet från den raka ledaren.

Detta sker genom integrering:

sin

4 20

r

IdlB = ∫

φπ

µ

( )figur enl. riktning

2

4

...4

)sin(sin

22

0

23

22

0

22

22

axx

aI

yx

xdyIB

yx

x

yxr

a

a

+=

=+

=

+=−=

+=

∫−

πµ

πµ

φπφ

Fig. 28.5

Magnetfält från oändligt lång rak ledare med ström I

x

IB

xaaxx

aIB

πµ

πµ

2

2

4

0

22

0

=

>>+

=

Högerhandsregel 3: Tummen i strömmens riktning, fingrarna pekar i magnetfältets riktning

Fig. 28.6

28.4 Kraft mellan två parallella ledare med ström I och I’

Fig. 28.9

Den ena ledare alstrar ett B-fält som den andra påverkas av, och vice versa.

rπ

IIµ

L

F

r

LIILIBF

r

IB

2 :får vi denhetslängPer

2

2

0

0

0

′=

′=′=

=

πµ

πµ

Definitionen av Ampere

Ampere är en grundenhet i SI-systemet, och definieras med hjälp av kraften mellan två strömförande ledare enligt:

En Ampereär den konstanta ström som, om den går i var och en av två parallella ledare med oändlig längd och på en meters avstånd från varandra i tom rymd får varje en meters avstånd från varandra i tom rymd får varje ledare att utsättas för en kraft av exakt 2×10-7 Newton per meter längd.

28.5 Magnetfält från strömslinga

Fig. 28.11

( )

a

INB

N

ax

IaB

x

x

2

: varv med spole av centrum I

2

0

23

22

20

µ

µ

=

+=

Linjeintegral

Yt-element

Ytintegraler används t.ex. för att beräkna flöden genom kurviga ytor som i exemplet ovan, som visar flödet av E-fältet, ΦE.

Yt-integral

∫∫∫ ⋅== ldBdlBdlB φcos

Linjeintegral

Linje-element

Linjeintegraler stöter man på t.ex i mekaniken där de används för att beräkna arbetet som en kraft gör på en partikel. Exemplet ovan visar linjeintegralen av B-fältet längs en kurva.

B

B cosφ

=⋅∫Fig. 28.16

( ) Irr

IdlBdlBldB

ldBLB

BLldBLB

L

L

00 2

2 :figuren a)

0är mot ät är vinkelr Om

är med parallellär Om

µππ

µ ====⋅

=⋅

=⋅

∫∫ ∫

∫

∫

Integralen runt en sluten slinga som här kallas cirkulation och är alltså oberoende av radienmen beror linjärt på strömmen.

Fig. 28.16

Beräkna integralen för figur (c). B1 och B2 är fälten vid r = r 1 resp. r2.

Fig. 28.16

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 002

02

00

22

01

1

0

21

=+−+=

=+−++==⋅ ∫∫∫∫∫ ∫

θπµθ

πµ

rr

Ir

r

I

dldlBdldlBdlBldBa

d

d

c

c

b

b

a

Beräkna integralen för figur (c). B1 och B2 är fälten vid r = r 1 resp. r2.

Här är alltså cirkulationen =0medan strömmen går utanför slingan. En slump??

Amperes lag

Kan visas att det gäller för alla strömslingoratt:

Där Iencl är summan av alla strömmarDär Iencl är summan av alla strömmarsom går igenom strömslingan (Se boken s. 938 för bevis)

I figuren är B ≠ 0 längs slingan men cirkulationen av B= 0.

I ord: Cirkulationen av B-fältet runt en sluten slinga är lika med summan av strömmen som flyter genom slingan gånger µ0.

Amperes lag säger alltså att linjeintegralen runt varje sluten kurvasom omsluter en samling strömmar är densamma, oberoende av hur strömmarna är fördeladeströmmarna är fördelade

Värdet ges av µµµµ0I

Där I är summan av alla inneslutna strömmar

Fig. 28.18

∫ =⋅0ε

qAdE

Gauss sats för E-fältet

Bra för att beräkna E-fält från symmetriska laddnings-fördelningar.

Jämförelse mellan E och B fält

Gauss sats för B-fältet

Ej särskilt användbar för att beräkna B-fält eftersom värdet alltid är noll!

Amperes lag för B-fältet

Bra för att beräkna B-fältet från symmetriska strömmar.

Ex. 28.8, tillämpning av Amperes lag, B-fält inuti cylindrisk ledare

Fig. 28.20-21

Ex. 28.9 Tillämpning av Amperes lag, B-fält från spole

Fig. 28.22-24

Ex. 28.10 Tillämpning av Amperes lag, B-fält från toroid spole.

Fig. 28.25

Magnetiska material

Att vissa material är magnetiska kan förstås om vi gör en (förenklad) modell av en atom som en + laddad kärna med –laddade elektroner som snurrar runt kärnan. Detta kan ge upphov till en cirkulerande ström, dvs. en liten magnetisk dipol.

Om nettoströmmen = 0 är materialet diamagnetiskt

Om nettoströmmen ≠ 0 är materialet paramagnetiskt

eller ferromagnetiskt

dvs. en liten magnetisk dipol.

En sådan slinga har ett magnetiskt dipolmoment µ = IA.

I ett paramagnetsikt ämne är de små ”strömslingorna” normalt slumpmässigt orienterade, så vi får ingen nettomagnetism.

Om vi lägger på ett B-fält utsätts de för ett vridmoment enligt:

B×= µτ

Detta vridmoment orienterar atomerna så att vi får ett nettomoment per volymsenhet som vi kallar M.

M totµ= Pålagt fält

MKB

MBKB

KBB

MBB

VM

m

m

m

tot

00

000

0

00

)1( µµ

µ

µ

=−+=

=+=

=

Χm=Km-1

Pålagt fältResulterande fält

Magnetisk succeptibilitet

Ersätt µ0 med µ = Kmµ0 i tidigare formler om vi inte har vakuum!

FerromagnetismI ferromagnetiska ämnen finns domäner där dipolerna är riktade åt samma håll. Om ett yttre fält läggs på växer de domäner till som är orienterade längs fältet vilket ger mycket höga värden på Km, 1000-10.000 (paramagnetiska ämnen har Km = 0.2 -60).

Ofta kvarstår en viss orientering sedan det yttre fältet stängts av vilket ger en permanentmagnet.

Hos ferromagneter är relationen mellan det pålagda och det resulterande fältet olinjär och har stark hysteres.

0

K

EE =

Elektriska fallet (kap 24) Magnetiska fallet (kap. 28)

K är den relativa dielektricitetskonstanten (eng. dielectric constant).

mKBB 0=

Km är den relativa permeabiliteten

Paramagntism: Km >1constant).

K alltid > 1

Dvs. om vi har ett medium minskar alltid E-fältet jämfört med i vakuum.

Byt ε0 mot ε i formlerna och räkna som vanligt!

Ferromagnetism Km >> 1

Diamagnetism Km < 1

Dvs. i två av fallen ökar B-fältet jämfört med i vakuum

Byt µ0 mot µ i formlerna och räkna som vanligt!