relatii metrice
TRANSCRIPT
![Page 1: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/1.jpg)
Relatii metrice în triunghiul
dreptunghic
Teorema înălţimiiTeorema cateteiTeorema lui Pitagora
![Page 2: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/2.jpg)
De ce trebuie să învăţăm aceste teoreme?
Aceasta teoreme ne ajută să calculam lungimile unor segmente.
OBSERVAŢIE: Aceste teoreme se pot aplica doar în triunghiul dreptunghic.
![Page 3: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/3.jpg)
SĂ NE REAMINTIM CÂTE CEVA…
![Page 4: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A.
a) Cum se numeşte latura AC? b) Cum se numeşte latura BC? c) Cum se numeşte latura AB?
![Page 5: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/5.jpg)
RĂSPUNS:
AC - catetă BC - ipotenuză AB - catetă
![Page 6: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/6.jpg)
Problemă
1. Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A. - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii
AC - duceţi înălţimea corespunzătoare laturii
AB - duceţi înălţimea AD corespunzătoare
laturii BC
![Page 7: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/7.jpg)
Aşa trebuia să procedaţi:
A C
B
D
![Page 8: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/8.jpg)
2. Cine este proiecţia catetei AB pe ipotenuza BC?
![Page 9: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/9.jpg)
RĂSPUNS:
BD.
![Page 10: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/10.jpg)
2. Cine este proiectia catetei AC pe ipotenuza BC?
![Page 11: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/11.jpg)
RASPUNS:
DC.
![Page 12: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/12.jpg)
Enunţ: TEOREMA ÎNĂLŢIMII
Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii înălţimii duse din vârful
unghiului drept este egală cu produsul lungimii proiecţiilor
catetelor pe ipotenuză.
DCBDAD 2
![Page 13: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/13.jpg)
B C
A
D
m n
Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea înălţimii AD.
Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)
![Page 14: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/14.jpg)
D
A
B C
m n
Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)
Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:
DCBDAD 2
![Page 15: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/15.jpg)
Enunţ: TEOREMA CATETEI
Într-un triunghi dreptunghic o catetă este medie geometrică între
ipotenuză şi proiecţia acestei catete pe ipotenuză.
CDBCAC
BDBCAB
2
2
![Page 16: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/16.jpg)
B C
A
D
Consideram un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză: BD=m, CD=n, ne intrebăm cum putem afla lungimea catetei AB.
Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)
![Page 17: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/17.jpg)
D
A
B C
m n
Demonstrăm că triunghiurile ABC, DBA, şi DAC sunt asemenea. (unghiurile ADB şi CDA sunt congruente deoarece sunt drepte şi unghiurile BAD şi ACD sunt congruente deoarece au acelaşi complement şi anume unghiul CAD)
Pe noi ne interesează asemanarea dintre triunghiurile ABD şi CAD pentru că acestea au pe AD catetă. ∆ABD~ ∆CAD ( Caz I de asemanare) Scriind proporţionalitatea laturilor obţinem:
BCBDAB 2
![Page 18: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/18.jpg)
Enunţ: TEOREMA LUI PITAGORA
Într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma
pătratelor catetelor.
222 ACABBC
![Page 19: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/19.jpg)
B C
A
D
Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC) Presupunând cunoscute lungimile catetelor şi lungimea ipotenuzei: AB=a, AC=b, BC=c,demonstrăm teorema.
Considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A şi construim AD, înălţimea corespunzătoare unghiului drept. ( D este luată pe dreapta BC)
![Page 20: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/20.jpg)
D
A
B C
Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:
222 ACABBC
22
BCADACAB
![Page 21: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/21.jpg)
Să rezolvăm probleme!
![Page 22: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/22.jpg)
Problema 1.
Aflaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei unui
triunghi dreptunghic ştiind că proiecţiile catetelor pe ipotenuză au
dimensiunile de 4cm si 6cm.
![Page 23: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/23.jpg)
Problema 2.
Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu baza BC. Aflaţi lungimea înălţimii AD, ştiind că BC este 6 dm.
![Page 24: Relatii metrice](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081414/5571f44e49795947648f5225/html5/thumbnails/24.jpg)
Problema 3.
ABCD este un dreptunghi iar E este intersecţia dreptei AB cu
perpendiculara în C pe AC. Calculaţi AE, ştiind că AB=3cm şi AD=2cm.