relaçıes mØtricas entre circunferŒncias inscritas e

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ensino Superior do SeridóCurso de Licenciatura em Matemática

Relações Métricas entre CircunferênciasInscritas e Circunscritas em Polígonos

Regulares

Francisco Lúcio do Nascimento Neto

2018

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ensino Superior do SeridóCurso de Licenciatura em Matemática

Relações Métricas entre CircunferênciasInscritas e Circunscritas em Polígonos

Regulares

por

Francisco Lúcio do Nascimento Neto

sob orientação da

Profa.Me.Maria Jucimeire dos Santos

Dezembro de 2018Caicó-RN

i

Neto, Francisco Lúcio do Nascimento. Relações métricas entre circunferências inscritas ecircunscrita em polígonos regulares / Francisco Lúcio doNascimento Neto. - Caicó, 2018. 80f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó.Centro de Ciências Exatas e da Terra. Curso de Licenciatura emMatemática. Orientador: Maria Jucimeire dos Santos.

1. Geometria plana - Monografia. 2. Polígonos Regulares -Geometria plana - Monografia. 3. Circunferências - Geometriaplana - Monografia. 4. Relações Métricas - Geometria plana -Monografia. I. Santos, Maria Jucimeire dos. II. Título.

RN/UF/BS-Caicó CDU 514.112

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Profª. Maria Lúcia da Costa Bezerra - CERES-Caicó

Elaborado por MARTINA LUCIANA SOUZA BRIZOLARA - CRB-15/844

"Veni, Vidi, Vici"(desconhecido)

iii

AgradecimentosQuero agradecer primeiramente a Deus por ter escutado minhas orações, ter me

dado inteligência e força de vontade para vencer todos os obstáculos dentro e fora da

minha jornada acadêmica;

Agradeço a todos os meus amigos e colegas discentes, em especial: Iritan, Flávia,

Wesla, Fernando, Marcos Vinicius, Marcos Gabriel, Gilvan Sousa, Gilvan (Currais),

Jaine, Emmylie, Bruno (Barroca), Jorge, Pablo, Danyélica, Joanderson, Debora, Lucas

(São bento), Ana Lúcia, Ramon, Francicarlos.

Agradeço minha namorada Bruna Daiane por ter me dado apoio moral e emocional.

Agradeço a minha orientadora Maria Jucimeire, pelo suporte, pelas suas correções

e incentivos.

Aos meus irmãos e irmãs: Arnor Angelo, Damiana Cristina, Damião Pereira,

Emanuel Jardel, Emanuela Joceane, Gardel Juliano, José Junior, Maria Daguia,

Maria das Graças, Maria Fernanda, Maria José, Maria Segunda, Raimundo Erivelto

e Sebastião Graciano.

A minha mãe Maria Ducarmo Pereira do Nascimento e ao meu pai José Lúcio do

Nascimeto.

A minha tia Maura Eliza do Nascimento por ter sido a maior insentivadora nos meus

estudos, e a todos os meus sobrinhos e sobrinhas.

iv

.

ResumoO presente trabalho tem como objetivo de estudo relações métricas entre

circunferências inscritas e circunscritas em polígonos regulares, onde, a área das

circunferência inscritas em um certo polígono está diretamente relacionada com a área

da circunferência circunscrita no mesmo. Apresentamos propriedades fundamentais

da geometria plana nas quais envolvem triângulos, circunferências, polígonos, pontos,

retas, ângulos, como também, de�nições, propriedades e resultados, utilizados nas

demonstrações. Essas relações são apresentadas com o objetivo de facilitar cálculos

de problemas nos quais as envolvam, donde, muitas propriedades e de�nições que

deveriam ser utilizadas para soluciona-los, já foram compactadas nas demonstrações

dessas relações, deixando assim, os problemas mais fáceis de serem solucionados. Outras

relações envolvendo os raios, os lados, as diagonais e as ápotemas das �guras estudadas,

também são apresentadas no decorrer das demonstrações. No último capítulo, essas

correspondências são exibidas através de imagens construidas no aplicativo Geogebra,

como também, utilizadas para resolver alguns problemas retirados de livros, sites e

artigos.

Palavras-chaves: Circunferências. Polígonos Regulares. Relações Métricas.

v

AbstractThe aim of this study is to study the metric relations between inscribed and

circumscribed circumferences in regular polygons, where the area of the circumference

inscribed in a certain polygon is directly related to the area of the circle circumscribed in

it. We present fundamental properties of plane geometry in which they involve triangles,

circumferences, polygons, points, lines, angles, as well as de�nitions, properties and

results used in the demonstrations. These relationships are presented with the

purpose of facilitating calculations of problems in which they involve them, where

many properties and de�nitions that should be used to solve them have already been

compacted in the demonstrations of these relations, thus leaving the problems easier to

solve . Other relations involving the rays, sides, diagonals and apotematics of the �gures

studied are also presented in the course of the demonstrations. In the last chapter, these

matches are displayed through images built into the Geogebra application, as well as

used to solve some problems taken from books, websites and articles.

Key-Words: Circumferences. Regular Polygons. Metric Relationships.

vi

Sumário

Introdução xiii

1 Noções Fundamentais 2

1.1 Triângulos e Suas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Casos de Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Baricentro-Medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Ortocentro-Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Elementos Notáveis do Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . 10

1.2 Circunfêrencia e suas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Área da Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Posição Relativa da reta e Circunferência . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Polígonos-de�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 Nome dos Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4 Polígono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.5 Polígono Regular é Inscritível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.6 Polígono Regular é Circunscritível . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.7 Elementos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Propriedades e Relações 272.1 Relações no Triângulo Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Relações no quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Relação no Pentágono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

vii

2.4 Relação no Hexágono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Relações no Polígono de "n"Lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Aplicando Propriedades e Relações 473.1 Utilizando o Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Relações no Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Relações no Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Relações no Pentagono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Relações no Hexágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Considerações Finais 59

A Geogebra 63

B Tabela do Cosseno pela Relação 66

viii

Lista de Símbolos

8 qualquer que seja

9 existe

) implica

, se e somente se

� congruente

� �m de uma demonstração

� maior ou igual

� menor ou igual

6= diferente

2 pertence

=2 não pertence

4 triângulo

AB segmento de reta de A ate B !AB reta na qual AB pertence

B ângulo do vértice B

\ interseção

> maior que

< menor que

? perpendicular

== quando duas retas forem paralelas

ix

Lista de Figuras

Figura 1: Caso LAL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 03

Figura 2: Caso ALA � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 04

Figura 3: Caso LLL � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 04

Figura 4: Caso LAAo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 05

Figura 5: Mediana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 05

Figura 6: Paralelismo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 06

Figura 7: Perpendicularidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 06

Figura 8: Baricentro � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 07

Figura 9: Ortocentro � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 08

Figura 10: Ortocentro � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 09

Figura 11: Paralelismo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 09

Figura 12: Ortocentro e Baricentro � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 11

Figura 13: Subdivisão de Triângulos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 11

Figura 14: 4BOC � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 12

Figura 15: Ângulos Opostos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 12

Figura 16: Ângulos Internos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 13

Figura 17: Circunferência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 14

Figura 18: Pontos da Circunferências � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 14

Figura 19: Elementos da Circunferência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 15

Figura 20: Secante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 16

Figura 21: Perpendicular a Secante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 17

Figura 22: Ponto Médio da Secante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 18

Figura 23: Tangente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 19

Figura 24: Tangente e Perpendicular � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20

Figura 25: Polígonos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 21

Figura 26: Não são Poligonos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 21

Figura 27: Ângulos e Lados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 23

xi

Figura 28: Polígono Inscritível � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 23Figura 29: Polígono Circunscritível � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 25Figura 30: Equilátero � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 28

Figura 31: Retângulo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 29

Figura 32: Equilátero circunscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 30

Figura 33: Equilátero inscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 31

Figura 34: Quadrado circunscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 32

Figura 35: Quadrado inscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 33

Figura 36: Pentágono � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 35

Figura 37: Ângulos centrais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 36

Figura 38: 4MOD � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 36

Figura 39: Hexágono Circunscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38

Figura 40: Hexágono inscrito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 39

Figura 41: Triângulo retângulo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 40

Figura 42: Polígono Pn � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42

Figura 43: Congruentes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 43

Figura 44: 4MOB � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 43

Figura 45: Triângulo equilátero 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 48



Figura 48: Quadrado 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49

Figura 49: Quadrado 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49

Figura 50: Quadrado 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49

Figura 51: Pentágono 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 50Figura 52: Pentágono 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 50Figura 53: Pentágono 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 50Figura 54: Hexágono 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 51

Figura 55: Hexágono 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 51

Figura 56: Hexágono 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 51

Figura 57: Problema 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52

xii

Figura 58: Problema 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 53Figura 59: Problema 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 54Figura 60: Problema 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 55Figura 61: Problema 5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 55Figura 62: Problema 6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56Figura 63: Problema 7 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57Figura 64: Problema 7.1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57

Figura 65: Problema 8 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 58Figura 66: Problema 9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 66

xiii

Introdução

Antes de iniciar minha jornada como discente no curso de matemática, já realizava

algumas pesquisas voltada para a matemática, uma delas era sobre o numero Pi (�),

sua história e importância no meio matemático ao decorrer dos anos, li alguns livros e

artigos, onde, falavam sobre Arquimedes de Siracusa (287 a.C. �212 a.C.), nos quais,

tinha escrito que ele calculou aproximação do numero Pi(�) através do famoso método

da exaustão, também conhecido como método clássico, donde, a�rmava que tomando

um polígono inscrito ou circunscrito em uma circunferência, quanto maior for o número

de lados desses polígonos mais próximos seus perímetros estarão do perímetro da

circunferência. Após ter iniciado como discente, em 2015 participando do Programa de

Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio (PAPMEM), deparei-

me com questões relacionadas com área de circunferências inscritas e circunscritas em

polígonos, dai, tive a curiosidade de saber se havia alguma relação entre a área da

circunferência inscrita com a área da circunferência circunscrita em ummesmo polígono,

já que Arquimedes chegou a aproximação de Pi(�) pelo perímetro dos polígonos

inscritos e circunscritos, foi assim que despertei o interesse pelo tema que abordo

neste trabalho, no qual, apresentamos algumas relações métricas existentes entre as

circunferências inscritas e circunscritas em polígonos regulares, bem como, propriedades

que são necessárias para sua demonstração, tendo como principal objetivo facilitar as

construções de soluções de problemas que as envolvam.

Os conteúdos foram expostos em três capítulos, estruturados da seguinte forma:

1. Noções Fundamentais, nas quais mostramos as de�nições, teoremas, corolários,

axiomas entre outros elementos que servem de embasamento para os demais capítulos;

2. Propriedades e relações, nele são demonstradas e exibido as relações existente entre

as �guras planas estudadas; 3. Aplicando Propriedades, além de solucionar problemas

utilizando as propriedades e relações abordadas, neste capítulo, também está exposto

imagens criadas pelo autor no aplicativo GeoGebra, deixando de uma forma mais nítida

todo o conteúdo abordado, �nalizando com as referências.

1

Capítulo 1

Noções Fundamentais

Neste capítulo abordaremos algumas de�nições e propriedades basicas de triângulos,

circunferências e polígonos, sendo de grande importância para que o leitor tenha

uma assimilação melhor dos próximos capítulos. Por ser assuntos muito extensos,

abordaremos apenas o fundamental, onde, o leitor deverá ter conhecimento prévios de

ângulos internos de polígonos regulares, Teorema de Pitágoras, Razões trigonométricas

e ângulos opostos pelo vértice, veja [8] e [13]. Os conteúdos apresentados neste capítulo

tem como base os livros [8],[1],[4],[7] e [9].

1.1 Triângulos e Suas Propriedades

Um triângulo é um polígono que possui três lados e que necessariamente é uma

�gura plana cujos lados são segmentos de reta. Para ser polígono, esses segmentos de

reta encontram-se apenas em suas extremidades, formando, assim, três vértices. Além

disso, também são encontrados três ângulos internos em qualquer que seja o triângulo.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonal, estando sempre presente no

nosso cotidiano, seja em um instrumento musical, obras de arte, nas faces que formam

as famosas pirâmides do Egito, possuindo propriedades impares, ou seja únicas, que

podem ser utilizadas para facilitar muitos cálculos. Nesta seção apresentaremos algumas

de suas propriedades, que são de suma importância para este trabalho.

De�nição 1.1.1 Dois segmentos são congruentes se eles têm a mesma medida.

De�nição 1.1.2 Dois ângulos são congruentes se eles têm a mesma medida.

2

Observação 1.1.3 No lugar do termos iguais, usamos o termo congruentes, quesigni�ca matematicamente, coincidente ou correspondente em características, em

propriedades,em formas ou estruturas.

1.1.1 Casos de Congruência

A de�nição de congruência de triângulos fornece todas as condições que devem

ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis

congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais.

Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São

os chamados casos ou critérios de congruência. Agora vamos apresentar apenas quatro

desses critérios.

Axioma 1.1.4 (1o caso-LAL) Se dois triângulos têm ordenadamente congruent3es doislados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.

Figura 1: Caso LAL

Fonte : Elaborado pelo autor

Esquema do caso LAL

,

8><>:AB = A�B�

A = A�

AC = A�C�

9>=>; LAL=) 4ABC = 4A�B�C� =)

8><>:B = B�

BC = B�C�

C = C�

9>=>;

3

Axioma 1.1.5 (2o caso-ALA) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um

lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

Figura 2 : Caso ALA


Os ângulos adjacentes ao lado BC são B e C; os adjacentes ao lado B�C� são B0e

C 0 .

Esquema do caso ALA.8><>:B = B�

BC = B�C�

C = C�

9>=>; ALA=) 4ABC = 4A�B�C� =)

8><>:AB = A�B�

A = A�

AC = A�C�

9>=>;

Axioma 1.1.6 (3o caso-LLL) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os

três lados, então esses triângulos são congruentes.

Figura 3 : Caso LLL


4

Axioma 1.1.7 (4� caso-LAAo) Se dois triângulos possui ardenadamente um lado,um

ângulo adjacente, e um angulo oposto a esse lado congruentes, então esses triangulos

sao congruentes, veja[8].

Figura 4 : Caso LAAo


Observação 1.1.8 Este ultimo axioma é apresentado em alguns livros como postulado,mas tomei como base a referência de [8].

Outras de�nições são apresentadas a seguir, pois utilizamos mais a frente em algumas

aplicações, como a existência da mediana de um triângulo, o Baricentro e ortocentro

de um triângulo.

De�nição 1.1.9 Mediana de um triângulo é um segmento com extremidade num

vértice e no ponto médio do lado oposto.

Figura 5 : Mediana


M é o ponto médio do lado BC.

AM é a mediana relativa ao lado BC

AM é a mediana relativa ao vértice A.

5

De�nição 1.1.10 Duas retas sâo paralelas (simbolo;==) se, e somente se, são

coincidentes(iguais) ou são coplanares e não tem nenhum ponto em comum.

De uma maneira informal, duas retas são paralelas quando elas não se tocam em

algum ponto, isto é, sejam duas retas r e s, 8 P;Q 2 r e 8 T;K 2 s: Onde P 6= Q e

T 6= K; os segmentos de reta PT = QK:

Figura 6 : Paralelismo


Para segmentos de retas serem paralelos, segue de forma análoga essa de�nição.

De�nição 1.1.11 Duas retas são perpendiculares(simbolo; ? ) se, e somente se, sãoconcorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes

a ? b, (a\b = {P} e a1�Pb1 = a1�Pb2)

Figura 7 : Perpendicularidade


6

Em que a1 é uma das semi-retas de a de origem P e b1 e b2 são semi-retasopostas de b com origem em P.

Duas semi-retas são perpendiculares se, e somente se, estão contidas em retas

perpendiculares e têm um ponto em comum.

Dois segmentos de retas são perpendiculares se, e somente se, estão contidas

em retas perpendiculares e têm um ponto comum.

Um ângulo a1�Pb1 é reto se a semi-reta a1 é perpendicular à semi-reta b1:

1.1.2 Baricentro-Medianas

De�nição 1.1.12 O ponto de interseção (ou ponto de encontro, ou ponto de concurso)das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo.

G é o baricentro do 4ABC.

Figura 8 : Baricentro


I) AM1 \BM2 \ CM3 = fGgII) AG = 2:GM1 , BG = 2:GM2, CG = 2:GM3

III) AG = 23:AM1, BG = 2

3:BM2, CG = 2

3:CM3

IV ) GM1 =13:AM1, GM2 =

13:BM2, GM3 =

13:CM3

No item I, temos que o ponto onde os segmentos de retas pertencentes aotriângulo4ABC, que partem do seu ponto médio (M1;M2;M3) até o seu vértice oposto

(A;B;C) respectivamente, intersectam-se no ponto G.

7

No item II, a�rma que, os segmentos que partem dos vértices (A;B;C), até o

ponto G, é duas vezes maior que o segmentos que partem do ponto médio(M1;M2;M3),

respectivamente, até o ponto G.

Item III, a�rma que os segmentos que partem dos vértices (A;B;C), até o

ponto G, equivalem a 23dos segmentos (AM1,AM2,AM3), respectivamente.

Item IV, a�rma que os segmentos que partem dos pontos médios

(GM1; GM2; GM3) até G, equivalem a 13dos segmentos (AM1,AM2,AM3),

respectivamente.

1.1.3 Ortocentro-Alturas

Teorema 1.1.13 As três retas suportes das alturas de um triângulo interceptam-se

num mesmo ponto.

Figura 9 : Ortocentro


Sendo o 4ABC de altura AH1, BH2, CH3:

Demonstração: Tome a Figura 9 como base, onde traçando uma reta r, tal que o

vertice A 2 r e r==BC, da mesma forma, tomando as retas t e k, com os vértices B 2t e C 2 k, de tal forma que t==AC e k==AB, note que outro triângulo é formado com

8

a interseção dessas três retas, 4MNP ,

Figura 10 : Ortocentro


Onde:

A 2 NP e NP // BC

B 2MP e MP // AC

C 2MN e MN // AB

Assim podemos formar dois paralelogramos com os vértices APBC e ABCN .

Figura 11 : PARALELOGRAMOS


9

Isso implica que AP � BC e AN � BC, com isso note que AP � BC � AN , logo,oponto A é oponto médio do segmento

NP: (1.1)

Observe a �gura 10, note que a reta �!AH1?BC, como BC==NP implica

em �!AH1?NP (1.2)

De (1.1) e (1.2), decorre que: a reta !AH, é mediatriz(divide o segmento ao

meio) de NP .

Note que podemos formar outro paralelogramo, pois t==AC e k==AB, assim

ABMC é um paralelogramo, com isso podemos a�rmar que MB � AC � BP e

MC � AB � CNAssim, analogamente:

A reta �!BH2 é mediatriz de MP:

A reta �!CH3 é mediatriz de MN:

Logo, pela De�nição 1.1.12, considerando 4MNP , as mediatrizes �!AH1, �!BH2 e �!

CH3, dos lados do triângulo interceptam-se num ponto H; ou melhor, �!AH1 \

�!BH2 \ �!

CH3 = fHg �

De�nição 1.1.14 O ponto de interseção (ou ponto de encontro ) das retas suportes

das alturas de um triângulo é o ortocentro do triângulo (Observe a �gura 9).

1.1.4 Elementos Notáveis do Triângulo Equilátero

De�nição 1.1.15 Um triângulo é equilátero se, somente se, possuir os três lados

iguais.

De�nição 1.1.16 Todo triângulo equilátero possui todos os seus ângulos internoscongruentes.

Teorema 1.1.17 Se um ponto O for ao mesmo tempo ortocentro e baricentro de um

triângulo, então, esse triângulo necessariamente é um triângulo equilátero.

10

Demonstração: Seja4ABC um triângulo onde o ponto O é seu baricentro e tambémortocentro, tal que, M1;M2 e M3 são os pontos médios dos segmentos BC,CA e AB

respectivamnete, e �!AH1;

�!BH2;

�!CH3 retas que contêm as alturas.

Figura 12 : ortocentro e baricentro


é facil notar que os triangulos 4BOM1 � 4COM1, pelo 1�caso de congruência LAL,

pois, BM2 � M2C, e OM2 é comum aos dois triângulos, onde ambos possuem um

angulo de 90� compreendido entre esses lados.

Figura 13 : Subdivisão de Triângulos


11

O mesmo ocorre para os triângulos 4BOM1 � 4AOM1 e 4AOM3 � 4COM3,

como ilustra a �gura 13.

Sabemos que todo triângulo congruente possui ângulos internos e lados

congruentes, assim os ângulos,

BOM2 � COM2 eM2BO �M2CO:

F igura 14 : 4BOC


Figura 15 : Ângulos Opostos


Por de�nição temos que os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Assim

temos que os ângulos, � � �1 � " � "2 � X � X1:Como � � �2, consequentementepela de�nição que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180�; temos que,

� � �2 � �3 � �4 � �5 � �6:

12

Figura 16 : Angulos Internos


Note que os seis triângulos tem seus ângulos internos congruentes, assim, por

de�nição podemos a�rmar que :

4COM1 � 4COM2;4BOM1 � 4BOM3 � 4AOM2 � 4AOM3:

Isto é, os lados BM1 � BM3 � CM1 � CM2 � AM2 � AM3:

Assim temos que o triângulo 4ABC, necessariamente é um triângulo

equilátero, pois, os seus lados

AB � BC � CA:

�

1.2 Circunfêrencia e suas Propriedades

Quando falamos em circunfêrencia um dos primeiros objetos que pensamos é a

roda, umas das maiores descoberta da humanidade, que nos proporcionou, e ainda

nos proporcionará muitas facilidades no dia a dia, como melhorias na locomoção, na

produção de energia elétrica, na produção de alimentos entre muitas outras.

A circunferência possui características que não são comuns de serem encontradas

em outras �guras planas, como o fato de ser a única �gura plana que pode ser rodada

em torno de um ponto sem modi�car sua posição aparente. É também a única �gura

13

que é simétrica em relação a um número in�nito de eixos de simetria, sendo utilizada

em quase todas as áreas do conhecimento humano, como na Engenharia; Matemática;

Física; Química; Biologia; Arquitetura; Astronomia; Artes.

Para que haja um bom desenvolvimento e um melhor entendimento deste

trabalho, é necessário abordarmos algumas propriedades e de�nições fundamentais de

circunferência.

De�nição 1.2.0.1 Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja

distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O

ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Figura 17 : Ci rcunferencia


Dados: um plano �, um ponto O de � e uma distância r, �(O; r) = [P 2 � ;dP;O = r] onde �(O; r) representa a circunferência de centro O e raio r.

De�nição 1.2.1 Posição de ponto e circunferência

Figura 18 : Pontos da circunferencia


Dado um ponto X e uma circunferência �(O; r):

14

I)X é interno a � , dX;O < r;

II)X pertence a � , dX;O = r;

III)X é externo a � , dX;O > r;

Na �gura 18, os pontos I é interno a �, P pertence a �, e E é externo a �:

De�nição 1.2.2 Corda, diâmetro e raio.

Figura 19 : Elementos da circunferencia


I) Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à

circunferência. O segmento AB é uma corda.

II) O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro. O segmento

CD é um diâmetro.

III) Um raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro

e a outra em um ponto que pertence a circunferência. O segmento OP é um raio.

1.2.1 Área da Circunferência

A área de um círculo pode ser determinada matematicamente por:

A = �r2;

onde o número Pi (�) é um número irracional, no qual utilizamos 3; 14 como

aproximação, obtido através da divisão do perimetro da circunferência pelo seu

diâmetro, e r é exatamente seu raio.

15

1.2.2 Posição Relativa da reta e Circunferência

Secante

De�nição 1.2.2.1 Uma reta secante a uma circunferência é uma reta que interceptaa circunferência em dois pontos distintos. Dizemos que a reta e a circunferência são

secantes.

Na �gura: s \ � = fA;Bg:

F igura 20 : Secante


Propriedades da Secante

Teorema 1.2.3 Uma reta s, secante a uma circunferência �(O; r) não passa pelocentro O;intercepta � nos pontos A e B; e M é ponto médio da corda AB, então a

reta �!OM é perpendicular a secante s ou a corda AB:

F igura 21 : Perpendicular a Secante


16

Demonstração: Observe que são formados dois triângulos 4OAM e 4OBM , comoM é o ponto médio da corda AB, então os segmentos de reta

MB �MA; (1.3)

e também o segmento de reta

OM 2 4OAM e OM 2 4OBM; (1.4)

além disso, como O é o centro da circunferência �, com A e B 2 �, temos que, ossegmentos OA e OB são raios de �, que por sua vez

OA � OB: (1.5)

Por (1.3),(1.4) e (1.5), concluimos que os triângulos OAM e OBM são

congruentes pelo caso LLL, consequentemente os ângulos OMA � OMB, que equivalea 90�, pois, dividi um ângulo raso (ângulo de 180�) do segmento de reta AB em ângulos

congruentes, dai decorre que,

OM?AB e OM?s:

: �

Teorema 1.2.4 Se uma reta s secante a uma circunferência �(O; r), não passa pelocentro O, intercepta � nos pontos distintos A e B, então a perpendicular a s conduzida

pelo centro passa pelo ponto médio da corda AB:

17

Figura 22 : Ponto M�edio da Secante


Demonstração: Observe à circunferência �, os pontos A e B 2 �, e O é o seu centro,assim

OA � OB; (1.6)

pois ambos são raios de �, com isso, temos que o triângulo 4OAB é um triângulo

isóceles que por sua vez possui os ângulos da sua base congruentes, ou seja,

OAM � OBM;

como OM é perpendicular à corda AB, então os ângulos,

OMA � OMB; (1.7)

assim podemos a�rmar que os triângulos4OMB e4OMA possuem os ângulos internoscongruentes entre si, ou seja , os ângulos,

BOM � AOM; (1.8)

também são congruentes. Com isso, por (1.6),(1.7) e (1.8) podemos utilizar o (2�

caso ALA), isto é, os triângulos

4OMB � 4OMA;

assim AM �MB, concluindo que, M é o ponto médio de AB. �

18

Esses dois teoremas são muito importante para aplicações no próximo capítulo, onde

facilitará demonstrações sobre a relaçãos entre o raio de uma circunferência inscrita em

um polígono regular.

Propriedades de Tangente

De�nição 1.2.5 Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intecepta acircunferência num único ponto.

Como mostra a �gura 23, a reta tangente a circunferência tem um ponto comum

com a circunferência e os demais pontos da reta são externos à circunferência.

O ponto comum é o ponto de tangência. Dizemos que a reta e a circunferência são

tangentes : t \ � = [T ]:

F igura 23 : Tangente


Teorema 1.2.6 Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da

circunferência é tangente à circunferência.

Seja a circunferência �(O; r) e T um de seus pontos. Se t ? OT em T resulta que t

é tangente a �:

19

Figura 24 : Tangente e perpendicular


Demonstração: Observe a �gura 24, note que podemos formar um triângulo entre os

pontos OTE Considerando, E 6= T ;8E 2 t, teremos que o triângulo 4OTE: Sempreserá retângulo para qualquer E 2 t, pois t ? OT . Note também que o segmento OT é

um dos catetos de 4OTE e OE é sua hipotenusa, com isso, temos que

OE > OT para E 6= T ;8E 2 t: (1.9)

Além disso, T 2 �, e como O é o centro de � então o segmento

OT � r;

por (1.9) temos que OE > r para (E 6= T ;8E 2 t ), isto é, para todo E 2 t, E =2 �,concluindo que t só possui um único ponto que intercepta a circunferência, ou melhor,

t é tangente a � pelo ponto T . �Se T for o ponto da reta t, onde o segmento TO, forma um ângulo de 90� com

t, sendo O o centro da circunferência �, então a reta t é tangente a � exatamente no

ponto T.

20

1.3 Polígono

1.3.1 Polígonos-de�nição

De�nição 1.3.1 Dado uma sequência de pontos de um plano (A1; A2;::::;An) com n > 3,todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se

consecutivos An�1; An e A1; assim como, An; A1 e A2; chama-se polígono à reunião

dos segmentos A1A2; A2A3; :::; An�1An; AnA1:

Exemplo:

Figura 25 : Pol�{gonos

A1A2A3A4A5 B1B2B3B4B5 C1C2C3C4C5


Para n = 5, os dois casos não são polígonos.

Figura 26 : N~ao s~ao pol�{gonos

D1D2D3D4D5 E1E2E3E4E5


21

Observação 1.3.1.1 Pontos colineares são pontos que pertencem a mesma reta.

1.3.2 Elementos

Considere o polígono A1A2A3; ::An�1An; temos:

Os pontos A1; A2; A3; :::; An�1; An são os vértices do polígono

Os segmentos A1A2; A2A3; :::; An�1An; AnA1 são os lados do polígonos

e os ângulos A1 = AnA1A2, A2 = A1A2A; :::; An = An�1AnA1, são os ângulos

do polígono.

Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos.

A soma dos lados é o perímetro do polígono,

perímentro de A1A2A3; ::An�1An = A1A2 + A2A3+; :::;+An�1An + AnA1:

1.3.3 Nome dos Polígonos

De acordo com o número n de lados, os polígonos recebem nomes especiais.

Veja a seguir as correspondências:

n = 3 triângulo 3 lados

n = 4 quadrado ou quadrilátero 4 lados

n = 5 pentágono 5 lados

n = 6 hexágono 6 lados

n = 7 heptágono 7 lados

n = 8 octágono 8 lados

n = 9 eneágono 9 lados

n = 10 decágono 10 lados

n = 11 unedecágano 11 lados

n = 12 dodecágano 12 lados

n = 15 pentadecág ano 15 lados

n = 20 icoságano 20 lados

Em geral para um número n (n � 3) qualquer de lados, dizemos que o polígonoé um: n-látero.

22

1.3.4 Polígono Regular

Um polígono que possui os lados congruentes é equilátero. Se possui os ângulos

congruentes, é equiângulos.

Exemplo:

Figura 27 : Angulos e Lados

Quadrilatero equilátero Quadrilátero equiângulo


De�nição 1.3.4.1 Um polígono convexo é regular se, somente se, tem todos os seus

lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

1.3.5 Polígono Regular é Inscritível

Teorema 1.3.2 Todo polígono regular é inscritível numa circunferência ou dado umpolígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.

Figura 28 : Pol�{gono inscrit�{vel


23

Demonstração: Observe a �gura 28, e tome ABCD....PQ um polígono regular

qualquer, para facilitar essa demonstração tome ABCDE um pentágono regular, então

�xando os vértices A;B e C, tracemos uma circunferência � qualquer nestes pontos,

sendo O o seu centro, agora basta provar que os pontos D,E,...P e Q do polígono,

também pertencem a �. Inicialmente vamos provar que o ponto D 2 �.A�rmação, os pontos OBA e OCD formam triângulos congruentes, pois, como

A;B;C 2 �, e O e seu centro então, os segmentos

OA � OB � OC (1.10)

e

DC � BA (1.11)

Pois o polígono é regular.

Por (1.10) temos que os triângulos 4OBA e 4OCD são isósceles, que por sua vez

possuem os ângulos da base congruentes, isto é, OBA � OCD.Por 1�caso LAL, temos que, os triângulos 4OBA � 4OCD são congruentes,

implicando em OA � OD; logo,

4OBA � 4OCD =) OA � OD =) D 2 �:

Como queríamos provar. De forma análoga, temos que E 2 �, da mesma formaanteriormente, basta considerar 4OCB e 4ODE, consequentemente os pontos P e

Q 2 �, e o polígono ABCD:::PQ é inscrito na circunferência �:Da unicidade da circunferência que passa por A;B e C sai na unicidade de � por

A;B;C;D; :::; P;Q.

Fica para o leitor realizar a leitura da demonstração do caso da unicidade da

circunferência que passa por três pontos distintos e não colinares, veja[8]. �

1.3.6 Polígono Regular é Circunscritível

Teorema 1.3.3 Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. Ou dadoum polígono regular, existe uma única circunferência inscrita no polígono.

24

Figura 29 : Polígono Circunscritível


Demonstração: Tome ABCD...PQ o polígono regular visto no Teorema 1.3.2,

sabemos que ele é inscrito em uma circunferência �, onde os segmentos OA � OB �OC � OD �...� OP � OQ, pois são exatamente raios de �:Tome A0 ponto médio deAB, B0 ponto médio de BC, C 0 ponto médio de CD, D0 :::P 0 ponto médio de PQ e

Q0 ponto médio de QA, sabemos que dados pontos três não colineares, passa apenas

uma circunferência por eles, assim, seja �0 uma circunferência que passa pelos pontos

A0; B0 e C 0, consequentemente,

OA0 � OB0 � OC 0 � OD0 � ::: � OP 0 � OQ0; (1.12)

de onde se conclui que O também é o centro de �0, e pela propriedade da secante visto

em no Teorema 1.2.3 , temos que os segmentos de retas

OA0?AB;OB0?BC;OC 0?CD;OD0?; ::::; OP 0?PQ e OQ0?QA; (1.13)

onde chegamos a conclusão que ABCD....PQ tem lados tangente a �0 exatamente nos

seus pontos médios.

Unicidade de �0, se existisse outra circunferência inscrita no polígono ABCD:::PQ,

ela teria que passar pelos pontos A0B0C 0D0::::P 0Q0pois decairia na unicidade de ponto

médio, na unicidade da tangência, sendo coincidente com �0: �

25

1.3.7 Elementos Notáveis

De�nição 1.3.4 Apótema de um polígono regular é o segmento com uma extremidade

no centro e a outra no ponto médio de um lado.

i) Centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências

circunscritas e inscritas.

ii) O apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita.

iii)Todos os ângulos cêntricos de um polígono regular (vértice no centro e lados

passando por vértices consecutivos do polígono) são congruentes; então a medida de

cada um deles é dada por:

C� =360o

n

A propriedade (i) está explicitada em (1.10 ) e (1.12). Utilizando a De�nição de

apótema e (1.12) e (1.13) temos o resultado da propriedade (ii).

De�nição 1.3.5 Se um polígono regular possui um número par de lados, ele possui

diagonais passando pelo centro; são as que unem vértices opostos.

26

Capítulo 2

Propriedades e Relações

Neste capítulo apresentaremos as relações existentes entre a circunferência e os

polígonos regulares, onde os teoremas demonstrados no capítulo anterior são bastantes

utilizados. Começamos com as relações entre as circunferências e o triângulo equilátero

utilizando suas propiedades, em seguida entre o quadrado, depois no pentagono e

posteirormente as existentes no hexágano, assim, fase de uma forma indutiva uma

fórmula generalizada para os demais polígonos regulares, utilizando como base as

demonstrações já realizadas nesse trabalho, introduzindo as propriedes apresentadas

até o momento. De modo geral, faremos aplicações dessas relações no capítulo 3.

Para que o contexto �que mais dinâmico, utilizaremos A� para nos referir-mos a

área das �guras, onde, A signi�ca a área e o x a �gura mencionada,

exemplo: Área da circunferencia �, será representado por A�:Nas próximas seções chamaremos a circunferência circunscrita no polígono de �,

e a circunferência inscrita no mesmo polígono de �0, além disso, chamaremos R e r,

respectivamnete o raio de � e o raio de �0:

2.1 Relações no Triângulo Equilátero

O triângulo equilátero é o único triângulo que goza das propriedades de

regularidade, ou seja é regular, possuindo todos os lados e ângulos congruentes.

Seja 4ABC um triângulo regular, pelas propriedades de inscrição e

circunscrição de polígonos regulares na circunferência, podemos a�rmar que existe uma

única circunferência �0 inscrita em 4ABC , e uma única circunferência � circunscritaem 4ABC.

27

Propriedade 2.1.1 Seja 4ABC regular e duas circunferência �0 e � inscrita e

circunscrita respectivamnte em 4ABC, então

A� = 4:A�0 (2.1)

:

Demonstração: Seja 4ABC um triângulo equilátero.

Figura 30 : Equilátero

Fonte : Elaborado

pelo autor

Por de�nição temos que os segmentos AB � BC � CA, são congruentes. Pelo

Teorema 1.1.17 podemos a�rmar que4ABC por ser equiltero é baricentro e ortocentro,com isso , o segmento AD é a altura de 4ABC que corta BC exatamente no seu pontomédio (de�nições de ortocentro, e de baricentro), note que formamos um triângulo

28

retângulo 4ADC, como ilustra a Figura 31.

Figura 31 : Retângulo


Além disso,

CA = L; DC =L

2e AD = h:

Utilizando o Teorema de pitágoras,

L2 = (L

2)2 + h2

L2 � (L2)2 = h2

L2 � L2

4= h2

3L2

4= h2

2

r3L2

4= h

h = L2p3

2:

Agora chamaremos de �, a circunferência que 4ABC inscrita, e mostraremos a relação

29

existente, entre seu raio e o lado do triângulo, 4ABC:

F igura 32 : Equilátero circunscrito


Pela de�nição de elementos notáveis dos polígonos regulares, sabemos que o centro

do polígono é comum as cincunferências inscritas e circunscrita nele, assim podemos

a�rmar que o segmento

AO � R; (2.2)

ou seja, AO é o mesmo que o raio da circunferência �: como o 4ABC é baricentro,

então, o segmento

AO =2

3h, (2.3)

substituindo (??) em (2.3), temos,

AO =2

3(L

p3

2) =) AO = L

p3

3:

Racionalizando,

AO =Lp3:

Como AO � R, então,

R =Lp3. (2.4)

Calculando a A�, obtemos, A� = �:R2, utilizando (2.4), temos, A� = �:( Lp3)2 = �:L

2

3;

30

isto é,

A� =1

3:�:L2. (2.5)

Agora, tome �0 uma circunferência onde 4ABC está circunscrita, sabemos que a

apótema de um polígono regular é o segmento que parte do centro do polígono até seu

ponto médio, mas também sabemos que todo polígono regular tem centro comum com

as circunferências inscritas e circunscritas nele, como D é ponto médio de BC, então,

o segmento OD é exatamente a apótema do 4ABC, que pela De�nição 1.3.4 OD é o

raio de �0.

DO � r

F igura 33 : Equilátero inscrito


Utilizando as propriedades de baricentro, temos que o segmento AO = 2:OD,

utilizando (2.2) e (??), obtemos, R = 2:r, ou melhor,

L2p3= 2:r =) r =

L

2: 2p3

(2.6)

Calculando a área de �0; A�0 = �:r2, utilizando (2.6), obtemos,A�0 = �:(

L

2: 2p3)2 =) A�0 = �:

L2

4:3=)

A�0 =1

4:3:�:L2 (2.7)

Comparando as áreas de � e �0, chegamos a conclusão que, por (2.5) e (2.7), obtemos,

A�0 = A�1

4;

31

que equivale a,

A� = 4:A�0 ;

isto é, A� é quatro vezes maior que aA�0, ou melhor, a área da circunferência circunscrita

no triângulo equilátero é quatro vezes maior que a área da circunferência inscrita nele.

�

2.2 Relações no quadrado

Devido o quadrado ser uma das �guras mais conhecidas e trabalhada no meio

acadêmico, será mais fácil identi�car essas relações apresentadas nesta seção, relações

essas entre o quadrado inscrito e circunscrito em duas circunferência.

Propriedade 2.2.1 Seja ABCD um quadrado e duas circunferência �0 e � inscrita e

circunscrita respectivamnte em ABCD, então

A� = 2:A�0 : (2.8)

Demonstração: Chamaremos de C1 o quadrado ABCD, BD sua diagonal e L seu

lado. Tome � circunferência em que C1 está circunscrito nela, como mostra a �gura 34;

Figura 34 : Quadrado circunscrito


A diagonal do quadrado está diretamente relacionado com seu lado, note que

podemos formar um triângulo retângulo, 4DBC, onde utilizando Pitágoras obtemos,

d2 = L2 + L2 (2.9)

d2 = 2L2

d = L2p2 .

32

Pela de�nição de elementos notáveis dos polígonos regulares, sabemos que o

centro do polígono C1 é comum ao da circunferência �, assim temos que os segmentos

BO � OD, e por sua vez coincide com o raio de �, isto é, BO � OD � R, sendo

R o raio de �. Observe que a diagonal do quadrado C1 é o segmento BD, com isso,

BO � OD � R é a metade da diagonal, ou melhor,

R =d

2(2.10)

subtituindo (2.9) em (2.10) temos,

R =L 2p2

2(2.11)

Calculando A� obtemos, A� = �:R2, utilizando (2.11), A� = �:(L2p22)2 = �:L

2:24, isto é,

A� =2

4:�:L2 (2.12)

Agora iremos encontrara relação entre a circunferência �0 circunscrita em C1, como

mostra a �gura 35;Figura 35 : Quadrado inscrito


Pelo Teorema 1.3.3, podemos a�rmar que os segmentos de retaDC eAB são secantes

a �0, além disso, P é ponto médio de AB e K é ponto médio de DC, e também os

segmentos

OK � OP � r, (2.13)

33

onde r por sua vez, é exatamente o raio da circunferência �0, pois K, P e O 2 �0:Como K e P são pontos médios dos segmentos DC e AB, então os segmentos

PB � KC, onde utilizando as propriedades de paralelismo, PK==BC, podemos a�rmarque PK � L, ou melhor, utilizando (2.13), temos, OK � OP � r � L

2, isto é,

r � L2; (2.14)

Calculando A�0, A�0 = �:r2, utilizando (2.14), A�0 = �:(L2 )2 =) A�0 = �:

L2

4A�0 =

14:�:L2 .

Comparando (2.12) e (??), obtemos, A�0 = 12A�; que equivale a A� = 2:A�0 :

Ou seja, a área de uma circunferência inscrita em um quadrado qualquer, é metade

da área de uma circunferência circunscrita no mesmo quadrado. �

2.3 Relação no Pentágono Regular

Seja ABCDE os vértices do pentágono regular, onde o chamaremos de P5. Por

de�nição de incritível e circunscritível sabemos que existem duas circunferências � e �0

circunscrita e inscrita em P5, dai;

Teorema 2.3.1 Seja P5 regular e duas circunferência � e �0, circunscrita e inscritaem P5, então,

A� �=17

26A�0 (2.15)

Demonstração: Chamaremos de P5 o polígono ABCDE. Pelo Teorema 1.3.2 e pelo

Teorema 1.3.3, podemos a�rmar que existem duas circunferências � e �0, circunscrita

e inscrita, respectivamente em P5, e que ambas possui o mesmo centro. Tome r e R

34

raios de � e �0; respectivamente.

Figura 36 : Pentágono


Seja M o ponto médio de CD; assim, MO é a apótema de P5; pela De�nição

1.3.5, sabemos que a apotema de P5 é congruente ao raio da circunferência inscrita nele,

isto é, MO = r. Pelo Teorema 1.3.2 em (1.10) o segmento DO = R:

Como ja foi provado no capítulo anterior, no Teorema 1.3.2, todo polígono

regular é composto por triângulos congruentes e isóceles, logo, P5 é formado por 5

triângulos isósceles, com isso, podemos a�rmar que os ângulos centrais são congruentes

entre si,

AOB � BOC � COD � DOE � EOA;

note que, cada ângulo central medirá 72�; pois sabemos que uma volta completa equivale

a 360�; então,360�

5= 72�:

35

Figura 37: Ângulos centrais


Por de�nição, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer mede

180�;e que todo triângulo isóceles possui os ângulos da base congruentes, como P5 é

formado por 5 triângulos isóceles e seus ângulos centrais medem 72�, é fácil de ver que

os ângulos da base dos triângulos 4AOB;4BOC;4COD;4DOE;4EOA é igual a54�:

Utilizando o triângulo 4MOD, da �gura 36, temos:

Figura 38 : 4DOM


Como M é o ponto médio de CD e MO a apótema de P5, novamente pelo Teorema

1.3.3 em (1.13), os segmentos CD? MO, assim, o ângulo DMO equivale a 90�:Com

36

isso, pela de�nição de ângulos internos de um triângulo, podemos a�rmar que o ângulo

MOD equivale a 36�, pois,

MOD +DMO +ODM = 180�

MOD + 90� + 54� = 180�

MOD = 36�:

Agora, pelas relações trigonométicas temos,cos 36� = rR, logo,

r = R: cos 36� (2.16)

Calculando a área de A� e A�0 : A� =�:R2 ; A�0 = �:r2, utilizando (2.16) temos,

A�0 = �:r

2 = �:(R: cos 36�)2 = (cos 36�)2:(�:R2) = (cos 36�)2(A�):

Comforme ilustra o Apêndice B, temos que, (cos 36�)2 = 0; 654509, tome 1726como

aproximação de 0; 654509, concluimos que,

A�0 �=17

26:A�;

ou

A� �=26

17A�0 :

Concluimos que a área de uma cirunferência circunscrita em um pentágono P5regular qualquer, equivale aproximadamente 26

17da circunferência inscrita no mesmo.

�

2.4 Relação no Hexágono Regular

Seja ABCDEF os vértices do Hexágono regular, onde o chamaremos de P6. Por

de�nição de inscritível e circunscritível sabemos que existem duas circunferências � e

�0 inscrita e circunscrita em P6, dai;

Propriedade 2.4.1 Seja P6 regular e �0 e � duas circunferência inscrita e circunscrita,

37

respectivamnte em P6, então

A� =4

3A�0 (2.17)

Demonstração: Tome � a circunferência circunscrita em P6 e R o seu raio, pelas

propriedades de polígono inscritível, temos que os triângulos

4AOB � 4BOC � 4COD � 4DOE � 4EOF � 4FOA

com isso podemos a�rmar que seus lados e ângulos correspondentes também são

congruentes, assim como o hexágono forma seis triângulos, e uma volta completa

equivale a 360�; podemos a�rmar que os ângulos centrais que partem do centro O,

medem 360�

6= 60�, e como os segmentos,

OA � OB � OC � OD � OE � OF;

podemos con�rmar que os triângulos 4AOB; 4BOC, 4COD, 4DOE, 4EOF ,4FOA são equiláteros, pois possui todos os ângulos internos iguais.

Figura 39 : Hexágono circunscrito


Que por sua vez, também são congruentes com o raio de �, pois pela de�nição de

elementos notáveis dos polígonos regulares � e P6 possuem o mesmo centro.

38

Assim podemos a�rmar que, o raio de � é igual aos segmentos

R � OA � OB � OC � OD � OE � OF

assim temos que, por os triângulos serem equiláteros podemos concluir que

R � AB � BC � CD � DE � EF � FA

Isto é, o raio de � é congruente com o lado de P6, ou seja,

R � L, (2.18)

logo, A� = �R2 = �L2:

Agora iremos encontrar a relação entre �0 que está inscrita em P6 :

F igura 40 : Hexágono inscrito


Pelas propriedades de polígono regular circunscritível, temos que, os pontos

I,J,K,L,M e N são pontos médios dos seus respectivos segmentos, e também, os

segmentos

OI � OJ � OK � OL � OM � ON � r;

onde r é exatamente o raio de �0:

39

Ainda pelas propriedades de polígono regular circunscritível, temos que,

OI?AB; OJ?BC; OK?CD; OL?DE; OM?EF e ON?FA:

Com isso podemos obter triângulos retângulos, como mostra a �gura a seguir:

Figura 41 : Triângulo retângulo


Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos;

L2 = r2 + (L2)2 =) L2 = r2 + L2

4=) L2 � L2

4= r2 =) 3L2

4= r2 =) 2

q3L2

4= r =)

L2p3

2= r. (2.19)

Agora vamos calcular e comparar as áreas de � e �0:

Área de � é dada por.

A� = �:R2;

utilizando (2.18), temos:A� = �:L

2. (2.20)

Área de �0 é

A�0 = �:r2

40

utilizando (2.19), temos:

A�0 = �:(L2p3

2)2 =) A�0 = �:L

23

4=)

A�0 =3

4:�:L2 (2.21)

Utilizando (2.20) e (2.21), obtemos:

3

4A� = A�0 ou A� =

4

3A�0 :

Ou seja, a área de uma circunferência inscrita em um hexágono é três quartos da

área de uma circunferência circunscrito no mesmo hexágono,ou melhor, A� é quatro

terços maior que A�0 : �

2.5 Relações no Polígono de "n"Lados

Nas seções anteriores já foi demonstrado, passo a passo como encontramos as relações

no triângulo, quadrado, pentágono e hexágono. Agora de uma forma mais direta vamos

demonstrar uma fórmula generalizada para a relação de um polígono de n-lado qualquer.

Propriedade 2.5.1 Seja Pn um polígono regular qualquer com n > 3; e duas

circunferências �0 e � inscrita e circunscrita, respectivamente em Pn, então:

A�0 = [Cos(180�

n)]2:A� (2.22)

ou

A� = A�0 :1

[Cos(1804)]2

Demonstração: Seja Pn um polígono regular, sabemos que existem duas

circunferencias �0 e � inscrita e circunscrita, respectivamente em Pn, como ja foi

demonstrado nas propriedades anteriores, o segmento que parte do vértice do polígono

até seu centro é igual ao raio da circunferência circunscrita, e também, a apótema desse

polígono é exatamente o raio da circunferência �0 inscrita.

Seja, ABCD...OPQ um polígono regular qualquer, e C�1; C�2; C�3; :::C�P:::

seus ângulos centrais e r sua apótema:

41

Figura 42 : Polígono Pn


Por elementos notaveis em (iii) da seção 1.3.7 , temos

C� =360�

n;

onde, os ângulos C�1 �C�2 �C�3 �C�4 �C�m �C�n �C�o �C�p, podemos a�rmarque a apótema divide o ângulo C�1 em dois ângulos congruentes, pois, sabemos que os

triângulos que formam os polígonos regulares são isósceles, com isso,

AO � BOOAB � OBA;

e como M é o ponto médio de AB então

AM �MB

42

como mostra a �gura 40:

Figura 43 : Congruentes


Podemos a�rmar pelo 1� caso LAL que

4OAM � 4OBM:

.

Chamaremos de ângulo � = C�12:Como C� = 360�

n, então,

� =360�

n

2=180�

n:

Isto é,

Figura 44 : 4MOB


43

Utilizando as relações trigonométricas, acharemos a relação direta entre r e R.

cos � =r

R(2.23)

cos(180�

n) =

r

R

R cos(180�

n) = r

Calculando as áreas de �0 e �, temos que,

A�0 = �r2 e A� = �R2

Utilizando (2.23),

A�0 = �r2

A�0 = �[R cos(180�

n)]2

= �R2[cos(180�

n)]2

= A�:[cos(180�

n)]2

como queríamos provar. �Note que aplicando essa relação A�0 = (Cos180

�

n)2:A�, nos polígonos ja trabalhados

chegaremos a uma igualdade.

Aplicando no triângulo, temos que n = 3,

A�0 = [(cos(180�

3)]2:A�

A�0 = (Cos 60�)2:A�

A�0 = (1

2)2:A�

A�0 = (1

4):A�

Aplicando no quadrado. teremos n = 4,

44

A�0 = [(cos(180�

4)]2:A�

A�0 = (Cos 45�)2:A�

A�0 = (0:7071067812)2:A�

A�0 = (0; 5):A�

A�0 =1

2:A�

Aplicando no pentagono, temos n = 5;

A�0 = [(cos(180�

5)]2:A�

A�0 = (Cos36)2:A�

A�0 = 0; 8090169944)2:A�

A�0 = (0; 6545084972):A�

tomando, 1726�= 0; 6545084972, temos que,

A�0 =17

26:A�

Aplicando no hexágono. teremos n = 6,

A�0 = [(cos(180�

6)]2:A�

A�0 = (Cos 30�)2:A�

A�0 = (0; 8660254038)2:A�

A�0 = (0; 75):A�

A�0 =3

4:A�

Aplicando no icoságono. teremos n = 20,

45

A�0 = [(cos(180�

20)]2:A�

A�0 = (Cos 9�)2:A�

A�0 = (0:9876883406)2:A�

A�0 = (0; 97552825582):A�

Dessa forma podemos intuitivamente supor que, quando o número de lados do

poligono for muito grande, o ângulo cetral do poligono vai tender a zero, ou seja,

A�0 = [(cos(180�

n)]2:A�

A�0 = (Cos 0�)2:A�

A�0 = (1)2:A�

A�0 = (1):A�

A�0 = A�

Com isso teriamos uma única circunferência, istos é, quando o número de lados

de um polígono regular for muito grande, a sua área se aproximara das áreas das

circunferências inscritas e circunscrita nele.

46

Capítulo 3

Aplicando Propriedades e Relações

Neste capítulo apresentaremos imagens construidas no Geogebra dos poligonos

regulares, suas inscrições e circunscrições apresentando suas respectivas áreas, e

também, aplicaremos as propriedades e relações estudadas no capítulo 2, resolvendo

problemas retirados de livros, apostilas, sites e foruns, foruns esses criados por alunos

de todo o Brasil com intuito de sanar dúvidas sobre geometria plana voltado para o tema

deste trabalho. Em alguns problemas realizaremos algumas comparação em relação as

soluções dos problemas de forma usual com a solução do mesmo problemas utilizando

as propriedades e relações apresentadas até agora neste trabalho. Os conteúdos desse

capitulo teve como base [2],[3],[5],[6], e [12].

3.1 Utilizando o Geogebra

Utilizando o aplicativo Geogebra construir os quatro polígonos estudados até

então, inscritos e circunscritos em circunferências, �cando assim mais nitido e de facil

compreensão as propriedades estudadas no capítulo 2.

3.2 Relações no Triângulo

As �guras 45, 46 e 47 são �guras destintas, onde foi tomado como padrão �0 e

� circunferências inscrita e circunscrita respectivamente. Note que todas seguem a

propriedade 2.1.1 na qual a�rma que A� = 4:A�0.

47

Figura 45 : Triângulo equilátero 1






.

48

3.3 Relações no Quadrado

As �guras 48, 49 e 50 ilustram a propriedade 2.1.2 na qual a�rma que A� = 2:A�0

Figura 48 : Quadrado 1






49

3.4 Relações no Pentagono

As �guras 51, 52 e 53 ilustram a propriedade 2.1.2 na qual a�rma que A� �= 2617:A.�0

Figura 51 : Pentágono 1






50

3.5 Relações no Hexágono

As �guras 54, 55 e 56 ilustram a propriedade 2.1.2 na qual a�rma que A� = 43:A�0.

Figura 54 : Hexágono 1






51

3.6 Algumas Aplicações

Problema 3.6.1 (SESC PA �Coned 2016). Qual o valor da área do círculo inscritonum quadrado, se a área do círculo circunscrito a esse quadrado mede 32� cm2 ?

a) 10 � cm2

b) 8 � cm2

c) 16 � cm2

d) 12 � cm2

e) 9 �cm2

Solução 3.6.2 Utilizando modo usual: chamaremos de C1 a circunferência circunscritae C2 a circunferência inscrita, como ja sabemos a área da circunferência circunscrita C1,

basta calcularmos seu raio e em seguida o raio da circunferência inscrita C2. Sabemos

que área de uma circunferência é calculada pela fórmula Ac = �r2, sendo assim temos

que

Área de C1 = �r2

32� = �r2

32 = r2

r =p32 = 4

p2; observe a �gura 39.

Figura 57 : Problema 1

fonte : https : ==sabermatematica:com:br

Por (2.8) temos que o raio da circunferência circunscrita é exatamente a metade da

diagonal do quadrado, e também o segmento BC e o raio da circunferência inscrita,

isto é,

52

sen 45� = BCACp

22= BC

4p2

2.BC =p2:4p2

2.BC = 8

BC = 4

Portanto o raio de C2 é 4cm, com isso a

Área de C2 = �:42 = 16�

resposta letra C.

Solução 3.6.3 Pelas Propriedades: chamaremos de C1 a circunferência circunscrita

e C2 a circunferência inscrita, como a área de C1 é 32�, utilizando (2.8) temos que

AC1 = 2:AC2 , isto é,

32� =2.Área de C232�2=Área de C2, com isto temos que, Área de C2 = 16�.

Note que as duas soluções estão corretas, porém a segunda solução é muito mais

prática e rápida, bastando o aluno ter ciência da propriedade (2.8) demonstrada neste

trabalho.

Problema 3.6.4 (Cefet ES-2010) Calcule a área da circunferência circunscrita em umhexágono regular que possui apotema de 3

p2cm

.


Fonte: Elaborada pelo autor

53

Solução 3.6.5 Sabemos que pelo Teorema 1.3.3 existe uma circunferência inscritanesse hexágono, e por (1.12) temos que a apotema e exatamente o raio da circunferência

inscrita C2 , com isso

Seja C1 a circunferência circunscrita e C2 a circunferência incrita no hexágono

(Figura 41),



Área de C2 = �:r2

Área de C2 = �:(3p2)2

Área de C2 = �:9:2 = 18� cm2

Por (2.17) , sabemos que 34AC1 = AC2 , isto é,

34AC1 = 18�

AC1 =43:18� = 24� cm2

Problema 3.6.6 Sabendo que o lado de um hexágono regular mede 3 cm ,calcule a

área da circunferência inscrita ao hexágono.

Seja C1 a circunferência circunscrita e C2 a circunferência inscrita no hexágono.

Como o hexágono e regular então podemos a�rma que é formado por seis triângulos

equiláteros, por de�nição esses triângulos possuem seus lados congruentes, assim observe

a �gura 42,

54


Fonte: Elaborada pelo

autor

Pelo teorema 1.3.2 podemos a�rma que existe uma circunferência circunscrita nesse

hexágono, como mostra a (�gura 43).



Por (1.13) e pelas propriedades de elementos notaveis, temos que o lado do hexágono

será congruente com o raio da circunferência (2.18),

com isso,

Área de C1 = �32 = 9�

Utilizando (2.17) temos,

Área de C2 =3

4:9� =

27

4� = 6; 75�

55

Problema 3.6.7 Calcule a área de uma circunferência de raio r na qual há umtriângulo equilátero com lados medindo 6 cm inscrito na mesma.



Solução 3.6.8 Utilizando(2.4), temos que o raio da circunferência é

r =Lp3= L

p3

3:

Assim

r = 6:

p3

3

Isto é, a área da circunferência e dada por,

AC1 = �(6:

p3

3)2 = �

36:3

9= 12� :

Problema 3.6.9 (ENEM 2015-QUESTÃO 137) O tampo de vidro de uma mesa

quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte

de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo

equilátero com lados medindo 30cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de

vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm,

35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor

diâmetro que seja su�ciente para cobrir a base superior do suporte da mesa.Considere

56

1,7 como aproximação da raiz de 3. O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em

centímetros, é igual a:

a) 18

b) 26

c) 30

d) 35

e) 60

Solução 3.6.10 observe a �gura:



Note que basta escolher uma circunferência onde a base triangular �que inscrito

nela, como mostra a �gura 45 abaixo:

Figura 64 : Problema 7.1


57

Assim, utilizando (2.4) da relação de triângulo equilatero visto no capítulo 2, temos

que

r = L

p3

3

isto é, r = 30p33, como a questão da 1; 7 como aproximação de

p3, logo

r = 30:1; 7

3� 10:1; 7 = 17cm

Com isso, concluimos que a tampo com menor raio que é su�ciente para cobrir a

base triângular é a alternativa (a) 18cm.

Problema 3.6.11 (Cefet MG- Questão 522) Se um quadrado está inscrito numa

circunferência de 6 cm de raio, então o seu lado e seu apótema medem, respectivamente,

em cm

a) 6 e 3p2

b) 3p2 e 3

2

p2

c) 6p2 e 3

d) 6p2 e 3

p2

Solução 3.6.12 De (2.8) em (2.11) temos que R = Lp22; como ja foi demonstrado a

apotema do quadrado equivale ao raio da circunferência inscrita nele, assim, por (2.14)

temos que r = L2, isto é,

L = 12p2= 6p2

Apotema = 6p22= 3p2



58

Problema 3.6.13 (FGV SP- Questão 528) O lado de um quadrado inscrito num

círculo mede 12p2m; a medida do lado do triângulo equilátero circunscrito vale:

a) 20p3m

b) 20p5m

c) 24p5m

d) 24p3m

e) 40m



Solução 3.6.14 Inicialmente usaremos (2.8) em (2.11) temos que, R = Lp22; isto é,

R = 12p2:p22= 12m. Agora utilizando (2.1) em (2.6), temos que,

R = L2p3, ou seja, L = R:2

p3; isto é,

L = 12:2p3 = 24

p3 , resposta letra (d)

59

Considerações Finais

Neste trabalho foram apresentadas algumas relações existentes entre as

circunferências inscritas e circunscritas em polígonos regulares, as quais foram

demonstradas utilizando algumas topologias da geometria plana, donde, os

conhecimentos aqui adquiridos podem ser utilizados para solucionar problemas de uma

forma mais prática que as envolvam.

Deixamos como sugestões de investigação: o estudo de polígonos regulares inscritos e

circunscritos numa circunferência, por exemplo, se existe uma relação entre o hexágono

inscrito e circunscrito numa circunferência; como também pesquisar se existe alguma

relação entre as esferas contidas num poliedro regular com a esfera que contém o mesmo

poliedro.

60

Referências Bibliográ�cas

[1] BICUDO, I. Os elementos/Euclides; tradução e introdução de. São Paulo : Editora

UNESP, 2009. 593p.

[2] CÁLCULE a área do circulo inscrito. Brainly, 2017. Disponivel em:

<https://brainly.com.br/tarefa/18918965>. Acesso em: 05 de nov. de 2018.

[3] CEFET,Exercícios sobre as relações métricas no hexágono regular inscrito. Mundo

educação, 2010.

Disponivel em: <https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-

matematica/exercicios-

sobre-as-relacoes-metricas-no-hexagono-regular-inscrito.htm>. Acesso em: 10 nov.

de 2018.

[4] DOLCE, O. & POMPEO, J. N. .Fundamentosde Matemática Elementar - Volume

09. São Paulo: Atual, 1993. 450p.

[5] ENADE,O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído

por outro que tenha a forma de círculo.Noenem, 2018. Disponivel em:

<https://noenem.com.br/topico/exercicio-01-2/>. Acesso em: 3 de nov. de 2018.

[6] FVG,Quetão-528. IFRR.

Disponivel em: <https://www.passeidireto.com/arquivo/17215068/matematica-

lista-de-exercicios-2-geometria-plana>. Acesso em: 22 de out. 2018.

[7] LIMA, E.L. ; Cezar P.P.C. ; Wagner, Eduardo. ; César, Augusto M. Temas e

Probleas Elementares. 5.ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,

2013. 329p.

[8] Marques, J.L.B. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira

de Matemática, 2012. 257p.

61

[9] MUNIZ, A.C.N. Matemática Elementar - Volume 02. 2.ed. Rio de Janeiro:

Sociedade Brasileira de Matemática, 2013. 464p.

[10] PAIVA, Manoel. Matemática Paiva. 3.ed. São Paulo: Moderna, 2015. 407p.

[11] PAIVA, Manoel. Matemática, Volume único. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2005.

578p.

[12] SESC,

Prova para cargo de encarregado adminidtrativo. Qconcursos, 2016. Disponivel

em: <https://arquivos.qconcursos.com/prova/arquivo_prova/50353/coned-2016-

sesc-pa-encarregado-administrativo-prova.pdf>. Acesso em: 05 de nov. de 2018.

[13] SILVEIRA, Ênio. Matemática : Compreensão e Prática - 9�Ano:3.ed. São Paulo:

Moderna, 2015. 296p.

62

Apêndice A

Geogebra

Nesta sessão, vamos realizar o passo a passo de como construir circunferências

inscritas e circunscritas em polígonos regulares.

É de grande importância que as �guras sejam feitas corretamente, pois, a mínima

distância dos pontos ou dos segmentos construídos de maneira errada, resultará em

calculos diferentes, pois a circunferência não estará inscrita ou circunscrita no polígono,

deixando de seguir suas de�nições.

1� passo. Criar um polígono regular:

Após abrir o aplicativo Geogebra, iremos direcionar a seta para cima da �gura a

seguir:

e clicar na seta apontada para baixo. Aparecerá mais imagens abaixo, agora basta

clicarmos na �gura (polígono regular):

Selecione essa opção, depois, clique duas vezes em lugares distintos na malha

quadriculada, assim, irá abrir uma aba com a opção de quantos vértices irá escolher.

Depois de escolher a quantidade de vértices, basta clicar em ok. Automaticamente o

polígono regular estará formado.

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2� passo. Traçar uma circunferência circunscrita no polígonoPara traçar a circunferência circunscrita, basta direcionar a seta para cima da

imagem que possui uma circunferência:

Clicar na seta apontada para baixo, novamente irá aparecer mais �guras, clique na

�gura (Circulo de�nido em três pontos):

Após ter selecionado essa opção, basta clicar em três vértices do polígono, assim,

estará feita sua circunferência circunscrita

3� passo. Traça a circunferência inscrita no polígono.Agora vamos selecionar a �gura que possui um ponto:

Novamente clique na seta apontada para baixo e selecione a imagem referente ao

ponto médio ou centro:

Clique nos vértices dos polígonos, traçando assim os pontos médios, basta traçar

apenas três pontos medios em três segmentos distintos, depois de traçados, basta

selecionar novamente o comando (Circulo de�nido em três pontos):

64

Clicar nos três pontos médios que acabaram de serem traçados, assim, está

construída a circunferência inscrita no polígono regular.

4� passo. Apresentar as áreas das circunferências.Direcione a seta para a �gura:

Logo após, clique na seta apontada para baixo, aparecendo as outras imagens, basta

clicar na �gura (Área)

Depois de selecionada, clique nas circunferências para apresentar as áreas.

Seguindo esses passos construímos circunferências inscritas e circunscritas em

qualquer polígono regular, onde o que vai mudar de um polígono para o outro é a

quantidade de vértices escolhidos no 1opasso.

Em algumas �guras para que o resultado das relações seja exato, teremos que

aumentar o arredodamento das casas decimais das áreas, pois o próprio aplicativo

arredonda para apenas duas casas decimais.

65

Apêndice B

Tabela do Cosseno pela Relação

A tabela abaixo apresenta alguns valores de Cosseno, que são podem ser utlizados

na relação apresentada no capítulo 2, sessão 2.5 em (2.22), no qual é realizado a razão

[Cos(180�

n)]2:

Lados do Pol�{gono

n

180

90

60

45

36

30

10

9

8

7

6

5

4

3

Angulo em Graus

0

1

2

3

4

5

6

18

20

22; 5

25; 7142857143

30

36

45

60

cos

1

0; 999848

0; 999391

0; 99863

0; 997564

0; 996195

0; 994522

0; 95106

0; 939693

0; 92388

0; 9009688679

0; 8660250

0; 809017

0; 707107

0; 5

(cos)2

1

0; 999696

0; 998782

0; 997263

0; 995134

0; 9924045

0; 989074

0; 904515

0; 883022

0; 853554

0; 8117495

0; 75

0; 654509

0; 5

0; 25

66

relaçıes mØtricas entre circunferŒncias inscritas e

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