Relaciones Entre ConjuntosProfesor: Francisco carrera. Fecha: 9/11/12.  Alumno:Kristie Herrera BrenesMauricio Solano Castro

 

Parejas ordenadasEl orden de los elementos en un conjunto de

dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3}

Tambien se les conoce como tuplas cuando son pares ordenados

Por otra parte, escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto cartesianoConsidere dos conjuntos arbitrarios A y B. El

conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈A y b ∈B

EJEMPLOSi A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto

cartesiano es:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos

A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.

Se definen también los siguientes conjuntos:El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de

partida, que es del que salen las flechas. El conjunto B es el conjunto final o conjunto de

llegada, que es al que llegan las flechas.

A B Inicial final Original imagenPreimagen codominioDominio rango

Correspondencias

Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto delproducto cartesiano de A por B.

Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G.

CorrespondenciasEJEMPLO

Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es

un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).

Tipos de correspondencia

1. Correspondencia en o inyectivaes decir, a cada elemento del conjunto final puede

llegarle una o ninguna flecha.

ƒinyectiva ⇔∇y1,y2∈B,dondey1 =ƒ(x1), y2=ƒ(x2),siy1 =y2 ⇒x1=x2,∇x1,x2∈A

Ejemplo:

Tipos de correspondencia2. Correspondencia sobre o suprayectiva o

exhaustiva

es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.

Tipos de correspondencia

3. Correspondencia unívoca:Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.

Tipos de correspondencia4. Correspondencia multívoca:Una

correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.

Tipos de correspondencia

5. Correspondencia biunívoca:Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.

Clases de aplicaciones:

1.Aplicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento del conjunto imagen le corresponde a uno y sólo a un elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del conjunto final es imagen de al menos un elemento del conjunto original.

Clases de aplicaciones:

2. Aplicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación que verifica que el conjunto final es igual a su conjunto imagen.

Clases de aplicaciones:

3. Aplicación biyectiva:Es la aplicación que a la vez es inyectiva y suprayectiva. Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal.

Relaciones:

Una relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con otros.

Relación binaria

La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.

EJEMPLOSea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la

siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.

Propiedades de una relación binariaLas principales propiedades que puede presentar

una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

Propiedades de una relación binaria1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle

Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual

que”, se tiene:R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

Propiedades de una relación binaria2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un

bucle.

Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor

que”, se tiene: R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Propiedades de una relación binaria3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de

vuelta.

Ejemplo: SiA={-1,2,-3,4}yRestalque∇a,b ∈A, a R b ⇔ a⋅ b>0,

setiene: R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3),

(4, 2), (4, 4)}

Propiedades de una relación binaria4. Antisimétrica en sentido amplio.Ninguna

flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en el caso de los bucles, que están permitidos.

Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o

igual que”, se tiene:R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1),

(2, 2), (3, 3), (4, 4)}

Propiedades de una relación binaria5. Antisimétrica en sentido estricto.Ninguna

flecha de ida tiene otra de vuelta, y no están permitidos los bucles.

Ejemplo:Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor

que”, se tiene:R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}