RELACIONES DE RECURRENCIA

RELACIONES DE RECURRENCIAProfesor: JUAN CHUNGA APAZA INTRODUCCIONConsideremos las siguientes instrucciones para generar una sucesin:Comenzar con 5.Dado cualquier trmino, sumarle 3 para obtener el siguiente termino.Los trminos sern: 5, 8, 11, 14, 17, Denotando la sucesin como a1, a2, a1 = 5 an= an-1+ 3, n 2

Resolver la relacin de recurrencia an = an-1 + 5 (1) sujeta a la condicin inicial a1 = 2

Resolver la relacin de recurrencia Resolver la relacin de recurrencia RELACIN DE RECURRENCIADefinicionesUna relacin de recurrencia para la sucesin a1, a2, , es una ecuacin que relaciona an con algunos de sus predecesores a1, a2, , an-1

Las condiciones iniciales para la sucesin a1, a2, son valores dados en forma explicita para un nmero finito de trminos de la sucesin.

Ejemplo N 1:Sucesin de FibonacciCuyos valores comienzan con 0, 1, 1, 2, 3, 5, Se define mediante la relacin de recurrencia:fn= fn-1+ fn-2, n 3

Las condiciones iniciales son:f1= 0, f2=1

Ejemplo N 2:Una persona invierte S/. 1000 al 12% de inters anual compuesto. Si An representa la cantidad al final de n aos, encuentre una relacin de recurrencia y las condiciones iniciales que definen la sucesin {An}A1 = A0 + (0,12)A0 , para n = 1A2 = A1 + (0,12)A1 = 1,12A1 para n = 2 A3 = A2 + (0,12)A2 = 1,12A2 para n = 3

An = An-1 + (0,12)An-1 = 1,12An-1 donde n es el numero de aos y la condicin inicial es A0 = 1000

An = 1,12An-1 El nmero de bacterias en un cultivo es de 1000(aproximadamente) y este nmero aumenta un 250% cada dos horas. Use una relacin de recurrencia para determinar el nmero de bacterias presente despus de un da.Un banco paga un inters (anual) del 6% para cuentas de ahorro, con un inters compuesto mensual. Si Juan deposita s/. 1000 el primero de mayo, Cunto dinero tendr depsito un ao despus?Algoritmo N 1: Calculo del inters compuesto Este algoritmo recursivo calcula la cantidad de dinero al final de n aos suponiendo una cantidad inicial de S/. 1000 y una tasa de inters anual del 12% compuesto.Entrada: n el numero de aos.Salida: La cantidad de dinero al final de n aos.Z = Interes_compuesto(n)If n == 0Z = 1000ElseZ = 1,12*interes_compuesto(n-1) Retorna Z

Resolver la relacin de recurrencia Sn = 2Sn-1 sujeta a la condicin inicial S0 = 1Encuentre la solucin general

Algoritmo en MATLAB: Calculo del inters compuesto

SOLUCIN DE RELACIONES DE RECURRENCIAResolver una relacin de recurrencia que implica una sucesin a0, a1, significa encontrar una formula explicita para el trmino general an.

En esta seccin se estudia dos mtodos para resolver relaciones de recurrencia: el de iteraciones y un mtodo especial que se aplica a relaciones de recurrencia homogneas lineales con coeficientes constantes. Para resolver una relacin de recurrencia que implica la sucesin a0, a1, por iteracin, se usa la relacin de recurrencia para escribir el n-esimo termino an en trminos de algunos de sus predecesores an-1, ,a0. Despus se usa la relacin de recurrencia de manera sucesiva para sustituir cada uno de an-1, por alguno de sus predecesores. El problema continua hasta obtener una formula explicita EJEMPLO N 1: Resolver la relacin de recurrencia an = an-1 + 5 (1) sujeta a la condicin inicial a1 = 2 Mediante iteraciones, al sustituir n por n-1, se obtiene: an-1 = an-2 + 5 (2)si se sustituye esta expresin de an-1 en la ecuacin (1), se obtiene: an = an-2 + 5 + 5 an = an-2 + 25 (3)sustituyendo n por n-2 en la ecuacin (1): an-2 = an-3 + 5 si se sustituye esta expresin de an-2 en la ecuacin (3), se obtiene: an = an-3 + 5 + 25 an = an-3 + 35En general, se tiene an = an-k + k5Si se hace k = n-1, en esta ltima expresin se tiene: an = a1 + (n-1)5Como a1 = 2, se obtiene la formula explicita: an = 2 + 5(n-1)Mediante iteraciones, al sustituir n por n-1, se obtiene: Sn-1 = 2Sn-2 (2)si se sustituye esta expresin de Sn-1 en la ecuacin (1), se obtiene: Sn = 22Sn-2 Sn = 22Sn-2 (3)sustituyendo n por n-2 en la ecuacin (1): Sn-2 = 2Sn-3 si se sustituye esta expresin de Sn-2 en la ecuacin (3), se obtiene: Sn = 222Sn-3 Sn = 23Sn-3 En general, se tiene Sn = 2kSn-k Si se hace k = n, en esta ltima expresin se tiene: Sn = 2nS0 Como S0 = 1, se obtiene la formula explicita: Sn = 2n

EJEMPLO N 2: Resolver la relacin de recurrencia Sn = 2Sn-1 (1) sujeta a la condicin inicial S0 = 1 DEFINICION: Una relacin de recurrencia homognea lineal de orden k con coeficientes constantes es una relacin de recurrencia de la forma: an = c1an-1 + c2an-2 + +ckan-k , ck 0Observe que una relacin de recurrencia homognea lineal de orden k con coeficiente constantes junto con k condiciones iniciales a0 = C0, a1 = C1, ak-1 = Ck-1definen de manera nica una sucesin a0, a1,EJEMPLO N 3: La relacin de recurrencia Sn = 2Sn-1 es una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes de orden 1.

EJEMPLO N 4: La relacin de recurrencia fn = fn-1 + fn-2 que define la sucesin de Fibonacci es una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes de orden 2.EJEMPLO N 5: La relacin de recurrencia an = 3an-1an-2 no es una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes. En una relacin de recurrencia de este tipo, cada termino es de la forma cak . Los trminos como an-1an-2 no se permiten. Se dice que las relaciones de recurrencia como la del ejemplo son no lineales.

EJEMPLO N 6: La relacin de recurrencia an = 3nan-1 no es una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes constantes porque el coeficiente 3n no es constante. Se trata de una relacin de recurrencia homognea lineal con coeficientes no constantes.

Se ilustrar el mtodo general para resolver relaciones de recurrencia homogneas lineales con coeficientes constantes encontrando una frmula explicita para la sucesin definida por la relacin de recurrencia: an = 5an-1 6an-2 (1)y las condiciones iniciales a0 = 7 , a1 = 16 Se investigara una solucin de la forma Vn = tn para (1)Si Vn = tn debe resolver (1) entonces: Vn = 5Vn-1 6Vn-2 otn = 5tn-1 6tn-2 o tn 5tn-1 + 6tn-2 = 0dividiendo entre tn-2 , se obtiene la ecuacin equivalentet2 5t + 6 = 0 que al resolver se encuentran las soluciones: t = 2 y t = 3Hasta ahora se tienen 2 soluciones S y T de (1)Sn = 2n y Tn = 3n Se puede verificar (ver teorema 1) que si S y T son soluciones de (1) entonces bS + dT, donde b y d son nmeros cualesquiera, tambin es una solucin de (1), en nuestro caso, si se define una sucesin U mediante la ecuacin:Un = bSn + dTn Un = b2n + d3n U es una solucin de (1).Para satisfacer las condiciones iniciales , debe tenerse: U0 = b20 + d30 = 7 y U1 = b21 + d31 = 16 resolviendo las ecuaciones se obtiene b= 5 y d = 2. Por tanto la sucesin U definida por Un = 52n + 23n satisface la relacin de recurrencia (1) y sus condiciones iniciales. Se concluye que an = Un = 52n + 23n para n = 0, 1, 2 .. TEOREMA N 1: Sea an = c1an-1 + c1an-2 (1) una relacin de recurrencia homognea lineal de segundo orden con coeficientes constantes.Si S y T son soluciones de (1), entonces U = bS + dT tambin es una solucin de (1).Si r es una raz de t2 c1 t c2 = 0, (2) entonces la sucesin rn , n = 0, 1, es una solucin de (1)Si a es un sucesin definida por (1), a0 = C0 , a1=C1y r1 y r2 son races de (2) con r1 r2 , entonces existen constantes b y d tales que:an = brn + drn n = 0, 1, 12TEOREMA N 2: Sea an = c1an-1 + c1an-2 (1) una relacin de recurrencia homognea lineal de segundo orden con coeficientes constantes.Sea a una sucesin que satisface a0 = C0 , a1=C1 , si ambas races de t2 c1 t c2 = 0 son iguales a r, entonces existen constantes b y d tales que an = brn + dnrn n = 0, 1, Demostracin: queda como ejercicioan = 7an-1 10an-2 a0 = 5 , a1 = 16 an = 5an-1 6an-2 y las condiciones iniciales a0 = 7 , a1 = 16 37