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RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f-1
Sabemos que la función inversa 1f (o recíproca) de f cumple la siguiente condición:
Si baf , entonces abf 1
Por lo tanto:
1
1
1
1 1
,
,
f f
f f
x f x x es decir f f x x
x f x x es decir f f x x
Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta xy que es la
bisectriz del primer-tercer cuadrante, ya que:
Si baf , entonces abf 1
Por tanto un punto (a,b) de la gráfica de f
se corresponderá con el punto (b,a) de la
gráfica de f-1.
Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha
de corresponder a un único valor de x :
1 2 1 2Si f x f x x x
Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de
los cuales tendrá su función inversa.
Por ejemplo, como 2xy no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así:
xxfxxxfy
xxfxxxfyxxfy
1
2
2
2
1
1
2
12
0,
0,
2
1. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE NATURAL
( )
f(x) = x2 parábola f(x) = x4
Su dominio es D(f) = R al ser polinómicas.
Su gráfica es muy parecida a la de una parábola.
Presentan simetría par (simétricas respecto del eje de
ordenadas) f (x) = f (x)
f (x) = (-x)n = xn = f (x) con n par
Están acotadas inferiormente: f(x) > = K (K= 0)
Su imagen es Im( f ) 0, Son funciones continuas en su dominio.
f(x) = x6
( )
f(x) = x3 f(x) = x5 f(x) = x7
Su dominio es D(f) = R al ser polinómicas. Son funciones continuas.
Presentan simetría impar (simétricas respecto del origen) f (x) = - f (x)
f (x) = (-x)n = - xn = - f (x) con n impar
No están acotadas ni superior ni inferiormente.
Su imagen es Im(f ) R
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2. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
( )
( )
( )
Su dominio es D(f) = R 0
Son funciones continuas en su dominio de definición.
Presentan simetría impar f (x) f (x) (simétricas respecto del origen de
coordenadas)
f (x)
( )
f (x) n impar
| |
( )
( )
}
No están acotadas ni superior ni inferiormente.
Su imagen es Im(f) = R 0
El caso particular ( )
es una hipérbola equilátera.
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( )
( )
( )
Su dominio es D(f) = R 0Son funciones continuas en D(f)
Presentan simetría par (simétricas respecto del eje de ordenadas) f (x) f (x)
f (x)
( )
f (x) n par
| |
( )
Están acotadas inferiormente: f(x) > K (K= 0)
Su imagen es Im(f) = 0,
3. FUNCIONES POTENCIALES DE EXPONENTE RACIONAL POSITIVO
( ) √
( ) √ ( ) √
( ) √
D(f) = R+ D(f) = R D(f) = R
Acotada inferiormente: No acotada. Acotada inferiormente: f(x) > = 0 f(x) > = 0
Im(f) = 0,Im(f) = R Im(f) = 0,
5
Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta xy
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4. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA (LA HIPÉRBOLA)
( )
Su dominio es ( ) {
}. Son continuas en su dominio ( )
| |
No están acotadas ni superior ni inferiormente.
Su imagen es Im(f) = {
}
Deduce la expresión de f y fe f-1, y Dibuja la gráfica de su inversa:
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5. FUNCIÓN EXPONENCIAL
( ) ( )
Su dominio es D(f) = R.
Son funciones continuas en su dominio.
Su imagen es Im(f) = 0,ya que ax > 0) Todas pasan por el punto (0,1) ya que f(0) = a0 = 1
La función exponencial es siempre estrictamente creciente o decreciente según el valor de a:
Si 0<a<1 se tiene que:
}
Si a>1 se tiene que:
}
La función exponencial está acotada inferiormente por 0, pues f(x) > 0, pero no está acotada superiormente.
Las gráficas son:
( ) ( ) ( ) ( )
8
Ejercicios:
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6. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definición de logaritmo de un número b > 0:
Cuando la base del logaritmo es el “número e ” se denomina logaritmo neperiano y se
escribe:
( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
Ejercicios:
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La función logaritmo: ( ) ( )
Su dominio D(f) = R+.
Son funciones continuas en su dominio.
Todas pasan por el punto (1,0), ya que f(1) = = 0
Su imagen es Im(f) = R
Si 0 < a < 1 se tiene que:
La función logaritmo es estrictamente decreciente
}
Si a > 1 se tiene que:
La función logaritmo es estrictamente creciente
}
La función logaritmo no está acotada ni superior ni inferiormente.
La función logaritmo es continua en su dominio.
Las gráficas son:
( ) ( ) ( ) ( )
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Las gráficas de f y de f-1 son simétricas respecto de la recta xy
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7. FUNCIONES CIRCULARES
( )
La función asocia a cada nº real “x” el seno del ángulo cuya medida en radianes
es “x”.
El dominio D(f) = R.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = [-1, 1].
Tiene simetría impar f( - x) = - f(x)
f( - x) = sen(-x) = - sen(x) = - f(x)
Es periódica de periodo 2
sen(x + 2sen(x) luego para estudiar el comportamiento de la función
basta hacerlo en el intervalo [0, 2en donde se comporta así:
o Es positiva en (0, y negativa en2
o Es estrictamente creciente en ⌊
⌋ ⌊
⌋
o Es estrictamente decreciente en ⌊
⌋
Se anula en los puntos x = kcon k
sen(x) = 0 cuando x = kcon k
Presenta máximos en x =
y mínimos en x =
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( )
La función asocia a cada nº real “x” el coseno del ángulo cuya medida en
radianes es “x”.
El dominio D(f) = R.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = [-1, 1].
Tiene simetría par f( - x) = f(x)
f( - x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)
Es periódica de periodo 2
cos(x + 2cos(x) luego para estudiar el comportamiento de la función
basta hacerlo en el intervalo [0, 2en donde se comporta así:
o Es positiva en (0,
(
)y negativa en
o Es estrictamente creciente en ⌊ ⌋
o Es estrictamente decreciente en ⌊ ⌋
Se anula en los puntos x =
+ kcon k
cos(x) = 0 cuando x =
+ kcon k
Presenta máximos en x = y mínimos en x =
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( )
La función asocia a cada nº real “x” la tangente del ángulo cuya medida en radianes es “x”.
Como la función tangente viene dada por el cociente ( ) ( )
( ) el
dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = R.
Tiene simetría impar f( - x) = - f(x)f( - x) = tan(-x) = - tan(x) = - f(x)
Es periódica de periodo
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) luego para estudiar el
comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, pero
vamos a describirla también en [0, 2donde se comporta así:
o Es positiva en (0,
(
)y negativa en
(
)
o Es estrictamente creciente en su dominio. o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinito
en los puntos de la forma
( )
( )
Se anula en los puntos x = kcon k
La función tangente no presenta ni máximos ni mínimos.
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( )
La función asocia a cada nº real “x” la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es “x”.
Como la función cotangente viene dada por el cociente ( ) ( )
( ) el
dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = R.
Tiene simetría impar f( - x) = - f(x)f( - x) = cotan(-x) = - cotan(x) = - f(x)
Es periódica de periodo
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) luego para estudiar el
comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, pero
vamos a describirla también en [0, 2donde se comporta así:
o Es positiva en (0,
(
)y negativa en
(
)
o Es estrictamente decreciente en su dominio. o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinito
en los puntos de la forma
( )
( )
Se anula en los puntos x =
con k
La función cotangente no presenta ni máximos ni mínimos.
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( )
La función asocia a cada nº real “x” la cosecante del ángulo cuya medida en radianes es “x”.
Como la función cosecante viene dada por el cociente ( )
( ) el
dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = ( ] )
Tiene simetría impar f( - x) = - f(x)f( - x) = cosec(-x) = - cosec(x) = - f(x)
Es periódica de periodo 2
( )
( )
( ) ( ) luego para estudiar el
comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, 2: o La función cosecante tiene el mismo signo que la función seno. o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinito
en los puntos de la forma
( )
( )
La función cosecante no se anula en ningún punto.
La función cosecante presenta un máximo en
mínimo en
.
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( )
La función asocia a cada nº real “x” la secante del ángulo cuya medida en radianes es “x”.
Como la función secante viene dada por el cociente ( )
( ) el dominio
de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.
Son funciones continuas en su dominio de definición.
El conjunto imagen Im(f) = ( ] )
Tiene simetría par f( - x) = f(x)f( - x) = sec(-x) = sec(x) = f(x)
Es periódica de periodo 2
( )
( )
( ) ( ) luego para estudiar el
comportamiento de la función bastaría hacerlo en el intervalo [0, 2: o La función secante tiene el mismo signo que la función coseno. o Es continua en su dominio y presenta discontinuidades de salto infinito
en los puntos de la forma
( )
( )
La función secante no se anula en ningún punto. La función secante presenta un máximo en mínimo en y
en
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8. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES
FUNCIÓN ARCOSENO ( )
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FUNCIÓN ARCOCOSENO ( )
20
FUNCIÓN ARCOTANGENTE ( )
( )
( )
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9. FUNCIÓN PARTE ENTERA ( ) ( )
Es la función f (x) E(x) mayor de todos los enteros menores o iguales a x.
Su dominio es D(f) = R.
Así, unos ejemplos de valores:
o E(2’3) = 2 E(0’45) = 0 o E(7) = 7 E(-8) = -8 o E(-1’3) = -2 E(-5,2) = -6
Su representación gráfica es parecida a una escalera: Su conjunto imagen Im(E(x)) = Z
10. FUNCIÓN PARTE DECIMAL ( ) ( )
Se define como Dec(x) = x - E(x).
Su dominio es todo R
Algunos ejemplos de valores:
o Dec(2’1) = x - E(x) = 2’1 - E(2’1) = 2’1 – 2 = 0’1 o Dec (8’4) = x - E(x) = 8’4 - E(8’4) = 8’4 – 8 = 0,4 o Dec (5) = x - E(x) = 5 – 5 = 0 o Dec (-2) = x - E(x) = -2 – (-2) = 0 o Dec (-7,8) = x - E(x) = -7,8 - E(-7,8) = -7,8 – (-8) = 0,2 o Dec (-12,3) = x - E(x) = -12,3 - E(-12,3) = -12,3 – (-13) = 0,7
Su dominio es D(f) = R
El conjunto imagen Im(f) = [0, 1)