relació entre els quadrats de z/p^rz i z/p^(r+1)z

8/8/2019 Relaci entre els quadrats de Z/p^rZ i Z/p^(r+1)Z

1/3

Teoria de Nombres Grup 8: Andreu Correa, Eric Latorre Tardor 2010

Quadrats a (Z /N Z )

Problema 33.

Siguin p un primer senar i r 1 un enter.(i) Demostreu que el conjunt dels elements de ( Z /p r Z ) que son quadrats es un

subgrup dndex 2.

(ii) Demostreu que si a Z no es divisible per p, i si b (Z /p r Z ) es tal queb2 a (mod pr ), llavors existeix un unic element c (Z /p r +1 Z ) tal que c b(mod pr ) i c2 a (mod pr +1 ).

(iii) Deduu que si a Z es un nombre no divisible per p, llavors lequacio X 2 = a obe no te solucions en ( Z /p r Z ) , per a cap valor de r 1, o be en te exactamentdues per a tot valor de r 1.

Soluci o.

(i)

Lema. Sigui a un quadrat en ( Z /p r Z ) aleshores te com a mnim 2 arrels ( xi x).

Prova. Suposem que en tingues nomes una, es a dir, que x = x. Aixo esequivalent a dir que 2 x 0 (mod pr ), cosa que implicaria que, o be p = 2 o

be x = 0, consa que no pot ser per pertanyer x al grup multiplicatiu i ser psenar. Per tant arribem a contradicci o i el lema queda provat.

Observaci o 1. Donat que si a es un quadrat te com a mnim dues arrels, ique pel Teorema fonamental de l Algebra en te com a molt dues, sabem queen te exactament dues.

Ara considerem laplicacio seguent:

f : (Z /p r Z ) (Z /p r Z )

x x2

A partir dels lemes anteriors podem veure a partir daqu que el cardinal de laimatge es el cardinal del domini dividit entre 2 i que la imatge es precisamentel subconjunt de ( Z /p r Z ) format pels seus quadrats.A mes a mes, aquest subconjunt hereda la estructura de grup de ( Z /p r Z ) ila operacio es interna, ja que x2(y2) 1 = x2(y 1)2 = ( xy 1)2 i com xy 1 (Z /p r Z ) es clar que (xy 1)2 pertany al subconjunt dels quadrats.Per denici o dndex, sabent que el cardinal del subgrup es el cardinal delgrup entre dos, i aplicant el teorema de Lagrange obtenim que el subgrup delsquadrats te index 2.

1


2/3


(ii) En primer lloc es recomanable reescriure alguns punts del problema, no pertenir un punt de vista diferent sino per evitar confusions que puguin induir-nosa cometre errors.

Els elements x de Z els denotarem amb la forma usual, y els elements de(Z /p r Z )

els denotarem amb xr , de forma que x Z i sera un representantde la classe xr (Z /p r Z )

. Notem que coneixer xr determina quins seranxr 1, x r 2, . . . , x 1 pero no quins seran els xs per s > r ni quin nombre ser ax Z (obviament coneixer x ens diu quin element es xr per tot r N ).El que voldrem veure es que donat a tal que existeix br complint b2r = a raleshores es existeix un unic cr +1 tal que cr = br i c2r +1 = a r +1 .Sabem que si escollim r +1 arrel primitiva del grup al que pertany, aleshores r sera tambe arrel multiplicativa del seu respectiu grup.

Com r es arrel primitiva, aleshores podem escriure br com una potencia de r . Aix doncs tenim br = s i que a r = b2r = 2sr per algun s N menorque ( p

r )2 (la cota ve donada per lordre del grup, que es ( p

r ) i perque no

considerem el cas trivial a = 1 on br = ( p r )

2r i cr +1 =

( p r +1 )2

r +1 ).Anem a veure com hauria de ser cr +1 , clarament hauria de ser de la formacr +1 =

s + k ( pr )r +1 per algun k N doncs es la unica forma de que quan el fem

baixarquedi cr = s + k ( pr )r = sr = br .

Queda veure que existeix alg un k N tal que a r +1 = c2r +1 = 2(s+ k ( pr ))

i que a mes a mes es unic modul p, el que ens dona de forma directa launicitat de cr +1 (fem anar k de 0 a p 1 ja que per k = p tindriem quek( pr ) = p( pr ) = ( pr +1 ), que es lordre del grup).

Per altra banda tenim que a te classe a r +1 de la forma a r +1 = 2s + k ( pr )r +1 per

un cert k N complint tambe que 0 k > p . Aixo ultim es clar ja que a hade tenir una classe a r +1 (Z /p r +1 Z )

tal que quan baixi sigui a r (Z /p r Z )

.Podem veure clarament que a r +1 es un quadrat al seu grup multiplicatiu, ja que( pr ) es parell, i sumat amb 2 s segueix essent parell. Ara podem reescriure:

a r +1 = 2s + k ( pr )r +1 =

2(s+ k ( pr )

2 )r +1

A mes a mes volem que cr +1 sigui una arrel quadrada de a r +1 , per tant hemdescriure

cr +1 = s + k ( p

r )2

r +1

En aquest punt ja gairebe estem, doncs falta molt poc per determinar unvocamentk.En cas que k sigui parell k nomes pot ser k2 .En cas que k fos senar nhi haura prou amb agafar k com el representantpositiu mes petit de la classe k1 2

11 . (Multipliquem per linvers de 2 modul

p per dividir entre 2)

2


3/3


Per acabar hem de xar-nos en un petit detall: hem escollit una arrel quadradade a r +1 , pero hem de veure que laltra arrel (recordem que nhi ha nomes duesper estar treballant en un cos), que es lelement oposat a la primera, no baixa

a br sino a un altre element.Convenim en dir cr +1 a la primera arrel, aleshores la segona es

cr +1 = s+ k ( pr )r +1

( p r +1 )2

r +1

Si ara fem baixar aquest element, tindrem:

sr ( p r +1 )

2r = sr

( p r )2 p

r = sr ( p r )

2r

p

= sr ( 1r ) p = br = br

Per tant cr +1 existeix i es unic.

(iii) Que existeixi solucio per a lequacio X 2 = a en (Z /p r Z ) es equivalent a dir quea es un quadrat en aquell grup multiplicatiu. Si a es un quadrat en ( Z /p r Z ) ,aplicant lapartat (ii) tenim que hi ha un unic quadrat c congruent amb amodul pr +1 , es a dir, que lequaci o tindr a tambe nomes dues solucions (pelsapartats anteriors) en ( Z /p r +1 Z ), i per induccio, per tot r 1.

A mes a mes, sabem que si es arrel primitiva de ( Z /p Z ) tambe ho ser`a de(Z /p r Z ) per tot r 1, i que si a es un quadrat dins ( Z /p r Z ), aleshores podemescriure a = 2k = ( k )2 per algun natural k, de manera que a tambe ha de

ser un quadrat a ( Z /p Z ) .

3

relació entre els quadrats de z/p^rz i z/p^(r+1)z

Documents