rekursiooniteooria põhiteoreemid · ioc.pdf järgmine punkt 1 funktsioonide ühekohalised...

ioc.pdf

Rekursiooniteooria põhiteoreemid

Teema 3.3

Jaan Penjam, email: [email protected] Rekursiooniteooria põhiteoreemid 1 / 24

ioc.pdf

Loengu kava

1 Funktsioonide ühekohalised esindajad ja Gödeli numbrid

2 Kleene’ teoreemid

3 Rice’i teoreem


ioc.pdf

Järgmine punkt



3 Rice’i teoreem


ioc.pdf

n-kohaliste funktsioonide ühekohalised esindajad

Teoreem

Kui superpositsioonioperaatori suhtes kinnine funktsioonide klass sisaldab korteežide kodeerimiseja dekodeerimise funktsioone cm,cm1 , . . . ,cmm , siis leidub iga m-kohalise funktsiooni f jaokssamasse klassi kuuluv ühekohaline esindaja g .

Tõestus. Kui f ,cm,cm1 , . . . ,cmm ∈ F , siis kuulub funktsioonide klassi F kag(n) = f (cm1 (n), . . . ,cmm (n)) iga n = cm(x1, . . . ,x) korral. m.o.t.t.


ioc.pdf

Funktsiooni plus(x ,y) ühekohaline esindaja

g(n) =

⌊√1+8n−1

2

⌋


ioc.pdf

Operaatorid ühekohaliste funktsioonidegenereerimiseks

• summa: h = f +g ∀n [h(n) = f (n)+g(n)]

• kompositsioon: h = f ◦g ∀n [h(n) = f (g(n))]

• pööramine: h = f −1 ∀n [h(n) = µz [f (z)−n]

• iteratsioon: h = ιf ∀n [h(n) = f n(0)], kus n > 0

Teoreem (Raphael & Julia Robinson)

Kõik ühekohalised lihtrekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunktsioonidests(n) = n+1 ja q(n) = n−b

√nc2 („ruutjääk”), kasutades liitmise, kompositsiooni- ja

iteratsioonioperaatorit.

Teoreem (Raphael & Julia Robinson)

Kõik ühekohalised osalised rekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunktsioonidests(n) = n+1 ja q(n) = n−b

√nc2, kasutades liitmise, kompositsiooni- ja pööramisoperaatorit.


ioc.pdf

Gödeli numbrid

Definitsioon

Funktsiooni h teatud formaalses keeles esitatud kirjeldusele vastavsuusse seatud unikaalsetnaturaalarvu Gh nimetatakse selle funktsiooni Gödeli numbriks.


ioc.pdf

Gödeli numbridDefinitsioon (Gödeli number erijuhul)

Funktsioonile h vastavusse seatud naturaalarv Gh, mis arvutatakse järgmise valemi kohaselt:

Gh =

2,kui h = s;3,kui h = q;5Gf ·7Gg ,kui h = f +g ;11Gf ·13Gg ,kui h = f ◦g ;17Gf ,kui h = f −1;19Gf ,kui h = ιf .

on selle funktsiooni Gödeli number.

Näiteid•G(x +1) = Gs = 2

•G(2x +1−

⌊√x⌋2)

= G(s +q) = 52 ·73 = 8575

•G(2x +1−

⌊√x⌋2)

= G(q+ s) = 53 ·72 = 6125

•G (2x −1) = G (ι(2x +1)) = G (ι(ι(x +2) +1)) = G (ι(ι(s ◦ s)◦ s)) =

= 19G(ι(s◦s)◦s)) = 19132·11G(ι(s◦s))= 19169·1119G(s◦s)

=

= 19169·61159090448414546291112 ·132= 19169·6115909044841454629120449


ioc.pdf

Gödeli numbrid (2)

Järeldus

Turingi mõttes arvutatavad on vaid need ühekohalised funktsioonid, mille jaoks leidub Gödelinumber.

Tähistus:ϕa – funktsioon, mille Gödeli number on a, seega

f = ϕGf

ϕ(n)a – n-kohaline funktsioon, mille ühekohalise esindaja Gödeli number on a, seega

f = ϕ(n)a = ϕG(g) ◦cn,

kus g on funktsiooni f ühekohaline esindaja, cn on Cantori number ja a = G(g).

Näited

ϕ2 = s ϕ6125 = q+ s ϕ8575 = s +q


ioc.pdf

Universaalne funktsioonTähistagu F (k) funktsioonide klassi F kõigi k-kohaliste funktsioonide alamklass.

Definitsioon

k +1-kohaline funktsioon U on alamklassi F (k) universaalne funktsioon, kui1 iga fikseeritud väärtuse a korral kuulub muutujatest x1, . . . ,xk sõltuv funktsioon

U(a,x1, . . . ,xk ) klassi F (k);2 iga funktsiooni f ∈ F (k) jaoks leidub selline arv b, nii et iga x1, . . . ,xk korral

f (x1, . . . ,xk ) = U(b,x1, . . . ,xk ).

Osaliste (ühekohaliste) funktsioonide klassi universaalne funktsioon:

U(a,x) =

s(x), kui a = 2;q(x), kui a = 3;U(b,x) +U(c,x), kui a = 5b ·7c ;U(b,U(c,x)), kui a = 11b ·13c ;µz [U(b,z)−x] , kui a = 17b;ιU(b,x), kui a = 19b;määramata ülejäänud juhtudel


ioc.pdf

Universaalse funktsiooni rakendamise näideOlgu antud Gödeli number

Gf =2972769025299604962110703970644102769430026193174942367659766495612994610243698517042117354404911210111147369415756655053631212246340365560799691343718091675275776025641187700994877993484266374700455796870148403231637556028602530790318513355564770249220574209752768212979854161749017306525191845477413459631046546890285205918033548756249462877206113116984611178037670741125716244368813366766874182347011052524862037181864751197611332201855259292842183278944142791885532489289255041236814402713999076992265228565112502687174551339874486467209332119240209887819878289077350158519421271848388389421379787950229720326822536336878388826648745804431107791000932084280480562833342790953943210843412307590267806419492024740991991470632212149208008411654647774354675039068511537274827024101790396911008059578809041330462359976083589829259830614365364519667121702808954813740912701980568619429320424424065517182069948512213044943955010869160068031602246084480332368897333850548940071826504990146123408547758973168929296277384713501770440173897384938780086544380805602665438229459392628825568816671072783086013435996472765381997203950376599171881041382982124172709590094597117701569607097929304585659570215618423463540041073947546005159579941191927014494950714974166663537704576856147763821640091405250766183737855415128845048335893833585513233364437986913433794644175752065623071959159849689028371229380838851062088481064106957405134592322649948683394126700905050676784798379991295377239438596920750179845612890657425807761705814302433483229079583898277212310648342875929744499


ioc.pdf

Universaalse funktsiooni rakendamise näide (2)

Lahutades arvu teguriteks saame:

Gf = 191225 = 1952·72

Seega on tegemist funktsiooniga

f (n) = U(Gf ,n) = ι(s + s)(n) = ι(n+1+n+1) = ι(2n+2)

ehk

f (n) =

{0, kui n = 0;2f (n−1) +2, kui n > 0

Selle rekurrentse võrrandi lahendiks on funktsioon f (n) = 2n+1−2.


ioc.pdf

Järgmine punkt



3 Rice’i teoreem


ioc.pdf

Stephen Cole Kleene

(1909– 1994)

Foto: Wikipedia, autor Konrad Jacobs, Erlangen,Copyright: MFO - Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.


ioc.pdf

S-m-n teoreem

Teoreem

Leidub selline m+1-kohaline arvutatav funktsioon Smn , et iga väärtuste komplekti a,y1,y2, . . . ,ym

korral kehtib võrdus

ϕ (n)Smn (a,y1,...,ym)(z1, . . . ,zn) = λz1, . . . ,zn.ϕ

(m+n)a (y1, . . . ,ym,z1, . . . ,zn)

Tõestus.Teoreemi esitus funktsioonide ühekohaliste esindajate kaudu:

ϕSmn (a,y)(z) = λz .ϕa(c(y ,z)),

kus y = cm(y1, . . . ,ym) ja z = cn(z1, . . . ,zn).

1. Leiduvad järgmised arvutatavad funktsioonid:ϕp(z) = c(0,z)ϕq(n) = c(l(n) +1, r(n)) ehk ϕq(c(y ,z)) = c(y +1,z)k(i , j), kus ϕk(i ,j)(x) = ϕi ◦ϕj (x) ehk k(i , j) = 11i ·13j

Jätkub ...


ioc.pdf

S-m-n teoreem (2)

Tõestus jätkub ...

2. Olgu arutatav funktsioon R(x) defineeritud rekursioonioperaatori abiljärgmiselt: {

R(0) = pR(x +1) = k(q,R(x))

3. Kehtib võrdus ϕR(x)(y) = c(x ,y). Tõepoolest:

ϕR(0)(y) = ϕp(y) = c(0,y)ϕR(x+1)(y) = ϕk(q,R(x))(y) = (ϕq ◦ϕR(x))(y) = ϕq(ϕR(x)(y)) =

= ϕq(c(x ,y)) = c(x +1,y)

4. Valime Smn (a,y) = k(a,R(y)). See funktsioon rahuldab teoreemi tingimusi:

ϕSmn (a,y)(z) = ϕk(a,R(y))(z) = (ϕa ◦ϕR(y))(z) = ϕa(ϕR(y)(z)) = ϕa(c(y ,z))

m.o.t.t.


ioc.pdf

Näide S-m-n teoreemi rakendamisest

Funktsioon exp(x ,y) = xy on arvutatav

exp = R[S2[s,O1],S3[times,I31,I33]], kus

times = R[O1,S3[plus,I33,I31]]

plus = R[I11,S2[s,I33]]

S-m-n teoreemi põhjal on siis arvuatavad ka

I astmefunktsioonas(x) = λx .exp(x ,a) = xa

I eksponentfunktsioon

ex(y) = λy .exp(c ,y) = cy

Seejuures on teisendused exp as ja exp ex on algoritmiliselt teostatavad.


ioc.pdf

S-m-n teoreemi analoog M.Sipseri õpikus

Teoreem 6.3 (rekursiooniteoreem)

Olgu T Turingi masin, mis arvutab funktsiooni t : Σ∗×Σ∗ −→Σ∗. Siis leidub Turingi masin R,mis arvutab funktsiooni r : Σ∗ −→Σ∗, nii et iga w korral

r(w) = t(〈R〉 ,w).


ioc.pdf

Veel üks näide S-m-n teoreemi rakendamisest

Funktsiooni f (n,x) = xn arvutamise programm

f ( n , x ) = i f n ==0 then 1e l s e i f even ( n ) then squa r e ( f ( n /2 , x ) )e l s e x ∗ f ( n−1 , x )

Selle spetsialiseeritud variandid:

n = 5 korral: f5(x) = x ∗ square(square(x))

n = 12 korral: f12(x) = square(square(x ∗ square(x)))


ioc.pdf

Veel üks näide S-m-n teoreemi rakendamisest

Funktsiooni f (n,x) = xn arvutamise programm

f ( n , x ) = i f n ==0 then 1e l s e i f even ( n ) then squa r e ( f ( n /2 , x ) )e l s e x ∗ f ( n−1 , x )

Selle spetsialiseeritud variandid:

n = 5 korral: f5(x) = x ∗ square(square(x))

n = 12 korral: f12(x) = square(square(x ∗ square(x)))

Üldjuhul:

Programmiprog : Istatic × Idynamic →O

spetsialiseerimise tulemus kontekstis 〈prog , Istatic 〉 on programm

prog∗ : Idynamic →O


ioc.pdf

Kleene’ rekursiooniteoreem (Teoreem arvutatavate funktsioonide

püsipunktist)

Teoreem

Iga arvutatava funktsiooni h jaoks leidub selline naturaalarv n, et kehtib võrdus

ϕn(x) = ϕh(n)(x).

Tõestus.Universaalne funktsioon on arvutatav, seega leidub number U nii et

ϕU(i ,x) = ϕi (x).

Defineerime funktsiooni g , nii et

ϕg(i)(x) = ϕU(ϕU(i , i),x).

Funktsioon g on s-m-n teoreemi põhjal arvutav.Olgu v selline number, et ϕv (x) = h ◦g(x):

ϕg(v)(x) = ϕU(ϕU(v ,v),x) = ϕU(ϕv (v),x) =

= ϕU(h ◦g(v),x) = ϕh◦g(v)(x) =

= ϕh(g(v))(x)

Seega, valides n = g(v), saamegi ϕn(x) = ϕh(n)(x). m.o.t.t.


ioc.pdf

Järgmine punkt



3 Rice’i teoreem


ioc.pdf

Rice’i teoreem

Definitsioon

Hulka H nimetatakse lahenduvaks, kui leidub Turingi masin, mis realiseerib selle hulgakarateristliku funktsiooni

h(x) =

{0, kui x /∈H,1, kui x ∈H.

Definitsioon

Arvutatavate funktsioonide mittetühja hulka H, mis ei võrdu osaliste rekursiivsete funktsioonidehulgaga, nimetatakse mittetriviaalseks.

Teoreem (Henry Gordon Rice)

Iga arvutatavate funktsioonide Gödeli numbrite mittetriviaalne hulk on mittelahenduv.


ioc.pdf

Rice’i teoreem (2)

Teoreem

Iga arvutatavate funktsioonide Gödeli numbrite mittetriviaalne hulk on mittelahenduv.

Tõestus.Oletame vastuväiteliselt, et mittetriviaalne arvutatavate funktsioonide hulga H Gödeli numbritehulk HG = {n|n = Gf , f ∈H} on lahenduv. Siis leidub arvutatav karakteristlik funktsioon

h(x) =

{0, kui x /∈HG ,1, kui x ∈HG .

Konstrueerime funktsiooni:

k(x) = sg(h(x))µz [h(z)] + sg(h(x))µz [h(z)−1] .

Funktsioon k on arvutatav, seega, tähistades sümboliga HG = ORFG −HG (paneme tähele, etmittetriviaalse hulga H korral HG 6= ∅ ja HG 6= ∅) saame:

Jätkub ...


ioc.pdf

Rice’i teoreem (3)

Tõestus jätkub ...

k(x) =

{c ∈HG , kui x ∈HG ehk ϕx ∈H;c ∈HG , kui x /∈HG ehk ϕx /∈H.

Kleene’ püsipunkti printsiibi kohaselt leidub selline naturaalarv u, et

ϕu = ϕk(u).

Seega, kui ϕu ∈H, siis k(u) = c ∈HG , s.t. ϕk(u) /∈H ( vastuolu eelmise seosega).Analoogiliselt viib vastuoluni juhtum, kui ϕu /∈H, siis k(u) = c ∈HG , s.t. ϕk(u) ∈H.

m.o.t.t.


ioc.pdf

Järeldusi Rice’i teoreemist

Järeldus

Ei leidu algoritmi, mis etteantud Gödeli numbri n põhjal otsustaks, kas funktsioon ϕn on kõikjalmääratud või mitte.


ioc.pdf


Järeldus


Näide

vaatleme funktsiooni

g(x) =

{x +1, kui ∃z(ϕx (z) = 1);0, vastasel juhul .

Mõned väärtused

g(2) = 3, sest ϕ2 = s ja s(0) = 1;

g(1225) = 0, sest ϕ1225 = 2x +2 = h(x) ja 6 ∃z(h(z) = 1).

Funktsiooon g(x) pole arvutatav, sest kui oleks, siis leiduks algoritm, mis otsustaks kasfunktsioon

v(x) = µz [h(z) = 1 ja z = x]

on kõikjal määratud või mitte.


ioc.pdf


Järeldus


Järeldus

Ei leidu algoritmi, mis etteantud Gödeli numbrite m ja n põhjal otsustaks, kas ϕm = ϕn või mitte


ioc.pdf


Järeldus


Järeldus

Ei leidu algoritmi, mis etteantud Gödeli numbrite m ja n põhjal otsustaks, kas ϕm = ϕn või mitte

Järeldus

Ei leidu algoritmi, mis etteantud suvalise arvutatava funktsiooni f põhjal teeks kindlaks, kasvõrrand f (x) = 0 on lahenduv või mitte.


rekursiooniteooria põhiteoreemid · ioc.pdf järgmine punkt 1 funktsioonide ühekohalised...

Documents