regulatoare automate - curs 5 - ing electrica
DESCRIPTION
Regulatoare Automate - Curs 5TRANSCRIPT
Regulatoare Automate
Sisteme liniare de ordinul IIRăspunsul în frecvenţă al sistemelor liniare
Scop:
Prezentarea sistemelor liniare de ordinul II
Prezentarea răspunsului sistemelor liniare la intrări armonice (sinusoidale);
Învăţarea procedurii de trasare a caracteristicilor logaritmice amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru un sistem cu timp continuu;
Analiza sistemelor liniare utilizând caracteristicile în frecvenţă.
Regulatoare Automate
2.8.3 Sistemul
de ordinul
II cu timp
continuu
( ) 22
2
2 ω+⋅ξω+ω
=ss
sH ω pulsaţia
naturală
a sistemului
ξ factorul
de amortizare
1≥ξ )(sH are 2 poli
reali în
zona
de stabilitate
10 <ξ< )(sH are 2 poli
complex conjugaţi, în
zona
de stabilitate
22,1 1 ξ−ω±ξω−= js
,0=ξ )(sH
−C
are 2 poli
complex conjugaţi ω±= js 2,1pe
axa
imaginară
sistemul
fiind
oscilant
0<ξ are poli
în +C deci
în
zona
de instabilitate
−C
)(sH
Răspunsul
sistemului
la o intrare
treaptă
unitară
este: ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ α+ξ−ω
ξ−−=
ξω−2
21sin
11 tety
t
ξξ−
=α21
arctg
22211)(
sssH
τ+ξτ+=
ω=τ /1
Un sistem
de ordinul
II cu
timp
continuu
şi amplificare
unitară
( ( ) 10 =H ) are funcţia
de transfer
de forma:
Regulatoare Automate
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
εσ
t1 ti
Răspunsul
unui
sistem
de ordinul
II la o intrare
treaptă
unitară
Suprareglajul21 ξ−
ξ⋅π−
=σ e
Timpul
tranzitoriu tte ttt
ξω−
≥⇒≤ξϖ−⇒≤ξω− )02.0ln()02.0ln(02.0ξω
≥⇒4
it
Parametrii
principali:
Regulatoare Automate
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
pH(s)=w 2/(s2+2*csi*w *s+w 2)
timp [sec]
ampl
tudi
ne
1 ,5
0,707 0,6
0,4
0,2
0,1
0
Figura 7.3 Răspunsul
sistemului
de ordinul
II pentru
diverşi
factori
de amortizare
Regulatoare Automate
2.8.4 Sistemul
de ordinul
II cu timp
discret
( )dd
d
azazbzb
zH01
201
++
+= dddd aabb 0101 1 ++=+
Tsez 2,12,1 = T
dT
d eaTea ω⋅ξ−ω⋅ξ− =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ξ−ω⋅−= 2
02
1 ,1cos2
unde:
Notă:Caz
particular
frecvent
întâlnit
în
practică
al
unui
sistem
de ordinul
II având
funcţia
de transfer:
)()(
assbsH+
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
==
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
== −
−−
Ta
eab
abT
bTe
ae
ab
abT
b aTdaT
aTd 1
0,2,1
0,2
2
0
2
1
aTd
aTd eaea −− =−−= 01 ,1
Regulatoare Automate
2.9 Răspunsul în frecvenţă al sistemelor liniare la intrări armonice
2.9.1 Caracteristicile
amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie
La intrarea unui sistem cu timp continuu având funcţia de transfer )(sH
se aplică un semnal armonic de forma: ( ) 0, ≥= ω tetu tj la ieşire se obţine:
( ) ( ) ( ) ( )ω−
=⋅=js
sHsusHsy 1 ( ) )(1)(~
sHjs
jHsy +ω−
ω=
fracţie
raţională
strict proprie)(~
sH
)(sH )]([)( 1 syty −= LÎn
cazul
în
care sistemul
descris
prin este
extern strict stabil, răspunsul
lui va
fi:
( ) ( )tyejHty tj~
)( +ω= ω( ) )]([
~1
~sHty −= L componenta tranzitorie
tjejH ωω)( compomenta
de regim
permanent a răspunsului.
( ) ( ) )(ωϕ⋅
ω
⋅ω=ω j
)A(
ejHjH321
)(ωϕ
amplitudine-plusaţie)(ωAfază-plusaţie
Caracteristicile
Bode
definesc
răspunsul
în
frecventă
al unui
sistem
liniar
Regulatoare Automate
0.1 1 10 100 1000
-1 0 1 2 3
Utilizarea
scării
logaritmice
la reprezentarea
caracteristicilor
de frecvenţa
)lg(ω
ω
Caracteristicile
de frecvenţă
ale elementelor
standard
( ) ( )
( ) ( )∏ ∏
∏∏
= =
==
τ+ξτ+τ+⋅
τ+ξτ+τ+⋅
==1 2
21
1 1
22
1
22
1
211
211
)()()( n
k
n
lllk
q
m
jjj
m
ii
ssss
sssk
spsrsH
k factorul de amplificare de regim staţionar
qs 0>q 0<qnumărul de integratoare (dacă ) sau derivatoare (dacă )
kis ,1 τ+ polinoamele de ordinul 1 în
s ale numaratorului
si
numitorului
2,
2.21 ljlj ss τ+ξτ+ polinoame de ordinul 2 în
s
Scriere sub forma unui
produs de elemente standard : ( ) ( ) 21211
1, nnmmqrsHsHr
ii +++++==∏
=Trasarea
analitică
a caracteristicilor
de frecvenţă
se bazează
pe
proprietatea
logaritmului
Notă:
În Matlab, trasarea caracteristicilor de frecvenţă logaritmice se face utilizând funcţia bode.BABA lglg)lg( +=⋅
Regulatoare Automate
1. Elementul
constant
kjHksH =ω= )(,)( -
Amplitudinea: ||lg20)(|,|)( kAkA dB =ω=ω
- Faza: ( )⎩⎨⎧
<π−>
=ωϕ000
kk
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
-1
-0.5
0
0.5
1
Phas
e (d
eg)
20*lg(k),k=2
utilizând
Matlab>>num = [2];>>den = [1];>>bode(num,den);
Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
constant
Regulatoare Automate
2.Elementul integrator
211)(,1)(π
−⋅
ω=
ω=ω=
je
jjH
ssH -
Amplitudinea:
- Faza:
( ) ω−=ω
=ωω
=ω lg201lg20,1)(dB
AA
2)( π
−=ωϕ
100
101
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-15
-10
-5
0
5
Mag
nitu
de (d
B)
-20 dB/dec
H (ω)
ϕ(ω)
Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
integrator
Notă: O panta de -20dB / decadă este echivalentă cu -6dB / octavă
Regulatoare Automate
-
Amplitudinea:
- Faza:
3. Elementul
derivativ
2)(,)(π
⋅ω=ω=ω=j
ejjHssH
-5
0
5
10
15
20
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
+20 dB/dec
( ) ω=ωω=ω lg20;)( dBAA
2)( π=ωϕ
Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
derivativ
Caracteristicile
de frecvenţă
aleelementului
derivativ
sunt
înoglindă
cu cele
ale elementuluiintegrator faţă
de abscisă.
Regulatoare Automate
4. Elementul
de întârziere
de ordinul
I
τ+=
ssH
11)(
constanta
de timpτ
-
Amplitudinea: ( )221
1
τω+=ωA
( ) 2222
1lg201
1lg20 τω+−=τω+
=ω dBA
-Faza: ( )ωτ−=ωϕ arctg)(
-20
-10
0
10
20
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωt
-20 dB/dec
tω =
Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
de întârziere
de ordinul
I
arată
o uşoară
atenuare
de 3dBpână
la pulsaţia
de tăiere, astfel
încâtla atingerea
ei
amplitudinea
ieşirii
este
redusă
la:
Caracteristica reală )(ωA
707.021)( ≈=ωA
( ) [ ]⎩⎨⎧
ω>ωτω−ω∈ω
=ωt
tdBA
,lg20,0,0
pulsaţia de tăiere sau de frângereτ=ω1
t
0>τ 0>τ
dB33.0102lg102lg20 −=⋅−=−=−
Regulatoare Automate
5. Elementul
de avans de ordinul
I
τ+= ssH 1)(constanta
de timpτ 0>τ
( ) ( )ωτ⋅−τω+=ωτ+=ω arctgjejjH 2211
( ) 221lg20 τω+=ω dBA
( )ωτ=ωϕ arctg)(
-
Amplitudinea:
- Faza:
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
+20 dB/dec
ω t
ω t
Figura
8.6 Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
de avans
de ordinul
I
Regulatoare Automate
6. Elementul
de
întârziere de ordinul
II
2222
2
211
2)(
τ+ξτ+=
ω+ωξ+ω
=ssss
sH
-
Amplitudinea:
( ) ( ) 222222 41lg20 ωτξ+ωτ−−=ω dBA
- Faza:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
τ=ω>ω
−ωτξτω
+π−
τ=ω≤ω
ωτ−ξτω
−=ωϕ
τ
τ
11
2
112
22
22
arctg
arctg
0>τ constanta
de timp
0≥ξ factorul de amortizare
τ<<ω1 ( ) 01lg20 =−≈ω dBA
τ>>ω1 24 )()( ωτ>>ωτ ( ) τω−=ωτ−≈ω lg40lg20 44
dBA
( ) [ ]⎩⎨⎧
ω>ωτω−ω∈ω
=ωt
tdBA
,lg20,0,0
Caracteristica )(ωA este formată din două drepte -
una constantă 0)( =ω dBA tω≤ω-
una având panta de -40 dB / decadă (sau -12dB / octavă) pentru
pentru
tω>ω
Regulatoare Automate
-80
-60
-40
-20
0
20H(s)=1/(1+2*csi*tau*s+tau2*s2)
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Frequency (rad/sec)
Phas
e (d
eg)
ξ=0.10.5
10.707
-40 dB/dec
−π/2
−π
ϕ(ω)
(ω)H
ω
ω
Figura
8.7 Caracteristicile
de frecvenţă
pentru
elementul
de întârziere
de ordinul
II
Regulatoare Automate
ea fiind
cu atât
mai
importantă
cu cât este
mai
mare
707.00 <ξ<
707.0=ξ
707.01 >ξ>
Caracteristica reală )(ωA
arată
o uşoară
atenuare
de 3dB până
la pulsaţia
de tăieredupă
care scade
cu 40 dB / decadă
arată
o uşoară
amplificare
în
apropierea
pulsaţiei
de tăieredupă
care scade
cu 40 dB / decadă.
0=ξ tinde către ∞ în dreptul
pulsaţiei
de tăiere unde
există
un puinct
de discontinuitate
arată
o atenuare
mai
mare de 3dB până
la pulsaţia
de tăiere
ξ
ξ
Caracteristica
de faza )(ωϕ porneşte din 0 ( ) 0lim0
=ωϕ→ω
şi tinde către ( ) π−=ωϕ∞→ω
lim
La pulsaţia de tăiere defazajul este2
)( π−=ωϕ t
Regulatoare Automate
7. Elementul
de avans
de ordinul
II
( ) 2221 sssH τ+ξτ+=
0>τ constanta
de timp
factorul de amortizare0≥ξ
-
Amplitudinea
( ) ( ) 222222 41lg20 ωτξ+ωτ−=ω dBA
- Faza:
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
τ=ω>ω
−ωτ
ξτω−π
τ=ω≤ω
ωτ−
ξτω
=ωϕτ
τ
11
2
112
22
22
arctg
arctg
Notă: Caracteristicile
de frecvenţă
ale elementului
de avans
de ordin
II sunt
în
oglindă
cu cele
ale elementului
de întârziere
de ordin
II faţă
de abscisă.
Regulatoare Automate
Trasarea
caracteristicilor
de frecvenţă
logaritmice
Exemplu Să se traseze manual şi cu ajutorul Matlab, caracteristicile Bode, pentru funcţia de transfer:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 45321
2622
10110110110110110
sssssssH −−−
−−
+++++
=
a) Trasarea manuală
Tabela 8.1 Pulsaţiile
de tăiere
corespunzătoare
zerourilor
şi
polilor
funcţiei
de transfer
Zerourile(rădăcinile numărătorului)
Pulsaţii de tăiere
Polii(rădăcinile numitorului)
Pulsaţii de tăiere
zerou
de ordin 2 - , pol de ordin 2
zerou
de ordin 1 , pol de ordin 1
zerou
de ordin 2 , pol de ordin 4
0=s
210−=s
610−=s
210=ωt
610=ωt
10−=s
310−=s
510−=s
10=ωt
310=ωt
510=ωt
La prima pulsaţie de tăiere 21 10−=ωt
( ) ( )( )( ) ( )( )
34422
2512
1010
10110111011011010)( ≅
+++
++=
−−
−−
= jjjjjjjH
ωω
( ) dBjHdB
6010lg20)10( 3 ==
Regulatoare Automate
2O← 2P O P 4P 2O
510=ωt;101=ωt310=ωt
210− 110− 1 110 210 310 410 510 610 710 810 sec/rad
0=ωt ;102=ωt610=ωt
80
40
0
40−
80−
dBe
amplitudin
Figura 8.10 Caracteristica
logaritmică
amplitudine-pulsaţie
Regulatoare Automate
210 − 110 − 1 110 210 310 410 510 610 710 810:sec/rad
grad
ein
Faza
o180 o
180 o
180 o90
o45
o45
o 0
o180
−
o270
−
o180
−
o180
−
o180
o90
o0
o90−
o180−
o270−
Figura 8.12 Caracteristica
logaritmică
fază-pulsaţie
Regulatoare Automate
b) utilizând Matlab
>>s = tf('s')>>y = 10*s^2*(1+s/10^2)*((1+s/10^6)^2)/((1+s/10)^2*(1+s/10^3)*(1+s/10^5)^4);>>w = logspace(-2,8,100);
% genereaza
un vector de 100 de
puncte, %pe o scara logaritmica, de la 10-2 pana la 108
>>bode(y,w)>>grid
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-2
100
102
104
106
108
-270
-180
-90
0
90
180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura
8.13 Caracteristicile
Bode obţinute
cu Matlab
Regulatoare Automate
2.9.2 Analiza
sistemelor
liniare
pe
baza
caracteristicilor
de frecvenţă
În cazul sistemelor de reglare automate, caracteristicile de frecvenţă logaritmice pot fi utilizate pentru:* Proiectarea regulatoarelor* Analiza sistemelor de reglare
RH PH*y ε yu
Regulator Proces
−+
Figura
8.14 Schema unui sistem de reglare în buclă închisă
Funcţia
de transfer în buclă inchisă)(1)()(sH
sHsHbd
bdbi +
=
-
Margine de amplitudine AM >2 (6dB);Valorile limită ale indicatorilor
de robustete, necesare asigurării unui grad de robusteţe acceptabil:
-
Marginea de fază ϕM oo 6030: ÷-
Marginea de întârziere: > T= perioada de eşantionare;
-
Marginea de modul: >0.5 (-6dB).
Notă: Indicatorii de robusteţe margine de amplitudine şi de fază se pot obţine în Matlab
cu funcţia margin.
Regulatoare Automate
ϕM AM1.Exemplu
Să se determine marginea de fază , marginea de amplitudine şi pulsaţiile corespunzătoare lor pentru funcţia de transfer:
( )sss
sH++
=23
107
101
2>>num
= [0 0 0 2];>>den
= [1/10 7/10 1 0];>>w
=logspace(-1,2,100); % genereaza
un vector de 100 de%puncte, pe o scară logaritmica, %de
la 10-1 pana la 102>>[mag,phase] = bode(num,den,w); %calculeaza
raspunsul
in frecventa>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(mag,phase,w) %caluleaza
MA şi Mϕ
şi %pulsaţiile
lor>>mag
= 20*log10(mag);>>subplot(211), semilogx(w,mag)>>subplot(212), semilogx(w,phase)
10-1 100 101 102-100
-50
0
50
ampl
itudi
ne (d
ecib
eli)
10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
frecventa (rad/sec)
faza
(gra
de)
ϕM
AM
Gm
= 3.5017Pm
= 35.7871Wcg
= 3.1623Wcp
= 1.5224Marg. amplitudine: Gm
= 3.5017 (10,881 dB), la 3,1623 rad/sMarg. fază: Pm
=35,787 deg, la 1,5224 rad/sec)
Caracteristicile
Bode cu evidenţierea
marginii
de fază şi
de amplitudine