regresiones polinómicas de segundo grado

8/16/2019 Regresiones polinómicas de segundo grado.

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REGRESIONES POLINOMIALES DE SEGUNDO GRADO

Regresión polinómica se ajusta a una relación no lineal entre el valor de x y lamedia condicional correspondiente de y, denotado e. Juega un papel importante

en el análisis de regresión, con un mayor énfasis en temas de diseño e

inferencia. El patrón a seguir es el siguiente:

Consiste en otra alternativa, para ajustar polinomios a los datos.

Necesitamos ajustar a un polinomio de segundo grado o cuadrático:

e xa xaa y 2210

La suma de los cuadrados de los residuos es:

2

1

2

210 )(

n

i

iii xa xaa ySr

Derivamos Sr con respecto a a0:

)(2 2

2110 ii xa xaa y

luego con respecto a a1:

)(2 2

2110 iii xa xaa y x

Por ultimo con respecto a a2

)(2 2

210

2

iiii xa xaa y x

Igualamos a 0, y reordenamos:

iii ya xa xan 22

10 )()()(

iiiii y xa xa xa x 2

3

1

2

0 )()()(


2/5

iiiii y xa xa xa x 2

2

4

1

3

0

2)()()(

n hasta i=1

Tenemos un sistemas de ecuaciones, con 3 incógnitas (a0,a1,a2),

entonces se puede extender un polinomio de m-enésimo grado comosigue:

e xa xa xaa y mm ......2

210 El problema de determinar polinomios de grado m con mínimos cuadrados

es equivalente a resolver un sistema de m+1 ecuaciones lineales

simultáneas. El error estándar se calcula de la siguiente manera:

)1(/

mn

s s r x y

Donde m es el grado del polinomio que queremos ajustar.

Además del error estándar, se puede calcular también el coeficiente dedeterminación:

2

= −

EJEMPLOS:

1. A partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,

ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresiónpolinomial.

Para el caso que nos ocupa,m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)n = 6 (la cantidad de datos)

Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguientemanera:

a0 n + a1∑xi +a2∑xi2 = ∑yia0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 +a2 ∑ xi3 =∑xi yia0 ∑ xi2 + a1 ∑xi3+a2∑ xi4 = ∑xi2 yi

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 Xi Yi Xi2 Yi

0 2,1 0 0 0 0 0

1 7,7 1 1 1 7,7 7,7

2 13,6 4 8 16 27,2 54,4

3 27,2 9 27 81 81,6 244,8

Xi Yi

0 2,1

1 7,7

2 13,6

3 27,2

4 40,9

5 61,1


3/5

4 40,9 16 64 256 163,6 654,4

5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5

∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑Xi Yi ∑Xi2 Yi

15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8

a0 6 + a1 15 + a2 55 = 152,6 a0 15 + a1 55 + a2 225 = 585,6 a0 55 + a1 225+ a2 979 = 2488,8

Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana, se

obtiene:

a0 = 2.47857

a1 = 2.35929

a2 = 1.86071

El polinomio es: 1.86071 x2 + 2.35929 x + 2.47857

2. Se realiza una prueba de frenado de un automóvil nuevo, midiendola distancia de parada de acuerdo a la rapidez del vehículo almomento de aplicar los frenos, obteniéndose los siguientesresultados:

RAPIDEZ

Km/h

DISTANCIA

Metros 35 16

50 26

65 41

80 62

95 88

110 119

En base a los datos anteriores:a) Construya un diagrama de dispersión

b) Efectúe la estimación del modelo cuadráticoc) Determine el grado de ajuste e interprételod) Elabore el análisis de varianza y discútalo

a) Diagrama de Dispersión


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b) Estimadores del modelo

i) Tabla de Datos:

x y x2 x3 x4 xy x2y y2

35 16 1,225 42,875 1,500,625 560 19,600 25650 26 2,500 125,000 6,250,000 1,300 65,000 676

65 41 4,225 274,625 17,850,625 2,665 173,225 1,681

80 62 6,400 512,000 40,960,000 4,960 396,800 3,844

95 88 9,025 857,375 81,450,625 8,360 794,200 7,744

110 119 12,100 1,331,000 146,410,000 13,090 1,439,900 14,161

Σ=435 Σ=352 Σ=35,475 Σ=3,142,875 Σ=294,421,875 Σ=30,935 Σ=2,888,725 Σ=28,362

ii) Estimadores del modelo

Ecuación Final:Yi=13.3587-.3394xi+0.01182xi2

c) Grado de ajuste del modeloEl coeficiente de determinación se calcula así:

Se puede concluir que el grado de ajuste del modelo es alto (casi perfecto!), porlo que el modelo es confiable para hacer predicciones.

d) Análisis de varianza del modelo

http://1.bp.blogspot.com/-ww5qn3VFBTI/ThOvM-PLGXI/AAAAAAAAALA/5irOgnAPzfo/s1600/r22.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-I4Y8m9KCkuc/ThOtCOGTjlI/AAAAAAAAAK8/b9IRWOiUfM0/s1600/r21.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-nUGshRX6-xE/ThOsw0E1KsI/AAAAAAAAAK4/7IXtoeR1JCY/s1600/r20.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-emXWdq0Im2s/ThOsb_lEhtI/AAAAAAAAAK0/-P1Po07xIBQ/s1600/r19.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-FqRHNC5I_FI/ThOsCit92GI/AAAAAAAAAKw/1XYaV37JBjw/s1600/r18.jpg


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i) Suma de cuadrados de regresión:

ii) Suma de cuadrados Total

=7711.3333

iii) Suma de cuadrados del error: 7711.3333-7711.2119=0.12143iv) Grados de libertad de regresión=2v) Grados de libertad totales= 6-1=5vi) Grados de libertad del error=6-3=3

vii) Cuadrado medio de regresión= 7711.2119/2=3855.5069viii) Cuadrado medio del error= 0.1243/3=0.04048ix) F Calculada=3855.5069/0.04048=95256.147x) F Tabulada (2, 3,0.01)=30.82xi) Tabla de Andeva:

Fuente deVariación

Gradosdelibertad

Suma decuadrados

Cuadradomedio

Fcalculada

Ftabulada

Regresión 2 7711.2119 3855.60595 95256.14 30.82**

Error 3 0.12143 0.04048

Total 5 7711.33333

Debido a que F calculada es mayor que F tabulada, se rechaza la Ho y se aceptala Ha, con lo cual se concluye que el modelo sí explica el fenómeno en estudio yque los resultados obtenidos no se deben a la casualidad.
http://4.bp.blogspot.com/-5mZw5kSzV98/ThOwEWfSUTI/AAAAAAAAALI/F4qCKfKNHlE/s1600/r24.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-TE0NjJmbsks/ThOvwUUql4I/AAAAAAAAALE/nFIjS94EvYo/s1600/r23.jpg

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