Regresión mínimo cuadrada (I)

Estadística Descriptiva y Analisis de Datos con la Hoja de Cálculo Excel

Funciones lineales simples

• Forma de la función: Yt=0+1Xt+et

• Variable dependiente, endógena o a explicar: Yt

• Variable independiente, exógena o explicativa: Xt

• Error aleatorio: et

• Parámetros ó coeficientes: 0 (termino independiente) y 1.

Mínimos Cuadrados Ordinarios

n

i

n

iiii

n

iii XbaYYYeMin

1 1

22

1

2 )ˆˆ()ˆ(

XbYa

XX

YYXXb n

ii

n

iii

1

2

1

)(

))((

Ejemplo 5.1

Año Yt Xt

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

10

12

13

14

15

17

20

21

22

20

19

18

16

15

15

14

14

13

12

13

Calculo MCO

Y t X t )( YY i )( XX i )( YY i · )( XX i 2)( XX i 2)( YY i

1 0 1 9 -6 ,4 4 ,1 -2 6 ,2 4 1 6 ,8 1 4 0 ,9 6

1 2 1 8 -4 ,4 3 ,1 -1 3 ,6 4 9 ,6 1 1 9 ,3 6

1 3 1 6 -3 ,4 1 ,1 -3 ,7 4 1 ,2 1 1 1 ,5 6

1 4 1 5 -2 ,4 0 ,1 -0 ,2 4 0 ,0 1 5 ,7 6

1 5 1 5 -1 ,4 0 ,1 -0 ,1 4 0 ,0 1 1 ,9 6

1 7 1 4 0 ,6 -0 ,9 -0 ,5 4 0 ,8 1 0 ,3 6

2 0 1 4 3 ,6 -0 ,9 -3 ,2 4 0 ,8 1 1 2 ,9 6

2 1 1 3 4 ,6 -1 ,9 -8 ,7 4 3 ,6 1 2 1 ,1 6

2 2 1 2 5 ,6 -2 ,9 -1 6 ,2 4 8 ,4 1 3 1 ,3 6

2 0 1 3 3 ,6 -1 ,9 -6 ,8 4 3 ,6 1 1 2 ,9 6

T o ta l 1 6 4 1 4 9 0 0 -7 9 ,6 4 4 ,9 1 5 8 ,4

M e d ia 1 6 ,4 1 4 ,9 0 0

Solución MCO

82.42)9.14·7728.1(4.16

7728.19.44

6.79

)(

))((

1

2

1

XbYa

XX

YYXXb n

ii

n

iii

Regresión Lineal: MCO

y = -1,7728x + 42,815

R2 = 0,8909

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20

X

Y

Errores MCO

• La esperanza matemática de et es cero, tal que E(et) = 0

• La covarianza entre ei y ej es nula : E(ei·ej) = 0

• La matriz de varianzas y covarianzas del término de error debe ser escalar tal que Var(ei) = 2I, i=1,…,n, donde I es la matriz unidad

Errores aleatorios:representación

gráfica

100 numeros aleatorios media 0 desviación estandar 0,1

-0,3-0,2-0,1

00,10,20,3

Errores aleatorios: Histograma

1000 datos aletorios de media 0 y varianza 0,1

0102030405060708090

100

Errores aleatorios: distribución de frecuencias

Clase Frecuencia % acumulado-0,3487221 1 ,10%

-0,32754014 0 ,10%-0,30635819 3 ,40%-0,28517623 0 ,40%-0,26399427 1 ,50%-0,24281232 4 ,90%-0,22163036 4 1,30%-0,20044841 7 2,00%-0,17926645 13 3,30%-0,1580845 23 5,60%

-0,13690254 29 8,50%-0,11572059 53 13,80%-0,09453863 56 19,40%-0,07335667 61 25,50%-0,05217472 69 32,40%-0,03099276 73 39,70%-0,00981081 72 46,90%0,01137115 80 54,90%0,0325531 95 64,40%

0,05373506 57 70,10%0,07491701 68 76,90%0,09609897 48 81,70%0,11728093 56 87,30%0,13846288 41 91,40%0,15964484 28 94,20%0,18082679 23 96,50%0,20200875 12 97,70%0,2231907 10 98,70%

0,24437266 4 99,10%0,26555462 4 99,50%0,28673657 1 99,60%

y mayor... 4 100,00%

Errores ejemplo 5.1

iYˆiii YYe ˆ

9 . 1 3 1 4 0 3 1 2 0 . 8 6 8 5 9 6 8 8

1 0 . 9 0 4 2 3 1 6 1 . 0 9 5 7 6 8 3 7

1 4 . 4 4 9 8 8 8 6 - 1 . 4 4 9 8 8 8 6 4

1 6 . 2 2 2 7 1 7 1 - 2 . 2 2 2 7 1 7 1 5

1 6 . 2 2 2 7 1 7 1 - 1 . 2 2 2 7 1 7 1 5

1 7 . 9 9 5 5 4 5 7 - 0 . 9 9 5 5 4 5 6 6

1 7 . 9 9 5 5 4 5 7 2 . 0 0 4 4 5 4 3 4

1 9 . 7 6 8 3 7 4 2 1 . 2 3 1 6 2 5 8 4

2 1 . 5 4 1 2 0 2 7 0 . 4 5 8 7 9 7 3 3

1 9 . 7 6 8 3 7 4 2 0 . 2 3 1 6 2 5 8 4

Sumas de cuadrados

• SCT: es la Suma de Cuadrados Totales y representa una medida de la variación de la variable dependiente.

• SCE: es la Suma de Cuadrados Explicados por el modelo de regresión.

• SCR: es la Suma de Cuadrados de los Errores

2

1

22' YnYYnYYSCTn

i

2'' YnYXSCE

SCESCTYXYYeSCRn

ii

'''1

2

Bondad de Ajuste: R2

SCT

SCRR 12

22 11

11

1 Rkn

n

nSCT

knSCRR

Bondad de ajuste. Ejemplo 5.1

8909,04,158

28,17112

SCT

SCRR

Y2 Y*Y e2

1988 100 91,3140312 0,754460541989 144 130,85078 1,200708331990 169 187,848552 2,102177071991 196 227,11804 4,940471531992 225 243,340757 1,495037231993 289 305,924276 0,991111161994 400 359,910913 4,017837211995 441 415,135857 1,51690221996 484 473,906459 0,210494991997 400 395,367483 0,05365053

Total 2848 2830,71715 17,2828508SC 158,4 141,117149 17,2828508

Intervalos de confianza (I)

Intervalos de confianza (II)

• Si X está normalmente distribuido sabemos que 1- está especificado. Por ejemplo, si 1- = 0,95 entonces el valor de k es igual a 1,96, de manera que, tras hacer una operación algebraica expresamos la anterior igualdad como:

• y decimos que la probabilidad de que el parámetro desconocido esté entre los puntos

95,0]96,196,1[

n

Xn

XP

_

,X n 1 96

y

Xn

1 96,

es igual a 0,95.

Intervalos de confianza i (I)

)ˆ(: kni tSICii

12ˆˆ ' XXSS e

1

21)'(

XX

XnXX

kn

eS

n

ii

e 1

2

2

Intervalos de confianza i (II)

22

22ˆ1 XXn

nSS

ie

22

222

ˆXXn

XSS

ioe

Intervalos de confianza. Ejemplo 5.1(I)

1

1

2265149

14910)'(

XX

22,0449

1016,22

ˆ1

S

30,3449

226516,22

ˆ0

S

Intervalos de confianza. Ejemplo 5.1(II)

Coeficientes Error típico Estadístico t Inferior 95% Superior 95%Inferior 95,0%

Superior 95,0%

o 42,815 3,301 12,970 35,203 50,428 35,203 50,428

1 -1,773 0,219 -8,082 -2,279 -1,267 -2,279 -1,267

Predicción

• Predicción individual: se trata de hallar el valor estimado para la variable Y un periodo hacia delante: Yt+1=0+1Xt+1

• Intervalos de predicción para un valor medio o esperado. La expresión a utilizar en este caso será:

1

1'111

1'11 'Y; 'ˆ:

1 ttkntttkntYE XXXXStXXXXStYICt

Predicción ejemplo 5.1

• Para X’t+1=(1,21); Yt+1=+42,8*(1)-1,77*(21)=5,59

• Intervalo:– Se=1,46

– Xt+1' (X'X)Xt+1=0,93

– t0,025;8=2,3

– Intervalo (8,84-2,33)