regresión lineal y correlación
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Regresión lineal y correlación
Análisis de correlación
El análisis de correlación es un grupo de técnicas estadísticas usadas para medir la fuerza de la asociación entre dos variables.
Un diagrama de dispersión es una gráfica que representa la relación entre dos variables.
La variable dependiente es la variable que se predice o calcula.
La variable independiente proporciona las bases para el cálculo. Es la variable de predicción.
El coeficiente de correlación, r
El coeficiente de correlación (r) es una medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables.
Requiere datos de nivel de razón. Puede tomar cualquier valor de -1.00 a 1.00. Los valores de -1.00 o 1.00 indican la correlación
perfecta y fuerte. Los valores cerca de 0.0 indican la correlación débil. Los valores negativos indican una relación inversa y los
valores positivos indican una relación directa.
Correlación negativa perfecta
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
Correlación positiva perfecta
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
Correlación cero
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
X
Correlación positiva fuerte
Y
X
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fórmula para r
Calculamos el coeficiente de correlación de las fórmulas siguientes.
2222 )()(
))(()(
)1())((
YYnXXn
YXXYn
ssnYYXX
ryx
Coeficiente de determinación
El coeficiente de determinación (r2) es la proporción de la variación total en la variable dependiente (y) que se explica por la variación en la variable independiente (x).
Es el cuadrado del coeficiente de correlación. Su rango es de 0 a 1. No da ninguna información sobre la dirección de la
relación entre las variables.
Ejemplo 1
Juan Escobedo, presidente de la sociedad de alumnos de la Universidad de Toledo, se ocupa de estudiar el costo de los libros de texto. Él cree que hay una relación entre el número de páginas en el texto y el precio de venta del libro. Para proporcionar una prueba, selecciona una muestra de ocho libros de texto actualmente en venta en la librería. Dibuje un diagrama de dispersión. Compruebe el coeficiente de correlación.
Libro Páginas Precio ($) Intr. a la Historia 500 84 Álgebra 700 75 Intr.a la Psicología 800 99 Intr. a la Sociología 600 72 Mercadotecnia 400 69 Intr. a la Biología 500 81 Fund. de Jazz 600 63 Intr.a la Enfermería 800 93
Ejemplo 1 (Continuación)
400 500 600 700 800
60
70
80
90
100
Page
Scatter Diagram of Number of Pages and Selling Price of Text
Price ($)
Ejemplo 1 (Continuación)
Libro Páginas Precio ($)
X Y XY X2 Y2
Intr. a la Historia 500 84 42,000 250,000 7,056
Álgebra 700 75 52,500 490,000 5,625
Intr. a la Psicología 800 99 79,200 640,000 9,801
Intr. a la Sociología 600 72 43,200 360,000 5,184
Mercadotecnia 400 69 27,600 160,000 4,761
Intr. a la Biología 500 81 40,500 250,000 6,561
Fund. de Jazz 600 63 37,800 360,000 3,969
Intr. a la Enfermería 800 93 74,400 640,000 8,649 Total 4,900 636 397,200 3,150,000 51,606
Ejemplo 1 (Continuación)
614.0
)636()606,51(8)900,4(000,150,3(8
)636)(900,4()200,397(8
)()(
))(()(
22
2222
YYnXXn
YXXYnr
Ejemplo 1 (Continuación)
La correlación entre el número de páginas y el precio de venta del libro es 0.614. Esto indica una asociación moderada entre las variables. Pruebe la hipótesis de que no hay correlación en la población. Utilice un nivel de la significancia del .02.
Paso 1: H0: La correlación en la población es cero.
H1: La correlación en la población no es cero.
Paso 2: H0 es rechazada si t>3.143 o si t<-3.143.
Hay 6 grados de libertad, encontrados cerca.
n – 2 = 8 – 2 = 6.
Ejemplo 1 (Continuación)
Paso 3: Para encontrar el valor del estadístico de prueba, utilizamos:
Paso 4: H0 no se rechaza. No podemos rechazar la hipótesis de que no hay correlación en la población. La cantidad de asociación puede ser debido al azar.
905.1)614(.1
28614.
1
222
r
nrt
Ejemplo 1 (Continuación)
Análisis de regresión
En análisis de regresión utilizamos la variable independiente (X) para estimar la variable dependiente (Y).
La relación entre las variables es lineal. Ambas variables deben ser por lo menos escala del
intervalo. El criterio de mínimos cuadrados se utiliza para
determinar la ecuación. Este es el término (Y – Y')2
Análisis de regresión
La ecuación de regresión es: Y' = a + bX, donde: Y' es el valor pronosticado de la variable Y para un valor
seleccionado de X. a es la ordenada de la intersección con el eje Y cuando
X = 0. Es el valor estimado de Y cuando X=0 b es la pendiente de la recta, o el cambio promedio en Y'
para cada cambio de una unidad en X. el principio de mínimos cuadrados se utiliza para
obtener a y b.
Análisis de regresión
El principio de mínimos cuadrados se utiliza para obtener a y b. Las ecuaciones para determinar a y b son:
bn XY X Y
n X X
aY
nbX
n
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
Desarrolle una ecuación de regresión para la información dada en el Ejemplo 1 que se puede utilizar para estimar el precio de venta basado en el número de páginas.
05143.)900,4()000,150,3(8
)636)(900,4()200,397(82
b
0.488
900,405143.0
8
636a
Ejemplo 2 (Continuación)
La ecuación de regresión es:
Y' = 48.0 + .05143X La ecuación cruza al eje Y en $48. Un libro sin las
páginas costaría $48. La pendiente de la línea es .05143. El costo de cada
página adicional es de cinco céntimos. El signo del valor de b y el signo del valor de r serán
siempre iguales.
Ejemplo 2 (Continuación)
Podemos utilizar la ecuación de regresión para
estimar valores de Y. El precio de venta estimado de un libro de 800 páginas
es $89.14, encontrado por
14.89)800(05143.00.48
05143.00.48
XY
Ejemplo 2 (Continuación)
El error estándar de estimación
El error estándar de estimación mide la dispersión de los valores observados alrededor de la línea de regresión.
Las fórmulas que se utilizan para comprobar el error estándar son:
2
2
)(
2
2
.
n
XYbYaY
n
YYs xy
Encuentre el error estándar de estimación para el
problema que implica el número de páginas en un libro
y el precio de venta.
408.1028
)200,397(05143.0)636(48606,51
2
2
.
n
XYbYaYs xy
Ejemplo 3
Suposiciones subyacentes en el análisis de regresión lineal Para cada valor de X, hay un grupo de valores de Y, y
estos valores de Y se distribuyen normalmente. Las medias de estas distribuciones normales de valores
Y, caen todas en la recta de regresión. Las desviaciones estándar de estas distribuciones
normales son iguales. Los valores de Y son estadísticamente
independendientes. Esto significa que en la selección de una muestra, los valores de Y elegidos para un valor particular de X no dependen de los valores de Y de ningún otro valor de X.
Intervalo de confianza
El intervalo de confianza para el valor medio de Y para un valor dado de X está dado por:
31.1514.898
)4900(000,150,3
)5.612800(
8
1)408.10(447.214.89
)(
)(1
2
2
22
2
.
n
XX
XX
ntsY xy
Intervalo de predicción
El intervalo de predicción para un valor individual de Y para un valor dado de X se da por:
72.2914.898
)4900(000,150,3
)5.612800(
8
11)408.10(447.214.89
)(
)(11
2
2
22
2
.
n
XX
XX
ntsY xy
Resumir los resultados: El precio de venta estimado para un libro con 800
páginas es $89.14. El error estándar de estimación es $10.41. El intervalo de confianza de 95% para todos los libros con
800 páginas es $89.14+-$15.31. Esto significa que los límites están entre $73.83 y $104.45.
El intervalo de predicción de 95% para un libro particular con 800 páginas es $89.14+-$29.72. Esto significa que los límites están entre $59.42 y $118.86.
Estos resultados aparecen en la siguiente salida de MINITAB.
Ejemplo 3 (Continuación)
Regression Analysis: Price versus Pages
The regression equation isPrice = 48.0 + 0.0514 Pages
Predictor Coef SE Coef T PConstant 48.00 16.94 2.83 0.030Pages 0.05143 0.02700 1.90 0.105
S = 10.41 R-Sq = 37.7% R-Sq(adj) = 27.3%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 393.4 393.4 3.63 0.105Residual Error 6 650.6 108.4Total 7 1044.0
Predicted Values for New Observations
New Obs Fit SE Fit 95.0% CI 95.0% PI1 89.14 6.26 ( 73.82, 104.46) ( 59.41, 118.88)
Ejemplo 3 (Continuación)