regresiÓn lineal simple regresiÓn lineal...

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

N A Z IR A C A LLE JA

Regresión lineal

¿Qué es la regresión?

El análisis de regresión:

Se utiliza para examinar el efecto de diferentes variables (VIs / predictoras) sobre una variable de resultados (VD).


El análisis de regresión:

Intenta describir la naturaleza de la asociación mediante la creación de un modelo matemático de "mejor ajuste" .


El uso del término “predicción” es central.

Se analiza si una variable predice (explica / impacta) a otra variable.


Al utilizar la regresión lineal asumimos que:

Las variables están medidas a nivel cuantitativo,

y las variables se asocian de manera lineal.


Ejemplo:

Asociación entre:

Consumo de tabaco Pérdida de fijación dentaly


Línea de ajuste de la asociación entreel consumo de tabaco (número de cigarros fumados por día) y la pérdida de fijación dental (en mm).N = 28 fumadores.

self-reported cigarettes smoked/day

me

an

atta

chm

en

t le

vel (

mm

)

10 20 30

12

34

56

smoking amount and attachment level (28 smokers)

Número de cigarros fumados por día (autorreporte)

Pér

did

a m

edia

de

fija

ció

n d

enta

l (

mm

)

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

Para variables que posiblemente están asociadas (X y Y) asumimos el modelo:

Y = α + β·X + ε

Coeficientes desconocidos

Variables que observamos Parte de Y que X no explica.

Es el error aleatorio que define los valores de la vida real.

α = β0

β = β1

Modelo de regresión lineal

x

ε

β1

(x, y)

La ecuación Y = α + β • X define la asociación promedio entre X e Y.

• α es un valor constante e indica el punto en el que la línea cruza el eje de las ordenadas (donde X = 0).

• β es el valor de la pendiente.

β

α = β0

Intercepto

ε = error

(diferencia entre lo observado y lo predicho

Valor predichopara Y por Xi

Valor observadopara Y por Xi

Pendiente

Regresión lineal vs. Correlación

• La correlación es una medida de la fuerza de la asociación.ρ2 (coeficiente de determinación) puede describirse como el porcentaje de variación en Y que es explicado por la variaciónen X.

• La regresión intenta describir la forma de la asociación.

El parámetro β (la pendiente) está relacionada con ρ:

X

Y

Encontrar la línea del mejor ajuste

Para encontrar la línea que ajuste mejor se evalúa qué tan cercanamente se ajusta cada una de las posibles líneas a los datos observados.

Para ello se calculan las distanciasverticales de todos los puntos (x,y) a la línea.

Estas distancias se llaman “residuales” y corresponden al error, ei .


x

La línea de mejor ajuste se define como aquélla en la que la suma de los cuadrados de los residuales es mínima.


Los coeficientes de la línea de mejor ajuste, a y b (las estimaciones de α y β, respectivamente), pueden calcularse con las fórmulas:

i

i

i ii

xx

yyxxb

2)(

))((

xbya

Ejemplo: Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día

self-reported cigarettes smoked/day

me

an

atta

chm

en

t le

vel (

mm

)

10 20 30

12

34

56

smoking amount and attachment level (28 smokers)Consumo de tabaco y pérdida de fijación dental (28 fumadores)


Pér

did

a m

edia

de

fija

ció

n d

enta

l (

mm

)


Este resultado de SPSS dice que:

a = 2.319, b = 0.067

La línea de mejor ajuste es: Y = 2.319 + 0.067 × X

Donde Y = nivel promedio de fijación y

X = cigarros fumados por día.

Coef ficientsa

2.319 .635 3.653 .001

.067 .032 .380 2.098 .046

(Constant)

c igarettes sm oked/day

Model

1

B Std. Er ror

Unstandardized

Coeffic ients

Beta

Standardized

Coeffic ients

t Sig.

Dependent Variable: mean attachment levela.

α

β

Y = 2.319 + 0.067 × X puede interpretarse como:


También :“Cada paquete fumado al día (20 cigarros) se asocia con una pérdida adicional de 0.067 × 20 = 1.34 mm de fijación dental."

“Cada cigarro fumado extra por día se asocia con una pérdida adicional de 0.067 mm de fijación dental."

Las predicciones basadas en regresión

La mejor estimación (estimación puntual o predicción) de Y a partir de X es:

y = a + bx

Ejemplo:

¿Qué nivel de fijación dental tendrá alguien que fuma 30 cigarros al día?

Utilización del modelo estimado para predecir

La mejor estimación del nivel de pérdida de fijación dental promedio de las personas que fuman 30

cigarrillos / día es:

Y = 2.319 + 0.067 × X

Y = 2.319 + (0.067 x 30) = 4.329 mm

Bondad de ajuste

Una medida clave de la fuerza de la asociación es la “Media Cuadrática de Error", las MCE o MSE, que es básicamente la media de los residuales elevados al cuadrado.

Si este valor es pequeño con respecto a la varianza de la muestra de y’s, entonces se considera que el modelo de regresión es una buena explicación de la asociación.

i iii i bxay

ne

nMSE

22 )(2

1

2

1

Bondad de ajuste

La MCE o MSE también se utiliza para estimar el error estándar (ES) de b.

Hay que tener en cuenta que:

1. El ES(b) ↓ en la medida en que MCE ↓

2. El ES(b) ↓ en la medida en que sx↑

Es decir, se obtienen mejores estimaciones de β cuando la línea constituye un buen ajuste, y cuando los puntajes de X son más dispersos.

2)1()(

xsn

MSEbSE

Bondad de ajuste

El ajuste del modelo se prueba con el estadístico F:

ANOVAb

7.896 1 7.896 4.401 .046a

46.645 26 1.794

54.541 27

Regression

Residual

Total

Model

1

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), self report cigs./daya.

Dependent Variable: mean attachment level (mm)b.

Descriptive Statistics

3.5397 1.42128 28

18.1786 8.05101 28

mean attachment level (mm)

self report cigs./day

Mean Std. Deviation N



Pérdida media de fijación dental (mm)


Inferencia para los coeficientes de regresión

Es posible probar H0: β = 0 vs H1: β ≠ 0 utilizando el estadístico t:

)(bSE

bt


1. Hipótesis de investigación:

El autorreporte de cigarros fumados por día está relacionado con la fijación dental.

2. Hipótesis estadísticas:

H0: β = 0

H1: β ≠ 0.

3. Prueba estadística:

Prueba t para la regresión lineal.


4. Regla de decisión:

Puede rechazarse Ho, con p < 0.05 , si |t26 |> 2.056.

5. Cálculos:

098.2032.0

067.0t

Coef ficientsa

2.319 .635 3.653 .001

.067 .032 .380 2.098 .046

(Constant)

c igarettes sm oked/day

Model

1

B Std. Er ror

Unstandardized

Coeffic ients

Beta

Standardized

Coeffic ients

t Sig.

Dependent Variable: mean attachment levela. p(|t26| > 2.098) = 0.046).


6. Resultados

Se rechaza Ho.

7. Conclusión:

Existe relación entre el número de cigarros fumados diariamente y la fijación dental.

Intervalo de confianza para β

Un intervalo de confianza de 1-α para β es:

)(2/1,2 bSEtb n

b: Constante (pendiente de la línea de regresión)t: valor de t en tablasn–2: grados de libertad% de confianza: 1-α: 1-error tipo 1 / 2 (dos colas)SE(b): Media cuadrática de b

2)1()(

xsn

MSEbSE

Intervalo de confianza para β

Ejemplo:

Pérdida de fijación dental y cigarros fumados por día

El intervalo de confianza de 95% para β es:

0.001 - 0.013

)(2/1,2 bSEtb n

032.0056.2067.0

b = 0.067n = 28gl = 26α = 05/2 colas = .025t = 2.056SE(b) = 0.032

0.067 ± 0.066

REGRESIÓN

LINEAL

MÚLTIPLE


La regresión múltiple es una extensión muy utilizada de la regresión lineal.

El modelo de regresión lineal se puede ampliar para incluir múltiples variables independientes.

Y = α + β1 • X1 + β2 • X2 + ... + βk Xk • + ε.

Examina el efecto de múltiples predictores X1, X2, …Xk

sobre una VD (Y).


Los coeficientes se estiman minimizando los

residuales cuadrados.

En esta situación más complicada no hay

fórmulas sencillas para las estimaciones.

Generalmente se utiliza una computadora para el

cálculo de los coeficientes.

En el ejemplo del efecto del número de cigarros fumados (Y) sobre la pérdida de fijación dental (X1), se puede agregar la edad como un segundo predictor (X2):

Regresión lineal múltiple

X1

X2

Y

.402

.440


El ajuste del modelo mejoracon una segunda variable predictiva buena.

ANOVAb

18.425 2 9.213 6.377 .006a

36.116 25 1.445

54.541 27

Regression

Residual

Total

Model

1

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), age (yrs), self report cigs ./daya.

Dependent Variable: mean attachment level (mm)b. Pérdida media de fijación dental (mm)

Edad, Número de cigarros fumados por día (autorreporte)

En el ejemplo del efecto del número de cigarros fumados (Y) sobre la pérdida de fijación dental (X1), se puede agregar la edad como un segundo predictor (X2):

Y = α + β1 • X1 + β2 • X2 + ε

Y = -1.065 + .071 • X1 + .074 • X2 + ε

Coef ficientsa

-1.065 1.377 -.774 .446 -3.901 1.770

.071 .029 .402 2.467 .021 .012 .130

.074 .028 .440 2.700 .012 .018 .131

(Constant)

self r epor t c igs./day

age (y rs)

Model

1

B Std. Er ror

Unstandardized

Coefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval for

B

Dependent Variable: mean attachment level (mm)a.


α

β1

β2

Número de cigarros fumados por día


Edad

Ejemplo 2. Regresión Múltiple

Satisfacción con un destino

turístico

Satisfacción con los restaurantes

Satisfacción con los precios

Nacionalidad del turista

1 = europeos

2 = norteamericanos

Modelo de Regresión Múltiple


turístico




r = 2.53

r = 0.13

r = 2.59

1er. paso: Obtener las correlaciones entre las VIs y la VD

Tablas en Regresión Múltiple

Hay tres tablas generales que deben interpretarse en los resultados del análisis de regresión.

1ª Resumen del modelo

2ª ANOVA

3ª Coeficientes

2o. paso: Correr el análisis

3er. paso: Interpretar los resultados

Regresión múltiple en SPSS

1ª tabla

La información que se toma de esta tabla es el R2, que es la proporción de variación en la VD que es explicada por las VIs. Se expresa como porcentaje.

También se llama coeficiente de determinación.

Modelo de Regresión Múltiple


turístico




R2 = 12.1%

El 12.1% de la variación en la

satisfacción turística total

(VD) puede ser explicada por

las tres VIs del modelo:

satisfacción con los

restaurantes, satisfacción con

los precios y nacionalidad del

turista.

r = 2.53

r = 0.13

r = 2.59


2ª tabla

La tabla prueba el modelo.

Muestra si la proporción de varianza explicada en la primera tabla es significativa.

También dice si el efecto total de las VIs sobre la VD es significativa.


2ª tabla

En el ejemplo, la significancia (p) es .000, que es

menor al nivel de .05; por tanto, se concluye que el

modelo total es estadísticamente significativo, o

que las variables tienen un efecto combinado

significativo sobre la VD (la satisfacción total).


3ª tabla

Lo primero que se ve es la significancia para

determinar cuáles son los predictores significativos

de (o significativamente relacionados con) la VD.


3ª tabla

Los coeficientes beta estandarizados

indican la fuerza y dirección de la relación

(se interpretan como coeficientes de r).


3ª tabla

En el ejemplo, puede observarse que la

nacionalidad (p = .000) y la satisfacción con los

restaurantes (p = .000) son predictores

significativos de la satisfacción turística total.


3ª tabla

La nacionalidad es una variable dicotómica, donde

1 = europeos, y 2 = norteamericanos. El

coeficiente se interpreta como que los turistas

americanos reportaron niveles más altos de

satisfacción total en comparación con los europeos.

Redacción de resultados de Regresión múltiple

“Se efectuó un análisis de regresión múltiple para examinar si la nacionalidad, la satisfacción con los restaurantes y la satisfacción con los precios impactan la satisfacción total con el destino. El modelo explicó 13.3% de la varianza , lo cual resultó significativo estadísticamente , F (3,216) = 11.09, p < .001. Los datos de los predictores individuales revelaron que la satisfacción con los restaurantes (b = .25, p < .001) y la nacionalidad (b = .26, p < .001) fueron predictores significativos de la satisfacción turística total con el destino.”

Redacción de resultados de Regresión múltiple

“Los niveles más altos de satisfacción con los restaurantes se asociaron con los niveles más altos de satisfacción total con el destino, y los turistas norteamericanos reportaron significativamente más satisfacción que los europeos”.

regresiÓn lineal simple regresiÓn lineal...

Documents