regolatori p. i. d

I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 1

De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1

REGOLATORIP. I. D.

Prof. ALESSANDRO DE CARLIDott. Ing. Vincenzo SuraciANNO ACCADEMICO 2011-20012

Corso di AUTOMAZIONE 1



STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:1. MODALITÀ DI CONTROLLO ON/OFF2. MODALITÀ DI CONTROLLO CONTINUO3. REGOLATORI P.I.D.



MODALITÀ DI CONTROLLODI TIPO ON/OFF



MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO A RELÈ CON ISTERESI

SISTEMA DACONTROLLARE y(t)

u(t)d(t)

y*(t)e(t)

DISPOSITIVODI MISURA

tempo

y*(t

) y(

t) u

(t) d

(t)

RELÈCON ISTERESI

e

u



tempo

u(t)y(t)y*(t)

tempo

u(t)

y(t)y*(t)

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVESUL CONTROLLO A CONTROREAZIONE CON RELÈ

L’inserimento di un relè come dispositivo che:• confronta il valore istantaneo del valore desiderato

della variabile controllata con quello effettivamente raggiunto;

• agisce come un attuatore imponendo un valore costante e definito alla variabile di forzamento

• rende molto semplice la realizzazione del sistema controllato a controreazione ma è la causa di una oscillazione permanente della variabile controllata.

• è in grado mantenere la variabile controllata ad un valore medio costante e di inseguire andamenti variabili del valore desiderato della variabile controllata.

Tale tipo di controllo a controreazione è accettabile quando l’ondulazione residua sulla variabile controllata rientra nel limiti di variazione imposti dalle specifiche e quando i vincoli sul comportamento dinamico del sistema controllato non sono significativi e stringenti.



MODALITÀ DI CONTROLLODI TIPO CONTINUO



MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO CONTINUOIl controllo a controreazione con relè comporta una inevitabile oscillazione permanente della variabile controllata. Per ridurne gli effetti occorre sovradimensionare il sistema da controllare oppure applicare una modalità di controllo di tipo continuo ed inserite un attuatore anche esso di tipo continuo.

DISPOSITIVODI MISURA

ANDAMENTODESIDERATODELLA VARIABILE CONTROLLATA CONTROLLORE

CON AZIONEDI CONTROLLO

DI TIPO CONTINUO

VARIABILECONTROLLATA

DISTURBOPREVEDIBILE

VARIABILEDI FORZAMENTO

ATTUATORE DI TIPO CONTINUO

SISTEMA DACONTROLLARE



ATTUATORECONTROLLOREm(t)

DISTURBO

d(t)


u(t) y(t)

ASSERVIMENTOy*(t)

INSEGUIMENTOy*(t)

RUMORE

r(t)

y*(t) e (t)

TRASDUTTORE

CONDIZIONI OPERATIVE STANDARD PER LA VERIFICA DELLE PRESTAZIONI E DELLE SPECIFICHE

ATTENZIONELa progettazione della modalità di controllo va effettuata facendo riferimento a questo tipo di condizioni operative

CONDIZIONI OPERATIVE



REGOLATORI P.I.D.INTRODUZIONE



REGOLATORE P.I.D.• Il regolatore P.I.D. è un controllore a struttura

predeterminata di tipo Proporzionale, Integrale e Derivativo.

• È caratterizzato da tre parametri liberi, KP, KI e KD

• Tali parametri devono essere fissati dal progettista della modalità di controllo per ottenere le prestazioni desiderate dall’elemento controllato.



REGOLATORI P.I.D.STRUTTURA DI TIPO PARALLELO



e(t)c(t)

SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALEPER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO

d e (t)d t

e(t) dt

𝐾 𝑃𝑝

𝐾 𝐼𝑝

𝐾𝐷𝑝



SCHEMA A BLOCCHI DI TIPO FUNZIONALEPER UN REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO• Lo schema di tipo parallelo era utilizzato in

prevalenza per la realizzazione di dispositivi di elaborazione con tecnologie meccaniche e pneumatiche, attualmente in disuso.

• Il problema principale che affligge la struttura di tipo parallelo è la suscettibilità al rumore di misura.

• Se si calcola la derivata come rapporto incrementale, ridurre il passo di campionamento dei sensori acuisce il problema!

• Può essere utile aumentare la precisione dei sensori, ma il costo aumenta sensibilmente.


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1STIMA DELL’AZIONE DERIVATIVA

EFFETTO DELLA DURATA DEL PASSO DI CAMPIONAMENTOE DELLA LUNGHEZZA DEL BYTE

DERIVATA ANALOGICA RAPPORTO INCREMENTALEQUANTIZZAZIONE A 8 BIT

STI

MA

DE

LLA

DE

RIV

ATA

SE

GN

ALE

AN

ALO

GIC

O

15

21 CAMPIONI81 CAMPIONI


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1STIMA DELL’AZIONE DERIVATIVA

EFFETTO DELLA DURATA DEL PASSO DI CAMPIONAMENTOE DELLA LUNGHEZZA DEL BYTE

DERIVATA ANALOGICA RAPPORTO INCREMENTALEQUANTIZZAZIONE A 32 BIT

STI

MA

DE

LLA

DE

RIV

ATA

SE

GN

ALE

AN

ALO

GIC

O

16

21 CAMPIONI81 CAMPIONI



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO• A causa dell’inevitabile presenza di rumore, il calcolo

della derivata deve essere effettuato in modo da attenuare il rumore sovrapposto al segnale utile e quindi NON come rapporto incrementale.

• È sufficiente ottenere una stima del valore della derivata piuttosto che il valore esatto.

• L’azione derivativa deve essere applicata solo nel campo delle frequenze relative all’andamento della variabile di errore. Ossia deve essere tarata sulla banda del segnale di errore.



RAPIDO EXCURSUSDEFINIZIONE DI BANDA

DI UN SEGNALE ANALOGICO



BANDA DI UN SEGNALE ANALOGICO

• Dato un segnale analogico Reale

• Generato da un sistema Causale

• Limitato ovvero a Potenza finita

𝑥 (𝑡 ) :ℝ→ℝ

𝑥 (𝑡 )=0 ∀𝑡<0

∃𝑀 ∈ℝ∨|𝑥 (𝑡 )|<𝑀∀𝑡 ≥0lim𝑇→+∞

1𝑇 0

𝑇

|𝑥 (𝑡 )|2𝑑𝑡=𝑃∈ℝ




• Ad energia finita

• Esso è quindi Fourier-Trasformabile

0

+∞

|𝑥 (𝑡 )|2𝑑𝑡=𝐸∈ℝ

𝑋 ( 𝑓 )=0

+∞

𝑥 (𝑡 )𝑒−𝑖2 𝜋 𝑓𝑡𝑑𝑡∈ℂ𝑋 ( 𝑓 )=𝑋 (− 𝑓 )ESSENDO x(t) REALEX(f) È PARI




• Per il teorema di Parseval

• Definiamo spettro di densità di energia la trasformata del segnale di autocorrelazione

0

+∞

|𝑥 (𝑡 )|2𝑑𝑡=20

+∞

|𝑋 ( 𝑓 )|2𝑑 𝑓 =𝐸∈ℝ

|𝑋 ( 𝑓 )|2= 𝑡=−∞

+∞

( 𝜏=−∞+∞

𝑥 (𝑡+𝜏 )𝑥 (𝑡 )𝑑𝜏 )𝑒− 𝑖2𝜋 𝑓 𝑡 𝑑𝑡




• Lo spettro di densità di energia, espresso in deciBel ed in funzione della pulsazione, è il diagramma di Bode (del Modulo)

• Per i segnali analogici, la banda è l'intervallo di frequenze (dalla minima alla massima) che «contiene» la maggior parte dell'energia del segnale.

𝑓 = 𝜔2𝜋→10 log10|𝑋 ( 𝑓 )|2=20 log10|�̂� (𝜔 )|



REGOLATORI P.I.D.STRUTTURA DI TIPO SERIE



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE

• Lo schema di tipo serie è utilizzato per realizzare dispositivi di elaborazione con tecnologie elettroniche.

• L’azione proporzionale e integrale precede quella proporzionale e derivativa per ottenere una parziale attenuazione del rumore di misura e alla quantizzazione.

AZIONEPROPORZIONALEE INTEGRALE

AZIONEPROPORZIONALEE DERIVATIVA

e(t) c(t)



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIEe(t)

𝐾 𝑃𝑠

𝐾 𝐼𝑠 𝜀 (𝑡 )𝑑𝑡

++

𝐾𝐷𝑠 𝑑 𝜀 (𝑡 )

𝑑𝑡

c(t)++



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE

𝜑 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=𝐾 𝑃𝑠 (1+𝐾 𝐼

𝑠 1𝑠 )=

𝐾 𝑃𝑠 𝑠+𝐾 𝐼

𝑠

𝑠

j(t)ZERO REALE IN:

POLONELL’ORIGINE

−𝐾 𝐼𝑠/𝐾 𝑃

𝑠



REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIEEFFETTO DELLA AZIONE INTEGRATORE

𝐾 𝐼𝑠 /𝐾 𝑃

𝑠 𝐾 𝐼𝑠 /𝐾 𝑃



𝑠

𝐾 𝐼𝑠 /𝐾 𝑃

𝑠Pulsazione di taglio



EQUIVALENZA REGOLATORE P.I.D. DI TIPO SERIE (s)

REGOLATORE P.I.D. DI TIPO PARALLELO (p)

𝜒 (𝑠 )𝜀 (𝑠 )

=𝐾 𝑃𝑠 (1+𝐾 𝐼

𝑠 1𝑠 )(1+𝐾𝐷

𝑠 𝑠 )=𝐾 𝑃𝑠 (1+𝐾𝐷

𝑠 𝑠+𝐾 𝐼𝑠 1𝑠 +𝐾 𝐼

𝑠𝐾𝐷𝑠 )=¿ (𝐾 𝑃

𝑠 +𝐾 𝑃𝑠 𝐾 𝐼

𝑠𝐾 𝐷𝑠 )+(𝐾 𝑃

𝑠 𝐾𝐷𝑠 ) 𝑠+ (𝐾 𝑃

𝑠 𝐾 𝐼𝑠 ) 1𝑠



REGOLATORI P.I.D.LIMITI DEGLI ATTUATORI



REGOLATORE P.I.D. – LIMITI DEGLI ATTUATORI• Un regolatore P.I.D. è connesso a monte di un

attuatore, il quale presenta:• una saturazione data dalla massima escursione

della variabile di controllo;• una banda passante che determinata la «rapidità

di esecuzione» dell’attuatore;• un valore massimo che può raggiungere la

variabile di forzamento nel funzionamento a regime permanente o per intervalli di tempo di durata limitata (sovraccarico transitorio).



ATTUATORE

VARIABILE DI CONTROLLO DELL’ATTUATORE

DISTURBO


VARIABILECONTROLLATA

VARIABILE DI FORZAMENTO

LIMITAZIONI ALLA:• MASSIMA ESCURSIONE• RAPIDITÀ DI VARIAZIONE• SOVRACCARICO TRANSITORIO

tempo

MASSIMO VALORE STAZIONARIO

MASSIMA R

APIDIT

À

DI VARIA

ZIONE CAMPO DI

ESCURSIONEDELLA VARIABILE DI FORZAMENTO

FOR

ZAM

EN

TO

tempo

MASSIMO VALORESTAZIONARIO

MAS

SIM

A RA

PIDI

TÀ

DI V

ARIA

ZIO

NE CAMPO DI ESCURSIONE

DELLA VARIABILEDI FORZAMENTO

FOR

ZAM

EN

TO

MASSIMO VALOREIN TRANSITORIO

ATTUATORI PASSIVI ATTUATORI ATTIVI (SERVOMECCANISMI)

SCHEMA FUNZIONALE DI UN ATTUATORE

ANDAMENTO LIMITE DELLA RISPOSTA A GRADINO



REGOLATORI P.I.D.CAMPO DI UTILIZZO



REGOLATORE P.I.D. – CAMPO DI APPLICAZIONE• Utilizzato per soddisfare le prestazioni relative al

comportamento a regime permanente;• SENZA MODELLO

• solo PI;• tuning in modo empirico;

• MODELLO NELLA DINAMICA DOMINANTE• solo PI;• Tuning sistematico;• non permette di influire sul comportamento

transitorio



REGOLATORE P.I.D. – CAMPO DI APPLICAZIONE• MODELLO NELLA DINAMICA DOMINANTE

• PI+D;• Tuning sistematico;• Un parziale miglioramento del comportamento

in transitorio è ottenuto dall’azione derivativa.• L’inserimento dell’azione integrale determina un

rallentamento del transitorio rispetto a quello che aveva l’elemento in esame nel controllo a catena aperta.

• L’inserimento dell’azione derivativa attenua tale rallentamento del comportamento dinamico.



REGOLATORI P.I.D.STIMA DELLA DERIVATA

FILTRO DEL PRIMO ORDINE



BANDA PASSANTE DELL’ELEMENTO CONTROLLATO

s DERIVATA“ESATTA” a1 s + a0

b1 s + b0DERIVATA“APPROSSIMATA”

1 10 100.1 w (rad/sec)

STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINEDIAGRAMMA DI BODE

La stima della derivata può essere effettuata rendendo operativo un filtro del primo ordine costituito da un polo reale e da uno zero reale.

La posizione del polo e dello zero va scelta in modo che il filtro del primo ordine abbia un comportamento simile a quello della derivata ideale nell’intervallo di frequenza centrato sulla banda passante dell’elemento controllato.





1 10 100.1 w (rad/sec)


Un filtro del primo ordine è in grado di stimare la derivata entro una banda di frequenze ben definita.





1 10 100.1 w (rad/sec)


Un filtro del primo ordine è in grado di stimare la derivata entro una banda di frequenze ben definita. Oltre tale banda di frequenza il rumore NON è amplificato come invece accade nel derivatore ideale, ma NON è nemmeno attenuato.





1 10 100.1 w (rad/sec)


In corrispondenza delle basse frequenze, ovvero a regime permanente, il filtro di stima del primo ordine presenta solo una attenuazione (che sarebbe stata nulla nel caso di derivata) che varia il guadagno complessivo del regolatore e di cui bisogna tenere conto.


De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1tempo

L’andamento della risposta a gradino presenta una discontinuità in corrispondenza dell’istante iniziale.Ciò sta a confermare che le componenti a frequenza più elevata non sono attenuate.

a1 s + a0

b1 s + b0 DERIVATA “APPROSSIMATA”CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE

sDERIVATA“ESATTA”

STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL PRIMO ORDINERISPOSTA AL GRADINO



REGOLATORI P.I.D.STIMA DELLA DERIVATA

FILTRO DEL SECONDO ORDINE




s DERIVATA“ESATTA”

STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINEDIAGRAMMA DI BODE

Un filtro del secondo ordine è costituito da due poli complessi coniugati e da uno zero reale.

1 10 100.1 w (rad/sec)

a1 s + a0

b1 s + b0

s 2 + a1 s + a0







La posizione dei poli e dello zero va scelta in modo che sia compresa entro l’intervallo di frequenza centrato sulla banda passante dell’elemento controllato con le azione proporzionale e integrale.

1 10 100.1 w (rad/sec)

a1 s + a0

b1 s + b0

s 2 + a1 s + a0






Un filtro del secondo ordine è in grado di stimare la derivata entro una banda di frequenze ben definita.

1 10 100.1 w (rad/sec)

a1 s + a0

b1 s + b0

s 2 + a1 s + a0






Ad alte frequenze, il rumore è attenuato, a differenza di quanto accade nel filtro del primo ordine.

1 10 100.1 w (rad/sec)

a1 s + a0

b1 s + b0

s 2 + a1 s + a0






In corrispondenza delle basse frequenze, permane una attenuazione finita e quindi occorre adeguare il guadagno del regolatore.

1 10 100.1 w (rad/sec)

a1 s + a0

b1 s + b0

s 2 + a1 s + a0



De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1tempo

L’andamento della risposta a gradino non presenta una brusca discontinuità in corrispondenza dell’istante iniziale. Ciò sta a confermare che le componenti a frequenza più elevata sono attenuate.

sDERIVATA“ESATTA”

a1 s + a0

b1 s + b0 DERIVATA “APPROSSIMATA”CON FILTRO DEL PRIMO ORDINE

s 2 + a1 s + a0

b1 s + b0DERIVATA “APPROSSIMATA “ CON FILTRO DEL SECONDO ORDINE

STIMA DELLA DERIVATA CON FILTRO DEL SECONDO ORDINERISPOSTA A GRADINO

regolatori p. i. d

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