regina kaiserdepto. estadística, universidad carlos iii1 regresión lineal simple tema 2
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Regina Kaiser Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1
Regresión lineal simpleTema 2
Regina Kaiser Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2
Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Objetivos Construcción de modelos de regresión Métodos de estimación para dichos modelos Inferencia acerca de los parámetros Aprendizaje de utilización de gráficos para
detectar el tipo de relación entre dos variables Cuantificación del grado de relación lineal
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Introducción Estudio conjunto de dos variables Relación entre las variables Regresión lineal Historia del concepto de regresión lineal
uxy 10
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Ejemplo: Pureza del oxígeno en un proceso de destilación
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Ejemplo: Pureza del oxígeno en un proceso de destilación
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El modelo de regresión simple n pares de la forma (xi,yi) Objetivo: valores aproximados de Y a partir de X X: variable independiente o explicativa Y: variable dependiente o respuesta (a explicar)
pendiente
intercepto
regresión de escoeficient y
1
0
10
10
iii uxy
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El modelo de regresión simple
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Linealidad: datos con aspecto recto
Plot of Y1 vs X1
0 40 80 120 160 200
X1
0
200
400
600
800
Y1
Plot of Y2 vs X2
0 40 80 120 160 200 240
X2
0
100
200
300
400
500
600
Y2
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Homogeneidad El valor promedio del error es cero,
0][ iuE
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Homocedasticidad:Var[ui]=2 Varianza de errores constante
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Independencia: Observaciones independientes, en particular E[uiuj]=
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Normalidad: ui~N(0, 2)
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Tansformaciones
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Método de Mínimos Cuadrados
Valor observado Dato (y)
Recta de regresiónestimada
Valor observado Dato (y)
Recta de regresiónestimada
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Mínimos Cuadrados (Gauss, 1809) Objetivo: Buscar los valores de y que
mejor se ajustan a nuestros datos. Ecuación:
Residuo:
Minimizar:
iiiii xyyye 10ˆˆˆ
n
iie
1
2
ii xy 10ˆˆˆ
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Mínimos Cuadrados (Gauss, 1809) Resultado:
xS
Sy
X
YX2,
0ˆ
xxyy ii 1ˆˆ
2,
1ˆ
X
YX
S
S
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
xy
xyS
S
SS
yxn
x
xy
xyx
95142874
287419619514169295146810
17710
177106810
20
1021
2
..ˆ
..).(.ˆˆ ..
.ˆ
. .
92.16 1.196
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
xy 95142874 ..ˆ
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
0
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
1
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Método de Máxima Verosimilitud Mismo resultado. Estimación de la varianza:
INSESGADO 2
ˆ Residual Varianza
insesgado no EMV ˆ
22
22
n
eS
n
e
iR
i
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
2RS
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Props. de los coeficientes de regresiónNormalidad
iiix
i ywynS
xx21
)( Combinación lineal de normales
),(~ 20 iii xNy
Estimador centrado
121
ix
i yEnS
xxE
)(ˆ
Varianza del estimador
2
22
21x
ix
i
nSyVar
nS
xxVar
)(ˆ
2
2
11
xnSN
,~ˆ
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Props. de los coeficientes de regresiónNormalidad
ii ywxn
xy1
10 ˆˆ Combinación lineal de normales
),(~ 20 iii xNy
Estimador centrado
00
1
ii yEwxn
E ˆ
Varianza del estimador
2
222
0 11
xii
S
x
nyVarwx
nVar
2
22
00 1xS
x
nN
,~ˆ
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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Inferencia respecto a los parámetros IC
2
ˆ ˆEn general, si ~ , ( ) un I.C. para :
ˆ ˆ ( )
N Var
z Var
2 20
1
ˆˆ ( / 2, 2) 1 /
ˆˆ ( / 2, 2)
Rx
R
x
St n x S
n
St n
S n
2
1 1 2
2 2
0 0 2
ˆ ~ ,
ˆ ~ , 1
x
x
NnS
xN
n S
2ˆDesconocida RS
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Inferencia respecto a los parámetrosContraste de Hipótesis
0 0 1 0
0 2 2
0 1 1 1
1
: 0 : 0
ˆ ˆ 1 /
: 0 : 0
ˆ
ˆ
R x
x
R
H H
nt
S x S
H H
S nt
S
( / 2, 2)t n
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Ajuste regresión simple: pureza oxígeno
0 1ˆ ˆ y
significativos
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Descomposición de la variabilidad La variabilidad del modelo satisface: VT =VE+VNE
Contraste de regresión
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
eyy
yy
yy
1
2
1
2
1
2
1
2
)ˆ(Explicada No adVariabilidVNE
)ˆ(Explicada adVariabilidVE
)(Total adVariabilidVT
2,11 ~2VNE
VE entonces 0, Si
nFn
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Ajuste regresión simple: pureza oxígeno
VE
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Ajuste regresión simple: pureza oxígeno
VNE
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Coeficiente de determinación
22
2,
21
2
1
2
1
2
2
)ˆ(
)(
)ˆ(
VT
VE
YX
YX
Y
n
ii
n
ii
n
ii
SS
S
nS
yy
yy
yyR
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Predicción Dos tipos de predicción: Predecir un valor promedio de y para cierto
valor de x. Predecir futuros valores de la variable
respuesta.La predicción es la misma (a partir de la recta de regresión) pero la precisión de los estimadores es diferente.
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Predicción (promedio)
2
202
12
00
010
)(1
)ˆ()()()ˆ(
)(ˆˆ
XnS
xx
n
VarxxyVaryVar
xxyy
2
20
2/,20
)(1ˆˆX
Rn nS
xx
nSty
Intervalo de confianza para la media estimada
Estimación de la media de la distribución condicionada de y para x=x0:
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Ajuste regresión simple: pureza oxígeno
,x y
La anchura del intervaloaumenta cuando aumenta
hx x
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Predicción para futuros valores
2
20
2/,20
)(11ˆˆ
XRn nS
xx
nSty
Intervalo de predicción
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Ajuste regresión simple: pureza oxígeno
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Descripción breve del tema1. Introducción2. El modelo de regresión simple3. Hipótesis del modelo
Linealidad, homogeneidad, homocedasticidad, independencia y normalidad
4. Estimación de los parámetros Mínimos cuadrados, Máxima Verosimilitud
5. Propiedades de los estimadores Coeficientes de regresión, varianza residual
6. Inferencia y predicción7. Diagnosis
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DiagnosisUna vez ajustado el modelo, hay que comprobar
si se cumplen las hipótesis iniciales. Gráficos de residuos frente a valores
previstos. Si las hipótesis iniciales se satisfacen, este
gráfico no debe tener estructura alguna.
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Ajuste regresión simple:Datos pureza oxígeno
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Relaciones no lineales
Gráficos de residuos
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LinealidadSoluciones a la falta de linealidad: Transformar las variables para intentar
conseguir linealidad. Introducir variable adicionales. Detectar la presencia de datos atípicos o
ausencia de otras variables importantes para explicar la variable respuesta.
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Homocedasticidad
.
y
Cuando la varianza de las perturbaciones es muy diferente para unos valores de la variable explicativa que para otros tenemos heterocedasticidad
e
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HomocedasticidadSoluciones a la heterocedasticidad: Si la variabilidad de la respuesta aumenta con x según la ecuación Var(y|x) = g(x), dividimos la ecuación de regresión (y) entre g(x).
Transformar la variable respuesta y puede que también x.
Si lo anterior no funciona, cambiar el método de estimación.
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NormalidadLa falta de normalidad invalida resultados inferenciales.
Comprobación mediante histogramas o gráficos probabilísticos.
En un gráfico probabilístico comparamos los residuos ordenados con los cuantiles de la distribución Normal estándar.
Si la distribución de los residuos es normal, el gráfico ha de mostrar aproximadamente una recta.
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Normalidad
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Independencia y Datos influyentesIndependencia Conviene hacer una gráfica de residuos frente
a tiempo (residuos incorrelados).
Datos influyentes Analizar la presencia de datos influyentes.
Los atípicos son datos muy grandes o muy pequeños. Estudiar su posible eliminación.
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Transformaciones
Forma funcional que relaciona y con x
Transformación apropiada
Exponencial: y = aexp{bx}
Potencia: y = axb
Recíproca: y = a+b/x
Hiperbólica: y = x/(a+bx)
y’ = lny
y’ = lny , x’ = lnx
x’ = 1/x
y’ = 1/y , x’ = 1/x