regeltechniek oefeningen bundel tbv et studenten

KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG

Departement Industrile wetenschappen en technologie

Regeltechniek

Oefeningenbundel

Dr ir J. Baeten

3 jaar Academische Bachelor Elektronica3 jaar Academische Bachelor Elektromechanica

Brugjaar Academische Bachelor Elektriciteit

uitgave 2005

A. Opgaven

A.1. Bereken de nodige versterking K om van het gegeven systeem een oscillator te maken. Hoegroot is de oscillatiefrequentie?

TF = 3(p + 1)(2p + 1)(4p + 0, 5)

A.2. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar. Neem de bandbreedte voor het geslotensysteem gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie van het open systeem. Ontwerp de PI-regelaar zodanig dat de FM gelijk is aan 50. (Verifieer m.b.v. een schets van hetBode-diagram). Bespreek zeer bondig het resultaat.

TFsysteem = 4(p2 + 1p + 4)

A.3. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar. Neem de bandbreedte voor het geslotensysteem gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie van het open systeem. Ontwerp de PI-regelaar zodanig dat de FM gelijk is aan 40. (Verifieer m.b.v. een schets van hetBode-diagram).

TFsysteem = 2(p2 + 0, 8p + 1)

A.4. Bereken de nodige versterking K om van het gegeven systeem een oscillator te maken. Hoegroot is de oscillatiefrequentie (volgens figuur uit opgave 1)

TF = 2(p + 1)(5p + 1)(p + 0, 5)

A.5. Bespreek de invloed van het halveren van de tweede grootste tijdsconstante op deeigenschappen van volgend systeem (bij gelijk blijvende statische versterking).

(regelkring uit opgave 1)TF = 3(p + 1)(6p + 1)(4p + 0, 5)

A.6. Welke dode tijd is nodig om volgend systeem te laten oscilleren in gesloten kring?2

(p2 + 0, 6p + 1)

A.7. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar zodanig dat de extra negatievefaseverschuiving van de PI-regelaar bij de snijfrequentie (0dB) -30 graden bedraagt en meteen FM gelijk aan 35. (Verifieer m.b.v. een schets van het Bode-diagram).

2(p2 + 0, 6p + 1)

Regeltechniek: Oefeningenbundel

__________ - 2 -Johan Baeten

Opgaven

K TF+

-

A.8. Bespreek de eigenschappen van de volgende regelkring. Hoe kan elk van dezeeigenschappen verbeterd worden?

TF = 4(p + 1)(5p + 5)(p + 0, 2)

A.9. Bespreek het systeem uit de volgende figuren. Is dit systeem stabiel in gesloten regelkring?Geef een aantal karakteristieke parameters. Hoe ziet de TF er ongeveer uit.

A.10. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met extra negatieve faseverschuiving vande PI-regelaar bij de snijfrequentie (0dB) gelijk aan -15 graden en met een FM gelijk aan 40.

2(2p + 1)2

A.11. Bepaal de extra in te stellen versterking voor marginale stabiliteit van het gesloten systeemvoor volgende open TF:

26(p + 1)(p2 + 4p + 13)

A.12. Bespreek het systeem uit de volgende figuren. Is dit systeem stabiel in geslotenregelkring? Geef een aantal karakteristieke parameters. Hoe ziet de TF er ongeveer uit?

A.13. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar zodanig dat de extra negatievefaseverschuiving van de PI-regelaar bij de snijfrequentie (0dB) -20 graden bedraagt en meteen FM gelijk aan 40. (Verifieer evt. m.b.v. het Bode-diagram).

10-1 100 101-60

-40

-20

0

Frequentie (rad/sec)

10-1 100 101

-180

-270

Frequentie (rad/sec)

-90Fase

20Verst.

Bode-diagram open systeem Staprespons gesloten systeem

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tijd (secs)

Amplitude

10-1 100 101-270-225-180-135-90-45

0

Frequentie [rad/sec]

Fase []10-1 100 101

-40

-20

0

Versterking [dB] Bode-diagram open systeem20

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tjd (sec)

Amplitude Impulsrespons


__________ - 3 -Johan Baeten

Opgaven

3(p + 2)(2p + 1)

A.14. Bepaal de extra in te stellen versterking voor marginale stabiliteit van het gesloten systeemvoor volgende open TF:

10(p + 1)(p2 + 2p + 5)

A.15. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem. Is dit systeem stabiel in geslotenregelkring? Hoe groot is de fasemarge?

4p + 5

104p + 1 e

p

A.16. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met nulpunt in -4 of in -10. Maak uwkeuze zodanig dat het gesloten systeem met regelaar steeds (voor alle mogelijke K

r-waarden)

stabiel is.

1(p + 4)2 + 4

Bepaal nu Kr zodanig dat de complexe polen overeenstemmen met een doorshot van 4%

(voor de staprespons van het gesloten systeem). Indien de berekeningen uitmonden op een3e graadsvergelijking dient deze niet verder opgelost te worden. Geef dan enkel aan hoewe tot de oplossing komen.

D = e

1 2

A.17. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem. Is dit systeem stabiel in geslotenregelkring? Hoe groot is de amplitudemarge?

2p + 4

102p + 1 e

p

A.18. Regel het volgende systeem met een PI-regelaar met nulpunt in -1/2 of in -4. Maak uwkeuze zodanig dat het gesloten systeem met regelaar steeds (voor alle mogelijke Kr-waarden)stabiel is. (zie ook opgave 16)

1(p + 1)2 + 1

A.19. Ontwerp een PI regelaar zodanig dat de negatieve fase van de regelaar 30 bedraagt bij debandbreedte van het geregeld systeem, met een FM = 30 voor het volgend systeem:


__________ - 4 -Johan Baeten

Opgaven

Systeem: 1(p + 0, 25)(p2 + 2p + 1)

Verifieer uw antwoord op het Bode-diagram van het systeem.

A.20. Maak een keuze tussen de twee gegeven regelaars bij het gegeven systeem m.b.v. hetwortellijnen diagram. Hoe groot is de AM.

Regelaar 1 : Systeem : 5(p + 0, 2) 2p3 + 2p2 + 2p

Regelaar 2 : 5(0, 2p + 1)

A.21. Regel bovenstaand systeem volgens het bedragsoptimum.

A.22. Bepaal de eigenschappen van het volgend systeem in gesloten regelkring:

Systeem : 2ep2

(5p + 1)(p + 1)

Verifieer uw antwoord op het Bode-diagram van het systeem.

A.23. Bepaal een proportionele versterker zodanig dat volgend systeem een AM = 3 heeft. Hoeziet het gesloten systeemgedrag er dan ongeveer uit? (Tip wortellijnendiagram).

Systeem : 2p(p2 + 2p + 10)

A.24. Bespreek de eigenschappen van de volgende regelkring. Hoe kan elk van dezeeigenschappen verbeterd worden? (Gebruik regelkring uit figuur 1).

TF = 4(p + 1)(5p + 5)(p + 0, 2)

A.25. Bepaal een regelaar volgens het bedragsoptimum voor volgend systeem:

5p(p + 2)(p + 1)

A.26. Bepaal een PI-regelaar voor de gegeven open TF, zodanig dat de extra negatieve fase tengevolge van de PI-regelaar in de totale FM = 50 , 10 is. Bepaal Kr en i. Teken hetBode-diagram.

TF = 2(4p + 1)(p2 + 2p + 1)A.27. Welke regelaar kies je om het systeem waarvoor het wortellijnen diagram gegeven is in

volgende figuur, stabieler te maken. Verklaar uw keuze en parameterinstelling door eenredenering op het wortellijnendiagram.


__________ - 5 -Johan Baeten

Opgaven

A.28. Bepaal de stabiliteit van het gesloten systeem met als open TF:

TF = e

12 p

p(p + 4)

Hoe kan men dit systeem beter stabiliseren? Redeneer op het Bodediagram.

A.29. Regel het volgende systeem volgens het bedragsoptimum.

TFos = 3p(2p + 3)

A.30. Neem het systeem uit de onderstaande figuur:

Wat is de invloed van het verkleinen van de tweede grootste tijdsconstante (bijvoorbeeldvan 10 naar 5)? Redeneer op het Bode-diagram. Motiveer uw antwoord!Hoe kunnen we de snelheid van het gesloten systeem (die bepaald wordt door k) op demeest eenvoudige wijze vergroten? Hoe kunnen we de statische nauwkeurigheid oneindig maken?

A.31. Voor welke extra versterking wordt het systeem (zoals gegeven in de figuur) instabiel?

A.32. Regel het bovenstaand systeem volgens het symmetrisch optimum.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Rele As

Imag

As

5

+

10 1 440p+1 10p+1 p +2


__________ - 6 -Johan Baeten

Oplossingen

A. Oplossingen

A.1. Het gesloten systeem oscilleert bij marginale stabiliteit. De gezochte versterking K is dusgelijk aan de AM. De gezochte frequentie is de frequentie waarbij het open systeem eenfaseverschuiving kent van -180. De snelste oplossing volgt uit het wortellijnendiagram: degezocht en K horen bij de snijding van het wortellijnen diagram met de imaginaire as.

Oplossing: osc = = 0,82, Kmarg = 2,81.11/16

A.2. De bandbreedte van het gesloten systeem is de frequentie 1 waarbij het open systeem doornul dB gaat. Bij deze frequentie moet er een FM van 50 zijn voor het geheel van opensysteem en regelaar. Oplossingsmethode: 1) bepaal 1 , 2) bepaal de faseverschuiving s vanhet systeem bij 1, 3) bepaal de integratietijdsconstante van de PI-regelaar zodanig dat defaseverschuiving PI van de PI-regelaar -(180 - FM +s) bedraagt op 1, 4) bepaal deversterking Kr zodanig dat de versterking van systeem en PI-regelaar samen 1 (= 0 dB)bedraagt bij 1 .

Oplossing: n = 2 r/s, = 0,25, s = -90, PI = -40, i = 1/2tg(50) = 0,59 sec, Ms(1) = 6 dB,Kr = 0,384. Figuur:

A.3. Volledig analoog aan oefening 2.Oplossing: n = 1 r/s, = 0,4, s = -90, PI = -50, i = tg(40) = 0,84 sec, Ms(1) = 7,95 dB,MPI =

1/2,5, Kr = 0,257.Figuur :

10-1 100 101-50

0

50

Ver

ster

kin

g [d

B] Samengesteld Bode-diagram van (4)(0.2266p + 0.384)/(p + p + 4)(0.59p)

10-1 100 101-225

-180

-135

-90

-45

0


Fase

[]

AM = 11.5 dB = 3.75 bij 3.13 r/s en FM = 50.7 bij 1.99 r/s


__________ - 7 -Johan Baeten

Oplossingen

A.4. Analoog aan oefening 1. Oplossing: osc = = 0,89, Kmarg = 3,15.25

A.5. Om de invloed te bespreken op het gesloten systeem bij wijziging van een parameter (hierhalveren van de tweede grootste tijdsconstante), kunnen best het Bode-diagram tekenen vren na de wijziging en beide figuren vergelijken. Figuren: (Uitvergroting).

De stabiliteit blijft ongeveer gelijk. De statische nauwkeurigheid is identiek. Het tweede

10-1 100 101-225

-180

-135

-90

-45

0


Fase

[]

AM = 12.1 dB = 4.02 bij 1.75 r/s en FM = 40.6 bij 1.00 r/s10-1 100 101

-50

0

50

Ver

ster

kin

g [d

B]

Samengesteld Bode-diagram van (2)(0.2159p + 0.257)/(p + 0.8p + 1)(0.84p)

10-1 100

-30-60-90

-120-150-180-210-240-270

0

Systeem 1: AM = 9,8 dB = 3.09 bij 0,56 r/s en FM = 32,6 bij 0,31 r/s

10-1 100-40

-20

0

20Bode-diagram van (6)/(48p + 62p + 15p + 1) en (6)/(24p + 35p + 12p + 1)

Systeem 2: AM = 8,9 dB = 2,79 bij 0,71 r/s en FM = 33,2 bij 0.41 r/s


Fase

[]

Ver

ster

kin

g [d

B]

1)

2)

1)

2)


__________ - 8 -Johan Baeten

Oplossingen

systeem is echter sneller in gesloten kring dan het eerste omdat de frequentie 0dB istoegenomen. Verbetering met ongeveer 30 % !! De volgende figuur, die de staprespons vande twee gesloten systemen weergeeft, toont dit nog eens aan.

A.6. Het gesloten systeem oscilleert indien het open systeem een faseverschuiving van -180bezit bij een versterking van 1 of 0dB. Vermits het toevoegen van een dode tijd enkel de faseverandert, moeten we eerst de frequentie 0dB van het systeem bepalen, vervolgens defaseverschuiving s van het systeem op deze frequentie uitrekenen en tenslotte een dode tijdt0 toevoegen die de totale fase van systeem en dode tijd samen op -180 brengt.

Oplossing: 0dB = 1,66 r/s, s (0dB) = -150 (FM zonder dode tijd is dus 30), t0 = 30/0dB =(0,52 rad / 1,66 r/s) = 0,31 sec.

A.7. Opgelet opgave 7 is net iets verschillend van opgaven 2 en 3!!De oplossing bestaat uit drie stappen: 1) bepaal de frequentie 1 waarbij het systeem een faseheeft van -180+FM+30. 2) Bepaal i zodanig dat de PI-regelaar een negatieve fase van -30heeft bij 1. 3) Bepaal de versterking Kr zodat de totale versterking van systeem enPI-regelaar net 1 of 0dB is op de frequentie 1. Dit wil zeggen dat 1 nu 0dB wordt.

Opmerking: normaal moet de 1e stap iteratief uitgerekend worden, vertrekkend van eengoede schatting voor 1 uitgaande van het Bode-diagram. Bij een tweede orde systeemkunnen we de gezochte frequentie 1 ook exact uitrekenen:

s = 115 = bgtg 0, 61 2 tg115 2 + 0, 6 tg115 = 0 1 = 1, 15

Oplossing: s = -115, 1 = 1,15 r/s, PI = -30, i = tg(60)/1 =1,5 sec, Kr = 0,33 =-9,6 dB.

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tijd [sec]

Am

plitu

de

Staprespons van gesloten systeem 1 en 2.

1)2)

1/7


__________ - 9 -Johan Baeten

Oplossingen

A.8. Om de eigenschappen van een regelkring te bespreken moeten we AM en FM bepalen en destatische versterking en de frequentie 0dB uitrekenen. Dit gebeurt best met het Bode-diagram.Figuur:

Duid de kantelpunten aan op de figuur.Bespreking: AM en FM zijn positief en voldoende groot: het gesloten systeem is stabiel, zelfsiets te stabiel en daardoor trager. De statische versterking = 4, d.w.z. dat er een aanzienlijkestandfout is in het gesloten systeem ss = 0,2. Vermijd dit door een I-actie toe te voegen. Dedynamische nauwkeurigheid en de snelheid staan in verband met 0dB = 0,57 r/s. Indien wedeze waarde kunnen vergroten zal het gesloten systeem sneller worden.

A.9. Het open systeem heeft een faseverloop van -90 tot -270, d.w.z. dat het gaat om een derdeorde systeem waarbij 1 zuivere integrator. De aanwezigheid van de zuivere integratie volgtook uit de standfout = 0 voor het gesloten systeem. In het amplitudeverloop is geenresonantiepiek zichtbaar. Daarom moet de demping >0,707. (Een demping groter dan 1houdt in dat het gaat om twee eerste orde systeem (i.p.v. een 2e orde systeem). De twee mogelijk TF's zijn dan:

met n = 1 r/s (Faseverloop is hier -180)TF = 1pKn2

p2 + 2np + n2

TF = 1pK

(1p + 1)1

(2p + 1)

Opm: De zuivere integrator veroorzaakt +20 dB versterking bij 0,1 r/s. Rekening houdendmet een verzwakking van 20 dB per decade geeft dit een snijpunt met de 0 dB lijn juist bij 1r/s. Dit houdt in dat de versterking K = 1. Uit de werkelijke verzwakking bij de natuurlijkeeigenfrequentie n = 1 r/s, af te lezen op de figuur en ongeveer gelijk aan -6 dB, kunnen wenu berekenen met als resultaat = 1. Besluit: Het systeem is een aaneenschakeling van

10-1 100 101-270-225-180-135

-90-45

0


Fase

[]

AM = 11.2 dB = 3.65 bij 1.19 r/s en FM = 50.2 bij 0.57 r/s10-1 100 101

-80

-60

-40

-20

0

Ver

ster

kin

g [d

B]Samengesteld Bode-diagram van (4)/(p + 1)(p + 1)(5p + 1)

2x


__________ - 10 -Johan Baeten

Oplossingen

twee identieke 1e orde systemen met tijdsconstante = 1s en versterking K = 1 en een zuivereintegrator of:

TF = 1p1

(p + 1)2

A.10. Deze opgave is analoog aan opgave 7. Zoek het de pulsatie waar het oorspronkelijk systeem een faseverschuiving heeft van180 - 40 - 15 = 125 ) s= 2bgtg(21) = 125 of 1 = tg(125/2) /2 = 0,96 r/s. Bepaal de integratietijdscte van de PI-regelaar zodanig dat deze een negatieve fase van 15heeft bij 0,96 r/s ) i = tg(75)/1 = 3,89 s. Bepaal de versterking K

r van de regelaar zodanig dat het totaal amplitudeverloop (systeem

+ regelaar) de 0 dB lijn snijdt bij 0,96 r/s :

) = 2,26.Kr = 12 412 + 1 1i 11 + (1i)2

Ter info geeft de volgende figuur het Bode-diagram:

A.11. Indien enkel de versterking voor marginale stabiliteit gevraagd wordt, lossen we dit hetsnelst op m.b.v. het wortellijnendiagram:

1 + KGH = 0 26K = p3 + 5p2 + 17p + 13

Stel p = j en los bovenstaande vergelijking op:

26K = 52 130 = 3 + 17

= 17 = 4, 18 en K = 2, 77

1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01- 5 0

0

5 0

Ver

ster

kin

g [d

B]

Samengesteld Bode-diagram van (2 .34)(3.9p + 1)(2)/ (3 .9p)(2p + 1)(2p + 1)

1 0- 2 1 0- 1 1 00 1 01- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

4 5

Frequentie [ rad/sec]

Fase

[]

FM = 39.6 b ij 0 .98 r /s

FM = 39.6


__________ - 11 -Johan Baeten

Oplossingen

Verifieer de asymptotische richting en de hoek van vertrek van bovenstaandwortellijnendiagram.

A.12. Het gegeven systeem heeft een dode tijd = 1 sec, duidelijk te zien uit de impulsrespons enhet negatieve faseverloop. Er is geen differentiator of integrator want het faseverloop begintbij 0. De statische versterking is ongeveer 6 dB of 2. Het amplitude verloop daalt met 40 dBper decade, wat wijst op een 2e orde systeem maar er is geen resonantiepiek. Dus > 0,707.Samengevat:

TF = 2ep

(2e orde)(verder is het mogelijk uit het faseverloop n te bepalen door de negatieve fase van de nugekende dode tijd in rekening te brengen: n = 1 r/s, = 1) Het gesloten systeem is stabiel want AM en FM (af te lezen op de figuur) zijn positief.

A.13. Analoog aan opgaven 10 en 7.Oplossing: s = -120, 1 = 1,96 r/s, PI = -20, i = tg(70)/1 =1,4 sec, Kr = 3,54 = 11 dB.

A.14. Analoog aan 11.Oplossing: . Stel nu p = j en los vergelijking op: 1 + KGH = 0 10K = (p3 + 3p2 + 7p + 5)

10K = 32 50 = 3 7

= 7 = 2, 65 en K = 1, 6

Teken nu het wortellijnendiagram en verifieer de gevonden waarden (zoals in oefening 11).

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

26

Rele as

Wortellijnendiagram van 26 / (p+5p+17p+13)

-2+j3

-2-j3

Kmarg= 2,77

=4,12

Imag

inai

re a

s


__________ - 12 -Johan Baeten

Oplossingen

A.15. Herschrijf de opgave op een meer standaard wijze:

80, 2p + 1

14p + 1 e

p

Teken nu het Bode-diagram. Ga (iteratief) op zoek naar de frequentie 0dB en berekenvervolgens de FM. Het gesloten systeem is instabiel.

A.16. Stabiliteit testen voor alle mogelijke waarden van de proportionele versterking Kr vraagt

natuurlijk om een oplossing in het wortellijnendiagram. Teken dit tweemaal, nmaal metextra nulpunt in -10 en nmaal met extra nulpunt in -4 en natuurlijk telkens met een pool inde oorsprong t.g.v. de I-actie.

Een standaard 2e orde systeem heeft 4% doorschot bij een dempingscofficint = 0,707 ofwanneer de hoek van de polen zoals aangeduid op bovenstaande figuur 45 bedraagt. Zovinden we het snijpunt p ~= -2,9 + j 2,9. Dit geeft K

r = 9,5.

-270

-180

-90

0

-20

-10

0

10

20

0,1 1 33 6

0,1 1 33 6

Ampl

itude

[dB]

Fase

[]

1,431 r/s 1,855 r/s

AM = 0,76 = -2,39 dB

FM = -29,76

Frequentie (r/s)

Frequentie (r/s)

Bode-diagram

-5 0 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Snijding geeft gezochte Kr

Wortellijnendiagram met nulpunt in -4

Rele as

Ima

gina

ire a

s

-20 -10 0 10 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Goede oplossing Slechte oplossingRele as

Ima

gina

ire a

s

Wortellijnendiagram met nulpunt in -10

45


__________ - 13 -Johan Baeten

Oplossingen

Let wel op: als TF voor de PI-regelaar werd eenvoudigheidshalve Kr(p+4)/p genomen. De

volgende figuur geeft ter info de staprespons van het gesloten systeem. We zien dat deverwachte 4% doorschot niet voorkomt omdat de (derde) rele (negatieve) pool het geheeldempt. De 4% doorschot wordt bereikt bij Kr = 14.

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tijd [sec]

Am

plitu

deStaprespons gesloten systeem bij verschillende kr waarden.

kr = 9,5

kr = 14


__________ - 14 -Johan Baeten

0 2 4 6 8 10Tijd [sec]

Ampl

itude

0

0.5

1

1.5

Kr = 0.1

Kr = 1

Kr = 2 4

5

Kr = 10

Stapresponsies van het gesloten systeem voor verschillende Kr waarden.

GH =Krp + 12

(p2 + 2p + 2)p

Oplossingen

A.17. Oplossing: Instabiel gesloten systeem. Figuur:

A.18. Oefening analoog aan 16.Geen oplossing mogelijk voor Kr om een doorschot van 4% te bekomen. De doorschot zalsteeds groter zijn. De werkelijke staprespons voor verschillende Kr-waarden wordt gegevenin de volgende figuur. Voor Kr = 4 krijgen we een doorschot D = 4% in tegenstelling tot wathet wortellijnendiagram ons leert. De verwaarlozing van de rele pool geeft hier dus eenredelijk grote afwijking.

-2 70

-1 80

- 9 0

0

-10

0

10

20

0,1 0,2 0,4 0,8 1 2 3

0,1 0,2 0,4 0,8 1 2 3

AM =-3,26 dB= 0,69

1,525 r/s 2,13 r/s

FM -49,23

Ampl

itude

[d

B]Fa

se []

Frequentie [r/s]

Frequentie [r/s]

Bode-diagram

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

= 1 =3/4

Goed: nulpunt in -1/2

45

= 0,707 = 45 D = 4%

Instabilitiet bij te grote K-waarden

Fout

Rele As Rele As

Ima

gin

aire

As

Ima

gin

aire

As


__________ - 15 -Johan Baeten

Oplossingen

A.19. Analoog aan opgaven 13, 10 en 7.Oplossing: s = -120, 1 = 0,53 r/s iteratief gezocht, PI = -30, i = tg(60)/1 =3,26 sec, Ms(1) = 1,33 , MPI (1)= 1,155, Kr = 0,65.

A.20. Teken het wortellijnendiagram voor de twee gevallen. Dit geeft onderstaande figuur.

Met regelaar 2 wordt het geheel nog vrij snel instabiel.Puur wiskundig kiezen we dan regelaar 1. De D-actie is hier echter zeer groot: d (= 5 sec) isveel groter dan de tijdsconstanten van het systeem. De regeling wordt dan onrustig enruisgevoelig. De beste oplossing is een regelaar tussen beide in met d ~= 1 sec.

A.21. Om het gegeven systeem te regelen volgens het bedragsoptimum moeten we volgendeidentificatie uitvoeren:

Kr 2p(p2 + 2p + 2) 1

2p(1 + p)

Dit is niet zonder meer mogelijk daar in het linker lid een 2e orde systeem tussen haakjesstaat in de noemer en in het rechter lid een eerste orde systeem. We moeten het 2e ordesysteem daarom benaderen. Een eerste mogelijke manier is:

, voeg nu een PD-regelaar toe met d = 1 sec, dit geeft:p2 + 2p + 2 p2 + 2p + 1 = (p + 1)2

Kr2(p + 1)p(p + 1)2

12p(1 + p) = 1 sec en Kr = 0, 25.

Een tweede mogelijk manier is: , nu is geen PD-regelaarp2 + 2p + 2 2p + 2 = 2(p + 1)nodig. We vinden =1 sec en K

r =0,5.

Een derde oplossing zou bestaan uit het aanpassen van de cofficint bij p. Wat is nu het verschil in deze benaderingen? Verwaarlozing van de term in p 'vervormt' hetsysteem op de hogere frequenties. Aanpassen van de cofficint zonder p verandert o.a. deDC versterking van het systeem. De tweede oplossing is daarom beter en ligt dichter bij hetgewenst resultaat.

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 met regelaar 1

Rele as

Imag

inai

re a

s

AM = oneindig

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

10/3

Kmarg=2/3

AM=2/3 (instabiel)

met regelaar 2

Rele as

Imag

inai

re a

s


__________ - 16 -Johan Baeten

Oplossingen

A.22. Uit het Bode-diagram volgt: 1) AM en FM zijn positief, het gesloten systeem is stabiel. 2)De bandbreedte van het systeem = 0,33 r/s en 3) de statische nauwkeurigheid is slecht omdatte standfout veel te groot is ss = 1/3.

A.23. Bepaal de snijding van het wortellijnendiagram met de imaginaire as: dit levert Kmarg = 10.Daaruit volgt K = 10/3 om 3 over te houden. Het gesloten systeem bezit nu drie polen: 2complex toegevoegde in de buurt van -0.5j3 en 1 negatieve rele pool. Het geheel is stabielen vertoont een lichte oscillatie met een pulsatie van 3 rad/sec.

10-1 100-270

-225-180

-135-90-45

0


Fase

[]

AM = 6.1 dB = 2.02 bij 0.65 r/s en FM = 66 bij 0.33 r/s

FM = 66

10-1 100-20

-10

0

10V

erste

rkin

g [d

B]Samengesteld Bode-diagram van (2)exp(-2p)/(5p + 1)(p + 1)

AM = 6.1 dB = 2.02

-6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

Rele as

Imag

inai

re a

s Kmarg = 10

10

K = 10 /3

Wortellijnendiagram met GH = 2/(p+2p+10p)

2

Hoek van vertrek= -18,4

= 2/3


__________ - 17 -Johan Baeten

Oplossingen

A.24. Oefening identiek aan 8.

A.25. Regeling volgens het bedragsoptimum vereist de identificatie:

REG 5p(p + 2)(p + 1)

12p(1 + p)

Bij gebruik van de P-regelaar is een benadering nodig. Tel de eerste orde tijdsconstanten open stel deze gelijk aan . Dit geeft:

Kr 52p(12p + 1)(p + 1)

Kr 52p(32p + 1)

1

2p(1 + p) =32 , Kr =

215

Bij gebruik van de PD-regelaar kan de identificatie exact gebeuren en geeft dit:Kr(dp + 1)5

2p(12p + 1)(p + 1)

12p(1 + p) d = 1, =

12 , Kr =

25

A.26. Analoog aan opgaven 19, 13, 10 en 7.Oplossing: s = -120, 1 = 0,53 r/s iteratief gezocht, PI = -10, i = tg(80)/1 =10,7 sec, Ms(1) = 0,66 , MPI (1)= 1,015, Kr = 1,48. Figuur van het geheel:

A.27. Kies een PD-regelaar met nulpunt gelegen tussen 0 en -2, bv. in -1. Het gesloten systeem isdan altijd stabiel. Het nulpunt mag niet voorbij -2 liggen want dan wordt positief en kan hetgesloten systeem instabiel zijn.

A.28. Omdat het open systeem een dode tijd bezit kunnen we enkel het Bode-diagram gebruikenom de stabiliteit van het gesloten systeem te bepalen en niet het wortellijnendiagram.'Beter stabiliseren' is niet nodig want het systeem is meer dan stabiel.

-270

-180

-90

0

-60-40-20

0204060

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1

Bode-diagram van geheel

Frequenite [rad/sec]

Frequenite [rad/sec]

Fase

[]

Ver

sterk

ing

[dB]

FM = 50


__________ - 18 -Johan Baeten

Oplossingen

A.29. Analoog aan opgaven 21 en 25. Gebruik een P-regelaar: = 2/3 sec, Kr = 0,75.

A.30. Analoog aan opgave 5. Systeem 1 met 2 = 10 sec en systeem 2 met 2 = 5 sec. Figuur:

Gegevens:1) AM = 14,5 dB = 5.34 bij 0,5 rad/sec. FM = 26,4 bij 0,21 rad /sec.2) AM = 14,1 dB = 5.06 bij 0,68 rad/sec. FM = 32,5 bij 0,28 rad /sec.Besluit: Stabiliteit en statische nauwkeurigheid blijven gelijk, snelheid neemt toe met 50%.We kunnen de snelheid verder opdrijven door een extra versterking in te stellen (ten kostevan de stabiliteit). De statische nauwkeurigheid wordt oneindig door een I-actie in te voeren.

A.31. Oplossing zie AM bij opgave 30.

A.32. Bij regeling volgens symmetrisch optimum is volgende identificatie vereist:Kr

1 + i1pi1p

1 + i2pi2p

2040p + 1

110p + 1

10, 5p + 1

1 + 4p82p2(1 + p)

Hierbij worden 2 PI-regelaars gebruikt. Dit geeft: i1 = 40 sec, i2 = 42 sec, = 10,5 sec,K

r = 1/10,5.

10-1 100 101-270-225-180-135-90-45

0


Fase

[]


FM = 79.2

10-1 100 101-50

0

50

Ver

ster

king

[d

B] Bode-diagram van 1exp(-0.5p)/(p + 4p)

AM = 19.7 dB = 9.70

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1-60-40-20

020

Ver

ster

king

[d

B]

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1-270

-180

-90

0

Fase

[]

1)2)

1)2)

Bode-diagram van beide systemen.


__________ - 19 -Johan Baeten

Oplossingen

B. Oefeningen op het wortellijnendiagramB.1) Teken het wortellijnendiagram van het volgende systeem:

KGH = K(p + 1)(p 1)(p + 2)(p + 3)Voor welke K-waarde ligt de pool van het gesloten systeem in nul? Voor welke K-waarden krijgen we samenvallende polen?

B.2) Teken het wortellijnendiagram voor de 'omgekeerde slinger':KGH = K(p + 1)(p2 4)

Kan men het gesloten systeem stabiel maken met een P-regelaar?

B.3) Vervolg op oefening 2: Plaats in de regelkring een PD-regelaar met td = 2 sec.KGH = K(2p + 1)(p + 1)(p2 4)

Kan de regelkring nu stabiel gemaakt worden door een goede keuze van K? Welk is de grenswaarde voor K? Isdit een minimum- of maximumgrens?

B.4) We gaan het systeem uit oefening 1 aanpassen door enkele polen toe te voegen.KGH = K(p + 1)(p 1)

(p + 2)(p + 3)2(p + 5)Ga na hoe de maximaal toelaatbare kringversterking (K) verandert.

B.5) Beschouw de volgende TF:KGH = K

p(p + 1)(p2 + 4)Kan men dit systeem stabiel maken m.b.v. een terugkoppeling en een P-regelaar (K).

B.6) Bepaal het wortellijnendiagram voor de volgende TF:KGH = K(p + 0, 5)(p + 4)(p2 + 2p + 2)

Voor welke waarde van K wordt het systeem instabiel? Hoe groot is de grenswaarde voor K indien wevooropstellen dat het gesloten systeem een maximale ts (settle time) mag hebben van 3,9 sec (voor een afwijkingvan 2% t.o.v. de eindwaarde)? Is dit een maximum- of minimumgrens?

B.7) Schets het wortellijnen diagram voor: en KG = K

p(p2/2600 + p/26 + 1) H =1

0, 04p + 1

Bepaal de K-waarde voor instabiliteit. Hoe groot is het complex deel van p (= n) bij deze K?Bepaal de K-waarde waarvoor de dominante wortels (dit zijn de wortels het dichts bij de imaginaire as)overeenstemmen met een 2e orde systeem met demping 0,5 (= ). (Hoe groot zijn de polen van het systeem bijdeze laatste K-waarde?)


__________ - 20 -Johan Baeten

Opgaven Wortellijnendiagram

B.1 - Oplossing oefening 1 wortellijnendiagram

nulpunten : 1, -1polen: -2, -3 n-m = 0 , dus geen asymptoten of polen op oneindig.

Ligging van de samenvallende polen:

K = (p + 2)(p + 3)(p 1)(p + 1) dKdp =

(p2 1)(2p + 5) (p2 + 5p + 6)(2p)(p2 1)2

= 0

5p2 + 14p + 5 = 0 p1,2 = 0, 42 of p1,2 = 2, 38

K-waarde voor p = 0:

1 + GHp=0 = 0 1 +K(1)(+1)

(2)(3) = 0 K = 6

Het wortellijnendiagram is weergegeven in volgende figuur.


__________ - 21 -Johan Baeten

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Rele As

Ima

gina

ire A

s

= 4,9 bij p1 = p2 = -0,42

= 0 = 0 = =

= 6 bij p = 0

1

GH = (p+1)(p1)(p+2)(p+3)

0

Oplossingen Wortellijnendiagram


nulpunten : geenpolen : -1, -2, +2 n-m = 3 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 180o +k360o3 = 60o, 180o, 300oof 60o

snijpunt met de rele as = = 21+23 = 0, 333

Ligging van de samenvallende polen:

(de tweede oplossing -1,5 kan niet en valt dus weg!)dKdp = 3p2 + 2p 4 = 0 p1,2 = 0, 87

(K is hier 6)

Het wortellijnendiagram wordt voorgesteld door volgende figuur. Het systeem is steeds instabiel!


__________ - 22 -Johan Baeten

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Rele As

Ima

gin

aire

As

= 0 = 0 = 0 =

=

=

= 0,33 = 6bij p1 = p2 = 0,87

1

GH = 1(p24)(p+1)



nulpunten : -0,5polen: -1, -2, +2 n-m = 2 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 90, -90snijpunt met de rele as = -0,25

Ligging van de samenvallende polen: Bij K = 0,45 krijgen we p1 = p2 = -1,4

Volgende figuur geeft het wortellijnendiagram!

De grenswaarde voor stabiliteit is K = 4. Dit is een minimum grens. We vinden deze waardedoor p = 0 te stellen in GH. Voor K = 4 zijn de twee andere polen = -0,5 j 1,94 . De demping is voor deze polen gelijk aan cos(bgtg(1,94/0,5)) = 0,25 ( hoek van 75,5).Voor een K-waarde groter dan 4 is het systeem absoluut stabiel. Het systeem wordt echter nooitrelatief stabiel omdat de demping steeds kleiner is dan 0,25.


__________ - 23 -Johan Baeten

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Rele As

Imag

inai

re A

s

= 0 = 0 = 0

=

=

=

= 0,25 = 0,45

= 4

= 4

= 4

bij p1 = p2 = -1,4

bij p2 = -0,5 - j1,94

bij p1 = -0,5 + j1,94

bij p3 = 0

2

GH = (2p+1)(p+1)(p24)



nulpunten : 1, -1polen: -3, -3, -2, -5 n-m = 2 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 90, -90snijpunt met de rele as = (-5-3-3-2+1-1)/2=-6,5

Wortellijnen diagram: zie volgende figuur!

De grenswaarde voor stabiliteit is K = 90. (Dit is een maximum grens). We vinden deze waardedoor p = 0 te stellen in GH. De maximaal toelaatbare kringversterking is bijgevolg sterk toegenomen (vergelijk met oefening1) door het toevoegen van 2 extra polen in het systeem.


__________ - 24 -Johan Baeten

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Rele As

Imag

inai

re A

s

=

=

=

= 6,5 = 0 = 0

= 90 bij p = 0

1

GH = (p+1)(p1)(p+2)(p+3)2(p+5)



nulpunten : geenpolen: 0, -1, 2j n-m = 4 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 45, -45, 135, -135snijpunt met de rele as = (-1-2+2)/4=-0,25

Hoek van vertrek uit de pool j2: -63 (zie tabel)

Wortellijnendiagram: zie volgende figuur!

Het systeem is steeds instabiel!


__________ - 25 -Johan Baeten

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Rele As

Imag

ina

ire A

s

Hoek van vertrek = 63

= 0,25

= 0

= 0

= 0

= 0

=

= =

=

Hoek van vertrek = -63

1GH = 1

p(p+1)(p2+4)

vanuit hoek2j x

-2j 90-1 630 90

som 243+x = 180



nulpunt: -0,5polen: -4, -1j n-m = 2 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 90, -90snijpunt met de rele as = (-4-1-j-1+j+0,5)/2 = -2,75

Hoek van vertrek vanuit de pool 1+j: (116,6-( 18,6+90+x)) = 180+k360 of x = 188


Het systeem wordt nooit instabiel. Wel neemt de relatieve stabiliteit (de demping) af naarmate Kgroter wordt. Het reel deel van de pool moet meer negatief zijn dan -1. Dit volgt uit devoorwaarde op de 'settle time' (aangeduid met de gearceerde (verboden) band in de figuur):

0, 02 e(Redeel)ts Re deel 1

De maximum waarde voor K om hieraan te voldoen is 6. Deze vinden we door p = -1 in te vullenin 1/GH.

K = 1GH p=1 =(3)(1)(0,5) = 6


__________ - 26 -Johan Baeten

-5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Rele As

Imagi

naire

As

=

=

=

= 0

= 0 = 0

= 2,75

Hoek van vertrek

Hoek van vertrek

= 188

= -188

K = -6bij p = -1

Maximumvoor ts = 3,9

1

GH = (p+0,5)(p+4)(p2+2p+4)



nulpunten: geenpolen: 0, -25, -50j10 n-m = 4 = aantal asymptoten of polen op oneindig.

richting van de asymptoten = 45, -45, 135, -135snijpunt met de rele as = (-25-50+j10-50-j10)/4 = -31,25

Hoek van vertrek uit de pool -50+j10: (168,7+ 158,2+ 90 + x) = 180+k360 of x =123,1

Snijding met de imaginaire as: j22,8. We vinden deze waarde door in de karakteristiekevergelijking p gelijk te stellen aan j. K is hier 36,7.

De dominante polen bij een demping van 0,5 worden uit de figuur afgelezen.De polen zijn hier ongeveer -6,5j11,2 overeenkomstig K = 9,1.



__________ - 27 -Johan Baeten

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Rele As

Imag

inai

re A

s

=

= =

=

= 0

= 0 = 0 = 0

= 31,25

Hoek van vertrek = 123,1

K = 9,1 bij -55 j18

K = 36,7 bij p = j22,8

60K = 9,1 bij p = -6,5 j11,2

65000

GH = 65000p(p+25)(p2+100p+2600)


C. Korte Oefeningen Opgaven

C.1. Schets het wortellijnen diagram voor het volgende systeem: TF = 2p(p2 + 2p + 2)

C.2. Volgende figuur geeft het Bode-diagram van het vorig systeem. Is dit voor het open systeemof voor het gesloten systeem? Welke verbanden kan je maken tussen de gegeven TF(eventueel na sluiten) en het Bode-diagram?

C.3. Bij welke extra versterking wordt het gesloten systeem instabiel?

Figuur : Gegeven Bode-diagram.

C.4. Volgende figuren geven een staprespons en een impulsrespons. Is dit voor het open systeemof voor het gesloten systeem met als open TF = ?8 + p

p(p2 + 4)C.5. Welke verbanden kan je leggen tussen de TF (eventueel na sluiten) en de gegeven

tijdresponsies.C.6. Bereken de fasemarge!

Figuur : Gegeven tijdresponsies.

-270-225-180-135-90-450



Faze

[]

-40

-20

0

20

Vers

terk

ing

[dB]

0,1 1 10

1 10

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tijd [sec]

Ampl

itude

Impulsrespons.

0 5 10 15 20Tijd [sec]

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Ampl

itude

Staprespons


__________ - 28 -Johan Baeten

Opgaven Korte Oefeningen

C.7. Schets het Bode-diagram van het volgende systeem: TF = 10(p + 1)(1 + 2p)(2p + 2)C.8. Stemt het Nichols-diagram uit vogende figuur hiermee overeen? Hoe groot is de AM?C.9. Wat zijn de voor- en nadelen van een PD-regelaar hierop toegepast?

Figuur : Gegeven Nichols-diagram.

C.10. Volgende figuur geeft het Nichols-diagram voor een bepaald open systeem.C.11. Hoe ziet de TF van dit systeem er ongeveer uit? Wat voor een systeem is dit?C.12. Hoe groot zijn de AM en de FM? (ongeveer) Hoe groot zijn de maximale versterking en

faseverschuiving van dit systeem bij sluiting? (ongeveer)

Figuur : Gegeven Nichols-diagram.

-360 -270 -180 -90 0-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Faze [ ]

Vers

terk

ing

[dB]

Nicholsdiagram

- 3 6 0 - 2 7 0 - 1 8 0 - 9 0 0- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

6 d B

3 d B

1 d B

0 .5 d B

0 .2 5 d B

0 d B

- 1 d B

- 3 d B

- 6 d B

- 1 2 d B

- 2 0 d B

- 4 0 d B

Open Lus Fase []

Ope

n lu

s Ver

sterk

ing

[dB]

Nichols-diagram

180 150 130 90 60 30210240270


__________ - 29 -Johan Baeten


C.13. Volgende figuur geeft de staprespons van het geregeld systeem met een P-regelaar.Welke versterking werd ingesteld? De demping van de dominante polen is 0,707.(Tip werk eventueel met het wortellijnendiagram of met de standfout.) TF = p + 2

p2 + 1C.14. Stemt het gegeven Nyquist-diagram overeen met de gegeven TF? Waarom wel of niet?

Figuur : Gegeven staprespons.

Figuur : Gegeven Nyquist-diagram.

C.15. Schets het Bode-diagram van TF = 2p(p2 + 2p + 1)

C.16. Bereken de amplitude- en de fasemarge. Is het gesloten systeem stabiel?C.17. Kan volgende figuur de staprespons zijn van dit systeem (open of gesloten)?

Figuur : Gegeven staprespons.

0 0.5 1 1 . 5 2 2 . 5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Tijd [sec]

Ampl

itude

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Rele As

Ima

g. A

s

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 40

0.2

0.40.6

0.81

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tijd [sec]

Ampl

itude

Stapresponsie


__________ - 30 -Johan Baeten


Oplossingen Korte Oefeningen

C.1. Wortellijnendiagram van TF = 2p(p2 + 2p + 2)

Figuur : Wortellijnendiagram.

C.2. Het Bode-diagram van het open systeem is gegeven. De integrator is duidelijk herkenbaarmet oneindige versterking en fasevershuiving -90 bij frequentie nul. Het volledigsamengesteld Bode-diagram wordt gegeven in volgende figuur.

Figuur : Samengesteld Bode-diagram.

C.3. AM = 6,1 dB = 2,02

C.4. Stap en impulsrespons van het open systeem worden gegeven. De staprespons divergeertnaar oneindig (instabiel), de impulsrespons blijft oscilleren (rand van de stabiliteit); dit allest.g.v. de zuivere integrator. Ook het wortellijnendiagram geeft aan dat de gegeven responsies niet bij het gesloten

= 2

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Rele As

Ima

g. A

s

AM = 2



Fsze

[]


Vers

terk

ing

[dB]

Samengesteld Bode-diagram van 2/(p + 2p + 2)(p)

-270-225-180-135-90-450

-60-40-20020

0.1 1 10

0.1 1 10

AM = 6.1 dB = 2.02

FM = 32.0


__________ - 31 -Johan Baeten


systeem kunnen horen. Het gesloten systeem is immers steeds instabiel.


C.5. We herschrijven de TF als: 14 18p + 1

18p

14p2 + 1Het geheel bestaat uit een 2e orde systeem zonder demping en met n = 2 r/s en eenPI-regelaar.De integratietijdcte = 1/8 en Kr = 1/4 .De eindwaarde van de impulsrespons 'is' 2. (TF vermenigvuldigen met p en p = 0 stellen.) De impulsrespons vertoont 5 oscillaties na 16 sec. Hieruit volgt n = 1.96 r/s ( = 2 r/s). De volgende figuur geeft het Bode-diagram.

Figuur : Bode-diagram.

C.6. FM = -71,4

C.7. Volgende fiuur geeft het samengesteld Bode-diagram van .TF = 10(p + 1)(1 + 2p)(2p + 2)

-1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5-15

-10

- 5

0

5

1 0

1 5

Rele As

Imag

As

-270-225-180-135-90-450



Fase

[]

-40-2002040

Vers

terk

ing

[dB]

Bode-diagram van (p + 8)/(p + 4p)

0 , 1 1 1 0

0,1 1 1 0

FM = -71.4

AM = oneindig


__________ - 32 -Johan Baeten



C.8. Het gegeven Nichols-diagram is dit van het gesloten systeem.De statische versterking is 5/6. Dit is net kleiner dan 0 dB. De maximale faseverschuiving blijft -270.Indien we het systeem nogmaals sluiten wordt dit instabiel (negatieve AM en FM).

C.9. Open vraag (zie PD)

C.10. De TF van het gegeven Nichols-diagram bezit een zuivere integrator, hetgeen volgt uit de -90 faseverschuiving en de oneindigeversterking bij pulsatie 0 r/s.en is van 3e orde, vermits de totale faseverschuiving -270 wordt.

C.11. De TF moet dus een samenstelling zijn van een zuivere integrator en een 2e orde systeemof

TF = 1p Kn2

p2 + 2np + n2

Hierin staan 3 onbekenden. De natuurlijke eigenpulsatie wordt bepaald door het punt waarde faseverschuiving -180 is. De demping kan niet rechtstreeks bepaald worden (geenextra resonantiepiek) en daarom ook niet de versterking die de verticale ligging bepaald.

De werkelijke TF was: TF = 5p(p2 + 2p + 1)

C.12. AM en FMAM = -8 dB = 0,4 bij n = 1 r/s en FM = -23,2 bij 1,5 r/s.bij sluiting is de maximale versterking oneindig, het systeem is immers instabiel.de maximale faseverschuiving blijft -270.


AM = 5.3 dB = 1.83 bij 1.42 r/s en FM = 22.2 bij 1.06 r/sFrequentie [rad/sec]

Fase

[]

-270-225-180-135-90-450

0 , 1

0 , 1

1

1

10

10

Vers

terk

ing

[dB]

Samengesteld Bode-diagram van (5)/(p + 1)(p + 1)(2p + 1)

-60

-40

-20

0

20

2x

2x

FM = 22.2

AM = 5.3 dB = 1.83


__________ - 33 -Johan Baeten


C.13. De gegeven figuur geeft de staprespons van het gesloten systeem. De eindwaarde is 0,9.Hieruit volgt de totale statische versterking van het open systeem:

KK + 1 = 0, 9 K = 9

Vermits het open systeem reeds een versterking heeft van 2 moet Kr = 4,5. Hetwortellijnen diagram van het open systeem (p + 2)/(p + 1) wordt gegeven in figuur 8.26.


Bij een demping van 0,707 moet de hoek van de polen 45 zijn. Aflezen uit bovenstaandefiguur of invullen van (-a + ja) in de vergelijking 1 + KHG = 0 geeft als oplossing: Polen =-2,22 j 2,22 bij K = 4,45.

C.14. Het gegeven Nyquistdiagram stemt niet overeen met de TF.de statische versterking is 1 i.p.v. 2.de faseverschuiving van het werkelijk systeem gaat naar -90.

C.15. Volgende figuur geeft het samengesteld Bode-diagram.


C.16. Het gesloten systeem is marginaal stabiel.Neen. De statische versterking is 2 en zou oneindig moeten zijn.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ima

g. A

s

-2,22 + j 2,22

45

K = 4,45

1

Vers

terk

ing

[dB]

Samengesteld Bode-diagram van (2)/(p)(p + 2p + 1)



Fase

[]

AM = 0 dB = 1 bij 1.00 r/s en FM = 0 bij 1.00 r/s0 , 1 1 1 0

0 , 1 1 1 0

-2 7 0-2 2 5-1 8 0-1 3 5- 9 0- 4 5

0

- 6 0- 4 0- 2 0

02 0


__________ - 34 -Johan Baeten


regeltechniek oefeningen bundel tbv et studenten

Documents