redovi_cekanja

1

TEMA 11: Redovi čekanja i slučajni procesi

Analiza redova čekanja (poznata i kao teorija redova ili teorija masovnog posluživanja) pojavila se u prvom destljeću 20. stojeća, zahvaljujući danskom matematičaru A.K.Erlangu, koji je rješavao praktične zadatke posluživanja u telefonskim centralama.Promotrimo rad jedne pomorske luke. U takvu luku pristižu brodovi iz različitih dijelova svijeta. Sve te brodove je potrebno na određeni način poslužiti (iskrcati ili ukrcati teret, opskrbiti ih gorivom ili hranom, izvršiti remont i sl.). Ovo posluživanje mora biti izvedeno na način da se postignu maksimalni ekonomski učinci. Trenutci u kojima brodovi dolaze se ne znaju unaprijed, jer na plovidbu velikih brodova djeluje niz slučajnih čimbenika, radi čega dolazi do odstupanja.Ako su približno poznate godišnje količine robe u luci koju treba iskrcati ili ukrcati, prosječna nosivost brodova, i kapacitet iskrcno-ukrsnih postrojenja u luci, postavlja se pitanje koliko pristaništa u luci treba izgraditi da bi ekonomski učinci bili najveći. Ako se izgradi manji broj pristaništa i odgovarajuća iskrcno-ukrcna postrojenja, tada će postrojenja biti maksimalno iskorištena, ali će se pojaviti gubici u čekanju brodova u luci. S druge strane, ako se izgradi prevelik broj pristaništa i postrojenja, brodovi nebi čekali, ali bi postrojenja bila u dijelu vremena neiskorištena, pa ponovo imamo gubitke. I kako i čekanje brodova i stajanje lučkih postrojenja predstavljaju gubitke, postavlja se problem određivanja optimalnog broje pristaništa u luci. Ovakvi problemi rješavaju se analizom redova čekanja.

2

Funkcionalni prikaz proizvodno-poslovnog sustava (PPS)

5Prijem, kontrola i skladištenje materijala

9Skladištenjei otprema proizvoda

4Nabavljanje materijala

6Izrada dijelova i međufazna kontrola

7Skladi-štenje polu-proizvoda

8Montaža i kontrola proizvoda

13Osiguranje kadrova

14Financi-ranjeposlovanja i razvoja 11Održavanje

tehničke osnovice proiz. sustava

3Oblikovanje proizvoda i teh. procesa

12Knjigo-vodstvo i analiza poslovanja

1Planiranjei prodaja proizvoda

dobavljači

kupci

2Planiranje i priprema proizvodnje

Mk,9

M9,8

M8,7

M8,6

M7,6M6,5

F14,o

F14,kFd,14

Fo,14

(S11,d) (S11,d)

S8,11S6,11

N1,k

Nk,1

N9,1N2,1

10Razvoj proizvoda i proizvodnje

N10,d

Nd,10

N8,2

N7,2

N6,2N5,2

N3,2

N4,2

(N14,12)

(N14,4)

(N14,12) (N14,4)

R13,o

Ri,13

I3,4

I2,8

I2,5 I2,6

I2,4

I2,7

I2,3

I3,10

I1,9(I1,3)

(I1,3)

I1,12

Nd,4I4,5I4,d

(I10,8)(I10,6)

(I10,8) (I10,6)

I12,o I1,oI10,o

I14,o

M5,dI13,i

I13,o

(N11,10)

(N11,10)

I12,5

(I12,6)

(I12,14)

(I12,13)

(I12,8)

(I12,9)

(I12,7)

(I12,11)

I12,3

I12,1

I12,10

I12,2

(I12,5)(I12,4)

(I12,13)(I12,6)

(I12,8)(I12,7)

(I12,9)(I12,11)(I12,14)

(I12,4)

U poslovno proizvodnoj organizaciji postoje materijalni tokovi, tj. tokovi kojima materijal, sirovine, dijelovi i proizvodi ulaze u organizaciju, kreću se od jednog do drugog procesa i izlaze iz organizacije. Pri tome su materijal, sirovine, dijelovi i proizvodi korisnici (klijenti) koji ulaskom u neke od procesa čekaju da bi bili obrađeni (posluženi). Procesi koji primaju ovakve klijente su 5, 6, 7, 8 i 9 na slici. Određena količina zaliha klijenata koja mora postojati u svakom od navedenih procesa, da bi se on kontinuirano provodio, predstavlja red čekanja. Iz ovog reda čekanja će klijenti (sirovine, materija, dijelovi, proizvodi) biti obrađeni procesom prema nekoj disciplini posluživanja (FIFO ili sl.). Pri tome je bitno da brzina obrade pojedinih klijenata u procesu bude veća od brzine dolazaka klijenata na obradu, jer će se u protivnom stvarati i povećavati zalihe, tj. redovi čekanja. Na isti način se mogu promatrati i svi radni nalozi koji se stvaraju tijekom proizvodnog procesa. Ljudi i strojevi izvršavaju operacije iz radnih naloga. Dakle, radni nalozi formiraju dolazni potok prema čovjeku ili stroju koji radne naloge izvršavaju (poslužuju). Ukoliko je brzina obrade radnog naloga od strane stroja ili čovjeka (poslužitelja) manja od brzine kojom radni nalozi dolaze, stvara se i povećava red čekanja radnih naloga (poslova). U tom slučaju se radni procesi ne mogu stabilizirati i doći u tzv. stacionarno stanje.U procesu 11 održavaju se alati, uređaji i strojevi (korisnici, klijenti) koji se koriste u procesu proizvodnje. Dolaskom na preventivne i korektivne preglede (posluživanje), ovi klijenti formiraju ulazne potoke koji su usmjereni prema servisnim postrojenjima (poslužitelji).

3

REDOVI ČEKANJA – osnovni pojmovi

• Analiza redova čekanja (waiting line analysis), poznata je još kao teorija redova (queuing theory), odnosno kao teorija masovnog posluživanja (theory of massservice).

• Proučava procese u kojima se, s jedne strane, razmatraju zahtjevi za nekim posluživanjem (npr. radni nalozi), a s druge strane, mogućnost zadovoljenja tih zahtjeva (npr. raspoloživi kapaciteti).

• Cilj analize redova čekanja je razrada matematičkih metoda na osnovu kojih se može ocijeniti učinkovitost funkcioniranja nekog sustava masovnog posluživanja(mass service system).

4

REDOVI ČEKANJA – osnovni pojmovi

Izvor korisnika-populacija objekata

posluživanja dolazni potoci

red čekanja poslužitelj

posluženikorisnici

• Korisnik – osoba ili stvar koja traži uslugu. • Izvor korisnika (populacija) – skup objekata (korisnika) koji

zahtijevaju posluživanje. Ovaj skup (populacija) može biti beskonačan ili konačan.

• Beskonačna populacija – podrazumijeva tako veliki broj potencijalnih korisnika da je uvijek moguće da još jedan korisnik dođe na posluživanje (npr. klijenti koji dolaze u banku, automobili koji dolaze na tehnički pregled i sl.)

• Konačna populacija – ima konačan broj potencijalnih korisnika. Moguće je da se svi korisnici nalaze ili u redu čekanja ili na posluživanju, tj. moguće je da nema niti jednog korisnika izvan sustava posluživanja (npr. preventivni pregledi strojeva jedne organizacije)

Elementi sustava redova čekanja (sustava masovnog posluživanja)

5

REDOVI ČEKANJA – osnovni pojmoviElementi sustava redova čekanja (sustava masovnog posluživanja)




posluženikorisnici

• Dolazni potoci – niz korisnika koji se pojavljuju jedan za drugim u trenutcima vremena slučajno raspoređenim u promatranom vremenskom intervalu (npr. kamioni koji dolaze po robu na skladište).

• Intenzitet dolaska (λ) – predstavlja intenzitet kojim korisnici dolaze na posluživanje. Procjenjuje se iz podataka dobivenih proučavanjem sustava posluživanja i izražava brojem korisnika u jedinici vremena.Npr. ako u prosjeku u skladište dolazi 20 kamiona svakih 10 sati, tada je intenzitet njihova dolaska 2 kamiona na sat (λ=2 h-1).

• Poissonovi potoci – najčešće korišteni dolazni potoci. Za njih vrijedi: (1) korisnici pristupaju posluživanju pojedinačno (ordinarnost) i (2) broj korisnika u jednom vremenskom intervalu ne ovisi o broju korisnika u drugom vremenskom intervalu, ako se ti intervali ne poklapaju (odsustvo posljedica).

6





posluženikorisnici

• Red čekanja - niz korisnika koji su dolaznim potokom došli na posluživanje i nalaze se u redu čekanja (npr. tri stroja koji čekaju na servis (jer su kapaciteti servisne stanice zauzeti), čine red čekanja.

• Poslužitelj – kapacitet (stroj ili čovjek) koji poslužuje korisnike (npr. blagajnik u trgovačkom centru poslužuje korisnike - kupce, stroj za montažu proizvoda poslužuje korisnike – radne naloge i sl.).

• Vrijeme posluživanja – posluživanje korisnika se izražava veličinom vrijeme posluživanja, tj. vrijeme koje je potrebno da bi se poslužio jedan korisnik. Vrijeme posluživanja je slučajna veličina i najčešće se ponaša po negativnoj eksponencijalnoj distribuciji.

• Intenzitet posluživanja (µ) – broj korisnika koje poslužitelj može poslužiti u jedinici vremena (npr. ako servisna radionica može servisirati jedan stroj za dva sata, tada je µ = ½ h-1 = 0.5 h-1).

7





posluženikorisnici

Prirodno je pretpostaviti da je intenzitet kojim se korisnici poslužuju veći od intenziteta kojim korisnici dolaze na posluživanje (µ > λ), jer u suprotnom bi se red čekanja kontinuirano povećavao i sustav posluživanja ne bi nikad došao u stacionarno (stabilno) stanje (npr. ukoliko bi intenzitet dolazaka radnih naloga za stroj za montažu bio veći od intenziteta montiranja proizvoda).

8

REDOVI ČEKANJA – osnovni pojmoviINTENZITET DOLASKA I VRIJEME POSLUŽIVANJA

• Dolazni potok korisnika najčešće se opisuje prosječnim intenzitetom dolaska (λ). Međutim, može se opisati i prosječnim vremenom između dva dolaska (Td). Tada vrijedi:

λ = 1 / Tdnpr. ukoliko je prosječno vrijeme između dva dolaska korisnika jednako 2h, tada je intenzitet dolaska jednak 1/(2h) = 0.5 h-1 (svaki sat dolazi ½korisnika)

• Poslužitelj se najčešće opisuje prosječnim vremenom posluživanja jednog korisnika (To). Tada je intenzitet posluživanja (µ) jednak:

µ = 1 / Tonpr. ukoliko je prosječno vrijeme posluživanja nekog dijela na stroju jednako 0.5 h, tada je intenzitet posluživanja jednak 1/(0.5h) = 2 h-1

(svaki sat se obrade dva dijela na stroju)

9

REDOVI ČEKANJA –disciplina posluživanja

Disciplina posluživanja – način i redosljed kojim se korisnici poslužuju. Moguće su razne discipline posluživanja:

• FIFO (First In First Out) – prvi koji je došao u red, bit će prvi i poslužen• LIFO (Last In First Out) – zadnji koji je došao u red bit će prvi poslužen• prema određenim prioritetima• slučajno

10

REDOVI ČEKANJA –dužina redova čekanja

dužina reda čekanja (Lq) – broj korisnika u redu čekanja

beskonačni red čekanja – red u kojem broj korisnika može biti bilo koji, bez gornje granice. To je načešći oblik reda čekanja (npr. zahtjevi korisnika za kupovinom proizvoda)

konačni red čekanja – broj korisnika koji se mogu naći u redu je ograničen (npr. broj kamiona koji čekaju na parkiralištu radi preuzimanja robe iz skladišta)

11

SUSTAV MASOVNOG POSLUŽIVANJA –osnovne strukture

Kanali – paralelni poslužitelji koji istovremeno poslužuju korisnike.Faze – slijedno postavljeni poslužitelji, tako da korisnici moraju proći sve poslužitelje da bi bili posluženi.Ovisno o broju kanala i faza, imamo slijedeće strukture sustava masovnog posluživanja:• Jednokanalni - jednofazni sustav (npr. servisna radionica (sustav) ima samo jedan uređaj (jedan kanal/jedna faza) za dijagnostiku strojeva (korisnici)• Višekanalni - jednofazni sustav (npr. servisna radionica s više uređaja za istu dijagnostiku (više kanala/jedna faza) strojeva)• Jednokanalni - višefazni sustav (npr. servisna radionica ima dva različita uređaja (dvije faze) za kompletnu dijagnostiku strojeva.• Višekanalni – višefazni sustav (npr. servisna radionica ima dva kompleta (dva kanala) po dva različita uređaja (dvije faze) za kompletnu dijagnostiku strojeva.

12

SUSTAV MASOVNOG POSLUŽIVANJA –osnovne strukture


jednokanalni – jednofazni sustav

red čekanja poslužitelji

jednokanalni –višefazni sustav

red čekanja

poslužitelji

višekanalni – jednofazni sustav

red čekanja

poslužitelji

višekanalni – višefazni sustav

13

SUSTAV MASOVNOG POSLUŽIVANJA –operativne značajke

Matematika koja se koristi u analizi sustava redova čekanja ne osigurava optimalno ili najbolje rješenje (kao u linearnom programiranju), već generira vrijednosti za operativne značajke sustava masovnog posluživanja. Ove značajke opisuju performanse sustava i slijedeće su:L … prosječan broj korisnika u sustavu (u redu čekanja i na

posluživanju)• Lq … prosječan broj korisnika u redu čekanja• W … prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu (čekanje i

posluživanje)• Wq … prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja• P0 … vjerojatnost da nema korisnika u sustavu• Pn … vjerojatnost da je n korisnika u sustavu• ρ … iskoristivost, tj. dio vremena u kojem je sustav u uporabiStacionarno stanje – konstantne prosječne vrijednosti karakteristika sustava, koje on postiže nakon određenog vremena

14

SUSTAV MASOVNOG POSLUŽIVANJA –jednokanalni – jednofazni sustav

Najjednostavnija arhitektura sustava masovnog posluživanja je jednokanalni – jednofazni sustav (sustav s jednim poslužiteljem).

Pretpostavke za korištenje modela ovog sustava su slijedeće:• Poissonovi dolazni potoci korisnika• Eksponencijalna distribucija vremena posluživanja• FIFO disciplina posluživanja• Beskonačna dužina reda• Beskonačna populacija korisnika

15


osnovne operativne značajke

λ - prosječan intenzitet dolaska korisnikaµ - prosječan intenzitet posluživanjan – broj korisnika u sustavu masovnog posluživanja

−=µλ10P … vjerojatnost da nema korisnika u sustavu

−⋅

=⋅

=

µλ

µλ

µλ 10

nn

n PP … vjerojatnost da ima točno n korisnika u sustavu

λµλ−

=L … prosječan broj korisnika u sustavu

( )λµµλ−⋅

=2

qL … prosječan broj korisnika u redu čekanja

16


osnovne operativne značajke

λ - prosječan intenzitet dolaska korisnikaµ - prosječan intenzitet posluživanjan – broj korisnika u sustavu masovnog posluživanja

λλµLW =

−=

1 … prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu

( )λµµλ−⋅

=qW … prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja

µλρ = … vjerojatnost da je poslužitelj zauzet i da korisnik mora čekati

(faktor iskorištenja)

011 PI =−=−=µλρ … vjerojatnost da je poslužitelj slobodan

(ujedno i vjerojatnost da nema korisnika u sustavu)

17

JEDNOKANALNI – JEDNOFAZNI SUSTAVprimjer

Dijelovi A se pripremaju prije montaže proizvoda. Dijelove priprema stroj. Priprema dijela A na stroju traje u prosjeku 2 minute. Dijelovi A dolaze na pripremu u obliku Poisson-ovog potoka s prosječnim intenzitetom dolaska λ = 24 dijala na sat (24 h-1). Odredi operativne značajke sustava posluživanja. Da li sustav dolazi u stacionarno stanje?Rješenje:Kako je vrijeme opsuživanja (pripreme) dijela A jednako 2 min, tada je intenzitet posluživanja µ = 1/ (2 min) = 30 h-1. Kako je λ<µ, sustav će doći u stacionarno stanje.Sada računamo operativne karakteristike prema izrazima.

−=µλ10P = 0.2 … vjerojatnost da nema dijelova A na pripremi

λµλ−

=L = 4 … prosječan broj dijelova A koji su na pripremi za montažu

18

JEDNOKANALNI – JEDNOFAZNI SUSTAVprimjer

( )λµµλ−⋅

=2

qL = 3.2 … prosječan broj dijelova A u redu čekanja na uređaj za pripremu

λλµLW =

−=

1 = 0.167 h = 10 min … prosječno vrijeme koje dio Aprovodi u sustavu za pripremu

( )λµµλ−⋅

=qW = 0.133 h =8 min … prosječno vrijeme koje dio Aprovede u redu čekanja na pripremu

µλρ = = 0.8 … vjerojatnost da je stroj za pripremu dijelova A zauzet

(faktor iskorištenja)

01 PI =−= ρ = 0.2 … vjerojatnost da je stroj za pripremu dijelova Aslobodan i može odmah prihvatiti dio koji dođe

19

SUSTAV MASOVNOG POSLUŽIVANJA –troškovi sustava

Troškove u sustavu masovnog posluživanja čine:• troškovi posluživanja – ovi troškovi rastu s kvalitetom (razinom) usluge posluživanja. Da bi korisnici što manje čekali u redu (viša razina usluge), moraju se nabaviti dodatni poslužitelji ili čak poboljšati postojeći poslužitelji, što povećava troškove posluživanja.• troškovi čekanja u redu – ukoliko su korisnici ljudi koji dugo čekaju u redu na određenu uslugu (niža razina usluge), napustit će red čekanja, što za sustav predstavlja trošak. Ukoliko su korisnici strojevi koji dugo čekaju na servis (niža razina usluge), proces koji koristi strojeve dugo se ne izvršava, što povećava trošak proizvodnje.

Razina usluge

Očekivani troškovi

ukupni troškovi

troškovi posluživanja

troškovi čekanja

20

JEDNOKANALNI – JEDNOFAZNI SUSTAVprimjeri za vježbe

1. Servisna stanica vrši preventivne preglede kamiona. Postoji samojedna servisna linija za preventivni pregled. Ovaj pregled se odvija u dvije faze. Prva traje 2 h, a druga 3h. Nakon završetka prve faze, odmah se nastavlja druga faza. Novi kamion se prima na pregled tek kad je servisna linija u potpunosti slobodna. Srednje vrijeme između dva dolaska kaminona na pregled u servisnu stanicu je 10 h. Odredi operativne značajke sustava posluživanja. Da li sustav dolazi u stacionarno stanje?

2. Radnik vrši kontrolu kvalitete gotovih proizvoda. Da bi se kontrolirao jedan proizvod potrebno je 30 min. Proizvodi dolaze na kontrolu Poisson-ovim potokom prosječnim intenzitetom od 3 proizvoda na sat. Da li će sustav doći u stacionarno stanje? Ukoliko da, odredite operativne značajke sustava. Ukoliko ne, što treba napraviti da bi sustav došao u stacionarno stanje?

redovi_cekanja

Documents