2.Complejidadenalgoritmositerativosyrecursivos

60

Reglaspracticasparaelcalculodelaeficiencia

Asignacion,operacioneselementalesdeE/Syaritmeticas(paradatosno

estructurados):tiempoconstante❀O(1)

Composicionsecuencialdeinstrucciones:I1����

f1(n)

;I2����

f2(n)

Regladelasuma:O(f1(n)+f2(n))=O(max(f1(n),f2(n)))

Condicionales(casopeor):ifC����fC(n)

I1����

f1(n)

elseI2����

f2(n)

LacomplejidadenelcasopeoresO(max(fC(n),f1(n),f2(n)))

61

Bucles:while(C����fC(n)

)I ����fI(n)

Tiempodeejecuciondeunavuelta:fC(n)+fI(n).Porlaregladelasuma,si

f(n)=max(fC(n),fI(n)),entoncesO(fC(n)+fI(n))=O(f(n))

•Sielnumerodevueltasenelpeorcasoesg(n),entonceslacomplejidaddel

bucleestaraenO(f(n)·g(n))

•Sielcostedecadaiteracionvarıamuchodeunasaotrassepuedehacerun

analisismasfinoconunsumatoriode1ag(n)deloscostesindividualesde

cadavuelta.

Recursion...masadelante.

62

Ejemplo:ordenacionporseleccion

Idea:buscarelmenoryponerloelprimero;buscarelsiguientemenorycolocarlo

elsegundo;...

voidseleccion(intv[],intn){

inti,j,tmp,min;

for(i=0;i<n;i++){//inv:elsubarray0..i-1estaordenado

min=i;

for(j=i+1;j<n;j++)//buscamoselmenordelosrestantes

if(v[j]<=v[min])min=j;

tmp=v[min];//lointercambiamosporeli-esimo

v[min]=v[i];

v[i]=tmp;}

}

seleccionnoesmuysensiblealorden:lacomprobacionv[j]<=v[min]sehace

elmismonumerodevecesencualquiercaso.Lasvariacionesdetiemposolo

sedebenaasignacionesdentrodelcondicional❀nooscilamasdeun15%63

Tiemposdeejecucionconstantesparaoperacionesbasicas(intruccionessimples):

asignacion:cacomparacion:ccincremento:ci

for(i=0;i<n;i++){ca+�n

i=0cc+�n−1

i=0ci

min=i;�n−1

i=0ca

for(j=i+1;j<n;j++)�n−1

i=0(ca+�n

j=i+1cc+�n−1

j=i+1ci)

if(v[j]<=v[min])�n−1

i=0

�n−1j=i+1cc

min=j;�n−1

i=0

�n−1j=i+1ca(*)

tmp=v[min];�n−1

i=0ca

v[min]=v[i];�n−1

i=0ca

v[i]=tmp;}�n−1

i=0ca

En(*)estamossuponiendoquelacondicionsiempreescierta❀peorcaso

64

tA(x)salecomoresultadodesumarcadaunodeloscostesanteriores...difıcilde

manejar.Hagamosalgunassimplificaciones:

Podemossuponerquelasoperacionesdecosteconstanteestanacotadaspor

1(siemprepuedehacerseeligiendoadecuadamentelaunidaddetiempo):

ca=cc=ci=1

Entoncessumandoloscostesobtendrıamosalgodelestilo:

tA(x)=a·n2

+b·n+c

Esdecir,lacomplejidadvienedadaporunpolinomiodesegundogrado❀

O(n2).

Enelcasomedio,elcostedelaasignacionmin=jhabrıaqueponderarlode

acuerdoalaprobabilidaddequefueseciertalacondiciondelif.Noobstante,

comolacondicionseevalua,lacomplejidadsiguesiendodelordenden2.

Estealgoritmoesdelordenden2

encualquiercaso:noessensiblealorden.

65

Engeneral,noesnecesariohacerunanalisistandetallado:podemosfijarnos

enlaoperacionbasicaquemasserepiteuoperacioncaracterıstica.Eneste

casoseraelif(lacondicionasociada)queestadentrodedosfor(obien,si

asumimoselpeorcasoconsideramoslaasignaciondelifmin=j)

Deacuerdoconloanteriortendrıamos:

tA(x)≈

n−1 �

i=0

n−1 �

j=i+1

1=

n−1 �

i=0

(n−i−1)=

n−1 �

i=0

i=(n−1)·n

2

Esdecir,laoperacioncaracterısticaserealizara(n−1)·n

2veces❀O(n2)

Haciendoelmismoanalisisconinsercionpuedeverselacomplejidadoscila

entreO(n)(mejorcaso)yO(n2)(peorcaso).

66

Otroejemplo:funcionquedeterminasiunamatrizcuadradaessimetrica:

intconstn=10;

typedefintTMatriz[n][n];

boolsimetrica(TMatrizm){

boolb;

inti,j;

b=true;

for(i=1;i<n;i++)

for(j=0;j<i;j++)

b=b&&(m[i][j]==m[j][i]);

returnb;

}

67

Calculemost(x)(siendoxmatrizn×n):

tomamosncomotamanodelosdatos(yaquelamatrizescuadrada).

suponemosqueelcostedelasasignaciones,evaluaciondecondicionesy

accesoavectorestienencosteO(1).AdemasO(1+1)=O(1):la

combinacionsecuencialdeestasinstruccionesesdecomplejidadO(1)

enestecasolaoperacioncaracterısticaesb=b&&(m[i][j]==m[j][i]);que

esdecomplejidadconstanteO(1).

veamoselnumerodevecesqueserepite:

for(i=1;i<n;i++)

for(j=0;j<i;j++)...

t(x)=n−1 �

i=1

i−1 �

j=0

1=n−1 �

i=1

i=n·(n−1)

2≈a·n

2+b·n+c

LacomplejidaddelalgoritmoesO(n2)(t(x)∈O(n

2))

68

enestecasot(x)∈Θ(n2)yporsupuestot(x)∈Ω(n

2),esdecir,parauntamano

delamatriznsuficientementegrande,existealmenosuncasoenelqueel

algoritmoconsumirauntiempodelordenden2.

...¿podrıamosmejorarelalgoritmo?

Observesequesilamatriznoessimetricaencuantoseencuentraalgunpar(i,j)

talquem[i][j]�=m[j][i],elalgoritmopuedeterminardevolviendoelvalorfalse.

69

Otraversiondesimetrica:

boolsimetrica2(TMatrizm){

boolb;

inti,j;

b=true;i=1;

while((i<n)&&b){

j=0;

while((j<i)&&b){

b=m[i][j]==m[j][i];

j++;}

i++;

}

returnb;

}

70

Lasaccionescaracterısticassonlasinstruccionesmasinternas

b=m[i][j]==m[j][i];yj++;

Enelpeorcasoserealizanelmismonumerodevecesqueantes❀O(n2)

Sinembargo,enprincipioespreferiblelasegundaversionporqueenelpeor

casotienelamismacomplejidadquelaprimeray“haycasosenlosquees

maseficiente”(paraestudiarelcasopromedioendetallehabrıaqueconocer

algunaestimaciondelaprobabilidadconquesepresentacadamatriz).

71

Ejemplo:busquedabinaria.

Supongamosvvectorordenadodeenterosdetamanonyeunentero.

//buscaelelto.eentrelasnprimerasposicionesdev

boolbusqBin(intv[],intn,inte){

intini,fin,med;

boolenc;

ini=0;fin=n-1;enc=false;//iniyfindelimitanunsubarray

while((!enc)&&(ini<=fin)){//v[k]<ep.tk<ini

med=(ini+fin)/2;//v[k]>ep.tk>fin

if(e<v[med])fin=med-1;//sieesmenorbuscamosalaizda

elseif(e>v[med])ini=med+1;//siesmayoraladcha

elseenc=true;

}

returnenc;

}

72

Razonamientointuitivo(einformal):

lasoperacionescaracterısticassonlasqueseejecutandentrodelbucle,que

tienencosteconstanteO(1)

tamanodelproblema=dimensiondelarray(inicialmenten=fin−ini+1)

casopeor:enoestaenelarray❀elbucleseejecutahastaqueini>fin

enlaprimeravueltadelbuclelabusquedasereduceaunsubarraydela

mitaddetamanon/2(divisionentera)

enlasegundavueltaelsubarrayquedaradetamanon/4...

enlavueltak-esimaeltamanodelsubarrayseran/2k

¿cuantasvueltassenecesitanparaterminar?

hastaqueelsubarraysea“vacıo”,esdecir,tengadimension0

Entoncesbuscamoselmenork∈INtalquen/2k<1(divisionentera).

Despejandotenemosk>log2(n).Entoncesserak=[log2(n)]+1(dandoun

numerodevueltasdelordendelog2(n)acabaelbucle).

Luego,lacomplejidadesO(log2(n))=O(log(n))73

¿ysihacemosbusqueda“trinaria”?❀partiren3envezde2

boolbusqTrin(intv[],intN,inte){

intini,fin,t1,t2;

boolenc;

ini=0;fin=N-1;enc=false;

while((!enc)&&(ini<=fin)){

t1=(2*ini+fin)/3;

if(e<v[t1])fin=t1-1;

elseif(e>v[t1]){

t2=(ini+2*fin)/3;

if(e<v[t2]){ini=t1+1;fin=t2-1;}

elseif(e>v[t2])ini=t2+1;

elseenc=true;

}

elseenc=true;

}

returnenc;

}

tendrıamosO(log3(n))=O(log2(n))=O(log(n))

74

Multiplicaciondenumerossinutilizarlapredefinida“*”

Idea:x∗y=x+x+...+x����

yveces

intmultiplica1(intx,inty){

intp=0;

while(y>0){

p=p+x;

y--;

}

returnp;

}

Podemostomarn=ycomotamanodelproblemayelcuerpodelbuclecomo

instruccionescaracterısticas.Esfacilverqueelbucleserepitenveces,porlo

tantot(n)∈O(n)

75

Ideaparamejorarelalgoritmo:porejemplo,multiplicar5por6eslomismoque

multiplicar10(=5∗2)por3(=6/2).Engeneral,multiplicarxpor2yeslo

mismoquemultiplicar2xpory...ysehareducidoeltamanodelprobleman=y

alamitadcondosinstruccionessimples(O(1))!!!

intmultiplica2(intx,inty){

intp=0;

while(y>0){

if((y%2)==0){x=x+x;y=y/2;}

else{p=p+x;y--;}

}

returnp;

}

76

¿Quecomplejidadtendraestanuevaversion?

Eltamanodelprobleman=ysereducealamitadenalgunasiteraciones

(cuandoyespar)yenotrassedecrementaenunaunidad(cuandoesimpar)....

pero,dehechocuandoyesimparloqueocurreesquesereduceen1enla

primeraiteracionyalamitadenlasiguiente(ademascadaiteraciontienecoste

constante).

Enelpeordeloscasosparareducireltamanodelproblemaalamitad

necesitamosdositeracionesconsecutivasdelbucle(cadaunadetiempo

constante).Deestemodoeltamanodelproblemairıatomandolosvaloresn,

n/2,n/4,...,n/2k,...,1.

Analogoalabusquedabinaria...¿tendremostambienenestecaso

t(n)∈O(log(n))?

77

Formalizandolasideasanteriores:

Sinespareltiempodeejecucioneselcorrespondienteaunavueltadel

bucle(detiempoconstante)+eltiempodeejecuciondeunproblemade

tamanon/2:

t(n)=1+t(n/2)

Sinesimpareltiempodeejecucionvienedadoporelinvertidoendardos

vueltasalbucle(detiempoconstante)+eltiempodeejecuciondeun

problemadetamano(n−1)/2queeslomismoquen/2(divisionentera):

t(n)=2+t(n/2)

Entoncest(n)≤2+t(n/2)conindependenciadelaparidadden,luego:

t(n)≤2+t(n/2)≤2+2+t(n/4)≤2+2+...+2����

k

=2k

siendokelmenornaturaltalquen/2k

=0donde/representaenestecaso

divisionentera⇒2k>n⇒k>log2(n).Podemostomark=[log2(n)]+1

Luegot(n)≤2·(log2(n)+1)⇒t(n)∈O(log(n))78

Algoritmosrecursivos

79

Larecursionaparecedeformanaturalenprogramacion,tantoenla

definiciondetiposdedatos(comoveremosentemasposteriores)comoenel

disenodealgoritmos.

Haylenguajes(funcionalesylogicos)enlosquenohayiteracion(nohay

bucles),solohayrecursion.Ennuestrocaso,enC++tenemoslaopcionde

elegirentreiteracionyrecursion.

Treselementosbasicosenlarecursion:

Autoinvocacion:elprocesosellamaasımismo.

Combinacion:losresultadosdelallamadaprecedentesonutilizadospara

obtenerunasolucion,posiblementecombinadosconotrosdatos.

Casodirecto:elprocesodeautoinvocacioneventualmentealcanzauna

soluciondirecta(sininvocarseasımismo)alproblema.

Intuitivamente:elprocesoseinvocaasımismocondatoscadavezmassimples

hastaquesontansimplesquelasolucionesinmediata.

80

Ejemplo:factorial

intfactorial(intn){//Pre:n>=0

intr;

if(n==0)r=1;

elser=n*factorial(n-1);//(n>0)

returnr;//Post:r=n!

}

Autoinvocacion:lafuncionfactorialseinvocaasımisma

Combinacion:lasolucionaunallamadafactorial(n)(n>0)seobtiene

multiplicandoeldatonporelresultadodelallamadarecursiva

Casodirecto:n=0

81

¿Comoseejecutafactorial(3)?

factorial(3)

3*factorial(2)

2*factorial(1)

1*factorial(0)

1

1

1

2

6

6

82

¿Queocurreenmemoria?

prog ppalfactorial(2)factorial(1)

.....

..........

.....

.....

...............

..... .....

mmmmm

factorial(m)

33333

n

r

nnn

n’

rrr

n’’

n’’’

n’ n’

r’r’r’

r’’

r’’’

factorial(0)

3333

222

1 1

0

n’’

r’’

de activacionRegistros

83

prog ppalfactorial(2)factorial(1)

.....

..........

.....

.....

...............

..... .....

mmmmm

factorial(m)

33333

n

r

nnn

n’

rrr

n’’

n’’’

n’ n’

r’r’r’

r’’

r’’’

factorial(0)

3333

222

1 1

0

n’’

r’’

1

1

2

6

84

Recursionsimple(olineal)

Cadacasorecursivorealizaexactamenteunallamadarecursiva.Elnumerodellamadas

recursivasdependelinealmentedeltamanodelosdatos.Esquema(procedimental):

void<nombreProc>(τxx����

entrada

,τy&y����

salida

){

τxx1;τyy1;...//variableslocales

if(d(x))//d(x)≡xcasodirecto

y=g(x);//g(x)≡solucionalcasodirecto

else{//if(¬(d(x)))

x1=s(x);//s(x)≡funcionsucesor:descomposiciondedatos

<nombreProc>(x1,y1);//llamadarecursiva

y=c(x,y1);//c(x,y1)≡funciondecombinacion

}

}

85

Lafuncionfactorialseajustaaesteesquema.Vistacomoprocedimiento:

voidfactorial(intn,int&r){//Pre:n>=0

intn1,r1;

if(n==0)r=1;

else{//(n>0)

n1=n-1;

factorial(n1,r1);

r=n*r1;//Post:r=n!

}

}

Casodirecto:d(n)=(n==0)

Resultadodelcasodirecto:g(n)=1

Funcionsucesor:s(n)=n−1

Funciondecombinacion:c(n,r1)=n∗r1

86

Ejemplo:multiplicacionporelmetododelcampesinoegipcio.

voidmultiplica(intn,intm,int&r){//Pre:n>=0,m>=0

intn1,m1,r1;

if(m==0)r=0;

elseif(m==1)r=n;

elseif((m%2)==0){//m>1ypar

n1=n+n;m1=m/2;

multiplica(n1,m1,r1);

r=r1;

}

else{//m>1eimpar

n1=n+n;m1=m/2;

multiplica(n1,m1,r1);

r=n+r1;

}

}//Post:r=n*m

87

Seajustaalesquemaderecursionsimple:

Casodirecto:d(n,m����

x

)=(m==0)∨(m==1)

Resultadodelcasodirecto:g(n,m����

x

)=

0sim=0nsim=1(⊥e.o.c.)

Funcionsucesoryfunciondecombinacion:aparentementehaydosllamadas

recursivas,peroesfacilobservarquesoloserealizaraunadeellasporque

tienencondicionesexcluyentes(yexhaustivas).Tenemos:

s(n,m����

x

)=(2∗n,m/2)c(n,m����

x

,r1 ����

y1

)=

�

r1simesparr1+nsimesimpar

88

Elesquemaderecursionsimplepuedeampliarseconsiderandovarioscasos

directosytambienvariasdescomposicionesparaelcasorecursivo.Loimportante

esquelasalternativasseanexhaustivasyexcluyentes,yqueencadacasosolose

ejecuteunallamadarecursiva.

if(d1(x))y=g1(x);

...

elseif(dn(x))y=gn(x);

elseif(r1(x)){x1=s1(x);<nombreProc>(x1,y1);y=c1(x,y1);}

...

elseif(rm(x)){xm=sm(x);<nombreProc>(xm,y1);y=cm(x,y1);}

else{xm+1=sm+1(x);<nombreProc>(xm+1,y1);y=cm+1(x,y1);}

Asıenelejemplodelamultiplicaciontendrıamos:

Casosdirectos:d1(n,m)=(m==0)yd2(n,m)=(m==1)

Resultadosdeloscasosdirectos:g1(n,m)=0yg2(n,m)=n

Funcionesdeselecciondelcasorecursivo:r1(n,m)=((m%2)==0)

Funcionesdedescomposicion:s1(n,m)=s2(n,m)=(2∗n,m/2)

Funcionesdecombinacion:c1(n,m,r1)=r1yc2(n,m,r1)=r1+n89

Recursionfinalodecola

Casoespecialdelarecursionsimpledondelafunciondecombinacionse

limitaatransmitirelresultadodelallamadarecursiva,esdecir,c(x,y1)=y1❀puedereemplazarsey1poryenlallamadarecursivayası:

•Lallamadarecursivaesloultimoquesehace(poresosellamafinal)

•Elresultadoesobtenidodealgunodeloscasosdirectos.

Ejemplo:algoritmodeEuclides:

voidmcd(intn,intm,int&r){//Pre:n,m>=0

intr1,t;

//casodirecto:d(n,m)=(m==0);

if(m==0)r=n;//resultadoc.d.:g(n,0)=n

else{//m>0

t=m;m=n%m;n=t;//s(n,m)=(m,n%m)

mcd(n,m,r1);//llamadarecursiva

r=r1;//c(n,m,r1)=r1

}

}//Post:r=mcd(n,m)90

Trazadeunaejecucionparalallamadamcd(12,20)

nodellamadanm

11220

22012

3128

484

540

Notesequelafunciondecombinacionselimitaadevolverelresultadodela

llamadarecursiva.Podemosrehacerelcodigo:

mcd(n,m,r1);r=r1;

�

❀mcd(n,m,r);

conloquetenemosrecursionfinal:lallamadaesloultimoquesehaceyel

resultadosaldradealguncasobasico.

Larecursionfinalpuedetransformarsefacilyeficientementeeniteracion.91

Recursionmultiple

Almenosuncasorecursivorealizamasunallamadarecursiva.Esquema:

void<nombreProc>(τxx����

entrada

,τy&y����

salida

){

τxx1,...,xk;τyy1,...,yk;...//variableslocales

if(d(x))//d(x)≡xescasodirecto

y=g(x);//g(x)≡solucionalcasodirecto

else{//if(¬(d(x)))

x1=s1(x);//s1(x)❀descomposiciondedatos

<nombreProc>(x1,y1);//llamadarecursiva1

x2=s2(x);//s2(x)❀descomposiciondedatos

<nombreProc>(x2,y2);//llamadarecursiva2...xk=sk(x);//sk(x)❀descomposiciondedatos

<nombreProc>(xk,yk);//llamadarecursivak

y=c(x,y1,...,yk);//c(...)≡funciondecombinacion

}

}92

Ejemplo:numerosdeFibonacci

voidfib(intn,int&r){//Pre:n>=0

intn1,n2;intr1,r2;

if(n==0||n==1)r=1;

else{

n1=n-1;

fib(n1,r1);

n2=n-2;

fib(n2,r2);

r=r1+r2;

}//Post:r=fib(n)

}

casosdirectos:d(n)=(n==0)∨(n==1);g(0)=g(1)=1

funcionessucesor:s1(n)=n−1;s2(n)=n−2

funciondecombinacion:c(n,r1,r2)=r1+r2

Comoanteselesquemaesgeneralizableconvarioscasosdirectosyvarios

recursivos.93

Hemosaplicadodirectamenteladefinicionsiguiente:

fib(n)=

1sin=0on=1

fib(n−2)+fib(n−1)e.o.c

fib(4)

fib(2)fib(3)

fib(0)fib(1)fib(1)fib(2)

fib(0)fib(1)1 1

1+1=2 1

2+1=3

1 1

1+1=2

2+3=5

Observacion:estecomputorepiteevaluaciones(p.e.fib(2)seevalua2veces).

94

Resumendeideas:Clasificaciondelostiposderecursividad:

SIMPLE(exactamenteunallamadarecursivaencadacasorecursivo)

•FINAL(norequierecombinacionderesultados)

•NOFINAL(requierecombinacionderesultados)

MULTIPLE(masdeunallamadarecursivaenalgunodeloscasosrecursivos)

95

Disenodealgoritmosrecursivos

Metodologıadeldisenodealgoritmosrecursivos:

Buscarunplanteamientorecursivodelproblema(describirlasoluciondel

mismoenformarecursiva).

Hacerunanalisisdecasosparadeterminarloscasosdirectosdi(x)yloscasos

recursivosrj(x)demodoquelasalternativasseanexhaustivasymutuamente

excluyentes(deacuerdoconelesquemapropuestolaexclusionestagarantizadaen

elcodigo).

Determinarlassolucionesparaloscasosdirectosgi(x)yladescomposicion

recursivasj(x).

•Ladescomposicionrecursivadebepermitirhacerlasllamadasrecursivas,i.e.,

quetienensentidolasllamadas<nombreProc>(si(x),yi);

•Funciondeacotacionyterminacion(compl):lasfuncionessucesordeben

garantizarlaterminaciondelarecursion:“lacomplejidaddelproblemadebe

reducirseencadallamadarecursiva”:compl(si(x))<compl(x)

Definirlasfuncionesdecombinacionci(x,yi)96

Funcionesdeacotacionyterminacion

Enfactorialpodemosdefinircompl(n)=n(paraelcasodirectotenemos

compl(0)=0)ycomos(n)=n−1,tenemoscompl(s(n))<compl(n)

Enmultiplicadefinimoscompl(n,m)=m(paraloscasosdirectos

compl(n,0)=0ycompl(n,1)=1)ycomos(n,m)=(2∗n,m/2)tenemos

compl(s(n,m))=compl(2∗n,m/2)=m/2<m=compl(n,m)

Enfibdefinimoscompl(n)=n(paraloscasosdirectoscompl(0)=0y

compl(1)=1);tenemoss1(n)=n−1ys2(n)=n−2.Entonces

compl(s1(n))=compl(n−1)=n−1<n=compl(n)y

compl(s2(n))=compl(n−2)=n−2<n=compl(n).

Enestecasoesinteresanteobservarqueladescomposicionrecursivapermite

hacerlasllamadasrecursivas:

(Pre:n≥0)∧¬(d(n))⇒s1(n)≥0,s2(n)≥0

¿Quefunciondeacotacionpodemostomarparamcd?.Notesequelallamada

mcd(12,20)producelallamadarecursivamcd(20,12)...enquesentido

disminuyelacomplejidad?97

Idea:elalgoritmoprimeroordenaelpar(n,m)demodoquen>mylafuncion

sucesorhaces(n,m)=(m,n%m)...entonceselsegundoelementodelparsiempre

disminuyedetamano!!(esfacilverquen%m<m).

Definimoscompl(n,m)=mytenemos:

compl(s(n,m))=compl(m,n%m)=n%m<m=compl(n,m)

(elcasodirectoescuandom=0yporloqueacabamosdevereventualmentese

alcanzaraunpardelaforma(n,0))

98

Ejemplo:disenodeunafuncionrecursivaquecalcule�n

i=02i:

buscamosunprocedimientosumaDoble(n,r)querecibancomoentraday

calculer=�n

i=02i.Planteamientorecursivo�n

i=02i=�n−1

i=02i+2n❀la

llamadarecursivaseharaconentradan−1

analisisdecasos:

•casodirecto:d(n)=(n==0);g(n)=0

•casorecursivo(n>0):

◦descomposicionrecursiva:s(n)=n−1.Permitehacerlallamada

sumaDoble(s(n),r1)ydefiniendocompl(n)=ntenemosterminacion

asegurada)

◦funciondecombinacion:c(n,r1)=r1+2n

99

Contodoellolaimplementacionresultasencilla(ysegura):

voidsumaDoble(intn,int&r){//Pre:n>=0

intn1,r1;

if(n==0)r=0;

else{

n1=n-1;

sumaDoble(n1,r1);

r=r1+2*n;

}

}//Post:r=sum(i=0..n)2*i

Naturalmenteestecodigosepuedemejorar:

intsumaDoble(intn){

if(n==0)return0;

elsereturn(2*n+sumaDoble(n-1));

}

100

Busquedabinariarecursiva:dadounvectordeenterosvordenadodemenora

mayor-puedecontenerrepeticiones-yunenteroe,decidirsieapareceenv.

Idea:calcularlaposicionmediamdelvectorv;comparareconelelemento

dedichaposicionv[m]:sie<v[m]buscarenlamitadizquierda;sie>v[m]

buscarenlamitadderecha;ysie=v[m],entoncesyalohemosencontradoy

acabaelproceso.

Elplanteamientorecursivoparececlaro.Elprototiposerıa:

voidbuscaBin(intv[],intn,inte,bool&esta)

...¿queaspectotendrıaunallamadarecursiva?,esdecir,¿comoseindicala

busquedaenlamitadizda.oenladecha.?.

Hayquedelimitarenvelsubarraydondeseharalabusqueda❀ındicesini

yfin,quemarcanelinicioyelfinaldedichosubarray.Generalizamosel

procedimientodelmodosiguiente:

voidbuscaBin(intv[],intn,inte,intini,intfin,bool&esta)

buscaeleltoeenelsubarraydevdelimitadoporiniyfin;devuelveenestael

resultadodelabusqueda.101

Analisisdecasos:alavistadelplanteamientoanterior,simeslaposicion

mediahaytrescasos:

•e<v[m]:buscaralaizda.,esdecir,entreiniym−1(noseincluyela

posicionmenlasiguientebusqueda).

•e>v[m]:buscaraladcha.,entrem+1yfin(mquedaexcluido).

•e=v[m]:acabalabusqueda

Losındicesiniyfinvanaproximandoseencadallamadahastaque:

•seencuentraelelto:e=v[m],obien,

•iniyfinse“cruzan”(ini>fin):p.e.sie=18,ini=7yfin=8y

tenemos:

6

...

7

17

8

36

9

...

seram=7,enlasiguientevuelta:ini=fin=8.Yenlasiguienteini=8

yfin=7:sehancruzado.

102

Tenemosdoscasosbasicos(asumimos:med=(ini+fin)/2)

•d1(v,n,e,ini,fin)=(v[med]==e),g1(v,n,e,ini,fin)=true

•d2(v,n,e,ini,fin)=(ini>fin),g2(v,n,e,ini,fin)=false

Casosrecursivos(sedaporsentadov[med]!=eyini≤fin):

•r1(v,n,e,ini,fin)=(e<v[med]),s1(v,n,e,ini,fin)=(v,n,e,ini,med−1).

LlamadarecursivabuscaBin(v,n,e,ini,med-1,r).Funciondecombinacion

c1(v,n,e,ini,fin,r)=r

•r2(v,n,e,ini,fin)=(e>v[med]),s2(v,n,e,ini,fin)=(v,n,e,med+1,fin).

LlamadarecursivabuscaBin(v,n,e,med+1,fin,r).Funciondecombinacion

c2(v,n,e,ini,fin,r)=r

Alavistadelasfuncionesdecombinacion,elprocedimientoadmiterecursion

final.Notesequelasllamadasrecursivasefectivamentepuedenrealizarse.

103

Funciondeacotacionyterminacion:podemosdefinir

compl(v,n,e,ini,fin)=fin−ini+1ytenemos:

•compl(s1(v,n,e,ini,fin))=comp(v,n,e,ini,med−1)=med−1−ini+1=

med−ini≤����

med≤fin

fin−ini<fin−ini+1=compl(v,n,e,ini,fin)

•compl(s2(v,n,e,ini,fin))=comp(v,n,e,med+1,fin)=fin−(med+1)+1=

fin−med≤����

ini≤med

fin−ini<fin−ini+1=compl(v,n,e,ini,fin)

104

Finalmenteelcodigopodrıaquedardeestemodo:

voidbuscaBin(intv[],intn,inte,intini,intfin,bool&esta){

intmed;

if(ini>fin)esta=false;

else{

med=(ini+fin)/2;

if(e<v[med])buscaBin(v,n,e,ini,med-1,esta);

elseif(e>v[med])buscaBin(v,n,e,med+1,fin,esta);

elseesta=true;

}

}

esfaciltransformarloenunafuncionquedevuelvaciertoofalso.

C++admitesobrecargadefuncionesysepodrıaimplementarunafuncion

delmismonombrequesolorecibaelvector,eltamanoyelelementoabuscar:

boolbuscaBin(intv[],intn,inte){

returnbuscaBin(v,n,e,0,n-1);

}105

Ecuacionesrecurrentes

lacomplejidaddemuchosalgoritmosrecursivosynorecursivos(vease

ejemplodemultiplicaciondelapag.76)vieneexpresadaamenudomediante

ecuacionesrecurrentes,esdecir,lafunciont(n)esrecursiva(apareceensu

mismadefinicion).

Ejemplos:

Factorialcomoprocedimiento(pg.86):

•casodirecto:condicion+asignacion❀constante

•rec:condicion+resta+asignacion+t(n−1)+multiplicacion+asignacion❀

constante+t(n−1)

t(n)=

�

1sin=01+t(n−1)e.o.c.

Multiplicacion(pag.87):t(m)=

�

1sim=0om=11+t(m/2)e.o.c.

Fibonacci(pag.93):t(n)=

�

1sin=0on=11+t(n−1)+t(n−2)e.o.c.

106

Desplieguederecurrencias

Hemosexpresadot(n)comoecuacionrecursiva,peronecesitamosunaformulano

recurrenteparadeterminarelordendecomplejidad.Estaformulanoessiempre

sencilladeobtener,peroenmuchoscasospuedeprocedersepordesplegado:

desplegarlarecurrencia,i.e.,reemplazart(n)enlaecuacionporsuvalor,las

vecesqueseanecesariohastaencontrarunaformuladependientedelnumero

kdellamadasrecursivas.Determinandoelvalordekquepermitealcanzar

uncasodirectoseobtieneunaformulanorecursivaparat(n).

enalgunoscasoslaobtenciondelaformulaexactanoesevidenteypara

demostrarlacorrecciondelamismapuedesernecesariohaceruna

demostracionporinduccion.

paraobtenercotassuperiores,i.e.,paraprobart(n)∈O(f(n))podemos

acotarsuperiormentet(n)confuncionesmascomodasdemanejar.

107

Ejemplos:

paraelfactorialtenemos:

t(n)=1+t(n−1)=1+1+t(n−2)=1+1+1+t(n−3)=k+t(n−k)

Paraalcanzarelcasodirecto,debeserk=n,luego

t(n)=n+t(0)=n+1❀t(n)∈O(n)

paralamultiplicacion(/divisionentera):

t(m)=1+t(m/2)=1+1+t(m/4)=1+1+1+t(m/23)=k+t(m/2

k)

Elcasodirectosealcanzacuandom/2k

=1,i.e.,k=log2(m).Luego

t(m)=log2(m)+t(1)=log2(m)+1∈O(log(m))

parafibonacci,desplegando:

t(n)=1+t(n−1)+t(n−2)=1+1+t(n−2)+t(n−3)+1+t(n−3)+t(n−4)=

3+t(n−2)+2·t(n−3)+t(n−4)=...

noobtenemosunaformulasencillaparalaecuacionexplıcita.Peroqueremos

acotar...utilizamoselhechot(n−2)≤t(n−1);entoncesparalaecuacionde

recurrenciaobtenemost(n)≤1+2·t(n−1).

108

Despleguemosahora:

t(n)≤1+2·t(n−1)≤3+4·t(n−2)≤7+23·t(n−3)≤15+2

4·t(n−4)≤...

¿...≤2k−1+2

k·t(n−k)?

Probemosquet(n)≤2k−1+2

k·t(n−k)parak>0:

k=1:t(n)≤1+2·t(n−1)(acotacioninicial)

k⇒k+1:

t(n)≤2k−1+2

k·t(n−k)(porh.i)

≤2k−1+2

k(1+2·t(n−k−1))(poracotacioninicial)

=2k+1

−1+2k+1

·t(n−(k+1))qed

Yatenemosprobadalaacotaciont(n)≤2k−1+2

k·t(n−k)yparaalcanzarel

primercasobasiconecesitamosn−k=1,i.e.,k=n−1.Enesecasotenemos

t(n)≤2n−1

−1+2n−1

·t(1)=2n−1,luegot(n)∈O(2

n).

...ordendecomplejidadmuyalto!,seraporquenuestraacotacionesmala?

Puededemostrarset(n)∈Θ(φn)(Brassard&Bratley),siendoφ=1,618...(razon

aurea!)❀nuestraacotacionnoes“tan”mala...elalgoritmoutilizadosıesmuymalo!!!109

Resoluciongeneralderecurrencias

(Bibliografıa:RicardoPena)

Mediantelatecnicadedesplegadopuedendemostrarsealgunosresultados

generalessobrerecurrenciasycomplejidad.

Disminuciondeltamanodelproblemaporsustraccion

t(n)=

c0si0≤n<n0

a·t(n−b)+c·nk

sin≥n0

⇒t(n)∈

Θ(nk+1

)sia=1

Θ(andivb

)sia>1

c0:costedelcasodirecto

a≥1:numerodellamadasrecursivas

n−b:tamanodelossubproblemasgenerados(b≥1)

c·nk:costedelapreparaciondellamadas(funcionessucesor)ycombinacion

delosresultados(funcionesdecombinacion)

Unejemplosencillodeestecasoeselfactorial.

110

Disminuciondeltamanodelproblemapordivision

t(n)=

c0si0≤n<n0

a·t(n/b)+c·nk

sin≥n0

⇒t(n)∈

Θ(nk)sia<b

k

Θ(nk·log(n))sia=b

k

Θ(nlogb(a)

)sia>bk

c0:costedelcasodirecto

a≥1:numerodellamadasrecursivas

n/b:tamanodelossubproblemasgenerados(b≥1).

c·nk:costedelapreparaciondellamadas(funcionessucesor)ycombinacion

delosresultados(funcionesdecombinacion)

Ejemplo:busquedabinaria(pag101).Tamanom:dimensiondelsubarray

(fin−ini+1)

t(m)=

1sim=0

t(m/2)+1e.o.c

Tenemosa=1,b=2,k=0,luegot(n)∈Θ(log(n))111

Lasformulasanteriorespuedenresolvermuchosdeloscasosquesenos

presentan,peroengeneral,elanalisisdecomplejidadrequiereunadosisde

ingenioeimaginacion.

¿QuecomplejidadtieneelalgoritmodeEuclides(pag.90)?.Ideaintuitiva:

sin<menunpasomcd(n,m)❀mcd(m,n)ydespessiempreelprimer

argumentoesmayorqueelsegundo

sepruebaquen%m<n2(trescasos:m>

n2,m<

n2,m=

n2)

endosllamadasrecursivastenemos:

mcd(n,m)❀mcd(m,n%m)❀mcd(n%m,m%(n%m))

ambosargumentossehanreducidoalamitad(comopoco)endospasos,i.e.,

n%m<n2ym%(n%m)<

m2.

elalgoritmoterminacuandom=0...eltiempodeejecucionestaraacotado

por1+2∗log2(min{n,m}),luegosucomplejidadestaenO(log(min{n,m}))

Notesequeestealgoritmoeshiper-sensiblealosdatosdeentrada:p.e.

mcd(1000000000,999999999)solorequieretresllamadasamcd.112

Algoritmosavanzadosdeordenacion

Ordenacionpormezcla(mergesort)yordenacionrapidadeHoare(quicksort).

Ambosutilizanunaestrategiadivideyvenceras:separteelarrayendospartes

queseordenan(recursivamente)porseparado.

OrdenacionrapidadeHoare

Idea(planteamientorecursivo):

eligirunelementocualquieradelarraycomopivote(porejemplo,elprimero);

particionarelarrayendossubarrays,unoconloselementosquesonmenores

(oiguales)queelpivoteyotroconlosquesonmayores(elpivotequedaenel

centro,separandoambossubarrays)

ordenarrecursivamenteambaspartes.

113

5512429461867 v

pivote

1261855429467

6121842556794

6121842556794

pivote

menoresmayores

ordenacion recursiva

ordenacion recursiva

40

40

Ademaselquicksortescapazdehacertodoelprocesosobreelpropioarrayde

entrada(sinarraysauxiliares).

114

Igualqueenlabusquedabinaria,paradelimitarlossubarraysaordenarenlas

llamadasrecursivas,utilizamosdosındicesiniyfin.Ası,lacabeceradel

procedimientotendraelaspectoquicksort(intv[],intini,intfin)

analisisdecasos:

•casodirecto:ini≥fin;elsubarrayestavacıootieneunsoloelemento,no

haynadaquehacerenv

•casorecursivo(ini<fin):considerarcomopivotepiv=v[ini]yreordenar

(parcialmente)elsubarrayv[ini..fin]demodoquepivquedeensu

posicionfinalp,dejandoalaizdalosmenoresoigualesyaladerechalos

mayores

•ordenarrecursivamentelossubarraysv[ini..p−1]yv[p+1..fin](recursion

multiple)

Funciondeacotacion:compl(v,ini,fin)=fin−ini+1(tamanodel

subvector,comoenlabusquedabinaria).

115

Implementacion:

voidquickSort(intv[],intini,intfin){

intp;

if(ini<fin){

particion(v,ini,fin,p);

quickSort(v,ini,p-1);

quickSort(v,p+1,fin);

}

}

Quedaporimplementarelprocedimientodeparticion(v,ini,fin,p)quereorganice

loselementosdev[ini..fin]

inifin p

v

<= v[p]> v[p]

116

Funcionamientodeparticion:

definimospiv=v[ini],

inf=ini+1,sup=fin:elındiceinfavanzahacialaderechaysup

retrocedehacialaizquierdahastaquesecrucen:

•infavanzamientrasv[inf]<=piv

•supretrocedemientrasv[sup]>piv

•seintercambianlosvaloresdev[inf]yv[sup]

•serepiteelproceso

elpivotepivsecolocaensusitiointercambiandoloconelelementodev[sup]

yp=sup(posiciondondehaquedadoelpivote).

117

voidparticion(intv[],intini,intfin,int&p){

intinf,sup,piv,tmp;//ini<fin(loexigeqs)

piv=v[ini];

inf=ini+1;sup=fin;//inf<=sup+1

while(inf<=sup){//v[ini+1..inf-1]<=piv,v[sup+1..fin]>piv

while((inf<=sup)&&(v[inf]<=piv))inf++;

while((inf<=sup)&&(v[sup]>piv))sup--;

if(inf<sup){tmp=v[inf];v[inf]=v[sup];v[sup]=tmp;inf++;sup--;}

}

v[ini]=v[sup];v[sup]=piv;

p=sup;

}

118

Analisisdecomplejidaddelaordenacionrapida

(elanalisisformaldeestealgoritmoescomplicado)

elpeorcasoparaelquicksortesunarrayordenadoyaquedalugara

particionesmuydesiguales...¿porque?

lacomplejidaddeparticionsobreunarraydekcomponentesesO(k).Enel

peorcasolaparticiondalugaraunarrayde0componentesyotrodek−1

componentes(maselpivote).

lacomplejidadentoncesresulta�n

k=1O(k)�O(n2)

Enrealidad,enelpeorcaso,funcionaesencialmentecomolaordenacionpor

seleccion.Enelmejorcaso(laparticionesequilibrada)lacomplejidades

O(n·log(n))yenelcasomedio(complicadodeestimar)tambienesO(n·log(n)).

notieneuncomportamientonatural:noaprovechaelorden.

estealgoritmoesmuysensiblealaelecciondelpivote(elmejorpivoteserıala

mediana).

119

Ordenacionpormezcla

Idea:separteelvectorendosmitades,seordenanrecursivamenteambasmitades

ysehacelamezclaordenadadelasmismas.Ejemplo:

746913

013 245

mm+1

467139

134679

Ordenacion

recursiva

Ordenacion

recursiva

Mezcla ordenada

120

Planteamientorecursivo:paraordenarelarrayv[ini..fin]

calculamoslaposicionmediamed=(ini+fin)/2yordenamos

recursivamentelossubarraysv[ini..med],v[med+1..fin]

mezclamosordenadamentelossubarraysv[ini..med],v[med+1..fin]

Analisisdecasos:

casodirecto:ini≥fin;elsubarrayestavacıootieneunsoloelemento,no

haynadaquehacerenv

casorecursivo(ini<fin);dosllamadasrecursivas(recursionmultiple):una

paraordenarv[ini..med]yotraparaordenarv[med+1..fin].

Funciondeacotacion:compl(v,n,ini,fin)=fin−ini+1(igualqueenla

busquedabinaria).

121

Implementacion(suponemosimplementadoelprocedimientodemezcla):

voidmergeSort(intv[],intini,intfin){

intmed;

if(ini<fin){

med=(ini+fin)/2;

mergeSort(v,ini,med);

mergeSort(v,med+1,fin);

mezcla(v,ini,med,fin);

}

}

122

Elprocedimientodemezcla:

paraconseguirunaversioneficiente(O(n))senecesitaunarrayauxiliar.El

tamanodeestevectoresfin−ini+1,peronopuedehacerseladeclaracion:

intaux[fin-ini+1]

enelprocedimiento(fineinisonparametrosdelmismo).

unasolucionesdefinirunvectordetamanonyutilizarsolounaparte;

perotambiensepuedecreardinamicamenteunpunteroaunarrayde

enteros,reservandolamemorianecesaria:

int*aux=newint[fin-ini+1];

ElpunteroauxapuntaalprimerelementodelarrayyenC++,debidoala

dualidadpuntero/array,podemostratarauxcomosifueseunarraynormal

defin-ini+1elementos.

Cuidado:alterminarelprocedimientohayqueasegurarsedeliberarel

espacioqueocupa:

delete[]aux;123

ideadelalgoritmodemezcla:

inimedfin

0med−inifin−ini

v

aux

....................

..... .....

i1i2

j

Secopiav[ini..fin]enaux[0..fin−ini]yluegoauxsevarecorriendocondos

ındices,desde0ydesdemed−ini+1,colocandoordenadamentelos

elementosenv.

124

voidmezcla(intv[],intini,intmed,intfin){

int*aux=newint[fin-ini+1];

inti1,i2,j;

for(j=ini;j<=fin;j++)aux[j-ini]=v[j];//copiamosvenaux

i1=0;//i1recorreauxde0amed-ini

i2=med-ini+1;//i2vademed-ini+1afin-ini

j=ini;//jrecorrevdeiniafin

while((i1<=med-ini)&&(i2<=fin-ini)){

if(aux[i1]<=aux[i2]){v[j]=aux[i1];i1++;//eltotomadodeaux[0..med-ini]

}else{v[j]=aux[i2];i2++;}//eltodeaux[med-ini+1..fin-ini]

j++;}//jsiempreavanza

while(i1<=med-ini){//seacabadecopiaraux[0..med-ini]

v[j]=aux[i1];j++;i1++;}

while(i2<=fin-ini){//seacabaaux[med-ini+1..fin-ini]

v[j]=aux[i2];j++;i2++;}

delete[]aux;//eliminaciondeaux

}

125

Analisisdecomplejidaddelaordenacionpormezcla

casomejor=casopeor(losbuclessiempreseejecutan)

paraunarraydedimensionkenmezclasehaceunrecorridoportodaslas

componentes(mediantelostresbucleswhile).Lasoperacionesquesesehacen

enlosbuclessontodasO(1).Portanto,lacomplejidaddemezclaesO(k)

lossubarraysdesucesivasllamadasdemergeSortsondelaforma:n

n/2n/2

n/4n/4n/4n/4

Entotal1mezclaparatamanon,2paratamanon/2,4paratamanon/4...

2k

paratamanon/2k,quetienenuncostetotalde

n+2n2+2

2n22+...+2

kn2k=n+...+n

����

kveces

siendon2k=1,i.e.,k=log2(n),luegotienecomplejidadO(n·log(n)).

126

Formalmentetenemoslarecurrencia:t(n)=

1sin≤1

2·t(n/2)+ne.o.c.

Porlasformulasgeneralesderesolucionderecurrencias(pag.111),con

a=2,b=2,k=1tenemosdirectamentet(n)∈O(n·log(n))

Haciendodespliegue“manual”:

t(n)=2·t(n/2)+n=2(2·t(n/4)+n/2)+n=22·t(n/2

2)+2n=...=

¿2k·t(n/2

k)+k·n?

(sedemuestraporinduccion)

Parareducirelproblemaalcasodirectodebeserk≈log2(n)ytenemosentonces:

t(n)=2log2(n)

·t(n/2log2(n)

)+log2(n)·n=n+log2(n)·n

Tenemosentoncest(n)∈O(n·log(n)).Esmas,comonohemosutilizadoacotaciones

tenemost(n)∈Θ(n·log(n))

127

LaordenacionrapidadeHoareylaordenacionpormezclasondos

algoritmosgeneralesysofisticadosdeordenacion

EltiempodeejecuciondeambosenelcasomedioestaenO(n·log(n)),

perolaordenacionpormezclatieneelinconvenientedequenecesitaespacio

adicional(arraysauxiliares),

mientrasquelaordenacionrapidaoperasobreelarraydeentrada.

...¿comodeeficientementesepuedenordenararrays?,o¿cualeslacomplejidad

mınimaquepuedetenerunalgoritmodeordenacionenelcasopeor?,¿es

mejorablelacotaO(n·log(n))delaordenacionpormezcla?.Buscamosunacota

inferiorΩ(f(n))paralosalgoritmosdeordenacion.

Basicamenteparaordenarsehacendostiposdeoperaciones:comparaciones

eintercambios.

elnumerodeintercambiosesmenoroigualqueelnumerodecomparaciones

lacomplejedaddeunalgoritmodeordenacionbasadoencomparaciones

estadeterminadaporelnumerodeestas.128

Arbolesdedecision

Paraordenartreselementose1,e2ye3,tenemoselsiguientearboldedecision:

e1 e3 e2

e1 e2 e3

e1<=e3

e2 e1 e3 e1<=e3

e3 e1 e2

e2<=e3

e2 e3 e1e3 e2 e1

SI

SISI

SI SI

NO

NO

NO NO

NO

e1<=e2

e2<=e3

Tenemos3!=6posiblesordenaciones;elpeorcasounmınimodetres

comparaciones.

129

Paraunarraynelementos,¿cuantascomparacionesnecesitaremosenelpeor

caso?❀profundidaddelarboldedecision.

Prop:unarbolbinariodeprofundidadptienealosumo2phojas.

nuestroarboldedecisiontieneexactamenten!hojas(todaslasposibles

ordenaciones)

laprofundidadpdenuestroarboldedecisiondebesertalque2p≥n!(paraque

puedacontenerlasn!hojas)

luegodebeserp≥log2(n!),conloquet(n)∈Ω(log(n!))

porotrolado,sepuedeprobarn!≥(n/2)n/2

,ydeaquıt(n)∈Ω(n·log(n))

Enconclusion,cualquieralgoritmodeordenacionbasadoen

comparacionesrequiereuntiempoΩ(n·log(n))paraordenarunarray

denelementos

Laordenacionpormezclaigualaestacota,perorequierearraysauxiliares...

¿existiraunalgoritmoqueigualelacotaynoutilicearraysadicionales?

...continuara130