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Des bricoles Récursivité Complexité Références

Récursivité

Émeric Tourniaire

28 novembre 2016


Table des matières

Des bricolesPreuve d’algorithmeAppel de fonction

RécursivitéSuites récurrentesExemples de suites

Complexité

Références


Exponentiation (pas) rapide

a13 “ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a

def pow(a,b):res = 1for i in range(b):

res = res*areturn res


Exponentiation rapide

def pow(a,b):acc = ares = 1while b>0:

if b%2==1:res = (res*acc)

acc = (acc*acc)b = b//2

return res

accn bn resn

a 13 1






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 a






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 a






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 aa8 1 a5






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 aa8 1 a5

a16 0 a13






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 aa8 1 a5

a16 0 a13

Invariant : resˆ accb






return res

accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 aa8 1 a5

a16 0 a13

Invariant : resˆ accb

Optimal ?


Non.


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012

• lpnq “ tlgpnqu` νpnq• a13 “ a ˆ a4 ˆ a8

• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8

3` 3 “ 6 multiplications.• a15 “ pa3q5 y “ a3 “ a ˆ a ˆ a

y5 “ py ˆ yq2 ˆ y2` 3 “ 5 multiplications.


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012


• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8



accn bn resn

a 13 1a2 6 aa4 3 aa8 1 a5

a16 0 a13


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012


• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8



accn bn resn

a 13 1 1a2 6 a 0a4 3 a 1a8 1 a5 1a16 0 a13


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012


• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8



accn bn resn

a 13 1 2a2 6 a 1a4 3 a 2a8 1 a5 1

0 a13


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012

• lpnq “ tlgpnqu` νpnq

• a13 “ a ˆ a4 ˆ a8

• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8



accn bn resn

a 13 1 2a2 6 a 1a4 3 a 2a8 1 a5 1

0 a13


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012


• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8

3` 3 “ 6 multiplications.

• a15 “ pa3q5 y “ a3 “ a ˆ a ˆ ay5 “ py ˆ yq2 ˆ y2` 3 “ 5 multiplications.


Non.

• b en binaire.13 “ 8` 4` 1 “ Ę11012


• a15 “ a ˆ a2 ˆ a4 ˆ a8




Non.

Several authors have published statements (without proof) thatthe binary method actually gives the minimum possible number ofmultiplications. But that is not true.

(D. E. Knuth, AoCP, V. 2, ed 3, 4.6.3)


Non.

• La méthode de factorisation est meilleure.

Faux (exemple, a33)

• lp2nq “ lpnq ` 1

Faux (exemple, lp191q “ lp382q “ 11)


Non.

• La méthode de factorisation est meilleure.Faux (exemple, a33)

• lp2nq “ lpnq ` 1

Faux (exemple, lp191q “ lp382q “ 11)


Non.

• La méthode de factorisation est meilleure.Faux (exemple, a33)

• lp2nq “ lpnq ` 1Faux (exemple, lp191q “ lp382q “ 11)


Méthode du paysan russe

def mult(a,b):acc = ares = 0while b>0:

if b%2==1:res = res+acc

acc = acc+accb = b//2

return res


Deux exemples simples

def f(x):return x*x

for i in range(10):print(f(i))


Deux exemples simples

def f(x):a=x+1return a

a=12b=f(a)print(a,b)


Flot du programme

__main__

a = 12

b = f(a)

print(a,b)

A

f()

def f(x):a = x+1return a


Fonctions en cascade

def fonction(i):def f(x):return x+i

return f

l = [fonction(i) for i in range(10)]



def fonction(i):def f(x):return x+i

return fl = [fonction(i) for i in range(10)]



def fonction(i):if i == 0:

return identitedef f(x):

return L[i-1](x)+1return f

L=[fonction(i) for i in range(1000)]

L[0](5) ? L[500](5) ? L[1000](1) ?


Pile de contextes

L[10]

A

L[9]

B

L[8]

. . .

APile de

contextes

B. . .


Pile de contextes

L[10]

A

L[9]

B

L[8]

. . .

APile de

contextes

B

. . .


Pile de contextes

L[10]

A

L[9]

B

L[8]

. . .

APile de

contextes

B. . .


Définition de la récursivité



DéfinitionUne fonction est récursive si elle s’appelle elle-même



Définition bisUne fonction est récursive si elle s’appelle elle-même mais c’estmieux si elle termine (attention aux conditions initiales !).



PropriétéPour bien comprendre la récursivité, il faut bien comprendre larécursivité.



def ping():print("Ping")pong()

def pong():print("Pong")ping()


Suites récurrences




return res


Suites récurrences




return res

• bn`1 “ bn{{2• accn`1 “ acc2

n

•

#

resn`1 “ resn

resn`1 “ resn ˆ accn


Suites récurrences

def pow(a,b,res=1):if b==0:return res

if b%2==1:return pow(a*a,b//2,res*a)

else:return pow(a*a,b//2,res)

• bn`1 “ bn{{2• accn`1 “ acc2

n

•

#

resn`1 “ resn



Suites récurrences

def pow(a,b):if b==0:return 1

if b%2==1:return a*pow(a*a,b//2)

else:return pow(a*a,b//2)

• bn`1 “ bn{{2• accn`1 “ acc2

n

•

#

resn`1 “ resn



Décoration de fonctions

• Trace de la fonction• Lisibilité• Décorateur







def pow(a,b):print(a,b)if b==0:return 1





In: pow(3,15)3 159 781 36561 143046721 0Out: 14348907

def pow(a,b):print(a,b)if b==0:return 1






def madecoration(func):def wrapper(args):

# Des trucsfunc(args)# D’autres trucs

return wrapper

func = madecoration(func)


Décoration de fonctionsdef trace(func):def wrapper(*args):print("␣"* wrapper.space,end="")print(’{}␣<-␣{}’ . format(func.__name__,str(args)))wrapper.space += 1val = func(*args)wrapper.space -= 1print("␣"* wrapper.space,end="")print(’{}␣->␣{}’ . format(func.__name__,str(val)))return val

wrapper.space=0return wrapper

@tracedef pow(a,b):...






In: pow(2,13)pow <- (2, 13)pow <- (4, 6)pow <- (16, 3)pow <- (256, 1)pow <- (65536, 0)pow -> 1

pow -> 256pow -> 4096pow -> 4096

pow -> 8192Out: 8192



def pow(a,b,res=1):if b==0:return res

if b%2==1:return pow(a*a,b//2,res*a)

else:return pow(a*a,b//2,res)

In: pow(2,13)pow <- (2, 13)pow <- (4, 6, 2)pow <- (16, 3, 2)pow <- (256, 1, 32)pow <- (65536, 0, 8192)pow -> 8192

pow -> 8192pow -> 8192pow -> 8192

pow -> 8192Out: 8192



Guido Van RossumI don’t believe in recursion as the basis of all programming. This isa fundamental belief of certain computer scientists, especially thosewho love Scheme and like to teach programming by starting with a"cons" cell and recursion. But to me, seeing recursion as the basisof everything else is just a nice theoretical approach to fundamentalmathematics (turtles all the way down), not a day-to-day tool.


Exemples de suites

• Factorielle n!• Fibonacci Fn

• PGCD• Suite de Hopfstadter• Suite de Ackerman

@tracedef fact(n):if n==0:return 1

elsereturn n*fact(n-1)

In: fact(3)fact <- (3,)fact <- (2,)fact <- (1,)fact <- (0,)fact -> 1fact -> 1fact -> 2

fact -> 6Out: 6


Exemples de suites

• Factorielle n!Comment faire pour que cesoit récursif terminal ?

• Fibonacci Fn


@tracedef fact(n):if n==0:return 1

elsereturn n*fact(n-1)

In: fact(3)fact <- (3,)fact <- (2,)fact <- (1,)fact <- (0,)fact -> 1fact -> 1fact -> 2

fact -> 6Out: 6


Exemples de suites



def fibo(n):if n<=1:return 1

return fibo(n-1) + fibo(n-2)


Exemples de suitesfibo

->1

fibo

->2

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

->3

fibo

->8

fibo

<-(4,)

fibo

<-(3,)

fibo

<-(2,)

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

<-(0,)

fibo

->1

fibo

->2

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

->3

fibo

<-(2,)

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

<-(0,)

fibo

->1

fibo

->2

fibo

->5

fibo

->13

fibo

<-(6,)

fibo

<-(5,)

fibo

<-(4,)

fibo

<-(3,)

fibo

<-(2,)

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

<-(0,)

fibo

->1

fibo

->2

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

->3

fibo

<-(2,)

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

<-(0,)

fibo

->1

fibo

->2

fibo

->5

fibo

<-(3,)

fibo

<-(2,)

fibo

<-(1,)

fibo

->1

fibo

<-(0,)


Exemples de suites



def pgcd(a,b):if b==0:return a

return pgcd(b,a%b)


Exemples de suites



$

’

&

’

%

Qp1q “ Qp2q “ 1Qpnq “Qpn ´ Qpn ´ 1qq

`Qpn ´ Qpn ´ 2qq


Exemples de suites



$

’

&

’

%

Ap0, nq “ n ` 1Apm, 0q “ Apm ´ 1, 1q si m ą 0Apm, nq “ Apm ´ 1,Apm, n ´ 1qq


Tours de Hanoï

PrincipePour déplacer n disques du pic a au pic b, on déplace n ´ 1disques du pic a au c, puis on déplace le dernier disque de a à b,puis on déplace les n ´ 1 disques de c à b.


Tours de Hanoï

def hanoi(n,a,b):if n==1:print("On␣déplace␣un␣disque␣de",a,"vers",b)

else:hanoi(n-1,a,6-a-b)print("On␣déplace␣un␣disque␣de",a,"vers",b)hanoi(n-1,6-a-b,b)


Permutations

ProblèmeGénérer toutes les permutations d’une liste d’éléments ?

def permut(l1,l2):if l2==[]:

return [l1]res=[]for i in l2:

res = res+ permut(l1+[i],[k for k in l2 if k!=i])return res


Permutations

ProblèmeGénérer toutes les permutations d’une liste d’éléments ?def permut(l1,l2):

if l2==[]:return [l1]

res=[]for i in l2:

res = res+ permut(l1+[i],[k for k in l2 if k!=i])return res


Evaluation de la complexité

• Équation donnant Cpnq en fonction de Cpkq avec k ă n• Factorielle : Cpnq “ Cpn ´ 1q ` 1

Cpnq “ Opnq• Fibonacci : Cpnq “ Cpn ´ 1q ` Cpn ´ 2q

Cpnq “ OpFnq

• Dichotomie : Cpnq “ Cpn{2q ` 1Cpnq “ Oplgpnqq

• Hanoi : Cpnq “ 2Cpn ´ 1q ` 1Cpnq “ Op2nq


Piège à complexité

• Coûts « cachés »



• Coûts « cachés »• Cpnq “ 1` Cpn{2q• Cpnq “ Oplgpnqq

def dicho(x,l):""" Cherche si x est dans

l triée """if len(l)==0:

return Falsek = len(l)//2if x==l[k]:

return Trueif x<l[k]:

return dicho(x,l[:k])return dicho(x,l[k+1:])



• Coûts « cachés »• Cpnq “ 1` n{2` Cpn{2q• Cpnq “ Opnq

def dicho(x,l):""" Cherche si x est dans

l triée """if len(l)==0:

return Falsek = len(l)//2if x==l[k]:


return dicho(x,l[:k])return dicho(x,l[k+1:])



• Coûts « cachés »• Cpnq “ 1` n{2` Cpn{2q• Cpnq “ Opnq• Meilleure version. . .

def dicho(x,l,a,b):""" Cherche si x est dans

l[a:b] triée """if b-a==1:

return l[a] == xk = (a+b)//2if x==l[k]:


return dicho(x,l,a,k)return dicho(x,l,k+1,b)


Diviser pour régner

ThéorèmeSi on a une complexité de la forme Cpnq “ 2ˆ Cpn{2q ` Opnq,alors Cpnq “ Opn lg nq


Garder du cache

def cache(func):memoire = {}def wrapper(*args):

if args not in cache:memoire[args] = func(*args)

return memoire[args]return wrapper


• http://info-llg.fr/commun-mp/?a=cours• The art of Computer Programming• http://neopythonic.blogspot.fr/2009/04/tail-recursion-elimination.html

http://info-llg.fr/commun-mp/?a=cours

http://neopythonic.blogspot.fr/2009/04/tail-recursion-elimination.html

http://neopythonic.blogspot.fr/2009/04/tail-recursion-elimination.html

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