(1.2)(1.2)

(1.1)(1.1)

UNIVERSIDAD DE CARABOBO Lapso: 1-2014 FACULTAD DE INGENIERIA DPTO DE MATEMATICASProf:Amabiles nuez Examen recuperativo Funciones Vectoriales

Obtencion del punto de interseccion

(1.3)(1.3)

a) Ecuacin vectorial del plano tangente a S en el punto Como S es definida implicitamente por G, entonces: = Gradiente de la funcion G evaluada en (x0,y0,z0)Es un vector normal a S en el punto y representa la normal del plano tangente en dicho punto.

Entonces la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en ( )

seria . (x-x0, y-y0, z-z0) = 0

Gradiente de la funcion G evaluada en (x0,y0,z0)

VG = (2x, 2y, -1) = (2, 0, -1)

Luego,

(2, 0, -1).(x-1, y, z-1) = 0

Para la ecuacion vectorial encontremos dos direcciones ortogonales a la normal del plano.N=(2, 0, -1)

Vector director 1: ( )

Vector director 2: ( )

Ecuacion vectorial:

b) El ngulo entre este plano y el vector director a C.

Vector director de la recta tangente a C en el punto

H define de manera implicita a una curva C en el espacio. De manera que las filasde la matriz diferencial de H representan los vectores normales de los planos que definen a la recta tangente a C en el punto.

Matriz diferencial de H

JH = J =

Vectores normales de los planos que definen a la recta tangente

Vn1 = (1,0,0) Vn2 = (-1, 0, 2)

Vector director de la recta tangente

Vd = Vn1 x Vn2

Vd = (1,0,0) x (-1, 0, 2) = (0, -2, 0)

Vd = (0, -2, 0)

Angulo entre N= y vd=

(1.4)(1.4)

luego el angulo entre S y el vector Vd es 0.

RESPUESTA: ngulo entre el plano tangente y el vector director a C = 0

u1 = (cos( ), sen( )) 0 u1 = ( , )

u2 = (cos( ), sen( )) 0 u2 = ( , )

Gradiente de la funcion f

Vf = (fx, fy)

Derivada direccional en la direccion 1

fu1 = 0 u1 = 4 0 (fx, fy) 0 ( , ) = 4

Derivada direccional en la direccion 2

fu2 = 0 u2 = -6 0 (fx, fy) 0 ( , ) = -6

0

0

0

Transformacion afin aproximante A(x,y) = f(x0,y0) + fx (x-x0) + fy (y-y0) (x0,y0) = (2,1)

Como f es continua

f(x0,y0) = = 2

f(x0,y0) = 2

A(x,y) = 2 + 10 (x-2) (y-1)

A(2.05,0.98) = 2 + 10 (2.05-2) (0.98-1)

= 2 + 10(0.05) (-0.02)

= 2+ 0.5 + 0.04 = 2.5 + 0.04

b) Variacin de f fu = Vf f = fu.u

Obtencion de la direccion u

hx =

hy =

Vh = ( , )

, ) 0

Derivada direccional fu = Vf

fu = ( )

fu =

Variacin de f

J

=

h = g o g

Funcion compuesta G = f o h

Derivada direccional de la funcion compuesta G

Gu = G 0 u

Obtencion del Gradiente de la funcion compuesta G

Teorema de la funcion Compuesta

JACOBIANO DE f(x,y)

JACOBIANO DE

J = Teorema de la funcion inversa

Jg

=

Jg =

J =

J = =

0 J = =

J =

J = 0 VG =

Como la funcion G es real, La matriz diferencial de G (Jacobiano de G)tiene los mismos elementos que el gradiente de G. El primero en distribucion matricial (matriz fila) y el segundo en forma de vector.

Obtencion de la direccion uu es la direccin normal a la circunferencia definida por:

+ y2 - 4x = 0

Vn = (2x-4, 2y)

V = (2, 2 )

Direccion unitaria u:

u =

u =

x1 2 3

y 0

1

2

Derivada direccional de la funcion compuesta G

Gu = G 0 u

Gu = 0 =

(3.1)(3.1)

Transformacion a coordenadas cilndricas

a) Cilindro en coordenadas cilindricas

r = 2

b) Frontera x = 1

x = 1 = 1 r = sec

=

dz =

=

0 z = (2,

z = 2 (2 ,

0 z = (2,

Transformacion a coordenadas esfricas

a.1) Esfera en coordenadas esfericas

a.2) Cilindro en coordenadas esfericas

a.3) Angulo

=

=

(5.1)(5.1)

Volumen de la region