RECTAS DIGITALES MEDIANTE EL ALGORITMO DE EUCLIDES.

GEODÉSICAS CON CONCORDANCIA DE LÍMITES EN EL PLANO.

• José Manuel Castañeda Rodríguez.

• Manuel Israel Chaves Cano.

• Pablo Manuel Enríquez Santos.

• José Luis Espino Lladonosa.

Concepto de rectas digitales

Definición de una recta digital a través del código de

cadenas. Para que una línea sea una recta digital son necesarias las condiciones siguientes:

1) Como máximo dos pendientes aparecen en la cadena, y si hay 2, difieren en 45º.

2) Al menos una de las 2 pendientes aparece en las secuencias de longitud 1.

Concepto de rectas digitales

3) La otra pendiente aparece en secuencias de al menos 2 longitudes (excepto posiblemente en los finales de arco, donde las secuencias pueden estar truncadas), y si hay dos longitudes, difieren en 1.

4) Al menos una de las 2 longitudes aparece en secuencias de longitud 1, la otra aparece en secuencias de cómo máximo de 2 longitudes (excepto en los finales) que difieren en uno.

Algoritmo de Euclides1. ENTRADA: Un pixel (u, v), con u > v > 0 y m.c.d.(u, v) = 1,

2. Sea b = v, a = u - v;

3. Sea M1 = H, M2 = D; ({H, D} es el alfabeto que usaremos)

4. Si b < a entonces

4.1 M2 = M1 + (M2)^-1;

4.2 a = a - b

4.3 Ir al paso 4

5. Si b > a entonces

5.1 M1 = M2 + (M1)^-1

5.2 b = b - a

5.3 Ir al paso 4

6. SALIDA: M2 + (M1)^-1.

Nota: La operación + denota la concatenación de cadenas de palabras del alfabeto {H, D}, y (Mx)^-1 denota la palabra Mx escrita al revés

Demostración del algoritmo

• U=51• V=11• B=11• A=40

• M1=H• M2=D

Demostración del algoritmo

• b < a• A = 29• B = 11

• M1 = H• M2 = HD

Demostración del algoritmo

• b < a• A = 18• B = 11

• M1 = H• M2 = HDH

Demostración del algoritmo

• b < a• A = 7• B = 11

• M1 = H• M2 = HHDH

Demostración del algoritmo

• b > a• A = 7• B = 4

• M1 = HHDHH• M2 = HHDH

Demostración del algoritmo

• b < a• A = 3• B = 4

• M1 = HHDHH• M2 = HHDHHHDHH

Demostración del algoritmo

• b > a• A = 3• B = 1

• M1 = HHDHHHDHHHHDHH• M2 = HHDHHHDHH

Demostración del algoritmo

• b > a• A = 2• B = 1

• M1 = HHDHHHDHHHHDHH• M2 =HHDHHHDHHHHDHHHHDHHHDHH

Demostración del algoritmo

• b > a• A = 1• B = 1

• M1 = HHDHHHDHHHHDHH• M2 =HHDHHHDHHHHDHHHHDHHHDHHHHDHHHDHHHHDHH

Restricciones del algoritmo

Coordenadas no primas entre si: la longitud total de la recta es inversamente proporcional al m.c.d. de las coordenadas u, v del punto destino.

Rectas horizontales ya que tiene que darse u > v > 0.

Rectas diagonales ( porque u = v).

Solo podemos escribir en los primeros 45º no inclusive del primer cuadrante ya que u > v.

Soluciones dadas a las restricciones

Coordenadas no primas entre si: dibujamos la recta tantas veces como el m.c.d. (calculado en a y b) de ambas coordenadas u, v.

Horizontales: Escribimos “H” u veces.

Diagonales: Escribimos “D” v veces.

Para calcular rectas de inclinación de 45º a 90º se calcula la recta con las coordenadas intercambiadas sustituyendo las “H” por “V”.

Las rectas de los cuadrantes restantes se calculan por simetría.

GeodésicasDistancia en la Superficie

Estudio y comportamiento de rectas digitales en las superficies pertenecientes a figuras en el espacio tridimensional.

Definición de distancia 4 adyacente:

D4(p,q) = |x2 – x1| + |y2 – y1|.(esta será la medida de distancia utilizada en esta práctica).

Superficies estudiadas

• Cono

• Cilindro

• Esfera

• Toro

• Banda de Möbius

• Botella de Klein

Cono

Cilindro

Esfera

Toro

Banda de Möbius

Botella de Klein

Demostración de geodésicas

Nuestra aplicación desarrolla dos actividades diferentes en las superficies presentadas:

1) Encuentra la distancia mínima entre dos

puntos en estas superficies.

2) Resolución del problema del explorador en las distintas superficies.

Bibliografía

Enlaces interesantes:

http://interactiva.matem.unam.mx/hjw/ensmat/

http://xtsunxet.usc.es/cordero/miscelanea/

http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/

http://www.math.harvard.edu/preceptor/surfaces/index.html