Recorrncia

Sumrio

Definies Recorrentes Seqncias, conjuntos e operaes Resoluo de Relaes de Recorrncia

Definies Recorrentes

Uma definio recorrente uma definio onde o item sendo definido aparece como parte da definio.

definir algo em termos de si mesmo Exemplo: definio recorrente de fatorial

Partes de uma Definio Recorrente

Base (ou condio bsica) casos elementares definidos explicitamente Recorrncia (ou passo indutivo) demais casos definidos em funo dos casos

elementares

Recorrncia uma conceito importante que pode ser usado para definir:

seqncias conjuntos operaes algoritmos

Seqncias

Uma seqncia uma lista ordenada de elementos

Exemplo: S = 2, 4, 8, 16, 32, ... S(1) = 2, S(4) = 16

Seqncias Definidas por Recorrncia

Uma seqncia definida por recorrncia nomeando-se, explicitamente, o primeiro elemento na seqncia e depois definindo-se os demais elementos em termos dos anteriores

Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...) S(1) = 2 S(n) = 2 * S(n-1), para n 2

Exerccio

Escreve os cinco primeiros valores da seqncia T definida a seguir

T(1) = 1 T(n) = T(n-1) + 3

Seqncia de Fibonacci

uma seqncia de nmeros definida por recorrncia como a seguir:

F(1) = 1 F(2) = 1 F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n 3 Escreva os 8 primeiros termos da

seqncia de Fibonacci.

Conjuntos

Um conjunto uma coleo de objetos no h nenhuma ordem imposta coleo Conjuntos podem ser definidos por

relaes de recorrncia.

Base: objetos elementares do conjunto Recorrncia: regra para composio de novos

objetos do conjunto

Exemplo

Definio recorrente do conjunto das frmulas proposicionais bem formuladas (FBF)

Base: uma proposio uma FBF Recorrncia: se P e Q so FBFs ento P Q, P

Q, P Q, P, e P Q tambm so FBFs

Operaes Definidas por Recorrncia

Certas operaes podem ser definidas de forma recorrente

Exemplo: definio recorrente da exponenciao an

a0 = 1 an = a * an-1, para n 1

Definies Recorrentes

Seqncia Pelo menos o primeiro valor definido explicitamente; os demais valores so definidos em termos dos anteriores.

Conjunto

Pelo menos um elemento do conjunto definido explicitamente; os demais

elementos so construdos a partir de elementos que pertencem ao conjunto.

OperaoUm caso trivial (elementar) definido

explicitamente; demais casos so calculados a partir de casos menores.

Exerccios

Escreve os cinco primeiros valores da seqncia M a seguir:

M(1) = 2 M(2) = 2 M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2) Considerando a srie de Fibonacci, prove

que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n)

Considere a seqncia S definida por recorrncia:

S(1) = 2S(n) = 2*S(n-1)

Existe uma equao na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)

sem ter que calcular os valores anteriores?

Considere a seqncia S definida por recorrncia:

S(1) = 2S(n) = 2*S(n-1)

Existe uma equao na qual podemos substituir o valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)

sem ter que calcular os valores anteriores?

S(n) = 2n

Resolvendo Relaes de Recorrncia

Resolver uma relao de recorrncia significa encontrar para ela uma soluo em forma fechada.

Uma soluo em forma fechada para uma relao de recorrncia sujeita a uma condio bsica uma equao na qual podemos substituir um valor para calcular diretamente o elemento que queremos.

Estratgias para Resoluo de Recorrncias

Mtodo expandir, conjecturar e verificar Soluo geral no caso de uma relao de recorrncia linear de

primeira ordem.

Expandir, conjecturar e verificar

Consiste em usar repetidamente a relao de recorrncia para expandir a expresso do n-simo termo at que seja possvel perceber uma equao para a soluo em forma fechada.

preciso verificar a equao encontrada em geral, a verificao pode ser feita por

induo

Exemplo

Considere a condio bsica e a relao de recorrncia para a seqncia S a seguir:

S(1) = 2 S(n) = 2 * S(n-1) Encontre a soluo em forma fechada para

a relao de recorrncia.

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

Passo 1: Expandir

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)

Passo 2: Conjecturar

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)

Aps k, expanses

Passo 2: Conjecturar

S(n) = 2 * S(n-1)

= 2 * 2 * S(n-2)

= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)...

= 2k * S(n-k)Aps k, expanses

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expanso continuamente ou existe um limite para k?

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expanso continuamente ou existe um limite para k?

O limite o caso base S(1), ou seja,

n-k = 1

k = n-1

S(n) = 2k * S(n-k)

Podemos continuar com a expanso continuamente ou existe um limite para k?

O limite o caso base S(1), ou seja,

n-k = 1

k = n-1

S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n

Passo 3: Verificar

Por raciocnio indutivo, inferimos que a soluo em forma fechada S(n) = 2n.

Ainda preciso demonstrar que, de fato, S(n) = 2n, para todo n 1. podemos fazer isso por induo em n.

Estratgias para Resoluo de Recorrncias

Mtodo expandir, conjecturar e verificar Soluo geral no caso de uma relao de recorrncia linear de

primeira ordem.

Recorrncia Linear

Uma relao de recorrncia para uma seqncia S(n) denominada linear se os valores anteriores de S aparecem na relao apenas na primeira potncia.

Forma geral: S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)

Recorrncia de Primeira Ordem

Uma relao de recorrncia para uma seqncia S(n) de primeira ordem se o clculo do termo n depende apenas do termo n-1.

Forma geral: S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)

Soluo Geral

Utilizando o mtodo expandir, conjecturar e verificar, podemos encontrar uma soluo em forma fechada geral para relaes de recorrncia lineares de primeira ordem com coeficientes constantes.

Soluo geral para S(n) = cn1S(1) + n

i=2cn1g(i)

S(n) = cS(n 1) + g(n)

Exemplo

S(n) = cS(n 1) + g(n)

S(n) = cn1S(1) +n

i=2cn1g(i)

S(n) = 2S(n 1)c = 2 e g(n) = 0

S(n) = 2n1S(1) +

ni=2

2n10

= 2n12 +n

i=2

0 = 2n12 + 0 = 2n

Mtodos para resolver relaes de recorrncia

Mtodo Passos

Expandir, conjecturar e

verificar

1.Expandir a recorrncia at que seja possvel inferir um padro;

2.Determinar o padro para k = n-1;3.Demonstrar a frmula resultante por induo.

Soluo Geral

1.Escrever a recorrncia na forma

2.Substitua c, S(1) e g(n) na frmula geral

3.Calcule o somatrio para obter a frmula final

S(n) = cn1S(1) +n

i=2cn1g(i)

S(n) = cS(n 1) + g(n)

Exemplo: Soluo Geral

Considere a seqncia T como definida a seguir:

T(1) = 2 T(n) = T(n-1) + n + 1 Encontre a soluo em forma fechada para

a relao de recorrncia, utilizando o mtodo da soluo geral.