reconfiguration dynamique des systèmes manufacturiers non
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RECONFIGURATION DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MANUFACTURIERS NON FIABLES
Mémoire
HOUCINE DAMMAK
Maîtrise en Sciences de l’Administration Maître ès sciences (M.Sc)
Québec, Canada
© Houcine DAMMAK, 2014
iii
RÉSUMÉ
Ce mémoire de recherche porte sur l’optimisation et le contrôle dynamique stochastique
des activités de production dans les systèmes manufacturiers reconfigurables
(Reconfigurable Manufacturing Systems, RMS). Le système considéré est composé d'une
installation industrielle conçu pour adapter sa configuration physique à des changements
prévisibles connus ou aléatoire qui peuvent survenir dans le temps. Les changements
concernent principalement l’environnement interne de l’installation (risques de pannes dus
à la non-fiabilité du système) et l’environnement externe (évolution du marché en type de
produit et volume de la demande). Les propriétés de reconfiguration du système considéré
lui procurent la capacité de produire, à l’intérieur d’une famille de produits, plusieurs types
et ce, selon plusieurs modes ou configurations. Le choix de la configuration doit être basé
sur les avantages qu’elle procure (capacité, fiabilité, coût) ainsi que les conditions actuelles
et futures espérées du système.
Étant donné le compromis important entre les coûts de reconfiguration, de production, de
stockage et de pénurie, le principal objectif de ce travail de recherche consiste à proposer
une stratégie adaptative qui permet un meilleur choix de la séquence de configurations et un
meilleur contrôle du rythme de production du système afin de minimiser le coût total
encouru sur un horizon fini de planification.
Une formulation basée sur la programmation dynamique est présentée pour ce problème.
Ensuite, un schéma numérique est adopté pour résoudre les conditions d'optimalité
obtenues. Sous la classe des politiques de seuil critique (HPP), une séquence de
configurations intégrée à une politique de contrôle des rythmes de production est proposée.
Les résultats obtenus montrent un gain significatif en termes de coûts par rapport à ceux
encourus lorsque la décision de reconfiguration est développée indépendamment de la
stratégie d’exécution de la production. Plusieurs analyses de sensibilité sont réalisées pour
illustrer la robustesse et l'efficacité de la stratégie proposée.
iv
Pour résoudre le problème dans des situations plus complexes une approche de simulation
est également proposée et mise en œuvre. L'application de cette approche nous a permis
d'étendre l’analyse pour couvrir des contextes où l'approche de résolution mathématique est
limitée. De plus, cette approche nous a permis de mener une étude pour mesurer l’avantage
des systèmes reconfigurables en comparaison aux systèmes les plus utilisés dans le
contexte sous étude soit les systèmes manufacturiers ajustables (Adjusted Manufacturing
Systems, AMS).
Mots clés : Programmation dynamique, politique de seuil critique, contrôle de la
production, systèmes manufacturier reconfigurables, simulation.
ABSTRACT
This research work focuses on the optimization and stochastic dynamic control of
production activities in Reconfigurable Manufacturing Systems (RMS). The considered
system is composed of an industrial facility designed to adapt its physical configuration to
predictable changes that may occur randomly in time. The changes mainly concern the
internal environment of the system (risk of failures due to the unreliability of the system)
and the external environment (market changes in product type and volume of demand). The
configurability properties of the system considered provide the ability to produce, within a
family of products, various types according to several modes or configurations of the
system. The choice of which configuration to adopt is based on: (1) the benefits that it
provides in terms of capacity, reliability and cost; (2) the current and the expected future
conditions of the system.
Given the important compromise between reconfiguration, production, holding and
shortage costs, the main objective of this research is to propose an adaptive strategy that
allows a better choice of the sequence of configurations and a better control of production
activites and minimizes the total cost incurred over a finite planning horizon.
A formulation based on dynamic programming is presented for this problem. Then, a
numerical scheme is adopted to solve the optimality conditions. In the class of Hedging
Point Policies (HPP), a sequence of configurations integrated to a production rate control
policy is proposed. The obtained results show a significant gain in terms of incurred costs
compared to those incurred when the reconfiguration decisions are developed
independently of the production execution strategy. Several sensitivity analyses are carried
out to illustrate the robustness and efficiency of the proposed strategy.
To address the problem in more complex reconfigurable situations a simulation based
approach is also proposed and implemented. The application of this approach allowed us to
extend the aforementioned findings to different contexts where the mathematical resolution
approach may be limited. In addition, the simulation based approach allowed us to conduct
vi
a study to measure the benefit of reconfigurable systems in comparison to the most used
systems in the context under study, namely the Adjustable Manufacturing Systems (AMS).
Keywords: Dynamic programming, hedging policies, production control, reconfigurable
manufacturing systems, simulation.
vii
TABLE DES MATIÈRES RÉSUMÉ ............................................................................................................................. iii ABSTRACT ........................................................................................................................... v TABLE DES MATIÈRES ................................................................................................. vii LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................... ix LISTE DES FIGURES ........................................................................................................ xi DÉDICACES ..................................................................................................................... xiii REMERCIEMENT ............................................................................................................ xv CHAPITRE 1 : INTRODUCTION GÉNÉRALE & NOTIONS DE BASE .................... 1
1.1. Introduction générale .................................................................................................. 1 1.2. Notions de base ........................................................................................................... 4
1.2.1. Un système manufacturier ................................................................................... 4
1.2.2. La gestion des systèmes manufacturiers .............................................................. 6
1.2.3. Les différents types de systèmes manufacturiers ................................................. 8
1.2.4. Les systèmes manufacturiers reconfigurables ..................................................... 9
1.2.5. Comparaison par rapport aux autres types de systèmes manufacturiers ............ 13
1.2.6. La fiabilité .......................................................................................................... 16
1.2.7. Modélisation mathématique à l’aide des chaînes de Markov ............................ 17
1.3. Conclusion ................................................................................................................ 19 CHAPITRE 2 : POBLÉMATIQUE ET REVUE DE LITTÉRATURE ........................ 21
2.1. Introduction ............................................................................................................... 21 2.2. Problématique de recherche ...................................................................................... 22 2.3. Revue de littérature ................................................................................................... 24
2.3.1. Décision de reconfiguration à un niveau tactique .............................................. 24
2.3.2. Décisions de reconfiguration intégrant les niveaux tactique et opérationnel .... 27
2.4. Programmation dynamique stochastique et la théorie de contrôle ........................... 30 2.5. La simulation............................................................................................................. 33 2.6. Objectifs de la recherche ........................................................................................... 35 2.7. Méthodologie de travail ............................................................................................ 35 2.8. Contributions de la recherche ................................................................................... 38 2.9. Conclusion ................................................................................................................ 39
CHAPITRE 3 : MODELISATION MATHEMATIQUE ET APPROCHE DE RESOLUTION NUMERIQUE ......................................................................................... 41
3.1. Introduction ............................................................................................................... 41 3.2. Présentation du problème .......................................................................................... 42 3.3. Formulation mathématique ....................................................................................... 48
3.3.1. Niveau tactique .................................................................................................. 48
viii
3.3.2. Niveau opérationnel .......................................................................................... 53
3.4. Fonction objectif ....................................................................................................... 61 3.5. Résultats numériques et analyse de sensibilité ......................................................... 62
3.5.1. Exemple numérique ........................................................................................... 62
3.5.2. Analyse de sensibilité ........................................................................................ 69
3.6. Conclusion ................................................................................................................ 79 CHAPITRE 4 : APPROCHE DE RÉSOLUTION PAR SIMULATION ..................... 81
4.1. Introduction .............................................................................................................. 81 4.2. Description du modèle de simulation ....................................................................... 82 4.3. Résultats expérimentaux ........................................................................................... 96
4.3.1. Cas d’étude numérique ...................................................................................... 96
4.3.2. L’Optimisation avec OptQuest .......................................................................... 98
4.3.3. L’outil SMORE de SIMIO ................................................................................ 99
4.3.4. Technique de réduction de la variance ............................................................ 100
4.3.5. La notion du niveau de service ........................................................................ 102
4.3.6. Détermination des paramètres optimaux du modèle développé ...................... 102
4.3.7. Analyse de sensibilité ...................................................................................... 105
4.4. Étude comparative RMS - AMS............................................................................. 111 4.4.1. Cas numérique d’étude .................................................................................... 114
4.4.2. Analyse de sensibilité ...................................................................................... 116
4.5. Conclusion .............................................................................................................. 122 CONCLUSION ................................................................................................................. 123 BIBLIOGRAPHIES ......................................................................................................... 127 ANNEXE 1 ........................................................................................................................ 131 ANNEXE 2 ........................................................................................................................ 133
ix
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1:SDI pour chaque type de système adapté de Zhang et al. (2006) ........................ 13 Tableau 2: Les paramètres du système manufacturier .......................................................... 63 Tableau 3: Les probabilités de transition entre les états suivant la configuration ................ 64 Tableau 4: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [45, 40, 45] .................. 70 Tableau 5: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [48, 43, 48] .................. 70 Tableau 6: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [50, 45, 50] .................. 70 Tableau 7: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [52, 47, 52] .................. 70 Tableau 8: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [55, 50, 55] .................. 71 Tableau 9: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [57, 52, 57] .................. 71 Tableau 10: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [60, 55, 60] ................ 71 Tableau 11: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût de réduction ..................... 74 Tableau 12: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût d'expansion ...................... 77 Tableau 13: la demande du marché en type et en quantité ................................................... 97 Tableau 14: Les Quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison ........ 97 Tableau 15: Les probabilités de transition entre les états pour chaque configuration .......... 98 Tableau 16: les taux de la demande pour l'horizon considéré ............................................ 102 Tableau 17: les résultats obtenus du cas numérique du RMS ............................................. 103 Tableau 18: Comparaison entre les résultats des deux scénarios pour le cas numérique ... 104 Tableau 19: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290] ........... 105 Tableau 20: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310] ........... 105 Tableau 21: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330] ........... 105 Tableau 22: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350] ........... 106 Tableau 23: les résultats des deux scénarios pour une demande de [290-250-270] ........... 109 Tableau 24: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290] ........... 109 Tableau 25: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310] ........... 109 Tableau 26: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330] ........... 109 Tableau 27: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350] ........... 110 Tableau 28: L'effet de la variabilité sur les décisions de reconfiguration du Scénario 2 ... 111 Tableau 29: les résultats obtenus du cas numérique du AMS ............................................ 115 Tableau 30: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] ........... 115 Tableau 31: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] ........... 116 Tableau 32: les résultats des deux systèmes pour une demande de [310-270-290] ........... 116 Tableau 33: les résultats des deux systèmes pour une demande de [330-290-310] ........... 117 Tableau 34: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] ........... 117 Tableau 35: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un
contexte déterministe .................................................................................................. 119 Tableau 36: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un
contexte aléatoire avec un écart type de 15 ................................................................ 119 Tableau 37: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un
contexte aléatoire avec un écart type de 25 ................................................................ 119 Tableau 38: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un
contexte aléatoire avec un écart type de 35 ................................................................ 120
x
Tableau 39: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 55 ................................................................ 120
Tableau 40: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 75 ................................................................ 120
Tableau 41: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 75 ................................................................ 121
xi
LISTE DES FIGURES
Figure 1: la vue classique d'un système manufacturier........................................................... 5 Figure 2:Structure d’un système manufacturier couplé avec un système de commande ....... 5 Figure 3: les différents aspects de reconfiguration adaptée de Mehrabi et al. (2000) .......... 11 Figure 4: les caractéristiques du RMS selon Koren .............................................................. 12 Figure 5: Processus de fonctionnement d'un RMS ............................................................... 14 Figure 6: Positionnement du RMS par rapport au DMS et FMS .......................................... 16 Figure 7: L'effet de la coopération entre la qualité et la fiabilité .......................................... 17 Figure 8: Diagramme de transition de la chaîne de Markov à deux états ............................. 18 Figure 9: Structure du système manufacturier sous-étude .................................................... 23 Figure 10: Les étapes d'un projet de simulation selon Carson (2004) .................................. 34 Figure 11: Première partie de la méthodologie de travail ..................................................... 37 Figure 12: Première stratégie d’expérimentation .................................................................. 46 Figure 13: Deuxième stratégie d’expérimentation ................................................................ 47 Figure 14: la division des périodes du niveau tactique en des sous-périodes au niveau
opérationnel .................................................................................................................. 54 Figure 15 : Diagramme fonctionnel des états du système .................................................... 57 Figure 16: Les deux scénarios d’expérimentation ................................................................ 62 Figure 17: La séquence de reconfiguration pour chaque scénario ........................................ 65 Figure 18: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 1
...................................................................................................................................... 66 Figure 19: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 2
...................................................................................................................................... 66 Figure 20: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 2 pour le Scénario 1
...................................................................................................................................... 67 Figure 21: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 2 pour le Scénario 2
...................................................................................................................................... 67 Figure 22: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 3 pour le Scénario 1
...................................................................................................................................... 68 Figure 23: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 3 pour le Scénario 2
...................................................................................................................................... 68 Figure 24: Gain du scénario 2 en variant les taux de la demande ........................................ 72 Figure 25: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 74 Figure 26: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 75 Figure 27: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 77 Figure 28: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 78 Figure 29: Modélisation du cas sous-étude par simulation................................................... 82 Figure 30: Diagramme expérimental du modèle développée par simulation ....................... 84 Figure 31: Diagramme général de simulation ....................................................................... 86 Figure 32: Les données d'entrée du système ......................................................................... 87 Figure 33: Diagramme des états du système sous-étude ...................................................... 92 Figure 34: L'interface développée à l'aide du simulateur ..................................................... 94
xii
Figure 35: Validation du modèle de simulation ................................................................... 95 Figure 36: Diagramme SMORE adapté de Kelton et al (2011) ......................................... 100 Figure 37: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte déterministe .. 106 Figure 38: les coûts engendrés suite à l'optimisation pour différents taux de la demande 107 Figure 39: Comparaison entre les différents coûts des deux scénarios en augmentant la
demande ..................................................................................................................... 107 Figure 40: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte aléatoire
(STD=25) ................................................................................................................... 110 Figure 41: Variation des coûts tactiques des deux systèmes en augmentant la demande .. 118 Figure 42: Récapitulatif de la comparaison entre le RMS et l'AMS .................................. 122
xiii
DÉDICACES
À mon cher père Abdelaziz
Qui n’a jamais cessé de me soutenir et m’encourager,
Qui a impatiemment attendu ce jour,
Aucun mot ne serait assez loquace pour témoigner les sentiments de reconnaissance
que j’éprouve à son égard.
À ma chère mère Emna
Pour ses sacrifices démesurés et son amour infini.
Que Dieu puisse la garder afin que ses prières me protègent et que ses regards suivent
ma destinée.
J’espère pouvoir réaliser aujourd’hui l’un de ses rêves et être toujours à la hauteur de
ses espérances.
À ma chère sœur Khadija, son mari Rochdi et leurs fils Youssef,
À ma chère sœur Imen,
À mon cher cousin Taher,
À mes chers amis Yassine, Ayoub, Wassim et Moemen,
À tous ceux qui me sont chers,
Je dédie ce projet et qu’ils trouvent dans ce modeste travail le témoignage de ma
profonde gratitude et mon infini dévouement.
Sincèrement,
Houcine
xiv
xv
REMERCIEMENT
C’est un devoir bien agréable de venir rendre hommage au terme de ce travail à ceux
sans lesquels il n’aurait pu être fait.
Tout d'abord, je tiens à remercier Dieu le Tout-Puissant qui m'a donné la force, la
volonté et la santé jusqu’à ce jour.
Je tiens à remercier sincèrement mon directeur de recherche, Monsieur Adnène
HAJJI, pour son soutien, son support et ses précieux conseils. Je tiens également à
remercier mon codirecteur, Monsieur Mustapaha NOUR EL FATH, pour son
apport à cette recherche et pour m'avoir fait profiter de son expérience et de son
expertise.
Également, je voudrais bien exprimer mes profondes reconnaissances au CIRRELT
qui m'a permis d'avoir accès à des installations de qualité et qui m'a supporté
financièrement à plusieurs occasions.
Je remercie aussi tous mes professeurs et tous les cadres enseignants de FSA ULaval
pour les efforts qu’ils ont déployés pour nous assurer une formation de qualité.
1
CHAPITRE 1
INTRODUCTION GÉNÉRALE &
NOTIONS DE BASE
1.1. Introduction générale La concurrence du marché et les exigences des consommateurs se traduisent généralement
au niveau des entreprises manufacturières par une fluctuation de la demande et une
diversité des familles de produit à fabriquer (Wang et Koren, 2012). Cette réalité rend les
systèmes de production traditionnels (Dédiées, Flexibles…) incapable de répondre à toutes
les attentes des gestionnaires (Zhang et al, 2006). Ce constat a poussé les preneurs de
décision à faire preuve de plus d’innovation en termes de méthodes de gestion et à
proposer de nouveaux paradigmes de production mieux adaptés à répondre aux exigences
du marché. Les principaux défis qui doivent être surmontés sont : produire à faible coût,
améliorer la qualité du produit et avoir la capacité de réactivité pour faire face à
l’incertitude. (Koren, 2006).
2
Récemment un nouveau paradigme de systèmes manufacturiers est apparu, il s’agit des
systèmes manufacturiers reconfigurables (Reconfigurable Manufacturing Systems, RMS en
anglais). Koren figure parmi les premiers qui ont introduit ce paradigme au début des
années 90s, il définit un SMR comme étant un système conçu dès le départ pour le
changement rapide dans sa structure, ainsi que dans ses composants matériels et logiciels,
afin d'ajuster rapidement sa capacité de production et sa fonctionnalité au sein d'une famille
de produits en réponse aux changements brusques du marché ou aux exigences
réglementaires (Koren et al. 1999).
Dès l’apparition de ce nouveau paradigme plusieurs chercheurs se sont penchés sur des
questions de conception de la meilleure structure de ce type de système afin qu’il puisse
répondre aux exigences de réactivité à des faibles coûts. Citant à titre d’exemple Bi et al.
(2008) qui ont présenté l’état de l’art sur cette branche de recherche. Plusieurs questions qui
touchent les enjeux et défis de conception des systèmes RMS ont été soulevées
(architecture de système, architecture ouverte de contrôle, modularité…).
Dans ce contexte, plusieurs contributions scientifiques avec ou sans applications
industrielles (Spicer et Carlo, 2007 ; Wang et Koren, 2012) ont démontré les avantages que
les RMS peuvent apporter dans un marché et environnement de production incertains. Ces
travaux ont ouvert la porte à plusieurs questions fondamentales sur la meilleure façon de
gérer ces systèmes une fois conçu. De ce fait, des études ont commencé à aborder la
question du développement de meilleures méthodes de gestion pour mieux opérer et
contrôler ces systèmes à plusieurs niveaux de la hiérarchie de décision.
Étant donné la nature des décisions de reconfiguration qui sont généralement prises dans un
horizon tactique, la majorité des travaux se sont concentrés sur ce niveau au détriment
d’une intégration avec le niveau opérationnel. Cependant, les récents avancées de recherche
ont permis de démontrer l’importance d’une intégration plus étroites des décisions tant au
niveau tactique qu’opérationnel.
Dans ce travail de recherche un système manufacturier reconfigurable capable de produire
plusieurs produits de la même famille est considéré. La demande du point de vue type de
produit et quantité fluctue d’une période à une autre. Le passage entre les périodes peut
exiger une reconfiguration du système. Cette reconfiguration est un processus complexe et
contient plusieurs paramètres du système (Coût, disponibilité, fiabilité, faisabilité,…). Les
3
différents paramètres pris en compte dans le modèle développée sont : (1) au niveau
tactique: le coût de production, coût de reconfiguration et le coût du manque de capacité et
(2) au niveau opérationnel : le coût de stockage, le coût de pénurie et la fiabilité du
système.
Connaissant les niveaux de la demande pour les produits sur un horizon fini, l’entreprise
veut anticiper la séquence optimale des configurations et les stratégies de production au
niveau opérationnel pour répondre à une demande échelonnée suivant des sous périodes de
livraison à l’intérieur d’une période de l’horizon global. Au niveau opérationnel le RMS est
sujet à une fluctuation aléatoire de sa capacité (panne, dégradation..). Cette capacité est
aussi fonction de la configuration en place. Dépendamment de la demande et de la
configuration déjà en place l’entreprise peut payer une pénalité pour la production de
certains produits.
En récapitulant, ce travail permet d’intégrer les deux niveaux de la hiérarchie de décision
(tactique et opérationnelle) dans un même modèle. Cette intégration rend l’entreprise plus
compétitive et l’aide à exploiter ses ressources d’une façon optimale et efficace.
Les résultats obtenus montrent que la prise en compte des paramètres opérationnels peut
changer la décision de reconfiguration. Les résultats sont sous forme d’une séquence
optimale de reconfiguration sur toutes les périodes et d’une politique optimale de contrôle
sur l’inventaire pour chaque période afin de minimiser les coûts.
Ce mémoire est organisé en quatre chapitres :
Dans ce premier chapitre, on a commencé tout d’abord par une introduction générale,
ensuite on présentera quelques notions de base qui seront utiles pour comprendre le cadre
de ce travail de recherche et les différentes méthodes qui vont être utilisés par la suite dans
le rapport. Ces notions de base comprennent tout d’abord les systèmes manufacturiers en
général puis les systèmes manufacturiers reconfigurables en particulier.
Dans le deuxième chapitre, on présentera au début les objectifs généraux de la recherche
ensuite la revue de littérature concernant les RMS, la programmation dynamique
stochastique et la simulation. Puis la méthodologie de travail sera détaillée pour finir avec
les contributions de la recherche.
4
Le troisième chapitre, sera consacré à la modélisation mathématique et la présentation de
l’approche de résolution numérique. On entamera ce chapitre par la présentation du
problème ensuite l’exposition des différents paramètres du problème afin d’aboutir aux
objectifs prédéfinis de l’étude. Pour finir avec les résultats numériques et une analyse de
sensibilité détaillée du problème sous-étude.
Le quatrième chapitre comportera une résolution basée sur la simulation. L’objectif de ce
dernier chapitre est d’étendre l’analyse à des systèmes plus complexes et de mener une
analyse comparative entre les performances d’un système RMS régit par la stratégie
développée numériquement et une autre stratégie inspirée de la littérature. De plus, nous
nous penchons sur une étude permettant de quantifier les avantages des RMS dans le
contexte de notre étude par rapport aux systèmes ajustables (Adjustable Manufacturing
Systems, AMS).
1.2. Notions de base Cette partie est dédiée principalement à la présentation des principaux termes techniques
qui vont être utilisé dans le rapport. On présentera au début une définition générale d’un
système manufacturier, ensuite on présentera quelques notions importantes reliées à la
gestion de ces systèmes. On étudiera par la suite de près les différents types de systèmes
manufacturiers. Puis on abordera en détail le nouveau paradigme sous étude, soit les RMS :
les systèmes manufacturiers reconfigurables; et ce, à travers une étude comparative avec les
systèmes traditionnels. Cette étude reflète en partie notre motivation à l’égard de ce
domaine de recherche. Pour finir, on définira la fiabilité et la modélisation mathématique à
travers les chaînes de Markov qui seront utilisés plus tard le rapport.
1.2.1. Un système manufacturier Selon Hitomi (1996), un système manufacturier est un ensemble de ressources destinées à
convertir des matières premières en produits finis (figure 1). Afin d’assurer cette fonction
de transformation de matière, ce système nécessite un pilotage adapté à travers un système
de gestion qui assure la planification et le contrôle.
5
Figure 1: la vue classique d'un système manufacturier
Dans cette définition les ressources englobent les ressources humaines, les ressources
matérielles et les espaces de travail. Par l'utilisation de ces ressources, le système de
production convertit les informations de la demande en produits destinés à être livrés afin
de répondre à la demande du marché et aux attentes des clients en termes de coût, qualité et
délai. La figure suivante (figure 2) présente qu’à chaque système manufacturier un système
de commande est associé. Ce système de commande permet de veiller à la bonne gestion du
système manufacturier afin d’être fonctionnel suivant les attentes du décideur. Il analyse les
informations provenant du système manufacturier, ensuite suivant les objectifs désirés le
système de commande aide à prendre des décisions qui permettent la mise en application de
ces objectifs.
Figure 2:Structure d’un système manufacturier couplé avec un système de commande
Matières Premières
Produits finis Système
manufacturier
Ressources
Matières Premières
Produits finis Système
manufacturier
Objectifs désirés
Système de commande
Décision Informations en rétroaction
6
1.2.2. La gestion des systèmes manufacturiers
1.2.2.1. Hiérarchie des décisions en gestion des systèmes manufacturiers Afin de mieux gérer les systèmes manufacturiers et optimiser les ressources de l’entreprise,
le processus de prise de décision est divisé en trois niveaux principaux : le niveau
stratégique, le niveau tactique et le niveau opérationnel. (Schmidt et Wilhelm, 2000)
• Concernant le niveau stratégique, il comporte les décisions qui ont un effet à long
terme, ces décisions sont généralement prises par la haute direction de la
compagnie. Parmi ces décisions, le niveau stratégique prévoit un ensemble de lieux
où les installations sont à être placées, les technologies de production qui vont être
utilisés dans chaque établissement et les politiques générales qui aident à établir la
capacité de chaque usine. Les décisions stratégiques déterminent ainsi le réseau à
travers lequel la production, l'assemblage et la distribution seront menées pour
servir le marché. Schmidt et Wilhelm (2000) considèrent qu’au niveau stratégique
l’horizon de planification peut varier entre deux et cinq ans à cause des longs délais
qui sont nécessaires pour construire des usines et installer de l'équipement de
traitement. Un niveau d'incertitude relativement élevé peut être associé à la
demande, l’environnement politique et aux taux de change sur un tel horizon de
planification long. Le délai pour la mise en œuvre des décisions peut être réduit par
l'achat ou la location d'installations déjà existantes ou en composant un réseau
virtuel à travers la sous-traitance d'autres sociétés.
• Les décisions prises au niveau tactique concernent l’usage et la mise en application
des décisions et ressources prises au niveau stratégique. Le niveau tactique prescrit
les politiques de gestion des flux de marchandises, y compris les niveaux de
production dans toutes les usines, la politique de l'assemblage, les niveaux de stocks
et la taille des lots. Mais il est limité par le réseau mis à disposition par les décisions
au niveau stratégique. Le niveau tactique traite un horizon à moyen terme variant
entre 6 et 24 mois et formant un pont entre les niveaux stratégiques et opérationnels.
7
• Les décisions prises au niveau opérationnel permettent quant à eux de céduler les
opérations afin d’assurer une livraison à temps des produits finis aux clients ainsi
que la coordination du réseau logistique pour répondre aux demandes des clients. La
question qui se pose au niveau opérationnel est quand effectuer une tâche de
fabrication et sur quelle installation de sorte que les dates d'échéance seront
respectées dans la mesure du possible. Le niveau opérationnel doit faire face à
l'environnement créé par les décisions prises au niveau tactique, y compris la
disponibilité des composants et les goulots qui affectent l’installation et qui
peuvent induire des temps de passage longs, provoquant une violation des dates
d'échéance. Donc les décisions du niveau opérationnel concernent principalement
l’exécution et l’ajustement des plans fixés au niveau tactique.
1.2.2.2. La réactivité des systèmes manufacturiers La réactivité d’un système peut être définit par sa capacité à réagir en temps opportun à des
changements décisionnels ou à des évènements aléatoires externe ou interne (Slack, 1987).
Les évènements aléatoires externes sont généralement liés à la demande du marché (en type
de produit, ou volume de la demande), ceux qui sont internes sont directement liés au
système physique et ses ressources (pannes, absentéismes..). Pour les besoins de réactivité
d’un système donné deux éléments sont à considérer :
• détenir un système de commande (de gestion) capable d’offrir les meilleures
décisions en réaction à un changement décisionnel ou un évènement aléatoire. les
méthodes classiques de gestion stipulent de recourir à des options de rechange
comme (heures supplémentaires, recrutement/licenciement, sous-traitance,
déplacement de la demande…) tandis que plusieurs recherches proposent de bâtir le
système de commande de sorte à ce qu’il inclut ces options dès le départ (Gershwin,
1994) pour mettre en œuvre la stratégie en rétroaction.
• détenir un système physique capable de s’ajuster au besoin. Un système rigide qui
est conçu dès le départ pour produire un seul type de produit n’est certainement pas
la solution pour offrir une gamme de produit variée sur le marché. Dans la section
suivante il sera question des types des systèmes manufacturiers et plus
8
particulièrement ceux qui offrent cette capacité de réactivité d’un point de vue
système à savoir les RMS.
1.2.3. Les différents types de systèmes manufacturiers En raison de l’écart qui peut exister entre l’offre et la demande, l'environnement de
production devient turbulent et incertain. Les entreprises manufacturières sont obligées de
réévaluer leurs modèles de production, de sorte qu'un système de fabrication peut être
conçu et exploité de manière efficace dans cet environnement qui est en évolution continue.
Cet environnement de production en mutation, caractérisé par une concurrence agressive à
l'échelle mondiale et les changements rapides de la technologie nécessite de créer des
systèmes de production qui sont eux-mêmes facilement extensible et dans lesquels de
nouvelles technologies et de nouvelles fonctions peuvent être facilement intégrés. Ces
conditions nécessitent une nouvelle approche de fabrication qui permet le lancement de
nouveaux produits et l'ajustement rapide de la capacité du système de production pour faire
face aux exigences du marché.
Selon la nature des produits et de la demande, le secteur d’activité et les exigences de
productivité, les systèmes manufacturiers ont connu une évolution marquée qui a poussé les
spécialistes du domaine à proposer une classification permettant plus de facilité à choisir le
meilleure système adapté à un besoin spécifique.
Parmi ces systèmes on peut citer les trois systèmes les plus connus (Zhang et al, 2006) :
- AMS (Adjusted Manufacturing Sustems) : les systèmes manufacturiers ajustables
ou réglables sont composés d’une série de machines réglables, qui peuvent être
utilisés dans la production d’une gamme limité de produits.
- DMS (Dedicated Manufacturing Systems) : Les systèmes manufacturiers dédiées
sont des systèmes consacrés à fabriquer un seul produit avec une grande capacité de
production (Production en masse), la possibilité de changement de produit ou
d’apporter une modification sur le système est presque impossible ou très coûteuse.
- FMS (Flexible Manufacturing Systems) : Les systèmes manufacturiers flexibles se
caractérisent principalement par leurs capacités de fabriquer une variété de produits
mais avec une capacité de production très limitée.
9
Donc les AMS sont composés d'une série de machines ajustables, qui peuvent être utilisés
pour la production d'une gamme étroite de pièces. Citant à titre d’exemple l’AMS qui a été
construit à l’usine Moscou Krasny Proletary en 1958. Il a été conçu pour la fabrication de
dix types de roues dentées cylindriques avec un diamètre extérieur allant de 80 à 220 mm et
un module de 1,5 à 5mm. Le taux de sortie est 120000 pièces par an dans des lots de 1000
pièces. Le temps nécessaire pour la commutation d'un type de travail à un autre est 3.5-4
heures. De nos jours ce type de système même s’il existe n’est efficace que dans un
contexte très particulier. Concernant les DMS, ils sont adaptés pour produire une très petite
variété de pièces à des taux de production relativement élevés et à moindre coût par pièce.
Ils ne fournissent pas beaucoup de flexibilité en termes de types de produits et de volume
de production. L'avantage principal des DMS est la rentabilité puisque le volume de
production est très élevé. Le plus grand inconvénient des DMS est qu'ils sont adaptés à la
fabrication d’une gamme de produit restreinte de façon qui le limite face à d’éventuels
changements exigés par les clients. Dans le cas où un changement majeur dans le design du
produit est nécessaire, une grande partie du système doit être changé ou même tout le
système doit être reconstruit (Zhang et al, 2006). Par contre, comme mentionné
précédemment les FMS sont adaptés pour produire une grande variété de produits.
Cependant, ce type de systèmes a des taux de production plus faibles comparativement à
ceux d’un DMS qui se traduisent par un coût plus élevé par pièce. Un FMS se compose
généralement de machines CNC (Computer Numerical Control), centres de tournage et
autres machines programmables. C’est un système de fabrication automatique avec une
grande souplesse et, par conséquent, il est adapté pour la production de plusieurs produits
aves des petites séries. Les principaux inconvénients d'un FMS sont le coût, la complexité
et les taux de production faibles (Zhang et al, 2006).
1.2.4. Les systèmes manufacturiers reconfigurables
1.2.4.1. Définition Suite aux différentes inefficiences des autres systèmes manufacturiers, les RMS
« Reconfigurable Manufacturing Systems » sont apparus. Selon Bi et al. (2008), un RMS
est un paradigme intermédiaire entre la production de masse et système de fabrication
flexible (FMS) qui peut répondre aux exigences de réactivité du marché à un coût
10
raisonnable comparativement aux systèmes traditionnelles (Koren, 2006). Selon Koren et
al. (1999): un RMS est conçu dès le départ pour un changement rapide de la structure, ainsi
que dans les composants matériels et logiciels, afin d'ajuster rapidement la capacité de
production et la fonctionnalité dans une famille de produits en réponse à des changements
soudains dans le marché ou dans les exigences réglementaires. Le RMS a combiné la
caractéristique du taux de production élevé du DMS et la caractéristique de flexibilité du
FMS.
Les deux termes qui s’associent toujours avec le RMS sont la reconfigurabilité et la
réactivité. Définissions ci-dessous ces deux termes.
D’après Merhabi et al. (2000), la reconfigurabilité d’un système manufacturier est la
possibilité de l’ajout, de la suppression ou de la modification des fonctionnalités, de la
commande, de la structure des machines ou du processus du système en réponse aux
changements de la demande du marché en produits, en volumes ou en technologies.
Quant à la réactivité (Responsiveness), elle constitue un attribut qui permet aux
systèmes de fabrication de lancer rapidement de nouveaux produits sur les systèmes
existants et de réagir rapidement et de manière rentable à l'évolution du marché, des
commandes des clients, règlements et les défaillances du système.
L'évolution du marché comprend:
- Les variations de la demande de produits
- Les changements dans les produits actuels
- Le lancement de nouveaux produits
1.2.4.2. L’applicabilité du RMS
Comme décrit précédemment le RMS est un système de fabrication réactif (responsive
manufacturing system) dont la capacité de production est réglable aux fluctuations de la
demande sur le marché et dont la fonctionnalité est adaptable à de nouveaux produits. Donc
le RMS lors de son application traite l’un des deux volets suivants (évolutivité,
fonctionnalité) ou les deux ensembles et c’est ce qu’on trouve généralement dans la
littérature.
Ces deux volets peuvent être décrits comme suit :
• L'évolutivité (Scalability) :
11
L'évolutivité (Scalability) : est une caractéristique essentielle des systèmes manufacturiers
reconfigurables. Elle permet à la capacité du système en termes de quantité produite d'être
rapidement et à moindre coût ajustée aux variations brusques de la demande du marché.
Dans quelques articles elle est appelée « Scalable RMS » (Spicer et Carlo, 2007)
• Fonctionnalité (Functionnality) :
Fonctionnalité (Functionnality) : est une autre caractéristique des systèmes manufacturiers
reconfigurables. Elle permet au système de s’ajuster aux demandes de nouveaux produits
(type) et ce, à travers le changement des configurations installées sur le système. Le
changement de la configuration va permettre ainsi au système de produire le nouveau type
de produit selon une capacité préétablie afin de s’adapter aux changements qui affectent la
demande des produits d’une période à l’autre.
1.2.4.3. Les types de reconfiguration : La figure 3 illustre les différents types de reconfiguration qui touche un RMS, ces
reconfigurations peuvent être (Mehrabi et al, 2000) :
• Dans la structure du système : réorganiser les machines suivant une configuration
série, parallèle ou hybride,
• Une reconfiguration logicielle du système,
• Une reconfiguration dans le système de contrôle associé au système,
• Une reconfiguration au sein d’une machine du système : par exemple ajouter ou
supprimer des modules, changement de quelques composants…
• Une reconfiguration dans le processus de fabrication du système.
Figure 3: les différents aspects de reconfiguration adaptée de Mehrabi et al. (2000)
Les types de reconfiguration
Système Logicielle Contrôle Machine Processus
12
1.2.4.4. Les différentes caractéristiques du RMS Pour que le système soit reconfigurable, il doit posséder des caractéristiques de base.
Donc pour permettre un haut degré de réactivité du système face aux besoins du marché, les
caractéristiques suivantes devraient être intégrées dans le système reconfigurable au stade
de la conception (Koren et al, 1999).
Figure 4: les caractéristiques du RMS selon Koren
• Modularité : tous les principaux composants doivent être modulaires. Ils
comprennent des éléments structurels, des axes, des contrôles, des logiciels et de
l’outillage. (du Preez, 2011).
• Intégrabilité : la capacité d'intégrer des modules rapidement et précisément par un
ensemble d'interfaces mécaniques, informationnelles, et de contrôle qui permettent
l'intégration et la communication.
• Diagnostabilité : la capacité de lire automatiquement l'état actuel d'un système et les
contrôles afin de détecter et de diagnostiquer les causes profondes des défauts, et
ensuite corriger les défauts opérationnels rapidement.
• Evolutivité : la possibilité de changer facilement la capacité de production existante
en réorganisant un système de production existant, et / ou en changeant la capacité
RMS
Modularité
Intégrabilité
Diagnostabilité
Évolutivité
Convertibilité
Personnalisation
13
de production de composants reconfigurables (par exemple, machines) au sein de ce
système.
• Convertibilité : la capacité de transformer facilement la fonctionnalité des systèmes
existants, des machines et des contrôles en fonction de nouvelles exigences de
production.
• Personnalisation : la capacité d'adapter la flexibilité personnalisée (non-général) des
systèmes de production et des machines pour répondre aux nouveaux besoins au
sein d'une famille de produits similaires.
1.2.5. Comparaison par rapport aux autres types de systèmes manufacturiers
Cette section présente une étude comparative des RMS par rapport aux autres types de
systèmes manufacturiers mentionnés ci-dessus. Afin d’évaluer la performance de chaque
type de système, Zhang et al (2006) ont introduit le concept de l’indicateur du degré de
satisfaction (SDI) qui est la mesure du degré de satisfaction de la performance d'un
système. Il varie entre ‘0’ et ‘1’ avec ‘0’ indiquant la pire performance du système analysé
et ‘1’ la meilleure performance. Une analyse du SDI peut nous donner l'idée de choisir le
système le plus approprié.
Les résultats de l’étude menée Zhang et al. (2006) sont présentés dans le tableau
suivant:
Tableau 1:SDI pour chaque type de système adapté de Zhang et al. (2006)
Système SDID SDIM SDIRC SDIRU SDIO SDIRM SDI DMS 0.7 0.7 0 0 1 0 0.51 AMS 1 1 0.3 0.3 0.8 0.6 0.76 FMS 0 0 1 1 0 1 0.27 RMS 0.9 0.9 0.8 0.8 0.6 1 0.87 COi 0.08 0.57 0.1 0.05 0.08 0.12
• D: coût de conception : il comprend tous les coûts engendrés par la conception du
système de fabrication: planification des processus, la conception technique, les
tests, l'évaluation et la documentation de conception.
• M: coût de mise en place : il constitue l'élément de coût le plus important dans
l'équation de coût. Dans la réalisation d'un système manufacturier, le coût est
14
composé des frais de matières, coût de main d’œuvre, coût des équipements et le
coût de gestion.
• RC: coût de reconfiguration : est le coût de reconfigurer (ou d’ajuster) le système
pour satisfaire aux exigences de la demande (en type ou volume). Il se compose du
coût de l’opération de reconfiguration.
• RU: coût du Ramp-up : est le coût engendré par la perte de performance du système
après une opération de reconfiguration. Ce coût est proportionnel au temps de
Ramp-up correspondant au temps nécessaire pour que le système arrive à un régime
de production stable égal à la capacité désirée.
• O: coût d’opération : est le coût de fonctionnement du système manufacturier, qui
comprend le coût de l'énergie, le coût de la consommation en matières, le coût de
gestion, le coût de maintenance, et ainsi de suite.
• RM: est le coût de recyclage / élimination du système après la fin du cycle de vie.
Cette analyse montre clairement que le RMS dispose du meilleure SDI avec un taux de
0.87 ce qui le classe en premier par rapport aux autres systèmes manufacturiers.
Au cours de son existence, un RMS sera reconfiguré plusieurs fois pour s'adapter au
marché en termes de volume de production (capacité) et de type de produits (modification
de la fonctionnalité). Une période de réchauffement (Ramp-up) pour rééquilibrer les
machines doit suivre chaque reconfiguration. Ci-dessous une figure qui illustre le processus
de fonctionnement d’un RMS suivant plusieurs reconfigurations permettant de s’adapter au
marché en termes de volume de production « capacité » (axe volume dans la figure) et
types de produits « fonctionnalité » (axe Time dans la figure).
Figure 5: Processus de fonctionnement d'un RMS
15
Le temps de reconfiguration est la période de temps nécessaire à la reconfiguration du
système. La reconfiguration d'un système comprend la réorganisation des équipements,
l’ajout de nouveaux modules, l’ajout ou la suppression de machines, etc.
Le temps de montée en puissance (Ramp-up) est le temps nécessaire pour que le
système de fabrication atteigne un état normal de production après une opération de
reconfiguration et ce, en terme de qualité et de vitesse de production. Le temps de montée
en puissance comprend le temps de pré-production et le temps de réglage.
Conformément à l’étude menée dans Mehrabi et al. (2000), ce nouveau paradigme
appelé système manufacturier reconfigurable, permettra la flexibilité non seulement dans la
production d'une variété de pièces, mais aussi à changer le système lui-même. Un tel
système sera créé en utilisant des modules de processus de base (soit matériels ou logiciels
ou les deux) qui seront réarrangés rapidement et de manière fiable. L’avantage principal est
que ces systèmes ne risquent pas de devenir obsolète, parce qu’ils permettront un
changement rapide des composants du système.
Ce système sera ouvert, de sorte qu'il peut:
(i) s’améliorer de façon continue par l'intégration de nouvelles technologies,
(ii) être rapidement reconfigurable pour accueillir les futurs produits et les
changements dans la demande de produits.
Les SMR ne vont pas coûter plus chère que les FMS ou même les DMS (Mehrabi et al,
2000). Contrairement aux autres types de systèmes, le RMS a pour but d'être installé avec
la capacité de production exacte et la fonctionnalité nécessaire, et peut être mis à niveau (en
termes de capacité et de fonctionnalité) dans l’avenir, en cas de besoin. L’expansion de la
fonctionnalité permet la production d'une variété de types de pièces plus complexes sur le
même système.
Comme mentionné précédemment les DMS ont une capacité très élevé mais une
fonctionnalité limitée (Koren et Ulsoy, 1997). Ils sont très rentable tant qu’on fabrique un
seul type de produit et la demande dépasse l’offre c’est-à-dire fonctionne à 100%. Mais
connaissant le marché de nos jours qui devient de plus en plus incertain et la concurrence
qui ne cesse de s’acharner, on peut avoir des situations où le DMS ne fonctionne pas à
pleine capacité ce qui crée des pertes pour l’entreprise. Concernant les FMS ils sont
caractérisé par une fonctionnalité très élevé c’est-à-dire ils peuvent fabriquer une variété
16
importante de produits. Mais leur problème figure au niveau de la capacité qui est très
limité. Les RMS offrent un compromis entre les deux avec une capacité et une
fonctionnalité variables dépendamment des configurations installées sur le système
(Mehrabi et al, 2000).
La figure suivante positionne les RMS par rapport aux deux principaux types de systèmes
manufacturiers qui existent sur le marché dans un repère qui prend en compte en même
temps la capacité de production et la fonctionnalité (variété de produit).
Figure 6: Positionnement du RMS par rapport au DMS et FMS
1.2.6. La fiabilité
Dans la littérature, la fiabilité possède plusieurs définitions; ces définitions dépendent
généralement du domaine d’application. Mais la définition commune est que ‘’la fiabilité
décrit la capacité d'un système ou d'un composant à fonctionner dans des conditions bien
déterminées pour une période de temps spécifiée’’. (Geraci et al, 1991).
On a remarqué que deux termes sont toujours associés à la fiabilité : la qualité et la
maintenance.
Concernant la qualité elle est définie comme « une mesure de confiance que le produit est
conforme aux spécifications au moment de quitter l'usine » (Li et al. 2012). Plusieurs
Capacité (pièce/année)
Fonctionnalité (variété de produit)
DMS
RMS
FMS
17
chercheurs ont établi un lien entre la panne ou la dégradation d’un système et la qualité des
produits. Une étude faite par Jin et al. (2001) a montré qu’il y a une relation très
importante entre la fiabilité et la qualité. La figure ci-dessous illustre cette relation :
Figure 7: L'effet de la coopération entre la qualité et la fiabilité
Concernant la maintenance elle est abordée suivant deux options : elle peut s’agir d’une
maintenance corrective c’est-à-dire une réparation du système qui peut être soit partielle ou
totale ou au début du fonctionnement du système comme elle peut concerner une
maintenance préventive, c’est-à-dire le fait de prévoir une non-fiabilité dans le futur et
effectuer les mesures nécessaires afin de l’éviter.
Le terme fiabilité nous concerne vu que le système que nous nous proposons d’étudier dans
ce travail de recherche est un système non fiable qui peut être sous plusieurs états. La partie
suivante expliquera un cas de non fiabilité classique avec deux états : un état de panne et un
état de fonctionnement. Ce cas classique est modélisé à l’aide des chaines de Markov.
1.2.7. Modélisation mathématique à l’aide des chaînes de Markov
« Le futur ne dépend que de l’état présent » est la propriété principale d’une chaine de
Markov. La chaîne de Markov est régit par un processus stochastique, elle a été développée
18
au début par le mathématicien Andrei Markov au début du 20ème siècle, suivi par
Chapman et Kolmogorov.
Cette modélisation permet d’étudier le comportement d’un système à l’aide d’un graphe
orienté. Dans ce graphe, on possède les états que le système peut prendre, une transition
entre deux états est appelée un taux de transition lorsque le temps est continu et elle est
appelé probabilité de transition lorsque le temps est discret.
L’exemple de base est le cas d’une seule machine. Cette machine peut avoir des pannes et
réparations aléatoires. On définit α(t) une variable discrète qui présente l’état de la
machine. Supposons qu’un processus Markovien à temps continu et à espace d’état discret
fini génère l’état de la machine.
𝛼(𝑡) = �1 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑒0 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑛𝑒
Le processus markovien signifie que la durée moyenne de fonctionnement de la machine et
la durée moyenne de réparation de la machine sont des variables qui suivent une
distribution exponentielle avec un taux de panne q10 et un taux de réparation q01.
On désigne par MTTF (Mean Time To Failure) la durée moyenne de fonctionnement de la
machine et par MTTR (Mean Time To Repair) la durée moyenne de réparation de la
machine.
On présente dans la figure suivante le diagramme de transition d’une chaine de Markov à
deux états.
Figure 8: Diagramme de transition de la chaîne de Markov à deux états
19
On désigne ainsi la matrice de transition suivante :
𝑃 = �1 − 𝑞10 𝑞10𝑞01 1 − 𝑞01
� 0 < 𝑞10, 𝑞01 < 1
On réfère le lecteur à Gershwin (1994) pour plus de détails.
• Probabilités limites :
En régime stationnaire, c’est à dire lorsque t tend vers l’infini, et avec
(1 − q01 − q10 ≤ 0), on peut ressortir les relations suivantes qui nous permettent de
calculer la probabilité limite de chaque état (Gershwin, 1994) :
𝑃(0) =
𝑞10𝑞10 + 𝑞01
; 𝑃(1) = 𝑞01
𝑞01 + 𝑞10
1.3. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons décrit brièvement les principaux termes techniques qu’on aura
besoin plus tard dans ce mémoire. On a commencé par les systèmes manufacturiers en
général puis la présentation de ses différents types pour arriver à la description de la classe
des systèmes manufacturiers sous étude, notamment les RMS. Ensuite, on a décrit la
fiabilité qui occupera une place importante dans notre étude.
Dans le prochain chapitre, on abordera une revue littérature sur les systèmes manufacturiers
reconfigurables et les différentes modélisations mathématiques qui ont été faites jusqu’à ce
jour. On présentera ensuite la problématique et notre méthodologie de travail.
20
21
CHAPITRE 2
POBLÉMATIQUE ET REVUE DE
LITTÉRATURE
2.1. Introduction Après avoir présenté quelques notions de base dans le premier chapitre, le présent chapitre
abordera tout d’abord les objectifs de la recherche ensuite une revue de littérature
permettant de revenir sur les travaux existants et les contributions escomptés de ce travail
de recherche. La méthodologie proposée pour résoudre la problématique de ce travail
conclura ce chapitre.
22
2.2. Problématique de recherche La réalité des entreprises manufacturières a connu un virage marqué au cours du 20ième
siècle et plus particulièrement à la fin de ce siècle alors que la concurrence a pris une
dimension internationale. Cette réalité a eu un impact indéniable sur l’offre et la demande
et plus particulièrement sur le lancement plus fréquent de nouveaux produits et sur les
fluctuations importantes dans la demande. Afin de demeurer compétitives, les entreprises
manufacturières doivent faire appel à des systèmes qui permettent l’atteinte de trois
objectifs : produire à moindre coût, garantir une qualité supérieure et détenir les capacités
de réagir à un changement dans l’environnement en temps opportun (Koren, 2006). Les
systèmes manufacturiers reconfigurables (RMS) sont considérés comme la nouvelle
révolution des systèmes manufacturiers, un des paradigmes les plus efficaces pour répondre
à une grande partie des exigences manufacturières comparativement aux systèmes
traditionnels (i.e., systèmes : dédiés, flexibles, ajustables) (Bi et al, 2008; Zhang et al,
2006). Un système manufacturier reconfigurable est un système conçu pour changer de
structure très rapidement (système physique et informatique) dans le but d’ajuster
rapidement sa capacité de production en fonction des changements brusques de la demande
ou ceux de l’état physique du système lui-même (Koren et al, 1999, Koren, 2006).
Plusieurs études et travaux de recherche se sont penchés sur des problématiques relatives à
la conception et au pilotage des SMR pour atteindre des objectifs de productivité et de
réactivité aux changements brusques de la demande des clients. Toutefois, l’étude de cette
problématique dans le but de développer des stratégies de contrôle de ces systèmes dans un
environnement manufacturier non-fiable demeure ouverte.
On considère une entreprise manufacturière qui a conçu ses installations suivant des
propriétés qui répondent au paradigme RMS (voir chapitre 1). Ce système de production est
caractérisé par sa capacité de produire plusieurs produits de la même famille et aussi
d’ajuster sa capacité de production suivant la demande du marché. La capacité de produire
plusieurs produits et l’ajustement des installations est possible suivant des règles
préétablies. Ces règles réfèrent principalement aux différentes configurations que le
système détient. Chaque configuration se caractérise par ses propriétés intrinsèques
(fiabilité, coût de reconfiguration…) et sa capacité de produire un ensemble de type de
23
produit connu à des conditions différentes (rythme de production, coût de production,
ramp-up...). Dans ces conditions, il est clair que des compromis existent dans le sens où
dépendamment des conditions de la demande (type et volume d’une période à l’autre), la
séquence des configurations à installer sur le système aura un impact majeur sur les
performances finales en termes de capacité à répondre à la demande et le coût total
encouru. L’entreprise a des prévisions à moyen terme sur la nature de la demande du
marché du point de vue type des produits et quantités demandées à chaque période. Ces
prévisions sont considérées dans notre problème comme des commandes fermes. Cette
hypothèse sera relaxée au chapitre 4 pour étudier plus en profondeur l’impact d’une
demande aléatoire sur les décisions et le coût encouru.
La figure 11 suivante illustre les processus du système considéré. Elle met en évidence
essentiellement le flux d’information qui servira à sélectionner la configuration à installer
d’une période à l’autre. Ce flux provient du marché (type de produit et volume de la
demande) et des propriétés du système.
Figure 9: Structure du système manufacturier sous-étude
Étant donné le compromis important entre les coûts de reconfiguration, de production, de
stockage et de pénurie, le principal objectif de ce travail de recherche consiste à proposer
une stratégie adaptative qui permet un meilleur choix de la séquence de configurations et un
meilleur contrôle du rythme de production du système afin de minimiser le coût total
encouru sur un horizon fini de planification. On reviendra sur le problème à résoudre ainsi
que et ses caractéristiques d’une façon plus détaillé dans le prochain chapitre.
24
2.3. Revue de littérature Dans cette section, nous allons présenter une revue de littérature sur les études de recherche
qui ont touché de prêt ou de loin les systèmes manufacturiers reconfigurables dans un
contexte de prise de décision. On va diviser cette revue en deux grands volets : le premier
volet abordera le sujet pour les travaux qui ont traité le problème à un niveau tactique de
décision. Le deuxième volet sera consacré aux travaux qui ont commencé à aborder la
question de la prise de décision opérationnelle d’une façon dissociée ou intégrée avec le
niveau tactique. Tout au long de cette section, on s’attardera sur la contribution du travail
de recherche cité ainsi que les caractéristiques du système RMS considéré, et ce, dans un
contexte statique-déterministe ou dynamique-stochastique.
2.3.1. Décision de reconfiguration à un niveau tactique
Selon Schmidt et Wilhelm (2000), le niveau tactique concerne l’établissement des
politiques de gestion des flux de matières, y compris les niveaux de production dans toutes
les usines, la politique de l'assemblage, les niveaux de stocks et la taille des lots. Il traite les
flux des produits et composants à partir des fournisseurs, et ce, jusqu’aux clients finaux. Le
niveau tactique traite un horizon de temps variant généralement entre 6 et 24 mois.
Plusieurs articles se sont concentrés sur le niveau tactique de la hiérarchie de décision lors
de l’élaboration du modèle d’aide à la décision des RMS.
On commence tout d’abord par l’un des travaux les plus récents de Wang et Koren (2012).
Dans ce travail, les auteurs considèrent qu’ils peuvent ajouter ou supprimer des machines
pour répondre aux nouvelles exigences de capacité du système. Cette approche utilise un
processus de planification de l'évolutivité (Scalability) qui change en même temps la
configuration du système et rééquilibre le système reconfiguré. Ce système d’aide à la
décision développé permet de donner le nombre de machines à ajouter/supprimer à chaque
étage du système afin de répondre à la demande du marché d’une façon optimale. Une
approche d'optimisation basée sur un algorithme génétique est développée pour déterminer
le moyen le plus économique pour reconfigurer un système existant. L'approche proposée
est validée par une étude de cas d'un système à base de CNC pour l’usinage d’une culasse
d’une automobile. Cet article a traité la caractéristique de l’évolutivité des RMS.
25
Une autre étude a suit une logique semblable dans l’architecture du RMS. Cette étude
menée par Spicer et Carlo (2007) ne considèrent pas des machines à ajouter ou à supprimer
mais plutôt une structure de système composée de bases et de modules. Le modèle
développé permet de prendre une décision sur le nombre de bases et de modules à installer
sur le système afin de répondre à une demande déterministe du marché sur un horizon fini.
Le modèle proposée figure parmi les rares qui ont détaillé la fonction coût de
reconfiguration. Le modèle a été résolu à l’aide de la programmation dynamique (DP).
Ensuite, une heuristique qui combine la programmation en nombre entier et la
programmation dynamique (IP-DP) a été développée afin de réduire le temps de résolution.
L’étude a pris en compte le coût de main d’œuvre, le coût de manque de capacité et le coût
d’investissement/récupération dû à la reconfiguration du système et du Ramp-up dans la
fonction objectif. Dans cet article, seulement la caractéristique de l’évolutivité du RMS a
été traitée en plus plusieurs paramètres opérationnels n’ont pas été considéré (tel que les
pannes, les livraisons,..).
Kuzgunkaya et ElMaraghy (2007) considèrent aussi une structure RMS de bases et de
modules qui peuvent être installés ou supprimés afin de s’ajuster au volume de la demande
qui varient d’une période à une autre. De plus, les auteurs considèrent qu’il y a une
possibilité de sous-traitance si le système est incapable de répondre à la totalité de la
demande du marché. Dans le même ordre d’idée que l’article précédent, Du Preez (2011) a
considéré les décisions de reconfigurations sur un horizon fini. Ces configurations
comprennent le nombre de bases et de modules à installer à chaque période. Cet article
présente un modèle d'optimisation multi-objectif en nombres entiers mixte pour évaluer les
investissements dans les systèmes manufacturiers reconfigurables utilisés dans un
environnement où la demande du produit est variable. Ce travail présente aussi une
comparaison entre un FMS et un RMS dans une étude de cas afin d’évaluer la performance
de la stratégie développée et d’identifier ses limites d’application. Cette recherche n’a traité
que la caractéristique de l’évolutivité du RMS et n’a pas considéré des décisions
opérationnelles.
Deif et ElMaraghy (2006) ont résolu le problème de gestion de la capacité (Scalability)
dans les RMS en utilisant la programmation dynamique. Le modèle utilise une fonction de
26
coût qui comprend à la fois le coût de production lié à la capacité physique du système et
les coûts de reconfiguration du système. Le résultat présenté propose un plan optimal de
l'évolutivité de la capacité pour le RMS considéré. Le plan détermine les niveaux optimaux
associés aux configurations choisies sur tout l'horizon de planification. En d’autres termes,
quand mettre à jour la capacité ?, et de combien la capacité devrait être mise à l'échelle ? La
robustesse de la stratégie développée a été supportée par des analyses de sensibilité
permettant de mesurer l’effet des paramètres du coût de la reconfiguration sur les décisions
et la performance du système. Cependant, les auteurs ont négligé les incertitudes du
marché. De plus, le modèle développé couvre seulement le niveau de décision tactique et ne
considère pas la prise de décision au niveau opérationnel.
Dans la série des quatre articles de Xiaobo et al. (2000a, 2000b, 2001a, 2001b), la question
de l’architecture du RMS n’a pas été abordé ce qui correspond à la même vision des autres
travaux cité précédemment. Les auteurs ont considéré qu’on dispose de plusieurs
configurations et chaque configuration est capable de fabriquer un certain nombre de
produit. Ils étaient les pionniers à développer un modèle stochastique qui a donné un aperçu
complet de la modélisation stochastique des RMS. Leurs recherches portent notamment sur
trois importants facteurs dans la mise en œuvre d’un RMS: les configurations optimales
dans le stade de la conception, la politique de sélection optimale dans la phase d'utilisation
et la mesure des performances dans la phase de l'amélioration proposée. Dans leur premier
article, ils proposent un cadre pour un modèle stochastique d'un RMS afin de répondre aux
facteurs décrits précédemment. Un exemple est donné à titre d'illustration et des discussions
sont présentées pour faire le lien avec les trois autres articles. Dans le deuxième article,
comme il existe plusieurs configurations possibles pour chaque famille de produits, les
auteurs se sont posé la question à propos des configurations optimales pour chaque famille.
En se basant sur un modèle stochastique, un problème d’optimisation a été développé afin
de répondre à cette question. Un algorithme est proposé pour résoudre le problème
d’optimisation. Afin d’améliorer le temps de résolution, un autre algorithme est proposé
pour la résolution des problèmes à grande échelle (Xiaobo et al, 2000b). Leur troisième
article était axé sur la politique de sélection optimale (Xiaobo et al, 2001a). Le dernier était
centré sur les mesures de la performance du système à considérer afin d'optimiser le
27
nombre maximal de commandes acceptées quand il y a une forte fluctuation de la demande
du marché (Xiaobo et al, 2001b).
Contrairement à la définition de Koren (2006) où il affirme qu’un RMS est conçu pour
ajuster rapidement la capacité de production et la fonctionnalité à l'intérieur d'une famille
de produits c’est-à-dire que chaque type produit est fabriqué par une configuration, Xiaobo
et al. (2000a, 2000b, 2001a, 2001b) ont considéré le RMS comme un système de
fabrication dans lequel une variété de produits similaires requis par un client est classée
dans une famille. Chacune d’elle est un ensemble de produits qui nécessite une seule
configuration du RMS. Donc, avec une seule configuration on peut fabriquer une famille de
produits et non pas juste un seul type de produit. Ces configurations possibles possèdent
différentes vitesses de production, coûts de production et coûts de changement de
configuration. En récapitulant, dans cette série d’articles de Xiaobo et al. les auteurs ont
considéré seulement la caractéristique de l’ajustement du système avec la demande du
marché en termes de la fonctionnalité du produit et ils ont traité le système juste au niveau
tactique avec les paramètres suivants : coût de production et coût de changement de
configuration.
Ces travaux ont tous abordé le sujet des systèmes manufacturiers reconfigurables en
utilisant des paramètres tactiques. Ça parait très bien que même si les travaux cités ont
abordé le même niveau de la hiérarchie de décision avec des paramètres similaires, ces
travaux de recherche semblent être hétérogènes et chacun a son point de vue du problème et
sa manière de le modéliser. Dans la partie suivante, on abordera les travaux de recherche
qui ne se sont pas limités au niveau tactique. La prise en considération de l’évolution à
court terme du système avec les variables de décision et paramètres opérationnels permet
de couvrir une dimension permettant de s’approcher plus du contexte dynamique réel.
2.3.2. Décisions de reconfiguration intégrant les niveaux tactique et opérationnel
Au cours de la prise de décision de la reconfiguration, plusieurs paramètres entrent en jeu.
Comme mentionné dans la section précédente, plusieurs auteurs se sont concentrés sur des
variables et paramètres découlant du niveau tactique de la hiérarchie de décision vu que la
28
décision de reconfiguration doit se prendre dans un horizon moyen terme. Or, l’intégration
des paramètres du niveau opérationnel peut affiner cette prise de décision et l’améliorer. Le
niveau opérationnel concerne généralement l’exécution des opérations afin d’assurer une
livraison à temps des produits finis ainsi que le respect et l’ajustement des plans établis
(Mehrabi et al, 2000).
Abbasi et Houshmand (2011) se sont concentrés sur la phase d'utilisation d'un RMS et la
mise en place d'une méthodologie pour ajuster efficacement les capacités de production
évolutives (scalability) et les fonctionnalités du système aux exigences du marché. Ils
considèrent qu’un ensemble de configurations possibles pour chaque famille de produits
existe et ayant chacune son taux et coûts de production. Le taux d’arrivée des ordres
appartenant à chaque famille de produit est considéré aléatoire suivant une distribution de
poisson. L’objectif de ce travail est de déterminer «l’arrangement optimal» qui maximise le
profit total et qui respecte les conditions ou contraintes du système. Un «arrangement»
selon les auteurs est défini par le nombre de ses séries (une série est composée d’une
opération de production avec une même configuration), la séquence des familles de
produits sélectionnées, les configurations sélectionnées et les tailles des lots. L’approche de
résolution combine une approche de programmation non linéaire en nombre entiers mixte
et un algorithme génétique. Les auteurs considèrent le coût de stockage, de production et
de reconfiguration et aussi le temps requis pour changer la configuration du système. Ils ont
considéré que les ordres sont perdus s’ils ne sont pas satisfaits immédiatement.
Matta et al. (2008) considèrent aussi un système qui dispose d’un ensemble de
configurations et que chaque configuration est caractérisée par sa capacité de produire un
ensemble de produits bien déterminé avec des taux de production différents. Ils supposent
que la fonctionnalité du système (la configuration installée) doit être au minimum égale à la
fonctionnalité du produit, tout en considérant que le passage d’une configuration à une
autre requiert un coût de reconfiguration. Leur étude donne comme résultat la séquence
optimale de reconfiguration pour un problème multi-période tout en minimisant le coût
total. La demande considérée en termes de quantité de produit et d’exigences technologique
(type de produit) suit une distribution uniforme. C’est un problème multi-périodes sur un
horizon fini qui a été résolu par la programmation dynamique. En plus des coûts de
29
production et des coûts de changements de la configuration, ils ont considéré quelques
paramètres opérationnels tels que le coût de pénurie et le coût de production durant la
période de la montée en puissance (Ramp-up).
Asl et Ulsoy (2002) évoquent le problème de gestion de la capacité de production avec une
demande stochastique du marché sur un horizon fini. Ils considèrent que le système est
composé d’un ensemble de ‘’modules de capacités’’ qui peuvent être installés au besoin sur
le système afin de répondre à la demande du marché. Cet ensemble est appelé «Scalability
set». La politique optimale présentée est basée sur la théorie de décision markovienne. La
fonction objective considérée intègre le coût de production, de changement de la
configuration, de stockage et de pénurie. Ils intègrent aussi dans leur modèle un temps de
retard important entre le moment où le changement de capacité est planifié et le moment où
il est installé. Cet article traite seulement la caractéristique de l’évolutivité du RMS. Dans
le même ordre d’idée, les mêmes auteurs (Asl et Ulsoy, 2003) ont présenté une approche
basée sur la programmation dynamique et ont montré la connaissance de l’état du système
en rétroaction peut apporter des solutions sous-optimales au problème. Ce dernier article
porte uniquement sur la gestion de la capacité du système à travers la reconfiguration.
Dans le même contexte de la gestion de la capacité (Scalability), Renna (2009) propose une
approche basée sur la simulation pour la résolution de ce problème. Une architecture multi-
agent a été proposée pour la mise en œuvre de la politique de changement de la capacité
dans le RMS sous-étude. Le système considéré est composé de plusieurs lignes de
fabrication, chaque ligne correspond à un RMS. Les décisions considérées dans cette étude
sont : (1) Quand la capacité doit être revue (reconfiguration s’impose) (2) Quelle ligne de
fabrication doit être reconfigurée (3) Combien d’unités de capacité doivent être transférées
d’une ligne de fabrication à une autre. Dans cette étude, en plus des paramètres tactiques
classiques, l’auteur a considéré les paramètres du niveau opérationnel suivants : les pannes,
le temps de set-up et les retards.
En récapitulant, la majorité des travaux ont considéré la reconfiguration du point de vue
gestion de la capacité (Scalability) et peu de travaux ont considéré la gestion des
préférences technologiques (fonctionnalité du produit ou type) selon les exigences du
marché en même temps avec le problème de gestion de la capacité. On remarque aussi que
30
du point de vue intégration des paramètres opérationnels et tactiques dans la prise de
décision le problème reste ouvert. Parmi les éléments qui suscitent notre intérêt, figurent
l’état du système durant la phase d’exécution (en panne, en en défaillance partielle, en
fonctionnement), l’état de l’inventaire et la situation des livraisons. À notre connaissance
pratiquement aucun travail n’a abordé cette problématique. Dans ce travail, nous nous
proposons d’étudier l’intégration de ces paramètres opérationnels avec les décisions de
reconfiguration tactique. Dans une perspective d’exécution et d’ajustement des décisions à
court terme, nous cherchons à développer une stratégie de contrôle qui intègre les décisions
tactique et opérationnel et ce, en fonction des états du système dans le temps.
2.4. Programmation dynamique stochastique et la théorie de contrôle
La programmation dynamique stochastique permet de traiter les problèmes de prise de
décision dans le temps. À l’aide de cette formulation mathématique, nous pouvons aborder
des problèmes de décision dont le système évolue au cours du temps et faisant face à des
évènements et paramètres stochastiques. Cette méthode se base sur le principe de
décomposition de Bellman. Le lecteur intéressé à avoir plus de détails sur la
programmation dynamique stochastique peut se reporter à Bertsekas (1996).
Dans ce qui suit, nous présentons quelques notions de base reliées à cette approche. On
considère un système dynamique qui évolue de manière stochastique au cours du temps, et
ce, en fonction des décisions prises. La formulation en programmation dynamique
stochastique vise à détailler le processus de prise de décision à chaque période de temps et
son impact sur la fonction objectif du problème. Afin d’illustrer la formulation de cette
méthode, considérant une problème de prise de décision sur un horizon fini T. à chaque
instant nous pouvons écrire l’équation de Bellman de sorte à ce qu’une prise de décision à
un instant t doit minimiser le coût à l’instant t encourue suite à la décision prise plus le coût
futur espéré de l’instant t+1 jusqu’à T. Selon le principe d'optimalité de Bellman, la
solution obtenue en solutionnant le problème est optimale. Ceci, à condition bien sûr de
connaître avec exactitude tous les éléments du problème incluant le coût prévu de l’instant t
+ 1 à T. Le principe d'optimalité de Bellman réduit le problème de contrôle au calcul de
cette fonction.
31
La programmation dynamique stochastique est caractérisée par les éléments suivants :
• Variables d’états du système :
À l’aide des « variables d’états » on peut déterminer l’évolution future du système.
• Fonction objectif :
La « fonction objectif » constitue la finalité de ce problème d’optimisation. Sous la forme
d’un coût à minimiser, un profit à maximiser ou une autre mesure de performance à
optimiser. L’optimisation de cette fonction durant l’horizon d’étude permet de déterminer
la meilleure séquence de décision à prendre.
• Contraintes :
Ce sont les conditions requis qui doivent être satisfaites afin de déterminer la solution à un
problème d'optimisation. Il existe deux types de contraintes: les contraintes d'égalité et les
contraintes d'inégalité.
• Conditions initiales :
Ce sont les paramètres du système fixés au début qui permettent de décrire l’état initial.
• Variables de contrôle :
Par définition les « variables de contrôle » permettent de contrôler l’action par une prise de
décision dans le temps.
Rassemblons ces derniers éléments afin de fournir à un problème de commande optimale
une formulation dynamique stochastique, la formulation ci-après est inspirée de Gershwin
(1994).
𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓:
min𝐸 � 𝑔�𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)�𝑑𝑡𝑇
0
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑡𝑒 à:
32
𝑑𝑥𝑗(𝑡)𝑑𝑡
𝑢𝑗(𝑡) − 𝑑𝑗{𝛼(𝑡), 𝑡 ≥ 0}
� 𝐷𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒
𝜏1𝑢1(𝑡) + 𝜏2𝑢2(𝑡) ≤ 𝛼(𝑡)𝑢𝑗(𝑡) ≥ 0 � 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑥(0),𝛼(0)𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 } 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑢𝑗:𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑗
𝑑𝑗:𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑗
Le problème décrit ci-haut est un problème de programmation dynamique puisque le coût
est évalué dans le temps et le choix présent de la variable u (taux de production) influence
l’état futur du système. Les éléments les plus importants de la solution d’un tel problème
sont : la politique de contrôle et la fonction valeur notée J(.) qui est la valeur de la fonction
coût quand la politique de contrôle optimale est adoptée.
Ce problème est considéré comme ‘’un problème de commande optimale stochastique’’.
Afin de le résoudre, il a été démontré que la fonction valeur J(.) doit satisfaire un ensemble
d’équations aux dérivées partielles couplées dites équations Hamilton-Jacobi-Bellman. Ces
équations définissent les conditions d’optimalité du problème et permettent, une fois
résolues, de trouver le contrôle optimal recherché. Or, ces équations dans plusieurs
contextes sont analytiquement difficiles à résoudre, d’où l’apparition de plusieurs
approches de résolution approximatives dont l’approche numérique. Cette dernière vise à
approximer la fonction valeur J dans l’espace d’état du problème. En se basant sur
l’approche de Kushner (1992), plusieurs travaux ont résolus des problèmes de commande
optimale stochastique de façon numérique (Hajji et al. (2009, 2010) et Gharbi et al. (2011)).
Cette approche numérique malgré son efficacité reste limitée face à des problèmes
complexes d’un point de vue modélisation mathématique. De plus, elle permet d’amener
une solution statique et ne peut offrir une représentation dynamique de l’évolution du
système dans le temps. Cette représentation peut s’avérer indispensable pour faire une
33
étude approfondie du système sous étude ou pour mener des études comparatives. Dans la
littérature scientifique, plusieurs auteurs ont eu recours à la simulation et aux approches
d’optimisation basées sur la simulation comme méthodologies complémentaires aux
approches analytiques. Dans ce qui suit un bref aperçu de cette approche.
2.5. La simulation La simulation est définit par Maria (1997) comme ‘’un outil pour évaluer les performances
d'un système, existant ou proposé, sous différentes configurations d'intérêt et sur de longues
périodes de temps’’. De cette définition on peut conclure que mise à part les limites des
approche purement analytique, la simulation est une approche à part entière incontournable
dans différents contextes. Dans un environnement manufacturier, plus particulièrement, la
complexité de la dynamique du système et la présence d’évènements aléatoires font en
sorte qu’un outil permettant de représenter fidèlement le système devient d’une grande
utilité. On peut penser à l’évaluation des performances du système dans son état actuel,
l’analyse de ses performances peut aboutir à des propositions de changement dans la
structure du système ou dans les méthodes de gestion qui le régissent. Ces propositions
peuvent être intégrées dans le modèle de simulation pour mener des études approfondies de
l’impact des changements proposés.
On peut appliquer la simulation dans pratiquement tous les domaines : de la production, la
finance à la santé. On trouve des simulations de files d’attente, machine de production,
aéroports, des entrepôts…etc.
En consultant les travaux de Kenné et Gharbi (2004), Gharbi et al. (2006), Pellerin et al
(2009), on constate que la combinaison de la simulation avec des approches mathématiques
et/ou des approches d’optimisation statistique a permis de résoudre des problématiques
complexes de prise de décision dans le domaine manufacturier.
L’approche élaborée par Carson (2004) énumère les différentes étapes d’un projet de
simulation, cette approche comprend quatre étapes principales et chape étape contient des
sous-étapes. La figure suivante présente ces étapes.
34
Figure 10: Les étapes d'un projet de simulation selon Carson (2004)
35
2.6. Objectifs de la recherche L'objectif principal de ce travail de recherche est de développer et d'évaluer des stratégies
de reconfiguration de systèmes manufacturiers intégrant des aspects de réactivité, de
productivité et de fiabilité et de valider leur applicabilité dans un contexte stochastique et
dynamique. Plus précisément, ce travail de recherche vise à :
1- Proposer une formulation mathématique permettant d’aborder la question de
pilotage des systèmes RMS en intégrant les niveaux tactique et opérationnel de la
hiérarchie de décision tout en intégrant des aspects de réactivité;
2- Développer une stratégie de reconfiguration dynamique qui prennent en
considération les phénomènes aléatoires reliés à la disponibilité du système ainsi que les
décisions de production à un niveau opérationnel, et ce, en proposant une politique de
contrôle de la production suivant les niveaux d’inventaire afin d’assurer le meilleur taux de
livraison à temps qui permet à l’entreprise de minimiser les coûts de retard tout en
minimisant aussi les coûts de stockage;
3- Mener une étude comparative du modèle analytique proposé qui intègre les deux
niveaux tactique et opérationnel dans la prise de décision de reconfiguration par rapport au
modèle qui ne tient pas compte des paramètres opérationnels dans la prise décision de
reconfiguration,
4- Proposer une approche par simulation pour le modèle intégré et effectuer une étude
comparative par rapport à un modèle existant afin de valider l’avantage des stratégies
développées;
2.7. Méthodologie de travail Ce travail de recherche abordera la dynamique des systèmes manufacturiers reconfigurables
dans un contexte de non-fiabilité.
Pour étudier ces systèmes, on considère deux niveaux de la hiérarchie de décision : le
niveau tactique et le niveau opérationnel. Le but est de déterminer la séquence de
reconfiguration optimale du système sous-étude sur un horizon fini, en plus de la séquence
36
de reconfiguration, nous cherchons à développer une stratégie d’exécution au niveau
opérationnel qui adapte les décisions de production en fonction de l’état du système dans le
temps. Le système considéré est non fiable pouvant fonctionner sous plusieurs états.
Notre méthodologie de travail se divise principalement en deux grandes parties :
- Premièrement, on étudiera le problème avec une approche purement mathématique.
Le problème sera ainsi modélisé par programmation dynamique pour adresser le
niveau tactique seulement. Les décisions optimales relatives à la séquence de
reconfiguration sur l’horizon d’étude sera ainsi développée. Ce modèle sera par la
suite intégré au niveau opérationnel avec une approche dynamique stochastique. La
résolution de ce dernier se fera numériquement en solutionnant les équations
d’optimalité HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman). Une comparaison sera par la suite
menée pour montrer les avantages de cette intégration. La stratégie adoptée dans
cette partie est présentée dans la figure 10. On effectuera une étude comparative
entre deux scénarios. Dans le premier scénario, la séquence de reconfiguration
optimale est donnée suite au modèle réalisé au niveau tactique (Partie A), ensuite
cette séquence de reconfiguration est introduite au niveau opérationnel afin
d’incorporer le coût opérationnel dans le coût total d’exploitation et de donner la
politique de contrôle optimale sur l’inventaire (Partie B). Par contre, pour le
deuxième scénario, la séquence de reconfiguration optimale est donnée suite à un
modèle intégré entre les paramètres tactique et opérationnel de la hiérarchie de
décision (Parties C & D).
- Deuxièmement, on étudiera le problème avec une approche expérimentale en
utilisant la simulation, au cours de cette partie on développera un modèle de
simulation complet qui intégrera tous les paramètres du système sous étude. Ce
modèle est conçu pour intégrer les deux niveaux de la hiérarchie de décision (niveau
opérationnel et tactique). A travers ce modèle on montrera les avantages de la
politique de contrôle optimale développée mathématiquement dans différents
contextes (demande aléatoire et sensibilité sur les principaux paramètres du
système). De plus, une étude approfondie visant à montrer les avantages des
37
systèmes manufacturiers reconfigurables en comparaison avec les systèmes
ajustables est menée. Cette approche de simulation est proposée afin de compléter le
travail fait dans la partie analytique et l’enrichir.
Figure 11: Première partie de la méthodologie de travail
A
B
C
D
38
2.8. Contributions de la recherche
Ce travail apporte des contributions très importantes pour l’avancement des connaissances
dans le contexte du contrôle et la gestion des systèmes manufacturiers reconfigurables.
Nous pouvons résumer ces contributions dans les points qui suivent :
• La formulation mathématique d’un modèle d’aide à la décision qui intègre deux
niveaux de la hiérarchie de décision. Comme mentionné dans la revue de la
littérature, la grande majorité des travaux ont considéré les décisions de
reconfiguration des RMS à un niveau tactique sans prise en considération de la
dynamique opérationnelle de ces systèmes. Le modèle développé, en plus de cette
intégration, considère la reconfiguration du point de vue gestion de la capacité
(Scalability) et des préférences technologiques (fonctionnalité du produit ou type).
La prise en considération de la fiabilité du système à un niveau de décision
opérationnelle complète cette vision afin d’étudier le processus décisionnel dans un
contexte le plus proche de la réalité.
• La résolution du modèle formulé nous a permis de développer une stratégie sous
optimale qui intègre les décisions de reconfiguration et de contrôle du rythme de
production. Dans ce contexte, nous avons pu montrer que les stratégies à seuil
critique (HPP) combinées à une séquence de configuration sur l’horizon de
planification donnent d’excellents résultats en comparaison à des décisions
dissociées (détermination de la séquence de configuration puis optimisation des
rythmes de production). À notre connaissance, aucun travail n’a abordé la question
du contrôle dynamique stochastique des RMS ce qui fait de cette formulation un
plus dans ce domaine.
• Dans la littérature plusieurs travaux ont abordé la question des avantages que les
RMS apportent en comparaison aux systèmes de production classique. Nous avons
rapporté ces aspects dans la section 1.2.5 du chapitre 1. Cependant, la majorité de
ces études se sont basées sur des études empiriques. Dans le cadre du chapitre 4 de
39
ce travail, l’analyse du système sous étude avec l’approche de la simulation nous a
permis d’étendre l’analyse de l’approche mathématique et de mener une étude
comparative supportée par des comparaisons statistiques pour montrer les avantages
des RMS pour entres autres absorber la variabilité de la demande et ce, en
comparaison avec les systèmes ajustables (AMS, voir section 4.4). De plus, les
avantages de la stratégie développée numériquement seront étudiés plus en
profondeur dans différents contextes.
2.9. Conclusion Ce chapitre a été consacré essentiellement aux travaux de recherche les plus pertinents qui
ont un rapport soit avec les systèmes manufacturiers reconfigurables ou le processus de
prise de décision pour piloter ces systèmes. Ensuite on a présenté la méthodologie qui a été
adopté durant notre travail de recherche pour finir avec les contributions les plus
importantes de ce projet.
Dans le prochain chapitre, on présentera la première partie de ce travail de recherche, soit la
modélisation mathématique du problème et l’approche de résolution numérique.
40
41
CHAPITRE 3
MODELISATION MATHEMATIQUE ET
APPROCHE DE RESOLUTION
NUMERIQUE
3.1. Introduction Dans ce chapitre, on va commencer tout d’abord par présenter le problème, ensuite une
formulation mathématique sera détaillée. Cette formulation est développée pour permettre
la résolution du problème à un niveau tactique de la hiérarchie de décision d’une façon
dissociée du niveau opérationnel ou d’une façon intégrée avec ce dernier. Une résolution
numérique de ces modèles permettra de trouver des stratégies sous optimales pour piloter le
système sous étude. De plus, plusieurs études de cas et des analyses de sensibilité nous
42
permettrons d’étudier la robustesse de nos résultats et les avantages qu’elles amènent pour
piloter la classe des RMS sous étude.
3.2. Présentation du problème En se basant sur la problématique de recherche du chapitre précédent, on présentera dans
cette section le problème et les différentes stratégies d’expérimentation qui ont été suivies
pour la résolution.
La première décision à prendre dans notre problème consiste à trouver la séquence optimale
de configuration qui doit être installée sur le système durant l’horizon global, et ceci, afin
de répondre aux demandes du marché et minimiser le coût de production total. Ceci en
considérant que le système n’est capable de fabriquer qu’un seul produit pendant une
période. Ces demandes sont considérées déterministes dans un premier temps et sont une
donnée du problème en assumant des prévisions fiables faites par l’entreprise pour les
périodes futures. Du point de vue hiérarchie de décision, à ce niveau, on se place au niveau
tactique et cela est dû au fait que ces décisions sont prises sur des périodes relativement
longues qui varient entre six mois et une année. Lors du passage d’une période à une autre,
la demande du marché peut varier soit au niveau du type du produit à fabriquer, la quantité
de la commande ou les deux caractéristiques ensembles. Ce passage nécessite dans certains
cas une reconfiguration du système manufacturier. La reconfiguration est un processus
complexe qui intègre plusieurs paramètres du système et qui a pour objectif principal de
s’ajuster avec la demande du marché tout en minimisant les coûts encours. Elle consiste à
installer, supprimer ou changer des modules dans le système. Le processus de déroulement
de l’opération de la reconfiguration et le matériel requis dépend de plusieurs paramètres tel
que : la nature du système de production, le champ d’activité… L’étude de ce processus n’a
pas été considérée dans notre étude. Dans le cadre de notre problème, on possède plusieurs
configurations qui peuvent être mise en place sur le système de production. Chaque
configuration est capable de fabriquer un nombre bien défini de produits avec des
conditions différentes (coût, fiabilité..) faisant en sorte qu’il y a des configurations plus
performantes que d’autres. A chaque fois qu’on passe à une configuration plus performante
(plus fiable avec un taux de production plus élevé), on est capable de produire un nombre
plus élevé de produit et ce passage on l’appelle une expansion de la configuration. D’autre
43
part lorsqu’on fait un passage à une configuration moins performante, le système est
capable de produire un nombre moins élevé de produits et ce passage est appelé une
réduction de la configuration.
Bien évidemment, la question qui se pose ici est : pourquoi on n’installe pas la
configuration la plus performante? Puisque avec cette configuration on est capable de
produire la totalité des produits de la famille. Et on se demande aussi: c’est quoi l’intérêt de
faire une reconfiguration à chaque période?
Le choix d’installer dans une période donnée la configuration la plus performante, et ce, en
fonction du type de produit et le volume de la demande coûte certainement plus cher pour
l’entreprise que si le choix était de fabriquer chaque produit avec exactement la
configuration correspondante à son type pour ne pas payer un surplus sur le coût de
production (on l’appelle plus tard une pénalité sur le coût de production). Donc, ici l’idée
qui vient directement est d’ajuster à chaque période les configurations du système afin de
produire juste avec la configuration correspondante à la demande et non pas avec une
configuration plus performante. Or ce passage d’une configuration à une autre occasionne
des coûts aussi et qui risquent d’être élevés (ce coût est appelé plus tard le coût de
reconfiguration qui peut être un coût d’expansion ou de réduction de la configuration).
Donc, l’entreprise est face à une décision très difficile et doit trouver un compris sur la
meilleure séquence de configuration à installer étant donnée tous les coûts qui peuvent être
encourus. De plus, les caractéristiques d’une configuration pour un type de produit en
particulier peuvent faire en sorte que la capacité de production associée ne permet pas de
répondre au volume de la demande pour la période en question. Dans ce cas, soit qu’on
n’accepte pas la totalité de la commande du client et on aura un manque à gagner, soit des
coûts de ventes perdues seront occasionnés. De ce fait, le choix d’une configuration plus
performante peut se justifier si les compromis de coût le permettent.
Notre objectif est de fournir un système d’aide à la décision qui permet de donner la
séquence optimale de reconfiguration sur un horizon fini. Donc, pour la modélisation de
problème on intègre le coût de production, le coût d’expansion de la configuration, le coût
de réduction de la configuration et le coût du manque à gagner.
44
Au niveau du plancher d’usine (niveau opérationnel de décision), les paramètres décrits
ci-dessus semblent être insuffisants puisque tout système de production est sujet à des
pannes aléatoires, d’où la nécessité de prendre en compte des périodes de pannes afin de
déterminer la disponibilité du système. On considère que le système sous-étude peut avoir
trois états : un état de fonctionnement à capacité maximale, un état de fonctionnement à
capacité dégradé et un état de panne. La particularité de notre problème est que les
commandes fermes reçues au niveau tactique sont divisées en des sous-périodes de
livraison. Cela est inspiré de l’industrie automobile lorsqu’une grosse marque d’automobile
signe un contrat avec un sous-traitant. Tout d’abord, les deux compagnies se mettent
d’accord sur la quantité totale du contrat à fabriquer puis sur les dates de livraison en des
petits lots. On considère dans notre étude que les quantités à livrer dans les sous périodes de
livraison sont toujours égaux. Or, à cause des périodes d’indisponibilités du système qui
sont dues aux pannes ou à la production à un faible rythme, il semble être profitable pour
l’entreprise de prendre en compte ces paramètres dans son système d’aide à la décision qui
permet de déterminer la séquence optimale de reconfiguration.
À ce niveau de décision, et à partir du moment où le décideur doit planifier sa production
en fonction de période de livraison à l’intérieur de l’horizon plus large, on adresse la
question de la stratégie à adopter pour assurer des livraisons à temps. Dans un contexte
dynamique stochastique on cherche la meilleure stratégie de contrôle qui minimise les
coûts encourus à ce niveau et qui sont : les coûts de stockage et des retards de livraison.
Dans ce chapitre, le problème sera modélisé mathématiquement dans l’objectif de : (1)
déterminer pour différents cas d’étude la séquence optimale des configurations à installer
d’une période à l’autre et (2) la stratégie de production à appliquer pour chaque période de
l’horizon de planification. L’étude sera aussi étendue pour montre l’intérêt à intégrer les
décisions des deux niveaux de la hiérarchie de décision. Pour ce faire, nous allons résoudre
le problème d’optimisation selon deux stratégies d’expérimentation. La première stratégie
d’expérimentation (figure 12) détermine la séquence optimale à travers les paramètres du
niveau tactique seulement puis intègre cette décision au niveau opérationnel afin de
déterminer le coût total de production. La deuxième stratégie d’expérimentation (figure 13)
intègre les paramètres des deux niveaux de la hiérarchie de décision ensemble (tactique et
45
opérationnel) et nous donne la séquence de reconfiguration optimale et le coût total de
production. En comparant les deux stratégies d’expérimentation, on peut déterminer
l’intérêt de l’intégration du niveau opérationnel avec le niveau tactique dans le même
modèle mathématique. Le modèle développé permet aussi de donner la stratégie de contrôle
optimale de l’inventaire afin de répondre aux livraisons dans les meilleurs délais et
optimiser les ressources de l’entreprise.
46
Figure 12: Première stratégie d’expérimentation
47
Figure 13: Deuxième stratégie d’expérimentation
48
Il s’agit donc d’un problème d’optimisation dans un contexte dynamique et stochastique sur
un horizon fini associé à un problème de détermination de la séquence de reconfiguration
optimale conjointement avec une stratégie de contrôle de la production. D’un point de vue
mathématique, ce type de problème d’optimisation peut être abordé en recourant à la
programmation dynamique stochastique et des notions de la théorie du contrôle optimal.
3.3. Formulation mathématique
Comme décrit précédemment, le problème sous-étude peut être divisé en deux niveaux
suivant la hiérarchie de décision. Le niveau tactique qui adresse principalement la prise de
décision sur des périodes relativement longues (six mois à une année), cette décision se
manifeste par le choix de la meilleure configuration à installer pour chacune des périodes
considérées de l’horizon globale. Le niveau opérationnel adresse les décisions de
production et de livraison à l’intérieure de chacune des périodes de l’horizon tactique, et ce,
en considérant les événements aléatoires de panne et d’état dégradé et des sous-périodes
prédéfinies pour les livraisons.
3.3.1. Niveau tactique
3.3.1.1. Notations et coûts instantanés
Les notations suivantes sont considérées pour la suite du rapport :
i: Indice de la période, i=1,.., I.
𝐶𝑘 : L’ensemble des configurations du système, k=1,.., K.
𝑆𝐹𝑖: La fonctionnalité du système représente la configuration à installer (𝐶𝑘) sur le système
à la période i, (pour des fins de simplifications, on ne considère pas le type de la
configuration dans l’indice mais que la période).
𝑃𝐹𝑖: La fonctionnalité du produit représente la demande du marché en termes de type de
produit à la période i.
49
A(i):L’ensemble des décisions admissibles à la période i. Il faut que 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖, c’est-à-dire
qu’un type de produit bien déterminé ne peut être fabriqué qu’avec la fonctionnalité (ou la
configuration) du système qui lui correspond directement ou une meilleure.
H : Fonction de Heaviside
∀ 𝑥 ∈ 𝑅,𝐻(𝑥) = �0 𝑠𝑖 𝑥 < 01 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝐷𝑖 : La quantité de la demande requise par le marché à la période i,
Capacité du système
La capacité du système à la période i est adoptée à partir de Matta et al. (2008) et exprimée
par la formule la suivante (3.1) :
𝐶𝑎𝑝𝑖 =𝑇𝑖 ∗ 𝜇𝑃𝐹𝑖
𝑠𝑖 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖 ; 𝐶𝑎𝑝𝑖 = 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 (3.1)
𝐶𝑎𝑝𝑖: Capacité de production du produit demandé à la période i
𝜇 : Facteur de vitesse (une caractéristique du système de production).
𝑇𝑖 : Durée de la période i.
On remarque que dans la formule proposée par Matta et al. (2008) la capacité dépend
directement de la durée de la période et du produit demandé. Dans cette formule, le facteur
de vitesse est considéré constant et ne reflète pas une des caractéristiques des RMS qui
permet d’avoir assez de flexibilité dans l’justement de la capacité du système. Dans Matta
et al. (2008), la configuration en place (la fonctionnalité du système) intervient seulement
pour déterminer si le système est capable de produire ce type de produit ou non donc elle
joue le rôle d’une contrainte.
50
On propose alors d’intégrer la configuration en place directement dans la formule de la
capacité de production du système. Cela permet à la capacité d’être non seulement
dépendante du type du produit mais aussi de la configuration en place.
Afin d’être plus réaliste on propose aussi de prendre en compte la période de Ramp-up à
chaque période dans le formule de la capacité ce qui nous permettra de considérer la
période où le système est en régime transitoire avant d’atteindre son plein régime de
production. La durée de Ramp-up est considérée dépendante de la configuration et qui se
définit selon Clark (1991) comme ‘’la période pendant laquelle un processus de fabrication
passe par une transition ascendante pour arriver à un rythme de production maximal selon
des niveaux de coût et de qualité ciblés’’
On considère aussi une fonction « g » qui bonifie la capacité du système suivant la
différence entre la configuration installée et le type du produit demandé durant une période.
Cette fonction permet de bonifier la capacité du système lorsqu’on fabrique le produit
demandé avec une configuration plus performante.
La formule de la capacité proposée est donnée par l’équation (3.2) :
𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)
= �(𝑇𝑖 − 𝑇𝑟𝑢𝑝𝑖) ∗ 𝜇 + (𝑇𝑟𝑢𝑝𝑖 ∗ 𝜇𝑅)
𝑃𝐹𝑖∗ 𝑔(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) si 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖
0 si 𝑆𝐹𝑖 < 𝑃𝐹𝑖 (3.2)
g (.) : une fonction qui bonifie la capacité du système suivant la différence entre
configuration installée et le type du produit demandé durant une période,
Trupi : Durée du Ramp-up au cours de la période i,
Trupi = f(SFi − SFi−1) = �α si SFi ≠ SFi−1 0 si SFi = SFi−1
(3.3)
α : une constante
𝜇𝑅 : Facteur de vitesse durant le Ramp-up
51
Manque à gagner sur le marché
Le manque à gagner sur le marché représente le montant d'argent que l'entreprise pourrait
gagner si elle avait la capacité suffisante pour répondre à la quantité de la demande du
marché. Ce montant est calculé en multipliant un coût unitaire par la différence entre la
quantité de la demande et la capacité du système de fabrication.
𝑀𝐺𝑀𝑖(𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)) = 𝑀𝐺 ∗ �𝐷𝑖 − 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)� ∗ 𝐻�𝐷𝑖 − 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)� (3.4)
MG : Coût unitaire du manque de capacité du système,
Coût de production:
Ce coût 𝑂𝑃𝑖(𝑆𝐹𝑖) représente le coût de production total au cours de la période i. Il est
calculé en multipliant un coût de production unitaire par la quantité produite. Ce coût
dépend également de la configuration installée sur le système de fabrication, alors on
intègre une fonction dans la formule afin de pénaliser ou bonifier le coût de production
lorsque le produit est fabriqué par une configuration qui est plus performante que la
fonctionnalité requise.
𝑂𝑃𝑖(𝑆𝐹𝑖) = � 𝑃𝑜𝑝 ∗ 𝐷𝑖 ∗ 𝑡(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) 𝑠𝑖 𝐷𝑖 ≤ 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)
𝑃𝑜𝑝 ∗ 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖) ∗ 𝑡(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) 𝑠𝑖 𝐷𝑖 > 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖) (3.5)
Pop: Coût de production unitaire,
t(.) : une fonction qui a pour but soit de pénaliser ou de bonifier le coût de
production lors de la fabrication avec une configuration qui est plus performante
que la fonctionnalité du produit demandé.
Coût d’expansion de la configuration
Le coût d'expansion 𝑃𝑒𝑥𝑝�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� représente le coût de la modification de la
configuration installée sur le système de fabrication entre deux périodes j et m (m>j).
L’expansion est considérée lorsque le système doit passer d'une configuration moins
efficace à une autre plus efficace.
52
𝑃𝑒𝑥𝑝�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� = 𝐸 ∗ �𝑆𝐹𝑚 − 𝑆𝐹𝑗� ∗ 𝐻�𝑆𝐹𝑚 − 𝑆𝐹𝑗� (3.6)
E : Coût variable d’expansion d’une configuration du système,
Coût de réduction de la configuration
Le coût de réduction 𝑃𝑟𝑒𝑑�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� représente le coût de la modification de la
configuration installé sur le système de fabrication entre deux périodes j et m (m>j). Dans
ce coût, la configuration installée sur le système passe d'une configuration plus efficace à
une autre moins efficace.
𝑃𝑟𝑒𝑑�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� = 𝑅 ∗ �𝑆𝐹𝑗 − 𝑆𝐹𝑚� ∗ 𝐻�𝑆𝐹𝑗 − 𝑆𝐹𝑚� (3.7)
R : Coût variable de réduction d’une configuration du système
3.3.1.2. Variable de décision et d’état La variable de décision au niveau tactique est définie par la configuration qui sera installée
à la période i.
Ui : La configuration à installer à la période i,
𝑈𝑖 = 𝑆𝐹𝑖
La fonctionnalité du système SFi-1 déjà en place au début de la période, sa capacité
correspondante Capi-1 et la demande du produit en quantité 𝐷𝑖 et en type 𝑃𝐹𝑖 définissent
l’état du système à chaque période.
Soit 𝑋𝑖 = (𝑆𝐹𝑖−1,𝑃𝐹𝑖,𝐷𝑖 ,𝐶𝐴𝑃𝑖) : L’état du système à chaque période.
3.3.1.3. Formulation du modèle mathématique au niveau tactique
Sur un horizon fini de planification définit par les périodes i=1,.., I, on cherche la séquence
de configuration du système à installer à chacune de ces périodes qui minimise le coût total
encouru. Le problème est modélisé par programmation dynamique, sujet aux contraintes
(3.1) à (3.7) soit :
53
𝑓𝑖(𝑋𝑖): Le coût total minimum encouru de la période i à la fin de l’horizon si la demande au
début de la période est [𝑃𝐹𝑖 ,𝐷𝑖] et la configuration déja en place est 𝑆𝐹𝑖−1.
Alors, l’équation dynamique de Bellman est la suivante :
𝒇𝒊(𝑿𝒊)
= 𝐦𝐢𝐧𝑼𝒊∈ 𝑨(𝒊)
�𝑶𝑷𝒊(𝑼𝒊) + 𝑴𝑮𝑴𝒊(𝑪𝒂𝒑𝒊(𝑼𝒊)�+𝑷𝒆𝒙𝒑𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊)+𝑷𝒓𝒆𝒅𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊) + 𝒇𝒊+𝟏(𝑿𝒊+𝟏)}
(3.8)
On cherche 𝑓1(𝑋1); les conditions aux bornes sont : 𝑓4(𝑋4) = 0.
3.3.2. Niveau opérationnel
Le système sous étude comporte un système de production qui fabrique plusieurs produits
appartenant à la même famille. Au niveau tactique, la reconfiguration du système a été
abordée d’un point de vu adaptabilité à la demande du marché à chaque période. La
formulation du problème a considéré les paramètres de coût et les contraintes à ce niveau
de la hiérarchie de décision. Comme mentionné dans la revue de littérature et notre
motivation à cette problématique, il est clair que ce qui se passe au niveau opérationnel
considérant l’évolution dynamique du système et la présence d’éventuels événements
aléatoires peut grandement influencer les décisions. Au niveau tactique, chacune des
périodes de l’horizon est considérée relativement longue. Il est clair que l’échelle de temps
à considérer au niveau opérationnel doit être plus petite. Ceci nous a amené à diviser cette
période en plusieurs sous-périodes pour la livraison du produit. L’objectif est de fournir un
modèle intégré qui permet de déterminer la meilleure décision à prendre en ce qui à trait
aux configurations à installer à chaque période et aussi de déterminer un rythme de
production à chaque période qui permet de minimiser le coût total encouru (tactique et
opérationnel).
Afin de résoudre cette problématique, nous avons considéré la programmation dynamique
en temps discret au niveau tactique et la programmation dynamique stochastique (chapitre
2.4) en temps continu au niveau opérationnel. Ce choix a été pris pour deux raisons
principales : la première est la grande complexité des approches de résolution des
54
problèmes dynamique stochastique en temps discret et la deuxième est la longueur de
l’horizon, au niveau tactique. En effet, il est plausible d’assumer qu’à l’intérieur de cet
horizon le système a le temps de passer par un régime transitoire (étant donné les
évènements aléatoires et le ramp-up en cas de reconfiguration) et atteindre un régime
stationnaire avant la fin de l’horizon. De plus, lors de l’établissement des paramètres du
système, les taux d’occurrence des évènements aléatoires seront choisis de sorte à atteindre
une probabilité stationnaire de ces évènements avant la fin de l’horizon globale (période de
l’horizon tactique).
Donc, chaque période de l’horizon de planification va être divisée en des sous-périodes
comme le montre la figure suivante.
Figure 14: la division des périodes du niveau tactique en des sous-périodes au niveau opérationnel
3.3.2.1. Notation
La notation suivante sera utilisée pour la suite de ce chapitre :
Ti : Nombre des sous périodes associées à la période i.
Pj : Produit de type j, j=1,.., J.
xi(t): Niveaux d’inventaire/ pénurie du produit associé à la période i au temps t,
ui(t): Taux de production à la période i au temps t,
αk(t) : Processus de Markov en temps continu et état fini pour la Configuration Ck,
55
qαβk : Taux de transition du mode α au mode β pour la Configuration Ck,
c+ : Coût unitaire d’inventaire,
c− : Coût unitaire de pénurie,
ρ : Taux d’actualisation du coût,
g(.) : Fonction coût instantané,
J(.) : Fonction coût total,
v(.) : Fonction valeur
Demande et capacité de production maximale dans une sous-période de
livraison :
𝑑𝑖: taux de la demande à la période i,
𝑈𝑚𝑖: Capacité de Production maximale dans une sous-période de la période i,
Si 𝐷𝑖 > 𝐶𝑎𝑝𝑖 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 �𝑑𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖
𝑇𝑖
𝑈𝑚𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑇𝑖
(3.9)
Si 𝐷𝑖 < 𝐶𝑎𝑝𝑖 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 �𝑑𝑖 = 𝐷𝑖
𝑇𝑖
𝑈𝑚𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑇𝑖
(3.10)
3.3.2.2. Variables d’état
L’évolution du système à un niveau opérationnel de décision peut être décrite par les deux
variables d’états suivantes :
• Une variable continue xi(t) qui décrit le niveau de stock à chaque instant de la
période i. Elle peut être soit positive dans le cas du stockage ou négative dans le cas
d’une pénurie. Dans un cas ou l’autre, des coûts unitaires de stockage ou de pénurie
(retard de livraison) seront appliqués.
56
• Une variable discrète 𝛼𝑘(𝑡) qui décrit l’état du système sous la configuration Ck.
On suppose que :
𝛼𝑘(𝑡) = �1 si le système est opérationnel sous la configuration Ck,
2 si le système est en panne sous la configuration Ck,3 si le système est opérationnel (état dégradé) sous Ck.
L’espace d’état du système (système, stocks) est donné par : 𝑥 ∈ 𝑅𝑛,𝛼 ∈ M= {1, 2, 3}.
Dynamique des variables d’état
Dynamique de la variable continue
La dynamique des stocks est donnée par l’équation différentielle suivante :
�̇�𝐢(𝐭) = 𝒖𝒊(𝐭) − 𝐝𝐢 , 𝐱𝐢(𝟎) = 𝐱𝟎 = 𝟎
𝑥0 : exprime le niveau de stock initial au début de chaque période i,
𝑑𝑖: taux de la demande à la période i,
xi(t): Niveaux d’inventaire/ pénurie du produit associé à la période i au temps t,
ui(t): Taux de production à la période i au temps t,
Dynamique de la variable discrète
Le système de production sous-étude peut avoir des pannes aléatoires. Il est composé de
trois états : un état de défaillance totale où la machine est en panne, un état dégradé ou de
défaillance partielle où la machine fonctionne à une capacité limité et un état normal où la
machine fonctionne à sa capacité maximale. Ces trois états communiquent entre eux à
travers des taux de transition qui dépendent de la configuration installée sur le système dans
la période considérée. Ci-dessous le diagramme fonctionnel du système considéré :
57
Figure 15 : Diagramme fonctionnel des états du système
Les durées de fonctionnement et de réparation sont distribuées exponentiellement avec des
taux q. En effet, la machine est associée à un processus Markovien.
Ces hypothèses permettent de décrire la dynamique de l’état de la machine 𝛼𝑘(𝑡) pour
chaque configuration Ck par un processus de saut {𝜉𝑘(𝑡), 𝑡 ≥ 0} qui correspond à l’état
discret de la machine sous la configuration Ck. Cet état discret est généré par un processus
markovien à temps continu et à état discret, défini par la variable discrète 𝛼𝑘(𝑡) .
Les probabilités de transition du mode α au mode β sont décrites comme suivant :
𝑝𝑟𝑜𝑏 �𝜉𝑘(𝑡 + 𝛿𝑡) =𝛽
𝜉𝑘(𝑡)= 𝛼� = �
𝑞𝛼𝛽𝑘 𝛿𝑡 + 𝜊(𝛿𝑡)𝑠𝑖 𝛼 ≠ 𝛽
1 + 𝑞𝛼𝛽𝑘 𝛿𝑡 + 𝜊(𝛿𝑡) 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛
(3.11)
Avec 𝑞𝛼𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑞𝛼𝛼𝑘 = −∑ 𝑞𝛼𝛽
𝑘𝛽≠𝛼 sachant que 𝛼,𝛽 ∈ 𝑀
𝑞𝛼𝛽𝑘 : représente le taux de transition de l’état 𝛼 à l’état 𝛽 sous la configuration Ck. Elle est
définie à la date t par :
𝑞𝛼𝛽𝑘 = lim
𝛿𝑡→0[𝑝𝑟𝑜𝑏(𝜉𝑘(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝛽 / 𝜉𝑘(𝑡) = 𝛼)/𝛿𝑡] (3.12)
Sachant que lim𝛿𝑡→0𝜊(𝛿𝑡)𝛿𝑡
= 0
Le processus peut être décrit par la matrice des taux de transition 𝑄𝑘 = (𝑞𝛼𝛽𝑘 ). Cette
matrice dépend de la configuration choisie. On considère comme mentionné ci-haut que
58
‘’1’’ est l’état de fonctionnement à capacité maximale ou normal, ‘2’ présente l’état de
panne et ‘3’ est l’état de fonctionnement dégradé (à moitié capacité).
𝑄𝑘 = �−𝑞12𝑘 − 𝑞13𝑘 𝑞12𝑘 𝑞13𝑘
𝑞21𝑘 −𝑞21𝑘 − 𝑞23𝑘 𝑞23𝑘
𝑞31𝑘 𝑞32𝑘 −𝑞31𝑘 − 𝑞32𝑘�
Pour le processus markovien considéré et afin de déterminer les probabilités limites des 3
états dans lesquels le système peut se retrouver sur un horizon infini, nous pouvons
résoudre le système d’équations suivant (Ross, 2006) :
⎩⎨
⎧−𝑃(3) ∗ (𝑞32 + 𝑞31) + 𝑃(2) ∗ 𝑞23 + 𝑃(1) ∗ 𝑞13 = 0𝑃(3) ∗ 𝑞32 − 𝑃(2) ∗ (𝑞23 + 𝑞21) + 𝑃(1) ∗ 𝑞12 = 0𝑃(3) ∗ 𝑞31 + 𝑃(2) ∗ 𝑞21 − 𝑃(1) ∗ (𝑞13 + 𝑞12) = 0
𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) = 1
La résolution de ce système d’équation aboutit aux probabilités limites suivantes :
𝑃(1)
=𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21
𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21 + 𝑞12𝑞23 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32 + 𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞13𝑞32(3.13)
𝑃(2)
=𝑞13𝑞32 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32
𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21 + 𝑞12𝑞23 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32 + 𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞13𝑞32(3.14)
𝑃(3)
=𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞12𝑞23
𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21 + 𝑞12𝑞23 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32 + 𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞13𝑞32(3.15)
Ces probabilités limites serviront pour calculer la fonction coût total sur un horizon assez
long (période planification tactique).
59
3.3.2.3. Critères et variable de décision
Le problème de prise de décision à un niveau opérationnel se présente de la même façon
que celui à un niveau tactique en ce qui à trait à la mesure de performance à optimiser. Il
s’agit d’une mesure du coût total encouru. Le coût total consiste en la somme actualisée de
tous les coûts encouru à chaque instant de l’horizon, ces derniers sont définis par les
équations (3.16) et (3.17). Notre variable de décision est le taux de production ui(t) pour
chacune des périodes i. L’ensemble des décisions admissibles Ai’ est définit par l’ensemble
des décisions à la période i qui respectent les contraintes (3.9) et (3.10).
Fonction coût instantanée:
𝒈𝒊(𝒙𝒊(𝐭)) = 𝒄+𝐱𝐢+(𝐭) + 𝒄−𝐱𝐢−(𝐭) (3.16)
Où :
𝑥𝑖+ = max (0,𝒙𝒊) et 𝑥𝑖− = max (-𝒙𝒊, 0); c+ et c+ sont les constants positives qui représentent
le coût de stockage et le coût de pénurie.
Fonction cout total :
𝑱𝒊(𝛂,𝒙𝒊) = 𝑬𝒊 �� 𝐞−𝛒𝐭 𝐠(𝐱𝐢).𝐝𝐭𝐓
𝟎� (3.17)
Avec :
Ei : espérance mathématique conditionnelle au processus stochastique associé à la période i.
ρ: Taux d’actualisation.
Fonction valeur :
𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) = 𝐦𝐢𝐧�𝐮𝐢∈𝑨𝒊
′� 𝑱𝒊(𝛂,𝒙𝒊) ,∀ 𝜶 ∈ 𝑴 (3.18)
60
Approches de résolution
Les équations HJB associées à la fonction de valeur sont un système hyperbolique
d’équations aux dérivées partielles. Ces équations décrivent la stratégie de contrôle optimal
de planification de production du problème sous-étude pour une seule période.
D’après Sethi et Zhang (1994), la fonction valeur décrite ci-dessus est localement Lipschitz
et l’unique solution visqueuse des équations HJB est la suivante :
𝝆.𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) = 𝐦𝐢𝐧�𝐮𝐢∈𝑨𝒊
′�
⎩⎨
⎧(𝒖𝒊 − 𝒅𝒊)𝝏𝝏𝒙
𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) + 𝒈𝒊(𝒙𝒊)
+ � 𝒒𝜶𝜷𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝜷)𝟐
𝜷=𝟏 ⎭⎬
⎫ (3.19)
En appliquant l'approximation numérique de Kushner (1992), les fonctions valeur pour
chaque état sont présentées ci-dessous. h étant le pas de discrétisation du l’état continu x.
�𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛
= min𝑢∈𝑨𝒊
′��𝜌 + 𝑞12 + 𝑞13 +
|𝑢1 − 𝑑|ℎ1
�−1
∗ �|𝑢1 − 𝑑|ℎ1
��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 1)�𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 1)�𝑛−1�𝐾𝑗−�
+𝑔(𝑥) + 𝑞12�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛−1 + +𝑞13�𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛−1� (3.20)
�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛
= min𝑢∈𝑨𝒊
′
⎩⎨
⎧�𝜌 + 𝑞21 + 𝑞23 +𝑑ℎ1�−1
∗ �𝑑ℎ1��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 2)�
𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 2)�
𝑛−1�𝐾𝑗−�
+𝑔(𝑥) + 𝑞21 �𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛−1
+ 𝑞23 �𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛−1
⎭⎬
⎫(3.21)
�𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛
= min𝑢∈𝑨𝒊
′��𝜌 + 𝑞31 + 𝑞32 +
|𝑢3 − 𝑑|ℎ1
�−1
∗ �|𝑢3 − 𝑑|ℎ1
��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 3)�𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 3)�𝑛−1�𝐾𝑗−�
+𝑔(𝑥) + 𝑞31�𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛−1 + 𝑞32�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛−1� (3.22)
Nous référons le lecteur à Feki (2013) pour plus de détails sur le développement de ces
équations et l’approche de résolution numérique de Kushner.
61
3.4. Fonction objectif L’application de l’algorithme d’approximation successive pour résoudre le système
d’équation HJB associé à une période i permet de trouver le rythme de production avec
lequel le système doit opérer pour minimiser le coût total encouru, et ce, fonction des états
du système. Sur l’horizon de résolution, on aura aussi comme résultat la fonction valeur du
problème à chaque état 𝜶 ∈ 𝑴. La pondération de ces fonctions valeurs par les probabilités
limites de ces états données par les équations (3.13) à (3.15) permet de calculer le coût total
espéré. De ce fait, en associant ce coût au modèle d’optimisation au niveau tactique donné
par l’équation (3.8), le modèle qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision sera
donné par l’équation (3.23). Cette formulation dynamique est utilisée pour toutes les
périodes de l’horizon sous-étude. Cette approche permet de donner, en plus de la
configuration optimale, la politique de contrôle des rythmes de production fonction des
états du système au niveau opérationnel.
𝒇𝒊(𝑿𝒊)
= 𝐦𝐢𝐧𝑼𝒊∈ 𝑨(𝒊)
�𝑶𝑷𝒊(𝑼𝒊) + 𝑴𝑮𝑴𝒊(𝑪𝒂𝒑𝒊(𝑼𝒊)�+𝑷𝒆𝒙𝒑𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊) + 𝑷𝒓𝒆𝒅𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊)+
𝑷(𝟏) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟏) + 𝑷(𝟐) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟐) + 𝑷(𝟑) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟑) + 𝒇𝒊+𝟏(𝑿𝒊+𝟏)} (3.23)
On cherche 𝑓1(𝑋1); les conditions aux bornes sont : 𝑓4(𝑋4) = 0.
Dans le processus d’aide à la décision pour la reconfiguration du système de production
sous-étude, on a décrit le coût tactique qui comporte le coût de pénalité sur la production, le
coût du manque de capacité à gagner sur le marché et le coût d’expansion ou de réduction
de la configuration d’une période à une autre. Ensuite, l’idée était d’intégrer un coût
opérationnel dans la prise de décision de reconfiguration pour étudier plus en profondeur
son impact sur les décisions de reconfiguration et de production. Dans l’intégration du coût
opérationnel, on a supposé que : (1) la période de fabrication d’un produit est répartie en
des sous-périodes de livraisons, (2) le centre de production est sujet à des pannes aléatoires
et à un état de fonctionnement dégradé. On présentera par la suite les résultats obtenus en
solutionnant les modèles d’une façon dissociée ou intégrée.
62
3.5. Résultats numériques et analyse de sensibilité Les résultats numériques fournis dans cette section visent à illustrer pour différents cas
d’étude la séquence de reconfiguration optimale d'un système manufacturier reconfigurable
non fiable sur un horizon fini. En plus de cette séquence, une politique de contrôle optimale
des rythmes de production en fonction des états du système, et pour chaque période, sera
présentée. Afin de bien illustrer les résultats obtenus, cette section va être présentée en deux
étapes. Une étude de cas de base est d’abord présentée et analysée. Ensuite, une analyse de
sensibilité est menée pour montrer la robustesse des résultats trouvés.
3.5.1. Exemple numérique
L’étude de cas qui a été mené est constituée de deux scénarios. Dans le premier scénario, le
modèle tactique (équation (3.8)) est résolu et son résultat (la séquence de configuration) est
considéré pour résoudre le modèle du niveau opérationnel (équations (3.20) à (3.22)). Le
deuxième scénario intègre les deux modèles dans la même approche de résolution (équation
(3.23) qui intègre les fonctions valeurs issus de la résolution de (3.20) à (3.22)). Les
résultats ont montré que le deuxième scénario est meilleur et que l'intégration des deux
niveaux permet un gain considérable dans le coût total d'exploitation.
Figure 16: Les deux scénarios d’expérimentation
Les paramètres qui ont été pris au niveau tactique sont les suivants:
63
Trois périodes ont été considérées dans l’horizon de planification (i=3), chaque période
représente une année. Aussi, le système possède 11 configurations qui peuvent être
installées sur le système manufacturier dépendamment de la demande du marché et les
décisions qui vont être prises plus tard.
Tableau 2: Les paramètres du système manufacturier
Paramètres µ 𝛍𝐑 𝐓𝐢 𝐓𝐫𝐮𝐩𝐢 MG Pop
Valeurs 50 25 12 0,6 10 750
La demande est considérée déterministe (hypothèse qui sera relaxée au chapitre 4) et elle
est égale à 55, 50 et 55 respectivement pour les trois périodes. La demande en terme de
type de produit est comme suit : 8, 10, 9. La configuration initiale est considérée égale
à SF0 = 8.
g (.) : est considérée dans ce premier cas d’étude comme une fonction linéaire qui bonifie la
capacité de production du système manufacturier dépendamment de la différence entre la
configuration qui va être installée et le type du produit demandée par le marché dans cette
même période. Cette bonification est égale à 10% à chaque fois qu’on fabrique avec une
configuration plus performante. Cette fonction est donnée par l’équation suivante :
g(SFi,PFi)=0.1 * (SFi - PFi)
t (.) : est considérée comme une fonction qui pénalise le coût de production dépendamment
de la différence entre la configuration qui va être installée et le type du produit demandée
par le marché durant cette même période. Il s’agit d’une pénalité de 20% à chaque fois
qu’on fabrique avec une configuration plus performante. Cette fonction est donnée par
l’équation suivante :
t(SFi,PFi)=0.2 * (SFi - PFi)
Les coûts de l'expansion et de la réduction seront donnés plus loin. Au niveau opérationnel,
les paramètres suivants ont été considérés:
64
Pour la mise en œuvre de la technique d'approximations successives, la grille de
discrétisation appelée Gh est donnée comme suit :
Gh = {x; −10 ≤ x ≤ 50, h = 0,1}
A chaque période de l'horizon de planification globale, 12 sous-périodes de livraison sont
considérées. Par conséquent, la demande de chaque sous-période est égale à la demande
globale divisée par le nombre de sous-période. Le taux d'actualisation est égal à 0,01. Le
coût du stockage est considéré comme une constante pour tous les produits C+ = 30 et le
coût de pénurie aussi C− = 100.
Les probabilités de transition entre les différents états ainsi que les probabilités limites
dépendent de la configuration installée sur le système. Celles-ci sont présentées dans le
tableau ci-dessous:
Tableau 3: Les probabilités de transition entre les états suivant la configuration
Config 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
𝒒𝟐𝟏 0,7 0,725 0,75 0,775 0,8 0,825 0,85 0,875 0,9 0,925 0,95
𝒒𝟏𝟐 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
𝒒𝟐𝟑 0,19 0,175 0,16 0,145 0,13 0,115 0,1 0,085 0,07 0,055 0,04
𝒒𝟑𝟐 0,5 0,475 0,45 0,425 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1
𝒒𝟑𝟏 0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
𝒒𝟏𝟑 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02
P(1) 0,48 0,51 0,54 0,57 0,61 0,64 0,7 0,75 0,81 0,87 0,93
P(2) 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,07 0,05 0,03 0,014
P(3) 0,29 0,28 0,27 0,25 0,238 0,229 0,2 0,167 0,13 0,09 0,048
q21 est le taux de réparation totale (de l’état de panne vers l’état de fonctionnement
normal), q12 est le taux de défaillance totale (du fonctionnement normal vers l’état de
panne), q23 est le taux de réparation partielle (de l’état de panne vers l’état de
fonctionnement dégradé), q32 est le taux de défaillance partielle (du fonctionnement
dégradé vers l’état de panne), q31 est le taux de réparation partielle (du fonctionnement
65
dégradé vers l’état de fonctionnement normal) et q13 est le taux de défaillance partielle (du
fonctionnement normal vers l’état de fonctionnement dégradé). Les taux sont considérés de
façon qu'à chaque fois qu'une configuration plus efficace est installée, les taux de réparation
augmentent et les taux de défaillances diminuent.
Lorsque le coût de réduction est égal à R = 1000 et le coût d'expansion est égal à E = 1000,
la séquence optimale de la reconfiguration obtenue sur l'horizon de trois périodes est: [10-
11-11]. En comparant le coût total entre les deux scénarios, un gain de 12,288% est obtenu
avec le scénario 2 qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision. Par contre, pour
le Scénario 1, on a obtenu une séquence de reconfiguration de [8-10-9]. Le graphique
suivant présente la séquence de reconfiguration obtenue pour chacun des deux scénarios
décrits ci-dessus.
Figure 17: La séquence de reconfiguration pour chaque scénario
On abordera maintenant la deuxième partie des résultats obtenus. On présentera dans ce qui
suit les différentes politiques de contrôle sur l’inventaire pour chaque période et chaque état
pour les deux scénarios considérés.
Les figures suivqntes (Figures (18) et (19)) les taux de production fonction des niveaux de
stock pour les deux états à la période 1 pour le scénario 1 [8-10-9] et le scénario 2 [10-11-
11].
5
6
7
8
9
10
11
12
-2 -1 0 1 2 3 4
Conf
igur
atio
n in
stal
lée
Horizon de planification
La séquence de reconfiguration pour chaque scénario
SCENARIO 1
SCENARIO 2
66
Figure 18: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 1
Figure 19: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 2
Les deux figures montrent clairement que dans le premier scénario le système de
production a tendance à stocker plus par rapport au scénario 2, ce qui engendre un coût de
stockage moindre lors de cette première période pour le scénario 2, et par conséquent, un
coût opérationnel inférieur. On tient à rappeler que pour la période 1, les résultats montrent
que le premier scénario doit fonctionner avec la configuration 8 alors que le deuxième
fonctionne avec la configuration 10 ayant une meilleure capacité de production; ce qui
explique les résultats obtenus.
On présentera ci-dessous les taux de production obtenus pour les deux scénarios à la
deuxième période (Figures (20) et (21)).
67
Figure 20: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 2 pour le Scénario 1
Figure 21: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 2 pour le Scénario 2
Pour la deuxième période, on constate aussi la même tendance que la première période. La
reconfiguration exigée par le scénario a permis d’améliorer la capacité du système et par la
suite diminuer les coûts opérationnels dus au stockage et au retard. Pour la politique de
contrôle, il est clair que l’augmentation du taux de production permet de diminuer les seuils
de contrôle des niveaux d’inventaire pour les deux états 1 et 3.
Finalement pour la troisième période les taux de production pour les deux scénarios sont
donnés par les Figures (22) et (23).
68
Figure 22: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 3 pour le Scénario 1
Figure 23: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 3 pour le Scénario 2
Dans cet exemple numérique, on a remarqué que la configuration installée sur le système
influe directement sur la politique de contrôle du rythme de production en fonction des
états du système et des inventaires. Cette influence rend l’intégration des deux niveaux
tactique et opérationnel importante dans la mesure où elle peut occasionner des gains
importants. En effet, pour ce premier cas d’étude, on a observé un gain de 12.288 %.
En récapitulant, l’intégration des décisions a permis au système d’anticiper plutôt que de
réagir à une décision déjà prise au niveau tactique. Pour ce premier cas d’étude, cette
anticipation a permis au système de choisir des configurations meilleures permettant ainsi
d’améliorer la capacité du système afin de minimiser les coûts de retard et de stockage. Le
69
gain des coûts au niveau opérationnel s’est avéré plus élevé que les coûts additionnels de
reconfiguration et de production. Ces résultats concernent un seul cas d’étude et doivent
être supportés par des analyses de sensibilité pour mesurer l’impact des différents
paramètres impliqués sur les décisions et le coût encouru. Cette étude est présentée dans la
section suivante.
3.5.2. Analyse de sensibilité
Dans cette analyse de sensibilité, certains paramètres de l'étude de cas présentée ci-dessus
seront variés afin d’étudier leurs impacts sur les décisions et le gain total entre les deux
scénarios de test décrits ci-dessus. Les paramètres qui seront pris en considération sont le
taux de demande, le coût de la réduction et le coût d’expansion. Il est à noter que beaucoup
de tests préliminaires dans lesquels nous avons fait varié la grande majorité des paramètres
du système tant du niveau tactique que de l’opérationnel ont été fait. Le choix d’un
paramètre qui reflète l’environnement externe (le marché via la demande) et les principaux
paramètres de coûts qui caractérisent un RMS nous semble logique dans ce contexte. Ce
choix reflète la grande majorité des résultats de toutes les analyses de sensibilité effectuées.
• Variation des taux de la demande
On commercera par faire varier des taux de la demande en exécutant des tests sur une série
de demande afin de voir l’impact de la variation de la demande du marché au niveau
tactique sur les décisions de reconfiguration et la politique de production ainsi que le gain
décrit précédemment.
On considère la demande en type de produit est [8, 10, 9] et que la configuration déjà
installé sur le système est ‘’8’’. Les coûts de réduction et d’expansion sont fixés à 1000.
Concernant le coût de stockage, il est égal à 30 et le coût de pénurie est égal à 100.
On présentera dans ce qui suit les tableaux des résultats pour chaque test avec des taux de la
demande différents et un graphique récapitulatif des gains entre les deux scénarios en
augmentant la demande.
70
Tableau 4: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [45, 40, 45]
Demande [45, 40,
45]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 1 6 0 6 1 8 Scénario 2 9 10 10 0 4 0 6 0 5
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 1,62%
Tableau 5: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [48, 43, 48]
Demande [48, 43,
48]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 2 8 0 8 3 10 Scénario 2 9 10 10 0 5 0 8 0 7
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 2,81%
Tableau 6: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [50, 45, 50]
Demande [50, 45,
50]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 3 10 1 9 4 12 Scénario 2 9 10 10 0 6 1 9 4 12
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 3,68%
Tableau 7: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [52, 47, 52]
Demande [52, 47,
52]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 4 11 1 11 5 14 Scénario 2 10 11 11 0 4 0 7 0 6
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 6,4%
71
Tableau 8: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [55, 50, 55]
Demande [55, 50,
55]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 6 14 3 14 8 18 Scénario 2 10 11 11 0 6 0 9 0 7
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 12,288%
Tableau 9: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [57, 52, 57]
Demande [57, 52,
57]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 8 17 6 17 12 22 Scénario 2 10 11 11 0 7 0 11 0 9
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 17,47%
Tableau 10: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [60, 55, 60]
Demande [60, 55,
60]
Séquence reconfiguration
optimale
Politique de contrôle sur
l’inventaire P1
Politique de contrôle sur
l’inventaire P2
Politique de contrôle sur
l’inventaire P3
P1 P2 P3 Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Z état 1
Z état 3
Scénario 1 8 10 9 12 22 13 25 24 36 Scénario 2 10 11 11 0 9 0 13 0 10
Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 30,22%
72
Figure 24: Gain du scénario 2 en variant les taux de la demande
L’analyse des résultats issus de ces expérimentations nous ont permis de ressortir les
observations suivantes :
1- Au niveau du scénario 1, on remarque que la séquence des configurations s’est
maintenue et le système a compensé au niveau de la politique de production en
fixant des stocks de sécurité (seuil critique) beaucoup plus élevé que ceux du
scénario 2.
2- Les seuils critiques pour les deux scénarios augmentent quand la demande
augmente pour éviter les risques de pénurie.
3- Au niveau du scénario 2, deux résultats intéressants sont observés : le premier
concerne les décisions de reconfiguration qui sont plus réactives à l’augmentation
de la demande. De ce fait, le système trouve un meilleur compromis entre les
configurations fixées et les seuils critiques. Le deuxième concerne la différence des
décisions par rapport au scénario 1 : le système a fixé des configurations plus
performantes tout en diminuant les stocks de sécurité au niveau opérationnel.
0
5
10
15
20
25
30
35
Gain en augmentant les taux de la demande
Gainen %
73
D’un point de vue coût, il est clair que l’intégration des deux niveaux de décisions tactique
et opérationnel permet un gain substantiel. Ce gain se manifeste d’avantage dans des
contextes de forte demande. En effet, plus la demande augmente, plus la capacité du
système devient un enjeu important et le système doit trouver le meilleur compromis entre
les décisions de reconfigurations et de contrôle de la production au niveau opérationnel. Ce
compromis est plus facile à obtenir quand les deux modèles d’optimisation sont intégrés.
• Variation du coût de réduction de la configuration
On abordera par la suite la deuxième partie de l’analyse de sensibilité en variant le coût de
réduction.
La demande de produit considéré en termes de type est [8-10-9] et en termes de quantité est
[55-50-55]. La configuration initiale installée sur le système est considérée égale à 8.
Une série de tests a été menée dans laquelle le coût d'expansion est fixé à 1000, le coût des
stocks à 30 et le coût de pénurie à 100 tout en faisant varier le coût de réduction. Pour
chaque coût de réduction, deux séquences de reconfiguration optimales sont obtenues pour
chacun des deux scénarios décrits ci-dessus. Aussi, le gain en termes de coûts entre les
deux scénarios est également obtenu. La politique de contrôle sur l’inventaire sera aussi
affichée dans les résultats obtenus. Le tableau suivant résume les résultats obtenus.
74
Tableau 11: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût de réduction
Les résultats du tableau ci-dessus peuvent être divisés en deux parties principales. Le
graphique suivant présentera les deux séquences de reconfiguration de la première partie
lorsque le coût de la réduction varie entre 100 et 8000.
Figure 25: La séquence de reconfiguration des deux scenarios
Le deuxième graphique présente la deuxième partie des résultats lorsque le coût de la
réduction varie entre 9000 et 15000.
55 50 55 8 10 9Prix de Réd gain 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3
100 11,97 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 7500 12,11 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71000 12,28 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71500 12,45 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 72000 12,62 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 73000 12,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 74000 13,3 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 75000 13,63 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 76000 13,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 77000 14,29 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 78000 14,62 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 79000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7
10000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 712500 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 715000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7
HPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3Demande (55-50-55) et (8-10-9); Config Initiale=8; coût stockage=30; coût de pénurie= 100
Premier Scénario Deuxième ScénarioHPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3
5
6
7
8
9
10
11
12
-2 -1 0 1 2 3 4
Conf
igur
atio
n in
stal
lée
Horizon de planification
Les décisions obtenues suite à la variation du prix de réduction de 100 à 8000
Scénario 2
Scénario 1
75
Figure 26: La séquence de reconfiguration des deux scenarios
La courbe ci-dessous présente l’évolution du gain du deuxième scénario en augmentant le
coût de réduction.
Tous ces graphiques montrent que le modèle intégré provoque un changement dans la
séquence de reconfiguration optimale et gain intéressant par rapport au modèle dissocié. On
remarque que le deuxième scénario a tendance toujours à fonctionner avec des
configurations plus performantes malgré leurs coûts de production plus importants. Cette
décision prise d’une façon intégrée avec les décisions de contrôle de la production a permis
de minimiser les coûts de stockage et de pénurie (seuil critique plus bas, une configuration
plus performante réduisant les risques de manque de capacité).
5
6
7
8
9
10
11
12
-2 -1 0 1 2 3 4
Conf
igur
atio
n in
stal
lée
Horizon de planification
Les décisions obtenues suite à la variation du prix de réduction de 8000 à 15000
Scénario 2
Scénario 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5000 10000 15000 20000
Gain entre les deux scénarios en augmentant le coût de réduction
Gain en %
76
Comme le montre les graphiques, lorsque le coût de la réduction augmente entre 100 et
8000, le gain du scénario 2 augmentent, cela est dû au fait que dans la séquence de
reconfiguration optimale du scénario 1 il y a une réduction de la configuration installée au
niveau du passage entre la période 2 et période 3 (109). Ce qui explique une
augmentation du coût tactique de ce dernier scénario et par conséquent, son coût total
d’exploitation. Or, pour la séquence optimale de reconfiguration du scénario 2, il n’existe
aucune réduction, ce qui l’avantage.
À partir d’un coût de réduction de 9000 jusqu’à 15000, on remarque que le pourcentage du
gain reste stable. Cela est dû au fait que la séquence optimale de reconfiguration du
scénario 1 (8-10-10) ne compte plus de réduction. Donc, l’avantage du scénario 2 est dû
principalement à l’intégration du niveau opérationnel dans la prise de décision.
• Variation du coût d’expansion de la configuration
Pour cette partie, la demande de produit considéré en termes de type est [8-10-9] et en
termes de quantité est [55-50-55]. La configuration initiale installée sur le système est
considérée égale à 8.
Une série de tests a été menée dans laquelle le coût de réduction est fixé à 1000, le coût des
stocks à 30 et le coût de pénurie à 100 et en faisant varier le coût d’expansion. Pour chaque
coût d’expansion, deux séquences de reconfiguration optimales sont obtenues pour chacun
des deux scénarios décrits ci-dessus. Aussi, le gain en termes de coûts entre les deux
scénarios est également obtenu. La politique de contrôle sur l’inventaire sera aussi affichée
dans les résultats obtenus
77
Tableau 12: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût d'expansion
De la même façon que l’analyse précédente, les résultats du tableau ci-dessus peuvent être
divisés en deux parties principales. Le graphique suivant présentera les deux séquences de
reconfiguration de la première partie lorsque le coût d’expansion varie entre 100 et 10000.
Figure 27: La séquence de reconfiguration des deux scenarios
Le deuxième graphique suivant présente les résultats de la deuxième partie lorsque le coût
d’expansion varie entre 12500 et 25000.
55 50 55 8 10 9Prix d'exp gain 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3
100 12,729 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 7500 12,53 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71000 12,288 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71500 12,046 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 72000 11,8 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 73000 11,33 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 74000 10,86 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 75000 10,4 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 76000 9,949 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 77000 9,5 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 78000 9,06 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 79000 8,627 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7
10000 8,2 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 712500 7,588 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 10 10 0 6 3 14 1 1115000 7,455 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 10 10 0 6 3 14 1 1120000 7,2 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 10 10 0 6 3 14 1 1125000 6,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 10 10 0 6 3 14 1 11
HPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3Demande (55-50-55) et (8-10-9); Config Initiale=8; coût stockage=30; coût de pénurie= 100
Premier Scénario Deuxième ScénarioHPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3
56789
101112
-2 -1 0 1 2 3 4
Conf
igur
atio
n in
stal
lée
Horizon de planification
Les décisions obtenues suite à la variation du prix d'expansion de 100 à 10000
Scénario 2
Scénario 1
78
Figure 28: La séquence de reconfiguration des deux scenarios
La courbe ci-dessous présente l’évolution du gain du deuxième scénario en augmentant le
coût d’expansion.
Tous ces graphiques montrent aussi l’avantage de l’intégration des décisions. Dans ce
contexte, le deuxième scénario a toujours tendance à fonctionner avec des configurations
plus performantes malgré leurs coûts de production plus importants.
Comme le montre les graphiques, lorsque le coût de l’expansion augmente entre 100 et
10000, le gain du scénario 2 diminue, cela est dû au fait que dans la séquence de
reconfiguration optimale du scénario 1 [8-10-9] possède une expansion et la séquence
5
6
7
8
9
10
11
-2 -1 0 1 2 3 4
Conf
igur
atio
n in
stal
lée
Horizon de planification
Les décisions obtenues suite à la variation du prix d'expansion de 12500 à 25000
Scénario 2
Scénario 1
02468
101214
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Gain entre les deux scénarios en augmentant le coût d'expansion
Gain en %
79
optimale de reconfiguration du scénario 2 [10-11-11] possède deux expansions. Donc, une
augmentation du coût d’expansion affectera directement le coût total du scénario 2. Par
conséquent, le gain enregistré diminue à chaque fois que le coût d’expansion augmente.
À partir d’un coût d’expansion de 12500, les deux scénarios sont à égalité en termes de
nombre d’expansion Ils possèdent les deux une expansion, donc ici la pente de dépréciation
du gain diminue. Dans ce cas, le résultat intéressant observé réside dans le fait que le
scénario 2 a compensé ce changement par une politique de production ayant des seuils
critiques plus élevés, alors que le scénario 1 n’a pas changé sa politique.
Cette analyse a permis de montrer que nos résultats sont logiques et reflète bien la variation
des paramètres considérés. De plus, on voit très bien que l’intégration des deux niveaux de
décisions peut mener à des gains importants.
3.6. Conclusion Dans ce chapitre, le problème de prise de décision d'un système manufacturier
reconfigurable non-fiables a été modélisé et résolu à l’aide d’une approche numérique. La
formulation a été présentée sur deux niveaux de la hiérarchie de décision : le niveau
tactique et le niveau opérationnel. Les résultats ont montré que l’intégration du niveau
opérationnel dans la prise de décision est très importante et permet à l’entreprise de faire
des économies considérables sur le coût d’exploitation total.
Comme décrit ci-dessus le problème a été résolu à l’aide d’une approche numérique. Dans
le chapitre 4 on abordera le problème sous un autre angle de vue. On s’intéressera en
particulier à un contexte de demande aléatoire et à une comparaison du système RMS sous
étude avec le système existant le plus proche de notre contexte d’étude, notamment les
AMS (voir chapitre 2). Une approche de modélisation et d’optimisation basée sur la
simulation sera présentée.
80
81
CHAPITRE 4
APPROCHE DE RÉSOLUTION PAR
SIMULATION
4.1. Introduction
L’étude du problème au chapitre 3 avec une approche mathématique nous a permis de
ressortir des conclusions intéressantes en lien avec la planification et l’exécution intégrées
des RMS. Dans ce chapitre, on se propose d’étendre l’analyse pour couvrir des contextes
plus complexes. La prise en considération d’un contexte aléatoire de demande s’impose et
est en harmonie avec nos objectifs principaux de ce mémoire. En effet, par définition, les
caractéristiques d’un RMS font en sorte qu’il est capable d’absorber la variabilité (interne
ou externe). Le chapitre 3 a mis en évidence la présence d’une variabilité au niveau de la
capacité (panne et état d’opération dégradé). Ce chapitre se penchera d’avantage sur le
contexte de la variabilité de la demande et étendra l’analyse pour mesurer cet avantage en
comparaison avec un système classique de production, notamment les AMS (voir chapitre 2
pour la définition). Comme mentionné précédemment (chapitre 1 et 2), nous nous
proposons d’attaquer cette partie avec une approche d’optimisation basée sur la simulation.
82
4.2. Description du modèle de simulation
Notre premier souci lors de l’élaboration du modèle de simulation était de développer un
modèle qui reflète très bien le système à modéliser. De plus, il fallait se placer du côté de
l’utilisateur avec un but principal de faciliter au maximum la manipulation du modèle pour
un utilisateur qui ne connait pas le logiciel SIMIO mais qui veut profiter au maximum des
résultats et des analyses de ce dernier.
La figure suivante illustre une description des processus du modèle de simulation
développé. Ce diagramme comporte tous les processus implantés dans le logiciel de
simulation SIMIO. On présentera plus tard dans le rapport le diagramme général de
simulation qui a permis la mise en place du problème sous-étude.
Figure 29: Modélisation du cas sous-étude par simulation
Avant de commencer à décrire les principales étapes suivies lors de l’élaboration du modèle
de simulation, on mentionnera qu’on a eu recours à plusieurs hypothèses afin de simplifier
l’étude.
83
Les principales hypothèses prises lors de la modélisation du cas sous-étude sont les
suivantes :
- L’approvisionnement des entrepôts se fait au fur et à mesure qu’un produit sort du
centre de production ;
- Le temps de transport entre le centre de production et l’entrepôt est considéré
négligeable ;
- Le centre de production est capable de fabriquer juste un seul type de produit dans
une période ;
- Les quantités de la demande (ou commandes) reçues par les clients seront divisées
en des sous-périodes de livraison ;
- Ces demandes sont servies à la fin de chaque sous-période de livraison ;
- Les arrérages sont permis entre les sous-périodes de livraison.
Avant d’expliquer la démarche suivie lors de l’élaboration du modèle de simulation, on doit
définir tout d’abord quelques notions importantes :
Une entité : dans la simulation, une entité est considérée comme une unité de produit dans
le contexte manufacturier (dans les services elle peut représenter un client). Cette unité,
dans le cas normal, doit être générée par une source, puis passe par un serveur afin d’être
traitée pour arriver finalement à la destination qui représente généralement soit le client ou
l’entrepôt.
Propriétés : ce sont les paramètres qu’on fixe au début de la simulation, généralement elles
caractérisent le système manufacturier. Ces paramètres ne changent pas de valeur au cours
du déroulement de la simulation. Parmi ces paramètres, on peut citer la probabilité de
transition d’un état à un autre pour une configuration bien définie.
États : Les états (ou states en anglais) sont tout d’abord des paramètres qui ne se fixent pas
dès le début comme les propriétés. Ils changent au cours du temps en suivant le
déroulement de la simulation. Parmi ces paramètres, on peut citer par exemple le nombre
d’unités produites qui varient au cours du déroulement de la simulation, aussi l’état du
système.
84
Processus : ils présentent des actions qui influencent les états et aussi le comportement du
modèle au cours du temps.
De plus, comme le montre la figure 29, on distingue deux processus d’optimisation dans
l’étude. Une optimisation de la séquence de reconfiguration qui va être installée sur le
système durant son fonctionnement. Cette optimisation s’avère nécessaire dans notre étude
afin de minimiser le coût total d’exploitation. Une deuxième optimisation est associée à la
politique de contrôle sur l’inventaire. Cette étape permet au système de suspendre la
fabrication lorsque le niveau de stock atteint un seuil bien déterminé. L’objectif de
l’approche développée est de fournir la séquence optimale de reconfiguration au cours de
l’horizon sous-étude, et en même temps, les niveaux de stocks optimaux que le système
doit garder entre les sous-périodes. C’est-à-dire le système doit fabriquer à chaque sous-
période une quantité qui est supérieur ou égale à la demande, et ce, afin de garder un stock
de sécurité qui permet de faire face à d’éventuelles pénuries qui peuvent affecter le système
dans le futur. Ces pénuries sont dues à la caractéristique de non-fiabilité du système où il
peut être en état de panne ou dans un état dégradé avec une capacité inférieure à la capacité
maximale. Ce modèle permet de déterminer les paramètres optimaux qui minimisent la
fonction coût total.
Figure 30: Diagramme expérimental du modèle développée par simulation
Il s’agit alors d’optimiser six paramètres en même temps. Trois d’entre eux qui considèrent
les configurations qui doivent être installées (la séquence de reconfiguration au cours de
Z1, Z2 et Z3
85
l’horizon sous-étude) et les trois autres sont les paramètres (Z1, Z2, Z3) qui représentent les
seuils optimaux à chaque période de l’horizon que le système doit cibler pour mieux
couvrir les demandes durant les périodes de manque de capacité.
Afin d’aboutir à cet objectif et de déterminer la solution optimale, nous avons décidé
d’utiliser l’optimisateur «OptQuest» de SIMIO qui a fait ses preuves et a permis d’arriver à
d’excellent résultats dans d’autres contextes d’étude (Feki, 2013).
On présentera dans la figure ci-dessous le diagramme général de la simulation. Ce
diagramme peut être divisé en six blocs principaux qui suivent la logique adoptée lors du
développement du modèle sur SIMIO. Les six blocs principaux sont les suivants :
- Définir les conditions initiales ;
- Génération des séquences de reconfiguration ;
- Le calcul des besoins nets ;
- La politique de contrôle sur l’inventaire ;
- La production et la livraison ;
- Le calcul des coûts.
Notations :
T : nombre de périodes dans l’horizon de planification sous-étude,
t : indice de la période en cours,
i : indice de la sous-période de livraison de la période t.
86
Figure 31: Diagramme général de simulation
87
Ci-dessous, on va expliquer les étapes du développement du modèle de simulation.
a- Le premier bloc : La définition des conditions initiales
Dans ce bloc, l’idée était de minimiser les champs que l’utilisateur est amené à changer à
chaque fois où il veut avoir des résultats d’une étude de cas bien déterminé.
C’est pourquoi l’intervention de l’utilisateur est limitée en deux étapes principales :
- La première est de faire rentrer ses données du système (demande du marché,
livraison…), et ce, à travers un tableau simple et clair. La figure ci-dessous donne
un aperçu de ce tableau :
Figure 32: Les données d'entrée du système
- La deuxième est de démarrer la simulation puis faire ressortir les résultats afin de
mieux les exploiter dans le processus de prise décision pour l’entreprise.
Comme décrit précédemment, le problème consiste à étudier le fonctionnement d’un
système manufacturier reconfigurable sur un horizon équivalent à trois ans d’activités
divisé en trois périodes.
L’utilisateur doit aussi effectuer d’autres manipulations dans le modèle de simulation, tel
que les paramètres par défauts du système manufacturier (taux de panne, capacité de
production, nombre de sous-période de livraison, coût de stockage, coût de pénurie, coût de
réduction, coût d’expansion…).
Dans ce bloc, on a aussi le calcul de la capacité du système (CapaciteP1) à travers la
formule suivante (déjà mentionnée dans le chapitre précédent) :
88
Capi(SFi) = �(Ti − Trupi) ∗ µ + (Trupi ∗ µR)
PFi∗ g(SFi − PFi) si SFi ≥ PFi
0 si SFi < PFi
Cette capacité du système dépend entres autres de la demande du marché en termes de type
de produit et de la configuration en place.
L’étude va aborder les deux contextes de demande : connue et aléatoire. Dans les deux cas,
les paramètres de la demande seront fixés (niveau de la demande ou moyenne et écart type).
La configuration installée sur le système est obtenu à partir du bloc 2 qui va être expliqué
par la suite.
Les autres paramètres, tel que le facteur de vitesse « µ », le temps de ramp-up « Trupi » et
la durée de chaque période « Ti », sont considérées comme des caractéristiques du système.
Ce bloc est alors dédié à l’initialisation des paramètres du système. Cette initialisation se
fait tout d’abord à travers la lecture du tableau de données saisi par l’utilisateur (les entrées)
et de quelques paramètres qui sont déjà inscrits dans le simulateur par le programmeur. Ces
différents paramètres sont :
- La demande en type de produit pour la période courante (PFPeriod1) ;
- La demande en quantité de produit pour la période courante (DemandPeriod1) ;
- La quantité qui doit être livrée à chaque sous-période de livraison pour la période
courante (DeliveryQuantitySub1) ;
- La configuration qui va être installée au cours de cette période (on considère que
cette valeur est inscrite par défaut dans le simulateur et qui correspond à la
meilleure configuration possible pour le moment. Par la suite, cette valeur va être
modifiée par l’optimisateur afin de trouver la configuration optimale à installer pour
la période en question) ;
- La configuration déjà installée sur le système (de la période précédente). Cette
information sert à savoir s’il s’agit d’une expansion de la configuration (passage à
une configuration plus performante), d’une réduction de la configuration (passage à
une configuration moins performante) ou le maintien de la même configuration.
89
Il est à noter que lorsqu’il s’agit d’une expansion ou d’une réduction de la configuration, on
considère que lors du changement de la configuration, il existe un temps de réchauffement
(Ramp-up). Ce temps est égale à 5% de la durée de la période en question et on considère
aussi qu’au cours de ce lapse de temps le facteur de vitesse (Mu) est divisé par deux. Dans
le cas d’un maintien de la même configuration installée entre deux périodes consécutives,
on n’aura pas de coût de reconfiguration ni de temps de ramp-up.
La partie précédente a été dédiée à l’explication du bloc 1 dans le modèle général de la
simulation. Une fois tous les paramètres fixés, on commence l’étude de l’évolution du
système dans le temps. Juste au moment du lancement de la simulation, la source crée une
entité qui correspond aux paramètres définis par l’utilisateur. Cette entité va passer au
centre de production (bloc 5 du modèle général). Mais avant d’entamer la description de ce
bloc, on expliquera d’autres blocs et paramètres qui servent directement au fonctionnement
du bloc 5 (Production & livraison).
b- Le deuxième bloc : la génération des séquences de reconfiguration
Ce bloc est conçu pour la séquence de reconfiguration qui va être installée sur le système.
En fait, comme mentionné précédemment, le système manufacturier sous-étude est un
système reconfigurable, c’est-à-dire plusieurs configurations peuvent être installées sur le
système afin de s’adapter au marché et améliorer ses performances. Cela est dans l’objectif
de minimiser les coûts d’exploitation totaux et d’optimiser les ressources de l’entreprise.
Or, le système est régit par des contraintes faisant en sorte qu’au moment de la prise de
décision, on ne peut pas installer n’importe quel configuration. Ceci dépend tout d’abord de
la demande du marché en termes de type produit. En effet, comme déjà mentionné
précédemment (cela est indiqué dans la formule de capacité), un type de produit ne peut
être fabriqué que par la configuration correspondante ou une meilleure.
Donc, suivant la demande du marché, on a un ensemble de configurations admissibles qui
peuvent être installées. Sachant que la demande en termes de type de produit est connue
précédemment pour chaque période, les configurations qui vont être installées sur le
système peuvent être présentées sous la forme d’une séquence. Cette séquence comporte la
configuration pour chaque période.
90
Comme le système possède plusieurs configurations qui peuvent être installées et
connaissant la demande du marché, on aboutit alors à un grand nombre de séquences qui
peuvent installées sur le système à chaque période de l’horizon considéré. Donc, le rôle
principal de ce bloc est de générer les séquences de reconfiguration admissibles, chaque
séquence considère un scénario de test.
Vu que le nombre de séquence de reconfiguration possibles est considéré comme grand, on
utilisera lors de la résolution du problème l’optimisateur OptQuest du logiciel SIMIO. Cet
optimisateur va permettre de diminuer le nombre de scénarios à traiter. On parlera
davantage de cet optimisateur dans la partie résultat.
Plusieurs processus et paramètres ont été développés dans le simulateur afin que le modèle
conçu s’adapte à chaque séquence de reconfiguration et effectue toutes les modifications
nécessaires.
c- Le troisième bloc : le calcul des besoins nets
La demande du marché sous ses deux formes ‘’type de produit et quantité’’ est intégré dans
le modèle de simulation à travers le premier bloc. Cette demande est considéré du point de
vue hiérarchie de décision comme une demande tactique. Concernant le volume de cette
demande, on s’est mis dans un contexte plausible et reflète des pratiques existantes. En
effet, les grandes compagnies qui optent pour la sous-traitance se mettent d’accord au début
sur la quantité totale du contrat qui peut s’étaler sur un intervalle entre six mois et un an.
Habituellement, après l’accord sur la quantité totale, les deux parties considérées décident
de diviser la quantité totale inscrite dans le contrat en des quantités moins importantes pour
la livraison. On appelle le moment de ces livraisons ‘’des sous-périodes de livraison’’.
Cette politique présente plusieurs avantages pour les deux parties concernées. Elle permet à
la compagnie qui a demandé la sous-traitance à commencer à utiliser les produits (les
vendre ou les inclure dans la fabrication d’autres produits) sans attendre la fin du contrat et
elle permet aussi au sous-traitant de minimiser les stocks dans son usine, et par conséquent,
les coûts.
Le rôle principal de ce bloc est de calculer la quantité de la demande à chaque sous-période
de livraison au niveau opérationnel à partir de la demande du niveau tactique obtenu du
91
premier bloc. Ensuite, dépendamment de la quantité déjà en stock qui reste de la sous-
période précédente, on identifie le besoin net de la sous-période courante. Ce besoin net est
transféré au processus de production.
d- Le quatrième bloc : La politique de contrôle du rythme de production et des inventaires
Comme décrit dès le début de ce mémoire, parmi les contributions principales de notre
travail on cite le développement d’une politique de contrôle au niveau opérationnel qui
régit la production en fonction des états du système.
L’objectif de la modélisation de ce bloc se résume principalement dans la génération des
plusieurs niveaux (ou seuils) pour l’inventaire à chaque sous-période de livraison. Lorsque
qu’on arrive à ce seuil, la production est suspendue dans cette sous-période et on attend la
prochaine livraison afin de relancer la production de nouveau. À travers cette modélisation,
on arrive à minimiser la quantité dans l’inventaire, et par la suite, le coût de stockage mais
tout en gardant un stock de sécurité dans le cas où le système se trouve dans un état de
panne ou dans un état dégradé. L’avantage d’avoir un stock de sécurité est d’anticiper des
perturbations dans la cadence de production qui peuvent causer des pénuries ou des retards
de livraison.
Comme décrit ci-dessus à l’aide de ce bloc, on conçoit la politique de contrôle sur
l’inventaire qui agit par la suite directement sur les quantités produites par le système sous-
étude.
e- Le cinquième bloc : La production et la livraison
Ce bloc contient principalement le centre de production et les entrepôts. Il est responsable
de la production des produits et de leurs stockage dans les entrepôts afin d’être livrés.
Le système de production sous-étude est un système non-fiable. Il peut avoir trois états : un
état de fonctionnement normal, un état dégradé et un état de panne. Comme décrit ci-
dessous :
un état Normal : fabrication à capacité maximale,
un état Dégradé : fabrication à moitié de capacité,
92
un état de panne : défaillance totale.
Figure 33: Diagramme des états du système sous-étude
L’affectation de ces trois états au centre de production se fait à travers principalement trois
processus qui ont été développés dans le simulateur.
Le premier processus s’appelle : ‘’Etat_N_Process’’. Il est responsable de l’état normal du
système. On considère que par défaut l’état initial du système est l’état Normal puis à
travers cet état on peut passer aux autres états (Dégradé ou panne). Ce processus est basé
sur les paramètres prédéfinis du système (i.e., probabilités de transition). Le passage à un
état déterminé fait en sorte que les paramètres d’exécution de la production changent.
Le deuxième processus est appelé : ‘’Etat_D_Process’’. Il est dédié à l’exécution de l’état
Dégradé du système. Il s’alimente aussi des paramètres prédéfinis du système. Il fonctionne
avec le même principe que l’état normal. Le passage à cet état fait en sorte que le taux de
production est fixé à la moitié du taux de production de l’état normal.
Concernant le troisième processus, il est dédié à l’état de panne du système est appelé
‘’FailureProcess’’. Au cours de ce processus, le taux de production est nul.
En récapitulant, la partie production de ce bloc est dédiée principalement aux états que le
centre de production peut avoir. Le passage entre ces états est modélisé par une chaîne de
Markov. Bien évidemment comme expliqué précédemment le comportement du système
93
dépend essentiellement de la configuration installée sur le système et la demande du
marché.
À part les trois états du système qui gèrent le taux de production du système, un autre
facteur intervient dans notre étude qui permet lui aussi de contrôler la production. Ce
facteur est géré par le quatrième bloc expliqué précédemment. En fait, ce dernier génère des
niveaux d’inventaires que les entrepôts doivent respectés. Suite à ces niveaux reçus, la
production est suspendue dès qu’elle dépasse un seuil bien déterminé. De ce fait, le centre
de production est contrôlé par les trois états du système (la non-fiabilité) et la politique de
contrôle des inventaires.
Une fois les produits arrivent dans l’entrepôt, ils attendent la prochaine sous-période de
livraison tel que convenu dans le contrat suivant la demande (bloc 1) qui est calculée à
travers les besoins nets (bloc 3). Deux cas de figure se présentent ici :
- Si la quantité stockée dans l’entrepôt est supérieur à la demande de la sous-période
de livraison en question, alors on aura un stock positif après la livraison et par la
suite, cela engendre un coût de stockage.
- Si la quantité stockée dans l’entrepôt est inférieur à la demande de la sous-période
de livraison en question, alors on aura un stock négatif après la livraison et par la
suite, on aura un coût d’arriérage.
f- Le sixième bloc : Le calcul des coûts
Ce bloc est le plus important du point de vue optimisation parce que l’objectif principal de
l’entreprise est de minimiser les coûts d’exploitation. Ainsi, tous les processus développés
dans le simulateur communiquent avec ce bloc afin de faire la mise à jour de la fonction
coût au fur et à mesure du déroulement de la simulation.
La fonction coût comprend le coût de reconfiguration, le coût de production, le coût de
stockage, le coût d’arriérage et le coût de manque à gagner sur le marché. Cette fonction
n’est que la fonction objectif du problème qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de
décision (tactique et opérationnel). L’optimisation considère les paramètres d’entrées
(séquence de configuration et seuils critique) comme variable de décision.
94
Interface développée à l’aide du simulateur
Donc comme expliqué ci-dessus, tous les processus qui régissent la dynamique du système
ont été développés dans une perspective d’optimisation (paramètres, variables de décision
et fonction objectif) dans la plate-forme de simulation SIMIO. De plus, des interfaces et des
graphiques permettant le suivi de l’évolution du système en temps réel ont été développés
pour faciliter la validation et les expérimentations qu’on est amené à faire.
En guise d’illustration, l’allure finale du modèle développé est présentée dans le graphique
ci-dessous.
Figure 34: L'interface développée à l'aide du simulateur
On remarque dans ce graphique plusieurs indicateurs qui présentent les différents
paramètres du système en temps réel. Parmi ces paramètres : la quantité produite pour
chaque type de produit et à chaque période, les quantités livrés, les demandes du marché,
l’état du système en temps réel.
95
- Validation du modèle de simulation :
La validation du modèle de simulation développée s’est déroulée sur plusieurs étapes.
Premièrement, des tests individuels sur chaque processus développé ont été menés. Ces
tests visent à s’assurer que le processus exécute la requête programmée convenablement
à l’égard des paramètres d’entrées et sorties. Deuxièmement, des graphiques comme
celui présenté par la figure suivante viennent retracés l’évolution de la dynamique du
système dans le temps pour s’assurer que les processus de contrôle sont bien exécutés.
Ces processus concernent les changements de configuration, les livraisons, la
production en respectant les seuils critiques ainsi que la réaction de la production face
aux événements aléatoires (pannes et état dégradé). Tous les tests effectués ont
démontré que notre modèle reflète fidèlement le système et sa dynamique.
Figure 35: Validation du modèle de simulation
96
4.3. Résultats expérimentaux
4.3.1. Cas d’étude numérique
Comme décrit précédemment, on dispose d’un centre de production reconfigurable capable
de fabriquer plusieurs produits de la même famille. Ce centre est sujet à des pannes
aléatoires et à des périodes de fabrication en régime dégradé.
Notre objectif principal est de minimiser le coût d’exploitation de ce centre de production,
et ce, à travers l’identification de la séquence optimale de reconfiguration sur l’horizon
sous-étude et la politique optimale de contrôle sur l’inventaire durant chaque période de
l’horizon en question.
Le modèle de simulation décrit requiert beaucoup de paramètres qui vont être décrits dans
la suite. Ces paramètres peuvent être divisés en deux niveaux : le niveau tactique et le
niveau opérationnel. Il est à noter le modèle de simulation développé a été basé sur
l’intégration de ces deux niveaux de la hiérarchie de décision.
Commençons tout d’abord par le niveau tactique On considère que l’horizon de
planification s’étale sur trois ans, donc trois périodes chacune dure une année. Cinq
configurations peuvent être installées sur le système. Le type de ces configurations varie
entre 7 et 11. L’installation de ces configurations dépend bien sûr comme mentionné
précédemment de la demande du marché et de plusieurs autres facteurs.
Le choix des paramètres a été basé sur la revue de la littérature afin de s’approcher le plus
possible d’un contexte réaliste. On considère le facteur de rapidité égal à µ = 0,4, et lors de
la période réchauffement (Ramp-up) égal à µRup = 0,2, c’est-à-dire 50% du
fonctionnement normal. On considère que l’entreprise fonctionne 24 heures par jour sur
toute l’année, ce qui équivaut à une durée égale à Ti = 8760 h et la durée du Ramp-up est
considéré égale à 5% de la période globale TRup = 438 h. La demande du marché est
considérée comme suit :
97
Tableau 13: la demande du marché en type et en quantité
Demande Type Quantité Première année 8 350 Deuxième année
10 310
Troisième année
9 330
On considère que la configuration initiale déjà installée sur le système est égale à SF0 = 9.
Concernant le coût de réduction et le coût d’expansion de la configuration, ils sont fixés à
R=5 000 et E=5 000 respectivement. Le coût de production est égal à 200 par unité
produite.
Abordons maintenant le niveau opérationnel du modèle de simulation. Comme décrit
précédemment, chaque période possède 12 sous-périodes de livraison au niveau tactique,
l’objectif est donc de livrer le produit à temps en minimisant le coût de stockage et le coût
de pénurie. On considère que ces périodes de livraison sont égales et possèdent des
quantités à livrer égales aussi. Les coûts de stockage et de pénurie sont respectivement fixés
à C+ = 50 et C− = 250.
Les quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison sont données dans
le tableau suivant. Ces valeurs sont obtenues par la division de la quantité de la demande de
chaque période par le nombre de ses sous-périodes de livraison. Il est à noter que cette
hypothèse concerne le cas déterministe de demande. Dans le cas aléatoire, les demandes
seront générées suivant une distribution de probabilité détaillée plus loin dans le rapport.
Tableau 14: Les Quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison
Les Quantités à livrer à la fin de chaque sous-période de livraison
Première année 29 Deuxième année 26 Troisième année 27
Le système de production est sujet à des pannes aléatoires et à des périodes de production à
capacité dégradée. Cet aspect multi-états du système est modélisé par une chaine de
Markov (distribution de probabilité exponentielle ayant pour moyenne l’inverse des taux de
98
transition). Les probabilités de transition entre ces états dépendent de la configuration
installée sur le système. Le tableau récapitulatif suivant présente les probabilités de
transition considérées pour chacune des configurations possibles :
Tableau 15: Les probabilités de transition entre les états pour chaque configuration
7 8 9 10 11 Transition de l’état P à l’état N 0.85 0.875 0.9 0.925 0.95 Transition de l’état N à l’état P 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 Transition de l’état P à l’état D 0.1 0.085 0.07 0.055 0.04 Transition de l’état D à l’état P 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 Transition de l’état D à l’état N 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Transition de l’état N à l’état D 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
P (État Normal) 0.7 0.757 0.816 0.876 0.937 P (État de Panne) 0.1 0.075 0.052 0.031 0.014 P (État Dégradé) 0.2 0.167 0.131 0.091 0.048
L’état N désigne l’état Normal, c’est-à-dire à capacité maximale. L’état D désigne l’état
Dégradé, c’est-à-dire à moitié capacité. L’état P désigne l’état de Panne, c’est-à-dire à
capacité nulle.
4.3.2. L’Optimisation avec OptQuest
Le module d’optimisation «OptQuest» est un outil qui peut être couplé avec le modèle de
simulation SIMIO afin d’identifier la meilleure combinaison des paramètres qui permettent
d’atteindre l’objectif de l’étude. «OptQuest» intègre une combinaison de métaheuristiques
(la recherche tabou, l’algorithme génétique) et les réseaux neurones afin de prendre la
meilleure solution lors de la prise de décision.
Afin d’utiliser OptQuest, l’utilisateur doit spécifier les entrées du système (les paramètres
de contrôles) à optimiser et la sortie du système qui est généralement une fonction objectif
à minimiser ou à maximiser. D’autres éléments doivent être définis aussi qui seront décrit
ci-dessous :
- Une limite inférieure et une limite supérieure pour le nombre de réplications qui
doivent être exécutées à chaque scénario,
99
- Le nombre maximum de scénarios à tester lors du processus d’optimisation,
- Le niveau de confiance,
- Le pourcentage d’erreur de la moyenne de l’échantillon,
- Le warm-up (le temps requis pour atteindre le régime permanent),
- La limite inférieure et supérieure pour chaque paramètre à optimiser (domaine
expérimental).
Après la spécification de chacun des éléments précédents, «OptQuest» peut être lancé afin
de déterminer la meilleure solution du problème.
4.3.3. L’outil SMORE de SIMIO Comme la simulation est une méthode approchée qui permet d’obtenir des solutions à
travers des paramètres d’entrées prédéfinies, plusieurs réplications doivent être testées pour
chaque scénario. Un outil appelé SMORE est intégré dans SIMIO, cet outil est un
évaluateur de risque et de l’erreur statistique de Simio (a Simio Measure Of Risk & Error).
Il permet la représentation graphique du maximum d’information d’un échantillon d’une
population. Cet échantillon est le résultat des réplications exécutées pour chaque scénario
(Kelton et al, 2011).
Le diagramme SMORE présente le minimum, le maximum, la moyenne et la médiane des
valeurs observées pour chaque scénario ainsi que les quartiles inférieurs et supérieurs
suivant un degré de confiance défini par l’utilisateur dès le départ. (Figure 36).
100
Figure 36: Diagramme SMORE adapté de Kelton et al (2011)
4.3.4. Technique de réduction de la variance Dans le cadre de notre étude, nous sommes amenés à comparer les résultats de deux
modèles de simulation correspondants à deux systèmes manufacturiers différents,
notamment un RMS et un AMS. Dans ce contexte, on vise à comparer les coûts totaux de
chaque modèle. Pour faire en sorte que l’exécution de ces deux modèles se fasse dans les
mêmes conditions d’opération, nous devons porter une attention particulière à la génération
des nombres aléatoires servant à reproduire les évènements aléatoires. En plus de
l’exécution de plusieurs réplications afin de réduire l’intervalle de confiance des résultats, il
faut rouler les deux modèles avec les mêmes séries de nombre aléatoire. La technique de
réduction de la variance est une procédure utilisée pour augmenter la précision des
estimations qui peuvent être obtenues pour un nombre donné de réplications, et cela, afin
d’effectuer une simulation statistiquement efficace.
La «Common Random Number» (CRN) est considérée parmi les techniques efficaces de
réduction de la variance. La variabilité dans notre problème figure principalement dans le
101
cas de la demande aléatoire qui suit une loi normale et dans le cas de la transition entre les
états qui suit une loi exponentielle.
Afin d’appliquer la CRN, il est nécessaire de synchroniser la séquence de nombres
aléatoire. Entre autre, une séquence de nombre aléatoire utilisé dans un scénario bien
déterminé d’un modèle, cette même séquence doit être utilisé dans l’autres modèle à
comparer.
Les étapes pour l’application du CRN : (on désigne par ‘1’ le premier modèle et ‘2’ le
deuxième modèle)
1. Calculer pour chaque réplication n la différence Zn = Y1n — Y2n des deux mesures de coûts Y1 et Y2.
2. Calculer la moyenne �̅� = 1𝑛
∑ 𝑍𝑛𝑛𝑛=1
3. Calculer la variance 𝑆𝑛2 = 1𝑛−1
∑ (𝑍𝑛 − �̅�)2𝑛𝑛=1
4. Déterminer l’intervalle de confiance : 𝐼𝐶 = 𝑡(𝛼2 ,𝜗)�𝑆𝑛2
𝑛
Avec 𝜗 = 𝑛 − 1 représente le nombre de degrés de liberté tel que n est le nombre de réplications, α est le niveau de signifiance, Ensuite, trois cas se présente pour décider lequel des modèles est meilleur :
- 1er cas : si l’intervalle de confiance est complétement à gauche de zéro, on peut
conclure que la différence Y1-Y2 est négative et par la suite on aura Y1<Y2,
- 2ème cas : si l’intervalle de confiance est complétement à droite de zéro, on peut
conclure que la différence Y1-Y2 est positive et par la suite on aura Y1>Y2,
- 3ème cas : si l’intervalle de confiance contient zéro, on ne peut pas affirmer quel
modèle est meilleur par rapport à l’autre, dans ce cas, il faut opter pour plus de
réplications. Sinon on conclura qu’il n’y a pas de différence significative entre les
modèles.
102
4.3.5. La notion du niveau de service
En plus du calcul des coûts encourus, nous allons afficher une autre mesure pour avoir une
idée plus précise sur la performance du système en ce qui à trait des livraisons. Cette
mesure concerne le niveau de service qu’on a considéré en se basant sur la définition de
Sheffi et Caplice (2003) comme étant la somme des rapports des quantités livrées à temps à
chaque sous-période de livraison divisée par la demande des sous-périodes de livraison. Ce
niveau donne une idée sur la qualité de service du fabricant, soit sa capacité à assumer ses
engagements de livraison à temps. Ce niveau est un pourcentage. Plus il est élevé et
s’approche de 100%, plus le scénario est meilleur tout en considérant bien sûr l’aspect du
coût total d’exploitation.
4.3.6. Détermination des paramètres optimaux du modèle développé
On abordera dans cette partie la détermination des paramètres optimaux du modèle
développé expliqué dans la partie 4.2.
L’objectif est d’avoir un stock de sécurité capable de combler une éventuelle pénurie dans
le futur. Vu que le comportement du système est aléatoire (trois états qui sont régis par une
modélisation markovienne), cette expérience est faite à l’aide de l’optimisateur «OptQuest»
afin d’identifier les seuils Z qui contrôlent la production durant chaque période. Ces seuils
Z permettent d’avoir un niveau suffisant dans le stock qui couvre des possibles pénuries
futures. L’optimisation des configurations à installer dans chacune des périodes fait aussi
partie du processus afin de garantir une utilisation optimale des ressources matérielles de
l’entreprise. Dans un premier temps, les taux de la demande sont considérés déterministes,
et comme mentionné ci-dessus ils prennent les valeurs suivantes à chaque période.
Tableau 16: les taux de la demande pour l'horizon considéré
Période 1 2 3 Taux de la demande 350 310 330
Dans cette étude de cas et avec les données mentionnées précédemment, on obtient les
résultats suivants :
103
Tableau 17: les résultats obtenus du cas numérique du RMS
Période 1
Période 2
Période 3
Séquence Optimale de reconfiguration
9 10 9
Seuils critiques de production à chaque sous-
période (un mois)
31 32 31
Niveau de service global (%)
99,8 97,9 90,4
Coût Total d’exploitation CoutRMS =227 086
Dans ce cas, on a considéré que la demande du marché en termes de taux de la demande est
déterministe et que le modèle de simulation exécuté se base sur l’intégration des deux
niveaux de la hiérarchie de décision «tactique-opérationnelle» dans la prise de décision. Les
résultats ci-dessus montrent que l’optimisation a donné une séquence de reconfiguration sur
l’horizon sous-étude de [9-10-9] et des seuils critiques de production qui favorisent un
niveau de stockage confortable (les seuils sont supérieurs aux demandes des sous-périodes).
Ces résultats considèrent une intégration des deux niveaux de la hiérarchie de décision
«tactique-opérationnelle».
De la même façon qu’on a procédé dans le chapitre 3, on s’intéresse à la validation des
résultats obtenus et qui montrent le gain entre un modèle intégré versus dissocié. La
motivation derrière cette validation s’explique par le fait qu’avec l’approche basée sur la
simulation on a : (1) une meilleure idée sur la génération des évènements aléatoires et (2) la
possibilité de faire des comparaisons statistiques basée sur des intervalles de confiance.
Ceci nous semble plus rassurant avant de mener une étude comparative dans un contexte de
demande aléatoire.
La validation va considérer la même stratégie suivie au cours du chapitre précédent, c’est-à-
dire en comparant les décisions obtenues en considérant le niveau tactique et les décisions
obtenues en considérant un modèle intégré.
Cette validation, comme montré dans le chapitre précédent, se divise principalement en
deux étapes principales. La première étape consiste à exécuter l’optimisateur «OptQuest»
104
en minimisant juste le coût tactique, ce qui nous ramène à obtenir une séquence de
reconfiguration optimale. Cette décision s’insère alors dans le niveau opérationnel afin
d’obtenir les seuils critiques de production, ce qui aboutit à un coût total d’exploitation (on
l’appelle plus tard ‘’Scénario 1’’). Au cours de la deuxième étape, on considère que le
système est conçu dès le départ sur l’intégration des deux niveaux de la hiérarchie de
décision «tactique-opérationnel». Suite à l’exécution de l’optimisateur «OptQuest», on
obtient une séquence de reconfiguration optimale et des seuils critiques de production avec
un coût total d’exploitation comme montré précédemment (on l’appelle plus tard ‘’Scénario
2’’deuxième modèle). Cette validation consiste principalement à la comparaison entre les
coûts de ces deux scénarios. Comme les résultats du ‘’Scénario 2’’ étape sont déjà donnés
ci-dessus, il ne reste que les résultats du ‘’Scénario 1’’.
Présentons dans le tableau suivant les résultats obtenus :
Tableau 18: Comparaison entre les résultats des deux scénarios pour le cas numérique
Demande [350-310-330]
Scénario 1 Scénario 2 Période 1 Période 2 Période 3 Période 1 Période 2 Période 3
Séquence de reconfiguration
optimale 8 10 9 9 10 9
Seuils critiques de production 29 26 27 31 32 31
Taux de services (%) 80,5 97,3 78 99,8 97,9 90,4
Coût total 248 048 227 086 Écart 8,4%
On remarque que la séquence de reconfiguration ainsi que les seuils critiques ont changé
entre les deux scénarios, ce qui a engendré une variation du coût total. Grâce à cette
variation, le modèle qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision permet à
l’entreprise de gagner 8,4% dans le coût total d’exploitation avec un niveau de confiance de
95% (pour exemple d’application de la «CRN» voir Annexe 2). On constate aussi que les
niveaux de service augmentent dans le cas d’un modèle intégré, ce qui est logique comme
le présagent les avantages de l’application du scénario 2.
105
4.3.7. Analyse de sensibilité
a- Variation des taux de la demande
Deux cas de figures de la demande du marché vont être testés, un premier cas où le taux de
la demande du marché est considéré déterministe et pour le deuxième cas le taux de la
demande est aléatoire qui suit une loi normale.
i. Contexte déterministe
Tableau 19: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290]
[310-270-290]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198 0%
Scénario 2 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198
* Avec un intervalle de confiance de 95%
Tableau 20: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310]
[330-290-310]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 27 24 26 90,2 97 91,6 12985 200272 213257 2,4%
Scénario 2 8 10 9 29 26 26 90,7 99,3 91,1 6315 201836 208151
Tableau 21: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330]
[350-310-330]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 29 26 27 80,5 97,3 78 39800 208248 248048 8,4%
Scénario 2 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086
106
Tableau 22: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350]
[370-330-350]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 33 27 29 85,4 78,7 69,7 68110 215632 283742 10,18%
Scénario 2 9 10 10 35 29 29 99,9 87 90,4 17430 237416 254846
On constate que le gain augmente d’une façon remarquable en augmentant la demande, ce
gain est issu principalement des gains au niveau opérationnel. De plus, on remarque que le
scénario 2 a gardé des niveaux de service élevés qui avoisine parfois les 100%
comparativement au scénario 1 qui perd sa performance quand la demande augmente. Ce
résultat est rassurant étant donné que l’optimisation du niveau de service ne faisait pas
partie de l’optimisation globale. Donc en optimisant juste le coût total les résultats obtenus
démontrent que le choix de configurations performantes pour faire face aux aléas du niveau
opérationnel aboutit automatiquement à un niveau de service intéressant.
Figure 37: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte déterministe
0
2
4
6
8
10
12
[310-270-290] [330-290-310] [350-310-330] [370-330-350]
Gain en augmentant les taux de la demande dans un contexte déterministe
Gainen %
107
On remarque aussi que dans le scénario 2, à chaque fois que la demande augmente la
séquence de reconfiguration change. Ce changement permet de passer à des configurations
plus performantes ce qui diminue le coût opérationnel (surtout le coût de pénurie) mais en
contrepartie ce passage influe négativement sur le coût tactique. Ci-dessous, on expliquera
le phénomène étudié avec plus de détails à travers des graphiques.
Coût [310-270-290]
[330-290-310]
[350-310-330]
[370-330-350]
Scénario 1 Tactique 189308 200272 208248 215632
Opérationnel 2890 12985 39800 68110 total 192198 213257 248048 283742
Scénario 2 Tactique 189308 201836 218456 237416
Opérationnel 2890 6315 8630 17430 total 192198 208151 227086 254846
Figure 38: les coûts engendrés suite à l'optimisation pour différents taux de la demande
Figure 39: Comparaison entre les différents coûts des deux scénarios en augmentant la demande
Dans le graphique ci-dessus, les courbes en pointillées représentent les coûts du Scénario 1
et les courbes continues représentent les coûts associés au scénario 2. On rappelle que le
coût opérationnel est composé du coût de stockage et du coût de pénurie. Et concernant le
coût tactique il est composé principalement du coût de production et du coût de
reconfiguration.
Comme on a trouvé à travers les résultats et les tableaux présentés précédemment que le
Scénario 2 est meilleure que le Scénario 1 donc nécessairement la courbe qui représente le
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
[310-270-290] [330-290-310] [350-310-330] [370-330-350]
Tactique S1
Operat S1
Total S1
Tactique S2
Operat S2
Total S2
108
coût total du scénario 2 (Courbe continue en vert) doit être sous la courbe du coût total du
scénario1 (courbe verte en pointillée).
On a remarqué aussi que le scénario 2 tend à se reconfigurer plus rapidement lorsqu’on
augmente la demande, cette reconfiguration pénalise le coût tactique du système et ce, à
travers un coût supplémentaire pour la passage à configuration plus performante et en plus
à travers le coût de production qui augmente lorsqu’on décide de fabriquer avec une
configuration qui a une fonctionnalité supérieur à la fonctionnalité du type de la demande.
Ce qui explique le fait d’avoir le coût tactique du scénario 2 (courbe continue en rouge)
supérieur au coût tactique du scénario 1 (courbe rouge en pointillée).
En ce qui concerne le coût opérationnel, lorsque le système se reconfigure, on gagne en
termes de capacité et par la suite on aura assez de capacité afin de répondre à la demande et
afin de faire face à des pénuries futures ce qui engendre une diminution du coût
opérationnel. Ce qui est montré dans le graphique précédent à travers le fait d’avoir la
courbe du coût opérationnel du scénario 2 (courbe continue en bleue) sous la courbe du
cout opérationnel du scénario 1 (courbe bleue en pointillée).
En récapitulant, ce compromis a permis d’avantager le scénario 2 qui intègre les paramètres
opérationnels dans le processus de prise de décision.
ii. Contexte aléatoire
Dans cette partie, on considère un contexte aléatoire de la demande. La motivation de
mener cette étude tire ses origines des avantages attendues du paradigme des RMS qui
performe mieux dans un contexte de forte variabilité. On considère que les demandes suit
une loi de probabilité normale. Plusieurs expériences ont été réalisées avec des écarts types
différents. Tous les résultats confirment nos attentes dans le sens où en augmentant la
demande le gain du scénario 2 augmente. Ces résultats sont présentés dans les tableaux
suivants.
109
On présentera ci-dessous les résultats obtenus avec un écart type de 25 (STD=25). Les
moyennes des demandes sont présentées dans le titre de chaque tableau.
Tableau 23: les résultats des deux scénarios pour une demande de [290-250-270]
[290-250-270]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 24 21 22 91,4 90,4 80,6 32510 173086 205596 5,57%
Scénario 2 8 10 9 30 27 28 99,6 99,7 91,6 10680 183448 194128
Tableau 24: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290]
[310-270-290]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 26 22 24 91,7 87,8 82,5 36403 184066 220469 6,8%
Scénario 2 9 10 9 30 26 28 100 98,1 91,5 8680 196600 205280
Tableau 25: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310]
[330-290-310]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 27 24 26 87,3 89,4 85,2 38470 195821 234291 6,9%
Scénario 2 9 10 9 31 30 30 100 99,8 89,4 9970 208156 218126
Tableau 26: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330]
[350-310-330]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 29 26 27 83,2 89 78,5 54744 206133 260877 7,93%
Scénario 2 9 10 9 33 30 33 99,9 93,7 85,6 20505 219684 240189
110
Tableau 27: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350]
[370-330-350]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
Scénario 1 8 10 9 31 27 29 75,8 77,6 73,7 92235 214123 306357 11,21%
Scénario 2 9 10 9 37 31 33 99,6 80,7 91,3 32335 239664 271999
En testant les deux scénarios dans un contexte aléatoire, on constate que la tendance du
gain reste la même, en augmentant la demande le gain augmente. Ce gain est beaucoup plus
élevé que celui enregistré dans un contexte déterministe. Cette observation confirme que
l’intégration des deux niveaux de décision est d’autant plus importante dans un contexte de
forte variabilité.
Figure 40: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte aléatoire (STD=25)
0
2
4
6
8
10
12
Gain en augmentant les taux de la demande dans un contexte aléatoire (STD=25)
Gainen %
111
b- La variabilité de la demande et son effet sur les décisions
Dans cette section nous allons mener une étude de sensibilité sur le niveau de variabilité de
la demande pour tester son impact sur les décisions. Pour ce faire, on va se concentrer sur le
meilleur scénario (scénario 2 : prise de décision intégré) tout en faisant varier les écarts
types des demandes. Quatre niveaux de variabilité pour une seule séquence de demande ont
été considérés pour illustrer cet aspect.
Tableau 28: L'effet de la variabilité sur les décisions de reconfiguration du Scénario 2
[310-270-290]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%)
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
Scénario 2 (STD=0) 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7
Scénario 2 (STD=15) 8 10 9 28 26 26 98,3 99,7 91,6
Scénario 2 (STD=25) 9 10 9 30 26 28 100 98,1 91,5
Scénario 2 (STD=35) 9 10 9 30 28 28 100 97,8 91
On remarque dans cette analyse que pour une demande donnée et en augmentant la
variabilité, le scénario 2 change sa séquence optimale de reconfiguration et aussi ses seuils
de production. Ce changement est expliqué par le fait que le système s’adapte à la
variabilité. Il est reconfigurable d’une façon qu’il essaye de se protéger de la variabilité par
le passage à une séquence de reconfiguration plus performante.
Malgré la variabilité importante, le passage à une séquence de reconfiguration plus
performante a permis de garder des niveaux de services intéressants.
4.4. Étude comparative RMS - AMS
Dans cette section, on se propose de mener une étude pour mesurer l’avantage du système
RMS considéré en comparaison avec un système de production classique adapté au
contexte manufacturier considéré. À partir de la revue de littérature menée, nous avons opté
112
pour une comparaison avec les systèmes AMS (Système manufacturier ajustable). Ce
système permet un ajustement suivant la demande afin de produire le type de produit
demandé avec la configuration correspondante. L’objectif de cette étude concerne deux
aspects importants à savoir : (1) mesurer les performances de deux types de système (2)
mesurer l’avantage de système RMS en termes d’adaptation dans un contexte de variabilité
élevé. Au cours de cette étude on vise aussi à dresser un portrait des limites de chaque type
du système manufacturière (AMS et RMS) et ce à travers une étude sur la variabilité de la
demande.
On tient à rappeler que les systèmes manufacturiers ajustables ou réglables (AMS) sont
composés d’une série de machines réglables, qui peuvent être utilisés dans la production
d’une gamme limité de produits. Ils sont caractérisés par leur comportement semblable au
DMS une fois ajustés c’est-à-dire avec un coût de production pas très élevé et une
production de masse.
En récapitulant au cours de cette étude de l’AMS, on ne parle plus d’une optimisation de la
séquence de reconfiguration optimale qui va être installée sur le système mais on parle juste
d’une optimisation des seuils critiques de production à chaque période. Donc on considère
que le système s’ajuste à chaque période afin de correspondre à la fonctionnalité du type de
la demande du produit. L’optimisateur «OptQuest» est utilisé aussi dans cette étude afin de
déterminer les seuils critiques optimaux pour chaque période et le coût total minimum.
En se référant au tableau 1 adapté de Zhang et al (2006) du chapitre 1 qui présente les SDI
pour chaque type de système, on constate que trois paramètres qui figurent dans notre étude
du RMS doivent être modifié afin de correspondre au profil de l’AMS. Ces trois paramètres
sont les suivant :
- Le coût de reconfiguration : Zhang et al (2006) attribuent un SDI de ‘0.8’ pour le
coût de reconfiguration du RMS et un SDI de ‘0.3’ pour le coût de reconfiguration
de l’AMS (on appelle ce coût plus tard ‘coût de setup’ afin de ne pas le confondre
avec le coût de reconfiguration du RMS). Donc comme on a un coût de
reconfiguration de ‘5000’ pour le RMS, on a décidé d’attribuer un coût de setup de
’20 000’ pour l’AMS sous étude.
113
- Le coût de production ou comme appelé par l’étude de Zhang et al (2006) ‘’ coût
d’opération’’, ce coût a un SDI de ‘0.3’ pour le RMS et un SDI de ‘0.8’ pour
l’AMS. C’est-à-dire le coût de production de l’AMS doit être inférieur par rapport
au coût de production du RMS. Le coût de production qui a été attribué au RMS
précédemment dans le chapitre est de ‘200’ mais ce coût est variable puisqu’à
chaque fois qu’on décide de fabriquer avec une configuration plus performante
(juste la configuration supérieure) il se pénalise de 20% et ainsi de suite. Donc on a
décidé d’attribuer un coût de production pour l’AMS égal à ‘150’. Ceci peut être
changé si on décide de changer le pourcentage de pénalité du coût de production du
RMS.
- Le coût de Ramp-up : Zhang et al. (2006) attribuent un SDI de ‘0.8’ pour le coût de
Ramp-up du RMS et un SDI de ‘0.3’ pour le coût de Ramp-up de l’AMS’. C’est-à-
dire normalement le coût de Ramp-up du RMS doit être inférieur par rapport à celui
de l’AMS. Comme dès le début de l’étude, le Ramp-up a été considéré
implicitement dans la formule de la capacité du système et ce à travers 5% de la
période où le taux de production est à moitié capacité, on a décidé de ne pas tenir en
compte de ce paramètre et de garder la même formule de capacité pour les deux
modèles.
Après l’identification des paramètres qui doivent être modifiés lors de l’étude de l’AMS, un
test de faisabilité s’avère important puisque différemment à un RMS, le AMS ne peut pas
se reconfigurer c’est-à-dire il ne peut pas avoir plus de capacité. En fait, l’AMS s’ajuste
juste avec le type de la demande du marché. Or le RMS quand il se reconfigure avec des
configurations plus performantes, il aura plus de capacité ce qui va lui permettre de
répondre à plus de demande.
- Test de faisabilité :
La demande du marché qui va être considérée dans l’étude de l’AMS est prise de telle
façon que le système malgré sa non-fiabilité aura assez de capacité pour répondre à la
demande globale de la période. Cette capacité est considérée lorsqu’on a une fonctionnalité
de la configuration installée sur le système qui correspond la fonctionnalité du type de la
demande de période en question.
114
Période1 : Type de produit = 8 :
Suivant la formule de capacité on obtient une capacité de la première période égale à
‘427,05’. Or, le système est sujet à des pannes aléatoires et à des périodes de production à
moitié capacité. Pour un type ‘8’, la probabilité de l’état normal est égale à ‘0.75’ et la
probabilité de l’état dégradé est égale à ‘0.167’. Ce qui nous donne une capacité réelle
(CapR) de :
CapR(P1)=355,94
Période2 : Type de produit = 10 :
On procédant de la même façon avec les paramètres d’un type de produit =10 et d’une
configuration installée =10, on obtient une capacité réelle à la deuxième période de :
CapR(P2)=314,82
Période3 : Type de produit = 9 :
On procédant de la même façon avec les paramètres d’un type de produit =9 et d’une
configuration installée =9, on obtient une capacité réelle à la deuxième période de :
CapR(P3)=334,61
La demande de produit considérée ne doit pas dépasser les valeurs de la capacité réelle
mentionnées ci-dessus à chaque période. Puisque comme expliqué puisque l’AMS n’est pas
un système reconfigurable, il s’ajuste juste avec le type de la demande et il ne peut pas
avoir de capacité supplémentaire comme le RMS.
4.4.1. Cas numérique d’étude
En considérant une demande de 290 pour la première période, 250 pour la deuxième
période et de 270 pour la troisième période, on démarre l’optimisateur afin d’avoir les
seuils de production optimales pour l’AMS. On tient à noter qu’on est dans un contexte
d’ « assez de capacité ».
115
Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Tableau 29: les résultats obtenus du cas numérique du AMS
Période 1
Période 2
Période 3
Séquence des configurations de l’AMS=
Demande en type
8 10 9
Seuils critiques de production à chaque
sous-période (un mois)
24 21 22
Niveau de service global (%)
95,6 99,8 90,6
Coût Total d’exploitation CoutAMS =202 577
Une comparaison par rapport au RMS s’avère intéressante pour comparer les décisions et
les coûts.
Dans le tableau suivant, on présentera les résultats des deux systèmes manufacturiers
ensemble.
Tableau 30: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270]
[290-250-270]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 197567 202577 10,27%
RMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 176796 181766
Suite aux résultats obtenus, on remarque que les décisions des systèmes manufacturiers
sont identiques. Pour le coût opérationnel aussi, il est identique. Ce qui logique puisque les
seuils de productions sont les mêmes donc du point de vue opérationnel (stockage et
pénurie). Les deux systèmes se sont donc comportés de la même façon. Mais malgré ça, le
RMS présente un gain par rapport à l’AMS. Ce gain en fait provient de la différence entre
les coûts tactiques des modèles. Comme mentionné précédemment, l’AMS a un cout de
setup supérieur au cout de reconfiguration du RMS mais un cout de production inférieur.
On constate que l’AMS n’a pas assez produit pour rentabiliser les investissements dépensés
116
dans les couts de setup. Cela se confirme par le fait qu’on est dans un contexte d’assez de
capacité (demande << capacité).
Ces observations nous encouragent à étudier plus en profondeur la comparaison entre ces
deux systèmes, et ce, à travers une analyse de sensibilité.
4.4.2. Analyse de sensibilité Cette analyse se divise en deux grandes parties : la première partie est consacrée à la
variation des taux de la demande dans un contexte déterministe et la deuxième partie est
consacrée à la variabilité des taux de la demande.
a- Variation des taux de la demande dans un contexte déterministe
Suite aux résultats précédents qui ont montré dans un contexte où le système possède assez
de capacité pour répondre à la demande le RMS est plus avantageux, on a décidé de
pousser plus l’étude et d’analyser d’autres taux de la demande.
Dans les tableaux suivants, on présentera les résultats obtenus suite à la variation des taux
de la demande dans un contexte déterministe.
Tableau 31: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270]
[290-250-270]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 197567 202577 10,27%
RMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 176796 181766
Tableau 32: les résultats des deux systèmes pour une demande de [310-270-290]
[310-270-290]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 206981 209871 8,42%
RMS 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198
117
Tableau 33: les résultats des deux systèmes pour une demande de [330-290-310]
[330-290-310]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 29 26 26 96,7 99,2 91,1 6315 216377 222692 6,52%
RMS 8 10 9 29 26 26 96,7 99,2 91,1 6315 201836 208151
Tableau 34: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330]
[350-310-330]
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 31 26 31 90,5 98,3 91 14415 224555 238970 4,9%
RMS 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086
On remarque que comme prévu, l’AMS est entrain de rentabiliser son coût de mise en
course (setup) quand les niveaux de demande augmentent. On constate aussi que dans un
contexte déterministe, lorsque la demande du marché approche la capacité réelle du
système, l’écart entre l’AMS et le RMS diminue. Dans notre cas, le gain diminue de
10,27% à 4,9%, ce qui n’est pas négligeable en termes de coût total.
On remarque que le coût opérationnel entre les deux scénarios est resté pratiquement
inchangé, ce qui implique que le coût tactique est celui qui a le plus de poids pour changer
les niveaux des gains. Le graphique suivant illustre cette observation.
118
Figure 41: Variation des coûts tactiques des deux systèmes en augmentant la demande
À partir de ce graphique, on remarque que l’écart entre le coût tactique du RMS et le coût
tactique de l’AMS est entrain de diminuer ce qui explique la diminution du gain. Ceci est
expliqué par le fait que dans un contexte d’une demande qui avoisine la demande réelle du
marché, l’AMS à travers son coût de production plus faible arrive à rentabiliser une bonne
partie de son investissement dans le coût de mise en course (setup).
Ce constat nous encourage à étudier la variabilité du système pour cette demande
particulière (qui avoisine la capacité) afin de comprendre plus les limites de chaque
système et de ressortir des analyses pertinentes.
b- Variabilité du taux de la demande
Les résultats précédents montrent que lorsque la demande du marché avoisine la capacité
du système, le système RMS perd d’efficacité devant le système AMS. Cette perte de
performance a été expliquée par le fait que l’AMS fabrique une quantité assez importante
qui le permet de rentabiliser son coût de setup.
160000
170000
180000
190000
200000
210000
220000
230000
[290-250-270] [310-270-290] [330-290-310] [350-310-330]
Tactique AMS
Tactique RMS
119
Au cours de cette partie, on vérifiera si ce constat reste valable en augmentant la variabilité
de cette demande particulière.
Plusieurs valeurs de l’écart type de la demande ont été testées. Les résultats obtenus sont
illustrés dans les tableaux suivants :
Tableau 35: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte déterministe
[350-310-330]
Déterministe
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 31 26 31 90,5 98,3 91 14415 224555 238970 4,9%
RMS 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086
Tableau 36: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 15
[350-310-330]
STD = 15
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 35 28 31 95,4 91,2 87,4 23645 225620 249265 7,35%
RMS 9 10 9 31 30 31 100 93,1 89,8 11980 218956 230936
Tableau 37: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 25
[350-310-330]
STD=25
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 33 32 31 92,1 88,2 84,7 34615 225385 260004 7,6%
RMS 9 10 9 33 30 33 99,9 93,7 85,6 20505 219684 240189
120
Tableau 38: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 35
[350-310-330]
STD=35
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 37 30 33 92,7 88,6 85,3 39875 222410 262285 7,4%
RMS 9 10 9 33 30 33 98,1 99,4 83,2 29845 213089 242934
Tableau 39: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 55
[350-310-330]
STD=55
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 37 28 31 86,7 90,8 80,2 67747 216210 283957 8,7%
RMS 9 10 10 33 29 35 96,6 88 89,5 36797 222415 259212
Tableau 40: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 75
[350-310-330]
STD=75
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 35 28 31 84,1 86,2 77,3 101837 213953 315790 13,23%
RMS 9 10 10 35 31 35 92,1 87,9 86,3 59033 214974 274007
En analysant les résultats obtenus, on remarque que l’écart entre les coûts totaux de l’AMS
et du RMS ne cesse d’augmenter en augmentant la variabilité. Ce qui implique un gain
important pour le RMS par rapport à l’AMS dans un contexte de grande variabilité. Ce gain
est expliqué par le fait qu’en augmentant la variabilité de la demande l’écart entre le coût
opérationnel du RMS et du AMS augmente.
Cet écart augmente grâce à la caractéristique de reconfigurabilité du RMS. En fait, lorsque
la variabilité augmente, on remarque que la séquence de reconfiguration optimale du RMS
121
change et passe à une séquence plus performante et ce, afin de se protéger et garder un coût
opérationnel inférieur. Cette observation confirme les avantages des RMS dans un contexte
aléatoire.
Ce constat nous ramène à tester la résistance de l’AMS dans un contexte d’assez de
capacité avec une grande variabilité afin d’étudier les différentes limites de la comparaison
entre ces deux systèmes.
Les résultats obtenus pour une demande de [290-250-270] avec un écart type de ‘75’ sont
illustrés dans le tableau suivant :
Tableau 41: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 75
[290-250-270]
STD=75
Séquence de reconfiguration
Seuils de Production (Z)
Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés
Gain*
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total
AMS 8 10 9 30 27 30 94,7 94,3 89,7 31342 196934 228276 10,03%
RMS 9 10 9 31 28 32 97,7 95,7 89,3 26566 178803 205369
Dans un contexte d’assez de capacité avec une grande variabilité, on remarque aussi que
l’AMS n’est pas performant face au RMS. C’est-à-dire la capacité du RMS à absorber la
variabilité de la demande est plus importante que la capacité de l’AMS. Cette capacité est
due comme expliqué précédemment au changement de la séquence de reconfiguration
optimale.
Les résultats obtenus lors de cette comparaison nous amène à dresser le graphique suivant :
122
Figure 42: Récapitulatif de la comparaison entre le RMS et l'AMS
Cette analyse de sensibilité montre les avantages du système RMS et surtout sa capacité à
absorber une grande variabilité des taux de la demande.
L’étude des RMS s’avère très intéressante et montre que ces systèmes ont une grande
capacité pour faire face aux changements qui peuvent affecter le marché. Cette étude
confirme une partie de la définition de Koren.
4.5. Conclusion Dans ce chapitre, le système RMS sous étude a été étudié par une approche de simulation.
Suite à cette étude, on a pu étudier plusieurs aspects qui n’ont pas été traité avec l’approche
mathématique. On a pu confirmer l’avantage de l’intégration des décisions dans un
contexte de demande déterministe et aléatoire. De plus, nous avons mesuré dans différent
contexte les avantages d’un RMS d’un point de vue coût et sa capacité à être réactif face à
une grande variabilité de la demande. Une étude comparative avec un système AMS a
démontré les limites de chaque système. Les résultats ont montré que le système RMS fait
partie d’une nouvelle génération de systèmes manufacturiers prometteurs ayant des
propriétés de réactivité face aux évènements aléatoires interne (e.g., pannes..) et surtout
ceux qui sont externes comme la demande du marché qui peut présenter un haut niveau de
variabilité.
123
CONCLUSION
Le présent mémoire aborde une étude approfondie d’un nouveau paradigme manufacturier
apparu à l’université de Michigan au début des années 90 appelé RMS. Les RMS sont
conçus dans l’objectif d’avoir plusieurs avantages de réactivité et de productivité par
rapport aux systèmes manufacturiers traditionnels.
L'objectif principal de ce travail de recherche est de développer et d'évaluer des stratégies
de reconfiguration de systèmes manufacturiers intégrant des aspects de réactivité, de
productivité et de fiabilité et de valider leur applicabilité dans un contexte stochastique et
dynamique. Deux approches ont été proposées afin de résoudre ce problème; la première
est une approche mathématique et la deuxième est une approche basée sur la simulation.
La première approche a été développée avec une vision permettant d’amener l’étude à sortir
du cadre classique des travaux de recherche des RMS qui aborde la conception et/ou la
planification dans ce contexte à un niveau tactique de la hiérarchie de décision. Notre
première contribution a permis de proposer une modélisation mathématique et une
approche numérique de résolution permettant une intégration entre les deux niveaux de la
hiérarchie de décision (le niveau tactique et le niveau opérationnel). Le niveau tactique a
124
été consacré principalement à l’identification de la séquence optimale de reconfiguration au
cours de l’horizon sous-étude. Le niveau opérationnel, quant à lui, intègre des aspects
d’exécution manufacturière en contrôlant le rythme de production du système tout en
faisant face à des évènements pouvant survenir d’une façon aléatoire. La combinaison de
l’optimisation de la séquence de reconfiguration et les seuils critiques régissant la
production a démontré un gain considérable en termes de coût total encouru. Les résultats
obtenus suite à cette approche ont été concluants et ont permis de montrer l’efficacité de
l’intégration tactique-opérationnel dans le processus de prise de décision en comparaison à
une approche dissociée d’optimisation.
La deuxième approche est une approche de résolution par simulation permettant de pousser
plus l’étude afin de traiter d’autres aspects qui n’ont pas été considérés dans la première
approche. On a commencé tout d’abord par la validation de la première approche. Ensuite
l’étude a été menée dans un contexte de demande aléatoire où on a pu voir l’effet de la
variabilité sur le système sous-étude. Dans ce contexte, le système RMS a démontré une
grande capacité à absorber la variabilité en maintenant des gains en termes de coût plus
importants que ceux obtenus dans un contexte déterministe. L’étude a été par la suite
étendue pour mener une étude comparative avec un système manufacturier ajustable
(AMS). Cette étude a été menée dans les deux contextes de demande déterministe et
aléatoire. Les résultats obtenus ont permis de montrer que les propriétés de reconfiguration
d’un RMS font de lui un système mieux adapté à faire face à la variabilité tant interne
qu’externe.
Il est clair que ce mémoire n’apporte que des réponses partielles à un sujet qui ne cesse de
susciter de l’intérêt dans la communauté scientifique. Il serait donc intéressant d’envisager
d’étudier d’autres aspects des RMS. On peut citer à titre d’exemple l’importance d’étudier
l’intégration d’autres aspects manufacturiers comme le contrôle de la qualité et
l’approvisionnement en matière première. De plus, une étude approfondie sur l’impact du
temps de Ramp-up sur les décisions s’avère importante pour mieux comprendre le
comportement du système durant cette période et envisager des actions opportunistes pour
augmenter l’efficacité du système. Une autre question aussi importante consiste à étudier
125
l’éventuel virage d’un système traditionnel à un RMS et se mettre dans un cadre industriel
réel d’application.
En conclusion, dans le cadre de ce mémoire, notre intérêt principal s’est situé dans le
processus d’aide à la décision qui permet d’identifier la séquence de reconfiguration
optimale sur l’horizon sous-étude et la meilleure politique d’exécution de la production à
mette en place. Nous avons prouvé que dans les contextes considérés, les stratégies
développées vont permettre aux décideurs d’optimiser les ressources de l’entreprise, de
minimiser les coûts et de garder une bonne image de marque à travers l’accomplissement
des engagements de livraison. Il est à noter qu’un article de conférence a été accepté pour
publication dans une conférence internationale avec comité de lecture (voir annexe 1).
L’extension de cet article est en cours pour une soumission à une revue avec comité de
lecture.
126
127
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130
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ANNEXE 1
ARTICLE CONFERENCE IEEE
GOL’14, 5-7 Juin 2014
Rabat, Maroc
132
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ANNEXE 2
EXEMPLE D’APPLICATION DE LA
TECHNIQUE «CRN»
134
Les détails de la simulation :
Chaque optimisation a été exécutée à l’aide d’OptQuest avec une limite de 1000 Scénarios,
un intervalle de confiance de 95% et une erreur relative de 0,1.
On considère l’exemple avec une demande de [290-250-270] lors de la comparaison entre
les deux scénarios expliqué dans la partie 4.3.6. Le contexte considéré dans cette demande
est un contexte aléatoire avec un écart type de 25.
Les intervalles de confiance obtenus pour les coûts des deux scénarios se chevauchent donc
l’application de la technique du CRN s’avère nécessaire. On exécutera 14 réplications pour
chaque scénario avec les mêmes nombres aléatoires.
Donc, suivant les résultats obtenus de SIMIO pour chaque réplication, on applique la
technique du CRN :
Réplication Scénario 1 (Y1) Scénario 2 (Y2) Zn = Y1n — Y2n 𝒁𝒏 − 𝒁� (𝒁𝒏 − 𝒁�)𝟐
1 250750 199980 50770 37129,2857 1378583858
2 183130 194060 -10930 -24570,7143 603720000,5
3 176540 188620 -12080 -25720,7143 661555143,4
4 188980 188080 900 -12740,7143 162325800,5
5 210440 194240 16200 2559,28571 6549943,367
6 199960 192920 7040 -6600,71429 43569429,08
7 274100 202120 71980 58339,2857 3403472258
8 211650 187050 24600 10959,2857 120105943,4
9 198400 190520 7880 -5760,71429 33185829,08
10 268260 203690 64570 50929,2857 2593792143
135
11 167680 181630 -13950 -27590,7143 761247514,8
12 172400 184070 -11670 -25310,7143 640632257,7
13 179120 188980 -9860 -23500,7143 552283571,9
14 196940 191420 5520 -8120,71429 65946000,51
�̅� = 1𝑛
∑ 𝑍𝑛𝑛𝑛=1 Donc �̅� = 13640,7143
𝑺𝟐 848228438
𝑺 29124,3616
𝒕(𝟎.𝟎𝟐𝟓;𝟏𝟑) 0,98043465
𝑺 ∗ 𝒕(𝟎.𝟎𝟐𝟓;𝟏𝟑)
√𝟏𝟒
7631,51999
Borne inférieur 6009,1943
Borne supérieur 21272,2343
Nous obtenons ainsi 6009,1943 < Y1-Y2 < 21272,2343. D’où, le coût total entraîné par le
scénario 1 est strictement supérieur à celui du scénario 2. Ce qui implique que le scénario 2
est meilleur que le scénario 1.