'

&

$

%

Razvoj matematikein ra cunalnistvaAnaliza

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 17. april 2005

razlicica: 19. april 2005 / 02 : 47

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 1'

&

$

%

Kazalo1 Evropa je pripravljena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

14 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 1'

&

$

%

Evropa je pripravljenaKonec 16. stol. je Zahod poznal vecino ohranjenih anticnih matematicnih

del, arabsko algebro izboljsano z resevanjem enacb 2., 3. in 4. stopnje ter

uporabo negativnihstevil in zacetki simbolnih oznak.

Trigonometrija je postala samostojno podrocje.

Razmere so omogocale nov razvoj.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 2'

&

$

%

Francois Viete, 1540 - 1603

• Po osnovni izobrazbi je bil pravnik. Bil

je clan sveta kraljev Henrya III in Henrya

IV. Pri slednjem se je izkazal z razkritjem

vsebinespanskih tajnopisnih sporocil. Z

matematiko se je ukvarjal bolj za zabavo.

• bil je vnet zagovornik desetiskega

stevilskega sestava – ponekod se jese

uporabljalsestdesetiski. Decimalna mesta

je podcrtaval; Decimalno piko naj bi prva

uporabljala G.A. Magini (1555-1617) in

Christoph Clavius (1537-1612), a se je

dokoncno uveljavilasele z Napierom.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 3'

&

$

%

. . . Francois Viete

• Z uvedbocrkovnih oznak za znane (parameter) in neznane (neznanka)

je naredil pomemben korak v splosnosti opisa problemov in njihovih

resitev. Vendar pri temzal ni sel do konca – za nekatere operacije in

relacije jese vedno uporabljal besede oziroma okrajsave.

• Svoje poglede je objavil v knjigiIsagoge(Uvod). Vecina njegovih del

pa je bila objavljenasele po njegovi smrti.

• Danes ga najbolj poznamo po njegovih zvezah med koreni (polinom-

skih) enacb. Ker je Viete priznaval le pozitivne korene, je splosno

povezavo med koeficienti in koreni podalsele Girard vInvention

nouvelle en l’algebre leta 1629. Girard je dopuscal tudi negativne in

kompleksne korene in opazil, da je najbrz stevilo korenov enako stopnji

enacbe.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 4'

&

$

%

. . . Francois Viete

• Vi eteje pri resevanju enacb uporabljal tudi postopek, ki ga danes

pripisujemo Hornerju (poznali so gaze stari Kitajci).

• Pomemben je tudi njegov prispevek trigonometriji. V temcasu se je

pojavilo veliko novih zvez – posebej so bile priljubljene pretvorbe vsot

na produkte (prostafereza – vsote in razlike). Npr

cos x + sinx = 2 sinx + y

2cos

x− y

2

Nasel je izrazavosinnx in cos nx z vsoto produktov potencsinx in

cos x. Poznal je tudi povezavo med njimi in resitvami kubicne enacbe.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 5'

&

$

%

Thomas Harriot, 1560-1621 in William Oughtred,1574-1660

• Harriot je bil prvi pomembnejsi matematik, ki je stopil na ameriska tla.

Tja je bil poslan z anglesko odpravo leta 1585.

Tudi Harriot je poznal povezavo med koreni in koeficienti, a je prav

tako kot Viete imel tezave z omejitvijo na pozitivne korene. Uvedel

je simbola< in > za relaciji manjsi in vecji. Prav tako je uporabljal

Recorde-ov enacaj = za oznacevanje enakosti in prispeval k njegovi

dokoncni uveljavitvi.

V knjigi Artis analyticae praxisje potence pisal z veckratno ponovitvijo

crke: npr.A3 ≡ AAA.

• Njegov mlajsi sodobnik Oughtred je je imel podobne poglede. Po njem

uporabljamo znak× za mnozenje.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 6'

&

$

%

John Napier, 1550-1617

• Napier je bilskotski plemic.

• Izdelal je racunski pripomocek za mnozenje –

Napierove palcke ali koscice.

• leta 1614 je po 20 letih priprav objavil delo

Mirifici logarithmorum canonis descriptio, v

katerem je vpeljal pojem logaritmov (gr.logos

– misel,aritm os –stevilo).

Napierovi logaritmi ustrezajo logaritmom pri

osnovie−1 – danes imenujemo Napierovi ali

naravni logaritmilogaritme pri osnovie.

Logaritmi so s prevedbo mnozenja in del-

jenja na preprostejsi sestevanje in odstevanje

poenostavili racunanje.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 7'

&

$

%

Napierovi logaritmi

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 8'

&

$

%

Henry Briggs, 1561-1639

• Je bil navdusen nad logaritmi, a je menil, da bi morali biti osnovani na

osnovi 10. Napier se je z njim strinjal in namenila sta se stvar izvesti.

• Ker je Napier umrl, je delo opravil Briggs sam. Tako so nastalinavadni

ali Briggsovi logaritmi.

• V Logarithmorum chilias prima, 1617 je objavil navadne logaritme

stevil od 1 do 1000 na 14 mest natancno; te je vArithmetica logarith-

mica, 1624 razsiril na stevila 1 do 20000 in 90000 do 100000. V tem

delu je tudi uvedel besedi mantisa in karakteristika.

• John Speidell je vNew Logarithmes, 1616 objavil naravne logaritme

trigonometricnih funkcij.

• logaritme je neodvisno razvil (1588 ?) tudisvicarski urar Jobst Burgi

(1552-1632), a jih je objavil kasneje –Aritmetische und geometrische

Progress-Tabulen, 1620.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 9'

&

$

%

Simon Stevin, 1548-1620

• Nizozemec, inzenir. Na nizozemskem je uvedel

Paciolijevo dvojno knjigovodstvo. Zagovornik de-

setiskegastevilskega in merskih sestavov.• Velik vpliv na splosno razsiritev desetiskega sestava

je imela njegova knjigaDe thiende(fr. La disme),

1585. V njej je pokazal, da je mogoce z desetiskimi

stevili enostavno racunati, tako da vpeljemo manjse

enote: desetice, stotice, . . . .• vprasanje je ostalse zapis desetiskih ulomkov.

Stevin je uporabljal obkrozene stopnje. Napier je

predlagal uvedbo pike ali vejice kot mejnika med ce-

lim in ulomcnim delom.• Stevin je predlagal uporabo racionalnih potenc in

opazil zvezo s korenjenjem.• v svojem delu Statika, 1586 je 100 let pred

Newtonom in Leibnizem uporabil sestevanja

neskoncno majhnih kolicin za dolocanje tezisc.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 10'

&

$

%

Galileo Galilei, 1564-1642

• Dva glavna sestava, 1632: primerjava Ptolome-

jevega in Kopernikovega sestava; v obliki

razpravljanja trojice Salviati (ucenjak), Sagredo

(zdrava pamet) in Simplicio (dogmatik).

• Novi znanosti, 1638: napisal, ko je bil zaprt;

prav tako razprava trojice; o dinamiki in trd-

nosti materialov. Zanimal se je za neskoncno

majhno. Tirnica pri metu je parabola – napacno

je sklepal, da ima tudi viseca veriga obliko

parabole.

• opazil je bijekcijo med vsemi naravnimistevili

in njihovimi kvadrati

• obstajajo razlicne stopnje neskoncno majhnih

kolicin; kolicine visjih stopenj lahko zanema-

rimo.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 11'

&

$

%

Steviloπ

• Vi ete izracunalπ na 10 mest natancno

• Ludolph van Ceulen (1540-1610)

izracunal 1596π na 20 mest natancno s

37 kratno razpolovitvijosestkotnika.

• nadaljeval in izracunal 35 mest –zena

dala napisati na njegov nagrobnik

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 12'

&

$

%

Johannes Kepler, 1571-1630

• enoten pogled na stoznice; prehodi skozi tocko

v neskocnosti

• Keplerjevi zakoni:

tirnice planetov so elipse; sonce je v enem od

gorisc

v enakihcasih polmer opise enake ploscine

• z razbitjem kroga na sreiscne trikotnike je

pokazal, da jepl = r2ob .

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 13'

&

$

%

Bonaventura Cavalieri, 1598-1647

• pripadnik reda Jezuatov

• Cavalierijev izrek: ce imata telesi enaki visini in

ce so ploscine vseh presekov z ravnino vzporedno

osnovni ploskvi vselej v istem razmerju, sta v tem

razmerju tudi prostornini obeh teles.

• pokazal je, da je∫ a

0

xndx =an+1

n + 1

Vsi, Stevin, Galilei, Kepler in Cavalieri so zaceli ponovno uporabljati

starogrski pristop k racunanju ploscin, a se je vse bolj pojavljala potreba po

pristopu, ki bi bil enostavnejsi od metode izcrpavanja.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Analiza 14'

&

$

%

Viri1. MacTutor History of Mathematics Archive:Biographies

2. Milestones . . .1600s

3. Simon Stevin:Thiende

4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

Ljubljana, 10. april 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖