razonamiento matematico

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN: Se denomina así a la comparación que existe entre dos cantidades; la cuál puede ser de dos tipos: Por diferencia cuando hallamos el número de unidades que una unidad excede a la otra, o por cociente cuando averiguamos cuantas veces una cantidad contiene a otra.

Ejemplo

Razón aritmética ( )

; = valor de razón aritmética

Razón geométrica ( )

; = valor de razón geométrica

Donde:

: antecedente

: consecuente

Razón armónica ( )Está dado por las inversas de la razón aritmética.

; = valor de razón armónica

PROPORCIÓN: Se denomina así a la igualdad que existe entre dos razones que tienen el mismo valor y pueden ser de dos tipos:

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Es cuando se igualan dos razones aritméticas que tienen el mismo valor y a su vez se clasifican en:

I. DISCRETA O DISCONTINUA

Cuando sus cuatro elementos son diferentes

a−b=c−d

Observaciones:

- a≠b≠c≠d ; a cada una se les llama las cuartas diferenciales.

- Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios.

II. CONTINUA

Es cuando los términos medios son iguales.

a−b=b−c

Observaciones- a y c son las terceras diferenciales.

- “b” es la media diferencial ó media aritmética se cumple

que: b=a+c

2

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Es cuando se igualan 2 razones geométricas que tienen el mismo valor y a su vez se clasifican:

I. DISCRETA O DISCONTINUA

Cuando sus cuatro valores son diferentes.

ab= cd

Observaciones

- a≠b≠c≠d ; a cada una se les llama las cuartas proporcionales.

- Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios.

- Se cumple que: a .d=b .c

II. CONTINUA

Es cuando los términos medios son iguales.

ab=bc

Observaciones:- a y c son las terceras proporcionales- “b” es la media proporcional ó media geométrica

- Se cumple que: b2=a.c

A continuación veamos algunos ejemplos:

I. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 60; 40 y 30?

60 – 40 = 30 – x x = 10

II. ¿Cuál es la media diferencial de 84 y 24?

84 – x = x – 24 x = 54

III. ¿Cuál es la tercera diferencial de 92 y 48?

92 – 48 = 48 – x x = 4

IV. ¿Cuál es la cuarta proporcional de 40; 60 y 160?

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

RAZONAMIENTORAZONAMIENTO MATEMÁTICOMATEMÁTICO

84

x = 240

V. ¿Cuál es la media proporcional de 4 y 36?

x = 12

VI. ¿Cuál es la tercera proporcional de 40 y 80?

x = 160

PROPIEDADES

Para un caso particular sea la proporción:

Se cumple que:

Nota:- Serie se le llama a tres o más razones.

- Para que sea proporción deben intervenir cuatro elementos.

- Tres elementos hacen proporción solo que uno de ellos debe repetirse dos veces y estaríamos en el caso de la proporción aritmética ó geométrica.

- Si el problema menciona simplemente proporción se refiere a la proporción aritmética.

SERIE DE RAZONES ARITMÉTICAS EQUIVALENTES ( S.R.A.E. )

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES ( S.R.G.E. )

a1 ; a2 ; a3 ; . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ; an antecedentesb1 ; b2 ; b3 ; . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ; bn consecuentes

; constante de proporcionalidad

PROPIEDADES

1.

2.

Nota:

I. Si:

II. Si: ; Se cumple:

y

III. Si: ; Se cumple:

; y

IV. Si: ; Se cumple:

; ; y

V. Escala de un plano o mapa

Al hacer el plano de una habitación o de una ciudad, o al hacer un mapa de un país o continente se establece una escala que es la razón entre la distancia sobre el plano y la distancia real.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1La razón aritmética y la razón geométrica de dos números son 20 y 7/3 respectivamente hallar el valor del antecedente de dichas proporciones.

Resolución:Sean los números a y b luego:

y De donde: a = 7k y b = 3k

Reemplazando tenemos: 4k = 20 k = 5 Siendo el antecedente a = 35

PROBLEMA 2En una serie de tres razones geométricas equivalentes de valor 4/3, la suma de los términos de cada razón resulta: 49; 70 y 63. hallar la suma de los consecuentes.

Resolución:Sea:

; aplicando propiedad tenemos:


Reemplazando las sumas:

PROBLEMA 3De la serie:

Hallar: c + d; Si a + b es 28

Resolución:Del enunciado tenemos:a = 4k ; b = 3k; c = 5k y d = 6k

Como: a + b = 28 k = 4Siendo: c + d = 44

PROBLEMA 4En una serie de razones geométricas continuas se cumple que la suma de los dos últimos términos es 9 veces la suma de los dos primeros términos y además el último consecuente más el duplo del primer consecuente es 66. Hallar la suma de los términos diferentes de dicha serie:A) 80 B) 40 C) 70 D) 50 E) 60

Resolución:De la S.R.G.C.

Se cumple:c + d = 9( a + b ) y d + 2b = 66 también:

Al reemplazando tenemos:

Al sustituir en: d + 2b = 66

d + 2d

Obtenemos:

Luego: ;

Nos piden: a + b + c + d = 80 PROBLEMA 5En una proporción geométrica continua la suma de los antecedentes es 18 y la suma de los términos extremos es 15. Calcular la suma de los cuatro términos si el valor de la razón es la menor posible.A) 15 B) 18 C) 24 D) 27 E) 30

Resolución:

Sea del enunciado:

y

También se sabe que: Reemplazando tenemos:

Al dividir miembro a miembro ( 1 ) y ( 2 ):

Como la razón es la menor posible tomamos: K= 2 Con lo cual:c = 3 ; b = 6 y a = 12Siendo: a + b + b + c = 27

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

BLOQUE I

1. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encuentra el mayor de los dos números.a) 54 b) 65 c) 52 d) 46 e) 48

2. La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?a) 24 b) 26 c) 32 d) 36 e) 18

3. Halla dos números tal que su media aritmética sea 18,5 y su media geométrica 17,5. Dar como respuesta el valor de uno de ellos. a) 10 b) 14,5 c) 12,5 d) 25,5 e) 17 4. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. ¿Cuál es uno cualquiera de dichos números?a) 6 b) 10 c) 12 d) 8 e) 16

5. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440; luego, la suma de los consecuentes es:a) 82 b) 38 c) 46 d) 86 e) 94

6. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente tienen como suma 42 y como producto 2688. Determina el tercer término.a) 16 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

7. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de ellos:a) 4 b) 6 c) 13 d) 3 e) 7

8. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de ellos:a) 4 b) 6 c) 13 d) 3 e) 7

9. Si la razón de la suma con la diferencia de dos números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64?a) 4 b) 16 c) 6 d) 8 d) 32

10. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11 y el producto de los


86

consecuentes es 37 422; la razón entre el consecuente y antecedente, es:a) 1/9 b) 9 c) 1/3 d) 27 e) 3

BLOQUE II

11. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más 2 años. Hace tres años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será:a) 38 b) 37 c) 36 d) 35 d) 34

12. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. ¿Cuál es el número inicial de niñas?a) 12 b) 40 c) 25 d) 60 e) 92

13. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los marineros observa que el número de barcos que él ve esa al número de aviones como 2 a 1. ¿Cuántas naves son en total?a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20

14. Pablo le da a Alberto 50m de ventaja en una carrera de 400m, luego Alberto le da a David 40m de ventaja en una carrera de 200m ¿Cuántos metros le debe dar Pablo a David en una carrera de 100m? a) 70m b) 80 c) 20 d) 30 e) 40

15. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 cerdos hay 2 patos, si se aumentaran 33 gallinas estas serían tantas como los cerdos. Calcular cuántos patos hay en el corral.a) 18 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24 16. En una carrera de caballos “cachay” gana a “tripita” por 20 metros y “tripita” gana a “petete” por 30 metros, todo ellos en una carrera de 1000 m, en la carrera de fondo de 5 000 m, ¿Por cuánto ganará “cachay” a “petete”?a) 320 b) 247 c) 300 d) 245 e) 400

17. En un clásico entre los equipos de la “U” y Alianza Lima, la relación de hinchas al iniciar el partido es de 17 a 14, a favor de los “íntimos”; sin embargo luego de un gol “crema” la relación inicial se invierte ¿Cuántos se cambiaron a la U, sabiendo que asistieron 27 900 espectadores? a) 2770 b) 2 500 c) 2 800 d) 2350 e) 2700

18. En la biblioteca del C.P.U. se observa que hay 5 libros de aritmética por cada 4 libros de álgebra, además por cada 6 libros de álgebra hay 5 libros de geometría. Si hay 20 libros más de aritmética que de geometría, ¿cuántos libros de álgebra hay? a) 40 b) 44 c) 48 d) 58 e) 30

19. Cierto día a una obra teatral asistieron 380 personas, observándose que cada varón adulto ingresaba con 5 niños y cada mujer adulta ingresaba con 3 niños. Si al final se tuvo 3 varones adultos por cada 5 mujeres adultas. ¿Cuánto dinero se recaudó dicho día, si la entrada fue de S/. 15.00 adultos y S/. 10.00 niños?a) 4200 b) 5800 c) 4700 d) 3800 e) 6300

20. En el zoológico por cada 5 hombres que entran, 3 entran con un niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño, además por cada 6 hombres entran 5 mujeres. Si entraron 678 niños en toral ¿Cuántos adultos entraron al teatro?a) 1224 b) 1100 c) 1551 d) 1551 e) 2105

21. En una fábrica embotelladora se tiene tres máquinas A, B, y C, por que cada 7 botellas que produce la máquina “A”, la máquina “B” produce 5 y por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la máquina “C” produce 2. en un día la máquina “A” produjo 4400 botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese día?

a) 2000 b) 3000 c) 4000 d) 6000 e) 8000

22. Un aritmético, al morir dejó a su esposa embarazada una herencia de S/. 27940 condicionándola de la siguiente forma: ella recibiría los 5/6 de lo que le toque al niño si era varón, pero si nacía niña recibiría 7/9 de lo que a esta le tocaría. Si la esposa del aritmético al dar a luz tubo quintillizos: dos niños y tres niñas ¿Cuánto le correspondió de la herencia a cada niña?

a) 4590 b) 4950 c) 3780 d) 3870 e) 3965

23. El volumen de agua contenida en un vaso A, es el doble del volumen de vino en un vaso B y el de este el doble del vino que contiene otro, C. La tercera parte de agua de A se vierte en B y un tercio del resto en C. Después de esta operación se vierte el contenido de B en C y por último todo el contenido de C en A. Calcular la relación en que están al final los volúmenes de los dos líquidos (vino a agua) en el vaso A.

a) 1:1 b) 1:2 c) 4:3 d) 2:1 e) 3:4

24. Dos negociantes de vinos ingresaron por las fronteras del Perú, portando uno de ellos 65 botellas de vino y el otro 25. Como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de la aduana, el primero paga con 5 botellas de vino y S/. 40 y el segundo con 4 botellas de vino, pero éste recibe de vuelto S/. 40. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino?

a) S/. 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

BLOQUE III

1. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional?a) 18 b) 6 c) 8 d) 12 e) 2

2. La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es el valor absoluto de su diferencia, si la razón vale 0,04?a) 13 b) 32 c) 27 d) 24 e) 15 3. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional?a) 18 b) 6 c) 8 d) 12 e) 2

4. La media geométrica de dos números es 15. Si la proporción continua que se forma tiene por razón 3/5, el valor absoluto de la diferencia de los extremos es:a) 3 b) 25 c) 16 d) 24 e) 13

5. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua, si la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3?a) 10 b) 26 c) 23 d) 17 e) 12

6. Sea la proporción:

ab= cd=1k y además se cumple:

a+1b+2

= c+3d+6 ; el valor de k es:

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 d) 1/4


7. Si:

pa=qb= rc ; q=4p; r=5p. Determina el valor de:

a) 0,38 b) 12,5 c) 2,36 d) 0,42 e) 1,32

8. Si: ;

Calcule:

a) 128 b) 80 d) 188 e) 108 e) 78

9. Si:

Además:

Calcular:

a) 1 b) 2005 c) 4005

d) 6015 e) 2005-1

10. Si:

mn= 43 y

rt= 914 entonces el valor de:

3mr−nt4nt−7mr

es:

a) -5

12 b) – 1

14 c) 11/14

d) -11/14 e) Ninguna

PROBLEMITA

Indique usted cuál corresponde al dibujo

REPARTO PROPORCIONAL

Definición: Consiste en Repartir una cantidad en partes directa proporcional (RPSD) o inversamente proporcional (RPSI) como también al reparto proporcional compuesto (RPC) a ciertas cantidades que llamaremos indicadores, comprobándose que la suma de las cantidades encontradas debe ser igual a la cantidad inicial repartida.

PROBLEMITAA y B son puntos céntricos de los dos cuadrados. Cada lado de ambos mide 4 m. Por tanto el área de la parte sombreada es:

A) 24m2

B) 31m2

C) 26m2

D) 30m2 E) N. A.

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO

Método General

Repartir “S” en partes X1 , X2 , .. . .. .. . .. . , XN que sean D.P. a b1 , b2 , . .. .. . .. .. . , bN determinar cada una de las partes.

Resolución:Partes:

Indicadores:Por dato:


88

Entonces: ( K Constante de proporcionalidad )Por propiedad:

K= SSi

Donde: = Suma de indicadores

Luego:

Método práctico

Las partes son: a =x.K b = y.K y c = z.K

Problema 1Repartir 25200 en partes D.P. a 5, 7, 9. Determinar cada una de las partes

Resolución:Sean las partes D.P.

a = 5( 1200 ) = 6000; b = 7( 1200 ) = 8400; c = 9( 1200 ) = 10800

Problema 2Repartir 940 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5/6; 3/8; 3/4

Resolución:

Las partes son:a = 20( 20 ) = 400 b = 9( 20 ) = 180; c = 18( 20 ) = 360

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO

Se soluciona al igual que el caso del RPSD solo que invertimos los indicadores dados de I.P. a D.P.

Problema 3Repartir 12600 en partes I.P. a 1/4; 1/7; 1/10. Dar como respuesta la menor de las partes.

Resolución:

Las partes son:a = 4( 600 ) = 2400; b = 7( 600 ) = 4200;

c = 10( 600 ) = 6000

ObservaciónEn un reparto inverso aquél que tiene el número proporcional al menor le toca la parte mayor y viceversa.

REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO RPC.

Problema 4Repartir 2225 en 3 partes que sean D.P. a los números 3, 5, 8 el I.P. a los números 4, 6, 9.

Resolución:

Las partes son:a = 27( 25 ) = 675; b = 30( 25 ) = 750;c = 32( 25 ) = 800

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

BLOQUE I

1. Repartir 200 en 3 partes que sean proporcionales a: 2; 3; y 5. dar la diferencia entre la mayor y menor parte.a) 40 b) 20 c) 60 d) 8 e) 10

2. Repartir S/. 42 entre: A; B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B y la de C la suma de las partes de A y B.a) 14 b) 7 c) 28 d) 25 e) 35

3. Repartir 2500 en partes que sean directamente

proporcionales a: 220; 223 y 224. Hallar la parte mayor.a) 100 b) 1600 c) 1800 d) 900 e) 800

4. Al repartir 480 en forma proporcional a: ½; 2/3 y 5/6, se obtiene que la menor parte es:a) 180 b) 170 c) 200 d) 120 e) 210

5. la suma de S/. 1320, se reparte en 4 partes que son D.P a:

y Hallar la suma de las 2 menores partes.a) S/. 360 b) 600 c) 480 d) 240 e) 180

6. Repartir 5880 en 4 partes de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 4, la segunda sea a la tercera como 2 es a 5; y la tercera sea a la cuarta como 4 es a 3; la mayor parte será:a) 1440 b) 1200 c) 2400 d) 1960 e) 9600

7. Repartir 1130 en 3 partes que sean D.P a: 2; 10 y 8 e I.P a: 5; 8 y 2. Dar como respuesta la menor parte.a) 50 b) 80 c) 250 d) 800 e) 250


8. El profesor de razonamiento matemático y el profesor de literatura tienen 80 y 55 bizcochuelos respectivamente; se encuentran con el coordinador y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales, luego de comérselos el coordinador les entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto demás recibe el profesor de R.M, respecto al profesor de literatura?a) S/. 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

9. Tres ciclistas quedan de acuerdo para distribuirse S/. 94500 proporcionalmente a la velocidad que corran una misma distancia. Si luego de la prueba tardaron: 3; 5 y 6 horas respectivamente. ¿Cuánto recibe el más veloz?a) S/. 45000 b) 54000 c) 50400d) 405000 e) 45555

10. Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir su herencia se reparta entre sus sirvientes I.P a sus edades pero D.P a sus años de servicios. Al morir dicho anciano las edades de sus sirvientes eran: 30, 45 y 50 años y tenían: 12, 20 y 25 de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observo que el que tenía más años de servicio recibió 9000 soles más que el más joven. Determinar la herencia repartida.a) 169000 b) 121000 c) 135000 d) 125000 e) 132000

BLOQUE II 11. Cuando Komico va almorzar a un restaurant y le sirve una mujer, le da doble de propina a la mujer que al hombre y si le sirve el hombre y un muchacho, le da el doble de la propina al hombre que al muchacho. Si un día le sirven: el hombre, la mujer y el muchacho y les da S/. 14 de propina. ¿Cuánto recibió el muchacho?a) S/. 2 b) 8 c) 4 d) 7 e) 12

12. Una viuda debía repartirse la herencia de S/. 13400 que le dejó su esposo con el bebe que esperaba. Si nacía un niño, la madre y el hijo se repartían la herencia proporcionalmente a 4 y 7 respectivamente. Si nacía niña, la madre y su hija se repartían proporcionalmente a 5 y 3 respectivamente. Al fin y al cabo nacieron mellizos: un niño y una niña. ¿Cuánto recibió la niña?a) S/. 4000 b) 7000 c) 2600 d) 2400 e) 3500

13. Entre 3 personas contratan un garaje, el primero guarda 5 autos durante 40 días, el segundo guarda 8 autos durante 1 mes y el tercero 6 autos durante 25 Díaz. Si el arrendamiento costó S/. 2360. ¿Cuánto le corresponde pagar al segundo?a) S/. 800 b) 960 c) 600 d) 900 e) 780

14. Se contratan 3 camiones para el transporte de 24 toneladas de cemento por un total de S/.49590.El primero tiene que transportar 6 toneladas a 22Km, el segundo transporta 10 toneladas a 15 Km. y el tercero 8 toneladas a 30Km. ¿Cuánto debe pagarse al tercer camión?a) 22800 b) 22850 c) 24600d) 22000 e) 23800

15. Tres personas deciden pintar las fachadas de sus casas

de 24; 25 y 27m2. Respectivamente. Para terminar más rápido contratan a un pintor y pintan los 4 la misma área. Si el pintor recibe S/.45600 ¿Cuánto le debe pagar cada una de las personas? Indicar la mayor de las partes.a) 12000 b) 14400 c) 19200d) 18500 e) 22000

16. Dos personas se asociaron para establecer un negocio. La primera contribuyó con S/. 4,500 y el segundo con S/.3600.Al terminar en negocio resulta que el capital se redujo a S/.6300.¿Con cuanto se retiro el que perdió mas?a) 3500 b) 2800 c) 2500 d) 3800 e) 4200

17. Un fabricante empezó un negocio con S/.800 de capital;4 meses después acepto un socio con S/.1200 de capital y 2 meses mas tarde aceptaron otro socio con S/.1000 de capital. Si a los 2 años de iniciado se liquido el negocio y el primero recibió S/. 114 menos de ganancia que los otros 2 juntos.¿Cuál fue la ganancia del segundo?a) S/.800 b) S/.600 c) 1200d) S/.1000 e) S/.500

18. José reparte 1400 soles entre sus hijos proporcionalmente al orden en que nacieron. Adicionalmente entrega 200 soles al segundo, de manera que este recibe la misma cantidad que el penúltimo ¿Cuál es la máxima cantidad de hijos que puede tener José?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19. Un matemático al morir, dejó a su esposa embarazada una herencia de 27940 dólares, condicionándola de la siguiente forma: ella recibirá los 5/6 de lo que le toque al niño si este fuera varón, pero si nacía niña recibía los 7/9 de los que a esta le tocara. Si la esposa al dar a luz tuvo quintillizos: 2 niños y 3 niñas ¿Cuánto le correspondió de herencia a cada niño?a) S/.4590 b) S/.4950 c) 4620d) S/.3780 e) S/.9240

20. Una persona dispuso en su testamento que se entregara a 3 sobrinos suyos la cantidad de 19695 dólares para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera el día en que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años el día en que su tío falleció y le correspondió 7020 dólares, pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros 2, también proporcional a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió 2700 dólares adicionales. Calcular las edades.a) 36; 25; 40 b) 36; 40; 45 c) 36; 45; 60d) 36; 60; 72 e) 36; 39; 42

PROBLEMITA

Indique usted cuál corresponde al dibujo


90

razonamiento matematico

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