razonamiento matematico 1º1 b

35 36

FRACCIO

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do Año Secundaria

Es aquel número racional que no es entero. (División indicada de 2 enteros no nulos a y b en la que a no es múltiplo de b).

ab

ƒ = ≠ °donde a b

Denominador (todo)

Numerador (partes que se toma del todo)

Ejemplos:

*4

9 es fracción

*3

6no es fracción ya que 6 = 3

*4

7 es fracción

Interpretación gráfica de una fracción:

34

58

"Se toma una parte de tres partes iguales"

13

= Un tercio =

"Se toma 3 partes de cuatro partes iguales"

= Tres cuartos =

"Se toma 5 partes de ocho partes iguales"

= cinco octavos =

Nota: El todo se considera igual a la unidad.

Fracción de Fracción:

"El total se divide en tres partes iguales"

*A una de las partes iguales se divide en

2 partes iguales

Cada una de las partes ( ) representa:

*

*

12

de 13

es 16

Ejemplo:

Calcular los 5

3 de

6

1 es:

Solución:Para el calculo de una fracción de fracción, simplemente efectuamos una multiplicación.

10

1

6

1.

5

3=

Por lo tanto, concluimos que: “Los tres quintos de un sexto es un décimo”

Clasificación:

1) Por la comparación de su valor respecto a la unidad

* Propia: Si su valor es menor que la unidad.

1b

a<=ƒ entonces a < b

Ejemplo:

...;9

4;

3

2;

7

3etc

* Impropia: Si su valor es mayor que la unidad.

1b

a>=ƒ entonces a > b

Ejemplo:

...;4

9;

3

7;

5

8 etc

* Toda fracción impropia se puede expresar como una fracción mixta es decir con una parte entera más una fracción propia.

Ejemplo:

29 →8 5 3

8 →29 +=298

3 58 = 3 5

8

En general:

>R q

bab

→a += Rb

= q Rb1 →

ab

q

2) Por su denominador

* Decimal: Si su denominador es una potencia entera de 10.

b

a=ƒ si K10b = ; K ∈

+Z

Ejemplo:

10000

59;

10

3;

1000

17; etc

Teorema del punto flotante (notación exponencial).

Ejemplo:

3

10x3,20023,01000

23 −==

24 10x23,010x23 −− ==

= etc.

* Ordinaria o Común: Si su denominador no es una potencia entera de 10.

b

a=ƒ si: b ≠ K10 ; K ∈

+Z

Ejemplo:

...;300

9;

5

11;

41

7 1

3) Por grupos de fracciones

* Homogéneas: Si todos tienen el mismo denominador.

Ejemplo:

...;4

1;

4

13;

4

7;

4

3

* Heterogéneas: Si al menos dos de sus denominadores son diferentes.

Ejemplo:

...;5

4;

9

5;

11

3;

7

2

4) Por los divisores de sus términos

S2RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S2RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

I BIMESTRE

35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do Año Secundaria

* Reductible: Si sus términos tienen divisores comunes.

Ejemplos:

35

42;

18

2;

15

6

* Irreductible: Si sus términos no tienen divisores comunes.

Ejemplo:

13

6;

9

5;

12

7

Nota: A partir de una fracción irreductible se pueden obtener todas las fracciones equivalentes a ella.

OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES

I. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

a) Fracciones Homogéneas: Se suman y / o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Así :

7

6

7

1

7

5=+ ,

4

1

4

2

4

3=−

b) Fracciones Heterogéneas:Se saca el m.c.m de los denominadores éste se divide por cada denominador y se multiplica por cada numerador, finalmente se suman o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Así :

45

31

45

353630

9

7

5

4

3

2=

−+=−+

II. MULTIPLICACIÓN

REGLA :Para multiplicar fracciones, se multiplica los signos y luego los numeradores y denominadores entre sí; luego se simplifica el resultado.Ley de los Signos:

+

−−++

))(())((

−

+−−+

))(())((

Ejemplo:

Efectuar:

422727274227

5

9

7

5

3

7

5

4

9

5x

4

3P

×

×

×

×

−

−=

Solución:

Agrupamos los factores que tengan igual exponente, así:

4227

5

9

9

5

7

5

3

7

5

4

4

3P

×−×

×××−=

P = ( - 1 ) 27 ( - 1 ) 42

P = ( - 1) ( + 1 )

P = - 1

III. DIVISIÓN:

a) DIVISIÓN: Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda

Así: c

d

b

a

d

c:

b

a×= ;

Ejemplo:

124

7

7

48

7

4:

7

48=

=

Ejemplo : Efectuar :

6

1

2

13

1

4

1

+

+

Solución: Se efectúa primero las sumas y luego la división:

12

7

12

43

3

1

4

1=

+=+ y

3

2

12

8

12

26

6

1

2

1==

+=+

Luego :

8

7

2

3x

12

7=

Cálculo de la fracción generatriz:(Conociendo el decimal)

1. F.G de un Número Decimal Exacto:

Se escribe como numerador el decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya.

Ejemplo:Hallar la fracción generatriz de 0,75 y 3 ,25

4

3

100

7575,0 ==

4

13

100

32525,3 ==

2. F.G de un Número decimal Periódico Puro: Se escribe como numerador al período y como denominador tantos NUEVES como cifras decimales haya.

Ejemplos:

0 , 54 =5499

=6

11

2 , 23 =2399

=221

992 +

3499

0 , 3434 ... = 0 , 34 =

653

9990 , 653653 ... = 0 , 653 =

1 , 34 =3499

=13399

1 +1 , 3434 ... +

3. F.G de un Número decimal Periódico Mixto: Se escribe como numerador la parte NO PERIÓDICA seguida de un PERIODO menos la PARTE NO PERIÓDICA y como denominador tantos NUEVES como cifras tenga el PERIODO seguido de tantos CEROS como cifra tenga la parte NO PERIÓDICA.



Ejemplo:

0 , 1 5 9 0=1590 - 15

9900=

1575

9900=

7

44

90

23

90

22552,0...2555,0 =

−==

2 , 58282 ... = 582 - 5990

=2 +2 , 582=

990

2557=

PROBLEMAS RESUELTOS

01.Hallar el resultado de:

2

61

41x

10

3

3

76

1

5

6−

−

+

Solución:Desarrollando por partes la expresión:

)(......30

41

)6)(5(

)1(5)6(6

6

1

5

6α=

+=+

).....(30

61

)10(3

)3(3)10(7

10

3

3

7β=

−=−

( )δ=

=

−

....41

61

41

61

61

4122

Reemplazo de las expresiones reducidas α, β y γ para el calculo del valor de la expresión inicial.

141

61.

61.30

31.41

41

61.

30

6130

41

=

=

02.¿Cuánto le falta a los 5

3 de los

7

4 para

ser igual a los5

4 de los

8

5?

Solución:Aplicando el criterio de fracción de fracción, obtendremos la siguiente igualdad:

=+

8

5

5

4x

7

4

5

3

Operando y reduciendo la ecuación:

−

=

7.5

4.3

8.5

5.4x

)35(2

)12(2)35(1

35

12

2

1x

−=−=

70

11

70

2435x =

−=

Le falta 70

11

03.¿Cuántos 16 avos hay en 12

7?

Solución:

Tenemos como total 12

7, nosotros

calcularemos cuantos 16 avos contiene dicho total:

12

7

16

1...

16

1

16

1

16

1=++++

Sumando todos los 16 avos, nos queda:

12

7

16

n=

Donde “n” es el número de 16 avos

Luego: 3

28n =

04.Disminuir 300 en sus 7/12

Solución :Primero hallamos los 7/12 de 300:

300 x 12

7 = 175

Ahora restamos: 300 – 175 = 125

05. Aumentar 3

2 en sus

5

3.

Solución:

15

16

15

610

5

2

3

2

3

2

5

3

3

2=

+=+=

+

06.De las siguientes fracciones:

9

8;

3

2;

16

15;

7

4;

6

5

¿Cuál es la menor?

Solución:

Comparando las fracciones: 6

5y

7

4

Operando tenemos: )4()6()7()5( >

Nos queda: 7

4, por ser menor

Luego, comparando las fracciones:16

15y

7

4

Operando tenemos: )4)(16()7)(15( >

Nos queda: 7

4, por ser menor


y 7

4


Nos queda: 7

4, por ser menor


8y

7

4


Por tanto, nos queda que 7

4 es el menor.

07.Calcular el número cuyos 2/3 es 34.

Solución:



512

3x34

3

23

3x34

x

x3

3

343

2

===

−−−−−

−−−−

08. ¿Qué fracción de 16 es 2?

Solución:

Por definición una fracción representa:

adorminDeno

Numerador

"TodoEl"

"parteLa"=

Luego “La parte” es 2

8

1

16

2=⇒

“El todo” es 16

Por tanto 2 es 8

1 de 16

09.Una computadora pesa 8 kgs más un tercio de su total ¿ Cuánto pesa la computadora?

Solución:

Peso de la computadora = x Luego :

3m.c.mxx3

18 ==+

24 + x = 3x 24 = 2x x = 12

10. Al simplificar una fracción obtuvimos 1/7. Sabiendo que la suma de los términos de la fracción es 40, calcular la diferencia de los mismos:

Solución:La fracción simplificada es: 1 / 7 Antes de simplificarse era: 1 x / 7x Desarrollando el problema de acuerdo a los datos del problema:

Numerador + Denominador = 40 1x + 7x = 40 8x = 40

x = 5

Ahora restamos denominador – numerador

7 x – 1 x = 6x = 6 ( 5 ) = 30

La diferencia de sus términos es 30.

PRACTICA DE CLASE


2 de los

5

3 para

ser igual a los4

3 de los

74

?

a) 15

1b)

35

1c)

201

d) 251

e) 30

1

02.¿Qué parte de 4

3le falta a

5

2 para que sea

equivalente a 7

4?.

a) 15

2b)

25

3c)

35

8

d) 19

7e)

31

8

03.¿Cuánto le sobra a 7

5 de

5

2 de

4

3 de 7

para ser igual a la mitad de los 3

4 de

5

3?

a) 8

9b)

10

11c)

6

7

d) 4

5e)

1112


5?

a) 4

15b)

5

18c)

3

16

d) 3

20e)

7

12

05.¿En cuántos 48 avos es mayor 6

5 que

8

3?

a) 18 b) 15 c) 20d) 16 e) 22

06.Disminuir 96 en sus 12

7.

a) 56 b) 52 c) 50d) 40 e) 48


7.

a) 56 b) 52 c) 50d) 45 e) 48

08.Aumentar 32

en sus 127

.

a) 18

19b)

15

11c)

15

16

d) 17

13e)

20

11

09.De las siguientes fracciones:

9

8;

3

2;

16

15;

7

4;

6

5

¿Cuál es la mayor?

a)7

4b)

16

15c)

6

5

d) 9

8e)

3

2

10.Si la cantidad de quintos que hay en 20 / 49 le sumamos 47 / 49, entonces el resultado es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.En un colegio, 4 de cada 7 alumnos postulan a la Universidad de los cuales solo ingresa la cuarta parte. ¿Qué fracción de los alumnos ingresan a la Universidad?

a) 1/4 b) 1/5 c) 1/ 6d) 1/7 e) 1/ 8

12.En una reunión se observa que 17 caballeros fueron con terno azul, 20 con terno marrón y 13 con terno negro ¿ Qué fracción del total fue con terno marrón?

a) 3/5 b) 2/ 5 c) 13 / 50d) 17 / 50 e) 40 / 50

13.En una bolsa hay 25 caramelos, 12 son de fresa, 8 son de limón y el resto de menta ¿Qué fracción del total son de menta?



a) 2/ 5 b) 3/5 c) 3 / 10d) 1/ 5 e) 7 / 10

14.En una sección de 30 alumnos, las 2 / 3 partes tienen buzos deportivos. ¿Qué fracción de los que tienen buzos, no tienen buzo?

a) 1 / 5 b) 1 / 4 c) 1 / 3d) 1 / 2 e) 3 / 2

15. Del siguiente grupo de fracciones:

7

12,

24

12,

13

12,

5

12

La mayor fracción es:

a) 12 / 5 b) 12 / 13 c) 12 / 24d) 12 / 7 e) 12

16.¿Quién es mayor 19

15ó

7

3?

a) 3 / 7 b) 15 / 19 c) Igualesd) 6 / 7 e) 15 / 7

17.Del siguiente grupo de fracciones cual es el

menor 20

3,

5

7,

15

9,

3

8

a) 8 / 3 b) 9 / 15 c) 7 / 5d) 3 / 20 e) N.a.

18.Del siguiente grupo de fracciones cual es el

menor 4

3,

13

9,

10

7,

8

3

a) 3 / 8 b) 7 / 10 c) 9 / 13d) 3 / 4 e) N.a.

19.Tenía S/. 96. con los 5/12 de esta cantidad compré libros y con los 3/8 de lo que me quedó compré un traje. ¿Cuánto me queda?

a) S/. 28 b) S/. 35 c) S/. 30d) S/. 40 e) S/. 32

20.Un muchacho tiene que hacer 30 problemas. Un día resuelve los 3/10 y al día siguiente los 4/7 del resto. ¿Cuántos problemas le faltan por resolver aún?

a) 4 b) 6 c) 8d) 9 e) 12

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01


3 de los

6

5 para ser

igual a los 2

3 de los

5

4?

a) 8

7b)

10

6c)

10

7

d) 5

6e)

7

4

02.¿Qué parte de los 5

4 le falta a

5

1 para que

sea equivalente a 7

5?

a) 14

9b)

9

7c)

3

14

d) 7

3e)

13

10


3?

a) 7

45b)

45

7c)

7

9

d) 14

45e) N.a.


5?

a) 2

3b)

3

4c)

3

5

d) 2

5e)

5

6

05.¿En cuantos 13 avos es mayor 13

5 que

20

3?

a) 37 b) 30 c) 40d) 41 e) 53


5

a) 37 b) 38 c) 40d) 42 e) 45


3

a) 60 b) 70 c) 48d) 55 e) 102

08.Aumentar 5

2 en sus

17

13

a) 4

5b)

21

4c)

17

6

d) 17

12e) N.a.

09. De las siguientes fracciones:

7

3;

11

8;

9

5;

4

1.

¿Cuál es la mayor?

a) 7

3b)

11

8c)

9

5

d) 4

1e) N.a.

10.Si la cantidad de tercios que hay en 21

10 le

sumamos 7

4, entonces el resultado es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.En una academia, 5 de cada 6 alumnos postulan a la universidad, de los cuales solo ingresan la quinta parte. ¿Qué fracción de los alumnos ingresan a la universidad?

a) 4

1b)

5

1c)

6

1

d) 7

1e)

8

1

12.En un campeonato de fútbol se observa que 10 equipos fueron con buzo azul, 9 con buzo


35 36

TEORÍA DE


rojo y 17 con buzo celeste. ¿Qué fracción del total fueron con buzo rojo?

a) 9

1b)

4

1c)

9

4

d) 11

7e)

18

5

13.En una bolsa hay 25 caramelos, 13 son de fresa, 4 son de limón y el resto de menta. ¿Que fracción del total son de menta?

a) 25

13b)

20

7c)

25

8

d) 12

5e)

11

8

14.En una sección de 60 alumnos, las 3

1 partes

tienen buzos deportivos. ¿Qué fracción no tienen buzo?

a) 6

1b)

4

1c)

2

1

d) 8

1e)

5

1

15.Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las cero horas de un día, es igual al tiempo que falta para terminar el día. ¿Qué horas es?

a) 15:00 pm b) 12:00 m c) 4:00 amd) 4:00 pm e) 3:00 pm

16.¿Qué horas es cuando un tercio de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido?

a) 6:00 am b) 12:00 m c) 6:00 pmd) 3:00 pm e) N.a.

17.En una reunión habían 120 personas. Se fueron los 3/5 y luego los 5/8 de los que quedaban. ¿Cuántos quedan finalmente en la reunión?

a) 27 b) 18 c) 16d) 24 e) 12

18.Ayer perdí los 3/7 de mi dinero y hoy los 3/8 de lo que me quedaba. Si todavía tengo S/. 10. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 32 c) S/. 36 c) S/. 24d) S/. 26 e) S/. 28

19.Se venden los 2/9 de una finca y se alquila 1/3 del resto. Si quedan 28 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de la finca?

a) 54 Ha b) 56 Ha c) 60 Had) 48 Ha e) 52 Ha

20.La semana pasada leí los 5/7 de un libro y esta semana ya he leído los 2/5 de lo que faltaba. Si aún faltan por leer 60 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

a) 360 b) 342 c) 350d) 412 e) 602

TAREA DOMICILIARIA

01.Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos soles ¿Cuánto es la propina de Luis?

a) s/. 103 b) s/. 83 c) s/. 97d) s/. 91 e) s/. 102

02.Los 2/9 del costo de un artefacto es s/. 34 ¿Cuál es su costo?

a) 153 b) 117 c) 162 d) 148 e) 178

03.Un alumno pesa 16kg más los 3/7 de su peso total. ¿Cuánto pesa el alumno?

a) 22 kg b) 24 kg c) 19 kgd) 21 kg e) 28 kg

04.Una caja de herramientas pesa 55 kg más los 6 /11 de su peso total. ¿Cuál es su peso?

a) 119 kg b) 127 kg c) 121 kgd) 126 kg e) 133 kg

05.Una botella de 2 litros está llena de agua hasta sus 2/3 ¿Cuántos litros de agua hay en la botella?

a) 4/3 lts b) 1/3 lts c) 2/3 ltsd) 5/3 lts e) 2 lts

06.Un depósito de 4 litros de capacidad está lleno de gasolina hasta sus 3/5 ¿Cuántos litros de gasolina hay en el depósito?

a) 7/5 lts b) 11/5 lts c) 12/ 5 ltsd) 13/5 lts e) 17 / 5 lts

07.Disminuir 180 de sus 11 /15

a) 36 b) 24 c) 36d) 48 e) 44

08.Un niño tiene 13 años de edad. Si se disminuye la edad en sus 2/13 ¿Qué edad tiene?

a) 10 b) 11 c) 9d) 8 e) 12

09.Aumentar 119 en sus 5/7.

a) 204 b) 200 c) 202d) 206 e) 208

10.La hermana de Juanelo tiene 15 años, pero gusta aumentarse la edad en sus 2/5 frente a sus amigos. ¿Qué edad dice tener?

a) 17 b) 18 c) 15d) 20 e) 21

NOCIÓN DE CONJUNTOSPor conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.).Así tenemos los ejemplos siguientes:

Ejemplo:

“La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada elemento es un estudiante.

NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos:

Ejemplo:Sea el conjunto:

A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina}

Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nelly, Carmen, Adelina”.



RELACIÓN DE PERTENENCIA

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe el símbolo ∈ y en caso contrario se escribe el símbolo∉. Así tenemos:

Ejemplo:

Si A= {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que:

1 ∈ A ⇒ “1 pertenece a A”2 ∈ A ⇒ “2 pertenece a A”3. ∉ A ⇒ “3 no pertenece a A”4. ∈ A ⇒ “4 pertenece a A”5. ∉ A ⇒ “ 5 no pertenece a A”6. ∈ A ⇒ “7 pertenece a A”

NUMERO CARDINALSe denomina número cardinal al último elemento, después de contar los elementos del conjunto, es decir, se refiere al número de elementos del conjunto. Se denota de la siguiente manera:

Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A

Ejemplo:Determina el número cardinal siguiente conjunto:

A = { r, s, t, u, v, x, y, z}

Solución:Analizando el conjunto A, notamos que tiene 8elementos, porque:

{r, s, t, u, v, x, y, z} ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 6 7 8 ←N° cardinal de A

Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir:

Car(A) = n(A) = 8

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.

1. Por extensión. Un conjunto se determina cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos:

Ejemplo. Sean los conjuntos:

R = {este, oeste, norte, sur}S = { a, e, i, o, u}T = {1; 3; 5; 7; 9; ...}

En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se indican todos los números naturales impares.

2. Por comprensión. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos:

Ejemplo:Considerando el conjunto:

A = {x / x es P}

Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad)

Ejemplo:Sea le conjunto:

V = { x ∈ N / x = a +2 ∧ a < 5 }

Solución:

Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta:

• Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4

• Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en:

x = a +2; así:

Valores x = a + 2 ↓ ↓

Si a = 0 x = 0 + 2 = 2 Si a = 1 x = 1 + 2 = 3 Si a = 2 x = 2 + 2 = 4 Si a = 3 x = 3 + 2 = 5 Si a = 4 x = 4 + 2 = 6

Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera:

V = { 2; 3; 4; 5; 6 }

CLASES DE CONJUNTOS

Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos.

1. Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos:

E = { x / x es un día de la semana }F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 }

Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario .

1.1 Conjunto vacío.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo ∅ o { }.

Ejemplos:

M = {hombres que viven en Marte}N = { x / x ∈ Z , x > 8 , X < 7 }

1.2 Conjunto unitario.- Es el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:

C = { El alcalde actual de tu ciudad }D = { x / x ∈ N , 7 < x < 9 }

2. Conjunto infinito. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento. Ejemplo:

R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. }S = { x / x es una estrella del universo}

El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable.

2.1 Conjunto infinito numerable. Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad. Ejemplos:

A = {2x – 1 / x ∈ Z+}B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... }

2.2 Conjunto infinito innumerable. Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente. Ejemplo:

A = { x / 5 ≤ x ≤ 7 , x ∈ R }B = { x / x ∈ Q}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Relación de Inclusión.



Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un subconjunto. Simbólicamente se denota: A ⊂ B o también B ⊃ A.

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5}

Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene:

.1

.2.3

B

.4

.5

A

A ⊂ B ó B ⊃ A

Se lee: “A es subconjunto de B”“A está incluido en B” ó“B incluye a A”“B contiene a A”

2. Relación de no inclusión.Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es subconjunto de otro. Se presenta dos casos:

• Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se tiene una relación de intersección. Ejemplo. Sean los conjuntos:

A = { a, e, o}B = {i, o, u }

A B

.a

.e

.o.i

.u

A ∩ B

• Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben el nombre de conjuntos disjuntos.


M = { 4; 6; 8 }N = { 5; 7; 9 }

.4

.6

.8

.5

.7

.9

M N

Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún elemento que se repite o común.

NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un subconjunto.

SUBCONJUNTO.Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A está en B. Simbólicamente se denota: A ⊂ B.

Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A.


A = { a, b, c, d }B = { b , d }

En los conjuntos observamos que:

b ∈ B y b ∈ Ad ∈ B y d ∈ A

Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B ⊂ A.

Si A no es subconjunto de B, se escribe A ⊄ B; se lee:

A no es subconjunto de BA no es parte de BA no está incluido en B

SUBCONJUNTO PROPIOSDado un conjunto A, su número de subconjuntos será: 2n-1.- No se considera el mismo conjunto A.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán:

{2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6},∅

No es subconjunto propio de A: {2; 4; 6}

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Halla el Car(A) + Car(B) en los siguientes conjuntos:

A = {r, s, t, u, v, x, y, z}B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

Solución:Cardinal es igual al número de elementos, entonces:

n(A) = 8n(B) = 6

Luego: Car(A) + Car(B) = 14

02. ¿A qué tipo de conjunto corresponde R?

R = {n, n, n, n, ...., n}

Solución:El conjunto presenta un único elemento, por tanto será un Conjunto Unitario

03. Determina por extensión el siguiente conjunto:

E = {n2/ 3<n<8; n ∈ N y n es impar}

Solución:Como “n” debe cumplir:

3<n<8; n ∈ N y n es impar

Entonces, los valores de “n” son: 4, 6

Luego el conjunto E esta conformado por los siguientes elementos:

E = {16, 36}

04. Dado el conjunto W ={5;{7}}; indica la proposición verdadera:

a) {7} ⊂ W b) {{5}} ⊂ Wc) {5;7} ⊂ W d) 7 ∈ We) {{7}} ⊂ W

Solución:

a) {7} ⊂ W (Falso), porque {7} es un elemento de W

b) {{5}} ⊂ W (Falso), porque {5} ⊂ Wc) {5;7} ⊂ W (Falso), porque 5; 7 no es

elemento de Wd) 7 ∈ W (Falso), porque 7 no es

elemento de We) {{7}} ⊂ W (Verdadero), porque {{7}}

es subconjunto de W

05. Sea el conjunto:A = {2; 4; {5;6}; 8}. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es correcta?



a) {5} ∈ A b) 4 ∉ A c) {5;6} ⊂ Ad) {5;6} ∈ A e) N.a.

Solución:a) {5}∈A Falso, {5} no es elemento de Ab) 4 ∉ A Falso, 4 es elemento de Ac) {5;6} ⊂ A Falso {5;6} ∈ Ad) {5;6} ∈ A Verdadero

06. ¿Cómo se llama el conjunto P?P = {x∈N/ x = 2a+2, a ∈ N ∧ 7 <a<8}

Solución:Vacío, porque no existe ningún número natural mayor que 7 y a la vez menor que 8

07. ¿Cuál es el número de subconjuntos que

tiene M?M = {x ∈ N/ x = a-1; a ∈ N ∧ 2<a<8}

Solución:En primer lugar los valores de “a” son:

a = {3, 4, 5, 6, 7}

Luego, los valores de “x” son:x = {2, 3, 4, 5, 6}

Por tanto el conjunto M es:M = {2, 3, 4, 5, 6}

El número de subconjuntos de M, está dado

por: n2Donde "n" representa el número de elementos del conjunto M.

Entonces:n = 5

Los subconjuntos de M serán: 3225 =

08.Si: A = {φ, {2}, 3}Determinar el conjunto potencia de A

Solución:Calculo del conjunto potencia de A:

n[P(A)]= n2Siendo “n”, número de elementos del conjunto “A”:n = 3 Luego:

n[P(A)]= 823 =

Entonces P(A), queda determinado por:

P(A)={{φ},{{2}},{3},{φ,{2}},{φ,3},{{2},3}, {φ, {2}, 3}, φ}

09.Dado el conjunto E={x ∈ Z+/ 3x-1< 8}¿Cuántos subconjuntos propios tiene E?

Solución:Por definición de Valor absoluto:

bab0bcon;ba <−⇒≥<

Luego:

08quecumple;81x3 ≥<−

Entonces:– 8 < 3 x – 1 < 8

A la expresión anterior, sumamos 1, y luego lo dividimos entre 3, quedándonos a continuación con el intervalo de valores de “x”:

3x3

7<<

−

Por tanto, el conjunto E queda determinado por:

E = {1, 2}

Aplicando la formula para determinar el número de subconjuntos propios de E, tenemos que:

12 −n

Donde “n”, es el número de elementos de E:Entonces

3122 =− subconjuntos propios

10.¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto?

A = {x2/x ∈ Z ; -9 < 2x - 1 < 11}

Solución:A la desigualdad, sumamos 1, luego le dividimos por 2, obteniendo el siguiente intervalo:

– 4 < x < 6

Luego, el conjunto A queda conformado por:

A = {0, 1, 4, 9, 16, 25}

Por tanto, el número de subconjuntos queda determinado por:

6422 6 ==n subconjuntos

PRÁCTICA DE CLASE

01.De las siguientes proposiciones, ¿Cuál es la falsa?

a) ∅ ⊂ M

b) 4 ∈ {4; 7; 8}c) {4; 8; 3; 23} = {(-2)2; 8; 3}

d) 0 ∈ { }e) N.a.

02.¿Cuál de las siguientes proposiciones se cumple, en base al presente diagrama?

A

B .7

.8

U

a) A’ = Bb) A ⊂ B ∧ B ⊂ U ⇒ A ⊂ Uc) B ⊂ {7; 8}d) {7; 8} ∈ Ue) N.a.

03.Considerando los siguientes conjuntos:A = {a, b, c, d, e, f, g, h}B = {1; 2; 3; 4}

Halla: Car(A) + Car(B)

a) 3 b) 5 c) 12d) 2 e) N.a.

04.Dado el conjunto M ={2;0}. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas (C) o incorrectas ( I )?

0 ⊂ M ; 0 ∈ M ; {0} ⊂ M ;∅ ∈ M ; {0} ∈ M

a) ICCII b) IICCI c) ICIICd) CCCII e) ICICI

05.¿Cuáles de los siguientes conjuntos es vacío?

a) Conjunto de los números telefónicos que contienen un cinco.

b) Conjunto de mujeres que han sido presidentes del Perú.

c) Conjunto de números positivos que contienen un 8.



d) Mujeres graduadas como ingenieros.e) N.a.

06.Determina por extensión el siguiente conjunto:

E = {3x+1 / x ∈ N ∧ 2 < x < 6}

a) {3,4,5} b){10,12,14}c){10,13,16} d) {4,5,6}e) N.a.

07.Indica a qué tipo de conjuntos corresponden:

M = {x3 / x ∈ N}N = {x ∈ N/ 109 < x < 110}P = {∅}

a) Infinito – vacío – unitariob) Infinito – vacío – vacíoc) Finito – unitario – unitariod) Finito – vacío – unitarioe) N.a.

08.Calcula el número de elementos del conjunto:

R ={x∈N / x es múltiplo de 5 ∧ 14<x≤44}

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

09.¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?

A = { x+2 /x ∈ N ∧ (x+1)(x+2) = 0}B = {x2 -3/x ∈ Z ∧ 3x+1 = 0}C = {x/2 x ∈ Q ∧ x2 - 8 = 0}D = { x3 +1/ x ∈ R ∧ x4 +4 = 0}

donde:N, Z, Q, R son respectivamente los conjuntos de b1 números naturales enteros negativos racionales y reales.

10.Si A = {x ∈ N / -3 < (3x-1)/3 < 4}. El número de elementos de A es igual a:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

11.El conjunto C = { x ∈ N / 2x - 3 = 5 } es :

a) Unitariob) Vacío c) Tiene 2 elementosd)Tiene 3 elementose) N.a.

12.¿Cuántos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. ∅ ∈ {0} II. {∅} = {0}III. 0 ∈ {f} IV. ∅ ∈ {{∅}}

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Todas

13.Si P = {3a - 3b + 2, a+b, 14} es un conjunto unitario. Hallar el valor de:(2a-5b)

a) 7 b) 5 c) –7 d) –1 e) 0

14.Si M = {2-a/ a ∈ Z, a2 + 2 = 11}, Luego:

I. -1 ∈ M II. 3 ∈ M III. -3 ∈ M IV. 5 ∈ M

Son ciertas:

a) II y III b) I y IV c) Sólo IId) Sólo III e) Todas

15 Dado A = {x ∈ Z/ 6x2 - x = 35}B = { x ∈ Z/ 3x2 - 6x = 0}

Luego :

I. A = B II. A ≠ B III. A ⊂ B IV. B ⊄ A

Son falsos:

a) I y II b) I y IV c) Sólo IIId) Todas e) Ninguna

16.Si S= {x2/ x ∈ Z, x+1 < 2x+4 < x+7}¿ Cuántos subconjuntos tiene S?

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 4

17.Dado M = {5, {a}, {3,2}, 2}. ¿ Cuántos de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

1) {a} ⊂ M 2) {2} ∈ M 3) {3,2} ⊄ M 4) {2,5} ⊂ M5) {a} ∈ M 6) {{3,2}} ⊂ M7) ∅ ⊂ M 8) {{a}} ⊄ M

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

18.El número de subconjuntos de:

E = {{3},{3,3}, {3,3,3}} es igual a:

a) 2 b) 8 c) 4d) 64 e) 16

19.Si el conjunto A = {a+b, b+c, a+c, 6} es un conjunto unitario.

Calcular a2 + b3 + c4

a) 28 b) 72 c) 96d) 258 e) 117

20.Dado el conjunto:A = {a ∈ Z/ a5 + 4a = 5a3}. La suma de todos los elementos de A es igual a:

a) 0 b) –1 c) –2 d) 4 e) N.a.


01.Colocar el valor de verdad a cada proposición, si:

A = {2; 3; {1}; {2, 1}}• φ ∈ A ( )• 3 ∈ A ( ) • 1 ∈ A ( )• {1} ⊂ A ( )• {3} ⊂ A ( )• φ ⊂ A ( )

a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVVd) FVFVFV e) VVFVFV

02.¿Cuántos subconjuntos tiene?

A = {1; {1}; 1; φ}

a) 16 b) 15 c) 8d) 4 e) 32

03.Si el conjunto A tiene 2 elementos; ¿Cuántos subconjuntos propios tendrá P(A)?

a) 3 b) 7 c) 8d) 31 e) 15

04.Calcular la suma de los elementos del conjunto A

A = {x / x ∈ N; 10 < 3x + 2 < 18}

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 23

05.¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto?

A = {x2/x ∈ Z ; -9 < 2x - 1 < 11}

a) 512 b) 128 c) 64d) 32 e) 1024

06.Para dos conjuntos A y B no vacíos, tal que A ⊂ B. ¿Cuántas proposiciones pueden ser verdaderas?



* A = B * A ∩ B ≠ φ* A ∩ B ≠ φ * A - B ≠ φ* B ⊂ A * B - A = φ

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

07.Sea : A = {1; 2; 3; {2}}¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

* 1 ⊂ A * {2; 3} ∈ A * {2} ⊂ A* {2} ∈ A * φ ∈ A * φ ⊂ A

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

08.Decir V o F según corresponda:

* Todo conjunto se puede determinar por comprensión

* No todo conjunto se puede determinar por extensión

* Para que un conjunto sea una familia de conjuntos; todos sus elementos son necesariamente conjuntos

* El vacío pertenece a todo conjunto

a) VFVV b) VVVV c) FVVF d) FVFF e) FFVV

09. Al expresar por extensión:B = {(2x+1) / x < 8 ∈ N}

¿Cuántos son de dos cifras?

a) 2 b) 3 c) 6d) 5 e) 4

10. Si los conjuntos A y B son unitarios:A = {xy; 156}B = {25; x+y}Hallar: 2x-y x > y.

a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12

11.Si el conjunto A es unitario:A = {5x+3y+5; 2x+7y+12}

Hallar: 9x – 12y.

a) 21 b) 22 c) 23d) 20 e) 18

12.Dado X = {2, {4,5}, 4}. Escribir V si las siguientes aseveraciones son correctas y F si son falsas:

1) {5} ⊂ x 2) {{4,5}} ⊂ x 3) {5} ∈ x 4) {4,5} ∈ x5) {4,5}⊂ x 6) 5 ∈ x

a) FVFVFF b) FVVVFF c) VFVFVFd) FVFVFV e) N.a.

13.Dados: A = {4}, B = {3,4}, C = {1,2,3}, D = {1,2}, E = {1,2,4}. Escribir V si las proposiciones son ciertas y F si son falsas:

1) D ⊂ C 2) B ⊃ A 3) B ≠E4) E ⊃ A 5) A ⊄ D 6) E ⊃ C7) A ⊂ C 8) D ⊄ E 9) C = B10) B ⊂ D¿Cuántas son verdaderas?

a) 5 b) 6 c) 4d) 3 e) N.a.

14.Sea el conjunto A = {{5}} y las siguientes proposiciones:

* 5 ∈ A * {5} ∈ A * φ ∈ A * 5 ⊂ A * {5} ⊂ A * φ ⊂ A * {{5}} ∈ 2A * {φ} ⊂ 2A * {{{5}}} ∈ P(2A)¿Cuántas son verdaderas?

a) Todas b) 9 c) 4d) 5 e) N.a.

15.Si los conjuntos M y N son unitarios:

N = {3x - y ; x + 4} N = {2y + 3; 8x - 1}

Calcular : x + y

a) –4 b) –5 c) –6 d) –7 e) N.a.

16.Si los conjuntos P y Q son iguales:

P = {53a-1 ; 22b+3}Q = {5b+2 ; 3a+7}

Calcular 2a + 3b

a) 14 b) 15 c) 16d) 13 e) N.a.

17.Sea el conjunto:

F = {x2 - 8x + 15/ x ∈ Z, 5< 2x + 1 <15}

Hallar el cardinal de 2F

a) 32 b) 16 c) 8d) 4 e) N.a.

18.Dado el conjunto: A = {1; {2 }; {1; 2}}Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:

a) 2 ∉ A b) {1} ε A c) 1 ⊂ Ad) φ ε A e) {2} ∉ A

19.Dados los conjuntos unitarios:

P = {x + y ; 8 }Q = { y +z ; 10 }S = { x + z; 12 }

Calcular: (x + 4y - z)

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

20.Dado X = {12, {14,15}, 14}. Escribir V si las siguientes aseveraciones son correctas y F si son falsas:

1) {15} ⊂ x 2) {{14, 15}} ⊂ x3) {15} ∈ x 4) {14, 15} ∈ x5) {14,15}⊂ x 6) 15 ∈ x

¿Cuántas son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

01.Si A = { 2; 5 ; { 3 }; { 2; 3 } } y se afirma:

* φ ∈ A * φ ⊂ A * 5 ∈ A* 3 ∈ { 2; 3 } * { 3 } ∈ A * { 3 } ⊂ A

¿Cuántas son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02.Dado el conjunto: A = { 3; 4 { 3 }; φ; { 1; φ } }Cuántas proposiciones son verdaderas:

I. 3 ∈ A II. φ ∈ A III. 4 ∉ AIV. φ ⊂ A V. { 4 } ⊂ A VI. 2 ⊄ A

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

03.Calcular la suma de elementos de:

A = { x/x ∈ N; 10 < 3x + 2 < 18}

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 23

04.Determine la suma de los elementos del conjunto:

A = { x2 + 1/x ∈ Z - 3 < x < 3}

a) 10 b) 15 c) 12d) 8 e) 11

05.Calcular la suma de los elementos del conjunto A:

A = { x2 + x/x ∈ Z ∧ - 4 ≤ x ≤ 2}

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 20


35 36

DIVISIBILI


06.Hallar : b + c - a, sabiendo que los conjuntos: A, B y C son conjuntos iguales

A = { a + 2, 3 - a } B = { a - 1, 6 - a }C = { 1, b + c }

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

07.Colocar el valor de verdad a cada proposición, Si:

A = {5; 6 {2}; {2, 1} }

• φ ∈ A ( )• 6 ∈ A ( )• 2 ∈ A ( )• {2} ⊂ A ( )• {6} ⊂ A ( )• φ ⊂ A ( )

a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVVd) FVFVFV e) VVFVFV

08.¿Cuántos subconjuntos tiene:

A = {4; {4}; 4; φ }

a) 16 b) 15 c) 8d) 4 e) 32

09.Si el conjunto A tiene 3 elementos; ¿Cuántos subconjuntos propios tendrá P(A)?

a) 3 b) 7 c) 8d) 31 e) 15

10.Calcular la suma de los elementos del conjunto A

A = {x/ x ∈ N; 8 < 3x+2 < 18 }

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) N.a.

I. DefiniciónUn número entero A es divisible entre otro número entero positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es entera y exacta.

Ejemplo:¿65 será divisible entre 13?

Solución:Si, porque al dividir 65 entre 13 la división es exacta.

65 13

0 5Como:

Luego se afirma que:“65” es divisible entre “13”(“13” es divisor de “65”)

Además 65 = 13 x 5, luego se afirma que:“65” es múltiplo de “13”(“13” es factor de “65”)

En general:Sean A ∈ Z, B ∈ Z+, k ∈ Z

A B

0 kComo:

Luego se afirma que:“A” es divisible entre “B”(“B” es divisor de “A”)

Además A = B (K), luego se afirma que:

Módulo

“A” es múltiplo de “B”“B” es factor de “A”

NotaciónSi “A” es múltiplo de “B”

Ejemplo:

24 = o4 , porque 24 = 4 x 6

23 = o8 , porque – 32 = 8 x – 4

23 = o23 , porque 23 = 23 x 1

0 = o15 , porque 0 = 15 x 0

5a = o5 , si a ∈ Z

a x b = oa = o

b , si a y b ∈ Z+

Conclusiones1.- Todo número entero positivo será múltiplo de

sí mismo.


A = oB = B(K) =

oB


B = oB ; B ∈ Z+

2.- El cero es múltiplo de todo el número entero positivo.

0 = ok ; k ∈ Z+

Si “A” no es divisible entre “B”

Ejemplo:¿30 será divisible entre 7?

Solución:No, porque al dividir 30 entre 7 la división es inexacta, esto es:

- Por defecto - Por exceso

30 7

r = 2 4

30 7

r = 5 5e

30 = 7(4) + 2

7

30 = 7(5) - 5

7Es decir:

30 = 7+ 2 = 7 - 5r (+) r e

d=7

En general:Si: “A” no es divisible entre “B”:

Defecto Exceso

51 8

3 6

A = B(K) + r

51 8

3 6

A = B(K+1) – er

∴

Nota:r + er = B

Ejemplos:

1.- A = oo

713613 −=+

2.- B = 5727oo−=+

3.- C = o9 – 3 = o

9 + 6

II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALESLas operaciones aritméticas respeto a un mismo módulo

A. Adición

25 + 15 + 35 = 75

o5

o5

o5

o5

En general:

B. Sustracción

48 - 12 = 36o4

o4

o4

En general:

C. Multiplicación

25 x 7 = 175

o5 x 7 =

o5

En general:

; k ∈ Z

D. Potenciación

62 = 36

2 o3(3)

o=

En general:

( )oo

r mm = ; r ∈ Z+

Nota:1.-

6727373727

o7

o

o7

o2

o7

ooo+

+

+

=

+

+

∴

x

673727ooo+=

+

+

2.-

892949ooo

+=

+

+

En general:

3.- 38x58x28x44253o8

o8

2

o8

3)8( +++=

∴ 4253(8) = o8 +3

3152(6) = o6 +2

En general:

Si A = ,Bo

entonces, “A” es múltiplo de

todos los divisores de “B”

Ejemplo:

• N = o21 = 21(k)

divisores 21 = 1, 3, 7, 21

o1N =∴

N = 1(21k)=3(7k)=7(3k)=21(k)

o3

o7

o21

• 60 = o15

divisores 15 = 1, 3, 5, 15

∴ 60 = oooo

15531 ===

III. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

A. Por 2n y 5n

Un número es divisible por 2n o 5 n, si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas cifras es divisible por 2n o 5n

respectivamente, en caso contrario el bloque nos dará el residuo.


A = oB + r =

oB –

on +

on +

on +

on =

om

- om

= om

on

(k) = on

cxbxancnbnanoooo+=

+

+

+

fnabcdefo

)n( +=


B. Por 3 ó 9Un número es divisible por 3 ó 9, si y sólo

si la suma de sus cifras es un o3 ó o

9respectivamente. En caso contrario nos dará el residuo.Ejemplo:

* o93456 =

(suma de cifras es 18 = o9 )

* 5557 = o9 +4

(suma de cifras es 22 = o9 + 4)

En general:

oo

oo

3edcba3NSerá*

9edcba9NSerá*

abcdeN

=++++⇔=

=++++⇔=

=

Nota:

Todo número que sea o9 será o

3

C. Por 11Un número es divisible por 11, si y sólo si la suma de sus cifras de lugares impares menos la suma de cifras de lugares pares contabilizando de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11, en caso contrario nos dará el residuo.

Ejemplo:

*

o

11

o)31()753(1173513 +−+++=

+−+−+

o

1173513 =∴

*

o

11

o)0a()47a(11aa704 +−+++=

+−+−+

o

11aa407 =∴

D. Por 7Un número es divisible por 7, si y sólo si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, -1,- 3, - 2, 1, 3, 2, -1, - 3, - 2, ... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el residuo

Ejemplo:

* 281446

+−

132132

o70224241212 ==+++−−−⇒

o7644182 =∴

* 935211

+−312312

o7219910232 ==+++−−−⇒

o7112539 =∴

* 24574

13213

−

57521210712o+==+++−−⇒

5747542o+=∴

E. Por 13Un número es divisible por 13 si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4, - 1, 3, 4, 1, - 3, - 4, - 1... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos dará el residuo.

Ejemplos:

* 0182364

+−+1143143

o

1300632112243 ==+−−−+++

o133641820 =∴

* 230527

+−+114343

o13132153218 ==+−−+

o

13273052 =∴

* 4270163

+−+1143143

813842829241o

+==+−−++ 8131632704

o+=∴

F. Por 33 ó 99Un número es divisible por 33 ó 99, si al descomponer el número en bloques de dos cifras a partir del menor orden y sumarles el resultado sea múltiplo de 33 ó 99.

Ejemplos:

* 303171

30 + 31 + 71 = 132 = o33

o

33303171 =∴

* 18084

1 + 80 + 84 = 165 = o33

o

3318084 =∴

* 575487

57 + 54 +43 = 99 = o99

o

99575487 =∴

* 227618

22 + 76 + 18 = 116 = o33

+ 17

1733227618o

+=∴

Nota:



Si un número es múltiplo entre varios módulos, entonces, será múltiplo del menor número que contenga a dichos módulos.

Ejemplo:

1.

=

=o

o

11N

7N

o77N

Zk;)k(77)k)(11x7(N

=∴

∈==

2.

=

=o

o

6R

4R

o12R

)k(12)k)(3x2x2(R

=∴

==

3.

=

=

=

o

o

o

7P

8P

6P

)168(P

)k(168)k)(7x4x2x3(P

o∴

==

En general:

=

=

=

o

o

o

cA

bA

aA

"c"y"b","a"contiene

quenúmeromenorelesdonde,nAo

=

Principio de Arquímedes

Si:

A x B = n

o

donde “A” y “n” no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces:

onB =

Ejemplos:

1.o

13Nx5 = 2. o

21Ax8 =

∴ o

13N = ∴ o21A =

20 x K = 36o

5 x K = 9o

3. 18 x M = 42o

3 x M = 7o

4.

N = 13 + 6 o

3 (N - 2) = 13o

(N -2)= 13o

NotaForma práctica:

3N = 13+ 6o

N = 13 + 2o 3 3

N = 13 + 2o

5.

.._.._

6. 89Ax2o+= 7.

1013313R5oo

−=+=∴ 49A

o+= ∴ 213R

o−=

8. 17Nx4o+= 9. 58Ax7

o+=

87Nx4o+=

218Ax7o+=

∴ 27No+= ∴ 38A

o+=

10. 1824K6o

+= 11.

2030N5o

+=

34Ko+= 46N

o+=

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Si: 5aa1 = o3 . Hallar el valor máximo

de “a”:

Solución.Aplicando el criterio de divisibilidad por 3:

1 + a + a + 5 = o3

6 + 2a = o3

Si: 6 = o3

Entonces:o3 + 2a = o

3Por principio de la divisibilidad:

2a = o3 ⇒ a =

9

6

3

0

El valor máximo será: 9

02.Hallar el máximo valor que puede tomar

(a + b) si: b0a = o3

Solución:Aplicando el criterio de divisibilidad por 3:

a + 0 + b = o3

a + b = o3

Por principio de la divisibilidad:

a + b = o3

Por tanto los valores posibles para a + b, son:

=+⇒

18

15

12

9

6

3

0

ba

El valor máximo será: 1803.Determinar el menor valor que puede ser “a”,

sabiendo que a42553 es divisible entre 4

Solución:

Aplicando el criterio de divisibilidad por 4:



a3 = o4

Luego, los valores que puede asumir “a” son:

a3 = o4

=⇒6

2a

El menor valor que puede asumir “a” es: 2

04.Hallar “a” sabiendo que a42553 es

divisible entre 8

Solución:


o

8a)3(2)5(4 =++

o

8a620 =++

o

8a26 =+

Reduciendo la expresión anterior, tenemos:o

8a2 =+

Luego, el único valor para “a” que cumple con la igualdad es 6.

05.Hallar “a” si 2aa274 es divisible entre 8

Solución:

Aplicando el mismo criterio que el problema anterior:

82)a(2)a(4 =++

Reduciendo la expresión:

82a6 =+

Luego, los valores de "a" son:

a = { 1, 5, 9}

06.Hallar “a” sabiendo que 6aaa2 es divisible entre 11

Solución:


(2 + a + 6) - ( a + a ) = o

11

8 - a = o

11

Luego, para que el número dado sea divisible por 11, “a” debe ser 8

07.Hallar “a” sabiendo que 7a2a4 es divisible entre 9

Solución:Aplicando el criterio de divisibilidad por 9:

o

97a2a4 =++++o

913a2 =+

Reduciendo:o

94a2 =+

En la igualdad el valor de “a” debe ser 7 para que cumpla la igualdad

08.Hallar “a” sabiendo que 2a5aa4 es divisible entre 7

Solución:


o

7)8a3a()10a32( =++−++o

7)8a4()12a3( =+−+

Reduciendo:o

7a4 =−

En la igualdad el valor de “a” debe ser 4 para que cumpla la igualdad

09.¿Cuál es la suma de las cifras que deben sustituir a 2 y 3 del número 52 103 para que sea divisible entre 72?

Solución:

Del enunciado:

72y10x5 =

o8o

o9

Módulo (8):

y10 = o

8 ⇒ 100 + y =

o

8 ⇒ y = 4

Módulo (9):

104x5 = o

9 ⇒ 10 + x =

o

9 ⇒ x =

8

Luego: x + y = 12

10. Sabiendo que: b – c = 6 y que:

4abc = o

8

Hallar el residuo de dividir accb entre 8. Solución:


4bc = o

8

2c8b3,2,1,0c9,8,7,6b6cb =∧=

==⇒=−

Luego.

accb = o

8 + ccb =

o

8 + 228 =

o

8 + 4

∴ Residuo : 4

PRÁCTICA DE CLASE

01. Determine la suma de los 24 primeros múltiplos enteros positivos de 4.

a) 1240 b) 1200 c) 1280d) 1260 e) 1120

02.Si: o4A18 = . Entonces “A”

necesariamente es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) N.a.

03. Si: 2a2 es divisible por 3. Hallar la suma de todos los valores posibles de “a”.

a) 18 b) 15 c) 16d) 14 e) 17

04. ¿Qué número es múltiplo de 7?



a) 3568 b) 4679 c) 644182d) 399747 e) N.a.

05.¿Qué número es múltiplo de 9?

a) 3455 b) 3456 c) 3457d) 6762 e) N.a.

06.Hallar : a + b + c , si :

ooo

9c6c141182b19726a3 ===

a) 14 b) 16 c) 17 d) 18 e) Más de 19

07.¿Cuántos valores puede tomar x si x1x0x4 es divisible por 13

a) 2 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10

08.El número; b2aba es divisible por 99Hallar a + b

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

09.El número xx7y49 es divisible por 9 y 11 a la vez. Hallar x + 3y

a) 4 b) 6 c) 22 d) 21 e) 11

10.Calcular “n” si 8n2n3 es múltiplo de 9

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 3

11.El número b2713a4 es divisible por 72. Determinar a + b :

a) 10 b) 13 c) 8d) 11 e) 9

12.Dar “a” si 834a7 es divisible entre 11.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

13.Hallar “a” si 2a3a45 es múltiplo de 7.

a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9

14.Hallar . a + b ; si : o

88b547a =

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

15.Si : o

72b10a5 = ; hallar : a . b

a) 42 b) 32 c) 24d) 36 e) 48

16.Sabiendo que el numeral x y97 es múltiplo de 88, hallar x - y.

a) 0 b) 2 c) 1d) 4 e) - 2

17.Hallar x + y , sabiendo que el numeral y27x59 es divisible por 72

a) 6 b) 4 c) 9d) 8 e) 7

18.Calcular “n” si 8n2n3 es múltiplo de 7

a) 6 b) 2 c) 8d) 5 e) 3

19.Si el número 13b54a3 es divisible por 9 y se sabe además que a - b = 3. Hallar: a . b

a) 33 b) 28 c) 44d) 12 e) 18

20.El número b2713a4 es divisible por 72. Determinar 2a + b

a) 10 b) 13 c) 8d) 14 e) 9


01.Determinar la suma de los 20 primeros múltiplos enteros positivos de 4.

a) 1120 b) 1050 c) 1480d) 1000 e) 1500

02.Si: °=5a17 .Entonces "a" necesariamente es:

a) 0 b) 4 c) 5d) "a" y "c" e) N.A.

03.Si: 3a3 es divisible por 3. Hallar la suma de todos los valores posibles de "a".

a) 18 b) 15 c) 14d) 17 e) 13


a) 3501 b) 3502 c) 3407d) 3704 e) 4242


a) 6538 b) 6497 c) 464120d) 397974 e) N.a.

06.Hallar: a + b + c, si:

°=315a2°=793b20°=11c7c25

(a es par; b ≠ 0)

a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 21

07.¿Cuántos valores puede tomar "x" si:°=9x1x0x5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08.El número b2aba es divisible por 33, (a es par)Hallar a + b :

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

09.El número: y2xyx es divisible por 99.Hallar 2x – 3y.

a) 1 b) – 14 c) – 12d) 12 e) 14

10.El número bb9a58 es divisible por 9 y 11 a la vez. Hallar 3a – b.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 9

11.Si: 8ab = y °=5ba . Hallar (a + b):

a) 6 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

12.Si: °=72b671a3 . Calcular a.b

a) 22 b) 32 c) 16d) 14 e) 28



13.Hallar "b". Si °=− 4)6b(abb

a) 10 b) 11 c) 6d) 13 e) 14


a) 73513 b) 63412 c) 789471d) 117016 e) N.A.

15.Hallar "a", si °=7a2853a

a) 9 b) 2 c) 5d) 7 e) 4

16.Hallar ab , sabiendo que el número de la

forma a26b3a2 es divisible entre 72.

a) 64 b) 24 c) 26d) 46 e) 36

17.Hallar ab si se cumple que a2baa8 es divisible entre 56.

a) 34 b) 94 c) 44d) 26 e) 66

18.Hallar: a + bSi: °=55b33a3Si además "a" y "b" son cifras significativas:

a) 3 b) 5 c) 18d) 12 e) 13

19.Si el número 13b54a3 es divisible por 9 y se sabe además que a – b = 3. Hallar a.b

a) 33 b) 28 c) 44d) 12 e) 18

20.Si ab8a6 es múltiplo de 45. Hallar: ab

a) 20 b) 45 c) 15d) 18 e) "a" y "b"

TAREA DOMICILIARIA

01.Dar “a” si 834a7 es divisible entre 11.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

02.Hallar “a” si 2a3a45 es múltiplo de 7.

a) 2 b) 4 c) 5d) 7 e) 9

03.Hallar “m”, si N = 993m457 es igual a

37 +° .

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 1

04.Hallar el mayor valor de “a + b + c”, si :

abc = °3 ; °=5cba ; °=7ba

a) 15 b) 18 c) 17d) 16 e) 20

05.Si °=°=°= 17aby5cba;8abc

. Calcular ( a +b+ c)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

06. Sabiendo que: °=739a9)a2( .

Hallar “a” :

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

07. Sabiendo que: °= 56a58ab4 .

Hallar : a + b.

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) N.A.

08.Se conoce que: o

1703a6 = . Hallar

“a”:

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 5

09.Sabiendo que cba ≠≠ y :

o5abc =o4bca =o7cab =

Hallar a + b + c.

a) 15 b) 17 c) 18d) 14 e) 13

10.Si o

1778a2 = , halle “a”

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 5

SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03

01. C A B

02. A A D

03. D E A

04. D B E

05. A B A

06. B A B

07. C B C

08. D C B

09. B B C

10. B C A

11. C A E

12. C A C

13. B A C

14. C D A

15. D D C

16. A D D

17. B C C

18. E A C

19. A C B

20. C B E

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

copyright 2003


razonamiento matematico 1º1 b

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