SERIES y SUCESIONES

Diferenciando Conceptos:-.

Sucesión: Es una secuencia de términos regidos por una ley de formación.

Serie: Es la suma de los términos de una sucesión. Al resultado de efectuar la serie se le llama valor de la serie.

¡Cuidado! Sucesión no es igual que serie, si bien se relacionan ya que toda la serie es una sucesión; pero toda sucesión no es serie (suma).

SERIES NOTABLES

1. Suma de los “n” primeros números consecutivos

2. Suma de los cuadrados de los “n” primeros consecutivos.

3. Suma de los cubos de los “n” primeros consecutivos.

4. Suma de los primeros impares.

5. Suma de la Progresión Aritmética.

6. Suma de la Progresión Geométrica.

7. Suma de los “n” primeros pares consecutivos.

Ejemplos:1. Calcular: S = 1 + 2 + 3 + ... + 40

Solución:

Sería: n = 40luego:

2. Calcular: S = 1 + 4 + 9 + ... + 169Solución:Dando forma:

sería: n = 13luego:

3. Calcular: S = 1 + 8 + 27 + ... + 2 197Solución:Dando forma:

sería: n = 13luego:

4. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 47Solución:Sería: Luego:

5. Calcular: S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 46Solución:sería: luego:

6. Calcular: S = 3 + 4 + 5 + ... + 30Solución:

7. Calcular: Solución:Completando la suma

8. Calcular:

Solución:Completando la suma

SERIES SUPLEMENTARIAS

1. Suma de los productos consecutivos.a)

Ejemplo:Calcular: S = 2 + 6 + 12 + ... + 342

Solución:Dando forma, tenemos:

luego:

b)

Ejemplo:Calcular:

Solución:Dando forma, tenemos:

luego:

2. Suma de números impares al cubo.

Ejemplo:Calcular:

Solución:Se hace: 2n – 1 = 17 n = 9luego:

3 Suma de números pares al cubo.

Ejemplo:Calcular: Solución:Se hace:

luego:

4. Suma de las cuartas de los “n” primeros consecutivos.

Ejemplo:Calcular: Solución:De la suma: n = 10Luego:

5. Suma de potencias de igual base.

Ejemplo:Calcular:

Solución:

Donde: Luego:

6. Suma de las inversas de los productos.

Ejemplos:

a)Calcular:

Solución:

luego:

b)Calcular:

Solución:Dando la forma:

luego:

c) Calcular:

Solución:

luego:

7. Suma de los cuadrados de los primeros impares.

Ejemplo:

Calcular:

Solución:Se hace: Luego:

PROGRESIÓN ARITMÉTICADefinición:

Se llama progresión aritmética (P.A.) a una sucesión de números, en la cual un término cualquiera del primero será igual al anterior aumentando en una constante denominada razón (r).Representación y Notación:

1) Sea la sucesión

2) Números en progresión Aritmética

3) Cinco números en P. A.

Clasificación:

Propiedades:

1. La razón de una P.A. es igual a la diferencia de dos términos consecutivos.

Dada: {

Se cumple

2. En toda P.A. la suma de dos términos equidistantes de los extremos nos da una misma cantidad.

3. Es una P.A. de número de términos impares se cumplirá que el término central es igual a la semisuma de los términos extremos.

Dada:

Se cumple:

Fórmulas:1. Razón:

2. Término enésimo:

3. Número de términos:

4. Término central:

5. Suma de P.A.

como:

Reemplazando en se tendrá:

PROBLEMAS RESUELTOS DE P.A.

1. Hallar el número de términos de 18; 24; 30; 36; ….; 282.

Solución:Es una P.A. donde:

r = 6 como:

2. Dada la progresión:40; 44; 48; 52; …

Hallar el vigésimo término.Solución:Se tiene que:Como:

n = 20

3. Calcular:

Solución:

1)

2) Calculo de la suma

4. En la P.A. hallar el número de términos si la suma de términos es 570 y el número de términos entre 3 y 30 e igual al número de términos que hay entre 30 y x.Solución:

Observe que: Como:

Pero:

Remplazando (2) en (1):

NOTA:Interpolación de medios aritméticos

Razón de la interpolación

5. La suma de los “n” términos de una P.A. es . Hallar el

décimo término.

Solución:

69

70

ya podemos calcular la razón:

como:

piden:

6. Las edades de tres hermanos están en P.A. creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395. Hallar sus edades.

Solución:Sean las edades:

1)

2)

las edades serían:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICADefinición:Se llama progresión geométrica (P.G.) a una sucesión de números, en la cual un término cualquiera diferente del primero, será igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón (q).

Representación y Notación:

Números en P. G.

Cinco Números en P. G.

Clasificación:

Propiedades:

1. La razón de una P.G. es igual al cociente de dos términos consecutivos.

Dada: {

Se cumple:

2. En toda P.G. el producto de dos términos equidistantes de los extremos nos da una misma cantidad.

3. En una P.G. de número de términos impar se cumplirá que el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos.

Se cumple:

Fórmulas:

1. Razón:

2. Términos enésimo:

3. Término central

4. Suma de los “n” primeros términos de una P.G.

5. Suma de los infinitos términos de una P.G. decreciente (“suma límite”):

PROBLEMAS RESUELTOS DE P.G.

1. Hallar “x” en la P.G.

Solución:

Como:

Por la razón:

Luego:

Razón:

Buscando bases iguales:

igualando exponentes:

71

2. Hallar el décimo tercer término.

Solución:

Cálculo de la razón:

Como:

3. Efectuar:

Solución:Por 3 a ambos términos:

De donde:

NOTA:

Como:

4. Hallar la suma:

Solución:

5. El límite de la suma de los infinitos términos de una P.G. decreciente es el doble de la suma de sus “n” primeros términos. Hallar la razón.

Solución:Dato: Por fórmulas:

Reduciendo:

SUCESIÓN Y SERIESARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

1. Hallar el término de lugar 60 de la sucesión:15; 22; 29; 36; …...A) 430 B) 436 C) 445 D) 428 E) 450

2. Hallar la suma de los 48 primeros términos de la serie

5 + 11 + 17 + 23 + 29 + …....A) 7004 B) 7005 C) 7006 D) 7007 E) 7008

3. Calcular “S” en:S = 1 + 1 + 4 + 10 + 19 + ….......(20 sumandos)

A) 3430 B) 4340 C) 3040 D) 3340 E) 34404. La sucesión:

0; 7; 26; 63; 124; …… t30

tiene 30 términos ¿Cuál es el último término?A) 26999 B) 26888 C) 26789 D) 26780 E) 26799

5. Hallar la suma de la serie

A) B) C) D) E)

6. Hallar la suma de la serie

A) B) C) D) 9 E) 3n

7. Si Sn = 1 + 2 + 3 + ............ + nCalcular: S1 + S2 + S3 + ..............+ S20

A) 1540 B) 7240 E) 2470 D) 4720 E) 7420

8. Lucha y Pili leen una novela de Ciro Alegría, Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 página el 1er día, 2 el 2do día y así sucesivamente.

¿Después de cuantos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo?A) 10 B) 20 E) 19 D) 21 E) 42

9. Una pelota se suelta desde una altura de 17 metros, si en cada rebote alcanza una altura igual a los 2/3 de la altura anterior. Calcular la distancia total recorrida hasta que se detenga

A) 85m B) 84m C) 120m D) 160m E) 80m

10. Tres números positivos se hallan en P.A. al ser aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una P.G. de suma 28. Hallar los 3 números.

A) 3; 5 y 7 B) 1; 5 y 9 E) 3; 6 y 9 D) 3; 7 y 11 E) 3; 4 y 9

11. Sean X1 y X2 las raíces de la ecuación:X2 – 5x + m = 0 y X3 y X4 las raíces de la ecuación: x2 – 80x + n = 0, se sabe que los números; X1, X2, X3, X4 (en la sucesión dada) forma una P.G. creciente. El valor de m + n es:A) 256 B) 260 E) 1024 D) 1028 E) 102012. Augusto y Celia leen una novela de 3000 páginas, A gusto lee 100 páginas diarias y Celia lee 10 páginas el primer día 20 el segundo día, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambos comienzan a leer el 22 de febrero de un año bisiesto. En que fecha coincidirán en leer la misma página por primera vez y cuantas páginas habrán leído hasta ese día?A) 10 de marzo; 1800 B) 12 de marzo; 1600 C) 11 de marzo; 1600 D) 10 de marzo; 1900 E) 11 de marzo; 1900

13. En el consultorio de un pediatra, tres madres de tres niños de: 1; 37 y 289 días de nacidos esperan para ser atendidas; el médico para atenderlas; le pide averiguar dentro de cuantos días las edades de sus niños estarán en P.G. en ese tiempo la edad del tercero será:A) 304días B) 294 C) 296 D) 307 E) 309

14. Si la sucesión {Sn} n 1 está definido por: S1 = 1; S2 = 2; Sn = Sn-1 + S n–2; n 3 Hallar “S7”:a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 21

15. Calcular:

a) 15/32 b) 15/16 c) 15/64 d) 1 e) 12/25 16. Calcular el valor de:

a) 1 b) 1/3 c) 17/66 d) 13/77 e) 1/9

17. Hallar la razón de una P.A. en la cual la suma de los “n” primeros términos vale: (5n2 + 7n)

73

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

18. En una P.A. el tercer término es igual a cuatro veces el primero y el sexto término es igual a 17. Hallar la suma de los ocho primeros términos.

a) 100 b) 110 c) 120 d) 80 e) 105

19. Dada la P.A. 5, ….........,47,…........, 159Donde el número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47. el número de términos de la P.A. es:

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 20. Sean:S = 5,4+0,027+ 0,00027 + 0,0000027 + ...........W = 1 + 0,3 + 0,09 + 0,0027 + 0,0081 + ..........Entonces el valor de S – W es aproximadamente: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e)4

21. Sí los radios de una sucesión de circunferencias son:

.

La suma de sus correspondientes longitudes es igual a:

a) b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

22. Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide “a”. Se toma los puntos medios de sus lados y al unírseles se forma otro triángulo equilátero, en este triangulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro triángulo equilátero y repetimos la operación infinitas veces. Calcular la suma de las áreas de todos estos triángulos formados, incluyendo el mayor.

a) b) c)

d) e)

23. Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de la altura desde la que cayó por última vez.

¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resistencia del aire? a) 200m b) 300m c)400m d)500m e) 600m 24. A lo largo de un camino había un número impar de piedras, a 10 metros una de la otra. Se quiso juntar estas piedras en el lugar donde se encontraba la piedra central. El hombre encargado podría llevar una sola piedra. Empezó por uno de los extremos y las trasladaba sucesivamente. Al recoger todas las piedras, el hombre camino 3Km. ¿Cuántas piedras había en el camino? a) 29 b) 17 c) 41 d) 19 e) 25 25. La suma de los 6 términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141 y el producto de sus extremos es 46.. ¿Cuál es la razón de la progresión?

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 26. Si: AB = BC = 1Calcular: BD + DE + EF + FG +…....

a)

b)

c)

d)

e)

27. Calcular la suma total del siguiente arreglo:23 + 34 + 4 + 45 + 5 + 5 + 5

20 + 20 + 20 + ….............+ 20

a) 2650 b) 2460 c) 2660 d) 2760 e) 2860

28. Determinar la sumatoria:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 5 e) 9

29. Evaluar la sumatoria:

a) 16/3 b) 8/5 c) 3/16 d) 4/9

30. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena más que a las horas, dando en cada hora tantas campanadas como el número que representa la hora? El reloj está graduado convencionalmente de una a 12 horas.

a) 148 campanadas b) 156 c) 149 d) 158 e) N.A.31. Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus inversas están en progresión aritmética. Sea Sn la suma de los “n” primeros términos de la progresión armónica (por ejemplo, S3

representa la suma de sus tres primeros términos). Si los tres primeros términos de una Progresión armónica es 3, 4, 6: Determinar: S4.

a) 25 b) 26 c) 28 d) 30 e) 35

32. Si se interpola cinco medias geométricas entre 8 y 5832, el quinto término de la progresión total es:a) 684 b) 648 c) 748 d) 784 e) N.A.

33. De una P.G. con el primer termino distinto de

cero y r 0 y una sucesión aritmética con el primer término igual a cero, se suman los términos correspondientes de las dos sucesiones se obtiene una tercera sucesión: 1, 1, 2.... Entonces la suma de los diez primeros términos de la nueva sucesión es:

a) 987 b) 949 c) 978 d) 879

OPERADORES MATEMÁTICOSOPERADORES MATEMÁTICOS

Son símbolos que relacionan cantidades en función a reglas o condiciones en la cual se define una operación

Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que lo identifica, llamado operador matemático. Entre los más conocidos tenemos.Nº Nombre de la

OperaciónOperador Matemático

1. Adición +2. Sustracción –3. Multiplicación x

4. División 5. Radicación 6. Valor Absoluto | |

Aparte de estas operaciones matemáticas hay muchas otras que se usan en la matemática. Se puede definir muchas otras operaciones en base a las conocidas, con reglas arbitrarias y utilizando operaciones matemáticas arbitrariamente así

Para el mejor entendimiento y comprensión de ejercicios de operaciones matemáticos los distribuimos de la siguiente manera

A) OPERADORES SIMPLESSi a # b = 4a2 – 3b4

Hallar: E = 3 # 2

B) OPERADORES COMO FUNCIONESSi a b = 3a + 3b – 2 a b = a2 – a x b + 2b

Hallar: “x” ( 2 x ) = ( 4 x )

C) OPERADORES COMPUESTOSConsiste en combinar dos o más operadores con sus respectivas leyes de formación, la cual hay que definirla empleando las operaciones dadas esto es:

Si x + 1 = x – 1 ; x + 1 = 3x + 5

Hallar: 4 4 .

D) OPERADORES CON TABLASEn lugar de una ley de formación, para obtener el resultado, la operación binaria puede presentar estos resultados en una tabla de doble entrada. Pero ¿qué es una tabla de doble entrada y como se define en ella la operación binaria? Observemos.

Operador matemático Fila de entrada

Colu

mna

de

entra

da

a b c d

Cuer

po d

e la

ta

bla

a a b c db b c d ac a d a b

d d a b cDiagonal principal

A los resultados obtenidos al operar los elementos se le llama cuerpo de la tabla, que se ha determinado gracias a una regla de definición que dio origen a la tablaDada la tabla 1 2 3 4

1 1 2 3 42 2 3 4 13 3 4 1 24 4 1 2 3

Hallar el resultado de:

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sea la relaciónf(a + 1) = (3ª + 2)hallar f(a – 1)

A) 2ª + 2 B) 3ª – 4 C) 2ª + 4 D) 3ª – 8 E) 3ª + 8

2. si a b =

hallar: P = ((( 1 2) ) 3 ) 4))….

A) B) Absurdo C) 0 D) 1 E) 2

3. Se define la operación

x – y =

hallar “m” de:10 – m = 6A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

4. Si a b =

calcular el valor de:5 (5 ( 5 …))A) 2 B) 5 C) 3 D) 4 E) 6

5. Si: a * b = (3ª –b)Hallar “x” de: (3x – 1) * (x + 1) = 20A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. Se define x = 2x – 1Calcular:[ 3 + 5 + 7 ]A) 50 B) 45 C) 54 D) 51 E) 42

7. Si se define

f(x – ) = (4x + 3)

Hallar: f(a – )

A) 2a + 2 B) 4a + 4 C) 4a + 4 D) 2a – 2 E) a + 4

8. Se define

Calcular (f(2) + f(3)) f

A) B) C) D) E)

9. Si: f(n) = xn + yn

Además: f(1) = 2 f(2) = 3calcular: f(3) = ¿A) 5 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9

10. Sia b = Hallar: ( 2 1) ( 2 3 )A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

11. Si:a * b = (a2 – b2)

Hallar el valor de “E” A)

16 B) 25 C) 36 D) 49 E) 81

12. Si se define: 2x + 1 = 4x + 1

Además 2x + 1 = 16x + 9

Calcular ( 3 + 4 )

A) 28 B) 20 C) 18 D) 22 E) 32

13. Dados los siguientes operadores x = x – 3

x+1 = 2x x = 2x + 5

Hallar 3 + 3

A) 22 B) 20 C) 24 D) 28 E) 18

14. Sia * = (a – 1)2

a * = 25 (a + 1)2

Hallar: A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 3

15. Se definex – 1 = 4x + 1 hallar “x” en:3x = 2x + 20A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Si se define x = x( x – 6 )

Además: x = x2 – 10

Hallar A) 5 B) 12 C) 10 D) 15 E) 16

17. Si x = 2x + 7

x = 6x + 1

Hallar 2 + 3 + 4

18. Si se define: n = n2 – 1; n Z+

Hallar “x” = 63

A) 6 B) 7 C) 4 D) 3 E) 9

19. Si

= x2 + 5

Calcular ( 73 – 10 )

A) 20 B) 36 C) 42 D) 27 E) 35

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Máximo Común Divisor (MCD)

Se denomina así al mayor de los divisores en común que presenta 2 o más números (Z+).

Ejemplo:

Números Divisores8 1; 2; 4;812 1; 2; 3; 4; 6; 12

Divisores comunes:

MCD (8; 12) = 4

Nota:Los divisores comunes de 2 o más números son los divisores de su respectivo MCD.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Se denomina así al menor de los múltiplos en común que presenta 2 o más números (Z+).Ejemplo:

Números Múltiplos

8 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72....

12 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108...

Múltiplos comunes:

MCM [8; 12] = 24Nota:Los múltiplos comunes de 2 o más números son los múltiplos de su respectivo MCM.

MÉTODO PARA CALCULAR EL MCD Y EL MCM

1. Por Descomposición Canónica:Dados 2 o más números descompuestos canónicamente, el MCD será igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente y el MCM será igual al producto de los factores primos y no comunes elevados al mayor exponente posible.Ejemplo 1: Sean los números

MCD[300; 360; 540] = 22.3.5 MCM[300; 360; 540] = 23.32.52

Ejemplo 2: Sean los números

MCD[A; B; C] = 22.3.5 MCM[A; B; C] = 24.35.52.72.11.13

2. Por Descomposición Simultanea:Calcular el MCD de: 42; 48; 54

MCD [42; 48; 54] = 2.3 = 6MCM [42; 48; 54] = 24.33.7 = 3024

3. Algoritmo de Euclides (Divisiones Sucesivas):

Es un procedimiento que nos permite calcular el MCD para 2 números solamente mediante divisiones sucesivas.

Caso general: Calcular el MCD para 2 números A y B (A > B)

Ejemplo: calcular el MCD para 300 y 132.

MCD [300; 192] = 12

Propiedades

Si A y B son PESI se cumple:MCD [A; B] = 1MCM [A; B] = A.B

Ejemplo 1:MCD [3; 7] = 1MCM [3; 7] = 21

Ejemplo 2:

MCD [103; 81] = 1MCM [103; 81] = 81000

Si se cumple:

MCD [A; B] = BMCM [A; B] = A

Ejemplo 1:

MCD [400; 20] = 20MCM [400; 20] = 400

Ejemplo 2:MCD [108; 104] = 104

MCM [108; 104] = 108

Si a 2 o más números se les divide entre su MCD; los cocientes obtenidos resultan ser PESI.

Caso general: Sean A y B los números y además: MCD [A; B] = d.

Ejemplo: Sean 40 y 32 los números y además: MCD [40; 32] = 8

Con lo cual se deduce que:

Para el número A y B cuyo MCD = d y cuyo MCM = m se cumple:

Sea el MCD [A; B; C] = d. Se cumple:

Sea el MCM [A; B; C] = mSe cumple:

Sean los números: xm – 1; xn – 1Entonces se cumple:

MCD [xm – 1; xn – 1] = xMCD [m; n] – 1

Ejemplo: Calcular el MCD de 34 – 1 y 36 – 1

MCD [34 – 1; 36 – 1] = 3MCD[4; 6] – 1 = 32 – 1 = 8

Si se sabe que:

Ejemplo:

Caso general: calcular el MCD de A; B; C; D y E

76

Entonces el MCD [A; B; C; D; E] = K4

Observación:No va importar el orden como se tomen las letras. el MCD siempre resultará ser igual en cualquier caso.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1. Dado el número 31500:A) ¿Cuántos divisores tiene?B) ¿Cuántos divisores son primos absolutos?C) ¿Cuántos divisores son compuestos?D) ¿Cuántos divisores son mayores de 20?a) 72, 4, 67, 58 b) 70, 4, 67, 59c) 73, 8, 63, 57 d) 36, 2, 67, 58e) 72, 67, 4, 58

2. El MCM de 2 número enteros es 22 400 al calcular el MCD mediante el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos: 2, 5 y 3. Hallar uno de los números.

A) 640 B) 860 C) 560 D) 720 E) 19603. Hoy las 3 campanadas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente; si en adelante la primera será tocada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera cada 10 días. Después de qué tiempo se volverán a tocar juntas?A) 360 días B) 210 C) 70 D) 140 E) 280

4. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420 Iitros de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?

A) 30 B) 51 E) 31 D) 41 E) 27

5. Andrea compró cierto, número de trajes por S/. 20500 y vendió unos cuantos en S/. 15000 cobrando por cada traje lo mismo que le había costado. Hallar cuántos trajes quedan si el precio de estos fue el mayor posible.

A) 11 B) 13 C) 30 D) 15 E) N.A.

6. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354m, Se desea parcelado en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas ¿Cuántas parcelas cuadradas resultaran?A) 354 B) 894 C) 8 940 D) 8 791 E) 879

7. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. si se cuenta de 3 en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?A) 524 B) 512 C) 534 D) 547 E) 564

8. Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron respectivamente 8, 10, 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?A) 15, 13 y 14 B) 15, 12 y 10 C) 15, 14 y 12 D) 12, 8 y 9 E) NA

9. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista está comprendida entro 2 y 3 m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8cm.A) 5760 B) 720 C) 1020 D) 946 E) 96010. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora son respectivamente 250 y 425 cm. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la locomotora para que una de las ruedas dé 2870 vueltas más que la otra?

A) 1742,5m B) 1842,5m C) 1792,5mD) 1592m E) 1692m

11. Se han colocado postes igualmente separados en el contorno de un campo triangular con una puerta en el centro del lado más largo, sujeto por dos de los postes señalados, sabiendo que hay un poste en cada vértice y los lados miden: 182, 234 y 261 m; la puerta tiene 1 m de ancho y que la distancia entre poste y poste es un número entero

comprendido entre 4 y 20 metros.; ¿Cuántos postes se colocaron?

A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 56

12. Se ha dividido un terreno rectangular en parcelas, obteniéndose 108 parcelas cuadradas de 121m2 cada una. En cada esquina de las parcelas se ha colocado un poste, si se han necesitado 130 postes, calcular la diferencia entre el largo y el ancho del terreno rectangular.

A) 33m B) 22rn C) 44m D) 21m E) 32m

13. Barbara es una niña muy golosa tal que debe consumir un pastel cada 9 horas, y una gaseosa cada 5 horas necesariamente para poder sobrevivir, si hoy domingo 27 de diciembre de 1987 ha consumido a la vez un pastel y una gaseosa exactamente a las 08h.¿Cuál es la fecha más próxima en la que Ana María volverá a consumir un pastel y una gaseosa a la vez también domingo y a la misma hora?

A) 14 de Febrero de 1988B) 30 de Marzo de 1988C) 6 de Abril de 1988 D) 11 de Abril de 1988 E) 12 de Mayo de 1988

ANÁLISIS COMBINATORIOPrincipio MultiplicativoSi el suceso “A” se puede realizar de “m” maneras.El suceso “B” se puede realizar de “n” manerasEntoncesEl suceso A y B se puede realizar en forma conjunta de:m.n maneras

Nota: Este principio se puede generalizar para más de 2 sucesos

Ejemplo 1:¿Cuántos números se pueden obtener, si “a” es cifra par y 2b” es cifra impar.

Solución

2

13579

21; 23; 25; 27; 29

4

13579

41; 43; 45; 47; 49

6

13579

61; 63; 65; 67; 69

8

13579

81; 83; 85; 87; 89

¡En Total! 20 números

Forma Prácticaa

2468

b

13579

4 . 5 = 20 números

En palabras

El suceso “a” se puede realizar de 4 manerasEl suceso “b” se puede realizar de 5 maneras.Cada suceso a y b en forma conjunta es un número.El cual se puede realizar de:4.5 = 20 manerasque equivale a obtener:20 números

Ejemplo 2:De una ciudad A a otra B hay 4 caminos diferentes y de B a C hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de A a C, pasando por B?

Solución

A B C(6)(5)

(7)(3)

(2)

(4)

(1)

Rutas(1)(5); (1)(6); (1)(7); (2)(5); (2)(6); (2)(7); (3)(5); (3)(6); (3)(7); (4)(5); (4)(6); (4)(7).En total: 4.3 = 12 maneras

Principio Aditivo

El suceso A se puede realizar de m maneras.El suceso B se puede realizar de n maneras entonces:El suceso A o el suceso B, en el sentido EXCLUYENTE, se puede realizar de:

m + n maneras

Ejemplo:Lima – Huancayo se puede viajar en tren o en ómnibus; si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus. ¿Cuántas maneras tenemos para viajar Lima – Huancayo?Solución

Tren 1Tren 2

Tren 3Ómnibus 1

Ómnibus 2Ómnibus 3

Ómnibus 4

Lima Huancayo

¡Hay 7 maneras!Obsérvese: que cada ruta excluye a la otraCombinaciónSe llama combinación a cada grupo que puede formarse con varios elementos, tomados de uno en uno; de dos en dos; de tres en tres, etc. tal que en cada grupo EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS D NO INTERESA.

Esto es:

Si dos grupos tienen los mismos elementos pero en orden diferente, se trata de la misma combinación

Número de CombinacionesEl número de combinaciones de “m” elementos tomados de “n” en “n” está dado por:

)!nm(!n

!mCm

n

m! = 1.2.3....m0! = 1además: 0 < n £ m

Ejemplo 1Se dispone de 5 personas para formar un comité de 3 personas. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité?

Solución Observe que: el orden de las tres personas no interesa, puesto que cualquiera que sea el orden de las tres personas, se trataría del mismo comité.¡Pues bien, estamos ante un caso de combinación!

10!2!3

!5C5

3

10 maneras de formar el comité

Ejemplo 2En una caja hay 5 bolas numeradas ¿De cuántas maneras se puede extraer por lo menos 2 bolas?

SoluciónPor lo menos 2 significa:2 ó 3 ó 4 ó 5 y observe que son sucesos excluyentes. Luego tenemos:

26CCCC 55

54

53

52

Ejemplo 3En una caja hay 6 bolas numeradas ¿De cuántas maneras se puede extraer a lo más 4 bolas?SoluciónA ,o más 4 bolas significa:1 ó 2ó 3 ó 4 y observe que son sucesos excluyentes:

56CCCC 64

63

62

61

Propiedades

1. m

nmmn CC

Ejemplo:

102

108 CC

Veamos: !2!8

!10C10

8

!8!2

!10C10

2

Luego:

102

108 CC

2. mn

1m1n

1mn CCC

Ejemplo:85

74

75 CCC

Veamos:

21!2!5

!7C7

5

35!3!4

!7C7

4

56!3!5

!8C8

5

de donde:85

74

75 CCC

VariaciónSe llama variación a cada grupo que puede formarse con varios elementos, tomados de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, etc. tal que en cada grupo hay que tener en cuenta el orden de sus elementos.Número de VariacionesEl número de variaciones de “m” elementos tomando “n” en “n” está dado por:

)!nm(

!mVm

n

EjemploHay 5 personas y sólo una banca con capacidad para 3 personas. ¿De cuántas maneras pueden sentarse?

SoluciónObsérvese el detalle siguiente:

A B C B A C

Son las mismas personas pero 2 maneras diferentes de sentarse; es decir hay que tener en cuenta el orden de los elementos. Luego, estamos ante un caso de VARIACIÓN.

maneras60!2

!5V5

3

PermutaciónSe llama permutación a cada variación en la cual intervienen todos los elementos disponibles.

!nPnnnV

Ejemplo:¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en 5 asientos uno a continuación del otro?

Solución120!5P5

Permutaciones con RepeticiónSe dispone de “m” elementos, tales que:

mm...mm k21 m1: de elementos idénticos entre si, pero diferentes a los otros.

Similarmente para: k2 m;...;mEl número de permutaciones de los “m” elementos está dado por:Ejemplo:

!m...!m!m

!mPm

k21

Ejemplo:¿Cuántas palabras de 7 letras se pueden formar con las letras de las palabras MANAMAN?

SoluciónA: se repite 3 vecesM: Se repite 2 vecesN: Se repite 2 veces

7 letras a total

30!2!2!3

!7P7

Permutaciones CircularesEl número de permutaciones de “n” elementos, dispuestos circularmente, está dado por:

)!1n(Pn

Ejemplo

¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 personas, alrededor de una mesa circular?

Soluciónmaneras6!3P4

Permutaciones con Lugares FijosSe dispone de m elementos, de los cuales n elementos deben ocupar lugares fijos, entonces el número de permutaciones de los m elementos está dado por:

)!nm(Pm

Ejemplo:

Hallar el número de permutaciones con las letras de la palabra ISLA, si la primera letra debe ser “I”.

Solución

(4 – 1)! = 6 permutaciones

ANÁLISIS COMBINATORIOANÁLISIS COMBINATORIO

1. Entre Lima y Huancayo hay 5 líneas diferentes de automóviles y entre Huancayo y Ayacucho hay 3 líneas de automóviles, ¿De cuántas maneras puedo una persona ir de Lima a Ayacucho pasando por Huancayo y regresar en líneas diferentes?

A) 60 B) 90 C) 100 D) 120 E) 150

2. En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

A) 15 B) 25 C) 35 D) 40 E) 55

3. 10 corredores. ¿De cuántas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos?

A) 560 B) 640 C) 700 D) 720 E) 840

4. Un grupo esta conformado por 7 personas y desean formar una comisión integrada por un

presidente y un secretario. ¿De cuantas maneras puede formarse dicha comisión?

A) 14 B) 21 C) 42 D) 30 E) 56

5. Se tiene 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojas y 4 negras. ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila?

A) 1050 B) 1150 C) 1260 D) 1320 E) 1480

6. Se tiene lápices de 7 colores. ¿De cuántas maneras se pueden formar grupos de 3 ó 2 elementos con dichos lápices?

A) 35 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72

7. En un campeonato de fútbol: 12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos más. ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse?

A) 15 B) 25 C) 30 D) 39 E) 42

8. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 7 mujeres y 7 hombres. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres?

A) 12! B) 13! C) 14! D) 13! – 12! E) 6! X 6!9. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros diferentes sobre una estantería de manera que tres de ellos siempre deben de estar juntos

A) 3! . 9! B) 3! . 10! C) 3! .12!d) 3! . 11! E) 3!. 7!

10. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3 respectivamente es tirada 5 veces. ¿Determinar de cuántas maneras se obtendrá corno suma 12?

A) 120 B) 60 E) 30 D) 15 E) 10

11. De un grupo de 6 peruanos, 7 chilenos y 6 argentinos se quieren seleccionar un comité de 10 personas de tal modo en el que se encuentren 3 peruanos; 4 chilenos y 3 argentinos. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha selección?A) 5000 B) 6000 E) 7000 D) 8000 E) 9000

12. Un equipo científico consta de 25 miembros de los cuales 4 son doctores; hallar el número de grupos de 3 miembros que se pueden formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un doctor.

A) 970 B) 980 C) 950 D) 940 E) 910

REGLA DE INTERÉS

Concepto:Es una parte de la Aritmética Comercial que nos enseña a determinar la ganancia o utilidad que se obtiene al realizar un préstamo, la inversión o la imposición de un capital a ciertas condiciones pre determinadas.

INTERÉS

Es la ganancia o beneficio que nos produce un capital al ser prestado a ciertas condiciones de tiempo y tasa pre establecidas.

ELEMENTOS

1. Capital (C) : El capital que haremos referencia, se conocerá a todo aquello que nos produce ganancia, comúnmente capitales monetarios.

2. Tiempo (t) : Conoceremos como tiempo, al intervalo durante el cual está prestado el capital. Puede estar expresado en días, meses, años, bimestres, trimestres, semestres, etc.

3. Tasa de Interés (R %) : Es un indicador en tanto por ciento que nos indica la cantidad de unidades que se desea ganar por cada 100 unidades de capital en un período de tiempo determinado.IMPORTANTE: Cuando no se menciona las unidades de tiempo

en la cuál se aplica la tasa, debemos asumir que son anuales.

Se conoce también a la tasa de interés anual con el nombre de Rédito y si esta expresado en tanto por 1 se le conoce con el nombre de Ratio.

CLASES DE INTERÉS

A. Interés SimpleConoceremos como interés simple al interés generado por un capital constante durante el periodo de préstamo (Los intereses generados por períodos de tiempo no se acumulan al capital).

Fórmula General:

Condiciones:t y R% están expresados en las mismas unidades temporales

Ejemplo:t R%

años

anual

meses Mensualdías Diariobimestres Bimestraltrimestres Trimestralsemestres semestral. .. .. .

Cuando la tasa es anual (R% anual)

“t” en años

“t” en meses

“t” en días

Tasas Equivalentes3% mensual <> 36% anual2% mensual <> 12% semestral24% anual <> 8% cuatrimestral9% semestral <> 6% cuatrimestral12% bianual <> 6% anual18% semestral <> 9% anual16% anual <> 4% trimestral

Consideraciones de tiempo

77

MontoSe conocerá así, a la suma del capital más el interés producido en un determinado tiempo.

B. Interés CompuestoUn préstamo es impuesto a interés compuesto cuando los intereses que produce dicho capital, tan pronto como sean producidos formándose un nuevo capital. Entonces se dice que los interese se capitalizan.

t y R% en las mismas unidades temporalesEjemplo: Calcular el interés compuesto que genera S/. 10000 al 20% anual capitalizable anualmente durante 4 años.

Solución:

Tiempo de capitalización: 1 año

Interés = Cfinal – Cinicial

Interés = 20736 – 10000 = 10736Utilizando:

I = 20736 – 10000 = 10736

EJERCICIOS APLICATIVOS

1. ¿Qué monto nos genera un capital de S/. 4000 prestado al 3% bimestral durante 5 semestres?

Resolución:

C = S/. 4000R = 3% bimestralt = 5 semestres3% bimestral <> 9% semestral

t y R en las mismas unidades

Monto = M = 4000 + 1800 = 5800

2. ¿Durante cuánto tiempo hay que depositar un capital al 1% mensual para que se cuadruplique?

Resolución:

C; t = ¿?;R = 1% mensual = 12% anual

Monto = M = 4C 4C = C + I I = 3C

Reemplazando:

t = 25

25 años Rpta.

3. La Sra. Pitita depositó S/. 3000 en un banco al 2% mensual luego de 4 meses depositó S/. 2000 más y 3 meses después retiró su capital e intereses. ¿Cuánto de dinero retiró?

Resolución:

C = S/. 3000; R = 2% mensual

t: meses; R% mensual

Monto = M = M1 + M2

M = C1 + I1 + C2 + I2

M = 5000 + 420 + 120 = S/. 5540

4. ¿Cuántos meses se debe depositar al régimen de interés simple un capital al 2,5% mensual para que los intereses obtenidos sean iguales a 2 veces al capital?

Resolución:

Dato:

t: meses; R% mensual

Reemplazando:

t = 80 Rpta.5. ¿Cuál es el capital que prestado al 10% bimestral durante 6 meses y 10 días produce un interés de S/. 1140?

Resolución:

C=?? R= 10% bimestral=60% anual; t = 6 meses, 10 días = 190 días

t: meses; R% mensual

Reemplazando:

C = S/. 3600 Rpta.

6. ¿A qué porcentaje debe ser colocado un capital para que en 3 años 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 de la mitad del monto?

Resolución:

; R% anual = ¿?

79

Dato:

Sabemos:

Reemplazando:

5I = C +I C = 4I

Utilizando:

t: meses; R% anual

Reemplazando:

R = 7,5 anual

7. Los 2/7 de un capital se imponen al 20% y el resto al 40% si luego de 9 meses el monto es S/. 7040. ¿Cuál es el capital?

Resolución:

R1 = 20% R2 = 40%

Monto = M = C + I = 7040

C + I1 +I2 = 7040

C = S/. 5600 Rpta

8. Un capital se impuso a interés simple al 3% durante 5 años, 2 meses y 20 días y otro capital que esta con el anterior en la relación 3/4, se impuso al 4% durante el mismo tiempo. Los capitales con sus intereses han dado una suma de S/. 74280. Determinar la suma de los capitales impuestos.

Resolución:

Dato:

* M1 + M2 = 74280

C1 + C2 + I1 + I2 = 74280

k = 9000

C1 + C2 = 7k = 63000 Rpta.

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