Difraccin de Bragg

Mara Jos Gonzlez Vzquez

1

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Laboratorio de fsica contempornea I

23 de febrero de 2015

1Taller de ptica Lser, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Avenida Universidad

No. 3000, Colonia Universidad Nacional Autnoma de Mxico, C.U., Delegacin Coyoacn, C.P. 04510, Mxico,

D.F.

Resumen

En el siguiente trabajo se presentan los resultados de un experimento diseado para estudiar la

difraccin de rayos x, haciendo, posteriormente, un anlisis mediante la frmula de Bragg, la cual

relaciona parmetros como la distancia interplanar d y el parmetro de red a, que son especcos para

cada cristal. En ste caso, se utilizaron cristales de cloruro de sodio (NaCl), cloruro de potasio (KCl) y

bromuro de potasio (KBr), que tienen la misma estructura fundamental: cbica centrada en una de las

cara, por lo que el proceso de asignacin de ndices de Miller se facilita. Tras el anlisis de los espectros

de difraccin y los clculos propuestos, derivados de la frmula de Bragg, se obtuvieron valores para el

parmetro de red del cristal de NaCl: 5.4711 0.1585, que diere en un 17.06% del resultado terico.Para el cristal de KCl, tenemos un valor promedio de a: 6.1379 0.1850, que diere en un 2.44% delvalor terico. Y, por ltimo, se tiene que para el cristal de KBr, a tiene un valor promedio: 7.2063

0.6753. La diferencia entre ste y la teora es del 9.24%.

1. Introduccin

1.1. Estructuras cristalinas

A partir de una repeticin innita de estructuras

unitarias e idnticas en el espacio, podemos construir

un cristal ideal. En los ms simples, la unidad estruc-

tural consiste de un slo tomo, aunque sta, puede

formarse mediante el arreglo de ms de un tomo. Los

cristales pueden describirse en trminos de una red,

la cual estar conformada por un grupo de tomos

atados en cada punto de la misma. Dicho grupo de

tomos se repetir, formando una base, la cual dene,

ocupando el espacio, la estructura del cristal. As, la

red es un arreglo peridico de puntos en el espacio.[1]

Dada una red cristalina, se puede trazar una innidad

de planos imaginarios que contendrn a ciertos pun-

tos especcos de dicha red. Cada plano se caracter-

iza por tres nmeros enteros, denominados ndices

de Miller (hkl). Denimos el parmetro de red co-

mo la distancia entre celdas unitarias en la estruc-

tura cristalina. En tres dimensiones, stas cuentan

con tres parmetros de red. Pero, para el caso de una

red cbica, los tres parmetros son iguales. As, con-

siderando que en ste trabajo se utilizaron cristales

compuestos por redes cbicas, podemos asociar di-

cho parmetro con los ndices de Miller mediante la

siguiente ecuacin:[1]

dhkl =a

h2 + k2 + l2(1)

Donde d es la distancia interplanar, a el parmetro

de red y hkl los ndices de Miller asociados a dicha

distancia entre la familia de planos con tales ndices.

Tras el descubrimiento de M. Laue sobre la natu-

raleza electromagntica de los rayos X, los cient-

cos W.H y W.L Bragg, e independientemente Yu. V.

Wul, ofrecieron una interpretacin sencilla a la in-

terferencia de los rayos X producida sobre cristales,

explicando dicho fenmeno mediante la reexin de

los mismos en los planos atmicos. As, hicieron la

suposicin dedujeron una frmula que dene la posi-

cin de los mximos de interferencia.[1]

Supongamos que sobre un cristal, el cual nos imagi-

namos que estar formado por una familia de planos

atmicos paralelos espaciados a igual distancia d en-

tre ellos, incide a un ngulo un haz paralelo de rayosX de longitud de onda . Los rayos paralelos I y II,reejados en los planos a un ngulo , intereren,ya sea constructiva o destructivamente, dependien-

do de la diferencia de camino ptico. Si la diferencia

= (AB + BC) AD es igual a un nmero enteron de longitudes de onda , se tendr un mximo deinterferencia. Podemos escribir esto de la siguiente

1

manera:

= n = 2dsen() (2)

Figura 1: Esquema para deducir la frmula Wul-

Bragg

1.2. Ley de Bragg

Para el estudio experimental de estructuras cristali-

nas, se puede hacer interaccionar el cristal con algn

tipo de partculas cuya longitud de onda asociada

tenga el mismo orden de magnitud de los vectores

base que componen la estructura. Ante condiciones

adecuadas, obtendremos patrones de difraccin. En

el tratamiento ms simple, se considerar una sola

familia de planos cristalogrcos y se estudiar la

interaccin de la radiacin incidente con dos planos

adyacentes. As, dos rayos que inciden sobre stos,

en un ngulo , separados por una distancia inter-planar d, recorren distancias diferentes para llegar al

detector. La diferencia de camino ptico ser entonces

2dsen(). Para obtener interferencia constructiva, s-ta debe ser un mltiplo entero de la longitud de onda:

[1]

2dhklsen() = n (3)

A sta relacin se le conoce como ley de Bragg.

Del espectro de difraccin que se obtiene, puede cono-

cerse el ngulo en el cual hay mximos de intensidad.

Conociendo adems la longitud de onda del haz inci-

dente, se puede determinar la distancia interplanar.

La solucin correspondiente a n = 1 dar la reexinde primer orden, mientras que la correspondiente a

n = 2, la reexin a segundo orden. Despejando dela ecuacin (3), se obtiene:

dhkl =n

2sen()(4)

A partir de sta ecuacin, tomando n = 1, se ob-tiene el parmetro de red despejando de ()

a =

2sen()

h2 + k2 + l2 (5)

A continuacin, se muestra una tabla con los val-

ores tericos del parmetro de red a, para tres cristales

en particular: cloruro de sodio (NaCl), bromuro de

potasio (KBr) y cloruro de potasio (KCL).

Cristal a [ang]

NaCl 5.62

KCl 6.2917

KBr 6.6005

Cuadro 1: Parmetros de red para tres cristales

2. Descripcin experimental

2.1. Material utilizado

Kit de rayos X: incluye el detector Geiger (mod-

elo), rejillas colimadores de 3 mm y 1 mm, coli-

madores primarios de rendijas verticales, pinzas

para los cristales y destornillador para la base

que sujeta el cristal.

Cristales limpios de NaCl, KBr y KCl

Equipo generador de rayos X con escala angular

y brazo mvil para montar el detector Geiger

TEL 580.

Computadora conectada al equipo generador de

rayos X

Amplicador de voltaje (modelo Ortec 575A)

Fuente de alto voltaje (Ortec 456)

Cables BNC y de alto voltaje para conectar los

equipos.

Osciloscopio (Hewlett Packard 54602B)

2.2. Procedimiento

El manual para sta prctica, proporcionado por

el laboratorio, propone dos formas diferentes de tomar

los datos: una automatizada y la otra manual. Por fal-

ta de tiempo, se presentan nicamente los resultados

obtenidos de la forma automatizada.

Para operar el equipo de rayos X TEL 580, debe ob-

servarse que ste solamente funciona cuando la perilla

del reloj se rota hasta un cierto tiempo. Una vez he-

cho esto, se oprime el switch POWER ON, que se

encuentra en el extremo derecho del panel de control.

La lmpara blanca se iluminar. Una vez encendido

el lamento, pueden colocarse los accesorios necesar-

ios para el experimento.

Primero, se monta alguno de los cristales en el porta

2

cristales. Se coloca el colimador primario de rendi-

ja vertical de 1 mm de ancho a la salida del tubo

de rayos X. Sobre el brazo deslizable, se colocan los

colimadores de placa, con el de 3 mm al frente, y lo

ms cerca posible, la punta del detector. La gura 3

corresponde al montaje experimental, mientras que

la gura 2 es una fotografa del equipo de rayos X.

Figura 2: Generador de rayos x TEL 580

Figura 3: Dispositivo experimental

Es importante notar que entre el disco graduado,

sobre el cual se encuentra el cristal, y la escala sobre

la que se desliza el brazo giratorio, debe haber una

relacin 2 a 1. Es decir, si el disco graduado marca

10 grados, el brazo giratorio debe encontrarse sobre

20 grados.

Debido a fallas del equipo, slo puede llevarse a cabo

el experimento con el selector de alto voltaje en 30

Kv.

Una vez que se han montado el detector y el cristal,

se cierra la cubierta, dejndola en el centro de los dos

oricios por los cuales puede entrar. Si la cubierta

est bien cerrada, se oprime el botn X-ray On, con

lo cual se encender la lmpara roja. Esto indica que

hay emisin de rayos X. En caso contrario, hay que

acomodar la tapa. Debe tenerse cuidado de que el ca-

ble del detector no se enrede, y que el motor a pasos

pueda deslizarse con toda facilidad a lo largo de la

plataforma.

Posteriormente, se enciende la computadora y se corre

el programa para los rayos x, introduciendo el coman-

do rx y dando enter. Hay que indicarle al programa

que se va a gracar, y en qu escala. Es importante

recordar el nombre de los archivos para despus sacar-

los de la computadora.

Cuando el programa inicia, el motor comienza a mo-

verse desde una posicin mnima (es importante ver

en qu ngulo), en intervalos de un grado, aproxi-

madamente. Cuando llega a su posicin mxima (124

grados), hay que detenerlo presionando el botn de

reset, que se encuentra en la tapa del TEL 580.

Los datos a gracar corresponden a la intensidad en

nmero de cuentas por unidad de tiempo contra gra-

dos (2). Se deben localizar los picos y calcular ladistancia d interplanar, y el parmetro de red a. Se

recomienda tomar 5 espectros para cada cristal.

3. Datos experimentales

A continuacin se presentan dos grcas corre-

spondientes a cada cristal. Se decidi reportar nica-

mente dos, debido a que no hay gran diferencia en la

posicin de los picos entre los cinco espectros, adems

de que algunos contienen ms ruido que la seal que

nos interesa. As mismo, se presentan las tablas que

contienen los datos de cada pico. Para encontrarlos,

se utiliz el software de Origin. Se consider un pico

como el punto con mayor intensidad.

En el apndice A se adjunta el primer procedimien-

to propuesto para calcular la distancia interplanar d,

encontrar los ndices de Miller, y hallar el parmetro

de red a.

La longitud de onda de los rayos X emitidos, en este

caso, es = 1.5406 angstroms.

3

(a) Espectro 1

(b) Espectro 2

Figura 4: Espectros de difraccin de rayos x para

cristal de NaCl

Espectro 1 Espectro 2

2 1.58E 02[] 2 1.58E 02[]25.15 25.04

53.87 53.82

87.15 87.85

Cuadro 2: ngulo correspondiente a cada pico del

espectro

Espectro 3 Espectro 4

2 1.58E 02[] 2 1.58E 02[]26.65 26.28

50.22 50.6

57.25 56.88

100.47 103.8

Cuadro 3: ngulo correspondiente a cada pico del

espectro

(a) Espectro 3

(b) Espectro 4

Figura 5: Espectros de difraccin de rayos x para

cristal de KCl

Espectro 5 Espectro 6

2 1.58E 02[] 2 1.58E 02[]27.19 27.19

30.36 30.36

57.68 57.68

64.66 64.66

94.19 94.19

108.2 108.2

Cuadro 4: ngulo correspondiente a cada pico del

espectro

En las siguientes tablas se despliegan los valores

obtenidos para los ndices de Miller h, k, l, la distan-

cia interplanar d y el parmetro de red a, nicamente

para uno de los espectros de cada cristal. Cabe men-

cionar que dichos valores se obtuvieron mediante las

ecuaciones (4) y (5), utilizando los ndices de Miller

del ngulo cuyo valor se acercara ms, de los cor-

respondientes a las tablas que se encuentran en las

referencias [4], [5] y [3].

Ntese que entre el brazo giratorio del TEL 580 y la

escala en la cual la computadora comienza a gracar,

existe una diferencia de 3 grados. Esto fue consider-

ado para situar los picos y obtener los resultados de

las tablas.

4

(a) Espectro 5

(b) Espectro 6

Figura 6: Espectros de difraccin de rayos x para

cristal de KBr

[] 1.58E 02 d [ang] 1.089814.02 3.1796

28.41 1.6190

45.42 1.0813

h k l a [ang] 0.15851 1 1 5.5072

2 2 2 5.6084

4 2 2 5.3076

Cuadro 5: Parmetros de celda cristalina para el es-

pectro 2

[] 1.58E 02 d [ang] 0.764314.64 3.0477

26.8 1.7084

29.94 1.5434

53.4 0.9594

h k l a [ang] 0.18502 0 0 6.0954

2 2 2 5.1982

4 0 0 6.1736

6 2 2 6.3645

Cuadro 6: Parmetros de celda cristalina para el es-

pectro 4

[] 1.58E 02 d [ang] 0.868015.09 2.9579

16.68 2.6837

30.34 1.5250

33.83 1.3836

48.59 1.0270

55.6 0.9336

h k l a [ang] 0.67532 2 0 8.3662

2 2 0 7.5907

3 3 1 6.6471

4 2 2 6.7782

5 3 3 7.1889

7 1 1 6.6670

Cuadro 7: Parmetros de celda cristalina para el es-

pectro 5

4. Discusin de resultados

Con los datos correspondientes al cuadro 5, obten-

emos un valor promedio de a, el parmetro de red,

del cristal de NaCl: 5.4711 0.1585, que diere en un17.06% del resultado terico.Con los datos del cuadro 6, para el cristal de KCl,

tenemos un valor promedio de a: 6.1379 0.1850, quediere en un 2.44% del valor terico.Por ltimo, con los resultados del cuadro 7, tendremos

que para el cristal de KBr, a tiene un valor promedio:

7.2063 0.6753. La diferencia entre ste y la teora esdel 9.24%.Los errores en los resultados pueden asociarse a parmet-

ros tanto experimentales como de anlisis de los mis-

mos. Simplemente observando los espectros obtenidos,

puede notarse que el dispositivo utilizado (TEL 580)

no siempre estaba en las condiciones ptimas, es de-

cir, la relacin entre los ngulos 2 a 1, explicada en

la seccin de procedimiento, no se cumpla en todas

las corridas para obtener los datos. Por otra parte,

es posible que no se haya escogido los picos ade-

5

cuados. Esto podra solucionarse escogiendo algunos

otros puntos, ms o menos cercanos al mximo que

habamos elegido previamente.

Al llevar a cabo el anlisis, no consideramos que los

datos sean sucientes para obtener los ndices de Miller.

Aunque se propone el mtodo matemtico del apndice

A, por falta de resultados satisfactorios, se opt por

una combinacin entre ste mtodo, y asociar los ndices

segn la distancia interplanar y la ubicacin del n-

gulo. Las referencias de donde se obtuvieron dichos

valores se encuentran en la bibliografa.

Se sugiere vigilar en todo momento la posicin del

brazo deslizable con respecto a la base sobre la cual

se encuentra el cristal, e intentar algn otro mtodo,

quizs analtico, para asignar los ndices y encontrar

las distancias interplanares.

Por otra parte, tampoco se consider en el anlisis

un orden de difraccin mayor a n = 1, esto es bajola suposicin de que las difracciones de primer orden

sern las predominantes en ste experimento, lo cual

tambin puede contribuir a la discrepancia en los re-

sultados experimentales con los tericos.

5. Conclusiones

Se estudi experimentalmente la difraccin de rayos

x, haciendo un anlisis posterior basado en la frmula

de Bragg, que relaciona parmetros como la distan-

cia interplanar d y el parmetro de red a, que son

especcos para cada cristal.Tras dicho anlisis, con

ayuda de los espectros de difraccin experimentales, y

los clculos propuestos, se obtuvieron valores para el

parmetro de red del cristal de NaCl: 5.4711 0.1585,que diere en un 17.06% del resultado terico. Parael cristal de KCl, se obtuvo un valor promedio de a:

6.1379 0.1850, que diere en un 2.44% del valorterico. Y, por ltimo, se tiene que para el cristal de

KBr, a tiene un valor promedio: 7.2063 0.6753. Ladiferencia entre ste y la teora es del 9.24%.

Referencias

[1] Kittel, Charles. Introduction to solid state

physics, 8a ed, John Wiley and Sons, EUA, 2005.

[2] Ashcroft, Neil W. and Mermin, David N. Sol-

id state physics, Saunders College Publishing,

1976.

[3] McMurdie, H., Morris, M., Evans, E., Paretzkin,

B., Wong-Ng, W., Hubbard, C., Powder Dirac-

tion 1, 95(1986)

[4] Welton J., McCarthyG., North Dakota State

Univ., Farho, ND, USA, ICDD Grant-in-Aid

(1989)

[5] Accuracy of an automatic diractometer, mea-

surement of the sodium chloride structure fac-

tors, calculated from ICSD using POWD-12++18, 926 (1997)

6. Apndice A: Mtodo matemti-

co propuesto para encontrar

los ndices de Miller

De la ley de Bragg, podemos encontrar la ubi-

cacin de un pico con ndices hkl. El ngulo hkl estrelacionado con la distancia interplanar d de la sigu-

iente forma:

= 2dhklsen(hkl) (6)

Despejando d :

1

d2=

4sen2()

2(7)

Para una estructura cbica, los valores de d pueden

calcularse mediante los ndices de Miller:

1

d2=h2 + k2 + l2

a2(8)

Combinando stas dos ltimas expresiones, ten-

dremos que:

sen2() =2

4a2(h2 + k2 + l2) (9)

Donde y a son constantes, por lo que 2/4a2 esconstante. As, sen2() es proporcional h2 + k2 + l2.Es decir, planos con ndices de Miller ms altos, cor-

responden a la difraccin de ngulos ms grandes .Para un cristal cuya estructura es cbica centrada en

una de las caras (como es el caso de los tres cristales

utilizados en ste experimento), los valores para h, k

y l son todos pares o todos impares.

El mtodo matemtico que se propone para calcular

los ndices de Miller correspondientes a los datos ex-

perimentales, es el siguiente.

1. Se identican todos los picos

2. Se determina sen2()

3. Se calcula la fraccin

sen2()sen2(min)y se multiplica

por los enteros apropiados.

4. Se selecciona el resultado de (3) que arroje h2+k2 + l2 como un entero.

6

5. Se compara el resultado con los valores apropia-

dos de h2+k2+l2 para identicar la red cristali-na correspondiente.

6. Se calculan los parmetros de red deseados.

Los resultados arrojados por ste procedimiento

se anexan en la siguientes tablas, nicamente para

los espectros, dnde slo se coloca la columna cor-

respondiente a los nmeros enteros elegidos del paso

(4), debido a la falta de espacio.

2 [] sen2() 1x sen2()

sen2() h2 + k2 + l2 h k l

25.15 0.0591 1 - -

53.87 0.2267 3.8336 4 2 0 0

87.15 0.5013 8.4763 8 2 2 0

Cuadro 8: Asignacin de ndices de Miller para espec-

tro (2)

En ste primer ejemplo, ntese que para los datos

del primer rengln obtendramos los ndices 1 0 0,

los cuales no corresponden a la estructura del cristal

de NaCl. As mismo, al multiplicar por los enteros

siguientes (2, 3 4, etc), se obtienen por lo menos un

valor que no concuerda con los valores tericos de

h2 + k2 + l2 de dicho cristal.

2 [] sen2() 2x sen2()

sen2() h2 + k2 + l2 h k l

26.65 0.0531 2 2 2 0 0

50.22 0.1800 6.7802 7 -

57.25 0.2295 8.6415 8 2 2 0

100.47 0.5900 22.2469 22 -

Cuadro 9: Asignacin de ndices de Miller para espec-

tro (2)

7