rapport - nve · 2020. 10. 19. · rapport nr. 10/2020 lokal og regional flomfrekvensanalyse utgitt...

RAPPORTNr. 10/2020

Lokal og regional flomfrekvensanalyse

Kolbjørn Engeland, Per Glad, Byman Hikanyona Hamududu, Hong Li, Trond Reitan og Seija Maria Stenius

Rapport nr. 10/2020

Lokal og regional flomfrekvensanalyse

Utgitt av: Norges vassdrags- og energidirektorat

Forfatter: Kolbjørn Engeland, Per Glad, Byman Hikanyona Hamududu, Hong Li, Trond Reitan, Seija Maria Stenius

Forsidefoto: Aldo Dyrvik, NVE

ISBN: 978-82-410-2014-8

ISSN: 1501-2832

Trykk: NVEs hustrykkeri

Opplag: 40

Sammendrag: Robuste og pålitelige beregninger av dimensjonerende flom er grunnlaget for å sikre samfunnet mot flomskader. Målene med denne rapporten er å anbefale metoder for å beregne dimensjonerende flom basert på lokale flomdata samt å utvikle ligninger for å beregne medianflom, vekstkurve og forholdstallet mellom kulminasjonsflom og døgnmiddelflom i umålte felt, evaluere de prediktive egenskapene, samt å sammenligne med eksisterende metoder. Det er tatt i bruk Bayesianske metoder som gjør det mulig å kvantifisere usikkerhet i flomberegninger. Resultatene oppsummeres i anbefalinger av hvordan dimensjonerende flom bør beregnes avhengig av tilgjengelige data.

Emneord: Lokal flomfrekvensanalyse; Regional flomfrekvensanalyse, Historiske flomdata, Bayesiansk estimering

Norges vassdrags- og energidirektorat

Middelthunsgate 29

Postboks 5091 Majorstuen

0301 Oslo

Telefon: 22 95 95 95

E-post: [email protected]

Internett: www.nve.no

mars, 2020

mailto:[email protected]://www.nve.no/

Innhold Forord ................................................................................................... 5

Sammendrag ........................................................................................ 6

1 Innledning ...................................................................................... 9

2 Data .............................................................................................. 12

2.1 Flomdata ...................................................................................... 12

2.1.1 Flomdata fra vannføringsstasjoner ...................................... 12

2.1.2 Flomdata fra vannkraftmagasin ........................................... 14

2.1.3 Historisk flom-informasjon ................................................... 15

2.2 Feltegenskaper ............................................................................ 17

2.2.1 Fysiografiske egenskaper ................................................... 17

2.2.2 Klimatiske egenskaper ........................................................ 18

3 Statistiske fordelinger for flomdata ........................................... 21

4 Lokal flomfrekvensanalyse ........................................................ 22

4.1 Metoder ....................................................................................... 22

4.1.1 Estimeringsmetoder ............................................................ 22

Á priori informasjon på modellparametre ...................................... 23

4.1.2 Valg av fordeling og estimeringsmetode .............................. 23

4.1.3 Bruk av historiske data ........................................................ 25

4.1.4 Estimering av dimensjonerende kulminasjonsflom .............. 27

4.1.5 Valg av plotteposisjon ......................................................... 28

4.2 Resultater og diskusjon ................................................................ 29

4.2.1 Valg av fordeling og estimeringsmetode .............................. 29

4.2.2 Bruk av historiske data ........................................................ 32

4.2.3 Estimering av dimensjonerende kulminasjonsflom .............. 35

4.2.4 Valg av plotteposisjon ......................................................... 36

4.3 Konklusjoner og anbefalinger for lokal flomfrekvensanalyse ........ 36

5 Regional flomfrekvensanalyse .................................................. 37

5.1 Eksisterende retningslinjer ........................................................... 37

5.2 Regresjonsanalyser ..................................................................... 40

5.2.1 Estimering og evaluering av modeller .................................. 40

5.2.2 Skrittvis klassisk lineær-regresjon ........................................41

5.2.3 Bayesiansk regresjon ...........................................................42

5.2.4 Logistisk regresjon ...............................................................42

5.3 Regional flomfrekvensanalyse ......................................................42

5.3.1 Indeksflom ...........................................................................43

5.3.2 Regionale flomfrekvenskurver ..............................................43

5.3.3 Kombinering av lokale data og regional informasjon ............45

5.3.3.1 Regionale á priori-fordelinger basert på regional modell .45

5.3.3.2 Kombinert lokal-regional modell ......................................46

5.3.3.3 Evaluering av beste praksis for å kombinere lokal og regional

informasjon ...................................................................................47

5.3.4 Forholdet mellom kulminasjons- og døgnmiddelflom. ...........48

5.3.5 Samlet analyse ....................................................................49

5.4 Resultater .....................................................................................50

5.4.1 Indeksflom ...........................................................................50

5.4.2 Regionale flomfrekvenskurver ..............................................51

5.4.3 Usikkerhet i flomberegninger i umålte felt .............................51

5.4.4 Kombinering av lokale data og regional informasjon ............52

5.4.4.1 Á priori-fordeling for lokal analyse basert på regional modell

52

5.4.4.2 Kombinert lokal-regional modell ......................................52

5.4.4.3 Evaluering av beste praksis for å kombinere lokal og regional

informasjon ...................................................................................53

5.4.5 Forholdet mellom kulminasjons- og døgnmiddelflom ............55

5.4.5.1 Innledende analyser .......................................................55

5.4.6 Samlet analyse ....................................................................59

5.5 Sammenligning med eksisterende metoder ..................................59

5.5.1 Døgnmiddelflom ...................................................................59

5.5.2 Kulminasjonsflom .................................................................61

5.5.3 Sammenligning med Z-felt ...................................................64

5.6 Diskusjon ......................................................................................71

5.7 Konklusjon og anbefalinger for regional flomfrekvensanalyse ...... 74

6 Anbefalinger for lokal og regional flomfrekvensanalyse ......... 77

7 Referanser ................................................................................... 79

8 Appendiks A ................................................................................ 84

Internett: www.nve.no

5

Forord I perioden 2014 – 2018 ble prosjektene «Flomkart for Norge» (internt NVE FoU prosjekt)

og FlomQ (Eksternt prosjekt finansiert av EnergiNorge og Norges forskningsråd)

gjennomført. Hovedmålet for prosjektene er å utvikle nye metoder for beregning av

dimensjonerende flom, utvide datagrunnlaget for flomberegninger samt implementere

resultatene i verktøy og veiledere.

Denne rapporten gir en oversikt over analyser som er utført og underliggende data som er

brukt for å etablere modeller for både lokal og regional flomfrekvensanalyse.

I denne rapporten tas nye typer flomdata i bruk: tilsigsflommer beregnet fra magasindata

og historiske flommer beregnet fra flommerker og flomsteiner slik at man har god

kontroll på vannhøyder og flomvolum. Det er også utviklet nye metoder for å kombinere

korte lokale dataserier med informasjon fra en regional modell. Rapporten kommer også

med konkrete anbefalinger for hvordan resultatene skal tas inn i en oppdatert veileder for

flomberegninger

Resultatene er eller vil bli implementert i NEVINA (regional analyse) og flomanalyse-

programmet i Start-systemet (lokal analyse) og vil danne grunnlag for ny veileder som

utarbeides i 2020.

Oslo, mars 2020

Hege Hisdal Stein Beldring

Avdelingsdirektør Seksjonssjef

6

Sammendrag Robuste og pålitelige beregninger av dimensjonerende flom er grunnlaget for å sikre

samfunnet mot flomskader. Målene med denne rapporten er å anbefale metoder for å

beregne dimensjonerende flom basert på lokale flomdata samt å utvikle ligninger for å

beregne medianflom, vekstkurve og forholdstallet mellom kulminasjonsflom og

døgnmiddelflom i umålte felt, evaluere de prediktive egenskapene, samt å sammenligne

med eksisterende metoder. Det er tatt i bruk metoder som gjør det mulig å kvantifisere

usikkerhet i flomberegninger. Vi brukte årlig maksimal flom fra 529 vannføringsstasjoner

fra den nasjonale hydrologiske databasen "Hydra II'' (Engeland m.fl. 2016). Variabler

som beskriver enten fysiografiske egenskaper eller klima for oppstrøms nedbørfelt ble

benyttet som kovariater i alle analysene. Klimavariablene ble hentet ut fra SeNorge

datasettet, mens de fysiografiske egenskapene ble hentet ut fra standard GIS-datasett for

Norge.

Basert på resultatene i rapporten, anbefales følgende tilnærming for flomfrekvensanalyse

Døgnmiddelflom:

• Har man ingen lokale data, bruk regresjonsligninger fra ny regional modell. Det

er etablert regresjonsligninger for median-flommen, samt skala- og

formparameterne i en GEV-fordeling basert på feltegenskaper. Dette kan f.eks.

gjøres i NEVINA. Med de nye regresjonsligningene er det en usikkerhet på */

1.72 i umålte felt (95% konfidensintervall) for estimatet av medianflom og går

opp til */ 1.78, 1.82 og 1.87 for hhv 50-, 200- og 1000-års-flom. Denne

usikkerheten er betydelig, men sammenligningen med resultater oppnådd i

tilsvarende studier er resultatene presentert i denne rapporten blant de beste som

er oppnådd.

• Har man færre enn 10 år med data, bruk forenklet lokal+regional modell der

skala- og formparameteren i GEV-fordelingen blir beregnet fra

regresjonsligninger og medianflommen beregnes som et vektet gjennomsnitt av

estimatene fra regresjonsligning og lokale flomdata. Dette kan f.eks. gjøres i

NEVINA ved å manuelt legge inn en kort flomserie (blir implementert i 2020).

• Har man 10 år med data eller mer, bruk full lokal+regional modell. Da brukes en

Bayesiansk tilnærming for å estimere parametrene i GEV-fordelingen basert på

lokale flomdata, der lokal á priori informasjon brukes for både indeksflom og

vekstkurve. Á priori informasjonen kommer fra den nye regionale modellen der

feltegenskaper går inn i flere regresjonsligninger. Flomanalyse-programmet i

Start-systemet på NVE vil få denne løsningen implementert våren 2020.

• Metode for å ta i bruk historisk flominformasjon er utviklet. Denne baserer seg på

at man må kjenne alle flommer som overskrider en viss terskel over en gitt

periode, enten antallet flommer eller størrelsen på flommene. Det anbefales å

utføre beregninger både med og uten historisk informasjon der denne er

tilgjengelig. Det anbefales at tilgjengelig historisk informasjon deles med NVE

slik at data kan legges inn i Hydra II. Metoden er implementert i Flomanalyse-

programmet i Start-systemet på NVE.

7

Kulminasjonsflom:

Det er mange mulige måter å kombinere lokale og regionale data på når man jobber med

kulminasjonsflommer. Vi har ikke en endelig fasit på hvordan dette bør gjøres og man

bør derfor prøve ut forskjellige tilnærminger. Merk at RFFA_NIFS og RFFA_2018 som

oftest stemmer bra overens på estimat av indeksflommen, men de regionale vekstkurvene

er forskjellige og generelt gir RFFA_NIFS høyere kulminasjonsflommer enn

RFFA_2018.

• Har man ingen lokale kulminasjonsdata, anbefales det for felt med areal under 60

km2 å bruke eksisterende formelverk fra RFFA_NIFS. For større felt anbefales

det å bruke det nye formelverket presentert i denne rapporten (RFFA_2018).

• Har man færre enn 10 år med kulminasjonsdata, for felt med areal under 60 km2,

bruk forenklet lokal+regional NIFS-modell der middelflommen beregnes som et

vektet gjennomsnitt av estimatene fra regresjonsligning og lokale flomdata og

kombineres med vekstkurven fra NIFS. Dette kan f.eks. gjøres i NEVINA ved å

manuelt legge inn en kort flomserie (blir implementert i 2020).

• Har man færre enn 10 år med kulminasjonsdata, for felt med areal over 60 km2,

bruk forenklet lokal+regional RFFA_2018-modell der middelflommen beregnes

som et vektet gjennomsnitt av estimatene fra regresjonsligning og lokale

flomdata for døgn og kombineres med vekstkurven fra RFFA_2018. Dette kan

f.eks. gjøres i NEVINA ved å manuelt legge inn en kort flomserie (blir

implementert i 2020). Deretter beregnes en skaleringsfaktor basert på

observasjoner av kulminasjon- og døgnflommer.

• Har man ingen år med kulminasjonsdata og færre enn 10 år med døgndata, for

felt med areal over 60 km2, bruk forenklet lokal+regional RFFA_2018-modell der

middelflommen beregnes som et vektet gjennomsnitt av estimatene fra

regresjonsligning og lokale flomdata for døgn og kombineres med vekstkurven

fra RFFA_2018. Dette kan f.eks. gjøres i NEVINA ved å manuelt legge inn en

kort flomserie (blir implementert i 2020). Deretter beregnes en skaleringsfaktor

fra RFFA_2018

• Har man færre enn 25 år med kulminasjonsdata og mer enn 50 år med døgndata,

kan man bruke full lokal+regional modell for døgndata (i Flomanalyse-

programmet i Start-systemet på NVE) og beregne en skaleringsfaktor mellom

kulminasjons- og døgnflommer basert på lokale data.

• Har man mer enn 25 år med lokale kulminasjonsdata anbefales det å bruke lokal

Bayesiansk analyse. I løpet av 2020 blir det implementert en egen á priori-

fordeling for kulminasjonsflommer i Flomanalyse-programmet i Start-systemet

på NVE. Resultatene bør sammenlignes med regional vekst-kurve og/eller lengre

tidsserier med sammenlignbare feltegenskaper.

• Har man mellom 10 og 25 år med lokale data, bør man sammenligne

tilnærmingene beskrevet ovenfor.

9

1 Innledning Bakgrunnen for denne rapporten er behovet for å revidere metoder for beregning av

dimensjonerende flom i Norge. Et viktig virkemiddel for å redusere risikoen for

flomskader på bygninger, veier, jernbane og annen infrastruktur, er å sette krav til hvor

store flommer de skal tåle, e.g. en dimensjonerende flom. Ifølge damsikkerhetsforskriften

(Lovdata 2010), skal damsikkerhet evalueres for flommer med 500 eller 1000 års

gjentaksintervall eller for påregnelig maksimalflom (PMF), avhengig av konsekvensen av

dambrudd. I henhold til byggteknisk forskrift (TEK17, 2017), skal viktige bygninger og

infrastruktur motstå eller være beskyttet mot flommer med 20, 200 eller 1000 års

gjentaksintervall, avhengig av konsekvensene av flom. Flomsonekart som brukes for

arealplanlegging er også basert på beregninger av dimensjonerende flom.

Forskriftene krever at dimensjonerende flom blir oppgitt som størrelse på T-års flommen

der T er gjentaksintervall (f.eks. 20, 200, 500 og 1000-år). Gjentaksintervallet beskriver

hvor ofte en flomstørrelse overskrides i snitt, dvs. at 200-års flommen overskrides i snitt

hvert 200 år. Gjentaksintervall og sannsynlighet er omvendte proporsjonale verdier. Det

vil for eksempel si at en flom som har et gjentaksintervall på 200-år har en sannsynlighet

på 1/200 = 0.5% for å overskrides hvert år. Tilsvarende har en 1000-års flom en

sannsynlighet på 1/1000 = 1 ‰ for å overskrides hvert år. Merk at selv om 200-

årsflommer overskrides i snitt hvert 200 år, opptrer den ikke med jevne 200 år imellom. I

prinsippet kan det oppstå to 200-årsflommer i samme elv i løpet av ett år, men

sannsynligheten er liten.

Er det tilstrekkelig med vannføringsdata tilgjengelige der dimensjonerende flom skal

estimeres, brukes lokal flomfrekvensanalyse. Dette gjøres vanligvis ved å ta ut årlige

maksimalflommer og tilpasse en statistisk fordeling. I Kobierska m.fl. (2017) ble valg av

fordeling og metode for å tilpasse fordelinger utforsket. Bruk av Generell

ekstremverdifordeling (GEV) kombinert med Bayesiansk estimering med en á priori-

fordeling på formparameter ble anbefalt.

For å beregne dimensjonerende flom for steder uten målinger brukes regional

flomfrekvensanalyse som baserer seg på å bruke en etablert sammenheng mellom

dimensjonerende flom og feltegenskaper. Retningslinjer for regional flomfrekvensanalyse

for USA er gitt i Stedinger & Griffis (2008, 2011), for Australia i Ball m. fl. (2016) og

Europa Castellarin m. fl. (2012). Den mest vanlige tilnærmingen for å beregne

dimensjonerende flom er indeksflom metoden (Dalrymple et al, 1960) der først

indeksflommen beregnes i et umålt felt basert på feltkarakteristika. Deretter brukes en

standard vekstkurve for å beregne den ønskede flomstørrelsen. Innenfor indeksflom

metoden er det flere tilnærminger for hvordan data deles inn i del-grupper som er

homogene. De tre tilnærmingene som brukes er (i) faste geografiske regioner (ii) regioner

basert på feltegenskaper, (iii) eller en «Region of Influence» (RoI) tilnærming der man

kun bruker de feltene som ligner mest på feltet man skal beregne flommer for (Castellarin

et al, 2012). I Østerrike brukes Top-Kriging for å interpolere flomstørrelser langs

elvenettet.

NVE har utarbeidet flere veiledere for å beregne dimensjonerende flommer. Den første

landsomfattende flomstudien ble skrevet av Reinhardt Søgnen (Søgnen, 1942). Den gir en

oversikt over flomforholdene ved over 250 vannmerker der sammenhengen mellom de

10

største observerte flommene og feltparametre analyseres. Studiet presenterer også

empiriske formler for beregning av midlere og maksimale flomstørrelser uten at de var

knyttet til noe spesielt gjentaksintervall.

Den første regionale flomfrekvensanalysen i Norge ble utarbeidet på slutten av 70-tallet

av Wingård m.fl (1978). Den gir formelverk for estimat av flommer med opp til

gjentaksintervall 10 000 år for et hvert punkt i de norske vassdragene. Analysen baserer

seg på treparameterfordelinger opp til 250 års gjentaksintervall og regionale vekstkurver

over det. For å estimere middelflommen i felt uten målinger ble det utarbeidet formler

basert på topografiske parametre. Norge ble inndelt i 11 regioner, og analysen var

begrenset til døgnmiddelflom.

Den andre (og nyeste) regionale flomfrekvensanalysen er rapportert i Sælthun m.fl.

(1997) og inngår i den eksisterende veilederen for flomberegninger (Midttømme m fl.

20ll). Anbefalinger er oppsummert i Tabell l. Tilnærmingen er basert på bruk av årlige

maksimale flommer, og lengden på lokale data avgjør hvilken tilnærming som anbefales.

Minst 30 år med lokale observasjoner er nødvendig for lokal flomfrekvensanalyse og

minst 50 års data skal være tilgjengelig for å kunne bruke tre-parameter fordelinger.

Gumbel (to parametre) og generell ekstrem verdi (GEV) (tre parametre) er de foretrukne

fordelingene. I Sælthun m.fl. (1997) etableres også regresjonsligninger for forholdstallet

mellom midlere kulminasjonsflom og midlere døgnmiddelflom på den ene siden og

feltkarakteristika på den andre siden. Framgangsmåten som benyttes er å knytte dette

forholdet til feltparametre ved hjelp av multippel regresjon. Det høyeste forholdstallet er

nærmere 3 om høsten, mens maksimum ligger på 2 for vårflommene. Det vises også at

for de fleste stasjonene har gjentaksintervallet forholdsvis liten innflytelse på

forholdstallet.

Tabell 1. Anbefaling for beregning av dimensjonerende flom fra Midttømme m.fl.(2011)

Dataseriens

lengde

Beregning av indeksflom Beregning av vekstkurve

>50 år Ikke brukt Fra 2- eller 3-parameterfordelinger tilpasset lokale

data

30–50 år Ikke brukt Fra 2-parameterfordelinger tilpasset lokale data

10–30 år Fra lokale data Fra lange serier i området

11

etablere vekstkurven. Merk at i denne tilnærmingen deles ikke Norge inn i regioner, men

regresjonsligningene brukes for å få en vekstkurve som endrer seg fra sted til sted.

I Thorarinsdottir m.fl. (2018) etableres en alternativ modell for regional

flomfrekvensanalyse der man ikke benytter indeksflom tilnærmingen. I stedet lar man

hver av de tre parametrene i GEV-fordelingen spesifiseres som en lineær funksjon av

forklaringsvariablene i et Bayesiansk rammeverk, og alle de lineære modellene estimeres

samtidig. I denne tilnærmingen tas det også hensyn til modellusikkerhet ved å etablere et

stort antall alternative regresjonsmodeller og tilordne hver modell en sannsynlighet.

Sluttresultatet av denne analysen er ikke ett sett med ligninger som i Glad m.fl. (2014) og

Sælthun m. fl. (1997), men et stort sett med ligninger. I denne modellen deles ikke Norge

inn i regioner, men de samme regresjonsligningene brukes i hele landet.

Datagrunnlaget og regresjonsligningene for den regionale flomfrekvensanalysen som

brukes som standard i dag (Sælthun m.fl. 1997), ble utviklet for over 20 ar siden. Siden

den gangen har vi 20 år mer med data. I tillegg er andre metoder for regional analyse blitt

enklere tilgjengelig. Det er derfor viktig å videreutvikle og oppdatere ligninger for

regional flomfrekvensanalyse for å gi robuste og pålitelige flomestimat.

Hovedmålet med denne rapporten er å anbefale metode for å beregne dimensjonerende

flom i både målte og umålte felt ved bruk av hhv lokal og regional flomfrekvensanalyse.

Følgende delmål er definert for lokal flomfrekvensanalyse:

• Anbefale fordeling for lokal flomfrekvensanalyse

• Anbefale beregningsmetode for lokal flomfrekvensanalyse

• Anbefale metode for bruk av historisk data ved lokal flomfrekvensanalyse

• Anbefale hvordan kulminasjonsflommer skal brukes i lokal flomfrekvensanalyse

• Kvantifisere usikkerhet i flomestimat.

For regional flomfrekvensanalyse har vi brukt en indeksflom tilnærming, Følgende

delmål er definert:

• Velge feltegenskaper som bestemmer indeksflom i umålte felt og estimere

regresjonsligning for å beregne indeksflom i umålte felt

• Estimere flomfrekvensfordeling for å beregne dimensjonerende flom i umålte felt

• Estimere ratio mellom døgnmiddelflom og kulminasjonsflom i umålte felt.

• Sammenligne resultatene fra den nye modellen med resultater fra eksisterende

modeller.

• Evaluere den nye modellen på et nytt datasett med tilsigsflommer.

• Anbefale hvordan man kan kombinere lokale data med regional vekskurve for å

oppnå robuste flomberegninger.

• Kvantifisere usikkerhet i flomestimat.

12

I de følgende kapitlene vil vi presentere data, både flomdata og feltegenskaper. Deretter

beskrives metodene vi har brukt for å etablere de ulike regresjonsmodellene. I Kapittel 5

vises resultatene fra den regionale flomfrekvensmodellen og sammenlignes med resultater

fra tidligere studier. Deretter diskuteres resultatene og vi konkluderer.

2 Data

2.1 Flomdata

2.1.1 Flomdata fra vannføringsstasjoner

Vi brukte årlig maksimal flom fra 529 vannføringsstasjoner fra den nasjonale

hydrologiske databasen "Hydra II''. Figur 1 viser antall år med flomdata for de utvalgte

stasjonene med døgndata og findata. Figur 2 viser median døgnflom for datasettet. Av de

529 stasjonene er 266 fortsatt i drift og er plassert i felt med lav eller ingen

reguleringsgrad og kan gi ny flominformasjon. For døgndata har 523 stasjoner minst 5 år

med data, 490 stasjoner minst 10 år med data, 280 stasjoner minst 30 år og 103 stasjoner

har 50 år eller mer med data. Lengste dataserie er på 124 år. Det er 327 stasjoner med

findata hvorav 263 fortsatt er aktive. 309 stasjoner har minst fem år med data. For de 310

stasjonene er gjennomsnittlig serielenge 25 år. 271 stasjoner har minst l0 år med data. 3

stasjoner har minst 50 år med data. Lengste tidsserien er på 52 år.

Alle flomdata er fra stasjoner og perioder der det oppstrøms feltet har en reguleringsgrad

som er 5% eller lavere. Reguleringsgrad er definert som forholdet mellom regulerbart

magasinvolum og midlere årsavrenning. Alle data ble kvalitetskontrollert, inkludert

kvalitetsvurdering av felthydrolog og en gjennomgang av kvalitet på vannføringskurve

for store vannføringer. Datautvalget er beskrevet i detalj i Engeland m.fl. (2016).

Figur 1. Lengde på døgndataserier (venstre) og findata (høyre). (Fra Engeland m. fl., 2016)

Lengde på dataserier (år)

An

tall

0 20 60 100

04

08

01

20

Lengde på dataserier (år)

An

tall

0 10 20 30 40 50

02

04

06

0

13

Figur 2. Medianflom (l/s/km2) for flomfeltene.

I dette studiet ønsket vi også å beregne forholdstallet mellom kulminasjonsflom og

døgnmiddelflom. Basert på dataserier med både kulminasjonsflommer og

døgnmiddelflommer, beregnet vi forholdstallet mellom medianflommen for

døgnmiddelflom og medianflommen for kulminasjonsflommen. I Figur 3 (til venstre)

vises histogram over dette forholdstallet for alle stasjoner. Forholdstallet varierer mellom

l.0 og 3.0. Ser man derimot på forholdstallet mellom to aktuelle flomhendelser, ser vi at

kulminasjonsflommen kan være opptil 8 ganger større enn døgnmiddelflommen (Figur 3

,til høyre).

Figur 3. Eksempel på histogram over forholdstallet mellom kulminasjons- og

døgnmiddelflom for medianflommen (til venstre) og største forholdstall for enkeltflommer

(til høyre).

14

2.1.2 Flomdata fra vannkraftmagasin

Nye datasett for årlige maksimalflommer samt metode for å beregne disse er presentert i

Jørgensen Bakke og Holmqvist (2018). Metoden for å beregne årlige maksimalflommer

baserer seg på samme prinsipp som tradisjonelle tilsigsberegninger, men har en

omfattende kvalitetskontroll av hver enkelt beregning og datagrunnlaget. Spesielt gjelder

dette kvalitet til vannstandsdataene i magasinet, magasinkurven, overløpsformelen, samt

at man har all informasjon om data for vann ut av magasinet gjennom tappeluker,

tappetuneller osv. Magasindata inneholder ofte en del støy, så for å få gode flomdata er

det essensielt å gå manuelt inn og vurdere dataene som ligger bak enhver beregnet

flomverdi. Som en ekstra kontroll av beregnete flommer, ble det vurdert om flomdato og

–størrelse er rimelig utfra værdata og nærliggende vannføringsstasjoner med lignende

feltkarakteristikker.

Jørgensen Bakke og Holmqvist (2018) starter med et innledende utvalg på 208 magasiner

der det er veldig liten eller ingen oppstrøms reguleringer. Det endelige datasettet består av

1339 årsflomverdier fra til sammen 91 magasiner (Figur 4) med minst fem år med

flomverdier. Magasinene har en stor variasjon i beliggenhet, nedbørfeltegenskaper og

flomstørrelser.

Figur 4. Oversikt over datasett for årlige maksimalflommer beregnet fra magasindata.

15

2.1.3 Historisk flom-informasjon

Systematiske observasjoner av vannstander og vannføring startet på slutten av 1800-tallet

i Norge. For å få informasjon om flomhendelser før dette, kan historiske kilder være

nyttige. Kilder til historiske data inkluderer: annaler, minnebøker, memoarer,

bygdebøker, korrespondanse (brev), offisielle økonomiske og administrative dokumenter,

kilder av religiøs karakter, flom-merker (Brázdil m.fl., 2010, 2012). I flere europeiske

land er det sentrale registreringer av historiske flomdata (Brázdil m.fl., 2006, Kjeldsen

m.fl., 2014). I Norge er en sentral database under utvikling, og en informativ oversikt er

gitt i Roald (2013). En viktig informasjonskilde for historiske oversvømmelser i Norge er

offisielle økonomiske og administrative dokumenter der flomskader for enkeltgårder har

ført til reduksjon av skatt. En systematisk analyse av disse dataene har potensial til å vise

både størrelsesordenene og utbredelsen av store historiske oversvømmelser (Roald,

2013).

For å ta i bruk historisk flom-informasjon i en flomfrekvensanalyse, er det viktig å kunne

ta ut flomhøyder som man kan bruke for å beregne flomvannstander. Flom-merker på

steiner, svaberg, bygninger, broer etc. er derfor svært nyttige (se eksempler i Figur 5).

Også beskrivelser av hvor høyt vannet har stått i terrenget er nyttig.

Vi har samlet inn informasjon om historiske flommer ved noen utvalgte målestasjoner

som vist i tabell 2.

Figur 5. Eksempel på historisk flominformasjon. Flommerke på kirkeveggen i Voss som

indikerer hvor høyt vannet stod i 1604. Foto: Jakob Håheim (til venstre). Flomsteinen ved

Norsk skugmuseum på Elverum (til høyre).

16

Tabell 2. Historiske flommer ved utvalgte vannføringsstasjoner. Merk at for stasjon 62.5 ble

vannstanden i Vangsvatnet senket etter perioden 1865-70 slik at flomnivåer ble ca 6 fot (1.9

meter) lavere. For flommene før 1860 er vannføringen avrundet til nærmeste 50 m3/s

grunnet usikkerhet i både observert vannstand og omregning fra vannstand til vannføring.

Snr. År Vannst. Vannf.

(m3/s)

Informasjon Kilde

62.5 1604 55,47 900 Avmerket på kirkevegg Holmqvist (2015)

62.5 1719 54,21 700 Omtrent som i 1743 Holmqvist (2015)

62.5 1743 54,21 700 Vann til koret i kirken Holmqvist (2015)

62.5 1745 53,90 650 Vann opp i kirken Holmqvist (2015)

62.5 1790 54,21 700 Omtrent som i 1743 Holmqvist (2015)

62.5 1864 51,63 400 Postvei oversvømt Holmqvist (2015)

62.5 1873 51,63 600 Postvei oversvømt Holmqvist (2015)

62.5 1884 52,29 703 16 tm høyere enn i 1873 Holmqvist (2015)

22.4 1864 1200 Flommerker ved

Øyslebø

Engeland m.fl.

(2018b)

22.4 1892 1300 Flommerker ved

Øyslebø

Engeland m.fl.

(2018b)

2.604 1675 3,35 3141 Flomstein på Elverum Hegge (1969)





2.604 1789 3,86 3900 Flomstein på Elverum GLB, (1947).




2.25 1789 1585 Flommerker / flomstein Klæboe (1938)

2.25 1860 1524 Flommerker / flomstein Kleiven (1908)

12.80 1789 >550 Flommerker / flomstein Otnes (1983)

12.80 1860 550 Flommerker / flomstein Otnes (1983)

15.1 1860 6.0m 1285 Kristensen (1911)

17

2.2 Feltegenskaper

2.2.1 Fysiografiske egenskaper

Fysiografiske feltegenskaper viser rene geografiske egenskaper som areal,

høydeforskjeller og ulike typer arealdekke. Alle egenskaper ble tatt ut fra NVE sin GIS-

database. I denne studien ble det tatt ut noen nye feltparametre. Det inkluderer total

elvelengde, total elvelengde uten innsjøer, dreneringstetthet, definert som total elvelengde

delt på feltareal. Liste over hvilke egenskaper som er brukt er vist i Tabell 3, mens Figur

6 viser histogram over viktige feltegenskaper for de 529 feltene som er med i studiet.

Tabell 3. Fysiografiske feltegenskaper

Navn Enhet Forklaring Kilde

YLat DD y-koordinat for feltets utløp, Desimalgrader HydraII

XLong DD x-koordinat for feltets utløp, Desimalgrader HydraII

Yutm m y-koordinat for feltets utløp, utm33 HydraII

Xutm m x-koordinat for feltets utløp, utm33 HydraII

A km2 Totalt feltareal HydraII

FL km Feltlengde HydraII

EL km Hovedelvas lengde HydraII

EG m/km Elvegradient HydraII

EG,1085 m/km Elvegradient HydraII

ABRE % Prosentandel av feltet dekket med isbre (0-100) HydraII

AJORD % Prosentandel av feltet dekket med dyrket mark (0-100) HydraII

AMYR % Prosentandel av feltet dekket med myr (0-100) HydraII

ASJO % Prosentandel av feltet som dekket med innsjøer (0-100) HydraII

ASKOG % Prosentandel av feltet som er dekket med skog (0-100) HydraII

ASF % Prosentandel av feltet som er snaufjell (0-100) HydraII

AU % Prosentandel av feltet som er urbant (0-100) HydraII

ASE % Effektiv innsjøprosent basert på beliggenhet (0-100) HydraII

H10 -

H90

m.o.h 10% persentil for hypsografisk kurve HydraII

HMAX m.o.h Høyeste høyde i feltet HydraII

HMIN m.o.h Laveste høyde i feltet HydraII

HF m Høydeforskjell HydraII

YG,Lat DD y-koordinat for feltets tyngdepunkt, Desimalgrader ArcGis

XG,Long DD x-koordinat for feltets tyngdepunkt, Desimalgrader ArcGis

YG,UTM M y-koordinat for feltets tyngdepunkt, utm33 ArcGis

18


YG,UTM M x-koordinat for feltets tyngdepunkt, utm33 ArcGis

O M Feltets omkrets ArcGis

FS Grader Midlere helning for gridceller innenfor feltet ArcGis

ETL km Total lengde for alle elver innenfor feltet ArcGis

ETL,net km Total lengde for alle elver eksklusive innsjøer ArcGis

AP km Areal/Omkrets*1000 ArcGis

D m/km2 Total elvelengde / Areal ArcGis

Dnet m/km2 Total elvelengde eksklusive innsjøer/Areal ArcGis

Figur 6. Histogram for noen vanlige feltparametere for de 529 stasjonene brukt i analysen

2.2.2 Klimatiske egenskaper

Basert på SeNorge 2.0 datasettet ble det tatt ut klimatologiske og hydrologiske

egenskaper for de 529 stasjonene som vist i Tabell 4. Merk at flere av disse egenskapene

ikke er direkte observasjoner, men interpolerte eller modellerte produkter. Det er derfor

viktig å vite hvilke produkter om er brukt (navn og versjon). Figur 7 viser kart over

flomgenererende prosess (regn versus snøsmelting) samt ekstrem nedbør, snøsmelting og

avrenning. Beregning av flomgenererende prosess er beskrevet i Engeland m.fl. (2016).

Figur 8 viser kart over middelnedbør, temperatur og avrenning.

Areal (km2)

Anta

ll

040

80

120

4 64 4096

Feltlengde (km)

Anta

ll

040

80

120

3 9 81

Lengde hovedelv (km)

Anta

ll

040

80

120

3 27 243

Gradient hovedelv (m/km)

Anta

ll

040

80

120

2 8 64

Eff. sjøp

Anta

ll

0 5 10 20

0100

200

300

Hmax (moh)

Anta

ll

0 1000 2500

020

40

60

80

Hmin (moh)

Anta

ll

0 400 800

050

100

200

Hdiff (m)

Anta

ll

0 1000 2000

020

40

60

80

Perimeter (m)

Anta

ll

040

80

120

10000 1e+06

Midlere helning o

Anta

ll

5 15 25

020

60

Total elvelengde (km)

Anta

ll

050

100

150

1000 1e+06

Dreneringstetthet (m/km2)

Anta

ll

0 2000 4000

050

100

A (km2) FL (km) EL (km) EG (m/km)

Areal (km2)

Anta

ll

040

80

120

4 64 4096

Feltlengde (km)

Anta

ll

040

80

120

3 9 81

Lengde hovedelv (km)

Anta

ll

040

80

120

3 27 243

Gradient hovedelv (m/km)

Anta

ll

040

80

120

2 8 64

Eff. sjøp

Anta

ll

0 5 10 20

0100

200

300

Hmax (moh)

Anta

ll

0 1000 2500

020

40

60

80

Hmin (moh)

Anta

ll

0 400 800

050

100

200

Hdiff (m)

Anta

ll

0 1000 2000

020

40

60

80

Perimeter (m)

Anta

ll

040

80

120

10000 1e+06

Midlere helning o

Anta

ll

5 15 25

020

60

Total elvelengde (km)

Anta

ll

050

100

150

1000 1e+06

Dreneringstetthet (m/km2)

Anta

ll

0 2000 4000

050

100

ASE (%) HMAX (m.o.h.) HMIN (m.o.h.) HF (m)

19

Tabell 4. Liste over klimatiske egenskaper som ble beregnet for hvert nedbørfelt.


QNV m3/s Middelvannføring 1961-1990 Beldring m.fl. (2002)

QN l/s/km2 Normalavrenning 1961-1990 Beldring m.fl. (2002)

PJan - PDes mm/måned Middelnedbør januar 1961-1990 SeNorge 2.0

PN mm/år Årsmiddelnedbør 1961-1990 SeNorge 2.0

PMed1Max -

PMed5Max

mm/døgn Median av årlig maksimal 1 – 5

døgnnedbør

SeNorge 2.0

TJan - TDes oC Middeltemperatur i januar -

desember for 1961-1990

SeNorge 2.0

TN oC Årsmiddeltemperatur for 1961-

1990

SeNorge 2.0

WJan - WDec mm/måned Midlere regn og snøsmelting for

januar - desember for 1961-1990

SeNorge 2.0

WN mm/år Årlig midlere regn og

snøsmelting for 1961-1990

SeNorge 2.0

WMed1Max -

WMed5Max

mm/døgn Median for årlig maksimal 1-5

døgns regn og snøsmelting

SeNorge 2.0

QN,SN mm/år Avrenning 1961-1990 SeNorge 2.0

FP 0-1 Gjennomsnitt for andel bidrag

fra regn til døgnflommer

SeNorge 1.0

M200time mm/time 200 års timesnedbør Dyrrdal m.fl. (2014)

M200dogn mm/døgn 200 års døgnnedbør Førland m.fl. (2015)

M200dognGrid mm/døgn 200 års døgnnedbør Lussana (MET)

Figur 7. Flomgenererende prosess (a), Median for årlig maksimal 2 døgns regn og

snøsmelting (b) og estimert døgnnedbør med 200 års gjentaksintervall basert på MET sine

manuelle målestasjoner (c).

20

Figur 8. Klimatologiske karakteristika. Nedbør for februar, juli og hele året (a-c), midlere

temperatur for februar, juli og hele året (d-f), og summen av snøsmelting og regnnedbør for

februar, og juli (g-h) samt midlere årsavrenning (i).

21

3 Statistiske fordelinger for flomdata

Ekstremverdi-teoremet, også kjent som Fisher–Tippett teoremet sier at den største verdien

fra et utvalg av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler vil følge en Generell

ekstremverdi (GEV) fordelingen (f.eks., Fisher & Tippett 1928; Embrechts m. fl. 1997):

𝐹(𝑥) = {𝑒𝑥𝑝 {− [1 + 𝑘 (

𝑥−𝑚

𝛼)]−1 𝑘⁄

}

𝑒𝑥𝑝 {−𝑒𝑥𝑝 (−𝑥−𝑚

𝛼)}

𝑘 ≠ 0𝑘 = 0

(1)

der m er en lokasjonsparameter, α en skalaparameter og k en formparameter.

Middelverdien eksisterer hvis k < 1.0 og variansen hvis k < 0.5. Hvis k = 0 har vi en

Gumbel-fordeling. For tilfelle k > 0 har vi en fordeling med en tung hale, mens for k < 0

er det en lett hale i fordelingen.

Den generelle logistiske (GL) fordelingen (Hosking & Wallis 1997) anbefales for

flomfrekvensanalyse i Storbritannia (Robson & Reed 1999) og ble nylig anbefalt for å

estimere flom for små umålte felt i Norge (Glad m. fl. 2014). Denne fordelingen er en re-

parametrisering av den log-logistiske fordelingen (Ahmad m. fl. 1988), og ligner på GEV

som vist i ligning (2):

𝐹(𝑥) = {{1 + [1 + 𝑘 (

𝑥−𝑚

𝛼)]−1 𝑘⁄

}−1

{1 + 𝑒𝑥𝑝 (−𝑥−𝑚

𝛼)}−1

𝑘 ≠ 0𝑘 = 0

(2)

der m er en lokasjonsparameter, α en skalaparameter og k en formparameter.

Gamma-fordelingen er en fleksibel to-parameter fordeling som ofte brukes på

hydrologiske og meteorologiske variabler:

𝐹(𝑥) =1

Γ(𝑘)𝛾 (𝑘,

𝑥

𝛼) (3)

der Γ er den fullstendige gamma-funksjonen og γ er den lave ufullstendige

gammafunksjonen.

Pearson type III fordelingen er en gamma-fordeling med en ekstra lokasjonsparameter:

𝐹(𝑥) =1

Γ(𝑘)𝛾 (𝑘,

𝑥−𝑚

𝛼) (4)

der m er en lokasjons-parameter, α en skala-parameter, og k en form-parameter. Hvis

m = 0, blir P3-fordelingen forenklet til Gamma-fordelingen. P3-fordelingen blir brukt på

log-transformerte flomverdier i USA (Stedinger & Griffis 2008; Dawdy m.fl., 2012) og

Australia (Haddad & Rahman 2008). Á priori-fordelinger blir foreslått i Reis & Stedinger

(2005).

Man vil ofte beregne en dimensjonerende flom basert på gjentaksintervall.

Gjentaksintervallet er definert som den inverse av årlig overskridelsessannsynlighet:

22

𝑇 = 1

1−𝐹 (5)

Sammenhengen mellom gjentaksintervall T og kumulativ fordeling F er gitt ved:

𝐹 = 1 −1

𝑇 (6)

Der T er gjentaksintervall i år. En 200-års flom vil ha en årlig

overskridelsessannsynlighet på 0.005 og ha en underskridelssannsynlighet på 0.995. Har

man estimert lokasjons- skala- og formparametrene i GEV- eller GL-fordelingen, kan

dimensjonerende flom beregnes slik for GEV-fordelingen (ligning 7) og GL-fordelingen

(ligning 8)

𝑥(𝑇) =

{

𝑚 −𝛼

𝑘[1 − (𝑙𝑛 (

𝑇

𝑇−1))−𝑘

]

𝑚 − 𝛼 [𝑙𝑛 (𝑙𝑛 (𝑇

𝑇−1))]

𝑘 ≠ 0𝑘 = 0

(7)

𝑥(𝑇) = {𝑚 +

𝛼

𝑘[1 − {1 (𝑇 − 1)⁄ }−𝑘]

𝑚 − 𝛼𝑙𝑛{1 (𝑇 − 1)⁄ }

𝑘 ≠ 0𝑘 = 0

(8)

For Gamma- og P3-fordelingene er det ikke noen eksplisitt uttrykk for kvantil-

funksjonen, og de må løses numerisk (f.eks. Best & Roberts 1975), eller kan være oppgitt

i tabeller (f.eks. for P3-fordelingen se US Water Resources Council 1982).

4 Lokal flomfrekvensanalyse I dette kapittelet vil vi presentere metoder, resultater og konklusjoner for delmål knyttet

til lokal flomfrekvensanalyse.

4.1 Metoder

4.1.1 Estimeringsmetoder

Noen vanlige statistiske fordelinger brukt for årlige maksimal-flommer er presentert i

kapittel 3. Når man har tilstrekkelig med lokale data, kan parametrene i fordelingene

estimeres. Fire standard metoder brukes i dag. Ligninger for metodene er presentert i

appendiks A, og i følgende avsnitt vil de bli kort oppsummert.

For å estimere fordelingsparametre med moment-metoden, beregner man først

middelverdi- standardavvik og skjevhetskoeffisient (hvis fordelingen har tre parametre).

Basert på disse 2(3) momentene kan man så estimere de 2(3) parametrene i fordelingen.

På den måten sikrer man at estimerte moment fra data og fordelingen har samme moment.

Ligninger er vist i appendiks.

I stedet for ordinære moment kan man estimere l-moment basert på data. L-moment

baserer seg på lineære kombinasjoner av data, og flere studier viser at l-moment er mer

23

robuste en vanlige moment, spesielt når man har små datasett. Ligninger er vist i

appendiks A.

Maximum-likelihood-metoden baserer seg på å maksimere sannsynligheten for de

observerte dataene. Dette gjør man ved å beregne en rimelighetsfunksjon for modell-

parametre gitt data. Denne funksjonen er definert som produktet av

sannsynlighetstetthetsfunksjonen evaluert for hver observasjon. Rimelighetsfunksjonen

kan bli vanskelig å håndtere rent numerisk, så vi bruker som regel logaritmen av

funksjonen (log-likelihood). Denne funksjonen skal maksimeres med hensyn på

modellparametre ved å bruke en numerisk algoritme.

Bayesiansk metode baserer seg på å Bayes teorem som kombinerer á-priori kunnskap om

fordelingsparametre (f.eks., Kuczera 1982; Gaume m. fl. 2010) eller flomkvantiler (Coles

& Tawn 1996) med informasjon fra data gitt ved rimelighetsfunksjonen. Da kan en á-

posteriori fordeling for parametre, p(θ│x), beregnes slik:

𝑝(𝜃|𝑥) =𝑝(𝜃)𝑙(𝜃|𝑥)

∫𝑝(𝜃)𝑙(𝜃|𝑥)𝑑𝜃 (9)

Med den Bayesianske tilnærmingen er det også enkelt å beregne prediktive fordelinger og

usikkerhetsintervall for flomkvantiler.

Á priori informasjon på modellparametre

For de fleste analysene presentert i dette delkapittelet brukte vi ikke-informative á-priori

fordelinger for parametrene unntatt for form-parameterene i GEV- og GL-fordelingene.

Disse ble antatt å være normalfordelte som hhv N(0, 0.2) and N(0.15, 0.175). Den ikke-

informative á-priori fordelingen for lokasjonsparametrene var proporsjonal med en

konstant, mens skala-parametrene var proporsjonale til en konstant på log-skala. Á-priori

fordelingen for form-parameteren i GEV-fordelingen er brukt i Renard m.fl. (2013), mens

á priori-fordelingen for form-parameteren i GL-fordelingen ble anslått basert på

spredningsplott for L-moment for flomdata fra Storbritania (Robson & Reed 1999).

4.1.2 Valg av fordeling og estimeringsmetode

Vi ønsket å undersøke systematisk hvilken kombinasjon av statistisk fordelingsfunksjon

og estimeringsmetode som bør anbefales og spesielt undersøke om anbefalinger bør være

avhengig av lengde på dataserier. Metoden som brukes her er beskrevet i detalj i

Kobierska m.fl. (2018).

Datasettet beskrevet i kapittel 2 om flomdata ble brukt, og derav inngikk 280 stasjoner

med mer enn 30 år med data i analysen. Vi brukte en tilnærming basert på gjentatte

tilfeldige utvalg (dvs. bootstrapping) for evaluering:

(i) For hver stasjon s med data Qs

(ii) For l = 30, 35 ,.., 90 år

(iii) Trekk med tilbakelegging m = 50 sett med lengde l: Q*l,s,m

(iv) Tilpass fordelingsfunksjonen 𝐹𝑙,𝑠,𝑚 og estimer flomkvantiler 𝐹𝑙,𝑠,𝑚−1 (1 −

1

𝑇) for de

fem statistiske fordelingene til data med fire ulike estimeringsmetoder (T angir her

gjentaksintervall).

24

(v) Beregne evalueringskriterier (for stasjon s, sett m, lengde l, de fem

fordelingsfunksjonene og fire estimeringsmetodene), (se nedenfor for detaljer).

(vi) For hvert kriterium, beregnet et gjennomsnitt over de 50 settene og alle stasjoner.

(vii) Vis evalueringskriteriene som funksjon av l for alle kombinasjoner av fordelinger

og estimeringsmetode for utvalgte gjentaksintervall T.

Evalueringskriteriene måler hvor godt modellene klarer å beregne flomkvantiler. Vi

brukte kriterier som beskriver stabilitet og pålitelighet.

Stabilitet måler en egenskap kun ved fordelingene og kan derfor evalueres for alle

flomkvantiler. Vi brukte variasjonskoeffisient (CV) for flomkvantiler for hvert felt s, hver

samplestørrelse l, og hvert gjentaksintervall T over alle sample m = 1,…, 50: CVT,l,s,*.

Deretter beregnet vi en gjennomsnittlig CV over alle felt for hver samplestørrelse og

gjentaksintervall: CVT,l,*,*.

Pålitelighet med tanke på hvor godt fordelinger passer til data, ble målt ved bruk av test-

statistikk fra Kolmogorov-Smirnov og Anderson-Darling testene brukt for å sammenligne

fordelinger estimert på de settene som trekkes i (iii) med det opprinnelige flomdatasettet.

Pålitelighet med tanke på hvor godt modellene predikerer flomkvantiler ble målt ved

Brier Score (BS) og Quantile Score (QS). Brier score (Brier 1950) ble brukt for å

evaluere predikert T-års flom ved å sammenligne den predikerte sannsynligheten for

overskridelse av en terskel 𝑢𝑇,𝑠 (gitt ved 1 − 𝐹𝑙,𝑠,𝑚(𝑢𝑇,𝑠)) med om terskelen faktisk ble

overskredet for et uavhengig datasett (gitt ved 𝕀{𝑥𝑠,𝑖 > 𝑢𝑇,𝑠}):

𝐵𝑆𝑙,𝑠,𝑚(𝐹𝑙,𝑠,𝑚|𝑢𝑇,𝑠) =1

𝑛𝑠∑ (1 − 𝐹𝑙,𝑠,𝑚(𝑢𝑇,𝑠) − 𝕀{𝑥𝑠,𝑖 > 𝑢𝑇,𝑠})

2𝑛𝑠𝑖=1 (11)

der 𝑢𝑇,𝑠 er terskelen definert ved et gjentaksintervall T og 𝕀 er en indikator-funksjon som

er 1 hvis 𝑥𝑠,𝑖 > 𝑢𝑇,𝑠 og ellers 0.

Kvantil-score (QS) sammenligner observert flom 𝑥𝑠,𝑖 fra et uavhengig datasett med den

estimerte flomkvantilen 𝐹𝑙,𝑠,𝑚−1 (𝑝𝑇 = 1 − 1 𝑇⁄ ) for et gitt gjentaksintervall T. Forskjellen

gis en liten vekt hvis flommen er lavere en den estimerte kvantilen:

𝑄𝑆𝑙,𝑠,𝑚(𝐹𝑙,𝑠,𝑚|𝑇) =1

𝑛𝑠∑ [(𝑥𝑠,𝑖 − 𝐹𝑙,𝑠,𝑚

−1 (𝑝𝑇)) ((𝑝𝑇) − 𝕀{𝑥𝑠,𝑖 ≤ 𝐹𝑙,𝑠,𝑚−1 (𝑝𝑇)})]

𝑛𝑠𝑖=1 (12)

For både BS og QS brukte vi forskjellige sett (av de m =50 tilgjengelige settene) for å

estimere fordelingene F og for evalueringen (x i ligning 11 og 12). Dette sikret at vi

evaluerte prediktive egenskaper. Siden vi brukte dataserier med lengde på minst 30 år, ble

BS og QS evaluert for gjentaksintervall opp til 30 år (2, 5, 15, 20, and 30). Terskelen 𝑢𝑇,𝑠

i ligning 11 ble estimert for hver stasjon ved å bruke Hazens plotte-posisjon for

observerte data (Makkonen 2008):

�̂�′(𝑖) =𝑖−0.5

𝑛 (13)

der i er rangen til observasjonen 𝑄(𝑖) (sortert i stigende rekkefølge), n er antall

observasjoner, and �̂�′(𝑖) er den estimerte kumulative sannsynligheten for observasjon

𝑄(𝑖). I følge Stedinger m.fl. (1993) er Hazen plotteposisjon et tradisjonelt valg og er ikke

knyttet til en spesiell fordeling.

25

Pålitelighet ble til sist målt ved å bruke l-moment ratio diagram der estimat av l-moment

ratioene 2, 3, and 4 (l-moment sine mål for variasjonskoeffisient, skjevhet, og kurtosis)

sammenlignes med den teoretiske sammenhengen for parametriske fordelinger. Slike

plott ble introdusert av Hosking (1990), tilnærminger for flere fordelinger er presentert i

Hosking & Wallis (1997). Fordelen med denne evalueringen er at den gir en visuell

vurdering av hvor godt empiriske data passer til teoretiske fordelinger. Dette er dessuten

en standard tilnærming brukt i regional flomfrekvensanalyse (f.eks. Peel m.fl. 2001).

4.1.3 Bruk av historiske data

For å kunne bruke historisk informasjon i ekstremverdianalyser, må vi kjenne til alle

flommer som overskrider en høy terskel over en gitt periode. Vi kan enten kjenne til

størrelsen på flommene over terskelen eller antall flommer over terskelen. Eksempler på

bruk av historiske data i flomfrekvensanalyse er presentert i Engeland m.fl. (2018a,

2018b) og Støren m.fl. (2018). I denne rapporten baserer vi oss først og fremst på

resultatene fra Engeland m.fl. (2018a).

For å estimere parametrene til GEV-fordelingen, brukte vi en Bayesiansk tilnærming som

beskrevet I Engeland m.fl. (2018a), Gaál m.fl.. (2010) og Stedinger & Cohn (1986).

Metoden er illustrert i Figur 9.

Figur 9. Bruk av historiske data i flomfrekvensanalyse i et Bayesiansk rammeverk for

estimering av parametre der total rimelighetsfunksjon er sammensatt av (i)

rimelighetsfunksjon for n år med systematiske data (ls); (ii) rimelighetsfunksjon for t

historiske flommer (la1-3) som overskrider terskelen x0 i historisk periode h og (iii)

rimelighetsfunksjon for årene med ingen flommer over terskelen (lb).

26

Rimelighetsfunksjonen for systematiske data er gitt ved:

𝑙𝑠 = ∏ 𝑓(𝑥𝑖|𝑚, 𝛼, 𝑘)𝑛𝑖=1 (14)

der f(xi) er tetthetsfunksjonen for GEV-fordelingen evaluert for observasjonen xi. med

parameterverdier 𝑚,𝛼, 𝑘

For flommer i en historisk periode med lengde h er det antatt at alle t flommer som

overskrider en terskel x0 for en periode er kjent. Rimelighetsfunksjonen for de h-t årene

uten flommer som overskrider x0 i perioden h er da:

𝑙𝑏 = [𝐹(𝑥0|𝑚, 𝛼, 𝑘)]ℎ−𝑡 (15)

der F er GEV-fordelingen som gitt i (1).

Vi må nå legge til hva vi vet om flommene som overskrider terskelen x0. I det enkleste

tilfellet vet vi kun at t flommer overskrider x0, da er rimelighetsfunksjonen gitt som:

𝑙𝑎1 = [1 − 𝐹(𝑥0|𝑚, 𝛼, 𝑘)]𝑡 (16)

Alternativt, kan vi anta at flommene som overskrider x0 er gitt ved et intervall med en

øvre xU og nedre xL grense:

𝑙𝑎2 = ∏ [𝐹(𝑥𝑈,𝑗|𝑚, 𝛼, 𝑘) − 𝐹(𝑥𝐿,𝑗|𝑚, 𝛼, 𝑘)]𝑡𝑗=1 (17)

Hvis vi kjenner størrelsen på alle flommene som overskrider terskelen x0:

𝑙𝑎3 = ∏ 𝑓(𝑦𝑗|𝑚, 𝛼, 𝑘)𝑡𝑗=1 (18)

Den totale rimelighetsfunksjonen er gitt som produktet av de tre leddene:

𝑙𝑖 = 𝑙𝑠 ∙ 𝑙𝑏 ∙ 𝑙𝑎𝑖 (19)

Á posteriori fordelingen for parametrene ble estimert med en MCMC algoritme

implementert i R-pakken nsRFA (Viglione 2012).

Viktige utfordringer er å fastsette terskelen x0 og lengden h, for perioden med historisk

informasjon. For hvert felt, satte vi terskelen til den laveste observerte historiske

flommen som anbefalt i Prosdocimi (2017). For å beregne lengden på den historiske

perioden beregnet vi først midlere tidsintervall tm mellom historiske hendelser. Vi satte

starten på den historiske perioden til å være tm år før første historiske flommen, og slutten

på den historiske perioden til å være året der systematiske vannføringsobservasjoner

starter (Prosdocimi, 2017).

Vi utførte et simulerings-eksperiment for å evaluere merverdien i å bruke historiske data.

Nye datasett Q* med lengde n (samme lengde som Q) ble trukket tilfeldig k ganger med

tilbakelegging fra Q. Fra Q* tok vi så ut et delsett 𝑄𝑠∗ med lengde s = 5-75 år for å

beregne likelihood-komponenten ls i ligning 14. For å lage historisk informasjon, brukte

vi de resterende dataene fra Q* (dvs de som ikke er med i 𝑄𝑠∗ ) og kaller dem 𝑄ℎ

∗ der

lengden h = n-s. Fra 𝑄ℎ∗ tok vi ut så ut 𝑄𝑡

∗ som er t flommer over en valgt terskel Q0. 𝑄𝑡∗

ble brukt for å beregne de to likelihood-komponentene (lb og la) i ligning (15-18). Kun

realisasjoner av Q* der minst et datapunkt i 𝑄ℎ´∗ overskred terskelen Q0 ble brukt.

Tilnærmingen er illustrert i Figur 10.

27

Figur 10: Illustrasjon av tilnærming for å evaluere merverdien i historiske data. Øverste plot

viser opprinnelige datasett Q, her fra Bulken med lengde n = 123 år. Nederste plot viser

tilfeldig trukket datasett Q* med lengde n = 123. Delsettet 𝑸𝒔∗ med lengde s = 5-75 år er til

høyre. Delsettet 𝑸𝒉∗ er til venstre. Fra 𝑸𝒉

∗ tok vi ut historiske flommer𝑸𝒕∗ over en terskel Q0.

Figuren illustrerer to mulige terskler og for den høyeste terskelen er de historiske flommene

markert som lilla, mens for den laveste terskelen er de historiske flommene enten turkise

eller lilla.

Eksperimentet hadde to deler. Den første var å analysere hvor følsomme de estimerte

flomkvantilene var for bruk av historiske data. Dette gjorde vi ved å estimere

flomkvantlier både med og uten historiske data og vi lot lengden på den historiske

perioden (h i ligning 15) ligge fast (h = n-s). Den andre delen av eksperimentet var å

analysere hvor følsomme estimat av flomkvantiler var for hvordan lengden på den

historiske perioden ble beregnet. Dette ble gjort siden vi ikke alltid vet når den historiske

perioden skal starte. Vi brukte følgende tre tilnærminger for å beregne lengden på den

historiske perioden: (i) sette h til den kjente lengden (h = n-s) (ii) sette h til tidsspennet fra

den første historiske hendelsen til slutten av den historiske perioden og (iii) følge

Prosdocimi (2017) og sette h til tidsspennet fra den første historiske hendelsen til slutten

av den historiske perioden pluss midlere tidsintervall mellom historiske flommer. Merk at

for (ii) og (iii) ble h estimert for hvert sample 𝑄ℎ´∗ .

Simulerings-eksperimentet gav oss k estimat av flomkvantiler. For å evaluere merverdien

i bruk av historiske data, beregnet vi midlere absolutt feil (MAF) og midlere relativ feil

(MRF) for estimerte flomkvantiler, der vi brukte estimat basert på hele den tilfeldig

trukne dataserien Q* som referanse. På denne måten kunne vi analysere den isolerte

effekten av å bruke deler av Q* som historisk informasjon. I tillegg målte vi stabilitet ved

å beregne variasjonskoeffisient for alle flomestimat basert på ulike utvalg for å lage Q*

(vi hadde 50 forskjellige utvalg).

4.1.4 Estimering av dimensjonerende kulminasjonsflom

Presentasjonen av dataene i kapittel 2 viser at dataserier for kulminasjonsflommer er

betydelig kortere enn dataserier for døgnflommer. Når vi skal estimere dimensjonerende

28

flommer ønsker vi å bruke flest mulig data for å redusere estimeringsusikkerheten. Vi

trenger derfor en robust anbefaling for hvordan vi kan kombinere relativt lange serier med

døgnflommer med kortere serier for kulminasjonsflommer. Dette gjorde vi ved å velge ut

de 26 seriene med mer enn 40 år med findata vist i tabell 5.

Tabell 5. Liste over stasjoner med mer enn 40 år med kulminasjonsflommer. Kolonnene med

serielengde viser lengde på hhv kulminasjonsflom og døgnflom serier.

St. nr. lengde St. nr. lengde St. nr. lengde

2.279 45 / 53 22.22 44 / 45 124.2 53 / 107

2.323 48 / 49 26.20 46 / 49 127.13 45 / 47

6.10 51 / 52 26.21 48 / 49 133.7 49 / 104

12.171 44 / 51 42.2 46 / 48 150.1 55 / 56

12.178 45 / 48 50.1 55 / 97 151.15 49 / 51

15.49 50 / 57 62.10 45 / 56 153.1 47 / 103

16.66 50 / 70 75.23 53 / 54 163.6 52 / 72

19.73 46 / 51 83.7 49 / 54 163.7 46 / 50

19.96 44 / 45 111.9 44 / 45

For å evaluere ulike strategier for å estimere dimensjonerende kulminasjonsflom, brukte

vi følgende framgangsmåte.

1) Estimere dimensjonerende flommer basert på GEV-fordeling med alle

kulminasjonsflomverdier.

2) Trekke ut – med tilbakelegging kulminasjonsflomserier med lengde 5,10,15 ,…,

50 år. 1000 trekninger for hver serielengde

3) Trekke ut – med tilbakelegging, døgnmiddelflomserier med lengde 50, 60, ,….,

100 år. 1000 trekninger for hver serielengde

4) Sammenligne metoder for å estimere dimensjonerende kulminasjonsflom:

a. Estimerer GEV-fordelingen for det trukne datasettet med

kulminasjonsflommer. (steg 2 ovenfor)

b. Estimerer GEV-fordeling for det trukne datasettet med døgndata (steg 3)

og beregne indeksflom ratio for kulminasjons- og døgnmiddelflom.

c. Lokal indeksflom fra kulminasjonsflommer pluss regional vektskurve (Se

kapittel 5 i denne rapporten)

5) Sammenligning av estimatene fra 1 og 4 der 1 brukes som fasit.

6) Evaluere om resultatene fra 3 er avhengig av lengde på tidsserier

4.1.5 Valg av plotteposisjon

I hydrologi brukes plotteposisjon for å beregne en empirisk fordeling for observerte

flomdata. Dette gjøres ved å sortere data i synkende rekkefølge. For en tidsserie med n

flommer er plotteposisjonen Gi = 1-Fi for datapunktet xi med rank i er vist i Tabell 4

29

sammen med gjentaksintervallet Ti for den høyeste observasjonen(i = 1), (husk at Ti = 1 /

Gi) . I dette studiet fokuserte vi på tre plotteposisjoner: Weibull, Gringerton og Hazen.

Gringerton plotteposisjon er optimalisert for å gi best mulig kvantil-estimat for Gumbel-

fordelte data. Weibull plotteposisjon skal gi best mulig estimat av overskridelses-

sannsynlighet for alle fordelinger. Hazen er et tradisjonelt valg.

Tabell 6: Plotteposisjoner. Fra Stedinger m.fl. (1993)

Navn Ligning Tmaks

Weibull i / (n+1) n+1

Median (i-0.3175) / ( n+0.365) 1.47*n+0.5

APL (i-0.35)/ n 1.54n

Blom (i -3/8)/ ( n+1/4) 1.60n+0.4

Cunnane (i-0.40) / ( n+0.2) 1.67n+0.3

Gringerton (i-0.44) / ( n+0.12) 1.79n+0.2

Hazen (i-0.5) / n 2n

Den empiriske fordeling definert ved plotteposisjon ble tidligere brukt for å tilpasse en

sannsynlighetsfordeling til observerte data. I dagens praksis brukes denne til å avgjøre

hvilken teoretisk fordeling som passer best til observasjoner. Dette valget er subjektivt

siden man gjør en visuell vurdering. Valget av plotteposisjon kan avgjøre hvilken

fordeling som velges. For å undersøke hvilken plotteposisjon som fører til flest riktige

valg av fordeling, og hvor subjektive slike valg er, ble det gjennomført en

spørreundersøkelse på en workshop om flomberegninger. Her vil vi oppsummere deler

av undersøkelsen. De fleste deltakerne var enten kjent med flomfrekvensanalyser eller

eksperter i flomfrekvensanalyser. Undersøkelsen ble avholdt i plenum der figurer ble vist

på en stor skjerm, og deltakerne skulle fylle inn sine egne svar i et google-skjema. Vi

simulerte data fra fem fordelinger, tre datasett fra hver fordeling, totalt 15 datasett. Alle

fordelinger ble tilpasset hvert datasett og plotteposisjon ble brukt for å visualisere de

simulerte dataene. Deltakerne skulle da svare på hvilken fordeling de synes passer best til

de simulerte dataseriene. Ingen informasjon ble gitt om plotteposisjon, og deltakerne fikk

ikke mulighet til å snakke sammen. Resultatene ble analysert i etterkant.

4.2 Resultater og diskusjon

4.2.1 Valg av fordeling og estimeringsmetode

I Figur 11 vises resultatene for de ulike evalueringskriteriene som funksjon av lengde på

dataserier. Merk at de laveste verdiene viser en beste prestasjonen for de ulike kriteriene.

I Figur 12 vises kun den estimeringsmetoden som gav de beste resultatene for de ulike

fordelingsfunksjonene. Merk at for evaluering av pålitelighet (AD, KS, QS og BS) utelot

vi ML-metoden for 3-parameter fordelingene siden den kunne gi veldig ustabile

resultater, mens for evaluering av stabilitet (CV) utelot vi moment-metoden siden den

kunne gi de mest upålitelige resultatene.

30

Figur 11. AD, KS, BS, QS og CV som funksjon av serielengde beregnet som et snitt over 280

stasjoner. Lave verdier indikerer de beste tilpasningene.

Figur 12. Evalueringskriterier som funksjon av lengde på dataserier. Lave verdier indikerer

de beste tilpasningene. For hver fordeling vises resultater for den estimeringsmetoden som

gav lavest verdi for evalueringskriteriene.

30 40 50 60 70 80 90

1.0

1.5

2.0

Anderson-Darling

Serielengde (år)

AD

MLMLL-moment

BayesianskL-moment

30 40 50 60 70 80 90

0.1

10.1

30.1

5

Kolmogorov-Smirnov

Serielengde (år)

KS

MLMLL-moment

BayesianskL-moment

30 40 50 60 70 80 90

0.0

482

0.0

488

Brier-score

Serielengde (år)

BS

L-momentMLBayesiansk

L-momentL-moment

30 40 50 60 70 80 90

0.0

435

0.0

445

0.0

455 Kvantil-score

Serielengde (år)

QS

O-momentO-momentL-moment

L-momentL-moment

30 40 50 60 70 80 90

0.0

50.1

00.1

50.2

0

Variasjonskoeffisient

Serielengde (år)

CV

MLMLBayesiansk

L-momentML

GumbelGammaGEVGLPearson

31

Figur 11 og 12 viser at uavhengig av estimeringsmetode, forbedres tilpasningen med

lengde på dataserier, og vi får den beste tilpasningen for de lengste dataseriene (90 år).

Basert på resultatene i dette kapittelet ser vi at

• GEV- og GL-fordelingene er de mest pålitelige, der GEV er mer stabil enn GL

for dataserier kortere enn 60 år.

• L-moment og Bayesiansk metode anbefales for å estimere parametre for alle 3-

parameter fordelinger.

• Maksimum-likelihood metoden bør ikke brukes for 3-parameter fordelinger siden

resultatene blir veldig ustabile.

• Brukes Gumbel-fordelingen, anbefales l-moment metoden foran Bayesiansk

metode.

• Det er ingen klar terskel for når man skal gå over fra 2-parameter til 3-parameter

fordeling. For Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov og Kvantil-score

kriteriene er Gumbel-fordelingen like god som GEV-fordelingen for korte

serielengder (kortere enn ca 50 år). For Brier-score er GL-fordelingen alltid best

og GEV-fordelingen alltid nestbest og presterer bedre en Gumbel-fordelingen for

alle serielengder. GL- og GEV-fordelingene veksler mellom å prestere best for de

ulike evalueringskriteriene.

• Resultatene indikerer at vi bør fortsette med eksisterende praksis for valg av

fordeling, dvs. bruke Gumbel-fordelingen for serielengder mellom 30 og 50 år,

og GEV-fordelingen for serielengder lengre enn 50 år.

Figur 13. L-moment ratio diagram for de 280 stasjonene med mer enn 30 år med data.

I Figur 13 vises l-moment ratio diagrammet. Vi ser at ved å beregne glidende

middelverdier for l-skjevhet, ligger punktene nærmest den teoretiske sammenhengen for

GEV-fordelingen. Dette tyder på at skal man velge fordeling for et nytt datasett, er GEV-

fordelingen det beste valget.

32

4.2.2 Bruk av historiske data

Bruk av historiske data ble kun systematisk evaluert på flomdata fra Bulken der vi har

brukt 123 år med observerte flommer og historisk informasjon for flommer tilbake til

1604. Resultatene for den første delen av eksperimentet er vist i Figur 14-16 der midlere

absolutt feil (MAF) (Fig. 14), midlere relativ feil (MRF) (Fig.15) og variasjonskoeffisient

(CV) (Fig. 16) er plottet som funksjon av lengde på systematiske data. Merk at for alle

disse figurene reduseres lengden på den historiske perioden når lengden på systematiske

data økes. Derfor vil styrken på likelihood-leddet ls øke mens styrken for leddene lb og la

minker med lengde på systematiske data. Terskler på 420 m3/s og 500 m3/s ble brukt for å

evaluere hvor følsomme resultatene er med hensyn på terskel. Den høyeste terskelen ble

overskredet ca. 8 ganger i løpet av 123 år og representerer ca. en 15-års flom. Den

laveste terskelen ble overskredet 24 ganger i løpet av 123 år og representerer en 5-års

flom. Estimat av 20, 50 og 100 års flommer basert på hele datasettet ble brukte som

referanse for å beregne MAF og MRF i Figur 14 og 15. I Figur 16 vises CV for

gjentaksintervall på 20, 200 og 500 år.

Fra Figur 14 ses en reduksjon i MAF ved bruk av historisk informasjon, og reduksjonen i

MAF er størst når lengden på systematisk data er kortest. Resultatene viser at merverdien

i historiske data er størst når lengden på systematiske data er kort, spesielt når man

kjenner størrelsen på de historiske flommene. Når bare informasjon om antall flom over

en terskel er kjent, gir en høy terskel mer informasjon enn en lav terskel. MRF reflekterer

bias i estimeringen. Fra Figur 15 ser vi at bruk av bare systematiske data har en tendens

til å undervurdere flomkvantilene når vi har færre enn 20 år med systematiske data, og

ved å bruke informasjon om antall flommer som overskrider en grense, overvurderes

flomkvantilene når vi har færre enn 50 år med data. Imidlertid gir bruk av informasjon

om antall flommer som overstiger en terskel lavest MRF. Figur 16 viser at vi oppnår

størst stabilitet når lengden på systematiske data er lengst og når vi kjenner størrelsen på

de historiske flommene. Reduksjonen i CV er størst når den systematiske

utvalgsstørrelsen er den korteste.

Figur 17 viser sensitiviteten til evalueringskriteriene med hensyn på den estimerte

lengden av den historiske perioden. De historiske dataene ble opprettet kun for høyeste

terskel (500 m3/s), og den estimerte fordeling med alle 123 års AMS-data ved Bulken ble

brukt som "sannheten". Resultatene i Figur 17 viser at evalueringskriteriene er følsomme

for hvordan lengden på den historiske perioden er estimert. Bruker man korteste mulig

lengde på historisk periode, dvs at den starter året for den tidligste historiske

flomhendelsen fører til en overestimering av returnivåer. Legger man til midlere

tidsintervall mellom historiske hendelser (i.e. midlere ventetid) oppnår man best resultat.

Dette bekrefter resultatene fra Prosdocimi (2017).

33

Figur 14. Midlere absolutt feil (MAF) som en funksjon av lengde på systematiske data.

Øverste rad viser resultat for laveste terskel på 420 m3/s nederste rad viser resultat for

høyeste terskel på 500 m3/s.

Figur 15. Midlere relativ feil (MRF) som en funksjon av lengde på systematiske data.



34

Figur 16. Variasjonskoeffisienten (CV) som en funksjon av lengde på systematiske data.



Figur 17. Midlere absolutt feil (MAF), midlere relativ feil (MRF), og variasjonskoeffisient

(CV) for estimerte flomkvantiler som en funksjon av lengde på systematiske data. Tre

forskjellige metoder ble brukt for å anslå lengden på den historiske perioden. En terskel på

500 m3/s ble brukt for å etablere historisk informasjon.

35

4.2.3 Estimering av dimensjonerende kulminasjonsflom

I dette delkapittelet evalueres hvordan vi kan kombinere relativt lange serier med

døgnflommer med kortere serier for kulminasjonsflommer. Dette gjorde vi ved å velge ut

de 26 seriene med mer enn 40 år med findata. I Figur 18 vises RMSNE (Root Mean

Square Normalized Error) for 100-års flommen som et gjennomsnitt over 1000 trekninger

av data og over alle 26 felt med tilstrekkelig lange dataserier. Vi ser at for serier lengre

enn 25 år, vil det, i snitt, lønne seg å utføre en lokal tilpasning av GEV-fordelingen. Men

det er store variasjoner mellom stasjonene hvor lang tidsserie med kulminasjonsflommer

man må ha for at det lønner seg å tilpasse data direkte til kulminasjonsflom-data.

Figur 18. RMNSE for 100-års flommen som funksjon av serielengde for

kulminasjonsflomverdier når man har brukt døgnmiddelflomserier med lengde 50 (a), 60

(b), 70 (c), 80 (d), og 90 (e) år. (f) Histogram som viser hvor lange tidsserier for

kulminasjonsflomverdier som behøves for at det lønner seg å gjøre en lokal tilpasning til

GEV-fordelingen i stedet for å bruke lange døgnmiddelflom-serier kombinert med

skaleringsfaktor fra middel til kulminasjonsflom.

36

4.2.4 Valg av plotteposisjon

Basert på spørreundersøkelsen i Figur 19 viser Histogram for hvilken fordeling som ble

valgt som riktig fordeling for ulike plotteposisjoner og underliggende sanne fordelinger.

Resultatene viser at det er store variasjoner mellom personer for hvilken fordeling som

foretrekkes. Men, i snitt, gir Gringorten plotteposisjon riktig valg av fordeling, og det

anbefales at denne brukes som plotteposisjon.

Figur 19. Histogram over valg av fordeling som ble anslått å gi best tilpasning til data ved

bruk av tre ulike plotteposisjoner.

4.3 Konklusjoner og anbefalinger for lokal flomfrekvensanalyse

I dette delkapittelet har vi systematisk evaluert ulike problemstillinger knyttet til lokal

flomfrekvensanalyse. Basert på disse analysene, kan vi komme med følgende

anbefalinger:

i. Bruk 3-parameterfordeling (GEV) for mer enn 50-år med data

ii. Bruk Gumbel-fordeling for 30-50 år med data

iii. Bruk Bayesiansk metode med informativ á-priori fordeling eller l-moment

metode for å beregne parametrene i de statistiske fordelingene.

iv. Bruk Gringerton plotteposisjon

v. Test ut hvor følsomme resultatene er for bruk av historiske data. Har man sikker

informasjon om historiske flommer, bør denne brukes.

GEV

Weib

ull

0.0

0.3

0.6

Gringort

en

0.0

0.3

0.6

Hazen

0.0

0.3

0.6

All

0.0

0.3

0.6

GL

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

Gumbel

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

LN3

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

P3

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

Gumb GEV GL P3 LN3

GEV

Weib

ull

0.0

0.3

0.6

Gringort

en

0.0

0.3

0.6

Hazen

0.0

0.3

0.6

All

0.0

0.3

0.6

GL

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

Gumbel

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

LN3

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

P3

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

0.0

0.3

0.6

Gumb GEV GL P3 LN3

37

vi. Har man mer enn 25-30 år med kulminasjonsflomdata, bør man tilpasse Gumbel-

eller GEV-fordeling direkte til disse dataene selv om man har lengre tidsserier

med døgndata.

Merk at anbefaling (i)-(iii) blir revurdert i kapittel 5 der alternativ formulering av á-priori

fordeling blir undersøkt.

Det er flere tema som bør undersøkes videre. Noen viktige punkter inkluderer:

• Kan en Bayesiansk analyse der dimensjonerende flom estimeres som et

Bayesiansk modellgjennomsnitt basert på flere flomfrekvensfordfelinger, gi mer

pålitelige og robuste flomestimat?.

• Ved noen stasjoner er det enkelte år som har eksepsjonelt lave flommer. Hvordan

skal man ta hensyn til disse i en lokal analyse?

• Bruke 24-timers glidende middel istedenfor klokkedøgn i lokal

flomfrekvensanalyse.

• Bruk av flommer over terskler (POT) som et alternativ til årlige

maksimalflommer.

• Hvordan behandle lave uteliggere i en flomberegning. I Norge kan lave

uteliggere spesielt opptre i felt dominert av snøsmelteflommer.

5 Regional flomfrekvensanalyse

5.1 Eksisterende retningslinjer NVE har i dag to veiledere/retningslinjer som gir råd til utførelse av

flomfrekvensanalyser i Norge. Den ene er presentert i «Retningslinjer for

flomberegninger» (Midttømme m. fl., 2011) som er utarbeidet for flomberegninger for

dammer og bygger på den regionale flomfrekvensanalysen etablert av Sælthun m.fl.

(1997) (RFFA_1997). Den andre er presentert i «Veileder for flomberegninger i små

uregulerte felt» (RFFA_NIFS) (Stenius m.fl., 2015) som omhandler små nedbørfelt

(nedbørfelt < ca 50km2). I tillegg har Norsk regnesentral utarbeidet en regional modell

innenfor FlomQ-prosjektet (RFFA_NR) (Thorarinsdottir m.fl., 2018)

I RFFA_1997 gjøres det separate analyser for vår- og høstflommer. Landet deles inn i

ulike geografiske regioner (Figur 20), det er ulike regioner for vår- og høstflommer.

Videre er det utviklet regresjonsligninger som beskriver sammenhengen mellom

middelflom og feltegenskaper (Tabell 6). Videre brukes frekvensfaktor for å beregne

dimensjonerende flomstørrelser (Tabell 7). Det er en regresjonsligning og en vekstkurve

for hver region, og resultatet er midlere døgnmiddelflom. Videre brukes det

regresjonsligninger for å beregne størrelsen på kulminasjonsflommen (Tabell 8).

38

Figur 20. Inndeling i regioner bruk i RFFA_1997

Tabell 6. Regresjonsligninger for beregning av middelflom (l/s/km2) i RFFA_1997.

Regresjonsligninger for indeksflom QM (l/s/km2)

V1 QM = exp (0,2722 • lnEG - 0,1406 • lnASE + 0,1006 • lnASF + 0,6172 • lnQN + 2,11)



V4 QI = exp(0,1848 • lnEG - 0,0137 • lnASE + 0,0873 • lnASF + 0,5143 • lnQN + 2,77)

H1 QI = exp (1,2805 • lnQN - 0,2267 • ln(A/FL) - 0,0664 • ASE + 0,0053 • EG + 1,00)



K1 QM = exp (1,5212 • ln QN - 1,1516 • lnPN - 0,0569 • ASE - 0,0093 • FL + 8,80)

K2 QM = exp (1,1524 • ln QN - 0,0463 • ASE + 1,57)

Bre QM = exp (0,0119 • QN - 0,0848 • ASE - 0,0165 • LF + 5,81)

39

Tabell 7. Frekvensfaktorer for beregning av dimensjonerende flom i RFFA_1997.

Q5/QM Q10/QM Q20/QM Q50/QM Q100/QM Q200/QM Q500/QM Q1000/QM

V1 1,2 1,4 1,6 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7

V2 1,2 1,4 1,5 1,7 1,9 2,0 2,2 2,3

V3 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,5

V4 1,3 1,5 1,8 2,1 2,3 2,6 2,9 3,1

H1 1,3 1,6 1,8 2,2 2,5 2,8 3,2 3,5

H2 1,3 1,6 2,0 2,4 2,7 3,0 3,6 3,9

H3 1,3 1,7 2,0 2,6 3,0 3,4 4,2 4,7

K1 1,2 1,4 1,7 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0

K2/bre 1,2 1,4 1,6 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7

Tabell 8. Regresjonsligninger for forholdstallet mellom kulminasjonsflom og

døgnmiddelflom i RFFA_1997. Qmom er kulminasjonsflom og Qdøgn er døgnmiddelflom.

Regresjonsligninger for forholdstallet

Vårflom Qmom/Qdøgn = 1.72 – 0.17 • log10 A – 0.125 • (ASE)0.5

Høstflom Qmom/Qdøgn = 2.29 – 0.29 • log10 A – 0,270• (ASE)0.5

I RFFA_NIFS (Stenius m.fl. 2015) er det presentert et formelverk for flomberegninger i

små nedbørfelt basert på regional flomfrekvensanalyse utført for 149 nedbørfelt under ca

50 km2. Resultatet fra analysen var at de styrende parametrene for beregning av

middelflom og vekstkurver var areal, normalavrenning og effektiv sjøprosent. I analysen

ble 16 fordelingsfamilier testet og fordelingen som ga best resultater var GL-fordelingen

(se kapittel 2.1 i Glad m. fl., 2014).

𝑄𝑀 = 18.97 ∙ 𝑄𝑁𝑉0.864 ∙ 𝑒𝑥𝑝(−0.251 ∙ √𝐴𝑆𝐸) (20)

𝑄𝑇

𝑄𝑀= 1 + 0.308 ∙ 𝑄𝑁

−0.137 [Γ(1 + 𝑘)Γ(1 − 𝑘) − (𝑇 − 1)−𝑘] 𝑘⁄ (21)

𝑘 = −1 + 2 [1 + 𝑒𝑥𝑝(0.391 + 1.54 ∙ 𝐴𝑆𝐸 100⁄ )]⁄ (22)

der 𝑄𝑀 er middelflom og 𝑄𝑇 er T-års flom.

I Thorarinsdottir m.fl. (2018) presenteres RFFA_NR som er en regional modell for

flomberegninger i umålte felt der man har bygget opp regionale modeller for alle

parameterne i den generelle ekstremverdifordelingen uten å gå om en indeksflomanalyse.

En Bayesiansk tilnærming er brukt der man ender opp med flere ulike modeller som får

tilordne sannsynligheter. Estimerte flomstørrelser vil bli et vektet snitt av flomstørrelser

beregnet for hver modell. Modellen kan ikke oppgis som et sett med ligninger, men

Tabell 9 gir en oversikt over de viktigste kovariatene i modellen.

40

Tabell 9. Andel modeller (0 – 100 %) der ulike feltparametre ble inkludert.

m α k

YLat 53 99 6

XLong 84 100 8

ASE 98 100 2

QN 6 11 9

FP 3 22 58

A 2 5 12

PApr 42 75 5

PAug 100 100 5

SMars 8 16 4

(H90 – H20)/FL 45 12 3

ASF 22 8 2

A/FL 12 95 11

5.2 Regresjonsanalyser Regresjonsanalyser brukes for å estimere en lineær sammenheng mellom en avhengig

variabel og forklaringsvariabler. I etterkant skal regresjonsmodellen brukes for å

predikere den avhengige variabelen for nye tilfeller der forklaringsvariablene er

tilgjengelige. I dette studiet utførte vi regresjonsanalyser for to avhengige variabler:

medianen for årets største døgnmiddelflom qind (l/s/km2), og forholdstallet mellom

median kulminasjons- og døgnmiddelflom φ = qind,m/qind,d . Målet med en

regresjonsanalyse er å finne den enkleste modellen som gir best mulig prediksjon. Vi

brukte en trening-test-validering-inndeling som beskrevet i 5.2.1. for å oppnå dette. I

dette studiet brukte vi to tilnærminger for å estimere regresjonsparametre og velge ut

forklaringsvariabler, skrittvis klassisk lineær-regresjon og Bayesiansk lineær-regresjon.

5.2.1 Estimering og evaluering av modeller

For å spesifisere hvilke forklaringsvariabler som skal være med i den beste

regresjonsmodellen, må man velge et kriterium som evaluerer hvor godt en modell passer

til data, sette strategi for å etablere den enkleste modellen som gir best prediksjonsevne

og velge framgangsmåte for å velge ut forklaringsvariabler. Root-mean-square-error

(RMSE), dvs avviket mellom en predikert og observert verdi, er et ofte brukt mål på hvor

god en modell er. Modellen med minst RMSE blir foretrukket. Bruk av RMSE som

evalueringskriterium baserer seg på en antagelse av normalfordelt støy.

For å etablere den enkleste modellen som har best prediksjonsevne, valgte vi en strategi

der vi evaluerer modellen på uavhengige observasjoner, dvs observasjoner som ikke ble

brukt for å bestemme modellparametre. Vi delte datagrunnlaget opp i tre sett: et

treningssett, et valideringssett og et testsett bestående av hhv 458, 35 og 35 felt.

Treningssettet ble brukt for å velge beste modell, dvs velge forklaringsvariabler og

estimere tilhørende regresjonskoeffisienter. Både klassisk og Bayesiansk regresjon ble

brukt. Disse to regresjonsmetodene har ulike kriterier for å velge forklaringsvariabler som

gir beste modell. Kriteriene kan justeres slik at de straffer i ulik grad for

modellkompleksitet. For hver regresjonsmetode gis ulik straff for modellkompleksitet slik

at vi kan teste ut hvor streng straff vi bør bruke.

41

Valideringssettet ble brukt for velge det kriteriet (dvs. straffen for modellkompleksitet) og

den regresjonsmetoden (Klassisk eller Bayesiansk) som gir best prediksjon ved å beregne

RMSE. Men for å i tillegg ha mulighet til å forenkle modellen, returneres også den

enkleste modellen (fra den beste modellen returnert for ulike verdier av

justeringsparameteren) som er innenfor 10% av beste valideringssett-RMSE.

Testsettet ble brukt for å velge regresjonsmetode (klassisk eller Bayesiansk) og få et mål

på hvor godt man venter at modellen oppfører seg i umålte felt. Også her ble RMSE brukt

som mål.

Valideringssettet og testsettet ble plukket ut manuelt ut fra følgende kriterier: geografisk

fordelt så jevnt som mulig samtidig som datakvalitet og feltparameteregenskaper ble

vurdert. Vurderingen ble utført slik at ulike typer av feltegenskaper er representert i

valideringssettet, så langt det lot seg gjøre samtidig som datakvaliteten ble vurdert så god

som mulig.

Etter at modellen er valgt og evaluert foretas en ny estimering der hele datasettet benyttes

for å estimere regresjonskoeffisienter for de utvalgte forklaringsvariablene. Dette gir

regresjonsparametrene som best oppsummerer hele datasettet.

For å analysere forholdstallet φ ble stasjonene delt opp i et analysesett (271 stasjoner) og

et valideringssett (44 stasjoner).

5.2.2 Skrittvis klassisk lineær-regresjon

I klassisk lineær regresjonsanalyse brukes minste kvadraters metode for å estimere

regresjonsparametre, dvs. at man minimerer summen av kvadratavvikene mellom

regresjonsligningen og observasjonene av den avhengige variabelen.

Skrittvis regresjon brukes for å systematisk søke etter modellen som gir best mulig

prediksjon av den avhengige variabelen, dvs. hvilke forklaringsvariabler som må være

med i den endelige regresjonsmodellen. Vi brukte framlengs skrittvis regresjon der vi for

hvert skritt søkte etter hvilken ny forklaringsvariabel som gir den største forbedringen i

modellprediksjon. I tillegg undersøkte vi for hver iterasjon et baklengs skritt for å teste

om en av de al

rapport - nve · 2020. 10. 19. · rapport nr. 10/2020 lokal og regional flomfrekvensanalyse utgitt...

Documents