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TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Ralph dos Santos Silva
Departamento de Métodos EstatísticosInstituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
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Técnicas de Amostragem
Sumário
Informações Auxiliares na Amostragem
Estimador da Razão
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
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Técnicas de Amostragem
Informações Auxiliares na Amostragem
Informações Auxiliares na Amostragem
O que são informações auxiliares?I O interesse da amostragem é estimar parâmetros populacionais
relativos à uma (ou mais) determinada variável y .I A unidade i da população está associada a observação (valor) yi da
variável de interesse.I Além da variável y pode-se ter associada à unidade i uma (ou mais)
variável x correlacionada com y , que pode ser usada como variávelauxiliar.
Por que usar?I Para melhorar a precisão das estimativas!
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Técnicas de Amostragem
Informações Auxiliares na Amostragem
Onde e quando?I As variáveis auxiliares podem ser usadas na definição do plano
amostral ou na definição dos estimadores.I Já vimos dois usos: estratificação e seleção PPT (ambos na definição
do plano amostral).
Exemplos:I Variável de interesse: número de cabeças de gado.I Auxiliares: área do estabelecimento rural, valor da produção em uma
pesquisa anterior, localização, área de pastagem, etc.
I Variável de interesse: valor do faturamento da empresa.I Auxiliares: pessoal ocupado, ramo de atividade, localização, quantidade
produzida, etc.
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Técnicas de Amostragem
Informações Auxiliares na Amostragem
Exemplo real do Censo Demográfico
Desde 1960 o Censo do Brasil tem dois questionários:I BÁSICO (efetivamente um censo), aplicado a todos os domicílios com
poucos quesitos (variáveis): sexo, idade, alfabetização, situação ecaracterísticas básicas do domicílio
I AMOSTRA, aplicado a uma amostra de domicílios (10% nas cidadesgrandes e 20% nas cidades pequenas, no Censo 2000): todas asvariáveis do questionário básico mais outras características dodomicílio, fecundidade, cor ou raça, deficiências, nupcialidade,escolaridade, religião, migração, mão-de-obra e rendimento.
As variáveis do questionário básico são usadas como variáveis auxiliarespara a estimação das variáveis pesquisadas apenas no questionário daamostra.
I Calibração dos pesos amostrais.
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Técnicas de Amostragem
Informações Auxiliares na Amostragem
Uso das informações auxiliares:I No plano amostral: estratificação, seleção com PPT.I Na estimação de parâmetros: vamos ver (ou pelo menos começar a
ver):I Estimadores de razão.I Estimadores de regressão.I Estimadores de pós-estratificação.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Definindo uma razão
Definição de razão:I Razão é a relação (quociente) entre duas variáveis de uma população.
Exemplos:I Relação entre os gastos das famílias com saúde e a renda total das
famílias.I Produtividade da terra: razão entre a quantidade de soja colhida e a
área plantada de soja.I Renda per capita: relação entre o PIB de um país e o número de
habitantes.
Não confundir com proporção que é sempre o total de uma contagem deunidades com certa característica, dividido pelo número de unidades dapopulação.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Estimador de uma razão
I Então, uma razão será definida como:
R =YX
=
∑Ni=1 Yi∑Ni=1 Xi
=YX.
Suponha uma AAS.I Um estimador intuitivo para R é a razão na amostra:
r = R =Y
X=
∑ni=1 yi∑ni=1 xi
=yx.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Propriedades do Estimador da Razão
I O estimador r é tendencioso.I Exemplo prático:
I Seja uma população P3 com Y = {2, 1, 4} e X = {4, 2, 5}.I Calculando a razão entre Y e X temos R = 7/11.I Supondo AAS, temos 3 possíveis amostras de tamanho 2 e a distribuição
amostral de r é dada por:
r 1/2 2/3 5/7Pr(r) 1/3 1/3 1/3
I Portanto, E(r) = 79/126 6= R = 7/11.
I Note que os estimadores das médias de y e x são não tendenciosos,porém r é tendencioso.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Propriedades do Estimador da RazãoI O estimador r é consistente:
I Definição: seja Θ um estimador de baseado em uma amostra de tamanhon. O estimador será dito consistente se:
ΘN = θ.
I Logo, r é consistente porque se o calcularmos sobre toda a populaçãoteremos rN = R.
I O estimador r é dito assintoticamente não tendencioso, ou seja: atendenciosidade do estimador tende a zero quando n→ N.
I Pode-se mostrar que:
T (r) = B(r) ' R(N − n)Nn
[S2
x
X2 −
Sxy
XY
]=
R(N − n)Nn
[(CVx)
2 − ρCVx CVy
]I ρ é o coeficiente de correlação de entre as variáveis x e y .I Então, nota-se que T (r)→ 0 quando n→ N.
I Temos que r será não tendencioso se Y = ρSy
SxX .
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Propriedades do Estimador da Razão
I Erro quadrático médio de r :
EQM(r) = Var(r) + [T (r)]2 = Var(r)[1 +
[T (r)]2
Var(r)
].
I Logo r será aproximadamente não tendencioso se[T (r)]2
Var(r)' 0.
I Na prática, admitimos[T (r)]2
Var(r)6 0, 01 ou
|T (r)|√Var(r)
6 0, 10.
I Pode-se mostrar queT (r)√Var(r)
= −ρ?√
Var(x)X
, sendo ρ? o coeficiente
de correlação entre r e x .I Como o coeficiente de correlação é no máximo 1 em valor absoluto,
temos que:|T (r)|√Var(r)
6 CV(x).
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Propriedades do Estimador da Razão
I Então, para que a tendenciosidade do estimador r seja pequenadevemos ter uma amostra de tamanho n tal que
CV(x) 6 0, 10 ou n0 >
[CVx
0, 10
]2
⇒ n >n0
1 + (n0/N),
sendo CVx o coeficiente de variação populacional da variável auxiliar x .
Exemplo:
Deseja-se estimar a razão entre uma variável y e outra x . Sabe-se por umapesquisa anterior que S2
x é da ordem de 100 e sua média é 5. Qual deve sero tamanho da amostra para que a tendenciosidade da estimativa sejadesprezível, sabendo-se que a população tem 5.000 unidades?
n0 =
[(10/5)
0, 1
]2
= 202 = 400⇒ n >400
1 + (400/5000)= 370, 37.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Variância do Estimador da Razão
I Quando pudermos supor a tendenciosidade de estimação desprezível,
ou seja,|T (r)|√Var(r)
6 0, 10, podemos calcular a variância de r por:
Var(r) ' 1− f
nX2 [S2
y + R2S2x − 2ρRSx Sy ] =
1− f
nX2 ×
1N − 1
N∑i=1
(Yi −RXi)2.
I Se a média de x for conhecida Var(r) pode ser estimada por
v(r) ' 1− f
nX2 [s2
y + r 2s2x −2rsxy ] =
1− f
nX2 ×
1n − 1
n∑i=1
(yi − rxi)2 =
1− f
nX2 s2
r .
Se a média de x for desconhecida, substitui-se X por x na fórmulaacima.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Exemplo:
Seja a população P3 dada na tabela:
Ui Yi Xi
1 3 22 2 33 5 5
I Calcular a razão populacional entre y e x .I Estimar R para todas as AAS possíveis de tamanho 2.I Calcular a tendenciosidade verdadeira e a aproximada para r .I Calcular o EQM verdadeiro e o aproximado para r .I Calcule a variância verdadeira e aproximada para r .
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Margem de Erro do Estimador da Razão
I Seja: n0x >
[CVx
0, 1
]2
e n0y >
[CVy
0, 1
]2
.
I Seja: n > máx{
30;n0x
1 + (n0x/N);
n0y
1 + (n0y/N)
}.
I Assim, temos que:r − R√Var(r)
≈ N (0, 1).
I Logo: D(r) = z1−α/2√
Var(r) e Dr (r) = z1−α/2CV(r).
I Estimado por: d(r) = z1−α/2√
v(r) e dr (r) = z1−α/2cv(r).
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Estimadores de Razão para Total e Média
Problema (Bolfarine e Bussab):I Deseja-se estimar a quantidade de açúcar que pode ser extraída de um
caminhão de laranja. As unidades populacionais são as laranjas e avariável de interesse y é:
I Yi : quantidade de açúcar na laranja i .
I Acontece que não se conhece o número de laranjas, N, do caminhãopara utilizar o estimador Y = Ny .
I Por outro lado, sabe-se que a quantidade de açúcar está correlacionadacom o tamanho ou peso da laranja. Então, a variável x definida como
I Xi : peso da laranja i .
I Esta pode ser usada como variável auxiliar.I Podemos, então definir a razão ou quantidade média de açúcar por
unidade de peso como R = Y/X , ou seja, a quantidade média deaçúcar por unidade de peso é o total de açúcar pelo peso total da cargade laranja.
I Ou ainda, Y = RX , o total de açúcar é o peso da carga vezes aquantidade média de açúcar por unidade de peso.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
I Agora ficou fácil! Basta uma amostra de n laranjas para que possamosestimar R, ou seja, calcular
r =yx, e, consequentemente, YR = rX ,
sendo X o peso total da carga de laranjas!I Portanto, podemos definir um estimador de razão para o total de uma
variável de interesse y a partir de uma variável auxiliar x como:
YR = rX ,
sendoI r é o estimador da razão entre y e x .I X é o total conhecido para a variável auxiliar x .
I Para a média temos:
yR = rX =YR
N.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
I As variâncias desses estimadores são dadas por:
Var(YR) = X 2Var(r) e Var(yR) = X2Var(r).
No caso de AAS, tem-se:
S2R ' S2
y + R2S2x − 2RSxy =
1N − 1
N∑i=1
(Yi − RXi)2.
Var(YR) ' N × N − nn
S2R e Var(yR) '
N − nnN
S2R = (1− f )
S2R
n.
I Veja que as fórmulas são parecidas com as dos estimadores naturais daAAS, a menos do S2.
I Pode-se estimar as variâncias desses estimadores por:
v(YR) = X 2v(r) e v(yR) = X2v(r).
I No caso de AAS tem-se:
s2R ' s2
y + r 2s2x − 2rsxy =
1n − 1
n∑i=1
(yi − rxi)2.
v(YR) ' N × N − nn
s2R e v(yR) '
N − nnN
s2R = (1− f )
s2R
n.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Exemplo
Foi feita uma pesquisa por AAS em 100 colégios de uma população formadapor 468 colégios. A tabela mostra os resultados amostrais para as variáveisnúmero de estudantes, y , e número de professores, x , dos colégiospesquisados. Sabe-se que o total de professores para o conjunto de escolasé 15.000.
n∑468
i=1 yi∑468
i=1 y2i
∑468i=1 xi
∑468i=1 x2
i∑468
i=1 yixi
100 44988 36248004 3099 144209 2160390
1. Estimar o total de alunos usando o estimador natural.
2. Estimar o total de alunos usando estimador de razão.
3. Comparar as estimativas das variâncias dos estimadores.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão
Comparação do estimador de razão com o natural
I Variância do estimador natural do total na AAS:
VarAAS(Y ) = N2 1− fn
S2y .
I Variância do estimador de razão do total:
VarAAS(YR) = N2 1− fn
S2R .
I Então, para que o estimador de razão seja melhor devemos ter:
VarAAS(YR) < VarAAS(Y )⇔ ρ(x , y) >12
CVx
CVy,
utilizando-se o fato que
S2R < S2
y ⇒ S2y + R2S2
x − 2ρ(x , y)RSx Sy < S2y .
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Pode-se definir dois estimadores de razão diferentes para o total (ou média)na Amostragem Estratificada:
I Estimador de razão combinada: YRCI Será baseado nos estimadores estratificados dos totais populacionais de y
e x, ou seja, Yae e Xae;
I Estimador de razão separada: YRSI Será baseado nos estimadores dos totais de x e y dentro de cada um dos
estratos, ou seja, nos Yh e Xh.
Vamos supor uma Amostra Estratificada com AAS dentro de cada estrato,denotando por AES.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Estimador de razão combinada:
YRC =Yae
XaeX =
∑Hh=1 Yh∑Hh=1 Xh
X =yae
xaeX = rRCX .
I Veja que o estimador da razão combinada só depende do conhecimentodo total populacional, X , da variável auxiliar x e não dos totais porestrato.
I O estimador da razão combinada é consistente.I O estimador da razão combinada é tendencioso.I Como vimos no caso de AAS, quando temos AES também podemos ter
a tendenciosidade desprezível, pois pode-se demonstrar que:
|T (YRC)|√Var(YRC)
6 CV(Xae)
I Na prática é usual considerar a tendenciosidade desprezível se:
CV(Xae) = CV(xae) 6 0, 1.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
I Então, para que a tendenciosidade seja considerada desprezível é bomque se tenha uma estimativa da média (ou total) da variável auxiliar xprecisa.
I Como anteriormente, fixa-se o coeficiente de variação da estimativa damédia de x em, no máximo, 10%.
I Logo, vamos calcular um tamanho de amostra tal que:
n >
1N2
H∑h=1
N2h S2
h(x)ah
0, 01X2 +
1N2
H∑h=1
NhS2h(x),
sendo ah um valor que depende da alocação de amostra utilizada.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
I Se o tamanho da amostra for suficiente para que a tendenciosidade sejadesprezível, uma fórmula para a variância aproximada será:
Var(YRC) ' N2[Var(yae) + R2Var(xae)− 2RCov(xae, yae)].
I Como temos AAS dentro de cada estrato:
Var(YRC) 'H∑
h=1
Nh(Nh − nh)
nh[S2
h(y) + R2S2h(x)− 2RSh(x , y)],
I Ou ainda,
Var(YRC) 'H∑
h=1
Nh
Nh − 1× Nh − nh
nh
Nh∑j=1
[(Yhj − Y h)− R(Xhj − X h)]2.
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
A variância pode ser estimada por:
v(YRC) 'H∑
h=1
Nh(Nh − nh)
nh[s2
h(y) + r 2RCs2
h(x)− 2rRCsh(x , y)],
sendo
s2h(y) =
1nh − 1
nh∑j=1
(yhj − yh)2
s2h(x) =
1nh − 1
nh∑j=1
(xhj − xh)2
s2h(x , y) =
1nh − 1
nh∑j=1
(xhj − xh)(yhj − yh).
Para a média temos as seguintes fórmulas:
yRC =YRC
N, Var(yRC) =
1N2 Var(YRC), e v(yRC) =
1N2 v(YRC).
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Exemplo
A tabela mostra informações de todas as fazendas de uma regiãoestratificadas segundo sua área. A variável de interesse, y , é a área complantação de milho e a variável auxiliar, x , é a área total de cada fazenda. Aideia é comparar a precisão de diversos estimadores para uma amostra detamanho 100, sendo 70 fazendas selecionadas no estrato 1.
Estrato Acres Nh Y X S2y S2
x Sxy R1 <160 1580 19,40 82,56 312 2055 494 0,23502 >160 430 51,63 244,85 922 7357 858 0,2109
Total 2010 26,30 117,28 620 7619 1453 0,2243
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Técnicas de Amostragem
Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Estimador de razão separada:
YRS =H∑
h=1
YhR =H∑
h=1
yh
xhXh
H∑h=1
rhXh.
I É baseado nos estimadores de razão dos totais de cada estrato.I Para este estimador é preciso conhecer os valores dos totais da variável
auxiliar x para cada um dos estratos.I É um estimador consistente, pois usa um estimador de razão para os
totais dos estratos que, por sua vez, é um estimador consistente.I Quanto à tendenciosidade, é necessário que se tenha tamanhos de
amostras nos estratos, nh, suficientemente grandes para que atendenciosidade de cada YhR seja desprezível.
I Se cada estrato tiver aproximadamente o mesmo nível de tendência,pode-se admitir que a tendenciosidade do estimador do total seja Hvezes a tendenciosidade do estimador dos totais de cada estrato, ouseja: |T (Y RS)|√
Var(Y RS)6√
HCV(X h)
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Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
I Na prática, pode-se admitir:
|T (Y RS)|√Var(Y RS)
6√
HCV(X h) 6 0, 20.
I A variância aproximada do estimador é dada por:
Var(YRS) 'H∑
h=1
Nh(Nh − nh)
nh[S2
h(y) + R2hS2
h(x)− 2RhSh(x , y)],
I Ou ainda,
Var(YRS) 'H∑
h=1
Nh
Nh − 1× Nh − nh
nh
Nh∑j=1
[(Yhj − Y h)− Rh(Xhj − X h)]2.
I A variância pode ser estimada por:
v(YRS) 'H∑
h=1
Nh(Nh − nh)
nh[s2
h(y) + r 2h s2
h(x)− 2rhsh(x , y)].
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Estimador da Razão na Amostragem Estratificada
Comparação dos estimadores de razão combinada e separada
X Os dois estimadores são equivalentes quando Rh = R para todos osestratos (pelo menos aproximadamente).
X Caso exista uma grande diferença entre os Rh será aconselhável o usodo estimador da razão separada.
X Intuitivamente, nestes casos, é preferível usar a razão separada, já queé baseado em informações mais detalhadas da variável auxiliar x .