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REDUCCIÓN AL ABSURDO POR ASIGNACIÓN DE

VALORES VERITATIVOS (RAAV) Y VALIDEZ ARGUMENTAL

Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas Academia de Filosofía e Historia de las Ideas B, UACM

Facultad de Filosofía y Letras, UNAM parv@unam.mx

I. INTRODUCCIÓN

En esta ponencia propongo un procedimiento (algoritmo) para la aplicación

adecuada del método semántico de prueba de la Reducción al Absurdo por

Asignación de Valores veritativos (RAAV), cuando se lo aplica a la evaluación

de la validez de argumentos deductivos en el ámbito del segmento

proposicional de la lógica deductiva de primer orden. Respecto de los métodos

sintácticos de demostración de validez (axiomáticos o no), la ventaja general de

los métodos semánticos consiste en que permiten demostrar tanto validez

como invalidez de argumentos; a diferencia aquéllos, diseñados sólo para

demostrar validez. Respecto del método semántico de las tablas de verdad, la

ventaja del método de RAAV consiste, en particular, en evitar la confección de

dichas tablas, cuya complejidad crece exponencialmente según el número de

letras proposicionales: 2n filas para un conjunto de fórmulas con n letras

distintas; respecto del método de los tableaux semánticos, basados también en

la RAA, la utilidad y la potencia del método de la RAAV es similar a la de éste.1

El orden de mi exposición será el siguiente. En la § II introduzco algunas

definiciones que me serán de utilidad en la enunciación del método de

evaluación de RAAV; en la § III describo los pasos del método; en la § IV

1 En Max Fernández et. al., Lógica elemental, cap. 2, § 4, pp. 60-6 y María Manzano et. al.,

Lógica para principiantes, cap. 4, pp. 75-109, pueden consultarse sendas versiones del método semántico de los tableaux semánticos.

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expongo mis conclusiones y en la § V, la bibliografía utilizada en la confección

de esta ponencia.

II. ALGUNAS DEFINICIONES

Un argumento proposicional (argumento de aquí en adelante) es la

formalización de un argumento deductivo cuya adecuada evaluación de validez

no exige el examen de la estructura lógica interna de sus enunciados simples

componentes.

Una fórmula es una premisa cualquiera o la conclusión de un argumento.

Un caso de prueba de validez de un argumento consiste en una asignación

suficiente (no necesariamente completa) de valores veritativos a las letras

proposicionales de las fórmulas de un argumento (premisas y conclusión), tal

que dicha asignación permita asignar un valor definido: o verdadero (V), o falso

(F) o verdadero-y-falso (V/F) a todas o, por lo menos, a algunas de tales

fórmulas (un caso de prueba puede concluir en el momento en el que aparezca

una asignación V/F a alguna fórmula, hayamos asignado un valor definido o no

a todas las demás fórmulas).

Una asignación mínima es una asignación de valores veritativos a las letras

proposicionales de una fórmula que la verifica, o la falsifica, de acuerdo con la

hipótesis de que ésta es V, o F, mediante el expediente de asignar un valor

sólo a aquéllas letras que resulte suficiente hacerlo (quizá no a todas) a fin de

poder verificar o falsificar tal fórmula. V. g., basta con asignar V a un disyunto

cualquiera, o a un consecuente, para verificar la disyunción, o el condicional,

del que aquél forme parte; asimismo, basta con asignar F a un conyunto

cualquiera, o a un antecedente, para falsificar la conjunción, o verificar el

condicional, del que aquél forme parte.

Una asignación unívoca es la asignación única posible, si la hay, de valores

veritativos a las letras proposicionales de una fórmula que la verifica, o la

falsifica, de acuerdo con la hipótesis de que ésta es V, o F. Así, son unívocas

las asignaciones que verifican una conjunción y una negación y las que

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falsifican una negación, una disyunción y un condicional; siempre y cuando lo

que figure en tales fórmulas sean letras simples. Las asignaciones unívocas

son deseables porque abren casos únicos de prueba de validez en los

argumentos.

Una asignación equívoca es una asignación posible entre otras, si las hay, de

valores veritativos a las letras proposicionales de una fórmula que la verifica, o

la falsifica, de acuerdo con la hipótesis de que ésta es V, o F. Así, es equívoca

cualquiera de las asignaciones que verifican una disyunción (tres), un

condicional (tres) y un bicondicional (dos) y las que falsifican una conjunción

(tres) y un bicondicional (dos).2 Las asignaciones equívocas, aunque a veces

necesarias, no son deseables porque abren en principio casos múltiples de

prueba de validez en los argumentos (al menos los incluidos entre paréntesis

para cada conectiva).

De lo anterior se desprende que toda asignación unívoca es mínima y

toda asignación mínima es o unívoca o equívoca. De ahí que cuando se tenga

que hacer una asignación equívoca a una fórmula conviene cuidar que ésta

sea también una asignación equívoca mínima, a fin de evitar al máximo la

apertura de casos posibles de prueba de validez de un argumento. V. g., para

el caso de la verificación de una disyunción conviene asignar V a uno solo de

sus disyuntos, no a ambos, dejando el otro disyunto sin valor asignado, lo cual

abre un solo caso de prueba; de ser necesario abrir otro caso de prueba

relacionado con tal disyunción, se asignaría ahora V únicamente al otro

disyunto, dejando el primero mencionado sin valor asignado; eso abriría nada

más dos casos de prueba relativos a tal disyunción y no los tres equívocos

posibles que la verifican.

III. PASOS DEL MÉTODO

2 Entonces, v. g., una asignación que verifique la negación de una conjunción es

aparentemente unívoca pues cualquier negación es V sí y sólo si lo negado es F; sin embargo, como en este caso lo negado no es una letra simple, sino una conjunción y ésta incluye tres casos posibles de falsedad, en realidad una asignación que verifique una negación tal es equívoca.

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Caso 1º) Para un caso de prueba abierto

(1) Hipótesis: suponemos que el argumento a evaluar es inválido, i. e., que

tiene premisas Vs y conclusión F.

Veamos la aplicación del método al siguiente argumento a guisa

de ejemplo:

Hip.

V 1. (R N) (S T)

V 2. K (R U)

V 3. (M R) (A N)

V 4. S (T K)

V 5. M A

F 6. / U

(2) Asignamos los valores de verdad V o F a las letras proposicionales de

las formulas, de acuerdo con (1), sólo donde las asignaciones sean

unívocas. En nuestro caso, la única asignación unívoca posible es a la

conclusión: 6. U = F o Uf.

Si no es posible hacer alguna asignación unívoca de V o F a las

letras de las formulas de nuestro argumento, de acuerdo con (1),

aplicamos la siguiente salvedad.

Salvedad: Hacemos una asignación equívoca a una fórmula, cuidando

que sea una de las asignaciones mínimas que más fácilmente tiendan a

verificar las premisas y falsificar la conclusión. Además, debemos cuidar

la minimalidad de la asignación mencionada pues mientras más

asignaciones equívocas posibles tenga una fórmula más casos de

prueba de validez del argumento se abrirán en principio: uno por cada

asignación posible. Deberemos considerar tales casos luego de concluir

el primero, si es que en éste no se demuestra la hipótesis (invalidez), i.

e., si es que en éste no se demuestra que las premisas pueden ser Vs y

la conclusión F (véase (6.1)). (En el contexto de la aplicación de la

presente Salvedad, la no demostración de invalidez sucede si surge

alguna asignación -contradictoria- del valor V/F a alguna de las fórmulas

(véase (6.3)).

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(3) Distribuimos los valores V o F ya asignados a algunas letras, de acuerdo

con el paso anterior, al resto de figuraciones de las mismas letras en las

demás fórmulas del argumento.

En nuestro caso, la única distribución tal posible, de acuerdo con

lo mencionado, es a la premisa 2 (y dado que dicha asignación depende

de la previa hecha a 6, marcamos tal dependencia mediante minúsculas

apostrofadas a la derecha de las fórmulas; práctica con la que

continuaremos de aquí en adelante):

Hip.

V 1. (R N) (S T)

V 2. K (R Uf) a’

V 3. (M R) (A N)

V 4. S (T K)

V 5. M A

F 6. / Uf a

(4) De ser posible, determinamos sólo mediante nuevas asignaciones

unívocas el valor veritativo de aquellas fórmulas a las que les aplicamos

el paso anterior; de no ser posible hacerlo, aplicamos la Salvedad

enunciada en (2).

En nuestro caso, debemos aplicar la Salvedad por primera vez y lo

haremos a 5 pues, de entre todas las premisas 1-5, es la que admite la

asignación equívoca más mínima posible (observemos que esto abre en

principio al menos dos casos de prueba posibles de validez del

argumento bajo examen: Mv A y M Av; las demás premisas abren

aun más casos por ser más complejas). Consideremos, entonces, la

asignación mínima y equívoca que verifica 5: Mv A (como no

necesitamos asignar nada a A para verificar 5 no lo hacemos, a fin de

minimizar la apertura futura de casos de prueba posibles; también para

poder asignarle cualquier valor a A de ser necesario en el curso futuro

de la prueba presente)

Hip.

V 1. (R N) (S T)

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V 2. K (R Uf) a’

V 3. (M R) (A N)

V 4. S (T K)

V 5. Mv A b

F 6. / Uf a

(5) De ser necesario, continuamos así, reiterando los pasos (3)-(4) (en ese

orden, dando lugar, entonces, a los pasos (5)-(6), (7)-(8), etc.), hasta

asignar un valor veritativo a todas las fórmulas del argumento.

En nuestro caso, la asignación b a 5: Mv A ocasiona lo siguiente

(véase abajo). Primero, su secuela b’ en 3: (Mv R) (A N).

Segundo, la asignación unívoca c en también en 3, de R = V, que

verifica su primer conyunto: Mv Rv y sus secuelas c’ en 1: (Rv N)

(S T) y en 2: K (Rv U). Tercero, la asignación unívoca d en 1, de S

= V y T = V, que la verifica: (Rv N) (Sv Tv) y su secuela d’ en 4: Sv

(Tv K). Cuarto, la asignación unívoca e también en 4, de K = V, que

la verifica: Sv (Tv Kv); pero esto genera una asignación F en 2 que

contradice la hipótesis de que debe ser V: Kv (Rv Uf). (Observemos

que ya no es necesario asignar ningún valor al segundo conyunto de 3:

A N, pues ya arribamos a una asignación contradictoria V/F, con lo

cual damos por concluido el caso 1º) de prueba; sin embargo, podemos

asignar A = F en 3 si así lo deseamos, a fin de verificarla.)

Hip.

V 1. (Rv N) (Sv Tv) c’/d

V/F 2. Kv (Rv Uf) a’/c’/e’

V 3. (Mv Rv) (A N) b’/c

V 4. Sv (Tv Kv) d’/e

V 5. Mv A b

F 6. / Uf a

Nuestra prueba podría haber finalizado de otra manera: luego de

la asignación d en 1, y su secuela d’ en 4 (véase arriba), puede concluir

con la asignación unívoca e en 2, no en 4 como antes, ahora de K = F,

que la verifica: Kf (Rv Uf); pero su secuela e’ falsifica 4: Sv (Tv

Kf), lo cual contradice la hipótesis de que 4 debería ser V.

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Hip.

V 1. (Rv N) (Sv Tv) c’/d

V 2. Kf (Rv Uf) a’/e

V 3. (Mv Rv) (A N) b’/c

V/F 4. Sv (Tv Kf) d’/e’

V 5. Mv Af b

F 6. / Uf a

(6) El proceso anterior puede finalizar de uno de los tres modos distintos

posibles siguientes:

(6.1) Concluimos que el argumento es inválido si no se generó alguna

asignación (contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas,

hayamos tenido que aplicar la Salvedad (una o más veces) o no.

(6.2) Concluimos que el argumento es válido si se generó alguna

asignación (contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas

y no tuvimos que aplicar la Salvedad.

(6.3) No podemos concluir nada si se generó alguna asignación

(contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas y sí tuvimos

que aplicar la Salvedad (pues su aplicación genera nuevos casos

de prueba que deben ser examinados antes de poder decidir la

cuestión).

Nuestra prueba cae en el apartado (6.3) pues tuvimos que hacer una

asignación equívoca a la premisa 5: Mv A (véase paso (4) arriba), por lo que

se abrieron en principio al menos dos casos de prueba para la hipótesis de que

5 es V y debemos proceder a examinar el segundo antes de poder decidir la

cuestión. Consideremos, pues, la asignación equívoca y mínima: M Av.

Caso 2º) Para dos casos de prueba abiertos

(7) Abrimos el caso 2º) de prueba reiterando (1) (la Hipótesis) y haciendo

una asignación equívoca pertinente a las letras de alguna fórmula; tal

asignación es alguna de las que quedaron pendientes luego de aplicar la

Salvedad, una o más veces, al caso 1º de prueba.

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Para nosotros, el caso 2º) de prueba se abre del modo siguiente.

Las asignaciones a y a’ las trasladamos del caso 1º) a éste y la

asignación b en 5, de A = V, es la que realmente abre el caso 2º): M

Av, con su secuela b’ en 3: (M R) (Av N):

Hip.

V 1. (R ˅ N) (S T)

V 2. K (R Uf) a’

V 3. (M R) (Av N) b’

V 4. S (T K)

V 5. M Av b

F 6. / Uf a

(8) Aplicamos los pasos (3)-(5) al caso 2º) exactamente igual que los

aplicamos antes al 1º).

En nuestro caso, la prueba continúa del modo siguiente (véase

abajo). Primero, mediante la asignación unívoca c en 3, de N = V, lo cual

verifica su segundo conyunto: (M R) (Av Nv) y su secuela c’ en 1:

(R Nv) (S T). Segundo, sigue con la asignación unívoca d también

en 1, de S = V y T = V, lo cual la verifica: (R Nv) (Sv Tv) y su

secuela d’ en 4: Sv (Tv K). Tercero, avanza con la asignación

unívoca e aún en 4, de K = V, que la verifica: Sv (Tv Kv) y su secuela

e’ en 2: Kv (R Uf). Cuarto, prosigue con la asignación unívoca f

también en 2, de R = F, lo cual la verifica: Kv (Rf Uf) y su secuela f’

en 3: (M Rf) (Av Nv). Quinto, concluye con la asignación unívoca g

aún en 3, de M = F, lo cual finalmente la verifica: (Mf Rf) (Av Nv).

En este caso 2º) de prueba no surgió una contradicción, lo cual es

afortunado como veremos.

Hip.

V 1. (R Nv) (Sv Tv) c’/d

V 2. Kv (Rf Uf) a’/e’/f

V 3. (Mf Rf) (Av Nv) b’/c/f’/g

V 4. Sv (Tv Kv) d’/e

V 5. M Av b

F 6. / Uf a

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(9) El proceso anterior puede finalizar de nuevo de uno de los tres modos

distintos posibles siguientes:

(9.1) Concluimos que el argumento es inválido si no se generó alguna

asignación (contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas.

(9.2) Concluimos que el argumento es válido si se generó alguna

asignación (contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas

y había sólo dos casos de prueba abiertos luego de haber tenido

que aplicar la Salvedad una sola vez (en el caso 1º) de prueba).

(9.3) No podemos concluir nada si se generó alguna asignación

(contradictoria) del valor V/F a alguna de las fórmulas y había

más de dos casos de prueba abiertos pendientes luego de

finalizar el caso 1º).

Nuestro caso 2º) de prueba cae ahora en el apartado (9.1) por lo que

concluimos que el argumento evaluado es inválido.

Caso no) Para un número n de casos de prueba abiertos

Podemos resolver n casos de prueba abiertos ejecutando pasos similares a los

(7)-(9) del modelo presentado para el caso 2º) de prueba (claro, luego de haber

pasado por los pasos (1)-(6) del caso 1º)), hasta n veces de ser necesario si

hay n casos de prueba abiertos.

IV. CONCLUSIONES

En esta ponencia diseñé un algoritmo para evaluar la validez de argumentos

deductivos proposicionales, formalizables adecuadamente en el segmento

proposicional de la lógica deductiva de primer orden. El algoritmo se basa en el

método semántico de prueba de la Reducción al Absurdo por Asignación de

Valores veritativos (RAAV). Como señalé en la Introducción, el método de

RAAV parece ser tan útil y potente como el de los tableaux semánticos. En

efecto, pues es fácilmente extensible a fin de que pueda cubrir la evaluación de

la tautologicidad, la contradictoriedad o la contingencia de fórmulas

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cualesquiera; por ello, también puede elaborarse una versión suya apropiada

para evaluar la validez de argumentos proposicionales bajo la forma del

“condicional asociado” a un argumento. En una versión más simple, que no

necesita apelar al método de la reductio, sirve también para evaluar las meras

verdad o falsedad de fórmulas cualesquiera, al igual que el método de las

tableaux.

V. BIBLIOGRAFÍA

FERNÁNDEZ de Castro, Max, PREISSER, Asunción, SEGURA, Luis Felipe y

TORRES Falcón, Yolanda, Lógica elemental, UAM, México D. F., 1996.

MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, Alianza

Editorial, Madrid, 2006.