MET/07

R E F O R Z A M I E N T O A L G E B R A 1º MEDIO

CONCEPTOS BÁSICOS:

1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m

En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado

– 3,7a5b3c menos 3,7 a5b3c 5+3+1=9

xyz

– 8a4c2d3

3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.Ejemplo:

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:

Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35zBinomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5bTrinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.Ejemplo: 3a5b2 + 4a4b6c + 2a3b – b4 es de grado 11 (4 + 6 +1 = 11)

Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión algebraica Grado de la expresión Nº de términos Nombre7m – 5n3 3 2

a – b + c – 2dm2 + mn + n2

x + y2 + z3 – xy2z3

VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

1

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:Valoremos la expresión: 3xy2 – 5yz3 + 2xz, considerando x = - 3; y = –1; z = 2

Recuerda:

Veamos el ejemplo propuesto: 3xy2 – 5yz3 + 2xz

= -9 + 40 - 12 = 19

Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Expresión algebraica Reemplazar :a = 2; b =5; c = –3; d =–1; f = 0 Resultado

4 ab – 3 bc – 15d

Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.Ejemplos:

En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

En la expresión x2y3 – 8xy2 + x2y3 , x2y3 es semejante con x2y3

Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

Ejemplos:

1) –3 a 2 b + 2ab + 6 a 2 b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab

2

1.º Reemplazar cada variable por el valor asignado.2.º Calcular las potencias indicadas3.º Efectuar las multiplicaciones y divisiones4.º Realizar las adiciones y sustracciones

El valor numérico de la expresión dada es 19

2)

Ejercicios:

1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =

2) =

3)

4)

Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

1) 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 ) = 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el que se encuentra más al interior.

Ejemplo:

=

Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno)

1)

2)

Multiplicación en álgebra

Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos:

1.º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación )

3

2.º Multiplicar los coeficientes numéricos.3.º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).

Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios.

Ejemplos:

monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios

( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6

7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

6a2–14ab –9ab +21b2 =

6a2 –23ab +21b2

( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=

30 m6n–4p–2

( a x + b y – c z ) • (- x y )=

– ax2y – bxy2 + cxyz

x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8=

x3 –8

¡ hazlo tú !

PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman así a ciertas multiplicaciones cuyos resultados se pueden hallar directamente, mediante reglas sencillas que se deducen de la multiplicación de polinomios. Estudiaremos los siguientes casos, siendo a y b dos monomios:

Cuadrado de la suma de dos monomios Sean los monomios a y b. Su suma es a + b (a + b)2 = (a + b)(a + b) Multiplicando término a término: = a2 + ab + ab + b2 Reduciendo términos semejantes: = a2 + 2ab + b2

Luego: 3

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

Ejemplos:1. Efectúa: (a3 + b5)2

Cuadrado del primero……………………………………………………… (a3)2 = a6

Doble del primero por el segundo ……………………………………. 2(a3)(b5) = 2a3b5

Cuadrado del segundo………………………………………………………(b5)2 = b10

Luego: (a3 + b5)2 = a6 + 2a3b5 + b10

2. Efectúa: (3x + 5x3)2

Cuadrado del primero……………………………………………………… (3x)2 = 9x2

Doble del primero por el segundo ……………………………………. 2(3x)(5x3) = 30x4

Cuadrado del segundo………………………………………………………(5x3)2 = 25x6

Luego: (3x + 5x3)2 = 9x2 + 30x4 + 25x6

4

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Cuadrado de la diferencia de dos monomios Sean los monomios a y b. Su diferencia es a - b (a - b)2 = (a - b)(a - b) Multiplicando término a término: = a2 - ab - ab + b2 Reduciendo términos semejantes: = a2 - 2ab + b2

Luego: 3

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

Ejemplos1. Efectúa: (2a2 – 5x4)2

Cuadrado del primero……………………………………………………… (2a2)2 = 4a4

Doble del primero por el segundo ……………………………………. 2(2a2)(-5x4) = - 20a2x4

Cuadrado del segundo………………………………………………………(-5x4)2 = 25x8

Luego: (2a2 – 5x4)2 = 4a4 - 20a2x4 + 25x8

2. Efectúa:

Cuadrado del primero……………………………………………………… (3x2)2 = 9x4

Doble del primero por el segundo ……………………………………. 2(3x2)( ) = - 3x3

Cuadrado del segundo………………………………………………………( )2 =

Luego: = 9x4 - 3x3 +

Practica con los siguientes ejercicios:

1)2)3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismosSean los monomios a y b. Y sea el producto (a + b)(a - b) (a + b) (a - b) = Multiplicando término a término: = a2 - ab + ab - b2 Reduciendo términos semejantes: = a2 - b2

Luego: 3

La anterior expresión se interpreta diciendo que:

5

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b) (a - b) = a2 - b2

El producto de la suma de dos monomios por su diferencia es igual al cuadrado del primer monomio, menos el cuadrado del segundo.

Ejemplos1. Efectúa: (3b2 + 2m3) (3b2 - 2m3)Cuadrado del primer monomio …………………………………. 9b4

Cuadrado del segundo monomio ……………………………….. 4m6

Luego: (3b2 + 2m3) (3b2 - 2m3) = 9b4 - 4m6

2. Efectúa:

Cuadrado del primer monomio…………………………………..

Cuadrado del segundo monomio………………………………..

Luego: = -

Ejercicios1)2)

3) 4) 5)

Producto de dos binomios que tienen un término común

Sean los binomios: x + a, x + b, que tienen el término común x. Si efectuamos el producto (x +a)(x + b)

Tenemos x2 + bx +ax + ab Es decir: x2 + (a + b)x + ab

Luego:

La expresión anterior se interpreta diciendo que:

Ejemplos1. Efectúa (x – 6)(x + 3) a) Cuadrado del término común……………………………… x2

b) Suma de los términos no comunes: - 6 + 3 = - 3c) Producto de esta suma por el término común....………….. – 3xd) Producto de los términos no comunes……………(-6)(3) = - 18e) Luego: (x – 6)(x + 3) = x2 – 3x – 18

2. Efectúa:

Siguiendo los mismos pasos anteriores: =

=

=

3. Efectúa

6

El producto dos binomios que tienen un término común consta de tres términos:El primero es el cuadrado del término común.El segundo es el producto de la suma de los términos no comunes por el término común.El tercero es el producto de los términos no comunes.

(x +a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

De acuerdo a lo anterior: =

Ejercicios

1) (x + 3)(x + 8) 2) (x2 + 1)(x2 + 2) 3) (x – 1)(x – 9) 4) (5x + 7) (5x + 3) 5) (x2 – 3)(x2 – 8)

6) (x2 – 0,2)(x2 – 0,7)

7)

8) (2a + 5)(2a - 8)

9)

10) (5x - 2y)(5x – 7y)

Cubo de la suma de dos monomios

Sean los monomios a y b. Su suma es a + b. (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b)

Multiplicando = a3 + 2a2 b + ab2 + a2b +2ab2 + b3

Luego:

La expresión anterior se interpreta diciendo que:

Ejemplos1. Efectúa (x2 + 2x4)3

a) Cubo del primero…………………………………….. (x2)3……………….. …………x6

b) Triple del cuadrado del primero por el segundo …… 3(x2)2(2x4) = 3(x4)(2x4)……….6x8

c) Triple del primero por el cuadrado del segundo……...3(x2)(2x4)2 = 3x2 . 4x8……… 12x10

d) Cubo del segundo……………………………………..(2x4)3 ………………………..8x12

e) Luego: (x2 + 2x4)3 = x6 + 6x8 + 12x10 + 8x12

2. Efectúa

Siguiendo los pasos del ejemplo anterior y simplificando las fracciones, obtendrás:

=

Cubo de la diferencia de dos monomios

Sean los monomios a y b. Su diferencia es a - b. (a - b)3 = (a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)2(a - b) = (a2 - 2ab + b2) (a - b)

Multiplicando = a3 - 2a2 b + ab2 - a2b +2ab2 -b3

Luego:

7

(a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

El cubo de la suma de dos monomios es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

La expresión anterior se interpreta diciendo que:

Ejemplos1. Efectúa (4x2 - 2x3)3

a) Cubo del primero…………………………………….. (4x2)3……………….. …………….64x6

b) Triple del cuadrado del primero por el segundo …… 3(4x2)2(-2x3) = 3(16x4)(-2x3)……….- 96x7

c) Triple del primero por el cuadrado del segundo……...3(4x2)(-2x3)2 = 12x2 . 4x6…………... 48x8

d) Cubo del segundo……………………………………..(-2x3)3 …………………………… - 8x9

e) Luego: (4x2 - 2x3)3 = 64x6 - 96x7 + 48x8 - 8x9

2. Efectúa (m4 – 2n2)3

Sigue los pasos indicados en el ejemplo anterior y obtendrás:(m4 – 2n2)3 = m12 – 6m8n2 + 12m4n4 – 8n6

Ejercicios

1) (a + 2b)3

2) (2x – 5)3

3) (3m – 2n)3 4) (2x2 + 3y3)3

5) (2a2 – 3b3)3

6)

7)

8)

FACTORIZACIÓN

Existen varios casos de factorización:

1. FACTOR COMÚN MONOMIO:

Cuando los términos de un Polinomio tienen uno o varios factores numéricos o literales que aparecen en todos ellos, se dice que tales factores forman un factor común. Así, por ejemplo, el polinomio 3x2 + 12x tiene los factores 3 y x comunes a los dos términos, formándose así el monomio “3x” como factor común.Los polinomios que tienen un factor común pueden factorizarse como una aplicación de la propiedad distributiva, así: factor común monomio

El Factor Común Monomio.- Sobre los enteros, se determina fácilmente hallando el M.C.D. (máximo común divisor), de los coeficientes de todos los términos del polinomio dado, el cual será el coeficiente del

8

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones:

1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

El cubo de la diferencia de dos monomios es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

factor común, y escribiendo a continuación de él las variables comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.Luego, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación. O sea paréntesis.Ejemplo: Factorizar Resolución1ª Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 2; 6 y 8. Así: M.C.D. (2; 6 y 8) = 2

2º El menor exponente con que aparece la variable “x” es 1 y el menor exponente con que aparece la variable “y” es 1.Por lo tanto el factor común es: 2xy. Luego: = Factor Común

Dividimos Dividimos Dividimos

Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones. Trabaja en tu cuaderno.

1. 6x - 12 = 7. 20x - 12xy + 4xz = 2. 24a - 12ab = 8. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 3. 14m2n + 7mn = 9. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 4. 8a3 - 6a2 = 10. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

5. 4a3bx - 24bx = 11.

6. 14a - 21b + 35 = 12.

2. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CON FACTOR COMÚN POLINOMIO:

En el caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo, se procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea aplicando la propiedad distributiva.

Ejemplo 1: Factorizar Resolución: 1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 5 y 10. Así: M.C.D. (5 y 10) = 5

2º El menor exponente del polinomio común es 1. Luego: =

Ejemplo 2: Factorizar x(a + b) + y(a + b)Existe un factor común que es (a + b) = x(a + b) + y(a + b)

= (a + b) (x + y)Ejemplo 3: Factorizar Resolución:1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes (ya sabes como hacerlo), es 3.2º El menor exponente con que aparece la variable “x” es 2, o sea x2; el menor exponente del polinomio común es 2; o sea Por lo tanto, el factor común es

Luego: =

EjerciciosFactoriza:1) a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 6) m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =2) x2( p + q ) + y2( p + q ) = 7) ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =3) ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 8) a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

9

2 – 6 – 8 21 – 3 – 4

5 – 10 51 – 2

4) (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 9) (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 5) a( a + b ) - b ( a + b ) = 10) (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

3. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se agrupan los términos de 2 en 2 ó de 3 en 3, etc. de acuerdo con el número exacto de grupos que se puedan formar de modo que resulte un factor común polinomio. Luego se procede a factorizar, según la regla del caso anterior.

Ejemplo: 1. Factoriza: Resolución: Agrupamos el primero con el segundo y el tercero con el cuarto: = Sacamos factor común “c” Sacamos factor común “x” = , Sacamos factor común “(x – 2)” = Luego: =

2. Factoriza: 2yz + 7y – 2z – 7Resolución: Agrupamos el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, obtenemos:

2yz + 7y – 2z – 7 = (2yz – 2z) + (7y – 7)Factorizamos el primer binomio por “2z” y el segundo por “7 ” = 2z(y – 1) + 7(y – 1)Sacamos factor común (y – 1) = (y – 1)(2z + 7)

Luego: 2yz + 7y – 2z – 7 = (y – 1)(2z + 7)

Ejercicios

Factoriza los siguientes trinomios:1. a2 + ab + ax + bx

2. ab - 2a - 5b + 10

3. am - bm + an - bn

4. 3x2 - 3bx + xy - by

5. 3a - b2 + 2b2x - 6ax

6. ac - a - bc + b + c2 - c7. ax - ay - bx + by - cx + cy

8. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z

9.

10. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd 11. 2p2 + 3ap + 4p + 6a12. x3 – x2 + x - 1

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c

El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso:

Ejemplo: Descomponer x2 + 6x + 5

1 Hallar dos factores que den el primer término x · x

2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 · 5 ó -1 ·-5

10

pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )

Entonces: x2 + 6x + 5 = (x + 1 )( x + 5 )

EjerciciosFactoriza los siguientes trinomios

1) x2 + 4x + 3 = 7) s2 - 14s + 33 =2) h2 - 27h + 50 = 8) x2 + 5x + 4 = 3) y2 - 3y - 4 = 9) x2 - 12x + 35 = 4) x2 + 14xy + 24y2 = 10) a2 + 7a + 10 =5) m2 + 19m + 48 = 11) r2 - 12r + 27 =6) b2 + 8b + 15 =

5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c

Ejemplo

Factoriza 2x2 - 11x + 5

1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x

2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1

3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x2 + 7x + 5se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )y en este caso nos da : 2x2 - 11x + 5

EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios:

1) 5x2 + 11x + 2 = 10) 3a2 + 10ab + 7b2 =2) 4x2 + 7x + 3 = 11) 4h2 + 5h + 1 =3) 5 + 7b + 2b2 = 12) x2 - 15x + 2 =4) 5c2 + 11cd + 2d2 = 13) 2x2 + 5x - 12 =5) 6x2 + 7x - 5 = 14) 6a2 + 23ab - 4b2 =6) 3m2 - 7m - 20 = 15) 8x2 - 14x + 3 = 7) 5x2 + 3xy - 2y2 = 16) 7p2 + 13p - 2 =8) 6a2 - 5a - 21 = 17) - 17xy + 15y2 =9) 2a2 - 13a + 15 =

6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: Ejemplo:

Factorizar 9x2 - 16y2 =

Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3xy el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y · -4y Luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

Ejercicios

Factoriza los siguientes binomios:1) x2 – 1002) 25x2 – 643) 49 – n2

4) 1 – a2b4

5) 36p2 – 25q2

6) 5a2 – 5b2

7) 7a6 – 28b4

8)

9) 0,25u2 – 110) 9a2x – 25y2x

11)

12) 25z2 – 49a4b2

13) 6mn8 – 6mn4

14) 0,64 – v4

15) 3x2 – 300

7. FACTORIZACION DE UNA SUMA DE CUBOS:

11

La suma de dos cubos es un producto igual a la suma de sus bases multiplicada por el trinomio que se forma del cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base.O sea:

Ejemplo 1. Factoriza 8a3 + 27b3

Resolución: 8a3 + 27b3 = ( + )( - + )Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la suma de estas raíces es el primer factor binomio (la suma de sus bases).

Suma de sus bases: (2a + 3b)

Esta suma (2a+ 3b), se multiplica por un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera base (2a)2 = 4a2; menos el producto de las dos bases -2a . 3b = - 6ab; y más el cuadrado de la segunda base (3b)2 = 9b2.

Luego: 8a3 + 27b3 = ( 2a + 3b )( 4a2 – 6ab + 9b2 )

2. Factoriza: 64x3 + 1Siguiendo los pasos anteriores obtendrás: 64x3 + 1 = (4x + 1)(16x2 – 4x + 1)

Ejercicios: Factoriza los siguientes binomios:

1) x3 + 12) 27m3 + 8n3

3) y3 + 274) x6 + 1

5) 1000x3 + y6

6) 0,001y3 + 17) 0,027b3 + 0,125c3

8) 3m4 + 3m

9)

10)

8. FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS: La diferencia de dos cubos es un producto igual a la diferencia de sus bases multiplicada por el trinomio que se forma del cuadrado de la primera base más el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base.O sea:

Ejemplos1. Factoriza 64x3 – 8y3

Resolución: 64x3 – 8y3 = ( - )( + + )Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la diferencia de estas raíces es el primer factor binomio (diferencia de sus bases).

Diferencia de bases: (4x – 2y)

Esta diferencia se multiplica por un trinomio cuyos términos son: El cuadrado de la primera base (4x)2 = 16x2; más el producto de las dos bases 4x.2y = 8xy; y más el cuadrado de la segunda base (2y)2 = 4y2.

Luego: 64x3 – 8y3 = (4x – 2y)(16x2 + 8xy + 4y2)

2. Factoriza 8x3 – y12

Siguiendo los pasos anteriores obtendrás: 8x3 – y12 = (2x – y4)(4x2 + 2xy4 + y8)

EjerciciosFactoriza los siguientes binomios:1) x3 – b3

2) 8a3 – 27b3

3) y3 – 14) 8 – x3

5) x6 – y9

6) 125x3 – 1257) 0,064b3 – 18) 0,027m3 – 0,125n3

9)

10)

12

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

División de monomios

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se aplica la ley de los signos2.  Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor3.  Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"4.  En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético.

Ejemplos:a) b) c)

Ejercicios

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente por el polinomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos resultados.

Ejemplos

1.

=

2.

13

=

3.

=

Ejercicios

División de dos polinomios

Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica.1) Se ordenan el dividendo y el divisor, según una misma letra, dejando espacios para los términos

que faltan.2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer

término del cociente.3) Se multiplica el primer término obtenido del cociente por todo el divisor y el producto se resta del

dividendo. Para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiándole de signo. Luego se suman algebraicamente.

4) Se divide el primer término del residuo, entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente.

5) Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior.

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6) Se divide el primer término del segundo residuo entre el primer término del divisor y se efectúan las operaciones como en los pasos anteriores continuando hasta que el residuo sea un polinomio de grado menor que el divisor.

Ejemplos1)

Resolución: Ordenamos el primer polinomio (dividendo) con respecto a la letra “x” y en sentido decreciente.

0

2) Resolución:Ordenando ambos polinomios (dividendo y divisor) con respecto a la letra “x” y en sentido decreciente tenemos:

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El cociente buscado es: ; con cero de residuo.

Cociente: Residuo:

Observaciones:1) El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y el divisor.2) El grado de la letra ordenatriz en el residuo es siempre menor que el grado relativo de la letra

ordenatriz, en el divisor y su máximo grado es menor en uno que el grado de este último.

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